Las. Vol. 9 Núm. 46 enero-marzo matemáticas. y la. educación

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1 Vol. 9 Núm. 46 enero-marzo 2009 Las matemáticas y la educación

2 CECSA PAIDÓS PAIDÓS GRUPO EDITORIAL PATRIA

3 en una peculiar sociedad de vertiginosos cambios que caracterizan el siglo XXI, Inmersa Innovación Educativa tiene el compromiso de difundir los avances en innovación e investigación educativa, generar y compartir información, conocimiento y experiencias con la comunidad educativa nacional y latinoamericana. Pero, además, como avanzar es la raíz y razón de la evolución, está en permanente proceso de mejora a fin de satisfacer las demandas de la comunidad académica. Por ello a partir de este año Innovación Educativa pasa a ser monográfica en su versión impresa. El primer número en este concepto está dedicado a la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en los diversos niveles educativos, tema que por su extensión no se agota con este número. Varios términos en el área educativa se refieren a estudios, actividades docentes e investigaciones en la línea de procesos pedagógicos en matemáticas: en Europa se designan como didáctica de la matemática, en América Latina como educación matemática, y en México un gran sector de docentes le denominan matemática educativa. Las matemáticas y la educación Es claro que el lector no encontrará una fórmula para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, ya que es una problemática muy compleja en la que intervienen diversas variables didácticas y en general educativas. De hecho, no existe una receta para enseñar matemáticas en los diferentes niveles educativos, pero sí se puede contar con lineamientos rectores que ayudan a la enseñanza efectiva y a un mejor aprendizaje en los estudiantes; para ello, cada docente deberá adaptarlos según el tipo de alumnos que tenga, los objetivos que persiga y la modalidad educativa en que trabaje. Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo 1

4 Yoloxóchitl Bustamante Díez Directora Alicia Lepre Larrosa Coordinadora Editorial Comité Editorial Comité de Arbitraje Alfonso Ramírez Ortega, INDEPENDIENTE Alicia Vázquez Aprá, UNRC, ARGENTINA Ana Ángela Chiesa, CIBA, ARGENTINA Carlos Barroso Ramos, IPN Claudia Marina Vicario Solórzano, IPN Esperanza Gracia Expósito, UCM, ESPAÑA Francisco J. Chávez Maciel, IPN Hernando Roa Suárez, UPN, COLOMBIA Jesús Sebastián, CSIC, ESPAÑA Jorge Alejandro Fernández Pérez, BUAP Juan Cristóbal Cobo Romaní, FLACSO, SEDE MÉXICO Juan Silva Quiroz, UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, CHILE Ma. Covadonga de la Iglesia Villasol, UCM, ESPAÑA Miguel A. Santos Rego, USC, ESPAÑA Noel Angulo Marcial, IPN Patricia Camarena Gallardo, IPN Patricio H. Daowz Ruiz, IPN Tomás Miklos, INDEPENDIENTE Antonio Rivera Figueroa, CINVESTAV Carmen Trejo Cázares, IPN Corina Schmelkes, INDEPENDIENTE Eduardo L. de la Garza Vizcaya, UAM Ernesto A. Sánchez Sánchez, CINVESTAV Federico Zayas Pérez, UNISON Freddy Varona Domínguez, U. DE HOLGUÍN, CUBA Hugo E. Sáez Arreceygor, UAM Juan Manuel Chabolla Romero, ITC, CELAYA Lisbeth Baqueiro Cárdenas, INDEPENDIENTE Lorenza Villa Lever, UNAM Luis O. Aguilera García, U. DE HOLGUÍN, CUBA Miguel A. Pasillas Valdez, UNAM Raúl Derat Solís, UAT Raúl Rojas Soriano, UNAM Ricardo Martínez Brenes, UNESCO, COSTA RICA Rosa M. García Méndez, UNILA Silvia M. Soto Córdoba, ITCR, COSTA RICA Víctor M. Machuca Pereda, INDEPENDIENTE Patricia Camarena Gallardo Alma Alicia Benítez Pérez Elena Fabiola Ruiz Ledesma Martha Leticia García Rodríguez Coordinadora del tema Participantes especiales 15 ensayo Diseño de estrategias de enseñanza para el concepto de variación en áreas de ingeniería 41 investigación Innovación e investigación en educación matemática La matemática en el contexto de las ciencias Patricia Camarena Gallardo Manuel Santos-Trigo Elena Fabiola Ruiz Ledesma 27 ensayo investigación Estudio de la primera representación gráfica de ecuaciones algebraicas en contexto Alma Alicia Benítez Pérez 5 2 Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo

5 Pedagogical scenario involving Aplusix educational software Jana Trgalová 51 investigación Innovación Educativa se publica por la Secretaría Académica del Instituto Politécnico Nacional Tiro: 6,000 ejemplares Distribución gratuita Innovación educativa tiene el propósito incluyente de difundir trabajos de investigación y de divulgación que abarquen la realidad educativa del país y del Instituto Politécnico Nacional, estar a la vanguardia de los conocimientos científicos y tecnológicos, y distinguirse como factor en la aplicación de nuevas formas de comunicación. Número de certificado de reserva otorgado por el Instituto Nacional de Derecho de Autor: Número de certificado de licitud de título: Número de certificado de licitud de contenido: 8435 Número de ISSN: Domicilio de la publicación y distribución Secretaría Académica, 1er. piso Unidad Profesional Adolfo López Mateos Av. Luis Enrique Erro s/n Zacatenco, C.P Delegación Gustavo A. Madero, D.F. México Teléfono: , exts y innova@ipn.mx Página Web 75 El uso de la modelación en la enseñanza de las matemáticas María Trigueros Gaisman On the fragility of an internet-based dialogue Mario Sánchez Aguilar 65 Indización Latindex-Directorio, (Sistema Regional de Información en Línea para Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal) Clase (base de datos bibliográfica de revistas de ciencias sociales y humanidades) Índice Internacional Actualidad Iberoamericana CREDI (Centro de Recursos Documentales e Informáticos) de la OEI (Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura) Difusión en otros formatos electrónicos Registrada en el Catálogo HELA Diseño y formación Tecnología Informática Constructivista, S.A. de C.V. rociomabarak@yahoo.com.mx Ilustración Archivo Digital Formación docente a distancia en línea un modelo desde la matemática educativa Gisela Montiel Espinosa 89 El número 46 de la revista Innovación Educativa se terminó de imprimir en marzo 2009 en Impresora y Encuadernadora Progreso, S.A. de C.V. San Lorenzo Tezonco No. 244, Col. Paraje San Juan, Iztapalapa, C.P , México, D.F. Los artículos firmados son responsabilidad exclusiva de su autor y no reflejan necesariamente el criterio de la institución, a menos que se especifique lo contrario. Se autoriza la reproducción parcial o total siempre y cuando se cite explícitamente la fuente. Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo 3

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7 Innovación e investigación en educación matemática Manuel Santos-Trigo * Resumen El aprendizaje o la construcción del conocimiento matemático es una tarea que se promueve dentro o como parte de un sistema global de educación. Aun cuando la caracterización del pensamiento matemático comprende el desarrollo de algunas estrategias y recursos propios de la disciplina, es relevante reconocer que el estudio de las matemáticas se relaciona con otros saberes como las ciencias naturales, sociales, las artes y la moral. Con este marco global se aborda, en términos generales, los significados asociados con innovación e investigación, en educación matemática, con la intención de identificar resultados que han influido en la práctica de instrucción matemática. En particular, el empleo de herramientas computacionales ofrece rutas importantes para discutir temas relacionados con la estructura y organización del currículo, las dinámicas de instrucción y la formación de los profesores. Palabras clave Educación matemática, innovación, resolución de problemas y herramientas computacionales. Innovation and research in mathematics education Abstract The construction of students mathematical knowledge is developed within an educational system in which certain values and social goals are promoted. Although the students construction of mathematical thinking involves the development or construction of sets of strategies and mathematical resources, it is relevant to recognize that the study of the discipline is closely related to the study of other fields or domains including natural sciences, social sciences, the arts and ethic or moral disciplines. In this context, I present general features of a possible global educational system and review research results from mathematics education that can be useful in mathematics instruction. In particular, I discuss and example to show that the use of computational tools can offer the instructors the opportunity to think of potential instructional routes to foster their students mathematical learning. In this perspective, they also have the opportunity of addressing issues related to the curriculum structure and organization, class dynamics and the teachers education. Keywords Mathematics education, innovation, problem solving and computational tools. * Licenciado en física y matemáticas por la Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM), del Instituto Politécnico Nacional (IPN), obtuvo su doctorado en educación matemática en la Universidad de British Columbia, Canadá y una estancia de posdoctorado en la Universidad de California, Berkeley, EUA. Ha sido profesor invitado en la Universidad de Quebec, Canadá; Universidad de California y Universidad de Purdue en EUA, así como en la Universidad de la Laguna, España, entre otras. Ha publicado innumerables artículos especializados en la materia y actualmente es investigador titular en el Departamento de Matemática Educativa en el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav-IPN), México. msantos@cinvestav.mx Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo 5

8 Sistema de educación global Cómo se define y estructura un sistema educativo en el ámbito nacional? Qué educación matemática y de las ciencias debe promoverse en las instituciones educativas? Qué tipos de conocimiento deben formar parte de la cultura general de quien termina los estudios preuniversitarios? Cuál es el papel de las matemáticas en la educación del individuo? Qué tipo de problemas y actividades de instrucción promueve el aprendizaje de los estudiantes? Estas son algunas preguntas relevantes de la agenda de investigación en el campo de la educación matemática. Gardner (2000), sugiere que la educación, de todo individuo, debe girar alrededor de tres áreas o campos relacionados: la búsqueda de la verdad a través de los métodos que se han desarrollado en las distintas disciplinas del estudio de las ciencias, la apreciación y valoración de la belleza por medio del estudio de las artes, y el conocimiento y entendimiento del campo de la moral que permite reconocer lo bueno y lo malo en la sociedad. En su propuesta Gardner ilustra esta visión de la educación a partir del desarrollo de la teoría de la evolución como área significativa en el estudio de las ciencias nociones relevantes incluyen las especies, la variación, la selección natural, la adaptación, entre otros. En el campo de la belleza introduce la obra de Mozart Las bodas de Fígaro, donde resalta el lenguaje artístico, la credibilidad de los caracteres, intrigas, emociones, poder, jerarquías sociales y evocaciones de toda una era estudio del trabajo de los artistas o creadores de arte. Finalmente, en el campo de la moralidad aborda la necesidad de entender la secuencia de eventos conocidos como holocausto. Propone revisar y analizar los elementos históricos y morales de estos sucesos para que el individuo reflexione sobre la maldad y la bondad en esta sociedad. En esta dirección, las matemáticas se distinguen no solo como una herramienta que ayuda a entender y analizar distintos fenómenos asociados con los tres campos por ejemplo, el estudio de los modelos matemáticos de los procesos de evolución, los cambios en la población o los programas que producen vida artificial sino que constituyen un ejemplo en la búsqueda de relaciones, donde la justificación y la explicación son relevantes en la presentación de resultados. De esta manera, es importante ubicar el estudio de las matemáticas desde una perspectiva multi y transdisciplinaria, en el sentido de que las formas de pensar asociadas con el pensamiento matemático pueden también ser de utilidad para abordar los problemas desde el contexto de otras disciplinas del conocimiento o áreas de estudio. Por ejemplo, un problema sobre el crecimiento de la población de alguna especie se puede analizar a partir de los datos previos de crecimiento y el diseño de un modelo matemático que simule y cuantifique la variación. Este mismo problema también se estudia a partir de los métodos biológicos que dan cuenta del tipo de enfermedades causas y consecuencias que inciden en la relación nacimientos y muertes; o desde las perspectivas de las ciencias sociales al examinar el impacto del desarrollo de los medios de comunicación en la participación masiva de los individuos en los procesos de toma de decisiones. El reconocimiento de ubicar el estudio de las matemáticas en un entorno multi y transdisciplinario implica revisar el tipo de innovaciones necesarias que sustenten los principios para reestructurar aspectos relacionados con el currículo, las prácticas de instrucción y las formas de utilizar las diversas herramientas computacionales. Innovación e investigación en educación matemática En general, el término innovación se emplea en el campo de la educación con la finalidad de identificar y comunicar cambios o acercamientos novedosos en el sistema educativo existente. Así se hablar de innovación en el currículo, en las prácticas de instrucción y en los programas de investigación. El argumento que con frecuencia se utiliza para mostrar una innovación se basa en que la propuesta innovadora ofrece una mejor alternativa que las prácticas existentes. Desafortunadamente, cuando se anuncian innovaciones existe la tendencia de descalificar lo que existe y pocas veces se valora aquellos aspectos que pueden ser considerados como antecedentes que proporcionan cierta racionalidad a las acciones o proyectos innovadores. También es elemental reconocer que los acelerados desarrollos tecnológicos muchas veces impulsan innovaciones con la intención de incorporar los avances de la moda tecnológica, pero sin atender los ajustes que garanticen una transición planeada. En este panorama, se formulan algunas preguntas que sirven de punto de partida para introducir innovaciones requeridas en la investigación y práctica de la instrucción. Qué es lo que define la investigación en educación matemática? Cómo se identifican los temas a investigar en la disciplina? Qué resultados relevantes y aspectos de esta investigación orientan las prácticas de instrucción? La discusión de estas preguntas es fundamental para evaluar la relación de la investigación y la práctica o instrucción matemática. Silver (1990), argumenta que la creencia de un amplio sector de la sociedad en que algún día la investigación identificará los objetivos importantes en la educación y como consecuencia generará condiciones para alcanzar tales metas y propondrá respuestas inequívocas a las preguntas de los problemas educacionales, ha generado expectativas no realistas de lo que se espera de la investigación en la educación matemática. Por ello, propone cambiar esta creencia de la existencia de un cura mágica o definitiva por el reconocimiento de una relación bi-direccional. La práctica educativa debe orientarse por ideas y constructos que emergen de la investigación y viceversa, los marcos de investigación deben considerar aspectos relacionados con los escenarios de instrucción. Es decir, los resultados de investigación producen transformaciones en la práctica y la misma práctica influye y retroalimenta la agenda de investigación de la disciplina. 6 Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo

9 De la misma manera Hiebert reconoce que tomar en cuenta los productos de investigación ayuda a tener información confiable para elegir las mejores decisiones. Sin embargo, afirma que en cada campo la ciencia tiene sus límites. Para ilustrar las limitaciones de la investigación en educación plantea una analogía con la investigación sobre la salud: Considere los requerimientos para una vida saludable. Profesionales en la materia proponen estándares para vivir de manera saludable dieta, ejercicio, descanso. Pero la investigación médica no prueba que estos estándares son los mejores [ ] Qué es mejor usar: mantequilla o margarina? Se debe consumir exactamente siete raciones de frutas y vegetales todos los días o seis es suficiente? Estas preguntas simples no tienen respuestas simples. Hay demasiados factores que influyen en los resultados: la cantidad de ejercicio que hacemos, cuanto pesamos, nuestra genética, nuestro metabolismo, etc. Sería imposible controlar todos estos factores para probar que una cierta dieta es la mejor (Hiebert, 1999, p. 5). Este autor también indica que, en ambientes complejos como el salón de clase existe una relación especial entre la investigación, la elección, y el desarrollo de las actividades de aprendizaje. Las decisiones se basan en estimaciones probabilísticas, y los datos de la investigación nos ayudan a estimar la probabilidad de éxito. Entre más claros sean los resultados, se tiene más confianza de que estamos tomando buenas decisiones (Hiebert, 1999, p. 5). En esta realidad se identifican los elementos fundamentales alrededor de una investigación y las contribuciones que pueden aportar a la práctica de la instrucción. Se inicia con una reflexión acerca de las formas de identificar un problema de investigación y la importancia de seleccionar un conjunto de preguntas que la orienten. Se sostiene que el proceso de definir un problema de investigación es similar a la actividad de planear escenarios de instrucción donde los estudiantes tengan oportunidad de desarrollar sus ideas matemáticas. En ambas tareas resulta cardinal problematizar la actividad. En otras palabras, transformar las metas en dilemas o preguntas que deben atenderse en forma sistemática. Posteriormente, se identifican posibles contribuciones que aparecen en la práctica de la instrucción, considerando aspectos de la investigación relacionados con los marcos teóricos, algunos métodos de investigación incluyendo problemas que pueden ser útiles en la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes. Aportaciones de la investigación en educación matemática Cuáles son los aportes de la investigación de los programas de investigación en educación matemática en la organización del currículo y la instrucción? Existen semejanzas entre los procesos de investigar y de seleccionar e implementar actividades de instrucción que promuevan el desarrollo del conocimiento matemático de los estudiantes. La tarea de realizar una investigación en educación matemática implica identificar un conjunto de preguntas que servirán de guía en el desarrollo del estudio. La selección de las preguntas de investigación se basa en un análisis detallado del tema, las metas y las condiciones de desarrollo de la investigación. De la misma manera, planear un escenario de instrucción incluye reflexionar plantear y discutir preguntas acerca del tema en estudio qué significa aprender el concepto de derivada?; cuáles son los recursos y procesos fundamentales alrededor del concepto?; qué tipo de problemas son importantes en la construcción del concepto? Es decir, se examina el tema y se identifican trayectorias potenciales de aprendizaje que los estudiantes pueden seguir durante la instrucción. La visión que aporta la revisión de la literatura en el proceso de desarrollar una investigación es similar a la forma de estructurar la instrucción a partir de la incorporación de los resultados de la investigación. Se reconoce que en la construcción del conocimiento matemático es fundamental que el estudiante aprenda a formular preguntas y a buscar distintos caminos para encontrar respuestas a esas preguntas. En esta perspectiva es fundamental construir escenarios de aprendizaje donde el alumno tenga oportunidad de reflexionar acerca del uso de recursos y procesos del quehacer matemático a fin de extender y robustecer sus formas de plantear y resolver problemas. Influencia de los marcos teóricos en la instrucción Un marco teórico se define alrededor de los principios que rigen la estructura y desarrollo de la investigación. En la resolución de problemas, por ejemplo, es primordial analizar el proceso cognitivo y no solo los productos que muestra el estudiante durante sus experiencias de aprendizaje. Además, en esta perspectiva existen constructos teóricos que ayudan a caracterizar el desarrollo del conocimiento matemático de los estudiantes en términos de la visión de la disciplina (creencias), los recursos básicos que disponen y puedan acceder durante la comprensión de las ideas matemáticas y la resolución de problemas, las estrategias cognitivas relevantes en el proceso de solución y las de monitoreo, evaluación y autorregulación que guían la resolución de problemas. Estos aspectos han influido no solamente en la forma de estructurar los escenarios de instrucción sino en la selección e implementación de actividades de aprendizaje que faciliten a los estudiantes revelar y atender el desarrollo de estos constructos. En particular, una instrucción basada en la resolución de problemas intenta crear un microcosmo del quehacer matemático en el salón de clases (Schoenfeld, 2008), que refleje los valores y principios de la disciplina. Términos como problemas no rutinarios y comunidades de aprendizaje que promuevan los valores del quehacer de la materia son relevantes en una instrucción basada en la resolución de problemas. En la instrucción matemática es común que converjan principios e ideas asociadas con varios marcos teóricos y no con un marco específico. La visión de la matemática Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo 7

10 que se sustenta en un marco teórico también ha influido notablemente las actividades de aprendizaje que se promueven en el salón de clases. Esta dirección resalta que, aprender matemáticas va más allá de memorizar un conjunto de fórmulas o procedimientos para resolver un determinado tipo de problemas; aprender matemáticas implica desarrollar y apreciar los valores propios del quehacer de la disciplina. Esto incluye la tendencia a formular preguntas, representar relaciones, buscar conjeturas, plantear argumentos, resolver problemas, comunicar resultados y plantear problemas. Esta visión de las matemáticas es consistente con la que se promueve en el documento de los estándares. La propuesta refleja las sugerencias e influencias de muchas fuentes. La investigación en educación sirve como base para muchas de las propuestas y aseveraciones que aparecen en el documento acerca de que es posible para los estudiantes aprender en ciertas áreas de contenido, en ciertos niveles y bajo ciertas condiciones pedagógicas (NCTM, 2000, p. xii). Importancia de los métodos de investigación Un efecto a destacar que emerge de la investigación en educación matemática es reconocer que los estudiantes participan activamente en la construcción de su propio conocimiento matemático. Asimismo, esta construcción se basa en los conocimientos y recursos que han aprendido en las experiencias previas de aprendizaje. Muchos de los métodos utilizados en la investigación para promover la reflexión y fomentar el aprendizaje incluyen el trabajo en grupos pequeños, participación en discusiones con toda la clase y en la resolución de problemas mediante entrevistas estructuradas. Estos métodos de investigación han sido exportados a la instrucción matemática, por ello es común que los estudiantes discutan problemas con sus compañeros, expongan ideas y, en algunos casos, participen en la resolución de problemas en entrevista con el docente. La intervención en grupos pequeños en clase y en las entrevistas es un medio eficaz para revelar ideas y conocer las de los compañeros, pero también como forma de refinar y extender las propias. Estos modos de estructurar las actividades de aprendizaje en el salón de clase han aportado información valiosa relacionada con la evaluación del aprovechamiento o competencias matemáticas de los estudiantes. Además, los mismos problemas utilizados en los programas de investigación se convirtieron en significativos recursos para los profesores en la construcción del pensamiento matemático de sus alumnos. Escenarios de instrucción Como ya se mencionó, es relevante la construcción activa que tienen los educandos en su propio conocimiento matemático, en donde es fundamental crear escenarios flexibles para que sus ideas, recursos, estrategias y formas de pensar se manifiesten libremente en beneficio de la clase. En este sentido el profesor organiza y orienta el desarrollo de las actividades y promueve una comunidad de aprendizaje a fin de valorar la formulación de preguntas, la búsqueda de conjeturas, el uso de distintas representaciones y la comunicación de resultados. Por supuesto, no existe un formato único acerca de cómo estructurar las distintas actividades de aprendizaje. Cada maestro de acuerdo con su propia instrucción, selecciona, organiza e implementa series de actividades que promuevan la: Participación de los estudiantes en la discusión de tareas o problemas en pequeños grupos. Presentación de los acercamientos de los estudiantes a los problemas a toda la clase o grupo. Retroalimentación y orientación por parte del profesor para identificar las estrategias y métodos de solución y la necesidad de enseñar nuevos contenidos. Reflexión individual del estudiante con el objetivo de incorporar y refinar los distintos acercamientos vistos en el desarrollo de las actividades. Currículo matemático La National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), (2000), propone un marco con visión global de las matemáticas que debe estudiarse en el nivel preuniversitario. El documento destaca cinco estándares de contenidos números y operaciones; geometría y sentido espacial; patrones, relaciones y álgebra; medición; análisis de datos y probabilidad y cinco estándares de procesos del pensamiento matemático resolución de problemas; razonamiento y prueba; comunicación; conexiones; representaciones. La visión matemática que se promueve ha sido referencia de peso en propuestas curriculares en países como Alemania, Estados Unidos, Portugal y México, entre otros. La pertinencia y consistencia entre las metas, el espíritu del documento los estándares y las propuestas del currículo que emergen al incorporar los principios y la visión que se promueve es un tema trascendental que debe abordarse directamente entre educadores y profesores de matemáticas. Una reflexión inicial implica discutir los cambios que demanda la estructura y organización de los contenidos en una propuesta, que a su vez refleje de manera clara los principios y visión matemática de los estándares. Es común encontrar propuestas que introducen el uso del lenguaje de los estándares y mantienen la rigidez y estructura de los contenidos en forma tradicional; o se suman a propuestas tradicionales ciertos apartados que hacen referencia a los propósitos de los estándares. Santos-Trigo (2007), reporta que varias propuestas curriculares explícitamente identifican a la resolución de problemas como una actividad central en el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes y el lenguaje 8 Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo

11 en la presentación distingue aspectos del quehacer matemático; sin embargo, no existe claridad en cuanto al significado de organizar un currículo bajo la perspectiva de la resolución de problemas. Cuáles son los contenidos fundamentales de la educación preuniversitaria? Cómo se estructuran en términos de actividades de resolución de problemas? Cómo hacer visible la interdependencia entre los contenidos y los procesos de la práctica de la disciplina? Este tipo de preguntas han estado fuera de discusión en la agenda de la resolución de problemas y, como consecuencia, no existe consenso sobre lo que una propuesta curricular, que refleje la resolución de problemas, debe incluir más allá de un discurso que señale fomentar las actividades propias de esta perspectiva. El reconocimiento de que pueden existir varios caminos para organizar una propuesta del currículo que promueva la resolución de problemas implica explicitar cómo los principios de esta perspectiva se distinguen en la organización y estructura de los contenidos. Por ejemplo, si interesa que los estudiantes identifiquen, representen, exploren y justifiquen diversas conjeturas asociadas con la comprensión de los conceptos matemáticos, entonces resulta esencial que el currículo se organice alrededor de los conceptos fundamentales que deben estudiarse a profundidad en los distintos niveles educativos. Es decir, es imprescindible transformar las listas extensas de temas que aparecían en las propuestas tradicionales del currículo en un conjunto de temas relevantes, donde se muestre su desarrollo y las formas de conectarse en diversos dominios que antes se estudiaban de manera independiente como el álgebra, la geometría, la estadística, el cálculo y la probabilidad. La resolución de problemas exitosa requiere del conocimiento del contenido matemático, del conocimiento de estrategias de resolución de problemas, de un auto-monitoreo efectivo, y una disposición productiva a plantear y resolver problemas. La enseñanza de la resolución de problemas requiere aún más de los profesores, ya que deben ser capaces de promover tal conocimiento y actitudes en sus estudiantes. [ ] La enseñanza en sí misma es una actividad de resolución de problemas (NCTM, 2000, p. 341). En este contexto, la resolución de problemas es una forma de interactuar y pensar acerca de las situaciones que demandan el empleo de recursos y estrategias matemáticas. Uso de herramientas computacionales El empleo de herramientas computacionales en la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes facilita la identificación e implementación de estrategias de resolución y potencia el repertorio de las heurísticas (Santos-Trigo, 2008). El uso de la tecnología influye directamente en la conceptualización y forma de interactuar con los problemas, como corolario incide en el desarrollo de una teoría que explique las competencias de los estudiantes. Moreno-Armella y Santos-Trigo (2008), establecen que el uso de herramientas digitales ha permitido la introducción y consideración de aspectos cognitivos matemáticos nuevos en el desarrollo de las competencias y ofrecen un potencial para repensar y estructurar nuevas agendas de investigación. Conviene presentar un ejemplo donde se ilustre el potencial de una herramienta en el proceso de trabajar una tarea o problema inicialmente caracterizado como rutinario, pero que con un acercamiento inquisitivo por parte de los alumnos se transforma en oportunidades para identificar y explorar diversas relaciones matemáticas. En el desarrollo de la actividad (Santos-Trigo y Cristóbal-Escalante, 2008 y Santos-Trigo, 2008), se identifican algunos acercamientos que mostraron estudiantes de bachillerato trabajando en una comunidad de aprendizaje que promueve el uso de herramientas computacionales en actividades de resolución de problemas. En particular, en la solución de la actividad se destaca el uso de un software dinámico, Cabri-Geometry, en la representación de la situación y búsqueda de relaciones. El problema del reparto A dos estudiantes, Luis y Pablo, encargados de la siembra de hortalizas en el jardín de la escuela se les asigna un pedazo de tierra en forma de cuadrado y deciden repartirse el terreno en dos partes de tal manera que a cada uno le corresponda la misma área (imagen 1). Fuente: Software Google Earth. Imagen 1 Terreno escolar. Las figuras 1 y 2 representan las dos formas que inicialmente se consideraron para dividir el terreno. Otro estudiante, Pedro, les sugiere seleccionar cualquier punto, sobre cualquier lado del cuadrado, y trazar una recta que pase por ese punto y el centro del cuadrado. Pedro les afirma que esta recta divide el cuadrado en dos regiones que tienen la misma área (figura 3). Es cierta la afirmación de Pedro? Siempre funciona ese método de dividir el terreno? Existe alguna relación entre el método original de Luis y Pablo con el procedimiento que propone Pedro? Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo 9

12 Figura 1 M y M son puntos medios de AB y DC. Figura 2 AC es la diagonal de ABCD. Figura 3 M es el centro del cuadrado y P y P están sobre el perímetro. Fuente: Elaboración propia. Durante el proceso de solución emergieron diversas maneras de dividir el cuadrado en dos regiones con la misma área. El uso de la herramienta Cabri-Geometry ayudó a examinar cada caso en forma visual numérica y a utilizar argumentos basados en propiedades geométricas (figuras 4 a 10). Figura 4 Triángulos PMC y P MA son congruentes por LAL. Como la diagonal divide al rectángulo en dos triángulos congruentes entonces los polígonos AMPD y CMP B tienen la misma área. Figura 5 Argumento de los rectángulos. Los rectángulos AGPF, GBHP, HCEP, y FPED se dividen en dos triángulos congruentes que permite afirmar que las áreas de las dos regiones son iguales. Figura 6 Los rectángulos PQDR, PTCQ, PSBT y ASPR cada uno se divide en dos triángulos congruentes. Por lo tanto, el área del cuadrilátero RSTQ es la mitad del área del cuadrado ABCD. Figura 7 Área de QRST es la mitad del área de ABCD. 10 Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo

13 Figura 8 El punto E es la intersección de la recta perpendicular a la recta EF que pasa por el punto I y la recta EF; el punto C es la intersección de esa perpendicular con la recta BC, B es el punto de intersección de la recta BC y la perpendicular a BC que pasa por el punto G; y el punto F es la intersección de esa perpendicular con la recta EF. Argumentaron que el área del rectángulo E F B C correspondía al área del hexágono original. Figura 9 Rotar una de las regiones (e.g. SBCDR) 180 grados alrededor del punto O (centro del hexágono), la región SBCDR coincidía con la región REFAS. Figura 10 Cuando P se sitúa en el centro del cuadrado, el cuadrilátero QRST alcanza el perímetro mínimo. Fuente: Elaboración propia. Se observa que, para el estudiante un problema/tarea representa la oportunidad de formular conjeturas o relaciones, buscar distintos caminos de solución, establecer conexiones, generalizaciones, sustentar y comunicar resultados. Formación y actualización de docentes Qué formación tienen que recibir los futuros profesores de matemáticas? Cómo mantener vigentes sus conocimientos pedagógicos y matemáticos? Quiénes deben participar en los programas de formación y actualización? David y Simmt (2006), sugieren que los programas de preparación de docentes deben enfocarse en la construcción de sus ideas matemáticas a fin de apreciar relaciones, interpretaciones, y el empleo de varios tipos de argumentos para validar conjeturas y relaciones más que estudiar cursos formales de matemáticas. El conocimiento matemático que se necesita para la enseñanza no es un versión diluida de las matemáticas formales; sino un área seria y demandante del trabajo matemático (Davis y Simmt, 2006, p. 295). En este sentido se recomienda que el conocimiento pedagógico y matemático del docente debe ser abordado, revisado y extendido en una comunidad intelectual que promueva un método inquisitivo o de reflexión. Los participantes en esa comunidad tienen que ser matemáticos, educadores matemáticos y los propios maestros, con la intención de construir trayectorias potenciales de aprendizaje que orienten las prácticas de instrucción. Es decir, los docentes requieren interactuar en una comunidad que les motive y proporcione un suporte co- Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo 11

14 legiado donde puedan compartir y discutir ideas para enriquecer sus conocimientos matemáticos y estrategias de resolución de problemas. Además, esta comunidad debe favorecer y analizar el uso sistemático de diversas herramientas computacionales y así identificar y evaluar los proyectos de innovación que surjan al llevar estos acercamientos al salón de clase. A manera de conclusión Se considera ineludible que matemáticos, educadores y profesores trabajen en conjunto para el diseño de planes y programas que, en realidad, reflejen la esencia de lo que significa aprender la disciplina. En particular, lo que interesa es que los estudiantes desarrollen una forma de pensar y disposición hacia el estudio de las matemáticas, donde exhiban distintas formas de representar fenómenos, identifiquen relaciones y patrones, formulen conjeturas, justifiquen y comuniquen resultados. La idea es ir más allá del empleo de exámenes estandarizados y promover formas de evaluación donde los estudiantes tengan oportunidad de mostrar distintos procesos de razonamiento, extender o buscar conexiones y eventualmente formular sus propios problemas o preguntas. En este sentido, es esencial proponer un currículo en términos de secuencias de problemas donde se reflejen los aspectos inherentes que transforman las asignaturas tradicionales en líneas de pensamiento numérico, algebraico, geométrico y estadístico. Además, los procesos de evaluación no deben separarse de las actividades de instrucción que se desarrollan en las clases, deben ser parte de las actividades cotidianas. El trabajo individual es solo un aspecto a incluir en la evaluación; el estudiante debe valorar y aceptar que parte de su aprendizaje es escuchar a los demás y exponer sus propias ideas a escrutinio en clase. El entendimiento de las ideas matemáticas no es un proceso final sino dinámico que se robustece en función de responder y resolver series de cuestionamientos que emerjan dentro y fuera de la propia comunidad de aprendizaje. Un aspecto crucial en las agendas de resolución de problemas es la interacción y discusión abierta entre los grupos de investigación sobre los aspectos comunes y principios que distinguen cada uno de los programas. Esto promovería la colaboración entre los distintos grupos y evitaría la repetición de estudios con agendas similares. En la resolución de problemas se reconoce también que pueden existir caminos distintos para promover el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes; sin embargo, tanto los programas de investigación como las prácticas de instrucción coinciden en reconocer la relevancia de conceptualizar la disciplina en términos de dilemas o preguntas que los estudiantes tienen que responder y discutir en términos de recursos matemáticos (Santos-Trigo, 2008). En este proceso, ellos desarrollan un método inquisitivo que les permite reflexionar profundamente sobre las diversas maneras de representar y explorar las ideas matemáticas. Es decir, los estudiantes construyen, desarrollan, refinan o transforman sus formas de comprender y resolver problemas como resultado de formular preguntas relevantes y responderlas con el uso de distintos medios, incluyendo las herramientas computacionales. Los acercamientos iniciales en la resolución de problemas pueden ser incoherentes o limitados, pero éstos se refinan cuando los estudiantes presentan y discuten abiertamente sus ideas en una comunidad de aprendizaje que valora y promueve el cuestionamiento matemático o método inquisitivo. Existe evidencia de que algunas propuestas del currículo matemático a nivel preuniversitario sugieren organizar y estructurar el contenido y las prácticas de instrucción a partir de actividades de resolución de problemas; sin embargo, un asunto pendiente es discutir y reflexionar sobre los cambios y la forma de estructurar los contenidos bajo la perspectiva de la resolución de problemas. Asimismo, es relevante establecer una agenda académica para la actualización de profesores en servicio, así como la educación y formación de los nuevos profesores que resalte las actividades de aprendizaje que se deben promover en el salón de clase. Esta agenda debe incluir formas de utilizar diversas herramientas computacionales en la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes (Santos-Trigo, 2007). Se reconoce que diversas herramientas pueden ofrecer distintas oportunidades al estudiantado para reconstruir conocimiento matemático, por ejemplo, el uso del software dinámico favorece la construcción de representaciones de los objetos matemáticos o del problema. Como consecuencia, algunas heurísticas como la medición de atributos longitudes, áreas, perímetros, el arrastre de algunos elementos dentro de una configuración, la descripción de lugares geométricos, y el uso adecuado del sistema cartesiano se deducen importantes en la búsqueda de conjeturas o relaciones y formas de justificarlas. La aplicación de distintas herramientas exige actualizar los marcos conceptuales que emergieron de estudios donde los alumnos interactuaban principalmente con problemas a partir del uso de lápiz y papel. Aquí interesa caracterizar las formas de razonamiento que los alumnos desarrollan cuando utilizan de manera sistemática varias herramientas computacionales. Finalmente, es urgente establecer comunicación y colaboración académica con los distintos grupos que promueven el desarrollo del conocimiento en programas de investigación, propuestas curriculares y la instrucción. Recibido noviembre 2008 Aceptado marzo Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo

15 Bibliografía Davis, B., y E. Simmt, Mathematics-for-teaching: an ongoing investigation of the mathematics that teachers (need) to know en Educational Studies in Mathematics, 61, Netherlands, 2006, Springer. Gardner, H., The disciplined mind. Beyond facts and standarized tests, the K-12 education that every child deserves, New York, 2000, Penguin Books. Hiebert, J., Relationship between research and the NCTM standards, Journal for Research in Mathematics Education, 30(1), 1999, pp Moreno-Armella, L. y M. Santos-Trigo, Democratic access and use of powerful mathematics in an emerging country en L. English (ed.), Handbook of International Research in Mathematics Education. Directions for the 21st Century, 2nd edn, New York, 2008, Routledge. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), Principles and standards for school mathematics, USA, 2000, Reston VA: The Council. Santos-Trigo, M., La resolución de problemas matemáticos: avances y perspectivas en la construcción de una agenda de investigación y práctica en R. Luengo, B. Gómez, M. Camacho y L. Blanco (eds.), Investigación en educación matemática XII, XII Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, 2008, Badajoz, España. Santos-Trigo, M., y C. Cristóbal-Escalante, Emerging high school students problem solving trajectories based on the use of dynamic software, Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 27(3), 2008, pp Santos-Trigo, M., Mathematical problem solving: an evolving research and practice domain, ZDM The International Journal on Mathematics Education, 39, 5-6, 2007, pp Schoenfeld, H. A., Research methods in (mathematics) education en L. D. English (ed.), Handbook of International Research in Mathematics Education, , New York, 2008, Routledge. Silver, E., Contribution of research to practice: applying findings, methods, and perspectives en T. Cooney y C.R. Hirsch (eds.), Teaching and learning mathematics in the 1990s, USA, 1990, Yearbook, Reston VA: The Council. Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo 13

16 14 Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo

17 La matemática en el contexto de las ciencias Patricia Camarena Gallardo* Resumen En el artículo se describe brevemente la teoría educativa denominada matemática en el contexto de las ciencias, que nace en 1982 en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), y considera al proceso de la enseñanza y el aprendizaje de esta materia, en carreras donde la matemática no es una meta, como un sistema presente en el ambiente de aprendizaje. La teoría está constituida por cinco fases: cognitiva, epistemológica, didáctica, curricular y de formación docente. En el cuerpo del artículo se describen los resultados de las investigaciones más relevantes de cada una de las cinco fases de esta teoría educativa. Palabras clave Matemáticas en contexto, matemáticas, modelación, ciencias, didáctica, currículo, epistemología, cognición. Mathematics in the sciences context Abstract This paper describes briefly what Mathematics in the Sciences Context theory is, which born since 1982 in the Instituto Politécnico Nacional. This theory takes mathematics learning and teaching in engineering careers as a system in the learning environment. The theory includes five phases: cognitive, epistemological, didactic, curriculum and teachers training. It is included the most important research results of each phase of the Mathematics in the Sciences Context. Keywords Mathematics in context, mathematics, modeling, sciences, didactic, curriculum, epistemology, cognition. * Licenciada en física y matemáticas por la Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM), maestría y doctorado en ciencias con especialidad en matemática educativa por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados (Cinvestav), ambos del IPN. Premio nacional 2000 de la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior (ANUIES), a la mejor tesis de doctorado del nivel superior en contribución a la educación superior; miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI), nivel 2; evaluadora internacional para la acreditación de carreras en matemáticas y en educación; representante de México ante el Consejo Interamericano de Educación Matemática; coordinadora de la Red Internacional de Matemáticas en el Contexto de las Ciencias. Titular de más de 25 proyectos de investigación, destacando entre los productos de investigación la metodología dipcing para el diseño de programas de estudio de las ciencias básicas en ingeniería. Autora de cinco libros sobre la materia, de innumerables artículos especializados, e invitada especial de eventos y conferencias internacionales en todo el continente americano. Actualmente es profesora-investigadora en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME, Zacatenco) del IPN, México. pcamarena@ipn.mx Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo 15

18 Introducción En el ámbito mundial es reconocida la problemática que enfrentan los estudiantes de todos los niveles educativos con el aprendizaje de la matemática, asignatura que, en general, no es de su agrado. En este conflicto inciden muchos factores de tipo social, económico, de orden curricular, asociados a la didáctica que inciden en el aprendizaje y en la enseñanza de esta materia inherentes a la formación de los docentes, inferidos al propio tema de estudio, por causas de la infraestructura cognoscitiva de los alumnos, entre otros (Camarena, 1984). Se puede decir que la gran mayoría del alumnado no tiene claro por qué estudia matemáticas, lo cual demerita la motivación hacia esta ciencia; a ello se agrega que, en los objetivos de las carreras técnicas y profesionales se menciona que el egresado deberá poseer una formación integral pero en ninguna parte del currículo se especifica cómo lograrlo. Desde esta perspectiva, la desarticulación entre los cursos de matemática y los de las demás asignaturas se convierte en un cotidiano conflicto para los alumnos. Para enfrentar estas realidades nace la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias. En el presente trabajo se muestran los resultados de varias investigaciones educativas relacionadas con el proceso de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en áreas de la ingeniería, específicamente, áreas en donde la matemática no es una meta en sí misma. Esta serie de investigaciones convergen en el nacimiento de la teoría educativa ya mencionada matemática en el contexto de las ciencias en el nivel universitario, en ingeniería, que en la actualidad se está aplicando en los niveles educativos anteriores, así como en las demás áreas del conocimiento que no forman matemáticos. La teoría La teoría matemática en contexto de las ciencias nació en 1982 en el IPN, y reflexiona acerca de la vinculación que debe existir entre la matemática y las ciencias que la requieren, entre la matemática y las situaciones de la vida cotidiana, así como entre la matemática y los problemas de la actividad laboral y profesional del futuro egresado (Camarena, 1984, 1987, 1995, 2001a, 2005a, 2007). De hecho, se trata de construir en el estudiante una matemática para la vida que se fundamenta en los siguientes paradigmas: La matemática es una herramienta de apoyo y disciplina formativa. La matemática tiene una función específica en el nivel universitario. Los conocimientos nacen integrados. El supuesto filosófico-educativo de esta teoría consiste en que el estudiante debe estar capacitado para realizar la transferencia del conocimiento de la matemática a las áreas que la requieren y con ello las competencias profesionales y laborales son favorecidas. Esta teoría, a través de investigaciones, concibe al proceso de la enseñanza y el aprendizaje como un sistema en donde intervienen varios factores, entre los más relevantes se encuentran las características cognitivas, psicológicas y afectivas de los estudiantes; los conocimientos y concepciones de los profesores; la epistemología del contenido a aprender y a enseñar; el tipo de currículo y la didáctica a emplearse (Camarena, 1990, 2004b). Además, el proceso de la enseñanza y el aprendizaje está influenciado e inmerso en un ambiente no tangible de tipo social, cultural, económico y político, siempre presente en el contexto de aprendizaje. De hecho, los factores descritos se han agrupado en tres elementos fundamentales: el estudiante, el profesor y el contenido a enseñar; más dos elementos de interacción: el currículo y la didáctica (figura 1). Por la importancia de los elementos fundamentales, éstos se han constituido en una de las llamadas ternas doradas de la educación, lo cual da origen a las cinco fases que forman la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias: 1. Curricular, desarrollada desde Didáctica, iniciada en Epistemológica, abordada en Formación docente, definida en Cognitiva, estudiada desde Figura 1 Terna dorada en educación. Social Cognitiva Cultural Económico Alumno Político Curricular Contenido EPISTEMOLÓGICA Fuente: Camarena, Didáctica Profesor FORMACIÓN DE PROFESORES Es claro que en el ambiente de aprendizaje están presentes las cinco fases y éstas interactúan entre sí con algún efecto ponderado sobre las demás, es decir, no están aisladas unas de las otras y tampoco son ajenas a las condiciones sociológicas de los actores del proceso educativo; sin embargo, la exposición formal de la teoría hace necesario fragmentarla en las cinco fases. A continuación se exponen los elementos más relevantes de cada una de estas fases, en orden didáctico y no cronológico. 16 Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo

19 Fase curricular La fase curricular posee una metodología denominada dipcing diseño de programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería (Camarena, 1984), fundamentada en el paradigma educativo que considera que con los cursos de matemáticas el estudiante poseerá los elementos y herra mientas que utilizará en las materias específicas de su carrera, es decir, las asignaturas de matemáticas no son una meta por sí mismas; sin dejar a un lado el hecho de que la matemática debe ser formativa para el alumno. Asimismo, la premisa alrededor de la cual gira la metodología considera que el currículo de matemáticas debe ser objetivo, es decir, fundado sobre bases objetivas. Para cumplir con la premisa en el marco del paradigma educativo planteado, se propone una estrategia de investigación en tres etapas: central, precedente y consecuente: Etapa central. Análisis de los contenidos matemáticos tanto explícitos como implícitos en los cursos específicos de la ingeniería. Etapa precedente. Definición y detección del nivel de competencias matemáticas que tienen los alumnos a su ingreso a la carrera. Etapa consecuente. Definición de las competencias matemáticas para el desarrollo de la actividad laboral y profesional. Con la metodología se obtiene la vinculación curricular interna entre la matemática y las asignaturas de las ciencias básicas, la matemática y las ciencias básicas de la ingeniería, la matemática y las especialidades de la ingeniería, así como la externa entre el nivel medio superior y superior, el superior con el posgrado, entre la escuela y la industria. Algunos de los constructos teóricos sobresalientes son los diferentes tipos de contenidos que se presentan algunos apoyan las partes teóricas de la ingeniería mientras otros los temas y conceptos de aplicación quedando por determinar en qué temas deben desarrollarse las habilidades y destrezas matemáticas y en cuáles no es necesario desarrollarlas (Camarena, 2002a). Fase de formación de profesores En la fase de formación de profesores se diseñó una especialidad en docencia de la ingeniería matemática en electrónica, en donde las asignaturas de matemáticas se vinculan con otras disciplinas propias de la electrónica y sus ramas afines (Camarena, 1990), (tabla 1). Matemáticas en el contexto de la ingeniería electrónica Matemáticas Introducción al análisis matemático de una variable real Cálculo vectorial Álgebra lineal Ecuaciones diferenciales ordinarias Análisis de Fourier Probabilidad Procesos estocásticos Fuente: Camarena, Tabla 1 Áreas vinculadas. Ingeniería electrónica Electrónica básica Electromagnetismo Control electrónico Circuitos eléctricos Análisis de señales electromagnéticas Análisis de señales aleatorias Telefonía De hecho la investigación, que para tales fines se realizó, arrojó cuatro categorías cognitivas que deberían incluirse en un programa de formación docente en matemáticas para el nivel universitario: conocimiento sobre los estudios de ingeniería en donde se labora, conocimiento de los contenidos a enseñar, conocimiento sobre el uso de tecnología electrónica para apoyar el aprendizaje del estudiante, y conocimiento acerca del proceso de enseñanza y de aprendizaje de la matemática. En esta última categoría se incluyen cursos de conocimiento científico y técnico, historia y fundamentos de la matemática, procesos de aprendizaje, didáctica y evaluación del aprendizaje, entre otros. Fase epistemológica Las investigaciones que se han efectuado verificaron que gran parte de la matemática que se incluye en los cursos de áreas de ingeniería nace en el contexto de problemas específicos de otras áreas del conocimiento, y que con el tiempo pierden su contexto para ofrecer una matemática pura que es llevada a los ambientes de aprendizaje, lo cual carece de sentido para aquellos estudiantes que no desean ser matemáticos, como lo describe Chevallard (1991). Con la matemática en el contexto de las ciencias se muestra que así como los contextos de otras ciencias le dan sentido y significado a la matemática, ésta a su vez le da sentido y significado a los temas y conceptos de las ciencias del contexto, reconceptualizándolos (Muro y Camarena, 2002; Camarena, 1987). Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo 17

20 Hay situaciones en donde el ingeniero emplea procesos o métodos sin conocer su origen, la fase epistemológica de la teoría que se presenta pone a la luz estas génesis (Camarena, 1987), como el caso de las impedancias complejas en circuitos eléctricos. También se ha determinado un constructo teórico denominado transposición contextualizada (figura 2), aquí la matemática aprendida por los estudiantes en la escuela sufre transformaciones para adaptarse a la forma de trabajar de otras ciencias (Camarena, 2001a), como el caso de la delta de Dirac para modelar una señal eléctrica impulsiva. Figura 2 Transposiciones. Conocimiento erudito Transposición Conocimiento a ser enseñado Transposición Conocimiento a ser aplicado Transposición didáctica Transposición contextualizada Fuente: Camarena, 2001a. Como parte de esta etapa se cuenta con una serie de situaciones de matemática contextualizada para ser usadas en clase, como los cursos de ecuaciones diferenciales ordinarias en el contexto de los circuitos eléctricos (Camarena, 1987), cálculo vectorial en el contexto de la teoría electromagnética (Ongay, 1994), análisis de Fourier en el contexto del análisis de señales electromagnéticas (Camarena, 1993), ecuaciones diferenciales parciales en el contexto de la cuerda vibrante (Camarena, 2004a), transformada de Laplace en el contexto de los circuitos eléctricos (Suárez y Camarena, 2000), serie de Fourier en el contexto de la transferencia de masa (Muro y Camarena, 2002), por nombrar algunos. Los obstáculos epistemológicos, como han sido definidos por Brousseau (1983), se identifican en esta fase para ser usados en la planeación didáctica de los cursos mediante el diseño de actividades de aprendizaje que ayuden a revolverlos Fase didáctica Esta fase contempla un proceso metodológico para el desarrollo de las competencias profesionales, con el cual se fomenta el desarrollo de las habilidades para la transferencia del conocimiento, éste incluye tres etapas (Camarena, 2005a): 1. Presentar la estrategia didáctica de la matemática en contexto en el ambiente de aprendizaje. 2. Implantar cursos extracurriculares con actividades destinadas a desarrollar las habilidades del pensamiento, habilidades metacognitivas y habilidades para aplicar heurísticas al resolver eventos contextualizados, así como actividades para bloquear creencias negativas. 3. Instrumentar un taller integral e interdisciplinario en los últimos semestres de los estudios del alumno, a fin de resolver eventos reales de la industria. Primera etapa Presentación a los estudiantes de la estrategia didáctica la matemática en contexto (Camarena, 1995), con una matemática contextualizada en las áreas del conocimiento de su futura profesión en estudio, en actividades de la vida cotidiana, profesionales y laborales a través de eventos contextualizados que pueden ser problemas o proyectos. En general, esta estrategia didáctica desarrolla la teoría matemática de acuerdo con las necesidades y ritmos que dictan los cursos de la ingeniería. La matemática en contexto contempla nueve etapas que se despliegan en el ambiente de aprendizaje en equipos de tres estudiantes líder académico, líder emocional, líder de trabajo. 1. Identificar los eventos contextualizados. 2. Plantear el evento contextualizado. 3. Determinar las variables y las constantes del evento. 4. Incluir los temas y conceptos matemáticos necesarios para el desarrollo del modelo matemático y solución del evento. 5. Determinar el modelo matemático. 6. Dar la solución matemática del evento. 7. Determinar la solución requerida por el evento. 8. Interpretar la solución en términos del evento y disciplinas del contexto. 9. Presentar una matemática descontextualizada De las etapas mencionadas se tiene dos observaciones, una referida a la planeación didáctica y otra a la modelación matemática. Observación 1. Es importante hacer notar que los puntos 4 y 9 requieren de una planeación didáctica específica que se traduce por parte del docente en el diseño de actividades didácticas guiadas por los siguientes elementos (Camarena, 2004b): 18 Innovación Educativa, vol. 9 núm. 46 enero-marzo