Teoría de la Medida Curso de Introducción. José C. Sabina de Lis Universidad de La Laguna

Transcripción

1 Teoría de la Medida Curso de Introducción José C. Sabina de Lis Universidad de La Laguna 29 de octubre de 2013

2 ii

3 Índice general PRÓLOGO INTRODUCCIÓN v v 1. Medidas Familias de conjuntos Anillos, Álgebras Ejercicios Medidas Medidas completas Ejercicios Medidas Exteriores Construcción de medidas exteriores Ejercicios Medidas de Lebesgue y de Lebesgue-Stieltjes Medida de Lebesgue Medida de Lebesgue-Stieltjes Existencia de conjuntos no medible-lebesgue Ejercicios Medidas exteriores métricas El conjunto ternario de Cantor Medidas de Hausdor Ejercicios Medidas con signo: cargas Ejercicios Soluciones La integral de Lebesgue Funciones medibles Ejercicios Convergencia Ejercicios Integración Integral de Lebesgue iii

4 iv ÍNDICE GENERAL Ejercicios Solución a los ejercicios Convergencia Propiedades básicas Algunos resultados de convergencia Teorema de la convergencia dominada Integrales que dependen de parámetros Ejercicios La integral de Riemann La integral de Riemann en R El teorema de Peano Integral de Riemann n-dimensional Ejercicios Espacios L p Desigualdades Desigualdades de Hölder y de Minkowski Espacios L p Contenidos Densidad Ejercicios Medidas producto Medidas producto El teorema de Fubini El principio de Cavalieri El teorema de Fubini en R m+n Ejercicios El producto de convolución Teorema de CauchyPeano, 2 a nota Anexo Diferenciación Teorema de Lebesgue Teorema de Radon-Nikodym Función de Cantor Teorema de RadónNikodym Demostración del Teorema Cambio de variable Transformación de conjuntos medibles Fórmula del cambio de variables para aplicaciones lineales Caso general Coordenadas esféricas

5 ÍNDICE GENERAL v BIBLIOGRAFÍA 165 ÍNDICE ALFABÉTICO 167

6 vi ÍNDICE GENERAL

7 Prólogo Se recogen en las presentas notas las lecciones que sobre teoría de la medida e integración he impartido en la Universidad de La Laguna durante algunos cursos. Conforman un material básico sobre el tema y compilan los ejercicios propuestos a los alumnos. Debe resaltarse que la materia es opcional y se imparte durante un cuatrimestre. La Laguna, 29 de octubre de vii

8 viii ÍNDICE GENERAL

9 Introducción El propio Arquímedes demuestra en el mismo libro (`El Método') que si en un cubo se introducen dos cilindros cuyas bases son tangentes a las caras del cubo, el segmento común de los cilindros será igual a dos tercios de cubo. Esto resulta de utilidad para las bóvedas que se construyen de esta manera... Herón,La metrica. Citado en El Código de Arquímedes por R. Netz y W. Noel, temas de hoy, Madrid, Áreas y volúmenes La noción de medida es una generalización de las ideas de longitud, área o volumen. Como veremos, toda medida lleva además aparejada una correspondiente noción de integral. En este sentido la teoría de la medida se ocupa de asignar volumen a diversas clases de conjuntos abstractos y estudia las integrales, bajo condiciones muy generales, de clases amplias de funciones. Consideremos, para jar ideas, el caso del plano y repasemos a cuántos conjuntos sabemos asignarle un área. Primeramente la clase R de los rectángulos del plano R = {{a, b} {c, d} : a, b, c, d R, a b, c d}, donde las llaves signican que se consideran intervalos abiertos, cerrados o semicerrados. A cada R R se le asigna como medida µ(r) su área: µ(r) = (b a)(d c). Esta noción de área se extiende a la clase más amplia de las guras elementales S = {S = n i=1r i : R i R} donde los rectángulos involucrados R i son tales que sus interiores son disjuntos dos a dos. A cada S S se le asigna la medida natural µ(s) = n µ(r i ). i=1 ix

10 x ÍNDICE GENERAL La de las guras elementales es a todas luces una clase demasiado restringida de conjuntos con área. Por eso se introduce la familia J de los conjuntos medible Jordan. Dado E R 2 acotado se denen µ(e) = sup{µ(s) : S S, S E}, µ(e) = ínf{µ(s) : S S, S E}, los contenidos interior y exterior de Jordan, respectivamente. Se dice que E J si los dos contenidos coinciden. La noción de área así obtenida abarca a una clase razonable de conjuntos y tiene conexión directa con la integral de Riemann. De hecho, si χ E es la función que vale 1 en E y cero fuera de E, χ E es integrable Riemann si y sólo si E J y en ese caso µ(e) = χ E dxdy = dxdy. R 2 E Uno de los objetivos de la teoría de la medida es extender esta noción de área a una clase todavía mayor de conjuntos, los conjuntos medible-lebesgue, extendiendo además la noción de integral a una clase más amplia de funciones (la integral de Lebesgue). Este proceso tiene en general sus limitaciones. Cúpula de Herón: intersección de dos cilindros inscritos en un cubo Complecciones y espacios de funciones La búsqueda de una noción de integral más amplia que la de Riemann no es caprichosa. Consideremos por ejemplo la siguiente cuestión fundamental. El espacio X = C[a, b] de las funciones reales, continuas en el intervalo [a, b] es una

11 ÍNDICE GENERAL xi generalización de dimensión innita del espacio R N. De hecho, para f X, el valor f(x) podría observarse como la coordenada x-ésima de f. La cantidad ( 1/2 b f 2 = f dx) 2, a dene una norma en X que lo hace espacio métrico ( 2 puede observarse como la generalización de la norma euclídea). Sin embargo X no es completo y uno se plantea cuál es la complección Y de este espacio métrico (se sabe que todo espacio métrico X puede sumergirse de manera densa en un único espacio métrico completo Y ). Como veremos, la completación de X es L 2 (a, b) que es el espacio de funciones f cuyo cuadrado f 2 es integrable en el sentido más general de Lebesgue. De manera análoga, puede considerarse en C[a, b] la norma (el equivalente de la norma 1 de R N ) f 1 = b a f dx. El espacio métrico X 1 resultante no es completo. Ejercicio 0.1. En el intervalo [0, 1] se considera la sucesión de funciones f n (t) que valen 0 para t 1 2 1, n 1 para t 1 2 y que se extienden por interpolación lineal a todo el intervalo. Pruébese que f n es de Cauchy en [0, 1] y sin embargo no converge. La completación Z de X 1 es ahora L 1 (a, b) que es el espacio de las funciones integrable Lebesgue. En este caso, el operador lineal integral I(f) = b f(x) dx a (en sentido de Riemann) sobre X se extiende a un operador lineal I sobre L 1 (a, b) de suerte que para f L 1 (a, b), I(f) es la integral de Lebesgue de f. Los espacios de funciones L 2 (a, b) y L 1 (a, b) y otros espacios similares de funciones integrables que estudiaremos constituyen ejemplos fundamentales de espacios de dimensión innita, materia de la que se ocupa el Análisis Funcional. Series de Fourier Otro problema importante del Análisis consiste en representar una función real f denida en, pongamos por caso, el intervalo ( π, π), mediante una serie trigonométrica. Más precisamente, conseguir la igualdad f(x) = a a n cos nx + b n sen nx. (1) n=1 El problema, de gran solera en la matemática, se remonta a la época fundacional del cálculo innitesimal en el siglo XVIII. Para hacer verosímil tal representación lo primero es encontrar los coecientes a n, b n. Un cálculo formal revela que a n = 1 π π π f(x) cos nx dx, b n = 1 π π π f(x) sen nx dx.

12 xii ÍNDICE GENERAL Ejercicio 0.2. Probar que π π sen mx sen nx dx = π π cos mx cos nx dx = πδ mn, (δ mn = 0 ó 1 si m n ó m = n respectivamente), mientras: π π cos mx sen nx dx = 0. La serie en (1) se denomina la serie de Fourier generada por f pues los coecientes dependen de f a través de las integrales señaladas. Por tanto, encontrar la clase más general de funciones que pueden llegar a representarse de esa forma padres del análisis como Daniel Bernoulli y J. Fourier armaban que todas las funciones eran factibles requiere una noción de integral satisfactoria. B. Riemann introdujo en la segunda mitad del XIXsu noción de integral precisamente pare estudiar el problema de la convergencia de la series de Fourier. El análisis del mismo se enriquece substancialmente cuando se trata en el marco de la integral de Lebesgue. Integrales y paso al límite Permutar la integral con el paso al límite es asimismo otra cuestión delicada que se presenta frecuentemente en las aplicaciones de la integral. En términos más técnicos se sabe que si las funciones f n son integrables en sentido de Riemann en el intervalo [a, b] y f n f uniformemente en [a, b] entonces o también lím lím b a b a f n = f n = b a b a f lím f n. Sin embargo, la noción de convergencia uniforme es en la práctica sumamente agresiva y es deseable disponer de un concepto de integral que permute con una operación de paso al límite menos restrictiva. La integral de Lebesgue cumple a la perfección con esta demanda. Estrechamente ligada a la cuestión de permutar integral y paso al límite se encuentra la diferenciación de integrales con respecto a parámetros (véase el Capítulo 3). Por poner un ejemplo de las aplicaciones, un planeta Ω R N con densidad ρ genera un campo de fuerzas asociado al potencial V expresado por la fórmula V (x, y, z) = G Ω ρ(ξ, η, ζ) (x ξ)2 + (y η) 2 + (z ζ) 2 dξdηdη donde G es la constante de gravitación. Las variables (x, y, z) tienen el valor de parámetros en la integral. En la física matemática interesa saber si V es o no

13 ÍNDICE GENERAL xiii diferenciable. Se demuestra según veremos que si ρ es integrable Lebesgue en Ω entonces V es innitamente diferenciable fuera de Ω y satisface allí la relación 2 V x V y V z 2 = 0. Ésta constituye una de las ecuaciones fundamentales de la física matemática (la ecuaciónd de Laplace). Ejercicio 0.3. Se considera la función: V (x, y, z) = ρ(ξ, η, ζ) (x ξ)2 + (y η) 2 + (z ζ) 2, donde ξ, η, ζ son constantes. Pruébese que cumple la ecuación de Laplace. Análogamente, compruébese que: donde: 2 U x U y 2 = 0, U(x, y) = log (x ξ) 2 + (y η) 2, ξ, η constantes. En éste último caso: repasar la variable compleja. Teorema fundamental del cálculo En los primeros cursos de análisis se demuestra que si f es continua en el intervalo [a, b] entonces la función F denida por F (x) = x a f(t) dt, la integral entendida en sentido de Riemann, es derivable en [a, b] y su derivada vale F (x) = f(x). (2) Este hecho constituye el teorema fundamental del cálculo. Ejercicio 0.4. Sea f C[a, b]. 1. Probar que si m f(t) M entonces m(b a) b f M(b a). a 2. Probar que existe c [a, b] tal que b a f = f(c)(b a). 3. Probar que la función F denida más arriba es continua. 4. Probar el teorema fundamental del cálculo tal como se ha enunciado.

14 xiv ÍNDICE GENERAL Si una función acotada f en [a, b] es integrable en sentido de Riemann (Capítulo 4) resulta que F es continua en [a, b] mientras que (2) se cumple en todos los puntos x de continuidad de f. Obsérvese que f puede ser menos regular que continua y todavía ser Riemann integrable. De hecho se sabe que f es integrable Riemann si el conjunto D de sus puntos de discontinuidad es pequeño en el sentido de que tiene medida cero (Capítulo 4). Por lo tanto, por el mero hecho de ser f integrable, F resulta ser derivable en la mayoría de los puntos de [a, b]. El problema de la derivabilidad de F se enriquece notablemente cuando se considera la integral en el sentido de Lebesgue. En este caso se pueden caracterizar quiénes son las funciones F que provienen de funciones integrables f en la forma indicada (F se denomina una primitiva de f). Véanse más detalles en el Capítulo 7. Una cuestión relacionada es la siguiente. Se sabe que toda función f monótona en [a, b] es discontinua a lo sumo en un conjunto numerable de puntos (por tanto y en algún sentido es continua en la mayoría de los puntos del intervalo). La cuestión es saber qué sucede con la diferenciabilidad de la función. Dentro del marco de la teoría de Lebesgue se da cumplida respuesta al problema. Física matemática En la física y más en general en las aplicaciones, las funciones que representan los estados de los diversos sistemas bajo estudio distan mucho de ser regulares. Áreas como los medios continuos que dominan la elasticidad y la mecánica de uidos están plagados de ecuaciones diferenciales que requieren que las funciones involucradas sean al menos diferenciables. A tales efectos, la noción de función diferenciable se puede extender cuando se usa un concepto de integral más exible que el de Riemann. Para jar ideas se recuerda que si f es de clase C 1 en [a, b] con derivada g = f entonces b a f(x)φ (x) dx = b a g(x)φ(x) dx, (3) para toda función φ de clase C 1 en [a, b] que se anule en los extremos: φ(a) = φ(b) = 0. Sin embargo, dicha identidad tiene pleno sentido si sólo se supone que f y g son integrables. Si f es una función integrable (como luego veremos, en sentido de Lebesgue) tal que existe otra función integrable g de suerte que se cumple la identidad precedente para toda φ de clase C 1 en las condiciones señaladas, se dice entonces que g es la derivada generalizada de f. A través de lo que se conoce como cálculo de variaciones, esta noción de derivada es lo sucientemente exible como para atender las demandas de muchos problemas de las aplicaciones. A título de ejemplo puede comprobarse que si f(x) = x entonces g(x) = x/ x para x 0 pudiéndosele asignar a g cualquier valor en x = 0. Ejercicio 0.5. Compruébese la realción (3) y la última armación.

15 ÍNDICE GENERAL xv Cálculo de probabilidades La teoría de la medida proporciona el marco abstracto adecuado sobre el que desarrollar el cálculo de proabibilidades. Históricamente, resultados tan importantes como el teorema central del límite no pudieron probarse rigurosamente hasta que la materia no se codicó en el lenguaje de dicha teoría. Consideraciones generales En los comienzos de la teoría, a nales del XIX y principios del XX se pretendía asignar a todo conjunto E de R N un número positivo µ(e) de suerte que dicho valor coincidiera con el volumen de E cuando éste fuese calculable por las técnicas del cálculo integral (contenido de Jordan). La función µ : P(R N ) [0, ] debería gozar de las siguientes propiedades: 1. µ( E n ) = µ(e n ) cuando los E n son disjuntos dos a dos. 2. µ es invariante frente a movimientos rígidos (traslaciones + transformaciones ortogonales). 3. µ(q) = 1 sobre el cubo unidad Q = {x : 0 < x i < 1, i = 1,..., N}. Es importante para las aplicaciones (método de exhaución) que la unión en 1) pueda ser innita. Sin embargo, se demostró a principios del XX que una tal función de conjunto µ no podía tener como dominio a P(R N ), es decir la totalidad de las partes de R N. Uno de los objetivos del curso es construir µ describiendo su dominio L(R N ) (los conjuntos medible-lebesgue) que por consiguiente resulta estrictamente menor que P(R N ). Merece la pena resaltar que para N 3 tampoco puede existir una función de conjunto µ con dominio P(R N ) y valores en [0, ] cumpliendo 2), 3) y donde 1) se limita a uniones nitas. Es decir, 1)' µ(e 1 E n ) = µ(e 1 ) + + µ(e n ), los E k son disjuntos dos a dos. Este hecho es consecuencia de lo que se conoce como paradoja de Banach- Tarski ([8]) que no es en absoluto una paradoja. En 1924 Banach y Tarski demostraron que dos abiertos acotados U, V de R N (N 3) admiten sendas particiones E 1,..., E n y F 1,..., F n de suerte que E i es congruente con F i para cada i {1,..., n}. En otras palabras la esfera unidad U se puede descomponer en n pedazos que ensamblados dan lugar a dos esferas disjuntas del mismo radio, U y U + 3e 1, por ejemplo.

16 xvi ÍNDICE GENERAL

17 Capítulo 1 Medidas. Medidas Exteriores 1.1. Familias de conjuntos Se supondrá que todos los conjuntos A, B,... con los que trataremos son subconjuntos de uno jo X de referencia. Asimismo, las clases A, B, R,..., familias {E i } i I o sucesiones {E n } n N de conjuntos tendrán por elementos conjuntos que son partes de X. Diremos que {E n } n N es creciente, abreviadamente {E n } n N, si E n E n+1 para cada n. {E n } n N es decreciente ({E n } n N ) si para todo n: E n E n+1. Por analogía con las sucesiones reales para E n monótona se dene: si E n es creciente, lím E n = n=1e n, lím E n = n=1e n, si E n es decreciente. Para una sucesión arbitraria E n se construyen las sucesiones auxiliares, A n = k n E n B n = k n E n. Al ser monótonas existen los límites de ambas sucesiones. Se denen los límites inferior y superior de E n como: mientras lim E n = lím A n = n=1a n = n=1 ( k n E n ), lim E n = lím B n = n=1b n = n=1 ( k n E n ). Denición 1.1. Se dice que E n converge a E si lim E n = lim E n = E. Ejercicio 1.1. Hallar lim E n, lim E n si E n = ( ( 1)n n, 2). 1

18 2 CAPÍTULO 1. MEDIDAS Ejercicio 1.2. Sean {A n } n N, {B n } n N sucesiones tales que {A n } n N, {B n } n N, de suerte que: A n B n, para cada n. Probar que lím A n lím B n Anillos, Álgebras Denición 1.2. Sea R una clase no vacía 1 de subconjuntos de X. Se dice que R es un anillo si satisface las siguientes propiedades: i) A, B R A \ B R. ii) A, B R A B R. Si R cumple además: iii) X R, se dice que R es un álgebra. Se sigue de la denición que = A \ A R tomando A R. Propiedad 1.3. Sea R una clase de partes de X cumpliendo las propieades ii) y iv) A R A c R. Entonces R es un álgebra. Por tanto, un álgebra es toda clase R de partes de X que es cerrada frente a uniones nitas y complementación. Propiedad 1.4. Sea R un anillo, A 1,..., A n R. Entonces: A 1 A n R A 1 A n R. Propiedad 1.5. Sea R una clase de subconjuntos de X que cumple las propiedades i) y ii') A, B R & A B = A B R. Entonces R es un anillo. Por tanto i), ii') caracterizan la propiedad de ser anillo. Denición 1.6. Se dice que una clase A es un σ-anillo si cumple i) junto con: ii-s) n=1e n A para toda sucesión {E n } n N en A. Es inmediato comprobar que un σ-anillo en un anillo. 1 En adelante daremos por sobreentendido que las diversas clases o familias de conjuntos implicadas son no vacías.

19 1.2. ANILLOS, ÁLGEBRAS 3 Denición 1.7. Se llama σ-álgebra a todo σ-anillo que es un álgebra. Propiedad 1.8. Sea A una clase que cumple i) junto con ii-s') n=1e n A para toda sucesión {E n } n N en A de elementos disjuntos dos a dos. Entonces A es un σ-anillo. Por tanto i) y ii-s') caracterizan los σ-anillos. Ejemplo 1.1. A = {A X : A numerable ó A c numerable} es una σ-álgebra. A = {A X : A nito ó A c nito} es un álgebra, pero sólo es σ-álgebra cuando X es nito. Se introducen en los ejercicios del capítulo las nociones de anillo (σ-anillo) y álgebra (σ-álgebra) generada por una clase D de conjuntos de X. Denición 1.9. Sea G la clase de los abiertos de R. La σ-álgebra B R generada por G se llama la σ-álgebra de los conjuntos de Borel. Más generalmente, si (X, T ) es un espacio topológico, la σ-álgebra B X de los conjuntos de Borel es la generada por la familia T de los abiertos de X. Ejercicio 1.3. Sea R una clase no vacía de partes de X que cumple: 1) A, B R A B R. 2) A, B R A B, con A B = A \ B B \ A. Entonces R es un anillo. Así 1), 2) caracterizan los anillos. Ejercicio 1.4. Sea A una clase de conjuntos que cumple iv) junto con ii-s). Probar que A es una σ-álgebra. Ejercicio 1.5. Pruébese que todo abierto G de R se puede escribir como una unión numerable de intervalos abiertos disjuntos. Indicación. Las componentes conexas de G son intervalos abiertos y forman una partición de G. Alternativamente, para x G se llama I x = x I I donde la unión se extiende a los intervalos abiertos I G. Ejercicio 1.6. Se consideran en R las siguientes clases de intervalos D 1 = {(a, b)}, D 2 = {[a, b]}, D 3 = {(a, b]}, D 4 = {[a, b)}, D 5 = {(a, )}, D 6 = {[a, )}, D 7 = {(, b)}, D 8 = {(, b]}. Probar que S(D) = B R donde D es cualquiera de las clases de intervalos que acabamos de introducir. Proposición Todo abierto G R N puede representarse en la forma G = Q n donde Q n es una sucesión de intervalos disjuntos de la forma [ā, b), ā, b R N.

20 4 CAPÍTULO 1. MEDIDAS Demostración. Denotamos C m la familia de cubos diádicos [ k 2, k+ 1 m 2 ). Fijado m x R N, para cada m existe un único Q C m tal que x Q. En efecto, los cubos de C m son una partición de R N. Por otra parte si Q C m, Q C m son cubos diádicos y m m entonces Q Q si Q Q. Esto es consecuencia de que para m m todo cubo Q C m yace en un único Q C m. Para x G llamamos m al mínimo n tal que x Q G con Q C n y ponemos Q = Q x. Observamos ahora que Q x Q y sí y sólo si Q x = Q y. Por tanto, si denimos en G la relación x y si y Q x, cada clase [x] = Q x y hay un conjunto numerable de clases Ejercicios A) Anillos, σ-anillos, álgebras, σ-álgebras. 1. Sean a n, b n, sucesiones reales monótonas tales que a n a, b n b, a < b, mientras E n = (a n, b n ). Pruébese que E = lím E n existe, calculando su valor. 2. Para {E n } n N una sucesión en X se denen: E = {x X : x E n para ininitos n N}, E = {x X : x E n excepto para un núnmero nito de n N}. Pruébese que E = lim E n y que E = lim E n. 3. Si {E n } es una sucesión en X pruébese que: ( lim En ) c = lim E c n, (lim E n ) c = lim E c n. 4. Si R es sólo un σ-anillo y {E n } R probar que: n E n R, lim E n R, lim E n R. 5. Sea R un σ-anillo en X, Y X, Y R. Probar que {Y E : E R} es una σ-álgebra en Y. 6. Si {R α } es una familia de anillos (respectivamente, σ-anillos, álgebras, σ-álgebras) probar que α R α es un anillo (respectivamente, σ-anillo, álgebra, σ-álgebra). 7. Sea D una clase de subconjuntos de X. Demuéstrese que existe un único anillo R (respectivamente, σ-anillo, álgebra, σ-álgebra) con la propiedades: a) D R,

21 1.2. ANILLOS, ÁLGEBRAS 5 b) Si R es un anillo (respectivamente, σ-anillo, álgebra, σ-álgebra) con D R entonces R R. Denotamos R por R(D) y lo denominamos el anillo generado por D. Utilizaremos S(D) en el caso de σ-anillos. 8. Sea D una clase de subconjuntos de X. Demuéstrese que cada elemento de R(D) puede recubrirse con un número nito de elementos de D, es decir está contenido en una unión nita de elementos de D. Nota. El ejercicio no demanda probar que R(D) es la clase de todas las uniones nitas de elementos de D (hecho que por otro lado no es cierto). Un comentario similar se aplica al ejercicio siguiente. 9. Sea D una clase de subconjuntos de X. Demuéstrese que cada elemento de S(D) puede recubrirse con una familia numerable de elementos de D, es decir está contenido en una unión numerable de elementos de D. 10. Sea D la clase de todos aquellos conjuntos en X que son nitos o tienen complemento nito. Probar que D es un anillo mientras que si X no es nito, D no es un σ-anillo. 11. En X = R consideramos A = { n k=1 J k : J k = (a k, b k ], J i J l = i l}. Demostrar que A es un anillo pero no un álgebra. 12. En el ejercicio 11 reemplazamos en A los intervalos (a k, b k ] por intervalos arbitrarios {a k, b k }. Muéstrese que A también es un anillo. 13. En X = R consideramos ahora A = { n k=1 J k : J k = (a k, b k ], J i J l = i l} {(, a] : a R} {(b, ) : b R}. Demostrar que A es un álgebra pero no una σ-álgebra. 14. Obténgase la misma conclusión que en el ejercicio 13 tomando la clase {a k, b k } de intervalos arbitrarios, con a k b k. En [8] p. 23 se introduce la noción de clase elemental. Una clase E de partes de X se denomina elemental si: E, A B E cuando A, B E y A c es unión nita disjunta de elementos de E para todo A E. Demuéstrese que la clase A de las uniones nitas disjuntas de elementos de E es un álgebra. Las álgebras de los ejercicios 13, 14 corresponden a este patrón. También la del ejercicio 15. Indicación. Resulta de utilidad la identidad: ( i I A i ) ( j J B j ) = (i,j) I J A i B j. 15. En R 2 consideramos A = { n k=1 J k : J k = {a k, b k } {c k, d k }, J i J l = i l} (la clase de los conjuntos elementales) donde {a, b} designa uno cualquiera de los cuatro tipos de intervalos con extremos a, b incluyendo extremos innitos. Probar que A es un álgebra. Generalizar el resultado a R N.

22 6 CAPÍTULO 1. MEDIDAS 16. Usando la denición del ejercicio 14 sean E i X i clases elementales en los conjuntos X i, i = 1, 2. Probar que E 1 E 2 es una clase elemental en X 1 X En un conjunto X se toma D = {{a}, {b}} con a b. Hallar R(D).

23 1.3. MEDIDAS Medidas La recta real ampliada R es R con la adición de dos nuevos elementos, + más las siguientes propiedades: 1) < x < + para todo x R. 2) x ± = ± para todo x R; ± ± (± ) = ± ; x (± ) = ± si x > 0, x (± ) = si x < 0. Observación 1.2. No se denen las operaciones 0 (± ) ni ± (± ). Observación 1.3. Un buen modelo de la recta ampliada R se consigue identicando R con ( 1, 1) con la función f(x) = arctag x, R con [ 1, +1]. Los puntos ±1 juegan el papel de ±. Una aplicación µ con valores en R cuyo dominio es una clase D de subconjuntos de X se denomina una función de conjunto (en X). Denición Una función de conjunto µ : D R, D una clase de partes en X, se dice nitamente aditiva si cualesquiera que sean E 1,... E n D con E 1 E n D y E n E m = para n m se satisface: µ( n k=1e k ) = Se dice que µ es completamente aditiva si µ( n=1e n ) = n µ(e k ). k=1 µ(e n ), siempre que {E n } n N sea una sucesión en D con n=1e n D cuyos elementos son disjuntos dos a dos, es decir E n E m = si n m. Ejemplo 1.4. a) En el álgebra A del ejercicio , n=1 A = {A = n k=1j k : J k = (a k, b k ], J i J l = i l}, a k < b k +, denimos la función longitud µ(a) = n λ(j k ), A = n k=1j k, k=1 donde J k = (a k, b k ] y λ(j k ) = b k a k siendo λ(j k ) = si el intervalo es innito. µ es nitamente aditiva en A.

24 8 CAPÍTULO 1. MEDIDAS b) En el álgebra A del ejercicio , A = {A = n k=1j k : J k = {a k, b k } {c k, d k }, J i J l = i l}, si dene análogamente µ(a) = n λ 2 (J k ), k=1 donde λ 2 (J k ) = λ({a k, b k })λ({c k, d k }) y asimismo λ({a k, b k }) = b k a k. µ es nitamente aditiva. La denición importante es la siguiente. Denición Sean A una σ-álgebra y µ : A [0, + ] una función de conjunto. Se dice que µ una medida si µ( ) = 0 y µ es completamente aditiva. No es inmediato construir medidas no triviales. De ello tratamos en este capítulo. El ejemplo anterior no vale porque A no es una σ-álgebra. Sin embargo, es la semilla que da lugar a la medida de Lebesgue (véases la Sección 1.4). Denición Sea µ una medida en X con dominio A. Se dice que µ es nita si µ(x) <. Se dice que µ es σ-nita si X = n=1e n donde µ(e n ) < para cada n. Teorema Sea µ una medida en X y dominio A. Entonces: i) E, F A, E F µ(e) µ(f ). ii) E, F A, E F, µ(f ) < µ(f \ E) = µ(f ) µ(e). iii) {E n } n N implica µ(lím E n ) = lím µ(e n ). iv) {E n } n N junto con la condición µ(e n0 ) < para algún n 0 N implican que: µ(lím E n ) = lím µ(e n ). (1) Observación 1.5. a) La condición µ(f ) < en ii) es necesaria para prevenir el caso µ(e) = µ(f ) =. b) Que µ(e n ) sea nito para algún n en iv) es necesario para la validez de (1). En efecto, veremos que la medida de Lebesgue µ en R asigna a cada intervalo su longitud (nita o no). La sucesión E n = (, n) da un contraejemplo a (1). Teorema Sea µ una medida en X con dominio en la σ-álgebra A. Para {E n } n N una sucesión en A se cumplen:

25 1.3. MEDIDAS 9 i) ii) µ( n=1e n ) µ(e n ), n=1 µ(lim E n ) lim µ(e n ). iii) Si µ( n=1e n ) < se tiene: µ(lim E n ) lim µ(e n ). La siguiente denición recoge el concepto de familia sumable. Denición Sea f : X [0, ]. Se dene f(x) : F X, F nito}. x X f(x) = sup{ x F Una curiosa observación. Proposición Si para f : X [0, ] el conjunto {f(x) > 0} en no numerable entonces f(x) =. x X Ejemplos 1.6. En los ejemplos que siguen A = P(X) a) Si para f : X [0, ] se dene µ(e) = x E f(x), entonces µ dene una medida (ver más abajo). b) Si en a) se toma f(x) = 1 para cada x la medida µ cuenta los elementos de E. c) Si para x 0 X, f(x 0 ) = 1 y f(x) = 0 entonces µ se llama la medida de Dyrac (concentrada en el punto x 0 ). Demostración de la Prop Como {f > 0} = n {f > 1 n } := existe n tal que {f > 1 n } es no numerable. Para todo F {f > 1 n } nito F f > card F n Como pueden encontrarse partes F de cardinal tal grande como se desee resulta f(x) =. x X.

26 10 CAPÍTULO 1. MEDIDAS Observación 1.7. La proposición arma que, esencialmente, sólo podemos esperar sumas nitas cuando X es numerable. Ese es el caso de las series múltiples. Si en la denición previa f : N [0, ], a n := f(n), se tiene: Proposición a n = a n. N n=1 En el caso en que f : N 2 [0, ], f(i, j) = a ij, N 2 es lo que se conoce como la suma de una serie doble (más propiedades un poco después). Propiedad Sean f : X [0, ], A X. Se dene a ij µ(a) = A f(x) µ( ) = 0. Entonces µ es una medida en P(X). Demostración. En primer lugar, es evidente que µ es monótona. En segundo lugar, probamos que µ es nitamente aditiva para lo que tomamos A 1,..., A m disjuntos. Si es nito, f = F Luego (F A 1 )+ +(F A m ) F A A m, f = F A 1 f + + µ(a A m ) µ(a 1 ) + + µ(a m ). F A m f µ(a 1 ) + + µ(a m ). Para la desigualdad contraria basta con suponer que los µ(a i ) son todos nitos. En ese caso, dado ε > 0 existen F i A i nitos tales que: µ(a i ) ε m F i f Así µ(a 1 ) + + µ(a m ) ε f µ(a A m ). F 1+ +F m Para probar que µ es completamente aditiva observamos que si A = A n, F A nito, F A A m para algún m con lo que f µ(a 1 ) + + µ(a m ) µ(a n ). F n=1

27 1.3. MEDIDAS 11 Con ello µ( A n ) µ(a n ). Para la desigualdad contraria nótese que: n=1 A A m A n, por lo que µ(a 1 ) + + µ(a m ) = µ(a A m ) µ( A n ), es decir, µ(a n ) µ( A n ). n=1 Siguen algunas consecuencias para series y series dobles. Proposición Sean a n 0, σ : N N una biyección y {N n } una partición de N. A partir de a n fabricamos: b n = a σ(n) c n = Entonces n=1 n=1 k N n a k. a n = b n = c n. Proposición Sean a ij 0, {N n } un partición de N 2, c n = N n a ij. Entonces, a ij = c n. N 2 n=1 En particular a ij = { a ij } = { a ij }. N 2 i=1 j=1 j=1 i=1 Observación 1.8. La última identidad es un teorema de Fubini para series dobles. Proposición Sean a ij 0 y σ : N 2 N 2 una biyección. Si b pq = a σ(p,q) entonces, a ij = b pq. N 2 N 2 Como es fácil comprobar se tiene en realidad una proposición más general. Proposición Sean f : X [0, ] y una biyección σ : Y X. Llamando g = f σ: f = g. X Y n=1

28 12 CAPÍTULO 1. MEDIDAS Medidas completas Sea µ una medida en X con dominio una σ-álgebra A. Un conjunto nulo N X es todo N A con µ(n) = 0. Se dice que µ es completa si todas las partes F de un conjunto nulo arbitrario N son también elementos de A (por tanto, conjuntos nulos de A). Como veremos en la siguiente sección, las medidas inducidas por medidas exteriores µ siempre son completas. Como se establece a continuación, todas las medidas pueden completarse. Teorema Sea µ una medida en X con dominio una σ-álgebra A. Se introduce la clase: Ā = {E F : E A y existe N A con µ(n) = 0 y F N}, junto con la función de conjunto: µ(e F ) = µ(e). Entonces Ā es una σ-álgebra y µ es una medida completa. Más aún (Ā, µ) es la medida completa más pequeña que extiende a (A, µ). Es decir, si (Â, ˆµ) es completa y extiende a (A, µ) entonces (Â, ˆµ) también extiende a (Ā, µ) Ejercicios B) Medidas. 1. Sea µ una función de conjunto en X con dominio en una cierta clase de conjuntos A y valores en R cumpliendo: a) A es una σ-álgebra. b) µ es no negativa. c) µ es completamente aditiva. Probar que si µ(e) < para algún E A entonces µ( ) = 0 (es decir, µ es una medida). 2. Sea X un conjunto innito mientras A es la clase de todos los subconjuntos de X. Denimos µ(e) = 0 si E es nito, µ(e) = si E es inito. Pruébese que µ es nitamente aditiva pero no completamente aditiva. 3. Si µ es una medida sobre una σ-álgebra A, E, F A, entonces: µ(e) + µ(f ) = µ(e F ) + µ(e F ). 4. Sea {µ n } una sucesión (nita o innita) de medidas denidas sobre la misma σ-álgebra A. Defínase la suma n µ n de las medidas como: ( ) µ n (E) = µ n (E) E A. n n

29 1.3. MEDIDAS 13 Demuéstrese que n µ n es una medida. Indicación. Puede usarse la Proposición Supongamos que X está consitituido por la sucesión {x n } mientras {p n } es una sucesión de números no negativos. Para A X defínase: µ(a) = p m. Probar que µ es una medida σ-nita. x m A 6. Constrúyase un ejemplo de medida µ y una sucesión decreciente {E n } de A tal que µ(e n ) = para todo n mientras µ (lím E n ) = 0. C) Medidas completas. 7. Sea (X, A, µ) un e. m. y µ una medida nita. Pruébese que µ es completa equivale a la siguiente propiedad: A, B A tales que A B, µ(a) = µ(b) se cumple que todos los conjuntos intermedios C, A C B, son medibles y comparten por tanto la misma medida que A y B. 8. Sea µ una medida completa, N la clase formada por todos aquellos conjuntos con medida nula. Probar que N es un σ-anillo. 9. Sea (µ, A) una medida y ( µ, A) su complección. Si denimos: A = {E \ N : E A, N N 1 A µ(n 1 ) = 0}. Demostrar que A = A.

30 14 CAPÍTULO 1. MEDIDAS 1.4. Medidas Exteriores Sea ν : D R una función de conjunto cuyo dominio D es una clase de subconjuntos de X y toma valores en R. Se dice que ν es subaditiva si ν(e F ) ν(e) + ν(f ), para E, F D cualesquiera con E F D. Se dice análogamente que ν es nitamente subaditiva si: ν(e 1 E n ) n ν(e k ), para E 1,..., E n D arbitrarios con E 1 E n D. Finalmente, ν es completamente subaditiva si para {E n } n N arbitraria en D con n=1e n D se cumple: ν( n=1e n ) ν(e n ). Se dirá que ν es monótona si E, F D, E F implican ν(e) ν(f ). Denición Una función de conjunto µ : P(X) [0, + ] se denomina una medida exterior si: i) µ ( ) = 0, ii) µ es completamente subaditiva, k=1 n=1 iii) µ es monótona: A B implica µ (A) µ (B). Observación 1.9. Obsérvese que el dominio de µ comprende todos los subconjuntos de X. Ejemplo El ejemplo más importante es la medida exterior de Lebesgue λ N en R N. Para A R N, λ N(A) = ínf n N λ(i n ), donde el ínmo se extiende a todas las sucesiones {I n } de intervalos abiertos I n = (a n, b n ) = (a 1n, b 1n ) (a Nn, b Nn ), con la propiedad de recubrir A: A n N I n, y donde λ(a n, b n ) = (b 1n a 1n ) (b Nn a Nn ).

31 1.4. MEDIDAS EXTERIORES 15 En efecto, para probar la subaditividad ii) se supone que λ N (A n) < y se quiere probar que λ N ( A n ) λ N (A n ). Dado ε > 0 existe {I kn } k N, recubrimiento de A n por intervalos abiertos tal que Ahora resulta que luego λ N ( A n ) k N (n,k) N 2 λ(i kn ) = λ(i kn ) λ N (A n ) + ε 2 n. A n (n,k) N 2I kn, n=1 k=1 λ N (I nk ) λ N(A n ) + ε. Siendo esta desigualdad válida para todo ε se concluye ii). La construcción de la medida de Lebesgue se generaliza en la siguiente sección. Denición Se dice que un conjunto E X es medible con respecto a µ (µ -medible) si µ (A) = µ (A E) + µ (A \ E), cualquiera que sea A X. La utilidad de la noción de medida exterior se pone de relieve en el siguiente resultado. El de las medidas exteriores es un camino natural en la construcción de medidas en un conjunto X. Teorema 1.27 (Carathéodory). Si µ es una medida exterior en X y A designa la clase de sus conjuntos medibles entonces se satisfacen las siguientes propiedades: i) A es una σ-álgebra. ii) µ dene una medida en A. Demostración. En primer lugar, es fácil ver que, X A y que E c A si E A. En segundo lugar vemos que E 1 E 2 A si E 1, E 2 A. Hay que ver que: Empezamos con También: µ (A) µ (A (E 1 E 2 )) + µ (A \ E 1 \ E 2 ). µ (A) µ (A E 1 ) + µ (A \ E 1 ). µ (A \ E 1 ) µ (A \ E 1 E 2 ) + µ (A \ E 1 \ E 2 ).

32 16 CAPÍTULO 1. MEDIDAS Luego: µ (A) µ (A E 1 ) + µ (A (E 2 \ E 1 )) + µ (A \ E 1 \ E 2 ), y se concluye al observar que µ (A E 1 ) + µ (A (E 2 \ E 1 )) µ (A (E 1 E 2 )). Por tanto A es un álgebra. Para probar que A es una σ-álgebra tomamos una sucesión disjunta E n en A y se muestra que S := E n A, es decir que µ (A) µ (A S) + µ (A \ S). Notamos en primer lugar que S n = n k=1 E k A. Luego: µ (A) µ (A S n ) + µ (A \ S n ) µ (A S n ) + µ (A \ S). (1.1) Se estable ahora que: µ (A S n ) = k n µ (A E k ). (1.2) De aquí es claro que µ (A S) k=1 µ (A E k ) es decir que: µ (A S) = µ (A E k ) = lím µ (A S n ). k=1 El resultado deseado sale tomando límites en (1.1). Probamos (1.2) y notamos que la identidad es cierta para n = 1, 2. Si por inducción admitimos el caso n y usamos que E n+1 es medible tenemos: µ (A S n+1 ) = µ (A S n+1 E n+1 ) + µ (A S n+1 \ E n+1 ) = µ (A E n+1 ) + µ (A S n ) = µ (A E k ). (1.3) k n+1 Por tanto A es una σ-álgebra. Que µ es una medida es evidente. Observación a) Si µ (E) = 0 entonces E es medible. b) Si µ (E) = 0 entonces todo A E también es medible. Según se ha dicho esto quiere decir que las medidas exteriores dan lugar a medidas completas. c) La σ-álgebra A de los conjuntos medibles con respecto a la medida exterior de Lebesgue λ N se denota L N, sus miembros los conjuntos mediblelebesgue y la restricción de λ N a L N se denomina la medida de Lebesgue (Sección 1.5.1).

33 1.4. MEDIDAS EXTERIORES Construcción de medidas exteriores La siguiente sección muestra la exibilidad de las medidas exteriores. Se verá que es relativamente sencillo construirlas. Una noción importante es la que sigue. Se dice que una clase K en X es de recubrimiento numerable si: i) K. ii) Todo A X se puede recubrir mediante una sucesión {E n } n N K. Es decir, existe {E n } n N K tal que: A n=1e n. Sea K una clase de recubrimiento numerable y λ una función de conjunto no negativa, con dominio K, valores en [0, + ] (es decir λ puede tomar el valor + ) tal que λ( ) = 0. Para A X se dene: { } µ (A) = ínf λ(e n ) : {E n } n N K, A n=1e n. n=1 Se tiene el siguiente resultado. Teorema La función µ dene una medida exterior en X. Observación El ejemplo fundamental de la asignatura, la medida exterior de Lebesgue, se construye por este procedimiento (Sección 1.5.1). Cuando un par (K, λ) de este tipo se usa para construir µ no resulta fácil decidir qué conjuntos son medibles y cuál es su medida. Si (K, λ) es un par σ-álgebra-medida entonces (ver los Ejercicios 11-12) K A, donde A son los conjuntos µ medibles, mientras λ = µ en K. Por tanto (X, A, µ ) es una extensión (completa) de (X, K, µ). Con una clase menos restrictiva (K, λ) se obtiene el mismo resultado. Teorema 1.29 (Carathéodory). Sea (K, λ) una clase de recubrimiento numerable y λ : A [0, ] cumpliendo λ( ) = 0. Supongamos que K es un álgebra mientras: λ( E n ) = λ(e n ), (1.4) donde {E n } A es una familia de elementos disjuntos dos a dos que satisface E n A. Sea µ la medida exterior generada por (K, λ). Entonces: i) µ (E) = λ(e) para E K. ii) K A donde A es la clase de los conjuntos µ -medibles. Observación Cuando λ satisface (1.4) se la denomina una premedida.

34 18 CAPÍTULO 1. MEDIDAS Demostración. Probamos ii) y para ello tomamos E K y un A X cualquiera con µ (A) < (¾por qué?). Se trata de comprobar que: µ (A) µ (A E) + µ (A \ E). Dado ε > 0 existe {E n } K con n E n A y µ (A) + ε n λ(e n ). Por otra parte: luego Así A E n (E n E) µ (A E) n λ(e n E) A \ E n (E n \ E), µ (A \ E) n λ(e n \ E). µ (A E) + µ (A \ E) n {λ(e n E) + λ(e n \ E)} = n λ(e n ). Esto prueba la desigualdad buscada. En cuanto a i) tomamos E K. Para ε > 0 existe {E n } K con n E n E y µ (E) + ε λ(e n ). n Sin embargo E n E n = n F n donde los F n K, F n E n y los F n son disjuntos dos a dos. Como E = n (F n E), resulta λ(e) = λ(f n E) λ(e n ) µ (E) + ε. n n De aquí se sigue que λ(e) µ (E) mientras la desigualdad contraria es evidente. Por tanto µ (E) = λ(e). Ejemplo En X = R consideramos el álgebra A = { n k=1 J k : J k = (a k, b k ], J i J l = i l} {(, a] : a R} {(b, ) : b R} (Ejercico 13) sobre la que denimos: λ(e) = n λ(i k ), donde λ((a, b]) = b a y toma el valor innito en los intervalos innitos. La función λ constituye una premedida (lo cual no es inmedito) y genera una medida exterior µ cuyos conjuntos medibles A contienen a S(A) = B 1, es decir a los borelianos de R. Por el teorema precedente µ = λ sobre A. No es difícil demostrar que µ coincide con la medida exterior de Lebesgue (Sección 1.5.1), por tanto, que A son los conjuntos medible Lebesgue. 1

35 1.4. MEDIDAS EXTERIORES Ejercicios D) Medidas exteriores. 1. Defínase µ (E) como el número de elementos de E si tal conjunto es nito (µ ( ) = 0), µ (E) = si E es innito. Probar que µ es una medida exterior. Determinar los conjuntos medibles. Solución. A = (X). 2. Defínase µ ( ) = 0, µ (E) = 1 si E. Probar que µ es una medida exterior. Determinar los conjuntos medibles. Solución. A = {, X}. 3. Supóngase que X posee una cantidad no numerable de puntos. Si µ (E) = 0 para E numerable, µ (E) = 1 si E es no numerable. Demostrar que µ es una medida exterior. Determinar los conjuntos medibles. Solución. A = {E X : E numerable ó E c numerable}. 4. Sea µ una medida exterior y B X un conjunto jado. Defínase ν (A) = µ (A B). Probar que ν es una medida exterior determinando la relación entre los conjuntos medibles de µ y los de ν. 5. Sea {µ n} una sucesión (nita o innita) de medidas exteriores. Defínase la suma n µ n como: ( ) µ n (A) = µ n(a) A X. n n Demuéstrese que n µ n es una medida exterior. Indicación. Puede usarse la Proposición Demuéstrese que si una medida exterior es nitamente aditiva entonces es una medida. 7. Se dice que una medida exterior µ es regular si cualquier conjunto A X admite una envolvente medible G A, A G (A la σ-álgebra de los conjuntos µ medibles) con µ (A) = µ (G). Pruébese que si {A n } n N es creciente y µ es regular entonces: µ (lím A n ) = lím µ (A n ). Indicación. Sean G n, G las envolventes de A n, A respectivamente con A = A n. Cambiando G n por G n G podemos suponer que los G n G. Cambiando G n por G n G n+1 podemos suponer que los G n son crecientes. Como: A G := G n G, G es una envolvente de A. Ahora, µ (lím A n ) = µ (A) = µ (G ) = lím µ (G n ) = lím µ (A n ).

36 20 CAPÍTULO 1. MEDIDAS C) Clases recubridoras numerables (referencia, Sequential covering classes en Foundations of Modern Analysis de A. Friedman [9]). Si K es una clase de recubrimiento numerable en X y λ es una función de conjunto no negativa con dominio K y valores en R, se recuerda que la medida exterior asociada a (K, λ) es: { } µ (A) = ínf λ(a n ) : A n=1a n, {A n } K. (1.5) n=1 8. Supongamos que K consta de X, y los conjuntos con un elemento. Sea λ(x) =, λ( ) = 0, λ(e) = 1 si E X, E. Describir µ. 9. Para X no numerable y K como en el problema anterior supongamos que λ(x) = 1, λ(e) = 0 si E X. Descríbase µ. 10. Supongamos que (K, λ) cumple las condiciones previas que permiten construir la medida exterior µ como en (1.5). Probar que µ (E) λ(e) para todo E K. Dése un ejemplo donde la desigualdad resulta estricta. 11. Si K es una σ-álgebra y λ es una medida sobre K, donde admitimos que K es una clase de recubrimiento numerable. Pruébese que µ (A) = λ(a) para todo A K. Indicación. Establecer que: µ (A) = ínf{λ(e) : E K, A E}. 12. Si el par (K, λ) constituyen una σ-álgebra (con la propiedad de recubrimiento numerable) y una medida, pruébese que todos los elementos de K son µ - medibles. Nota. Los Ejercicios arman que si (K, λ) es una σ-álgebra y una medida, entonces µ denida por (1) y observada como medida en la clase de sus conjuntos medibles, constiuye una extensión de la medida λ.

37 1.5. MEDIDAS DE LEBESGUE Y DE LEBESGUE-STIELTJES Medidas de Lebesgue y de Lebesgue-Stieltjes Medida de Lebesgue En R N se considera la clase K de los intervalos abiertos: I a,b = {x R N : a i < x < b i, 1 N}, a = (a 1,..., a N ), b = (b 1,..., b N ), a i < b i para i {1,..., N} (incluimos en K). La clase K es de recubrimiento numerable en R N. Se dene en K la función de conjunto λ como λ( ) = 0 mientras: λ(i a,b ) = N (b i a i ). i=1 La medida exterior µ en R N asociada a (λ, K) se conoce como la medida exterior de Lebesgue. La medida de Lebesgue en R N es la denida a través de µ. Los correspondientes conjuntos medibles se llaman conjuntos de Lebesgue. Proposición Designemos por µ la medida exterior de Lebesgue en una dimensión. Entonces, a) µ {x} = 0 para cada x R. b) Si A R es numerable µ (A) = 0. Por lo tanto todo conjunto numerable es medible Lebesgue. c) Si I es cualquiera de los intervalos (a, b), [a, b], (a, b] ó [a, b) entonces µ (I) = b a. d) Para α, b R, α 0, se dene T : R R como T (x) = αx + b. Entonces µ (T (A)) = α µ (A). Además A R es medible Lebesgue si y sólo si T (A) es medible Lebesgue. Observación Puede comprobarse que la medida exterior de Lebesgue en R coincide con la medida exterior introducida en el Ejemplo El teorema de Carathéodory dice entonces que todos los borelianos son medible-lebesgue en R. Usaremos otro camino para demostrar esto. Demostración del la Proposición a), b) Son inmediatos. c) Está claro que si I es de una clase cualquiera de los intervalos señalados se tiene que: µ (I) b a. Estudiamos I = [a, b]. Dado ε > 0 existen intervalos abiertos {I n } que recubren I y cumplen λ(in ) µ (I) + ε.

38 22 CAPÍTULO 1. MEDIDAS Por compacidad un número nito de los intervalos todavía recubre I y, suprimiendo intervalos si hiciera falta, podemos suponer que estos intervalos son I 1,..., I m y que todos cortan a I. Así pues: m λ(i n ) λ(i n ) µ (I) + ε. (1.6) n=1 Tomando c el mínimo de los extremos inferiores, d el máximo de los extremos superiores de los intervalos I n resulta claro que: m n=1λ(i n ) = (c, d) I. Se tiene ahora la siguiente propiedad: si I 1,..., I m son intervalos abiertos cuya unión I 1 I m es un intervalo abierto, entonces se cumple que λ(i 1 I m ) m λ(i n ). Esto se demuestra por inducción. Para dos intervalos la propiedad es evidente. El paso m a m + 1 es así: si n=1 I 1 I m I m+1 es un intervalo J entonces I m+1 ha de cortar a otro de los intervalos (de lo contrario I m+1 se convertiría en una componente de J). Supongamos que ese otro intervalo es I m y que ponemos I m la unión de éste con aquél. Resulta: λ(i 1 I m I m+1 ) = λ(i 1 I m) λ(i 1 ) + + λ(i m) λ(i 1 ) + + λ(i m ) + λ(i m+1 ), pues hemos usado la hipótesis de inducción y que λ(i m I m+1 ) λ(i m ) + λ(i m+1 ). Se concluye entonces de (1.6) que: b a c d µ (I) + ε. Por ello µ (I) = b a. Que los otros intervalos comparten esa medida es ahora evidente. d) La demostración no ofrece dicultad. Observación Damos una demostarción de c) que puede extenderse a R N. Usando la misma notación concluimos: (a, b) = I 1 I m I i = (a, b) I i, en donde no tenemos en cuenta las intersecciones vacías. La unión de extremos {a i, b i } de los intervalos I i se escribe ordenadamente a = x 0 < x 1 < < x p = b, se forman los intervalos parciales J σ = (x σ 1, x σ ), 1 σ p y se cumple: λ(a, b) = λ(j 1 ) + + λ(j p ).

39 1.5. MEDIDAS DE LEBESGUE Y DE LEBESGUE-STIELTJES 23 Armamos que cada J σ I i para algún i. Llamamos Λ = {1,..., p}, Λ i = {σ Λ : J σ I i }, 1 i m. Como puede ser que Λ i Λ s sea no vacío denotamos: Entonces (los J σ son disjuntos): Λ 1 = Λ 1, Λ i = Λ i \ {Λ 1 Λ i 1 }. λ(a, b) = m m m λ(j σ ) = λ(j σ ) λ(i i) λ(i i ), σ Λ i=1 σ Λ i que es lo que queríamos demostrar. Nótese que hemos usado la desigualdad: λ(j σ ) λ(i i), σ Λ i que está justicada porque los J s del primer miembro son disjuntos dos a dos. Probamos ahora la armación. Ésta es inmediata para (a, x 1 ) y (x p 1, b). Tomemos pues J σ : a < x σ 1 < x σ < b. Si x σ = b k, como x σ 1 (a s, b s ) y x σ 1 y x σ son extremos consecutivos, ha de ser: x σ b s (x σ 1, x σ ) (a s, b s ). Si x σ = a k con la misma notación que antes ahora habrá de ser x σ < b s y se sigue la misma conclusión. En el caso de intervalos cerrados Ndimensionales [a, b], a = (a i ), b = (b i ) se escribe igualmente: i=1 (a, b) = I 1 I m I i = (a, b) I i, se proyecta cada intervalo I i = (ai, b i ), a i = (a i k ), bi = (b i k ) en el eje j para obtener (a j, b j ) = (a 1 j, b 1 j) (a m j, b m j ). Formamos la partición {x 0,..., x pj } resultado de unir los extremos s {a s j, bs j } y para γ {1,..., p j } formamos el γ j -ésimo intervalo I j γ = (x γj 1, x γj ) en la proyección j. Denotamos γ = (γ i ) Λ donde Λ = {1,..., p 1 } {1,..., p N } y construimos los intervalos parciales de la partición N-dimensional I γ = N Iγ. j j=1 i=1 Se tiene entonces que λ(a, b) = γ Λ λ(i γ ).

40 24 CAPÍTULO 1. MEDIDAS Armamos ahora que para cada γ Λ existe i {1,..., m} tal que I γ I i. En efecto, si x I γ entonces existe i tal que x I i. Al proyectar en la dirección j resulta que: x j π j (I γ ) = (x γj 1, x γj ) & x j π j (I i) = (a i j, b i j). Sin embargo se observa ahora que x γj 1 es el mayor x σ de los elementos de la partición que cumple x σ < x j mientras x γj es el menor x σ de entre los de la partición que cumple x σ > x j. Como a i j, bi j son elementos de la partición se tiene que: a i j x γj 1 < x γj b i j (x γj 1, x γj ) (a i j, b i j). Siendo esto verdad para cada j se concluye que I γ I i. La idea original de esta demostración procede de SteinSakarchi ([ 17]). Probaremos más tarde que abiertos y cerrados son siempre medible Lebesgue Medida de Lebesgue-Stieltjes En teoría de probabilidades, las variables aleatorias inducen medidas de Borel nitas, es decir, medidas µ cuyo dominio contiene a los borelianos B 1 de R que cumplen µ(r) <. Se llama a f(a) := µ(, a] la función de distribución de la medida. La función f es creciente, continua por la derecha, f(a) f(a ) = µ{a} mientras µ(a, b] = f(b) f(a). Se considera ahora el proceso inverso. Se designa por K la clase de los intervalos abiertos (a, b) de R (junto con ). Si f es una función creciente y continua por la derecha se dene: λ(a, b) = f(b) f(a), (1.7) junto con λ( ) = 0. Denición La medida en R asociada a (λ, K), donde λ está denida mediante (1.7), se denomina de Lebesgue-Stieltjes. Proposición Sea f creciente y continua por la derecha y designemos µ f = µ. Entonces: a) Para todo x R: µ {x} = f(x+) f(x ) = f(x) f(x ) con f(x±) = lím h 0+ f(x ± h). b) Si a < b entonces µ [a, b] = f(b+) f(a ) = f(b) f(a ), µ (a, b) = f(b ) f(a+) = f(b ) f(a), µ [a, b) = f(b ) f(a ), µ (a, b] = f(b+) f(a+) = f(b) f(a). Como en el caso de la medida de Lebesgue, comprobaremos que abiertos y cerrados cualesquiera son medibles para µ f