COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO DÉCIMO PRESENTACIÓN

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1 Página 1 de 86 PRESENTACIÓN En nuestra vida diaria nos llega con mucha frecuencia información estadística. Al leer un periódico o una revista, al consultar información en una enciclopedia o en un texto nos encontramos con cantidad de gráficos, tablas y dato que se presentan en variedad de formas. Tanto en la economía como en los deportes, pasando por las comunicaciones, el estudio de las poblaciones o los resultados de unas elecciones políticas, nos encontramos con datos manejados estadísticamente. En este módulo estudiaremos las nociones básicas de la estadística utilizando como herramienta primordial el modelo pedagógico institucional que nos permitirá, entre otras cosas, comprender algunas presentaciones estadísticas de datos. AREA DE MATEMÀTICAS

2 Página de 86 TABLA DE CONTENIDO PROYECTO TRASVERSAL CONVIVENCIA Y SEXUALIDAD UNIDAD I Medidas de localización para datos agrupados por intervalos. Intervalos y marcas de clase. Medidas de tendencia central para datos agrupados (Moda, mediana y promedio) Cuartiles, deciles y percentiles (En variables discretas y continuas). UNIDAD II Medidas de dispersión para datos agrupados por intervalos. Medidas de dispersión. Desviación media. Desviación típica o estándar. Varianza. Coeficiente de variación. UNIDAD III Sucesos probabilísticos Sucesos dependientes e independientes. Probabilidad en sucesos dependientes Probabilidad en sucesos independientes. Probabilidad condicional. UNIDAD IV Distribuciones probabilísticas y elementos básicos de un muestreo Generalidades. El triángulo de Pascal. Distribución Binomio. Distribución probabilística de Poisson Introducción al muestreo. Técnicas de muestreo Muestreo no aleatorio PROYECTO TRASVERSAL CONVIVENCIA Y SEXUALIDAD

3 Página 3 de 86 Muerte materna en adolescentes Durante el año 000 se registraron 180 muertes maternas en mujeres adolescentes, lo que representa la cuarta causa de muerte en mujeres de este grupo de edad.6 Estos datos revelan la necesidad de adecuar los servicios de salud reproductiva y los métodos de prevención de los embarazos no planeados a las características y necesidades propias de este grupo de la población. El inicio temprano de la actividad sexual, las conductas de riesgo, el deterioro del tejido social y la falta de servicios apropiados para los adolescentes propician las infecciones de transmisión sexual, incluido el SIDA y los embarazos no planeados. Las madres adolescentes son responsables del 10% de los partos en el mundo, pero no todos esos embarazos son indeseados. Muchas de las adolescentes casadas se embarazan porque quieren formar una familia. En algunas comunidades las mujeres jóvenes solteras ven la maternidad como una forma de subir en el estatus social y ganar reconocimiento como adultas, o creen que les ayudará a mantener una relación estable con el padre del niño/a. En grupos sociales tradicionales se le da un gran valor a la fertilidad, y la falta de hijos pueden llevar al marido o compañero a abandonar el hogar o al divorcio. Por tanto, algunas mujeres jóvenes se embarazan antes de casarse para probar que son fértiles, mientras que algunas adolescentes recién casadas garantizan su seguridad concibiendo un hijo lo antes posible. La procreación en la población adolescente Los jóvenes que han logrado un embarazo representan aproximadamente el 35% de la población, y para más de la mitad de ellos y ellas, el primer evento ocurrió entre los 15 y 19 años de edad.4 De acuerdo a las características económicas y sociales de ese grupo de edad, el arribo del primer descendiente no sucede en las mejores condiciones de desarrollo personal (Figura 5).

4 Página 4 de 86 Figura 5. Fecundidad en los adolescentes y jóvenes en Colombia. Edad al Primer Embarazo. Los ideales reproductivos de los jóvenes indican que la mayoría desearía tener entre uno y tres hijos independientemente de los condicionantes para la procreación y que la edad ideal para iniciar la procreación es en términos generales mayores que a la que ocurre el primer embarazo. Esta disociación entre la realidad y los ideales reproductivos es uno de los indicadores que permite evaluar el impacto de las campañas de información, educación y comunicación que produce el sector público. ACTIVIDAD 1. Lee cuidadosamente el texto anterior, entiéndelo, busca los términos desconocidos y realiza un glosario con ellos.. Realiza un escrito individual de lo que entendiste de la lectura y lo que puedes aprender de ella 3. Teniendo como base el texto anterior contesta o completa. a. Durante el año se registraron en mujeres adolescentes, lo que representa la causa de muerte en mujeres de este grupo de edad. b. Estos datos revelan la necesidad de c. Que propician las infecciones de transmisión sexual?

5 Página 5 de 86 d. Las madres adolescentes son responsables del de los partos en el mundo, pero no todos esos embarazos son indeseados e. En algunas comunidades las mujeres jóvenes solteras ven la maternidad como f. algunas mujeres jóvenes se embarazan antes de casarse para probar que son fértiles, mientras que 4. realiza un reporte con un análisis estadístico de lo que entiendas en la grafica de la figura 5.

6 Página 6 de 86 Medidas de localización para datos agrupados por intervalos DESEMPEÑO Calcular, y analiza medidas de localización en datos agrupados en variables discretas y continuas y los aplica para la solución de problemas prácticos. INDICADORES DE DESEMPEÑO Calcula e interpreta cuartiles, deciles y percentiles con datos extraídos de tablas de frecuencia en variables discretas y continuas. Expresa el concepto de moda, media y mediana en datos agrupados por intervalos y los aplica en el análisis de situaciones. Analiza situaciones problemas aplicando el concepto de las medidas.

7 Página 7 de 86 LAS FLORES COLOMBIANAS EN EL MUNDO La industria floricultora colombiana ocupa un lugar relativamente discreto en la producción mundial de flores, puesto que solo representa el.1% de los sembrados a nivel mundial. Ahora bien, ello es producto de que la enorme mayoría, más de 95% de la producción se destina al mercado internacional y al hecho de que Colombia sólo compite internacionalmente con las flores frescas cortadas y no con plantas de jardín o de siembra. Las flores colombianas se destinan primordialmente al mercado de Norteamérica, que incluye a Estados Unidos, Canadá y Puerto Rico, en un 83% a la unión Europea en un 13%, a Rusia en un 1.5%, a Japón en un 0.5% y en porcentajes minoritarios a los demás países del mundo. Dentro de la unión europea, los principales compradores son el Reino unido y Holanda, lo cual demuestra la gran calidad y aceptación de nuestras flores. Esa producción ha permitido que el sector logre unas participaciones de mercado en su principal mercado, Estados unidos muy significativas. En efecto, Colombia aporta más del 60% de las flores que se consumen en ese país, y dependiendo del tipo, aporta entre el 94% y el 54% del total de la oferta. EXPORTACIONES TOTALES DE FLORES COLOMBIANAS 1998 Gráfica 3 rosa otros 31% rosa 3% clavel crisantemo mini clavel 10% crisantemo % clavel 5% mini clavel otros

8 Página 8 de 86 OTROS PAISES; 6% uniòn EUROPEA; 1% Norte america Otros Paises Exportaciones totales de flores Colombianas Gráfica 1 NORTE AMÈRICA; 8% Uniòn Europea ACTIVIDAD 1. Las gráficas 1 y 3 tienen igual título y sin embargo son diferentes, Qué representa cada gráfica y como podría mejorarse el titulo?. A qué región exporta más flores Colombia? 3. Qué porcentaje del total de flores exportadas por Colombia recibe tal región? 4. Qué porcentaje del total de flores exportadas por Colombia le corresponden a la Unión Europea? 5. Cuál es el tipo de flor más exportada por Colombia?

9 Página 9 de 86 INTERVALOS Y MARCAS DE CLASE Intervalo de Clase: Símbolo que encierra un conjunto de datos comprendidos entre dos valores extremos llamados límites. Para determinar los intervalos en una distribución de frecuencias se deben seguir los siguientes pasos: 1. Determinar el valor máximo y mínimo de los datos de la distribución.. Determinar el rango de la distribución, restando el valor mínimo del valor máximo. r x max x mín 3. Determinar la cantidad de intervalos que debe tener la tabla con la siguiente formula: m n 4. Determinar la amplitud de los intervalos con la formula: c r m Ejemplo: Tomemos como ejemplo una muestra de 0 alumnos a fin de conocer su peso en kilos, para facilitar el trabajo, redondeamos las cifras: X1 = 74 X4 = 70 X7 = 71 X10 = 85 X13 = 65 X16 = 58 X19 = 7 X = 67 X5 = 69 X8 = 79 X11 = 8 X14 = 88 X17 = 76 X0 = 66 X3 = 94 X6 = 61 X9 = 47 X1 = 55 X15 = 5 X18 = 57 Siguiendo los pasos anteriores tenemos: 1. X max = 94 X mín = 47. r m 0 4, , 4 4. c Construyamos la tabla de frecuencias y la clase modal, agrupando los datos así:

10 Página 10 de 86 Si observamos la columna de frecuencias el mayor valor es 7 el cual nos indica que hay 7 alumnos con un peso entre 65,8 y 75, kilogramos. Luego la Moda se encuentra en este intervalo el cual recibe el nombre de Intervalo Modal o Clase Modal. Límite de Clase: El Límite de Clase son aquellos valores extremos que toma un Intervalo. De acuerdo al ejemplo anterior podemos decir que los Límites de Clase del Intervalo Modal son: Límite Inferior: 65,8 Límite Superior: 75, Marca de clase: Se conoce también como punto medio y es el promedio entre los límites superior e inferior de los diferentes intervalos. Y Intervalo Y j-1 - Y j 47,6 56,4 1 F. Absoluta N i 51,7 Marca de clase Y i 47 56,4 51,7 56, ,1 65,8 75, 7 70,5 75, 84,6 4 79,9 84, ,3 Y 56,4 65,8 61,1 65,8 75, 75, 54,6 Y3 70,5 Y4 79, 9 Y 84, ,3

11 Página 11 de Elabora una tabla de frecuencias con intervalos. Determina el intervalo modal y su respectivo porcentaje 10, 0, 18, 17, 15, 16, 14, 1, 13, 1, 10, 16, 17, 15, 11 1, 13, 10, 1, 11, 13, 16, 11, 13, 1, 11, 15, 1, 13, 18 18, 13, 14, 19, 1, 13, 14, 13, 17, 14, 19, 14, 19, 16, 19 13, 14, 13, 15, 15, 0, 13, 15, 14, 13, 1, 13, 18, 14, 1. Los siguientes datos corresponden a notas de estadística de 48 estudiantes. Elabora una tabla de frecuencias con intervalos. Halla el Intervalo o clase modal, además construye un diagrama lineal. 6.7, 7.3, 8.7, 9.4, 9., 7.5, 8.1, 8.9, 9.9, 9., 10.0, , 9.4, 8.1, 9.0, 8.6, 8.0, 8.7, 7., 6.3, 7.1, 7.7, , 7.8, 6.4, 7.5, 6.6, 7.6, 7., 7.0, 7.9, 6.8, 6.9, , 7.5, 8.0, 9.3, 6.7, 6.9, 7.5, 8.3, 6.6, 10.0, 7.9, Las estaturas en centímetros de 60 alumnos de un determinado colegio son las siguientes: a. Agrupar los datos en una tabla de frecuencias, con 6 intervalos. b. Determinar el intervalo modal. c. Calcula la mediana y promedio de la información d. Realiza un análisis gráfico: Histograma y un diagrama lineal.

12 Página 1 de 86 Las medidas de tendencia central dan información respecto a la puntuación promedio en una distribución. Ahora se hace necesario el estudio y manejo de unas medidas que indiquen el comportamiento de los datos respecto a su promedio, es decir, unas medidas que precisen el grado de variabilidad de los datos las cuales son las medidas de dispersión. CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES: Cuando una distribución contiene un gran número de datos o de intervalos de clases, lasa medidas de tendencia central (Media, moda y mediana) se hacen insuficientes para dar una información exacta y concisa sobre los datos, es allí cuando se hace necesario tomar otro tipo de medidas que tomen los datos de manera sectorial o parcial con ese fin se utiliza las medidas de posición. a. Los Cuartiles: Son las medidas de posición, que dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales. Se representan por,, y se llaman primero, segundo y tercer cuartil respectivamente. Q Q Q 1 3 Si tenemos un conjunto de datos y lo representamos gráficamente: Q1 Q= Me Q3 Porcentaje 5% 50% 75% Valor

13 Página 13 de 86 La Mediana divide la colección en dos partes iguales, por consiguiente coincide con el cuartil Q Para calcular el valor de los cuartiles se emplean las siguientes fórmulas: Q 1 = 0.5 x n Q = 0.50 x n Q 3 = 0.75 x n Donde n es el número de observaciones ó de datos que se están estudiando. Ejemplo Cuartiles: la siguiente tabla muestra la información correspondiente al número de personas que viven por casa en 54 viviendas de una determinada localidad: Tabla de distribución de frecuencias del número de habitantes por vivienda. No de Pnas (Yj) F. Absoluta (nj) F. Acumulada (Nj) = Q1 9 5 = Q = Q Hallar: Q1, Q, y Q3, e interpretar cada dato Solución: Para hallar Q1, reemplazando la formula: Hallar: Q1, Q, y Q3, e interpretar cada dato Solución: Para hallar Q1, reemplazando la formula: Q 1 = 0.5 x 54 Q 1 = 0.5 X 54 = 13.5 (Posición). Nj 1(Ant) = 13 Nj(Sig) = Yj = 4 (Valor) Luego vamos a la tabla y en la frecuencia acumulada buscamos esa posición Como el valor mas cercano es 13, decimos que esta entre 13 y, esos dos valores reciben el nombre de Nj 1 y Nj respectivamente, luego buscamos a Yj que es el valor real de Q1 y lo encontramos en el mismo renglón donde esta Nj. Interpretación: Como Q 1 equivale al 5% de los datos, decimos: El 5% de las viviendas de un determinado Barrio tienen entre y 4 habitantes.

14 Página 14 de 86 Q = 0.50 x 54 Q = 0.50 x 54 = 7 (Posición). Nj 1(Ant) = Nj(Sig) = 3 Yj = 5 (Valor). Interpretación: Como Q equivale al 50% de los datos decimos: El 50% de las viviendas del Barrio la Pradera tienen entre y 5 habitantes. Q 3 = 0.75 x 54 Q 3 = 0.75 x 54 = 40.5 (Posición) Nj 1(Ant) = 40 Nj(Sig) = 49 Yj = 7 (Valor) Interpretación: Como Q 3 equivale al 75% de los datos decimos: El 75% de las viviendas de un determinado Barrio tienen entre y 7 habitantes. b. Los Deciles: Son las medidas de posición, que dividen el conjunto de datos en diez partes iguales. Se representan por D, D,..., 1 D.. 9 Si representamos los datos en una grafica: D1 D D3 D4 D5=Me D6 D7 D8 D9 (%) 10% 0% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% Valor El quinto decil (D 5 ) coincide con Q y también con la mediana Para calcular el valor de los deciles se emplean las siguientes fórmulas: Y así sucesivamente hasta llegar a D9 D1 = 0.1 x n D = 0. x n D3 = 0.3 x n c. Los Percentiles: Son las medidas de posición, que dividen el conjunto de datos en cien partes iguales. Se representan por,,...,. 1 P P P99 P1,P,.P5=Q1, P50=Me, P75=Q3, P98,P99 (%) 1% 5% 50% 75% 99% Valor

15 Página 15 de 86 El quincuagésimo percentil coincide con la mediana y con Q, de la misma forma P5 y P75 son iguales a Q1 y Q3 respectivamente. La formula para el cálculo de los percentiles, la fórmula es la siguiente: P1 = 0.01 x n P = 0.0 x n P3 = 0.03 x n Se llega hasta P9 = 0.09, a partir de P10 se toma como 0.10, 0.11, 0.1, hasta llegar a Ejemplo deciles y percentiles: La siguiente tabla muestra la edad de los alumnos de 6º a 11º de un colegio Tabla de distribución de frecuencias, de las edades de los estudiantes de un colegio Edad (Yj) F. Absoluta (nj) F. Acumulada(Nj) = D = P =D = P Hallar D, D 7, P 44, P 96, e interpretar cada dato. D = 0. x 397 = 0. X 397 = 79.4 (Posición). Nj 1(Ant) = 45 Nj (Sig) = 81 Yj = 11 (Valor) Interpretación: Como D equivale al 0% de los datos, decimos: El 0% de las edades de los alumnos esta entre 10 y 11 años D 7 = 0.7 x 397 = 0.7 X 397 = 77.9 (Posición). Nj 1(Ant) = 4 Nj (Sig) = 91 Yj = 15 (Valor) Interpretación: Como D 7 equivale al 70% de los datos, decimos: El 70% de las edades de los alumnos esta entre 10 y 15 años

16 Página 16 de 86 P 44 = 0.44 x 397 = 0.44 X 397 = (Posición). Nj 1(Ant) = 173 Nj (Sig) = 4 Yj = 14 (Valor) Interpretación: Como P 44 equivale al 44% de los datos, decimos: El 44% de las edades de los alumnos esta entre 10 y 14 años P 96 = 0.96 x 397 = 0.96 X397 = (Posición). Nj 1(Ant) = 353 Nj (Sig) = 386 Yj = 17 (Valor) Interpretación: Como P 96 equivale al 96% de los datos, decimos: El 96% de las edades de los alumnos esta entre 10 y 17 años RANGO INTERCUARTÍLICO E INTERDECÍLICO: Son una de las medidas de posición que miden la distancia existente entre los valores extremos de los cuartiles o los deciles y son: El Rango Intercuartílico y el Rango interdecílico. El Rango es la diferencia entre los valores mayor y menor de la distribución. Indica pues la longitud del tramo en el que se hallan los datos. El Rango Intercuartílico RQ es la diferencia superior Q 3 y el valor del cuartil inferior Q 1. Q Q 1 3. Entre el valor del cuartil El par de parámetros formados por la mediana (Me) y el recorrido intercuartílico, proporciona una buena información sobre la forma de la información. Q Q 3 1 El Rango Interdecílico RI es la diferencia ente D9 y D1. Entre el valor del decil superior D9 y el valor del cuartil inferior D1 Ejemplo: De acuerdo a la siguiente serie de datos D1 Q 1 50 Q 3 D9 Q Me RQ = 75 5 = 50 RI = = 80

17 Página 17 de 86 CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES EN VARIABLES CONTINUAS Ó CON INTERVALOS Cuando, las tablas de frecuencias están dadas por intervalos el calculo de los cuartiles, deciles y percentiles, se hace un poco mas complejo. Se resuelven con la siguiente formula: Qn, Dn, Pn = Yj-1 + C Qn, Dn, Pn Nj 1 nj, Donde: Qn, Dn, Pn = La posición del cuartil, decil o percentil que se desea calcular. Yj-1 = Limite inferior del intervalo. C = Rango del intervalo (Limite superior Limite inferior) Nj-1 =Frecuencia absoluta acumulada (Anterior) Nj = Frecuencia Absoluta Ejemplo: Se tiene la siguiente información acerca del número de elementos contaminantes del ambiente en 60 capitales del mundo: Tabla: Distribución de frecuencias acerca del número de elementos contaminantes del ambiente en 60 capitales del mundo Hallar: Q1, D6, P86 Q1=0.5x60 =15(Posición.), Nj=9, Nj-1=14, nj= 15, Yj-1=8.1 Y`j-1 Y`j nj Nj D6 = 0.60x60 = 36 (Posición.) Nj=37, Nj-1=9, nj= 8, Yj-1=13.1 P86 =0.86x60 = 51,6 (Posición.) Nj=60, Nj-1=50, nj= 10 Yj-1= 8.1 Si reemplazamos la formula tenemos: Q1 = = 8.33

18 Página 18 de 86 Interpretación: El 5% de las ciudades encuestadas tiene entre 3.1 y 8.33 elementos contaminantes en el ambiente. D6 = = Interpretación: El 60% de las ciudades encuestadas tiene entre 3.1 y elementos contaminantes en el ambiente. P86 = , = 8.84 Interpretación: El 86% de las ciudades encuestadas tiene entre 3.1 y 8.84 elementos contaminantes en el ambiente. Salario (Yj) interdecilico. F. Absoluta (nj) F. Acumulada (Nj) 1. Una multinacional arrojó la siguiente información acerca de los salarios de los 1350 empleados que tiene su sede en Colombia, expresados en el número salarios mínimos que devengan. a) Darle nombre a la tabla. b) Hallar: Q1, Q, Q3, D1, D6, D8, D9, P33, P86, P97. c) Interpretar cada dato teniendo en cuenta que el salario mínimo en el 01 se encontraba en $ d) Calcule el rango intercuartilico e

19 Página 19 de 86. La siguiente información corresponde al peso en Kilogramos de 45 ovejas que nacieron durante el año 007 en una granja. Y`j-1 Y`j nj Nj 5,750-6, ,000-6, ,50-6, ,500-6, ,750-7, ,000-7,50 5 7,50-7, ,500-7, ,750-8,000 7 a) Darle nombre a la tabla. b) Hallar: Q1, Q, Q3, D1, D, D9, P9, P41, P7, P94. c) Interpretar cada dato. d) Calcule el rango intercuartilico e interdecilico. e) Intervalo modal, porcentaje modal 3. La siguiente información corresponde a la estatura de soldados que se incorporaron a la policía para hacer carrera de oficiales en el año 010. a) Hallar: Q1, Q3, D1, P5 Q, D7, D9, P9 b) Interprete los resultados obtenidos c) Calcule el rango intercuartilico e interdecilico d) Realiza una ojiva suvizada Yj-1 Yj nj Nj 1,60-1, ,65-1, ,70-1, ,75-1, ,80-1, ,85-1, ,90-1, ,95-1,99 0,00 -,04 156,05 -,10 88

20 Página 0 de Completa el siguiente mentefacto y diagrama de Venn Euler MENTEFACTO CONCEPTUAL MEDIDAS DE POSICION DIAGRAMA DE VENN-EULER

21 Página 1 de 86 Medidas de dispersión para datos agrupados por intervalos DESEMPEÑO Calcular, y analiza medidas de dispersión en datos agrupados con intervalos en variables discretas y continuas en la solución de problemas prácticos. INDICADORES DE DESEMPEÑO Analiza e interpreta el concepto de dispersión Calcula las medidas de dispersión básicas en datos agrupados con intervalos Resuelve problemas prácticos utilizando los cálculos de dispersión

22 Página de 86 DISPERSION O VARIACION Variación o Dispersión estadística, es el grado en que los datos numéricos tienden a extenderse o recogerse con respecto a una medida de tendencia central (Media o mediana). Ejemplo: Supongamos las calificaciones en álgebra o inglés de un grupo de diez estudiantes: Álgebra: 95, 68, 56, 76, 7, 4, 66, 70, 8, 63 Inglés: 68, 65, 64, 60, 74, 7, 78, 64, 75, 70 La media de las dos asignaturas es la misma. X A 69 X 69 1 Rango u oscilación (r): Con el rango intercuartilico e interdecílico vimos que es la diferencia existente entre los valores extremos de los cuartiles y deciles. De la misma forma el rango u oscilación de un conjunto de datos es el resultado de restar el menor valor de la variable al mayor valor de la variable. Ejemplo: Para el caso de las notas de algebra e ingles tenemos lo siguiente: ra = 95 4 = 53 ri = = 18 Un análisis preliminar nos permite afirmar que las calificaciones de algebra se encuentran mucho mas dispersas que las de ingles, ya que su rango es mucho mayor Desviación: Es el resultado obtenido al restar cada uno de los valores de la variable con la media aritmética de los mismos. Veamos las desviaciones respecto a la media:

23 Página 3 de 86 Álgebra Inglés = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 Observamos que hubo una mayor variación el álgebra que en inglés ya que en éste las calificaciones se acercan más a la media, es decir, la media aritmética correspondiente a inglés es mas representativa de los datos que la media de algebra, es decir, cuando la desviación es mínima decimos que los datos son homogéneos, delo contrario son heterogéneos. ESTUDIO DE LAS MEDIDAS DE DISPERSION 1. Desviación Media (Dm): También llamada Desviación Absoluta o Promedio de Desviación. Es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones la distribución con respecto a la media aritmética. En datos no agrupados, la formula de la Dm es: Dm x x x x... 1 n X X i x xn xi i1, de cada elemento X i, de n n x Ejemplo 1: En el ejercicio de las notas, la Desviación Media para las calificaciones de Álgebra es: Dm

24 Página 4 de 86 La Desviación Media para las calificaciones de inglés es: Dm 4, Ejemplo : En la distribución: 4, 6, 6, 7, 9, 11, 13 Cuya Media es: X = = 56/7 = 8 Entonces, la Desviación Media es: Dm Dm 7 18 Dm Dm Dm en datos agrupados Si los datos X i están agrupados con sus respectivas frecuencias, dentro de una tabla, la desviación media será: DM n i1 f Ejemplo 1: Calcular la Desviación media (Dm) de las puntuaciones dadas en la siguiente distribución: i n i1 X f i i X Xi f i En primera instancia debe calcularse la media aritmética; para ello, se ubican los Datos de la siguiente manera:

25 Página 5 de 86 X i i X X i X X i X X i i ,7 4,7 8, ,7 3,7 11, ,7,7 10, ,7 1, ,7 0,7,1 13 6,3,3 4, ,3 3,3 16, ,3 5,3 10, ,3 7,3 14, ,3 9,3 9,3 Total XXXXXX XXXXXX 111, X = 111, 10, 7 Dm 3, Para datos agrupados por intervalos se calcula la desviación media por el mismo procedimiento anterior, considerando; como la marca de clase Xi (Punto Medio) y fi como la frecuencia absoluta correspondiente. Ejemplo: Xi f i f La siguiente distribución muestra la mortalidad por edades, ocurrida en la región Z, durante los últimos cinco años. f Tabla de distribución de la mortalidad por edades en la región Z durante los últimos 5 años Edades (Xi) Mortalidad (fi) Total 50

26 Página 6 de 86 Para hallar la desviación media se organizan los datos de la siguiente manera: 8909,0 95,8 X 35,6 Dm 11, Desviación típica o estándar (S): Es la medida de dispersión más significativa; de ahí que sea la más conocida y la más utilizada. Permite la comparación de dos o más distribuciones, determinando su grado de variabilidad absoluta. La desviación típica de una serie de datos: X X X X,,,..., Se calcula mediante la fórmula: 1 3 n S 1 n i X i n X Es decir, la desviación típica es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto a su media. La desviación típica es sensible, por tanto, a los valores extremos de las Puntuaciones. Ejemplo 1: La desviación típica o estándar de los números: 1, 4, 5, 4,, 6, 7, 3, es: (Edad) X i f i X f Intervalo X * X i i X i X X X i X i 1-8 4,5 1 54,0-31,1 31,1 373, ,5 0 50,0-3,1 3,1 46, , ,0-15,1 15,1 11, , ,0-7,1 7,1 411, , ,5 0,9 0,9 67, , ,5 8,9 8,9 186, , ,0 16,9 16,9 405, , ,0 4,9 4,9 149, , ,0 3,9 3,9 658,0 Total xxxx ,0 xxxxxxx xxxxxxxx 95,8 f i

27 Página 7 de 86 S (1 4) (4 4) S ( 3) (5 4) (0) (1) (4 4) (0) ( 4) 8 ( ) 8 (6 4) () (3) (7 4) ( 1) (3 4) S S Si las puntuaciones se presentan con sus respectivas frecuencias dentro de una tabla, la desviación típica está dada por la siguiente formula: S n i1 f i X n i1 i f X i Ejemplo : Los siguientes datos corresponden al número de personas que viven en 43 casas del barrio La Pradera. X f i i X f i * X i X i X i X 3 6-1,9 3,61 10, ,9 0,81 1, ,1 0,01 0, ,1 1,1, ,1 4,41 4, ,1 9,61 9,61 Totales ,91 f i X i X 43 8,91 X 3,9 S,63 1,

28 Página 8 de 86 Ejemplo 3: Calculemos la desviación típica para la siguiente tabla: X f i i X f X i X i X f X * X i i i X i ,7 13,69 41, ,7,09 13, ,7 7,9 9, ,7,89 5, ,7 0,49 1, ,3 5,9 10, ,3 10,89 54, ,3 8,09 56, ,3 53,9 106, ,3 86,49 86,49 Total XXXXX XXXXXX 54, ,30 X 10,7 S 17,47 4, 18 En la misma forma anterior se calcula la desviación típica para datos agrupados por intervalos, siendo X la i marca de clase ó punto medio. A continuación se aplica el procedimiento para calcular la desviación típica en la distribución de frecuencias, cuando los datos están agrupados con intervalos. X f i i X f X i X i X Edades * X i i f i X i 1-8 4,5 1 54,0-31,1 967, ,5 X ,5 0 50,0-3,1 533, , , ,0-15,1 8,01 319, , ,0-7,1 50,41 93, , ,5 0,9 0,81 60, , ,0 8,9 79,1 1663, , ,0 16,9 85, , , ,0 4,9 60,01 370, , ,0 3,9 108, ,0 Totales XXX ,5 XXXXX XXXXXX 6341,70

29 Página 9 de 86 X 8908, ,6 S 6341, ,4 15,8 3. La Varianza (S ) También llamada Dispersión Cuadrática de los datos. La Varianza de una colección de datos se define como el cuadrado de la desviación típica, es decir, es la media de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media aritmética. Presenta el inconveniente de expresar el grado de variabilidad en unidades cuadradas, lo cual pierde significado para muchas medidas. Mientras mayor es la dispersión de las observaciones, mayor es la magnitud de sus desviaciones respecto a la media y, por consiguiente, más alto el valor numérico de la varianza. Ejemplo: Si retomamos el Ejemplo 1 de la Pág. 19, para calcular la Varianza, tenemos: La S (desviación estándar) de los números: 1, 4, 5, 4,, 6, 7, 3, es 1,87 Su varianza será: S 1.87 S 3, 5 En toda distribución o colección de datos, la Varianza es mayor que la Desviación típica o estándar y ésta, a su vez, mayor que la Desviación media: S S Dm

30 Página 30 de Coeficiente de Variación o dispersión (Cv): La dispersión se dice absoluta o variación real cuando se determina por algunas de las medidas ya estudiadas. Si al realizar una medición de 15 Km. Encontramos una dispersión de 150 m, Podemos apreciar el diferente efecto que producen las dos dispersiones. Se hace entonces necesario utilizar una medida que determina este tipo de efecto sobre las mediciones. Esta medida es la Dispersión Relativa. Se define la Dispersión Relativa como el cociente entre la Dispersión Absoluta y un Promedio. Si se toma como desviación absoluta la desviación típica y como promedio la media aritmética, la dispersión relativa correspondiente recibe el nombre de Coeficiente de Dispersión. Generalmente se expresa en términos porcentuales. Coeficiente de Dispersión = Cd S X Este coeficiente deja de ser útil cuando la media está próxima a cero. Esta medida de variabilidad nos permite comparar la dispersión en varias distribuciones aún cuando tengan diferentes unidades, ya que es un número adimensional. Ejemplo: Para la distribución correspondiente a la tabla de la Págs.33, el coeficiente de dispersión es: Cd x100% 44.38%

31 Página 31 de Un grupo de estudiantes realiza mediciones del perímetro de una circunferencia de 10cm de radio, así: 6,8 63,0 6,9 6,7 6,9 63, 63,0 6,8 6,9 63,0 cm. a. Calcular la media de estas mediciones. b. Calcular la desviación media, la desviación típica y la varianza para esta serie de datos.. Determinar el rango, la desviación media, la desviación estándar, la varianza y el coeficiente de variación para la siguiente serie de datos: a. 5, 8, 8, 3, 4, 9, 5, 3, 3, 9, 9, 10, 1, 5, 9, 6, 10, 11, 18, 15, 13, 5, 7, 9 b , c Con las siguientes tablas de frecuencias hallar: Dm, S, S, Cd a) Fi INTERVALO Xi Fi b) c) Xi Fi

32 Página 3 de Completar las siguientes expresiones: a. La es el promedio de las desviaciones de las puntuaciones a partir de su media, elevadas al cuadrado. b. La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la c. La media es una medida de. La desviación típica es una medida de. d. X X i representa la suma de los de las respecto a la media. e. La es la media de los de las desviaciones de los datos con respecto a la media. f. La desviación típica es la de la varianza. g. El deja de ser útil cuando la media tiende a cero. h. La desviación media se calcula mediante la fórmula 6. La siguiente tabla muestra las calificaciones obtenidas en Historia por 100 estudiantes: Calificaciones Fi Total 100 Calcular: a. Desviación Media b. Desviación Típica c. Varianza d. Coeficiente de Dispersión

33 Página 33 de 86 Soluciona el siguiente taller aplicando lo visto en clase. 1. Dadas las series estadísticas: 3, 5,, 7, 6, 4, 9. 3, 5,, 7, 6, 4, 9, 1. Calcular: La moda, la mediana y la media. La desviación media, la varianza y la desviación típica. Los cuartiles 1º y 3º. Los deciles º y 7º. Los percentiles 3 y 85.. Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla: [10, 15) [15, 0) [0, 5) [5, 30) [30, 35) f i Hallar:

34 Página 34 de 86 La moda, mediana y media. El rango, desviación media y varianza. Los cuartiles 1º y 3º. Los deciles 3º y 6º. Los percentiles 30 y Dada la distribución estadística: [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 0) [0, 5) [5, ) f i Calcular: La mediana y moda. Cuartil º y 3º. Media.

35 Página 35 de Completar el siguiente mentefacto conceptual y diagrama de Venn - Euler MENTEFACTO CONCEPTUAL Medidas de dispersión DIAGRAMA DE VENN-EULER

36 Página 36 de 86 Anotar V o F según sean verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a. El rango es una medida de dispersión confiable. ( ) b. La varianza es una medida de tendencia central. ( ) c. Dm S S ( ) d. Las medidas de tendencia central son necesarias y suficientes para un correcto análisis de los datos. ( ) e. La medida de dispersión más significativa es el rango. ( ) f. El rango de un conjunto de observaciones es la diferencia entre la mayor y la menor. ( ) g. La formula de la S es S n i f X i i 1 ( ) n i1 X f i h. La medida de dispersión que mejor representa los datos es la Varianza ( ) i. La Desviación Media es el promedio de las desviaciones de los datos con respecto a la media ( ) j. La desviación típica es la medida de variabilidad que permite comparar la dispersión en varias distribuciones aún cuando tengan diferentes unidades. ( )

37 Página 37 de 86 DISPERSIÓN: ESTADIGRAFO DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN TIPICA: DESVIACION MEDIA: VARIANZA: COEFICIENTE DE VARIACIÓN: COEFICIENTE DE DISPERSIÓN:

38 Página 38 de 86 DESEMPEÑO Interpretar sucesos probabilísticos y los aplica en la solución de problemas cotidianos. INDICADORES DE DESEMPEÑO Expresa el concepto de probabilidad Resuelve problemas aplicando sucesos probabilísticos Aplica las reglas de la probabilidad a la solución de problemas.

39 SUCESOS PROBABILISTICOS Página 39 de 86 SUCESOS DEPÈNDIENTES E INDEPENDIENTES En el grado noveno, se vieron las reglas de la probabilidad, como operaciones útiles para calcular probabilidades de diferentes sucesos, teniendo en cuenta el entorno y las circunstancias como estos se presentan. Debemos recordar que las reglas de la probabilidad vistas fueron: a. Regla de la adición. b. Regla de la multiplicación. c. Regla del exponente. d. Regla del complemento Ahora nos centraremos en recordar y estudiar la regla tal vez más significativa e importante de todas, la regla de la multiplicación, con el objetivo de prepararnos para lo que veremos en la unidad III denominada como DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN Como su nombre lo indica, se basa en la operación de la multiplicación y determina la probabilidad de dos o más sucesos, teniendo en cuenta la forma como estos se presentan. Recordemos que la regla de la multiplicación contempla dos tipos de sucesos:

40 Página 40 de 86 Sucesos independientes Podemos decir que dos o más sucesos son independientes, si la probabilidad de presentación de alguno de ellos no queda influenciada por la presentación del otro. Es decir, si el resultado de un suceso no afecta al otro estamos hablando de sucesos independientes. En caso contrario se dice que son dependientes. Por lo tanto se efectuará la multiplicación de las probabilidades para cada suceso. Si P P P,,..., son las distintas probabilidades de presentación de n sucesos 1 n Independientes, la probabilidad (P) de que ocurran todos estos sucesos en un solo ensayo, estará dada por el producto de cada suceso. P = P P P P n Ejemplo1: Qué probabilidad tendremos de obtener dos reyes sacando una carta de una baraja española y la otra de una segunda baraja de póker? P = = 0.761% Ejemplo : Al lanzar dos dados cual la probabilidad de obtener dos seis? 1 P ,07,7% Ejemplo 3: Al lanzar 3 monedas, cual es la probabilidad de obtener 3 sellos? P ,15 1,5% 8 Sucesos Dependientes:

41 Página 41 de 86 Se dice que los sucesos son dependientes o eventos compuestos, si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta la probabilidad de otros eventos en otras pruebas, es decir que la probabilidad del segundo suceso depende del primer suceso, en el tercero lo que haya sucedido en el primero y segundo y así sucesivamente. Si se van a sacar tres cartas de una baraja, se debe hacer sin reposición, es decir al extraer una carta, ella no vuelve a formar parte del total y en vez de tener en cuenta 40 cartas, para la segunda se tendrán 39. Recordemos, que dos o más eventos son dependientes, cuando la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia de los otros, en un orden determinado. En caso contrario los sucesos son independientes. La fórmula general será: P P P P... 1 Ejemplo 1: Probabilidad de obtener 3 ases, sacando sucesivamente tres cartas de una baraja española, sin volverlas a incluir (sin reposición) en el montón. 3 P n 4 P, 1 40 P P ; % P 3 38 Ejemplo : En la sede de la asociación de deportistas se encuentran reunidos 6 futbolistas, 3 beisbolistas, 4 tenistas 7 atletas, y 5 golfistas. Si al iniciar la sesión solo había deportistas. Cual es la probabilidad de que los que se fueron sean: a. 1 beisbolista y 1 futbolista y 1 tenista? b. atletas y un golfista?

42 Página 4 de 86 a. 3 5 PB ; 6 4 PF ; PT 4 3 P % b. 7 5 PA ; 6 4 PA ; PT 5 3 P % ACTIVIDAD 5

43 Página 43 de Supongamos que se dispone de tres barajas de póker de 5 cartas cada una. Se desea extraer tres cartas, una de cada baraja; Cuál es la probabilidad de obtener un As y una J de tréboles y un seis?. Una máquina en buenas condiciones de trabajo, produce un artículo defectuoso por cada 150. Los resultados correspondientes a artículos producidos sucesivamente son independientes. Cuál es la probabilidad para que los próximos dos artículos producidos por esta máquina no tengan fallas? 3. La probabilidad de obtener un As y un Rey de espadas y un Diez de oros, sacando sucesivamente tres cartas, sin reposición, de una baraja de 40 cartas. 4. De una baraja de Póker de 5 cartas se desea extraer tres cartas en forma sucesiva sin reposición, es decir, la carta que se extrae no se regresa a la baraja; cuál es la probabilidad de que en la primera extracción aparezca un As de Picas y en la segunda una Q y en la tercera un cinco de diamantes? 5. En uno de los salones de clase se encuentran reunidos los representantes estudiantiles al consejo estudiantil conformado así, estudiantes de sexto, 5 de séptimo, 5 octavo, 7 de noveno, 4 de décimo y 3 de once, si al iniciar la sesión solo había 3 estudiantes; cual es la probabilidad de que los que hayan salido sean: a. 1 estudiante de sexto y 1 de octavo y 1 de décimo? b. 1 estudiante de séptimo y 1 de noveno y 1 de once? c. estudiantes de séptimo y 1 de décimo? d. estudiantes de sexto y 1 de noveno? e. 3 estudiantes de octavo? 6 En una urna hay unas balotas numeradas desde el 00 hasta el 45. Cuál es la probabilidad de sacar las cinco primeras balotas, teniendo en cuenta que las balotas no se pueden reponer en la urna?

44 Página 44 de 86 UNION E INTERSECCION DE SUCESOS Dos eventos A y B definidos en un espacio muestral S son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo en el experimento. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de la ocurrencia de A o B es igual a la suma de las probabilidades individuales. Es decir, PA B PA PB Si los eventos no son mutuamente excluyentes, la regla de la suma tiene que modificarse con el fin de tener en cuenta el hecho de que A y B pueden ocurrir al mismo tiempo. Si A y B son un par de eventos cualesquiera, entonces: P( A B) P A PB PA B P A B Representa la probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente. Ejemplo 1: Supongamos que hay un grupo de 500 profesionales recién graduados, de los cuales 175 se especializaron en Educación Física, 150 en Comercio Exterior, 100 en una Ingeniería y 75 en Ciencias de la Salud. Supongamos también que se elige al azar una persona de este grupo. Cuál es la probabilidad de que la persona elegida se haya especializado en Educación Física o en Comercio Exterior?

45 Página 45 de 86 Si A representa el evento de que la persona elegida se ha especializado en 175 Educación Física, entonces P A, y si B representa el evento de que la persona elegida se haya especializado en comercio exterior, entonces P B. 500 Si podemos suponer que ninguno de los profesionales se especializó en mas de una materia (los eventos son mutuamente excluyentes), podemos emplear la siguiente regla para hallar la probabilidad de que la persona elegida se haya especializado en Educación Física o en Comercio Exterior (este evento se simboliza como ( A B ): P A B P( A) P( B) 0, 650 ó 65% Por lo tanto existe un 65% de posibilidad de que la persona elegida se haya especializado en Educación física o en comercio exterior

46 Página 46 de Dados los eventos mutuamente excluyentes A y B con P(A) = 0,8 y P(B)=0,54, averigua cuál es el valor de P( A B ).. Dados los eventos A y B con probabilidades P(A) =0,4 P(B) = 0,5 y P( A B ) = 0,1, halla P( A B ). 3. La probabilidad de que a un paciente que va al odontólogo se le realice una exodóncia es 0,06, la probabilidad de que se haga calzar una pieza dental es 0,3 y la de que se le extraiga un diente y se le calce otro es de 0,0. 4. Cuál es la probabilidad de que un paciente que va al odontólogo se haga extraer un diente o calzar otro, o bien ambas cosas? 5. Completar el siguiente cuadro de probabilidades: P(A) P(B) P( A B) P( A B) 1/ 1/3 1/5 3/10 7/10 1/8 1/4 1/ 1/5 1/ 3/4 /3 3/10 /10 7/10

47 Página 47 de 86 PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad condicional consiste en calcular la probabilidad de suceso, el cual debe cumplir con ciertas condiciones para que pueda suceder u ocurrir. se debe aplicar la siguiente formula: Para determinar la probabilidad condicional P B / A P ( AB) P B Ejemplo 1: Se encuentra en una facultad que del 80% de los alumnos matriculados, el 70% son mujeres y el 18% son mujeres estudiantes de economía. Si elegimos un estudiante al azar y resulta que es mujer, Cuál es la probabilidad de que este estudiando economía? Primero extraigamos los datos necesarios para la formula: P (B/A) = 70% = 0.7 P (A B) = 18% = 0.18 Luego remplazamos la formula así: P B/ A 0.571*100% 5.71% Hay un 5.71% de probabilidades de que la mujer seleccionada esté estudiando economía. Ejemplo : Para una investigación económica se encontró que el 10% de los conductores de taxi son hombres profesionales. También se sabe que el 80% de los conductores son hombres. Cual es la probabilidad, al tomar un taxi su conductor sea un

48 Página 48 de 86 hombre y además sea profesional. Extraigamos los datos necesarios para la formula: P (B/A) = 80% = 0.8 P (A B) = 10% = 0.10 Luego reemplazamos la formula así: P B/ A 0.15*100% 1.5% Hay un 1.5% de probabilidades de que al tomar un taxi su conductor sea hombre y además profesional. SOLUCIONA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS 1. Se arroja una moneda equilibrada (normal), si sale cara se elige al azar un número del 1 al 10, si sale ceca se elige al azar un numero entero del 6 al 10. cuál es la probabilidad que el número elegido sea par?. Una oficina tiene 100 máquinas calculadoras. Algunas de estas son eléctricas, mientras que otras son manuales. Además algunas son nuevas mientras que otras son usadas. Una persona entra a la oficina, toma una máquina al azar, y descubre que s nueva... cuál es la probabilidad de que sea eléctrica? E M N U Tomamos las tres cajas siguientes: Caja1: contiene: 10 lámparas de las cuales son defectuosas Caja: contiene 6 lámparas de las cuales 1 es defectuosa Caja3: contiene 8 lámparas de las cuales 3 son defectuosas.

49 Página 49 de 86 Tomamos al azar una caja y luego sacamos al azahar una lámpara, cuál es la probabilidad de que la lámpara sea defectuosa? 4. En una cierta facultad 5% de los estudiantes perdieron matemática. El 15% perdieron química y el 10 %perdieron las dos. Se selecciona un estudiante al azar: a. si perdió química, qué probabilidad hay que también haya perdido matemática? b. Si perdió matemática, cual es la probabilidad que haya perdido química? c. cuál es la probabilidad que haya perdido matemática o química? 5. de un grupo de cinco mujeres y 4 hombres, se seleccionan sucesivamente y al azar 3 personas. Calcular la probabilidad de elegir: a. por lo menos mujeres. b. mujeres y 1 hombre 6. En cierta facultad el 5% de los alumnos cursan matemática, el 15% cursan física, el 10% cursan ambas. Si seleccionamos un estudiante al azar, cuál es la probabilidad que: a. Curse matemática si cursa física. b. Curse física dado que cursa matemática. 7. De acuerdo a una investigación realizada en una determinada ciudad acerca d e mujeres mayores de 0 años se ha comprobado que entre otras cosas el 68% están casadas, de estas el 40 % trabaja fuera del hogar. De las que no están casadas, el 7 % trabajan fuera del hogar: a. Que porcentaje de mujeres mayores de 0 años trabaja fuera del hogar. b. Si se selecciona al azar una mujer mayor de 0 años, cuál es la probabilidad de que no está casada ni trabaje fuera?

50 Página 50 de Completa el siguiente mentefacto y diagrama de Venn Euler. PROBABILIDAD CONDICIONAL DIAGRAMA DE VENN-EULER

51 Página 51 de 86 PROBABILIDAD: SUCESO INDEPENDIANTE: SUCESO DEPENDIENTE: SUCESOS EXCLUYENTES: SUCESOS COMPLEMENTARIOS: INTERSECCION DE SUCESOS: PROBABILIDAD CONDICIONAL:

52 Página 5 de 86 Distribuciones probabilísticas y elementos básicos de un muestro DESEMPEÑO Determinar probabilidades y aplicarlas para la solución de problemas probabilísticos usando las distribuciones (Binomial y de Poisson) e Interpretar el muestreo como un proceso estadístico importante para la sociedad, en diferentes ramas del conocimiento. INDICADORES DE DESEMPEÑO Interpreta las distribuciones binomio y Poisson a través de la solución de problemas y la determinación de probabilidades de uno o varios sucesos. Construye e interpreta tablas de números aleatorios para la selección de elementos muéstrales por sorteo y por intervalos regulares. Interpreta el muestreo con y sin reemplazamiento, aplicando para ello ejemplos cotidianos o de carácter empresarial.

53 Página 53 de 86 Las nociones elementales de probabilidad que se vieron durante el grado noveno, son de gran importancia para lo que veremos en esta Unidad, especialmente en la elección de un modelo que permita la descripción del comportamiento de los datos. El termino modelo, considerado en el sentido probabilístico corresponde a una expresión empleada para estudiar los resultados de un experimento. En un sentido mucho más amplio se considera de gran importancia en el proceso de predecir el comportamiento en futuras repeticiones de dicho experimento. Veamos ahora algunas definiciones de términos que se deben entender y manejar: Probabilidad: Es el grado de incertidumbre o creencia de que un suceso o evento pueda ocurrir. Distribución de Probabilidad: Son todos los posibles valores que resulta de un experimento aleatorio, junto con la probabilidad asociada a cada valor. Variable aleatoria: Corresponde a una caracterización cualitativa de los resultados que constituyen el espacio muestral. Cada cantidad o valor es el resultado de un experimento aleatorio y, como tal puede tomar distintos valores. Variable aleatoria discreta: Se considera así cuando los valores que asume se pueden contar, y si estos pueden organizare en una secuencia al igual que los números enteros positivos. Solo puede asumir un número finito de valores. Variable aleatoria continua: Se da cuando puede sumir cualquier valor dentro de un intervalo o en una unión de intervalos. Como ejemplo se podría considerar cualquier resultado de medición del ancho, longitud de una cosa, así como el tiempo en la realización de una tarea, en estos

54 Página 54 de 86 casos las variables admiten fracciones y se pueden escribir con números decimales. Dentro de los modelos de probabilidad correspondiente a variables aleatoria discretas con mayor aplicación se tienen: Bernoulli, Binomial, Exponencial, Multinomial, Hipergeométrica, y en cuanto a variable aleatoria continua se considera el modelo distribución normal Algunos la denominan como método exacto y, corresponde a una distribución de variable aleatoria discreta. Pero antes de comenzar a explicar en qué consiste, cómo se calcula y en qué casos se debe aplicar, vale la pena recordar algunos conocimientos, que nos puedan ser útiles en la distribución binomial: el Triángulo de Pascal. Para obtener los coeficientes con más facilidad, podemos valernos de la relación de Pascal llamada también Triángulo de Pascal, con el cual se pueden calcular los sucesivos coeficientes de los términos, al desarrollar cierta potencia de un binomio

55 Página 55 de 86 Comprobamos que los coeficientes del desarrollo binomial corresponden al calculo de la combinación de n elementos tomados de r ene r. 5 Ejemplo 1: = 5 5! 5x4x3! C = 10!3! (x1) x3! También podemos observar una propiedad de las combinaciones, donde: n n =. = = 10 10! 10x9x8x7x6! 5040 C 4 = = = 10 x n x 4 6 4!6! (4x3xx1) x6! 4 Ejemplo : En el triángulo anterior podemos hacer algunas comprobaciones, tales como: = = 4; = = 1; = = Consideremos como éxito la aparición de Cara (C) y como fracaso la aparición de Sello (S). Supondremos que las probabilidades de C y S son p y q respectivamente, siendo p + q = 1. Así tenemos que P (c) = p y P (s) = q. Por otra parte, se debe considerar que C y S se presentan independientemente (Sucesos independientes); por tal razón, la probabilidad de que ocurran esto sucesos en un solo ensayo se obtiene multiplicando las probabilidades para cada suceso. Supongamos que en el lanzamiento de 4 monedas se quiera obtener éxito (Cara) en la primer y tercera moneda y fracaso (Sello) en la segunda y en la cuarta; se tendrá que: P (cscs) = P (c) x P (s) x P (c) x P (s) = p x q x p x q = p x q En el ejemplo del lanzamiento de una moneda, las probabilidades de obtener cara y sello son: 1 1 p 0.5 y q 0. 5; ahora consideremos a n = 4 y desarrollemos el binomio: ( p q) p 4p q 6p q 4pq q Ahora si reemplazamos a p y q por le valor respectivo de 1, se tiene que:

56 Página 56 de x 100% 100% De acuerdo a lo anterior encontramos que si durante repetidos ensayos, siendo p la probabilidad de éxito en un solo ensayo, la cual debe permanecer fija, y q la probabilidad de fracaso, entonces la probabilidad P de que se obtengan x éxitos n en n ensayos, es el termino del desarrollo binomial de ( p q). La fórmula será: P ( X ) n p x De esta manera los criterios que debe satisfacer una experiencia binomial son: x q nx a) Debe existir un número fijo de pruebas o ensayos repetidos (n). b) Cada una de las n pruebas debe tener dos resultados, favorable o desfavorable. En el caso de la moneda por ejemplo será cara o sello. c) La probabilidad de éxito de un suceso o evento es fijo, nunca cambia. d) Las pruebas son independientes. e) Nos interesa el número de éxitos en n pruebas. Ejemplo 1: Al lanzar 4 monedas independientemente, se quiere determinar la probabilidad de obtener exactamente dos caras. Debemos primero identificar los datos que tenemos y lo que queremos calcular: n = 4 p = ½ q= ½ x =

57 Página 57 de 86 Luego remplazamos la formula de la distribución binomial: 4 n P( X ) C * x ( ) 6* 0.375x100% 37.5% P X Ejemplo : En un colegio de la ciudad, la probabilidad de que un estudiante gane el año es del 80% (0.8). Si consideramos 8 estudiantes. Cual es la probabilidad de que: 1 1 a) dos ganen? n = 8 p = 0.8 (ganar) q = 0. (Perder) x = P(X=)=? 8 8 P( X ) C *(0.8) (0.) 6 P ( X ) 8*(0.8) (0.) (8)(0.64)( ) b) Por lo menos dos pierdan? P( X ) x100% % n = 8 p = 0. (perder) q = 0.8 (ganar) x = mínimo =, 3,4, 5, 6, 7, y 8 P(X )=?

58 P ( X ) P () P (3) P (4) P (5) P (6) P (7) P (8) 1 P (0) P (1) Página 58 de C (0.) (0.8) C (0.) P( X ) (0.8) P ( X ) 1 (1)(1)(0.1678) (8)(0.)(0.097) % P ( X ) 1

59 Página 59 de En el caso del dado, se quiere la probabilidad de obtener exactamente cincos en 4 lanzamientos.. Se lanza 6 veces una moneda. Encontrar la probabilidad de obtener: a.) Exactamente 4 caras b.) Exactamente sellos 3. En una universidad, la probabilidad de que un alumno sea aceptado es del 75% (0.75). Si consideramos una muestra de10 alumnos, Cuál es la probabilidad de que: a. Tres sean aceptados? b. Cuatro no sean aceptados? c. Ninguno sea aceptado? 5. Se sabe que en la producción de un artículo, uno de cada 10 resulta defectuoso Cual es la probabilidad de que una muestra de 4 artículos contenga: a) Ninguno defectuoso? b) Exactamente dos defectuosos? 6. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela personas Y cómo máximo?

60 Página 60 de Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es /3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: a. Las cinco personas. b. Al menos tres personas. c. Exactamente dos personas.

61 Página 61 de 86 Simeón Denis Poisson ( ), fue un físico y matemático francés al que se le conoce por sus diferentes trabajos en el campo de la electricidad, también hizo publicaciones sobre la geometría diferencial y la teoría de probabilidades. La primera memoria de Poisson sobre la electricidad fue en 181, en que intentó calcular matemáticamente la distribución de las cargas eléctricas sobre la superficie de los conductores, y en 184, también demostró que estas mismas formulaciones podían aplicarse de igual forma al magnetismo. El trabajo más importante de Poisson fue una serie de escritos de las integrales definidas, y cuando tan solo tenía 18 años, escribió una memoria de diferencias finitas. Poisson enseñaba en la escuela Politécnica desde el año 180 hasta 1808, en que llegó a ser un astrónomo del Bureau des Longitudes. En el campo de la astronomía estuvo fundamentalmente interesado en el movimiento de la Luna. En 1809 fue nominado como profesor de matemáticas puras en la nuevamente abierta facultad de ciencias. En 1837 publicó en Rerecherchés sur la probabilite des jugements, un trabajo importante en la probabilidad, en el cual describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de intentos es muy grande, entonces el evento ocurre algunas veces. Durante toda su vida publicó entre 300 y 400 trabajos matemáticos incluyendo aplicaciones a la electricidad, el magnetismo y la astronomía. En una distribución binomial cuando n es grande, por lo general mayor de cincuenta; y p, la probabilidad de éxito de un suceso, se acerca a cero, mientras

62 Página 6 de 86 que q la probabilidad de fracaso, se aproxima a 1 de tal manera que el producto de np, llamado lambda > 5, en ambos casos, se puede aplicar esta distribución. Su formula es: P (x) = x e - Siendo e=,7188 (Constante) x! = np x = número de casos favorables Generalmente se dice que la distribución de Poisson tiene su mayor aplicación, cuando en el experimento que se realiza ocurren sucesos llamados raros, los cuales se identifican con una probabilidad de éxito sumamente pequeña (p) y el número de observaciones (n) grande; pero la verdad es que esta distribución se aplica a una variedad de situaciones diferentes, como las ocurrencias respecto a un campo continuo, como área o tiempo. Algunos de estos eventos aleatorios ocurren en forma independiente a una velocidad dentro de un campo o intervalo, generalmente de tiempo o espacio. Son ejemplos para aplicación de la distribución de Poisson: el número de personas que llegan a un almacén, banco o aeropuerto en un tiempo determinado; el número de llamadas telefónicas por minuto; el número de defectos en piezas similares en el material, ya sea por centímetro cuadrado o centímetro lineal; número de bacteria en un cultivo; insectos por kilómetro cuadrado; el número de fallas de una maquina durante una hora o un día; el número de accidentes por día; el número de reclamaciones o solicitudes a una compañía de seguros en un determinado periodo, etc. Como se puede observar, se trata de hallar la probabilidad de ocurrencia de cualquier número de éxitos (X) por unidad de medición (minuto, hora, día, centímetro, metro, etc.) y en estos problemas que se presentan para su solución dan el valor del parámetro lambda, o sea, el promedio o razón de ocurrencia del evento aleatorio por unidad de tiempo o espacio y el número de éxitos.

63 Página 63 de 86 Ejemplo 1: Si el 1% de las bombillas fabricadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad de que, en una muestra de 100 bombillas, 3 sean defectuosas. n = 100 x = 3 P (x=3) = 1 3 e -1 = 1( ) = = 6.13% e = ! 3xx1 p = 0.01 = 100(0.01) = 1 Ejemplo : Si la probabilidad de que una persona adquiera una enfermedad como consecuencia de una vacuna contra la misma es de 0.000, cual es la probabilidad de que la adquieran exactamente 5 personas en una población de vacunados? n = x = 5 P (x=5) = 5 e - = 3( ) = = 3.61% e = ! 5x4x3xx1 p = = (0.000) = 1. Un 10% de los utensilios producidos en un cierto proceso de fabricación resulta ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que una muestra de diez utensilios, seleccionados al azar sean exactamente defectuosos, mediante: a.) Distribución Binomial b.) Distribución de Poisson. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinado suero es 0,001. Determinar la probabilidad de que, de un total de.000 individuos: a.) exactamente 3 tengan la reacción b.) más de individuos tengan reacción.

64 Página 64 de 86 3.) Si el 3% de las calculadoras fabricadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad de que en una muestra de 100 calculadoras salgan. a) 0 defectuosas, b) 1 defectuosa, c) defectuosas, 4.) Con el problema anterior, hallar la probabilidad de: a) más de 5 sean defectuosas, b) entre 1 y 3 sean defectuosas, c) calculadoras o menos sean defectuosas. 1. El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehículo industrial tiene una distribución de Poisson con media 0.3 por cada kilómetros. Si el vehículo recorre km, se pide: a) Probabilidad de que no haya tenido pinchazos. b) Probabilidad de que tenga menos de 3 pinchazos c) Número de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga ningún pinchazo sea Sea el caso de una droga X, con una dosis mortal de 1g/100 ml para cobayos experimentales, en el 5% de los casos. Aplicando esta dosis a cien cobayos se desea saber cuanto vale la probabilidad de que a. Cual es la probabilidad de que 0 de ellos mueran b. 15 de ellos no mueran 3. En una farmacia se ha calculado la probabilidad de venderle a un cliente con obra social es del 0%. Se eligen al azar 15 clientes de ese tipo que ingresan al negocio y se desea calcular la probabilidad de concretar menos de tres ventas. Ayuda (P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=))

65 Página 65 de Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos? 5La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión? 6En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlad os no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante co mo para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección. a. Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones. b. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

66 Página 66 de 86 7La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p Se envió un cargamento de artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica. 8En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica. 9Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. Cuál es la probabilidad de los siguientes suce sos? a.ningún paciente tenga efectos secundarios. b. Al menos dos tengan efectos secundarios. c.. Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar? 10. Un representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de su ramo y por su experiencia anterior sabe que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es del 0.4. Obtener: a) El número medio de pedidos por día b) La varianza

67 Página 67 de 86 c) La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un día esté comprendido entre 1 y 3 d) La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos 11. Los accidentes laborales diarios de una empresa siguen una distribución de Poisson de parámetro 0' 4. Calcular las probabilidades: a) de que en un determinado dia se produzcan dos; a lo sumo dos; por lo menos dos accidentes. b) de que hayan 4 accidentes en una semana. c) de que haya un accidente hoy y ninguno mañana. 1. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una distribución Poisson con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto. a) Cual es la probabilidad de que lleguen como mucho mensajes en una hora? b) Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante ese lapso de tiempo sea Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es verdadera. Un alumno responde al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las diez cuestiones). Cuál es la probabilidad de que responda bien a dos cuestiones? Cuál la de que responda bien a cuatro? Cuál la de que responda bien a seis? 1. La distribución binomial y de Poisson son distribuciones de: a. Probabilidad b. Frecuencias c. Normalidad d. Estandarizadas

68 Página 68 de 86. La formula para la solución de problemas mediante la distribución binomial es: n a. P (x) = p x q x+n x x b. P (x) = q x p x-n n n c. P (x) = p x q n-x x n d. P (x) = p x q x+n x 3. Según la distribución binomial, el binomio de Newton puede describirse así: a. (a + b) n = a n + na n-1 b + n (n-1) a n- b +... b n b. (a + b) n = a n + na n+1 b + n (n-1) a n- b +... b n 1X c. (a + b) n = a n + na n-1 b + n (n-1) a n- b +... b n 1X d. (a + b) n = a n + na n+1 b + n (n-1) a n- b +... b n 1X 4. La distribución de Poisson debe utilizarse cuando: a. n es pequeña, p 0, q 1 y 5 b. n es grande, p 0, q 0 y 5 c. n es grande, p 0, q 1 y 5 d. n es pequeña, p 0, q 1 y 5

69 Página 69 de La formula para la solución de problemas con la distribución de Poisson es: a. P (x) = x e - x! b. P (x) = x e x! c. P (x) = x e - x d. P (x) = x e x! 6. El valor de la constante e de la distribución de Poisson es: a.,7186 b.,7185 c.,7187 d.,7188

70 Página 70 de 86 Completar El siguiente mentefacto conceptual y diagrama de Venn - Euler DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS DIAGRAMA DE VENN-EULER

71 Página 71 de 86 DISTRIBUCION: PROBABILIDAD: MUESTRA: POBLACION: COEFICIENTE : ESPACIO MUESTRAL: VARIABLE ALEATORIA: VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: VARIABLE ALEATORIA CONTINUA:

72 Página 7 de 86 Hoy la estadística esta considerada como la teoría de la información, no solo como función descriptiva, sino con el objeto básico de hacer estimaciones acerca de los valores estadísticos de la población o en la comprobación de hipótesis de las características investigativas. De lo anterior se observa que la estadística cubre dos aspectos de gran importancia: en la estadística descriptiva a través de la recolección, clasificación, presentación, ya sea en forma de cuadros o graficas, la aplicación de medias como promedios, desviaciones, etc. Y la interpretación y análisis de datos a fin de obtener conclusiones. Se realiza un proceso deductivo de lo general a lo particular. El segundo aspecto es la inferencia estadística o método inductivo, el cual, mediante investigaciones por muestreo, logra obtener resultados considerados como estimadores de los valores de los estadísticos, correspondientes a las características de las unidades de la población. Se podría afirmar que la tarea más importante de la estadística es la realización de inferencias acerca de una población objetivo, con base en los resultados obtenidos a través de una muestra. Población o universo se puede definir como un conjunto de elementos. El elemento o unidad puede ser una persona, familia, empresa, zona, animal u objeto. Del elemento se estudia sus características. Estas se clasifican en: cualitativas o atributos, expresadas por palabras, y se cuantifican mediante el conteo o recuento las cuantitativas o variables expresadas en forma numérica, que puede ser medidas (variable continua) o contadas (variable discreta). Muestreo: Es el procedimiento o técnica empleado para obtener una o más muestras de una población.

73 Página 73 de 86 Este se realiza una vez que se ha establecido un marco muestral representativo de la población, se procede a la selección de los elementos de la muestra aunque hay muchos diseños de la muestra. Al tomar varias muestras de una población, las estadísticas que calculamos para cada muestra no necesariamente serían iguales, y lo más probable es que variaran de una muestra a otra. Otros autores consideran al muestreo, como la actividad por la cual se toman ciertas muestras de una población de elementos de los cuales vamos a tomar ciertos criterios de decisión. El muestreo es importante porque a través de él podemos hacer análisis de situaciones de una empresa o de algún campo de la sociedad. CONCEPTOS BASICOS DE MUESTREO Para conocer y entender con claridad el muestreo es importante tener claro que es una Población; que es una muestra y tener en cuenta los parámetros estadísticos utilizados para su determinación, así como sus características; que es un marco muestral y conocer los diferentes tipos de muestreo según se presente el caso. POBLACIÓN: Puede definirse como un conjunto de medidas, o el recuento de todas las unidades que presentan una característica común, se podría definir como un conjunto de mediciones finito o infinito, real o conceptual. La población se clasifica en finita o infinita. Ejemplos de población: El conjunto formado por todos los estudiantes universitarios en Colombia. El conjunto de todos los estudiantes de una Universidad. El conjunto de las personas fumadoras de una región. MUESTRA: Es un subconjunto de elementos que tienen características comunes y que ha sido extraído de la población. La muestra, para que sea representativa de la población, requiere que todas las unidades de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionadas, es decir, debe ser aleatoria, el azar o probabilística. Ejemplos de muestra: El conjunto formado por los estudiantes de Ingeniería en Colombia. El conjunto de todos los estudiantes de Economía una Universidad. El conjunto de las personas fumadoras entre 0 y 40 años de una región.

74 Página 74 de 86 PARAMETRO: Una parámetro es una medida usada para describir alguna característica de una población, tal como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar de una población. ESTADISTICO: Un estadístico es una medida usada para describir alguna característica de una muestra, tal como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar de una muestra. ERROR MUESTRAL: O de estimación o Standard. Es la diferencia entre un estadístico y su parámetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en torno al valor de la población, nos da una noción clara de hasta dónde y con qué probabilidad una estimación basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero la naturaleza de la investigación nos indicará hasta qué medida podemos cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza que varían muestra a muestra). Varía según se calcule al principio o al final. Un estadístico será más preciso en cuanto y tanto su error es más pequeño. Podríamos decir que es la desviación de la distribución muestral de un estadístico y su fiabilidad. NIVEL DE CONFIANZA: Probabilidad de que la estimación efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier información que queremos recoger está distribuida según una ley de probabilidad (Gauss o Student), así llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadístico capte el verdadero valor del parámetro. VARIANZA POBLACIONAL: Cuando una población es más homogénea la varianza es menor y el número de entrevistas necesarias para construir un modelo reducido del universo, o de la población, será más pequeño. Generalmente es un valor desconocido y hay que estimarlo a partir de datos de estudios previos. CENSO: Es la totalidad de los elementos pertenecientes a la población, y de los cuales se esta realizando un estudio o investigación. UNIDAD BASICA: Es un elemento perteneciente a la población y al muestra puede ser, personas, casas, empresas. Etc. Factores tales como: costo, tiempo, recursos humanos, poblaciones muy grandes o infinitas, destrucción de la unidad sometida a control, características con gran homogeneidad, impiden la realización del censo. Se sustituyen, entonces, por una investigación parcial o muestra. El objetivo principal del muestreo es considerar el mayor número de unidades con el menor costo posible. El muestreo aleatorio realizado bajo ciertas condiciones y sometido a ciertos requisitos, se constituye en un procedimiento práctico, económico y rápido para generalizar conclusiones obtenidas a través de una muestra, aplicables a toda la

75 Página 75 de 86 población de la que forma parte, dentro de ciertos límites de confiabilidad, establecidos de antemano. TECNICAS DE MUESTREO La teoría del muestreo tiene por objetivo, el estudio de las relaciones existentes entre la distribución de un carácter en dicha población y las distribuciones de dicho carácter en todas sus muestras. Las ventajas de estudiar una población a partir de sus muestras son principalmente: Costo reducido: Si los datos que buscamos los podemos obtener a partir de una pequeña parte del total de la población, los gastos de recogida y tratamiento de los datos serán menores. Por ejemplo, cuando se realizan encuestas previas a un referéndum, es más barato preguntar a personas su intención de voto, que a ; Mayor rapidez: Estamos acostumbrados a ver cómo con los resultados del escrutinio de las primeras mesas electorales, se obtiene una aproximación bastante buena del resultado final de unas elecciones, muchas horas antes de que el recuento final de votos haya finalizado; Más posibilidades: Para hacer cierto tipo de estudios, por ejemplo el de duración de cierto tipo de bombillas, no es posible en la práctica destruirlas todas para conocer su vida media, ya que no quedaría nada que vender. Es mejor destruir sólo una pequeña parte de ellas y sacar conclusiones sobre las demás. Existen dos tipos de técnicas para efectuar muestreos; el muestreo aleatorio y el muestreo no aleatorio. MUESTREO ALEATORIO Dentro del Muestreo aleatorio se tienen las siguientes técnicas: 1. Muestreo aleatorio simple o muestreo aleatorio irrestricto: Consideremos una población finita, de la que deseamos extraer una muestra. Cuando el proceso de extracción es tal que garantiza a cada uno de los elementos de la población la misma oportunidad de ser incluidos en dicha muestra, denominamos al proceso de selección muestreo aleatorio simple.

76 Página 76 de 86. Muestreo aleatorio estratificado: Un muestreo aleatorio estratificado es aquel en el que se divide la población de N individuos, en k subpoblaciones o estratos, atendiendo a criterios que puedan ser importantes en el estudio, de tamaños respectivos N 1,..., N k. Y realizando en cada una de estas subpoblaciones muestreos aleatorios simples de tamaño n i. El muestreo aleatorio estratificado maneja dos técnicas que son: asignación proporcional y óptima, las cuales garantizan la representatividad, reduciendo el error de la muestra al formar grupos o subpoblaciones más o menos homogéneas, en su composición interna o heterogénea cuando se comparan los estratos entre sí. 3. Muestreo por conglomerados: Si intentamos hacer un estudio sobre los habitantes de una ciudad, el muestreo aleatorio simple puede resultar muy costoso, ya que estudiar una muestra de tamaño n implica enviar a los encuestadores a n puntos distintos de la misma, de modo que en cada uno de ellos sólo se realiza una entrevista. En esta situación es más económico realizar el denominado muestreo por conglomerados, que consiste en elegir aleatoriamente ciertos barrios dentro de la ciudad, para después elegir calles y edificios. Una vez elegido el edificio, se entrevista a todos los vecinos. Cuando la unidad básica de muestreo se encuentra en la población en grupos o conglomerados y la selección de la unidad permite la observación del total de elementos de cada

77 Página 77 de 86 conglomerado elegido. Cada conglomerado tiene las mismas características de la población; puede hacerse un segundo muestreo dentro del conglomerado seleccionado, denominándose de doble tapa. 4. Muestreo sistemático: La selección de las unidades se hace a intervalos regulares, en un orden sistemático. Cuando los elementos de la población están ordenados en fichas o en una lista, una manera de muestrear consiste en Sea ; Elegir aleatoriamente un número m, entre 1 y k; Tomar como muestra los elementos de la lista: Esto es lo que se denomina muestreo sistemático. Cuando el criterio de ordenación de los elementos en la lista es tal que los elementos más parecidos tienden a estar más cercanos, el muestreo sistemático suele ser más preciso que el aleatorio simple, ya que recorre la población de un modo más uniforme. Por otro lado, es a menudo más fácil no cometer errores con un muestreo sistemático que con este último. 5. Muestreo por áreas o geográfico: Aplicado cuando no se dispone de un marco de referencia completo. El área total se divide en pequeñas áreas, las que son muestreadas. Cada área seleccionada podrá ser subdividida y enumerada para una nueva selección, si es necesario, y así sucesivamente dando origen al muestreo por etapas. 6. Muestreo por fases: En ocasiones es conveniente y económico recoger cierta información de la totalidad de elementos de una muestra, la cual se extrae de la población en tal forma que sea la suficientemente grande. Además, otra información más detallada obliga a una nueva muestra proveniente de la anterior, ocasionando un muestreo de dos fases o bifásico. Puede considerarse, también, de varias fases o polifásico.

78 Página 78 de cuál es el objetivo de la estadística?. cuántos métodos existen en el muestreo aleatorio y nómbrelos? 3. mencione como mínimo 3 características de interés en el caso que se tenga como unidad de estudio. a. familia b. predio agrícola c. establecimiento industrial d. un producto terminado e. una empresa comercial f. un animal CONDICIONES NECESARIAS PARA EFECTUAR UN MUESTREO ALEATORIO. Las condiciones del muestreo aleatorio implican consideraciones importantes: a. Se debe seguir un diseño estadístico específico (muestreo aleatorio simple, estratificado, etc); el mejor es aquél que proporciona la precisión necesaria, en términos de un límite, en cuanto al error de estimación a un menor costo; b. La selección de los elementos al azar, para luego recolectar la información por cualquiera de los métodos: entrevista, observación directa, correo, teléfono, etc.; c. El error muestral, es decir, la diferencia entre el resultado obtenido mediante la muestra y el obtenido posiblemente mediante la investigación total o censo. El error de estimación es la diferencia que puede haber entre la estimación puntual y el parámetro. Cuando la estimación no representa bien al parámetro, a pesar de estar perfectamente diseñada nos referiremos a errores muestrales; los

79 Página 79 de 86 errores no muestrales son ocasionados por el mal diseño del formulario, errores cometidos en el proceso de recolección, procesamiento y análisis de los datos. Parámetro (poblacional) son las medidas descriptivas numéricas aplicadas a las características de las unidades de la población. También se les denomina como valores estadísticos de la población. El estimador por intervalos es una regla que nos indica cómo calcular dos puntos o valores a través de una muestra. La estimación por intervalos es la estimación del parámetro mediante la especificación de un intervalo de valores, determinado por un límite inferior y otro superior (límites de confianza) dentro del cual estará comprendido el valor verdadero o parámetro poblacional. Estimador puntual son las medidas descriptivas numéricas aplicadas a las características de las unidades de la muestra. Se podrá decir que el estimador es una norma o método para estimar una constante perteneciente a una población. La estimación hace referencia a los valores numéricos de los parámetros poblacionales desconocidos, a los cuales se llega mediante una muestra. Se dice que un buen estimador puntual debe ser: Insesgado: Es decir que no tenga sesgo, o error, cuando el valor del estimado es igual al del parámetro. En caso contrario la estimación será sesgada. Consistente: Es aquel estimador que, al aumentar el tamaño de la muestra, converge en probabilidad al parámetro que estima. Eficiente: Es el estimador que tiene la menor varianza entre todos los estimadores posibles. Suficiente: Cuando incluye toda la información que la muestra puede proporcionar acerca del parámetro. Encuestas descriptivas y analíticas. Algunos autores clasifican las encuestas, en términos generales como: encuestas descriptivas y encuestas analíticas. En las primeras el interés se especifica en la obtención de alguna información correspondiente a una población. En las otras, la finalidad es analizar ciertas hipótesis o supuestos acerca de la población, que el investigador se fijó de antemano. Hay encuestas que sirven a ambos propósitos. El intervalo de confianza, corresponde a un intervalo de valores, dentro de los cuales se espera que esté el parámetro con cierto grado de confianza o con riesgo de error conocido; para ello es necesario determinar primero la estimación puntual.

80 Página 80 de 86 La probabilidad de que un intervalo de confianza contenga el parámetro que se estima, se denomina coeficiente de confianza. Se han visto una serie de términos y definiciones respecto al muestreo aleatorio. También existe el muestreo no aleatorio, circunstancial o errático, método cuyos resultados o estimaciones no son de ninguna manera confiables, dado que la selección de las unidades que conforman la muestra, se realiza en forma caprichosa o por conveniencia, primando el juicio personal del investigador. MUESTREO NO ALEATORIO Dentro del muestreo no aleatorio existen algunos métodos, tales como: Muestreo a juicio intencional u opinático: Donde los elementos se seleccionan a juicio o en opinión del investigador, se podría decir que prima la intención de que estas unidades sean incluidas dentro de la muestra. Muestreo por convivencia: Donde se eligen los elementos que están más al alcance del investigador. Muestreo voluntario: Donde el informante, voluntariamente, suministra información sin ser seleccionado. Muestreo por cuotas: Es un número de entrevistas, encuestas, condiciones o cuotas que se le fijan al encuestador para que a su vez seleccione los elementos en la forma que considere oportuno.

81 Página 81 de Establezca una diferencia entre el muestreo aleatorio simple y el muestreo aleatorio sistemático.. Cuál es la diferencia entre el muestreo a juicio y el aleatorio? 3. Qué es la inferencia estadística? 4. Describa propiedades deseables de un estimador

82 Página 8 de Completa el siguiente mentefacto conceptual y diagrama de Venn Euler MENTEFACTO CONCEPTUAL TECNICAS DE MUESTREO

83 Página 83 de 86 DIAGRAMA DE VENN-EULER

84 Página 84 de Una población puede ser: a. Finita b. Infinita c. Finita, cualitativa, cuantitativa d. Infinita y Finita. Es un método del muestreo no aleatorio a. Muestreo por conglomerados b. Muestreo por fases c. Muestreo por cuotas d. Muestreo estratificado 3. El objetivo principal del muestreo es: a. Abarcar toda la población sin importar el costo. b. Considerar el mayor número de unidades con el menor costo. c. Investigar todas las características de la población. d. Seleccionar elementos muestrales para estudiarlos 4. Las características de un buen estimador deben ser: a. Suficiente b. Insesgado, suficiente, eficiente c. Consistente d. Todas las anteriores 5. Los métodos de selección pueden ser: a. Estratificados b. Conglomerados c. Fases d. Con reemplazo, sin reemplazo y por sorteo.