PROBLEMAS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

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1 PROBLEMAS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES Rosario Cintas del Río Escuela Universitaria de Estadística Universidad Complutense

2 CÁLCULO DE PROBABILIDADES HOJA 1 1. Supongamos que los tiempos de los corredores en una carrera de 100 metros lisos varían entre 0 y 15 segundos. Especificar el espacio muestral en cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Tiempo del ganador de la carrera b) Tiempos de los dos primeros clasificados. Consideremos el experimento aleatorio de elegir al azar un número de los números naturales = {1,,3,...} y los sucesos: A= El número elegido es múltiplo de B= El número elegido es menor que 10 C= El número elegido es primo D= El número elegido es múltiplo de 3 Describir el espacio muestral y expresar como subconjuntos de él los sucesos: A B B C A D A D A D C C D 3. Un número es elegido al azar de la recta real. Sean A, B, C los sucesos asociados con el experimento representados por: A = [ 3,8] B = (7,10] C = [ 0, + ) Describir el espacio muestral y expresar como subconjuntos de él los siguientes sucesos: B A B B C A B C ( ) A B C A B A B

3 4. Dos inspectores A y B inspeccionaron independientemente el mismo lote de artículos. El 4% de los artículos son defectuosos. El examen mostró que: 5% de los artículos son considerados defectuosos por A. 6% de los artículos son considerados defectuosos por B. % de los artículos son correctamente considerados defectuosos por A. 3% de los artículos son correctamente considerados defectuosos por B. 4% de los artículos son considerados defectuosos por ambos, A y B. 1% de los artículos son considerados correctamente defectuosos por ambos, A y B. a) Construir un diagrama de Venn, mostrando los porcentajes de los artículos en las 8 clases disjuntas posibles motivadas por la clasificación de los inspectores y la verdadera clasificación de los artículos. b) Qué porcentaje de los artículos son defectuosos pero son considerados como si no lo fueran por ambos inspectores? 5. La probabilidad de que un estudiante A apruebe un examen de Estadística es 0,8. La de otro estudiante B es 0,4 y la probabilidad de que aprueben los dos 0,3. Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: A1 A A 3 Al menos uno de los dos aprueba el examen Ninguno aprueba el examen Exactamente uno aprueba el examen 6. Considérese el conjunto E={A,B,C,D} y la clase de subconjuntos de E formada por {A,B} y {B,C,D}. Se denomina σ a lg ebra engendrada (generada) a la mínima σ a lg ebra engendrada por, σ ( ). Obtenerla. 7. Sea E={a,b,c} y consideremos las siguientes σ a lg ebras : Α 1 = {{}{ a, b, c},, E} Α = {{}{ b, a, c},, E} Es Α= Α Α una σ a lg ebra? 1

4 CÁLCULO DE PROBABILIDADES HOJA n 1. Se escoge un número al azar del conjunto {0,1,,,10-1}. Calcular la probabilidad, P k, de que en el sistema decimal este número esté formado por k cifras.. De una urna con 49 bolas numeradas se extraen sin reposición 7 bolas al azar. Las 6 primeras se denominan de premio y la séptima recibe el nombre de complementario. Un jugador hace una apuesta que consiste en fijar 7 números. Calcular la probabilidad de que: a) Acierte los 6 números del premio. b) Acierte 5 números de premio y el complementario. c) Acierte k números de premio solamente (k=5,4,3). 3. Distribuimos al azar n bolas blancas y n bolas negras en n urnas. a) Hallar la probabilidad de que una urna especificada contenga i bolas blancas y j bolas negras. b) Calcular la probabilidad de que en cada urna haya una bola de cada color. 4. n tiradores disparan, independientemente unos de los otros, cada uno sobre un objetivo. Las provisiones de munición de cada tirada constan de k cartuchos. La probabilidad de acertar es, para el i-ésimo tirador, igual a p i. Cada tirador deja de disparar tan pronto haya alcanzado su objetivo. Determinar la probabilidad de que: a) Ningún tirador consuma su munición. b) Sólo hay un tirador que consume toda su munición. c) Por lo menos un tirador no consume toda su munición. 5. Dos individuos disparan hasta que cada uno da en su propio blanco. Cada uno tiene /9 y /3 de probabilidad, respectivamente, de dar en el blanco en cada tiro. Calcular la probabilidad de que el primero requiera menos disparos que el segundo. (Se supone independencia entre tiradores y disparos).

5 6. De cuántas maneras se pueden colocar 5 volúmenes en una estantería? Cuál es la probabilidad de que la colocación resulte en orden natural?. 7. Cuántos grupos de 9 letras se pueden formar con las de la palabra carretera? 8. Se lanza un dado en 10 ocasiones. Calcular el número total de formas en las que se pueden obtener 3 unos, ningún dos, treses, ningún 4, 3 cincos y seises. 9. Seleccionamos 13 cartas de una baraja de 40, teniendo en cuenta el orden en que las cartas son extraídas. De cuántas maneras diferentes podemos hacerlo?. 10. Se considera el experimento de lanzar un dado 5 veces. Calcular el número de elementos del espacio muestral. 11. Si un equipo de piragüismo está compuesto por 7 remeros y un club de dicho deporte cuenta con 0 piragüistas, cuántos equipos diferentes podrá formar?. 1. Un cierto lote de 6 componentes mecánicos contiene 6 defectuosos. Se extraen 4 componentes del lote, sin reposición. a) De cuántas maneras posibles podemos hacerlo? b) Cuántas de ellas estarán formadas por 4 elementos no defectuosos? c) En cuántas de ellas habrá componentes defectuosos y no defectuosos? d) Cuál es la probabilidad de obtener defectuosos y no defectuosos? 13. En una serie de n lanzamientos de una moneda perfecta, a) Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cruz? b) Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una cruz? 14. Un examen de reválida consta de 14 temas. Se debe escoger un tema de dos elegidos al azar. Calcular la probabilidad de que a un alumno que ha preparado 5 temas le toque al menos uno que sabe.

6 CÁLCULO DE PROBABILIDADES HOJA 3 1. Cuándo puede ser un suceso independiente de sí mismo?. En un juego de dados hemos apostado por el. Se tira el dado y antes de ver el resultado, nos dicen que ha salido par. Hallar la probabilidad de ganar. 3. En una determinada especie se ha comprobado que de padres con ojos oscuros nacen hijos con ojos oscuros en el 5% de los casos, e hijos con ojos claros en el 8% de los casos. Del mismo modo se ha observado que de padres con ojos claros nacen hijos con ojos oscuros en el 9% de los casos e hijos con ojos claros en el 78% de los casos. Calcular: (a) Probabilidad de que si el padre tiene los ojos oscuros el hijo también los tenga. (b) Probabilidad de que si el padre tiene los ojos oscuros el hijo tenga ojos claros. (c) Probabilidad de que si el padre tiene los ojos claros el hijo tenga ojos oscuros. 4. Se ha comprobado que en una ciudad están enfermos con rubeola el 60% de los niños, con sarampión el 50% y el 0% con ambas enfermedades. Calcular: (a) Probabilidad de que elegido un niño al azar esté enfermo con rubeola, o sarampión o ambas enfermedades a la vez. (b) En un colegio con 450 niños, cuántos cabe esperar que estén enfermos con rubeola, o sarampión o ambas enfermedades a la vez?. 5. Dos máquinas A y B han producido respectivamente 100 y 00 piezas. Se sabe que A produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma un pieza al azar y se pide: (a) Probabilidad de que sea defectuosa. (b) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina. 6. Una urna se ha llenado tirando una moneda al aire dos veces y poniendo una bola blanca por cada cara y una negra por cada cruz. Se extrae una bola que es blanca. Hallar la probabilidad de que la otra bola que queda en la urna también lo sea. 7. En el jardinero del señor Rodríguez no se puede confiar. La probabilidad de que olvide regar el rosal durante su ausencia es /3. El rosal está en un estado inseguro: si se riega tiene igual probabilidad de secarse que de no secarse, pero solamente tiene un 0,5 de probabilidad de no secarse si no

7 se riega. Después de un viaje el señor Rodríguez encuentra el rosal seco, cuál es la probabilidad de que el jardinero no lo haya regado? 8. Un médico posee un test para diagnosticar el cáncer. Mediante muchos reconocimientos se ha comprobado que la probabilidad de que el test resulte positivo para una persona que tenga la enfermedad es de 0,95, mientras que para una persona que no la tenga es de 0,05. Supongamos que sólo el 1% de la población está enferma de cáncer. Cuál es la probabilidad de que una persona padezca cáncer si su test resulta positivo?. 9. Una compañía de seguros de automóviles clasifica los conductores en tres clases: A (alto riesgo), B (riesgo medio) y C (bajo riesgo). La clase A constituye el 30% de los conductores que suscriben un seguro en la compañía; la probabilidad de que uno de esos conductores tenga algún accidente en un año es 0,1. Los datos correspondientes a la clase B son 50% y 0,03, mientras que para la clase C son 0% y 0,01. (a) Un determinado cliente contrata una póliza de seguros y tiene un accidente el primer año. Cuál es la probabilidad de que este cliente esté suscrito a cada una de las clases A, B y C?. (b) Si el asegurado lleva 10 años sin sufrir accidentes y suponemos que los años son independientes en cuanto a los accidentes, cuál es la probabilidad de que sea de la clase C?. 10. Una compañía financiera opera en tres grandes regiones de un país: A, B y C. El 50% de las operaciones se realizan en la región A, el 40% en la B y el 10% en la C. Se ha estimado, debido a la larga experiencia, el porcentaje de clientes que no efectúan el pago de las letras en cada una de las regiones. Para la región A es del 1%, para la B del % y para la C del 8%. Determinar el porcentaje de clientes que pagan las letras de la operación. 11. Se lanzan dos dados. estudiar la independencia de los sucesos: A = En el primer dado se obtiene número par B = En el segundo dado se obtiene número impar C = Se obtienen dos números pares o impares 1. Una caja contiene n bolas de dos tipos: blancas y negras. Se extrae una muestra de tamaño m (m<n) sin reposición. Calcular la probabilidad de que la muestra contenga x bolas blancas. 13. Una mecanógrafa tiene escritas n cartas y n sobres. Si pone al azar las cartas en los sobres, cuál es la probabilidad de que al menos una carta coincida con su sobre?.

8 CÁLCULO DE PROBABILIDADES HOJA 4 1. Dada la función de distribución 0 x < 0 x 0 x< 1/ F( x) = 3/4 1/ x < 1 (6 + x) /8 1 x< 1 x Calcular las siguientes probabilidades: a) P{1/} b) P(1/,3/ ] c) P[ 1/,3/] d) P{ ( 3/4, ) /(,3/ ]}. Sea X una variable aleatoria discreta y simétrica con función de probabilidad: ( = ) = ( = ) = ( P X 1/ k P X 1/ k k!e PX ( = 0) = e k Determinar la distribución de las variables Y = X (Valor absoluto) [ 1 Y = X] (Parte entera) 3. Sea P una medida de probabilidad absolutamente continua con función de densidad ) 1 Determinar: ( ) 1 x x 0, f( x) = 0 resto a) La función de distribución asociada. b) Las probabilidades de los sucesos 0,1,,, (1/ ),, 0,(1/ ),1 [ ] [ )( ){ } 4. Sean A y B dos sucesos independientes en un experimento aleatorio. Demostrar que los sucesos complementarios también son independientes. 5. Se tira una moneda tres veces. Sea X el número de caras obtenido. Calcular la función de distribución de probabilidad de X.

9 6. Sea E el conjunto de las posibles puntuaciones en la tirada de un dado. Sean las álgebras: Α = 1 { φ, par, impar, E} Α = PE ( ) Comprobar cuáles de las siguientes aplicaciones son variables aleatorias: a) X(i)=i i=1,,3,4,5,6 con Α a) X(i)=1 i=1,,3 X(i)= i=4,5,6 con Α1 b) X(i)=1 si i es par X(i)= si i es impar con Α 1 7. Sea X la variable aleatoria definida por el número de lanzamientos de un dado hasta obtener por primera vez un 5. a) Calcular la función de probabilidad de X. b) Calcular la función de distribución de X. c) Calcular P(X>15) y P(10<X 0). 8. Dos personas eligen al azar un número entero entre 1 y 5. Sea X= Producto de los números elegidos. a) Hallar la función de probabilidad de X. b) Hallar P(X<6) y P(X>6). 9. Sea X una v.a. con función de probabilidad 1 PX ( = r) = r=1,,3,... a) Comprobar que se trata de una función de probabilidad. b) Calcular la probabilidad de que X tome un valor par. c) Calcular P(X>4). r 10. Hallar el valor de k para que las siguientes funciones sean de probabilidad: a) PX ( = n) = k(1/8) n n=1,,... b) PX ( = n) = k(/3) n n=1,,3,4,5 c) PX ( = n) = k(1/3) n (/ 3) n=0,1,,3,4,5 d) PX ( = n) = k( λ n / n!) n=0,1,,... λ> Supongamos que la vida en horas X de un determinado tubo de radio es una v.a. con función de densidad: c/ x x> 100 f( x) = 0 resto a) Hallar c. b) Hallar la función de distribución de X. c) Calcular la probabilidad de que un tubo dure más de 500 horas.

10 1. En la teoría de rayos cósmicos se presenta la distribución de Pascal-Furry dada por los valores i=0,1,, con probabilidades respectivas: 1 µ p i = 1+ µ 1+ µ µ> 0 Determinar el parámetro µ. 13. Un equipo eléctrico consta de 100 válvulas que son susceptibles de inutilizarse. De estudios realizados con anterioridad se sabe que la función de densidad de la variable aleatoria número de válvulas inutilizadas en un día es de la forma: x f( x) = a 100 Cuál es la probabilidad de que el número de válvulas inutilizadas en un día esté comprendido entre 50 y 75?. 14. Sea X una v.a. con función de densidad 1 f( x) = e x Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a) { X } b) { X X 0} c) { X X 1} d) { X + X 3 3} e) { X 3 X X 0} 15. Tres baterías tienen probabilidad de hacer blanco p1 = 0, ; p = 0,3; p3 = 0, 4. Encontrar la función de distribución del número de blancos obtenidos al disparar las tres baterías. 16. Consideremos una variable aleatoria tal que i PX ( = ) = i = 1,,3,... i 1 1 i Estúdiese si puede determinarse su esperanza matemática.

11 17. Sea X una v.a. con función de probabilidad x i PX= x) 1/8 1/8 ½ 1/8 1/8 ( i Si se define Y=3X-, calcular E(Y) y V(Y). 18. Una v.a. tiene como campo de variación el conjunto de los números naturales y cada uno de ellos puede ocurrir con probabilidad proporcional a 1. Calcular su esperanza. n 19. En las fiestas navideñas un establecimiento pone un puesto de venta de abetos. La demanda de estos árboles no es fija y el propietario del establecimiento sabe, por experiencia de años anteriores, que la media de las ventas fue de 00 abetos con desviación típica de 10. Qué acopio de abetos debe realizar el establecimiento si quiere tener una probabilidad de al menos el 90% de satisfacer la demanda de árboles de Navidad?. 0. Sea una v.a. X con función de distribución Calcular P E[ X] σ X E[ X] 0 x < 0 x F( x) = 0 x< 4 1 x ( σ ) X X El dueño de un bar estima que durante el fin de semana los clientes le piden por término medio 300 bocadillos variados, con una desviación típica de 0 bocadillos. a) Qué probabilidad hay de que los clientes le pidan en un fin de semana por lo menos 330 bocadillos? b) Cuántos panecillos debe comprar el dueño para el fin de semana y así poder satisfacer a los clientes con una probabilidad de por lo menos 0,75?

12 CÁLCULO DE PROBABILIDADES HOJA 5 1. En un hospital se comprobó que la aplicación de un determinado tratamiento produce una cierta mejoría en el 80% de los casos. Si se aplica el tratamiento a 8 personas, calcular: (a) Qué distribución sigue el experimento? (b) Probabilidad de que mejoren cinco. (c) Probabilidad de que mejoren al menos tres. (d) Número de personas que se espera mejoren.. El número de hombres que llegan a un establecimiento sigue una distribución de Poisson a razón media de 1 por minuto. El número de mujeres que llegan al mismo establecimiento sigue otra distribución de Poisson, a razón media de por minuto. Suponiendo independencia, calcular la probabilidad de que lleguen menos de tres clientes en un minuto. 3. Consideremos una situación ideal de la Bolsa. Al empezar el año parte de 100 enteros y la probabilidad de que suba un entero al día es 1/3 y la de que baje un entero diario es /3. Supongamos que las alzas y bajas son independientes de un día a otro. Sea X la v.a. que da el número de subidas de la Bolsa después de cuatro sesiones diarias consecutivas. Se pide: a) Indicar cuál es la variable que da la situación de la Bolsa desde primeros de año. Qué distribución sigue?. b) Calcular su esperanza. 4. Una vía de una ciudad tiene seis cruces regulados por semáforos. La probabilidad de que al pasar un vehículo un semáforo esté en verde es 0,60. Cuál es la probabilidad de atravesar dicha vía en verde, encontrándose en rojo solamente el último semáforo?. Se supone que la regulación de los semáforos es tal que éstos son independientes entre sí. 5. Una empleada de una empresa de telemarketing dispone de un listado de clientes potenciales de un determinado producto. Si la probabilidad de que dicha empleada realice una venta telefónica es del 10%, determínese la probabilidad de que: a) En 10 llamadas realice 6 ventas. b) Tenga que hacer 4 llamadas para hacer la primera venta. c)tenga que hacer 15 llamadas para hacer la tercera venta. 6. Se sabe que la probabilidad de que una determinada máquina fabrique una pieza defectuosa es 0,0001. En un año se fabrican 0000 piezas. Cuál es la probabilidad de que el número de piezas defectuosas producidas en un año sea mayor que?. 7. Demostrar que si X1 y X siguen distribuciones de Poisson de parámetros λ1 y λ respectivamente y son independientes, entonces X = X1+ X sigue la distribución de Poisson de parámetro λ = λ + λ. 1

13 8. De una baraja española de 40 cartas se extraen 5 al azar. Calcular la probabilidad de obtener: a. Póker de ases (b) Color 9. Una comunidad autónoma ha recibido financiación externa para la realización de 50 proyectos de inversión, de los cuales 50 se sabe que han tenido consecuencias negativas sobre el medio ambiente. Al objeto de estudiar estas consecuencias de las actuaciones llevadas a cabo, la autoridad competente selecciona 10 proyectos al azar. Cuál es la probabilidad de que al menos hayan afectado negativamente al medio ambiente?. 10. La sangre de los seres humanos se clasifica en 4 grupos básicos: A, B, AB y 0. a) Calcular la probabilidad, si se analiza la sangre de 8 individuos elegidos al azar y con reemplazamiento, de obtener casos de cada grupo si P(A)=0,50, P(B)=0,10, P(AB)=0,5 y P(0)=0,15. b) Cuántos individuos se espera encontrar del grupo B? 11. Un fabricante de chips de silicio los empaqueta en lotes de 5. El comprador inspecciona los lotes antes de aceptarlos, tomando una muestra sin reemplazamiento de 3 chips de cada lote. Si en la muestra encuentra menos de defectuosos acepta el lote. Al comprador le interesa que los lotes aceptados no contengan más de 5 chips defectuosos. Cuál es la probabilidad de aceptar un lote con 6 chips defectuosos?. 1. Una centralita telefónica recibe unas 300 llamadas a la hora. No se pueden establecer más de 1 conexiones por minuto. Se pide: a) Probabilidad de que la centralita quede rebasada en un minuto dado. b) Probabilidad de que reciba una sola llamada en un minuto dado. 13. Un examen de Estadística es de tipo test. Tiene 0 preguntas y cada pregunta consta de 4 alternativas, siendo una de ellas la correcta. Cada alumno debe contestar escogiendo una sola alternativa. La puntuación del alumno es X = A (F/3) siendo A el número de aciertos y F el de fallos, ambos independientes. Si un alumno contesta de forma aleatoria a todas las preguntas, calcular: a) La distribución de A. b) La esperanza y varianza de X. c) Probabilidad de que el alumno obtenga al menos 5 puntos en el examen. 14. En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una línea de ensamble. Se piensa que la proporción de unidades defectuosas es de 0,05. a) Cuál es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentre defectuosa? b) Cuántas unidades se tienen que inspeccionar por término medio hasta encontrar 4 defectuosas?

14 c) Calcular la desviación típica del número de unidades que se deben inspeccionar hasta encontrar 4 defectuosas. 15. La longitud de una cierta pieza tiene como función de densidad [ ] k( x 1)(3 x) x 1,3 f( x) = k constante 0 resto Sólo es válida una pieza si su longitud está comprendida entre 1,7 y,4. a) Calcular la probabilidad de que una determinada pieza sea útil. b) Si las piezas se empaquetan en lotes de 5 unidades y se acepta el lote si contiene menos de dos piezas defectuosas, cuál es la probabilidad de que un cierto lote sea rechazado?. 16. Un libro de 1000 páginas contiene 000 erratas repartidas al azar. Se abre el libro por una página cualquiera y se designa por X el número de erratas encontradas en dicha página. Calcular la probabilidad de no encontrar ninguna errata y la de encontrar al menos dos erratas, supuesto que cada errata tiene la misma probabilidad de estar en cada página, independientemente de las demás. 17. Supongamos que la demanda de televisores de una cierta marca en un mes sigue una distribución de Poisson de parámetro 5. Qué stock debe tener el comerciante al comienzo del mes para tener una probabilidad 0,999 de satisfacer la demanda durante el mes? 18. Un empleado en un banco sustituye cautelosamente un billete bueno por uno falso en cada fajo de cien billetes. Si el interventor del banco toma un billete al azar de cada uno de 50 fajos, cuál es la probabilidad de que tope con un billete falso? 19. Una tienda de comestibles compra el pan que vende a una panificadora. Cada pieza le cuesta 40 pesetas y la vende por 65 al público. No puede devolver las existencias sobrantes ni venderlas al día siguiente: cada pieza de pan sobrante le origina así una pérdida igual a su costo de 40 pesetas. Si la venta de piezas de pan sigue una distribución de Poisson de parámetro 0, cuántas piezas de pan debe la tienda solicitar a la panificadora para maximizar su beneficio promedio?. 0. Un servicio está atendido por 80 máquinas automáticas. Se viene observando que el número de máquinas que se averían sigue la distribución de Poisson con un promedio de 3 máquinas averiadas por semana. Cada semana se sustituyen las máquinas averiadas por otras. Cada fin de semana se llevan las averiadas en el curso de una semana a un taller de reparaciones que las devuelve arregladas al final de la semana siguiente. Cuántas máquinas de reserva se precisarán para poder sustituir, con

15 probabilidad 0,95, todas las máquinas estropeadas en una semana tomada al azar?. 1. La probabilidad de que un paciente que sufre cierta enfermedad reaccione favorablemente a un tratamiento es p. Se administra el tratamiento a n 1 personas del hospital H1 y a n personas del hospital H. Si el número total de pacientes que reaccionan favorablemente al tratamiento es k: a) Calcular la probabilidad de que r pacientes de los n1 del hospital H1 reaccionen favorablemente. b) Qué ley de probabilidad sigue la anterior variable aleatoria?. Calcular su media y varianza.. Una caja contiene N monedas en total, perfectas y no perfectas. Se extraen 10 monedas sin reemplazamiento. Se define la v.a. X número de monedas perfectas que se obtienen en el experimento. Se ha observado que el valor esperado de X es el doble de su varianza, siendo la cuarta parte de las monedas extraídas el número medio de monedas perfectas que se obtienen. a) Cuántas monedas de cada clase había inicialmente en la caja? b) Cuál era la composición de la caja en el caso de que se hubiesen extraído la mitad del total de las monedas N? c) Cuál sería la varianza de X en el caso de que el experimento se hubiese realizado con reemplazamiento? 3. A un proceso de fabricación de tornillos se le aplica un control de calidad consistente en inspeccionar cada hora n tornillos seleccionados aleatoriamente entre todos los producidos en ese tiempo. La regla a seguir consiste en que si uno o más tornillos son defectuosos, el proceso se detiene y se regula de nuevo la máquina. Cómo debe ser el tamaño de la muestra si el fabricante desea que la probabilidad de que el proceso sea detenido sea 0,95, sabiendo que el 10% de los tornillos que son fabricados son defectuosos?.

16 Bibliografía: MARTÍN PLIEGO, RUIZ-MAYA, Estadística I: Probabilidad Ed. AC MARTÍN PLIEGO, RUIZ-MAYA, Problemas de Probabilidades Ed. AC DE GROOT, Probabilidad y Estadística, Addison-Wesley Iberoamericana FELLER Introducción a la Teoría de la Probabilidad y sus aplicaciones, Ed. Limusa MEYER, Probabilidad y aplicaciones estadísticas, Addison-Wesley Iberoamericana QUESADA V., GARCÍA A. Lecciones de Cálculo de Probabilidades Díaz de Santos MONTERO, MORALES, PARDO, QUESADA Ejercicios y problemas de Cálculo de Probabilidades, Díaz de Santos PFEIFFER, Probability for Applications Springer-Verlag

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