Matemáticas y Finanzas. Lo que hacemos los Quants en los bancos. Teresa Martínez Quantitative Product Group

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1 Matemáticas y Finanzas. Lo que hacemos los Quants en los bancos Teresa Martínez Quantitative Product Group

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3 jesquema Quiénes somos y dónde encajamos en el banco Cómo es el día a día Las Matemáticas

4 jquiénes somos y dónde encajamos en el banco Somos el equipo de Quants de Banca Mayorista Actualmente somos 23 personas, solo en Madrid Crédito Tipos y FX Equity y Commodities Madrid Londres 1 3 Sao Paulo 8 Nueva York 2 Trabajamos en el Front Office del Banco

5 jcómo es el día a día 25% Matemática Aplicada: Probabilidad, Cálculo Numérico, Ecuaciones Diferenciales 50% Código: diseño, implementación, depurado de errores, mantenimiento, tests 25% Producción: integración en sistemas, interacción con traders y estructuradores, diseño de nuevos productos, reuniones

6 jcómo es el día a día Competitivo: CitiGroup, Goldman Sachs, Bank of America, Barclays, Deutsche Bank, BNP, Societe Generale, UBS, HSBC, ABN, BBVA... Se habla de dinero: Profit & Loss, márgenes, ventas, clientes flujos, pagos, beneficios, dólares, euros, millones, billones,... Salario: fijo + variable Información: TV, Bloomberg, Reuters, internet, teléfono

7 jvaloración de derivados: qué y para qué La Banca Mayorista se diferencia de la Minorista en el tamaño de los clientes se confeccionan productos a medida, el tipo de productos para compensar los riesgos de la cartera de los clientes. El trabajo de los analistas cuantitativos es desarrollar modelos que permitan poner precio a productos complejos y que permitan gestionar los riesgos que implican. Los modelos deben ser consistentes con el mercado (calibración), y a ser posible, rápidos (velocidad de cálculo).

8 jun ejemplo: evolución de Inditex

9 j Qué necesitamos de un modelo? Qué nos conviene? Comprar ahora, esperar, comprar otras acciones...? Nos interesaría poder predecir el comportamiento del precio de las acciones. Intentemos construir un modelo para: Qué debe cumplir la función S(t)? S(t) = precio de una acción en tiempo t Debe ser continua (no hay saltos bruscos en el precio de la acción). Es extremadamente no suave (tiene muchos picos). Debe reproducir de alguna manera el comportamiento errático del precio de la acción: cada vez que apuntamos el precio de la acción, éste ha subido o ha bajado según la ley de la oferta y la demanda (según una pauta desconocida). Hay una cierta incertidumbre en los valores: si el siguiente punto en la gráfica hubiera estado un poco desplazado, la gráfica no habría cambiado sustancialmente. Hay un rango de valores aceptable. Hay alguna función así?

10 jpaseo aleatorio Pensamos en el resultado de la ley de la oferta y la demanda como en el azar : el precio sube o baja según tiremos una moneda. X = { 1 si sale cara el precio sube un euro 1 si sale cruz el precio baja un euro X 1, X 2, X 3,... sucesivas tiradas de una moneda Llamamos S n = X 1 + X X n y en cada punto, S n sería el precio de la acción después de n unidades de tiempo. Qué pinta tiene una función así?

11 jun poco de historia El nombre de camino aleatorio se debe a Karl Pearson, en una serie de cartas publicadas en Nature (1905): Un hombre empieza desde un punto O y camina l yardas en una línea recta; entonces gira un ángulo cualquiera y camina otras l yardas en una segunda línea recta. Repite este proceso n veces. Pregunto la probabilidad de que, después de esos n desplazamientos, el hombre se encuentre a una distancia entre r y r + dr del punto de partida O. Karl Pearson. The Gables, East Ilsley, Berks. Este problema, propuesto por el Profesor Karl Pearson en el actual número de Nature, es el mismo que el de la composición de n vibraciones iso-periódicas de una unidad de amplitud y de fases distribuidas aleatoriamente [...] Si n es muy grande, la probabilidad pedida es 2 n e r2 /n r dr. Rayleigh. Terling Place, July 29. Lo que la solución de Lord Rayleigh nos enseña es que, en campo abierto, donde es más probable encontrar a un borracho que es capaz de mantenerse en pie, es en algún lugar cerca del punto de origen. Karl Pearson P ( el borracho esté a distancia R del origen) = R 0 2 n e r2 /n r dr = 1 e R2 /n

12 jlas trayectorias del camino aleatorio Las trayectorias del camino aleatorio (cada una de las gráficas que construimos con una tanda de tiradas de la moneda) se parecen a las gráficas de la evolución de las acciones de Inditex y del Ibex. Parece que nos puede valer, no? Debemos hacer algunas modificaciones: Apuntamos el precio de la acción cada t unidades de tiempo. Los saltos no serán siempre de una unidad, sino de x euros. Con estos cambios, consideramos t = N t S(t) xx 1 + xx xx N = xs N Miramos la evolución del precio del activo durante t días, a intervalos de t, t = N t, qué ocurre con su valor final N E(S(t)) xe(x n ) = 0 V ar(s(t)) n=1 N ( x) 2 V ar(x n ) = n=1 N ( x) 2 = N( x) 2 n=1

13 jnos interesa t 0 Medimos el precio de la acción más a menudo (mayor conocimiento del mercado). Pasamos a tiempo continuo (mayor facilidad de cálculo). Funciona bien?

14 jnos interesa t 0 Medimos el precio de la acción más a menudo (mayor conocimiento del mercado). Pasamos a tiempo continuo (mayor facilidad de cálculo). Funciona bien? Escogemos t = N t y x = t E(S(t)) = 0, V ar(s(t)) = N x 2 = t Aplicamos el Teorema Central del Límite N S(t) = xx n = N n=1 t xx n E ( N n=1 xx n) n=1 V ar ( N n=1 xx ) N(0, t), t 0 n N(0, 1)

15 jnos interesa t 0 Medimos el precio de la acción más a menudo (mayor conocimiento del mercado). Pasamos a tiempo continuo (mayor facilidad de cálculo). Funciona bien? Escogemos t = N t y x = t E(S(t)) = 0, V ar(s(t)) = N x 2 = t Aplicamos el Teorema Central del Límite N S(t) = xx n = N n=1 t xx n E ( N n=1 xx n) n=1 V ar ( N n=1 xx ) N(0, t), t 0 n N(0, 1) Igual con cualesquiera otras variables X n, independientes, con media 0 y varianza finita (Teorema de Donsker: convergencia en distribución).

16 jel movimiento browniano o proceso de Wiener El proceso S(t) B(t) que obtenemos en el límite cuando t 0. B(0) = 0 y tiene trayectorias continuas. Incrementos independientes: para todo 0 r s t, B(t) B(s) y B(s) B(r) son independientes. Si 0 s t <, B(t) B(s) N(0, t s) (gaussianos estacionarios): si t = N t, s = M t N B(t) B(s) = lim xx n = N n=m t s xx n t 0 n=m V ar ( N n=1 xx ) N(0, t s) n

17 jalgunas propiedades de los caminos brownianos Paley, Wiener, Zygmund (1933): no diferenciables en casi ningún punto con probabilidad 1. Variación cuadrática finita: en L 2 y en casi todo punto n B(t k ) B(t k 1 ) 2 = t donde π = {0 = t 0 < t 1 < < t n = t}. lim π 0 k=1 Kintchine (1933): ley del logaritmo iterado. Con probabilidad 1 B(t) = 1, 2t log log t lim sup t pero lim t B(t)/t = 0. lim inf t B(t) 2t log log t = 1 Transformaciones equivalentes 1 c B ct reescalamiento Y t = tb 1/t inversión temporal Z t = B T B T t reversión temporal B t simetría B(t + t 0 ) B(t 0 ) autosemejanza Es recurrente: P ({ t > 0; B(t) = 0}) = 1

18 jotro poco de historia 1823, Robert Brown: movimiento de las partículas de polen en el agua. 1900, Bachelier: modelo para las fluctuaciones de los precios de mercado. 1905, Albert Einstein: densidades de transición. 1909, Borel, Lebesgue, Daniell: teoría de integración. 1923, Norbert Wiener: primera prueba rigurosa de existencia. 1933, Paley, Wiener, Zygmund: no diferenciabilidad de las trayectorias, ley del logaritmo iterado , Paul Lèvy: descripción de la estructura de los caminos brownianos (tiempos de paso, measure du voisinage ) 1950 s Lévy, Hunt (propiedad fuerte de Markov), Doob (relación entre el movimiento browniano, la ecuación del calor y el problema de Dirichlet).

19 jun modelo para la evolución

20 S t = Precio de la acción. jun modelo para la evolución Samuelson-Merton = Black-Scholes-Merton En cada tiempo, las ganacias (relativas) de la acción son Gaussianas, su valor esperado es proporcional al lapso de tiempo, S t+ t S t S t Independientes de los valores pasados, continuos, N(µ t, Σ( t)). ds t = µ dt + σ dw t, W t un movimiento Browniano estándar S t (Fórmula de Ito) S t = S 0 e (µ σ2 2 ) t+σw t, µ = r

21 jopciones Opciones: son contratos que dan al que lo compra el derecho (pero no la obligación) a comprar o vender una acción a un precio fijo. Opciones de compra (Call ) dan el derecho a comprar Opciones de venta (Put ) derecho a vender Precio de ejercicio (strike): precio fijado. Fecha de expiry o maturity: la fecha en la que la acción pasará del vendedor al comprador. Fecha de ejercicio: fecha en la que el comprador de la opción debe decidir si la ejerce o no. Opciones europeas solo en la fecha de expiry. Opciones americanas en varias fechas antes de la fecha de expiry Pay-off: ganancia que espera obtener el comprador de la opción.

22 jopciones: un ejemplo sencillo Opciones de compra europeas: contratos que dan el derecho (pero no la obligación) para comprar una acción a un precio fijo. fecha de ejercicio T (en la que se ejerce la opción), precio de ejercicio K (precio fijo), subyacente S t, el precio de mercado de las acciones de Inditex, pago de la opción o ganancia del comprador.

23 El pago de esta opción es (S T K) + jvalor de una opción de compra europea El precio justo al tiempo t < T es C t,k = E t ( e r(t t) (S T K) +) = e r(t t) E t ( (ST K) +)

24 jvalor de una opción de compra europea Usando S T = S t e (r σ2 2 ) (T t)+σ(w T W t ), el precio de la opción de compra puede ser obtenido explícitamente, C t,k = S t N (d 1 ) e r(t t) KN (d 2 ), donde ( 1 d 1 = σ log S t T t K + d 2 = d 1 σ T t. (r + σ2 2 ) ) (T t),

25 jpero en el mundo real...

26 jpero en el mundo real...

27 jpero en el mundo real...

28 jhipótesis sobre el mercado Un espacio de probabilidad (Ω, F, P ) (los posibles estados del mercado), que soporta una filtración {F t } (F t representa la información del mercado hasta t), St 0, St 1,..., St N procesos adaptados (precios de activos que se pueden comprar y vender) con St 0 > 0 que no paga dividendos (numerario). El mercado es libre de arbitrajes (propiedad NFLVR, No free lunch with vanishing risk ) existe una probabilidad equivalente P P (no necesariamente única) tal que los precios descontados son martingalas El precio de un derivado será la esperanza descontada de la ganancia esperada

29 jaspecto general de las volatilidades...

30 j... estocásticas?

31 jmodelos más generales para la volatilidad Volatilidad dependiente del tiempo ds t = (... ) dt + σs t dw t, σ = σ(t) : R R determinista. Volatilidad local (Derman-Kani, Dupire) σ = σ(t, S t ), σ(t, x) : R R R una función determinista Volatilidad incierta σ = σt I es estocástica: I = 1, 2,... con probabilidad p 1, p 2,..., σ = σ 0 constante para t (0, ε), y para t > ε toma algún valor σt i (constante, dependiente del tiempo o local), de tal modo que la difusión ds t = (... ) dt + σt I dwt 1 tiene distintos escenarios. Volatilidad estocástica Hull-White, Lewis) σ = σ t es un proceso estocástico (Hagan et al., Heston, ds t = (... ) dt + σ t dw 1 dσ t = Σ t dw 2 t, t, } dwt 1 dwt 2 = ρ t dt

32 jmodelo Stochastic-αβρ (SABR) Hagan, P., Kumar, D., Lesniewski, A.S., Woodward, D.E., Wilmott, Para t T d ( St σ t ) = σ t ( S β t 0 0 ν dwt 1 dwt 2 ds t = σ t S β t dw 1 dσ t = νσ t dw 2 = ρ dt ) ( 1 0 ρ 1 ρ 2 t, t, ) dz t, = σ t ( S β t 0 νρ ν 1 ρ 2 Z t un movimiento Browniano bidimensional estándar. ( ) St El proceso es una difusión de Itô bidimensional para t T, σ t ( ) s0 con condición inicial v 0 ) dz t,

33 jecuaciones de Kolmogorov X t = ψ + t 0 b(s, X s ) ds + t 0 σ(s, X s ) dw s, b : [0, ) R d R d (vector deriva), σ : [0, ) R d R d r (matriz de dispersión), W t un proceso de Wiener r-dimensional. Denotamos por f la densidad de transición del proceso f(t, x; T, y) dy = P (y i < X i T y i + dy i, i = 1,..., d X t = x)

34 jecuaciones de Kolmogorov Ecuación de Kolmogorov backwards f t = d i=1 b i (t, x) f x i d i,j=1 2 f A i,j (t, x), x i x j t T, f(t, x; T, y) = δ x,y Ecuación de Kolmogorov forward (ecuación de Fokker-Plank) f d T = i=1 b i (t, y)f y i d i,j=1 2 A i,j (t, y)f x i x j, T t, f(t, x; t, y) = δ x,y Matriz de difusión: A = σσ

35 En este caso, la densidad de transición es jmodelo Stochastic-αβρ (SABR) f(t 0, v 0, s 0 ; t, σ, s) dσ ds = P (σ < σ t σ + dσ, s < S t s + ds σ t0 = v 0, S t0 = s 0 ), y la matriz de difusión ( S A = σt 2 β t 0 νρ ν 1 ρ 2 ) ( S β t 0 νρ ν 1 ρ 2 ) = σ 2 t ( S 2β t S β t ρν S β t ρν ν 2 ). Luego la ecuación a resolver es Ecuación de Kolmogorov forward f t = 1 (s 2β f) 2 σ2 2 + ρν 2 (σ 2 s β f) s 2 s σ f = δ s,s0 δ σ,v0, t = t ν2 2 (σ 2 f) σ 2, t > t 0,

36 jmodelo Stochastic-αβρ (SABR) Líneas de la prueba: Escribimos f(t 0, v 0, s 0 ; T, σ, s) = δ s,s0 δ σ,v0 + T t 0 f t (t 0, v 0, s 0 ; t, σ, s) dt y lo usamos en la integral para el precio de una opción de compra. Integramos por partes para obtener una nueva expresión en términos de una modificación de la función de densidad, verificando f(t, v 0, s 0 ; T, K) = f + 1 t 0 2 v2 0s 2β 2 f 0 s ρνv 2 0s β 0 σ 2 f(t, v 0, s 0 ; T, σ, K) dσ, 2 f + 1 s 0 v 0 2 ν2 v0 2 2 f v0 2 = 0, t 0 < t, f = v 2 0δ s,k, t 0 = t

37 jmodelo Stochastic-αβρ (SABR) La ecuación anterior es difícil de resolver: hacemos varias aproximaciones Las cantidades ν y σ son pequeñas típicamente, así que tomamos un ε << 1 y resolvemos, en lugar del problema original La ecuación a resolver es f + 1 t 0 2 ε2 v0s 2 2β 2 f 0 s 2 0 f = v 2 0δ s,k, t 0 = t ds t = εσ t S β t dw 1 dσ t = ενσ t dwt 2, dwt 1 dwt 2 = ρ dt. + ε 2 ρνv 2 0s β 0 t, 2 f + 1 s 0 v 0 2 ε2 ν 2 v0 2 2 f v0 2 = 0, t 0 < t, con ε pequeño. Se obtiene una aproximación mediante diversos cambios de variables en la ecuación, que conducen a una ecuación que se puede resolver hasta orden O(ε 2 )

38 jmodelo Stochastic-αβρ (SABR) Conduce a una expresión analítica de la volatilidad implícita de call-puts: σ B (K, f) = α (fk) (1 β)/2[ 1 + (1 β)2 24 log 2 f K + (1 β) log4 f K +... ] z χ(z) { [ (1 β) 2 α (fk) + 1 ρβνα 2 3ρ2 + ν ]t 2 1 β 4(fK) (1 β)/2 ex } z = ν α (fk)(1 β)/2 log f K χ(z) = log 1 2ρz + z2 + z ρ 1 ρ

39 jproblemas y soluciones Los modelos deben replicar el mercado se calibran los parámetros a las volatilidades de opciones... todos datos a la vez?... eligiendo un grupo de datos significativo? Calibración: Exact fit Minimización En calibración, a ser posible, fórmulas analíticas en general, no las hay para modelos de volatilidad estocástica más generales que el SABR Calibración por MonteCarlo. Aproximaciones semianalíticas

40 jproblemas y soluciones Valoración de productos más complejos: Simulaciones de MonteCarlo Árboles Longstaff-Schwartz (cancelabilidad) Problemas de velocidad de cálculo: Mejoras en la convergencia del MonteCarlo (Control Variate, Importance Sampling) Paralelización Resolución EDP s (à la SABR) para obtener fórmulas (o aproximaciones) analíticas

41 jreferencias John C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives (Prentice Hall) Paul Wilmott, Sam Howison, Jeff Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction (Cambridge University Press) Marek Musiela, Marek Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modelling (Springer) Justin London, Modeling Derivatives in C++ (Wiley Finance) Mark Joshi, C++ Design Patterns and Derivatives Pricing (Cambridge, Mathematics, Finance and Risk) Thomas Mikosch, Elementary Stochastic Calculus With Finance in View (Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability, Vol 6) Bernt Oksendal, Stochastic Differential Equations : An Introduction with Applications (Universitext)

42 Contacto Teresa Martínez

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