TEMA 1. NÚMEROS REALES Y PROPORCIONALIDAD

Transcripción

1 TEMA 1. NÚMEROS REALES Y PROPORCIONALIDAD Diversificación 4º ESO. IES Ntra. Sra. De la Almudena ÍNDICE 1. LOS NÚMEROS REALES OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES DECIMALES OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES FRACCIONARIOS CONCEPTO DE FRACCIÓN NÚMERO MIXTO, FRACCIONES DECIMALES, FRACCIONES EQUIVALENTES, FRACCIONES IRREDUCIBLES SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES DIVISIÓN DE FRACCIONES OPERACIONES COMBINADAS POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO POTENCIAS CON EXPONENTE NATURAL POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO POTENCIA DE FRACCIONES UNIDADES DE MEDIDA Y NOTACIÓN CIENTÍFICA EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL NOTACIÓN CIENTÍFICA PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES PROPORCIONALIDAD PORCENTAJES RADICALES LA OPERACIÓN DE RAÍZ CUADRADA POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO: RADICALES LOS NÚMEROS REALES Números naturales (N) : son los números enteros positivos. Responden a realidades concretas como por el ejemplo al número de coches que tiene una persona, el número de progenitores, el número de camas en una habitación de un hotel Números enteros (Z) : son los números enteros positivos y negativos. Responden a realidades de números naturales que pueden ser negativos como por ejemplo la planta de aparcamiento donde dejé el coche en el centro comercial, el piso en el que vivo, la temperatura de la calle Números racionales (Q) : son los números enteros y los decimales exactos y periódicos (puros o mixtos).responden a realidades de magnitudes fraccionarias como por ejemplo el reparto de una deuda o fortuna, la partición de una hipoteca... Números reales ( R) : son los números racionales y los números irracionales ( decimales infinitos no periódicos).el número real más conocido es el número π= 3, Estos últimos se caracterizan porque no se pueden representar como el cociente de dos números enteros y escritos de forma decimal tienen infinitas cifras decimales que no son periódicas. La recta real A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real. 1) Dibuja en un folio el esquema de los números reales, colorea cada conjunto (naturales : rojo, enteros: amarillos, racionales: azul, reales: verde), escribe una pregunta al dorso de cada conjunto que sólo se pueda contestar con un ejemplo del número buscado, distinto al propuesto en el tema escribe la respuesta en el frontal. Verifica otros ejemplos propuestos por tus compañeros y coméntalos con ellos OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Tema 1. Números Reales Página 1

2 VALOR ABSOLUTO: es el valor del número sin tener en cuenta el signo, da idea de su magnitud.se representa con dos barras verticales. Ejemplo: І -5 І= 5; І +6І=6 SUMA: la suma de dos números enteros se resuelve siguiente estas reglas: Mismo signo: se suma el valor absoluto de los números y se pone el signo de los mismos Distinto signo: se suman los del mismo signo hasta obtener uno positivo y otro negativo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del número de mayor valor absoluto. RESTA: para restar dos números enteros sólo tienes que sumar al primero el opuesto del segundo. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: para multiplicar o dividir dos números enteros es suficiente con multiplicar o dividir el valor absoluto de los números y poner el signo conforme esta regla. 2) Cada alumno copiará en su cuaderno la regla de los signos y la preparará dos ejercicios de suma de números enteros, otros dos de resta, otros dos de multiplicación y otros dos de división. Los pasará a su compañero y hará los suyos y los de su compañero. Los corregimos juntos en la clase OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES DECIMALES Los números racionales pueden expresarse en forma decimal (exactos, periódicos puros y mixtos) o en forma de fracciones. Explicaremos las operaciones básicas en este apartado para los números decimales Los números decimales tienen una parte entera y otra decimal separadas por una coma SUMAS Y RESTAS: para sumar o restar números decimales operaremos igual que con los números enteros, con la particularidad de que todas las cifras las agruparemos respecto a la coma para operar. Ejemplo: MULTIPLICACIONES: se calcula igual que con números enteros, aplicando la misma regla de signos. El resultado final tendrá tantas cifras decimales como tengan los números multiplicados. Ejemplo: DIVISIONES: Las divisiones en las que participan números decimales pueden ser de varios tipos. Cada uno de estos casos se resuelve de forma diferente. Ejemplos: REDONDEO :se denomina redondeo a la eliminación de las cifras decimales a partir de una señalada. Si la primera cifra que eliminamos es 5 o mayor, sumamos 1 a la última cifra que se escribe. Si la cifra es menor que 5 la última cifra que se escribe permanece igual TRUNCADO: se denomina truncado a la supresión sin más de las cifras decimales a partir de una señalada 3) Calcula las siguientes sumas y restas : a. 15,05+0,0075= b. 0,5+12,33-1,2+2,3-10,25+5 4,896= 4) Calcula las siguientes multiplicaciones : a. 15,05 0,0075= b. 0,5 (-12,33)= c. -1,2 2.3= d. (-10,25) (-4,8)= Tema 1. Números Reales Página 2

3 5) Calcula las siguientes divisiones : a. 15,03 : 3= b. 50,5 : (-0,05)= c. -12 : 0,2= d. (-10,35) (-0,003)= 6) Redondea primero y trunca después los siguientes números a la centésima, compara los resultados: 1, ,789 2,981 6,236 2, OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES FRACCIONARIOS Los números racionales pueden expresarse en forma decimal (exactos, periódicos puros y mixtos) o en forma de fracciones. Explicaremos las operaciones básicas en este apartado para los números fraccionarios o fracciones CONCEPTO DE FRACCIÓN LA FRACCIÓN COMO PARTES DE LA UNIDAD :El todo se toma como la unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo. Ejemplo 1 : Un depósito contiene 2/3 de gasolina El todo es el depósito. La unidad equivale a 3/3, en este caso. En general, el todo sería una fracción con el mismo número en el numerador y el denominador de la forma n/n.entonces2/3 de gasolina expresa la relación existente entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas por gasolina. LA FRACCIÓN COMO COCIENTE : Ejemplo: Repartir 4 entre cinco amigos: LA FRACCIÓN COMO OPERADOR: Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado lo dividimos por el denominador. Ejemplo: Calcular los 2/3 de 60 : 2 60 = : 3 = 40 LA FRACCIÓN COMO RAZÓN Y PROPORCIÓN Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razones. Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el instituto es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas. Es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son chicos y 2 son chicas. PORCENTAJES Un caso particular de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que estos no son más que la relación de proporcionalidad que se establece entre: Un número y 100 Un número y 1000 tanto por ciento tanto por mil Un número y 1 tanto por uno Ejemplo: Luís compra una camisa por 35, le hacen un descuento del 10%. Cuánto pagará por la camisa? = : 100 = = NÚMERO MIXTO, FRACCIONES DECIMALES, FRACCIONES EQUIVALENTES, FRACCIONES IRREDUCIBLES El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria. Para pasar de número mixto a fracción impropia: 1 Se deja el mismo denominador. 2 El numerador se obtiene de la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto. Ejemplo: Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1. Tema 1. Números Reales Página 3

4 Para pasar una fracción impropia a número mixto: 1 Se divide el numerador por el denominador. 2 El cociente es el entero del número mixto. 3 El resto es el numerador de la fracción. 4 El denominador es el mismo que el de la fracción impropia. Ejemplo: Pasar 13/5 a número mixto Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10. Ejemplo: Fracciones equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios. a y d son los extremos b y c son los medios Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada. Al primer caso le llamamos ampliar o amplificar. Simplificar fracciones: Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple. 1 Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número. 2 Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7,... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente. 3 Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes. 4 Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador, lo cual es equivalente a dividir numerador y denominador por la misma potencia de Si el número por el que dividimos es el máximo común divisor del numerador y denominador llegamos a una fracción irreducible. Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, o lo que es lo mismo, cuando el mcd de ambos números es 1. Ejemplo: Actividades 7) Calcula en mínimo común múltiplo de los siguientes números: a. m.c.m.(12, 24, 32)= b. m.c.m.(15, 7, 3)= c. m.c.m.(625, 75, 34)= 8) Calcula qué fracción de la unidad representa: 1 La mitad de la mitad. 2 La mitad de la tercera parte. 3 La tercera parte de la mitad. 4 La mitad de la cuarta parte. 9) Halla los pares de fracciones equivalentes y colócalas en parejas: Tema 1. Números Reales Página 4

5 10) Escribe los inversos de: 11) Pasar a fracción: 0, ,37 1,0001 5,1 8,24 12) Simplifica las siguientes fracciones a fracciones irreducibles: SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS (CON IGUAL DENOMINADOR): Hay tres simples pasos para sumar y restar fracciones homogéneas (con igual denominador): Paso 1: asegúrate de que los números de abajo (los denominadores) son iguales Paso 2: suma los números de arriba (los numeradores). Pon la respuesta sobre el denominador del paso 1 Paso 3: simplifica la fracción (si hace falta). Ejemplo : SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS (DE DIFERENTE DENOMINADOR): Hay que reducir a común denominador. Paso 1: Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponemos en factores los denominadores y cogemos los factores comunes de mayor exponente y los no comunes. Paso 2: Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador. Paso 3: Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador. Paso 4: Si podemos simplificamos. Ejemplos FORMA ABREVIADA SUMA DE FRACCIONES HETEROGENEAS RESTAS DE FRACCIONES HETEROGENEAS MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Multiplicar fracciones, ya sea con igual o diferente denominador, siempre va a ser lo mismo porque el procedimiento no varía. Para multiplicar dos fracciones, el procedimiento es muy simple. Solo es Tema 1. Números Reales Página 5

6 necesario hacerlo horizontalmente, es decir, multiplicar ambos numeradores y luego ambos denominadores. Finalmente hay que simplificar la fracción resultante. Ejemplo: DIVISIÓN DE FRACCIONES Dividir fracciones, ya sea con igual o diferente denominador, siempre va a ser lo mismo porque el procedimiento no varía. Los pasos son los siguientes : 1º Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda, el producto es el nuevo numerador. 2º Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la segunda, el producto es el nuevo denominador. 3º Después si podemos se simplifica. Ejemplo: OPERACIONES COMBINADAS 1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º. Calcular las potencias y raíces. 3º. Efectuar los productos y cocientes. 4º. Pasar a fracción los números mixtos y decimales. 5º. Realizar las sumas y restas. 13) Calcula las siguientes sumas y restas de fracciones homogéneas: a) b) c) d) 14) Resuelve las siguientes sumas y restas de fracciones heterogéneas: a) b) c) d) 15) Resuelve las siguientes multiplicaciones de fracciones a) b) c) d) 16) Resuelve las siguientes divisiones de fracciones a) b) c) d) 17) Juego del ahorcado de fracciones JUEGO DEL AHORCADO DE FRACCIONES: UN ALUMNO SELECCIONA UNA OPERACIÓN Y LA REALIZA, Y SE LA PREGUNTA A SU COMPAÑERO. SI ÉSTE ACIERTA, ES ÉL EL QUE EMPIEZA A AHORACARSE. SI EL COMPAÑERO NO ACIERTA EL COMPAÑERO EMPIEZA A AHORCARSE.Y ASÍ HASTA QUE ALGUNO GANA O PIERDE. HAY SEIS OPORTUNIDADES ALUMNO A: ALUMNO B: SOLUCIONES: Tema 1. Números Reales Página 6

7 I. II. VIII. IX. III. X. IV. V. XI. VI. VII. XII. 18) Elena va de compras con 180. Se gasta 3/5 de esa cantidad. Cuánto le queda? 19) Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. Cuál de los dos va primero? Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno? 20) Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. Qué edad tiene Pedro? 21) En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de Calcular: 1 El número de votos obtenidos por cada partido. 2 El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral. 22) Un padre reparte entre sus hijos Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. Qué cantidad recibió cada uno? Qué fracción del dinero recibió el tercero? 23) Cuántos tercios de litro hay en 4 l? 2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO 2.1. POTENCIAS CON EXPONENTE NATURAL La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas: PROPIEDADES a 0 = 1 a 1 = a Producto de potencias con la misma base: a m a n = a m+n División de potencias con la misma base: a m : a n = a m - n Potencia de una potencia: (a m ) n =a m n Producto de potencias con el mismo exponente: a n b n = (a b) n Cociente de potencias con el mismo exponente: a n : b n = (a : b) n Tema 1. Números Reales Página 7

8 2.2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO 2.3. POTENCIA DE FRACCIONES PROPIEDADES Producto de potencias con la misma base: 5.Potencia de una potencia: 6. Producto de potencias con el mismo exponente: 4. División de potencias con la misma base: 7. Cociente de potencias con el mismo exponente: 24) Escribe en forma de una sola potencia: = 5 7 : 5 3 = (5 3 ) 4 = (5 2 3) 4 = 25) Realizar las siguientes operaciones con potencias: [(5 3 ) 4 ] 2 = (8 2 ) 3 = (9 3 ) 2 = = ( 2) 2 ( 2) 3 ( 2) 4 = ( 8) ( 2) 2 ( 2) 0 ( 2) = ( 2) 2 ( 2) 3 ( 2) 4 = = 2 2 : 2 3 = 2 2 : 2 3 = 2 2 : 2 3 = 2 2 : 2 3 = [( 2) 2 ] 3 ( 2) 3 ( 2) 4 = 26) Realiza las siguientes multiplicaciones con potencias de fracciones de igual base: 27) Realiza las siguientes divisiones con potencias de fracciones de igual base: 28) Realiza las siguientes operaciones combinadas con potencias de fracciones: Tema 1. Números Reales Página 8

9 3. UNIDADES DE MEDIDA Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 3.1. EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. Unidades de longitud La unidad principal para medir longitudes es el metro. Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son: La tabla métrica - longitud Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplo 1: Cuántos centímetros son 6,5 kilómetros? Podemos usar la tabla métrica. Nos puede ayudar a encontrar la respuesta. Ponemos 6 en el lugar de km y 5 en el próximo lugar a la derecha. Llenamos los lugares con los ceros hasta cm. Ahora vemos ese 6,5 km = cm. Unidades de masa La unidad principal para medir longitudes es el gramo. Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son: kilogramo kg 1000 g hectogramo hg 100 g decagramo dag 10 g gramo g 1 g decigramo dg 0.1 g centigramo cg 0.01 g miligramo mg g Unidades de capacidad La unidad principal para medir capacidades es el litro. kilolitro kl l hectolitro hl 100 l decalitro dal 10 l litro l 1 l decilitro dl 0.1 l centilitro cl 0.01 l mililitro ml l Otras unidades de masa Tonelada métrica 1 t = 1000 kg Quintal métrico 1 q = 100 kg Unidades de superficie La unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado. Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 100 más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantas parejas de ceros como lugares haya entre ellas. Tema 1. Números Reales Página 9

10 kilómetro cuadrado km m 2 hectómetro cuadrado decámetro cuadrado hm m 2 dam m 2 metro cuadrado m 2 1 m 2 decímetro cuadrado centímetro cuadrado dm m 2 cm m 2 milímetro cuadrado mm m 2 Otras medidas de superficie La hectárea que equivale al hectómetro cuadrado. 1 Ha = 1 Hm 2 = m² El área equivale al decámetro cuadrado. 1 a = 1 dam 2 = 100 m² La centiárea equivale al metro cuadrado. 1 ca = 1 m² Unidades de volumen La medida fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico. kilómetro cúbico km m 3 hectómetro cúbico hm m 3 decámetro cúbico dam m 3 metro m 3 1 m 3 decímetro cúbico dm m 3 centímetro cúbico cm m 3 milímetro cúbico mm m 3 Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 1000 más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos tríos de ceros como lugares haya entre ellas. Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa Capacidad Volumen Masa (de agua) 1 kl 1 m³ 1 t 1 l 1 dm 3 1 kg 1 ml 1 cm³ 1 g Medida compleja Es aquella que expresa distintas clases de unidades. Medida incompleja o simple Se expresa únicamente con una clase de unidades. Paso de medidas complejas a incomplejas Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener como resultado final. Paso de medidas incomplejas a complejas Tenemos dos casos: 1º Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir. 2º Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar. 29) Convierte las siguientes cantidades a metros: 7,2 km; 8 mm; 92 hm; 125 cm ; 2 dam; 0.6 dm 30) Un médico prescribe una dosis de 0,4 g de cierta medicina. Cuántos comprimidos de 50 mg se debe tomar el paciente para completar la dosis? 31) Una botella de coca cola tiene 1 litro cuántos vasos de 20 cl podré llenar con ella? 3.2. NOTACIÓN CIENTÍFICA La notación científica (también llamada forma estándar) es una manera de escribir números en dos partes: Sólo las cifras (con el punto decimal después de la primera cifra), seguidas por 10 a la potencia que mueve el punto decimal donde deberías estar (o sea, que muestra cuántas posiciones se mueve el punto decimal). Tema 1. Números Reales Página 10

11 En este ejemplo, 5326,6 se escribe como 5, , porque 5326,6 = 5, = 5326, Cómo se hace? Para saber la potencia de 10, piensa cuántas veces muevo el punto decimal? Si el número es 10 o más, hay que mover el punto decimal a la izquierda, y la potencia será positiva. Si el número es menor que 1, el punto decimal se mueve a la derecha, y la potencia de 10 será negativa: Ejemplo: 0,0055 se escribe 5,5 10-3, porque 0,0055 = 5,5 0,001 = 5, Comprobación Después de poner el número en notación científica, sólo tienes que comprobar: La parte de las cifras está entre 1 y 10 (puede ser 1, pero no 10) La parte de la potencia dice cuántas veces has movido el punto decimal Por qué se usa? Porque hace más fácil trabajar con números muy grandes o muy pequeños, que son normales en trabajos científicos o de ingeniería. Por ejemplo es más fácil escribir (y leer) 1, que 0, También se pueden hacer cálculos más fácilmente, como en este ejemplo: Ejemplo: se ha medido un espacio muy pequeño en un chip de computadora y tiene anchura 0, m, longitud 0, m y altura 0,000275m. Cuál es su volumen? Primero las convertimos a notación científica: anchura: 0, m = 2, longitud: 0, m = 1, altura: 0, m = 2, Después multiplicamos las cifras juntas (dejamos los 10 para luego): 2,56 1,4 2,75 = 9,856 Ahora multiplicamos los 10s: = (esta parte es fácil: sólo he tenido que sumar -6, -4 y -7) El resultado es 9, m 3 32) Expresa las siguientes cantidades en forma de notación científica: a) 3200= d) 0,00005= b) Dos millones= e) 5,3= c) = f) 87= 33) Marca la respuesta correcta para indicar cómo se expresa un tiempo de s en notación científica es: a) b) c) d) Tema 1. Números Reales Página 11

12 4. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES 4.1. PROPORCIONALIDAD Magnitud Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. Razón Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción. Proporción Proporción es una igualdad entre dos razones. En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos. En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones. Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía. Regla de tres simple y directa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. Repartos directamente proporcionales Consiste en dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas. Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. Regla de tres simple inversa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. Repartos inversamente proporcionales Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes. Proporcionalidad compuesta Tema 1. Números Reales Página 12

13 Una magnitud se relaciona proporcionalmente con otras, ya sea de modo directo o inverso. Regla de tres compuesta Se emplea para resolver problemas de proporcionalidad compuesta PORCENTAJES Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Se emplea mucho en la vida real para el cálculo de los precios finales cuando nos aplican bien descuentos o recargos Descuentos: Recargos: Interés Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Ese beneficio es directamente proporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura el préstamo. Concepto Nombre Símbolo Cantidad prestada Capital C Tiempo del préstamo Tiempo t Un beneficio por 100 en un año Rédito r Beneficio del préstamo Interés I Si él es el tiempo viene expresado en meses: Si el tiempo viene expresado en días: 34) Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones: ) Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792. Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? Tema 1. Números Reales Página 13

14 36) Con 12 botes de medio kg ( ½ kg ) de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. 37) 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? 38) Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 39) De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 40) Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? 41) El precio de un ordenador es de 1200 sin IVA. Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%? 42) Al comprar un teléfono móvil que cuesta 450 nos hacen un descuento del 8%. Cuánto tenemos que pagar? 43) Se vende un perro que nos costó 80 con una ganancia del 15%. Halla el precio de venta. 5. RADICALES 5.1. LA OPERACIÓN DE RAÍZ CUADRADA La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y consiste en averiguar el número cuando se conoce su cuadrado. Raíz cuadrada exacta La raíz cuadrada es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto. Raíz cuadrada entera La raíz cuadrada es entera, siempre que el radicando no es un cuadrado perfecto. 44) Calcula los valores de las siguientes potencias: POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO: RADICALES Tema 1. Números Reales Página 14