Diversificación en renta variable: cuestión de cantidad o de calidad de los activos?

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1 Diversificación en renta variable: cuestión de cantidad o de calidad de los activos? Dr. José B. Sáez Madrid* Dr. Francesc Ortí Celma* Dr. Jesús López Zaballos** * Departamento de Matemática Económica Financiera y Actuarial de la Universidad de Barcelona. ** Departamento de Economía Financiera y Contabilidad III, Universidad Complutense de Madrid. Este artículo pretende justificar con argumentos teóricos, verificando posteriormente las conclusiones en una situación real de la bolsa española, que no todas las medidas son válidas para cuantificar la rentabilidad de una cartera pues no todas cumplen la deseable propiedad de linealidad y que, para diversificar adecuadamente una cartera no es necesario invertir en un número elevado de activos. Se comprueba que utilizando medidas tradicionales de riesgo como la volatilidad, el value at risk, la probabilidad de pérdida o el coeficiente de variación se obtienen fronteras eficientes similares con un número reducido de activos pudiendo, en muchos casos, batir al índice de referencia. Ello se consigue incorporando en la cartera activos cuya correlación sea lo más pequeña posible, por lo que la diversificación de una cartera con estas medidas es más una cuestión de calidad que de cantidad entre los activos. La globalización de los mercados hace que la tarea de los analistas en la búsqueda y ponderación de dichos activos sea cada vez más valorada. Palabras clave: Diversificación, medidas de riesgo, correlación, rentabilidad simple INTRODUCCIÓN Cuando en el campo de las finanzas, y más concretamente en el ámbito de la gestión de carteras de renta variable, se habla de la diversificación el objetivo no es, como creen algunos inversores, obtener la máxima rentabilidad, ya que ésta se obtiene fácilmente invirtiendo el 100% de la inversión en el activo de mayor rentabilidad esperada (otra cuestión es que la rentabilidad esperada a priori coincida con la rentabilidad real a posteriori). Justamente la idea de diversificar surge para minimizar, en la medida de lo posible, el riesgo asociado a toda cartera de valores mobiliarios. Pero una reducción excesiva del riesgo que vaya asociada a una baja rentabilidad no parece la solución idónea que buscan los inversores y profesionales. El objetivo es, pues, encontrar la composición de la cartera mejor diversificada que ofrezca al inversor o gestor una rentabilidad y riesgo aceptable según su grado particular de aversión al riesgo. En primer lugar, analizaremos cuál es la medida idónea para cuantificar la rentabilidad de una cartera de valores ya que no todas las tasas conocidas tienen unas propiedades deseables. En segundo lugar, y puesto que se diversifica necesariamente para reducir el riesgo, nos preguntaremos si todos los inversores, gestores, analistas o profesionales en general entienden el riesgo de la misma forma ya que, de no ser así, no podrían compararse los resultados de las carteras. Y como parece claro que en el mercado financiero no hay una única forma de definir el riesgo de una cartera ni una sola manera de cuantificarlo, se deduce que no existe la medida de riesgo perfecta en la que todos estén de acuerdo. Todo ello nos lleva a la conclusión de que hay tantas formas de diversificar una cartera como formas de definir y cuantificar el riesgo y, en consecuencia, dos carteras totalmente distintas pueden estar bien diversificadas si usan adecuadamente medidas de riesgo diferentes. Puesto que el sentido común puede llevar a pensar que construir una cartera bien diversificada es sencillo, pues basta con escoger un número suficientemente elevado de activos, se demuestra que, en algunos modelos de la teoría moderna de gestión de carteras, el número de activos es intrascendente para obtener carteras con riesgos reducidos; es decir, que una cartera con muchos activos no tiene porque estar bien diversificada y que, por el contrario, una cartera con pocos activos podría estar bien diversificada. De ahí que sea necesario preguntarse si la diversificación debe asociarse y justificarse sin más a la cantidad o número de activos que se incorporen a una cartera o tiene más que ver con cierta calidad o relación entre ellos. Otra cuestión es que la autoridad de control en el ámbito financiero de un país o Estado, a la hora de regular diferentes instrumentos de carteras, como Fondos de Inversión o Planes de Pensiones, determine algunas restricciones en las composiciones de estas carteras, como límites máximos en las ponderaciones de ciertos activos. Pero hay que ser conscientes de que este tipo de limitaciones, u otras que pueda imponer el inversor debido a sus gustos o prioridades,

2 si bien permiten respetar la legalidad vigente y las preferencias del inversor, no hacen más que empeorar la eficiencia de las carteras. 2. RENTABILIDAD DE UNA CARTERA Parece obvio, y así aparece en la mayoría de manuales, que si representamos por la variable aleatoria que representa la rentabilidad de un activo durante un periodo y por a la proporción que tendrá el activo en la cartera formada por activos, se define la rentabilidad de la cartera como: Sin embargo, no todas la medidas de rentabilidad pueden usarse para cuantificar la rentabilidad de la cartera definida anteriormente; es decir, no todas las medidas de rentabilidad cumplen la propiedad de linealidad convexa. Concretamente, mientras la Tasa Geométrica de Rentabilidad (TGR), la Holding Period Return (HPR), la Tasa Aritmética de Rentabilidad (TAR) y la Rentabilidad Simple (RS) si que cumplen dicha propiedad, la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR), tan utilizada en productos y operaciones de renta fija, no la cumple. Veamos con un sencillo ejemplo como la TIR de una cartera de 2 activos no es combinación lineal de las TIR de cada uno de los activos. Hace 1 año un inversor adquirió una cartera formada por acciones H al precio unitario de 15 y 500 acciones K al precio unitario de 8,10. A los 3 meses de la adquisición las acciones H ofrecieron un dividendo de 0,80 por acción, mientras que las acciones K pagaron un dividendo de 0,50 hace 3 meses. Si hoy se venden las acciones H a 16,20 y las acciones K a 7,40, calcular la TIR de la cartera formada por las acciones H y K y comprobar que no coincide con la TIR ponderada de cada una de las acciones. Para obtener la TIR trimestral de la cartera P debe resolverse la siguiente ecuación: De donde resulta para la cartera P una TIR trimestral del 2,361%. Por otro lado, la TIR trimestral de la acción H se obtendrá de la ecuación: De donde resulta para la acción H una TIR trimestral del 3,303%. Y la TIR trimestral de la acción K se obtendrá de la ecuación: De donde resulta para la acción K una TIR trimestral del -0,633%. Al haber invertido inicialmente euros en la acción H y euros en la acción K, resultan las siguientes proporciones de las acciones en la cartera: Y por tanto si ponderamos las TIR de las acciones por sus proporciones resulta: Valor que no coincide con el obtenido anteriormente del 2,361%, debido al diferente significado interno que tienen las TIR de las acciones y de la cartera. El no cumplimiento de la propiedad de linealidad junto a los problemas de reinversión de los dividendos (y otros posibles ingresos financieros), intrínsecos a la propia TIR, hacen que esta medida no sea recomendable para cuantificar la rentabilidad de una cartera de renta variable. De entre las medidas que si verifican la linealidad vamos a utilizar la Rentabilidad Simple por su hipótesis conservadora de reinversión al 0% de los ingresos y por ser una de las medidas más aceptadas en la literatura financiera. Para un activo k y un plazo temporal T se define la variable aleatoria rentabilidad simple como: siendo la variable aleatoria que representa el precio de venta del activo k, su precio de adquisición, y la variable aleatoria que recoge la suma aritmética de los dividendos y otros ingresos financieros a percibir como consecuencia de la posesión del activo k entre 0 y T. En consecuencia, trabajaremos con la variable aleatoria rentabilidad simple de una cartera que definiremos como: La rentabilidad simple esperada de la cartera sería: 3. RIESGO DE UNA CARTERA La propiedad de linealidad que se exige para la rentabilidad de una cartera suele desaparecer en la gran mayoría de medidas del riesgo de una cartera. Para empezar deberíamos preguntarnos qué es el riesgo o, mejor dicho, qué consideran los inversores que es el riesgo de inversión en una cartera de renta variable. Posiblemente, para una gran mayoría, la idea de riesgo va asociada a la de no perder, es decir, a la posibilidad de obtener rentabilidades negativas. Pero si bien parece claro que se habrá perdido si tras invertir euros en un fondo de inversión de renta variable al cabo de 3 años recuperamos euros, no parece tan claro que se haya perdido dinero si al cabo de 3 años obtenemos Los inversores más optimistas se conformarán con los 100 euros de beneficio, pero posiblemente 43

3 44 la gran mayoría considerará que ha perdido dinero comparando con la inflación del periodo o con alguna inversión libre de riesgo a la que se hubiera tenido acceso (también conocida como coste de oportunidad). Pero también habría inversores que afirmarían que toda inversión en renta variable debería ofrecer, como mínimo, una rentabilidad similar a la de un índice bursátil de la misma categoría. Por tanto ya hemos puesto de manifiesto algunas de las posibles formas de definir el riesgo, todas ellas ligadas a la posibilidad de obtener una rentabilidad inferior a un nivel considerado crítico o nivel que debería ofrecer un benchmarkde referencia. Sin embargo hay otras formas de medir el riesgo de una cartera, como la incertidumbre en la fluctuación en su rentabilidad, la pérdida experimentada desde el máximo nivel de precio alcanzado, etc. De toda esta variedad de definiciones del riesgo surgen toda una serie de medidas para su cuantificación y, en consecuencia, las diversas formas de diversificar una cartera. Nosotros nos vamos a centrar en la diversificación de carteras de renta variable utilizando las siguientes medidas de riesgo: La volatilidad El Value at Risk La probabilidad de pérdida Coeficiente de variación 3.1. Volatilidad de una cartera Es una de las medidas de riesgo de una cartera que más fácilmente podemos encontrar en los informes anuales o trimestrales de los fondos de inversión. Su valor, necesariamente mayor o igual a cero, se representa por y mide la oscilación de la rentabilidad de la cartera respecto su valor medio. En condiciones de normalidad de la distribución de probabilidad, la volatilidad nos permitiría valorar que un 68% aproximado de las rentabilidades de la cartera se encontrarán dentro del intervalo El cálculo de puede hacerse a partir de la desviación típica de una serie de rentabilidades históricas de la cartera, o bien a partir de una serie de rentabilidades futuras estimadas, por ejemplo, por el método de escenarios. Pero también puede obtenerse a partir de las volatilidades de los n activos que la componen,, y del coeficiente de correlación entre dichos activos, ; es decir: Esta expresión nos ofrece los argumentos necesarios para obtener una cartera diversificada siempre y cuando se considere la volatilidad como medida idónea del riesgo. El primer sumatorio son proporciones y volatilidades elevadas al cuadrado y, por tanto, siempre serán cantidades positivas que sumarán. En el segundo sumatorio aparecen distintos términos: unas proporciones, que salvo que se permitan ventas a crédito o ventas al descubierto, siempre serán positivas, unas volatilidades que siempre serán positivas, salvo que se incorpore un activo libre de riesgo, y el coeficiente de correlación que oscilará entre -1 y +1. Es este factor, sobre todo cuando toma valores negativos o valores positivos pero cercanos a cero, el que nos puede reducir considerablemente la volatilidad de la cartera sin que afecte a su rentabilidad, ya que, como sabemos, ésta sólo depende de las proporciones invertidas en cada activo y de su rentabilidad, pero no de la correlación entre ellos. Por tanto, para reducir la volatilidad de una cartera se diversificará buscando activos en el mercado financiero que tengan correlaciones lo más bajas posibles y no, como parecería de sentido común, buscando activos con pequeñas volatilidades ya que, como se ha visto, la volatilidad de una cartera no es una función lineal. En este sentido, prevalece más la calidad entre los activos que no la cantidad que se incorpore a la cartera pues puede estar mejor diversificada una cartera con pocos activos con algunas correlaciones negativas entre ellos que no una cartera con muchos activos que, entre sí, tengan correlaciones cercanas a +1. El problema que surge cuando se quiere construir una cartera con muchos activos es que el número de coeficientes de correlación a considerar aumenta según un polinomio de grado 2 del tipo, donde n es el número de activos seleccionados para formar la cartera. Por ejemplo, construir la matriz de correlaciones del índice EuroStoxx 50 exige estimar coeficientes de correlación, y aún suponiendo que esta matriz fuese conocida y estable para un periodo futuro, es humanamente imposible escoger y ponderar adecuadamente los activos para obtener una cartera bien diversificada, con lo que debe recurrirse necesariamente al uso de software específico para resolver el siguiente problema de optimización multiobjetivo (Problema 1): Este problema, que también es conocido como modelo media-varianza, se atribuye a H. Markowitz (1952) (1959), no tiene solución única y permite obtener el conjunto de todas las carteras eficientes o frontera eficiente entre las cuales el inversor debe escoger su cartera óptima en función de su grado de aversión al riesgo.

4 Value at Risk (VaR) de una cartera Es una medida del riesgo de una cartera (o de una inversión en general) que nos cuantifica la pérdida que se espera que pueda experimentar una cartera durante un periodo de tiempo y un determinado nivel de confianza. Esta definición surge como consecuencia de que muchos inversores asocian el riesgo a la cantidad máxima que podrían perder en la cartera y no tanto a la incertidumbre en la fluctuación de la rentabilidad que podría ofrecer una cartera (volatilidad). Así por ejemplo, muchos inversores consideran que tiene más riesgo una cartera con una rentabilidad esperada del 6% y una volatilidad del 10% que otra cartera con una rentabilidad esperada del 30% y una volatilidad del 20%, pues a pesar de que ésta tiene mayor volatilidad parece que el nivel de pérdida que podemos experimentar es menor. De los tres métodos principales para calcular el VaR (VaR paramétrico, VaR no paramétrico o por simulación histórica y VaR por simulación de Monte Carlo) en el presente artículo usaremos el VaR paramétrico, para homogeneizar de alguna manera la forma de cálculo respecto de las otras medidas de riesgo, aunque con ello estemos suponiendo la normalidad en el comportamiento de las rentabilidades. De todas formas, el VaR paramétrico tiene dos variantes. Una de ellas, la más habitual que podemos encontrar en los informes financieros, cuantifica la pérdida a la que se refiere la definición respecto de la inversión realizada, mientras que la otra variante la cuantifica respecto del beneficio esperado. Y aunque ambas variantes parten de la misma idea de fondo, su interpretación cuantitativa es diferente. Para una cartera que, para el periodo, ofrezca una rentabilidad esperada con una volatilidad, se define el VaR de la cartera respecto del capital invertido a un nivel de confianza como: donde es un parámetro asociado a la ley Normal que depende del nivel de confianza con el que se quiera calcular la pérdida de la cartera. Así por ejemplo, para niveles de confianza del 84%, para niveles de confianza del 97,5% y, el más utilizado, es el valor para niveles de confianza del 95%. Por ejemplo, supongamos que de una cartera se espera para el próximo año una rentabilidad del 8% con una volatilidad del 15%. Ello significaría que, a un nivel de confianza del 95% la máxima pérdida anual de la cartera sería del 16,675%. O dicho de otra manera, habría un 5% de probabilidad de que la cartera pierda en un año más del 16,675%. Para obtener carteras diversificadas reduciendo el riesgo según el VaR, y suponiendo fijado el nivel de confianza, debe intentarse maximizar la expresión 1. Por tanto, las carteras diversificadas deben combinar el efecto conjunto de buscar los activos con mayor rentabilidad esperada que a su vez tengan correlaciones más bajas entre ellos para reducir la volatilidad de la cartera, ya que en el VaR aparecen parametrizados 2 esos dos objetivos. También en este caso prevalece más la calidad entre los activos que no la cantidad que se incorpore a la cartera. Como apreciar a simple vista dicho efecto conjunto es bastante difícil, si a esto añadimos que en esta variante de VaR no se puede expresar el VaR de una cartera en función de los VaR de los activos que la componen, llegamos a la conclusión de que para obtener carteras diversificadas y eficientes se deberá resolver un problema de optimización multiobjetivo del tipo (Problema 2): Bajo las mismas restricciones que en el modelo anterior para hacer comparables los resultados, se comprueba que la frontera eficiente de este modelo es un subconjunto de la frontera eficiente del modelo de Markowitz: si una cartera es eficiente según el modelo Rentabilidad-Value at Risk también lo será según el modelo Rentabilidad-Volatilidad, no siendo cierta, en general, la implicación contraria. Sin embargo, hay analistas que son partidarios de una segunda variante y consideran que también debe considerarse pérdida la parte de la rentabilidad esperada de la cartera que se podría dejar de percibir. En este caso la cuantificación del VaR a un nivel de confianza para una cartera P que, para el periodo T, ofrezca una rentabilidad esperada con una volatilidad, sería: Siguiendo con el ejemplo anterior de una cartera con rentabilidad esperada del 8% y volatilidad del 15%, los partidarios de esta variante del VaR afirmarían que, a un nivel de confianza del 95% la máxima pérdida anual de la cartera sería del 24,675% respecto de la rentabilidad esperada del 8%. O dicho de otra manera, consideran que habría un 5% de probabilidad de perder más del 24,675% (el 8% de rentabilidad esperada de la cartera y el 16,675% de la inversión).

5 Puesto que en esta variante del VaR la pérdida que se puede experimentar en una cartera es proporcional a su volatilidad, la obtención de carteras diversificadas seguirá el mismo criterio que cuando se pretende minimizar la volatilidad. Es decir, para reducir el VaR de una cartera se diversificará buscando activos en el mercado financiero que tengan correlaciones lo más bajas posibles y no, como parecería de sentido común, buscando aquellos activos con menores VaR. Se repite la conclusión de que para obtener carteras diversificadas prevalece más la calidad entre los activos que no la cantidad de ellos que se incorpore a la cartera. Todo lo anterior queda reafirmado cuando se demuestra que el VaR de una cartera respecto de la rentabilidad esperada si se puede expresar en función de los VaR de los activos que la componen, siempre y cuando todos ellos vayan referidos al mismo plazo temporal y nivel de confianza. La expresión que se obtiene es: activo libre de riesgo (plazo fijo) ofrece una rentabilidad del 2%, la probabilidad de obtener en esta cartera una rentabilidad inferior a la del plazo fijo sería del 34,46%. Esto significa que, si se mantuvieran estas condiciones en el futuro, aproximadamente, en 1 de cada 3 años la cartera obtendría una rentabilidad inferior al 2%. En este caso, la obtención de carteras diversificadas reduciendo el riesgo según la probabilidad depende del valor E* que, como mínimo, exija el inversor. Se comprueba que para valores elevados de E* cercanos a la que ofrece el activo de máxima rentabilidad esperada sólo existe una cartera eficiente que es, precisamente, la formada al 100% por dicho activo. En el resto de casos más habituales en que el inversor exige valores bajos de E* como el 0% o la rentabilidad del activo libre de riesgo, si el valor del numerador es significativamente diferente de cero, minimizar la probabilidad de que la rentabilidad de la cartera sea inferior a E* es equivalente a minimizar la expresión 3 o equivalente a maximizar En este caso, al resolver el siguiente problema de optimización multiobjetivo, por ser la función objetivo que se pretende minimizar proporcional a la del problema 1 según la constante conocida, se obtendrá la misma frontera eficiente que en el modelo de Markowitz mientras se mantengan las mismas restricciones (Problema 3): 3.3. Probabilidad de obtener una rentabilidad inferior a la esperada La alternativa a la fluctuación de la rentabilidad (volatilidad) y a la pérdida máxima que se puede experimentar (VaR) es conocer la probabilidad que existe de que una determinada cartera ofrezca una rentabilidad inferior a la que un inversor concreto considere como crítica, y que representaremos por E*. Puesto que seguiremos con el supuesto de normalidad en las rentabilidades (aunque no es una hipótesis restrictiva), vamos a transformar la variable aleatoria rentabilidad de la cartera,, en su variable normalizada, de tal forma que: Por ejemplo, si de una cartera se espera para el próximo año una rentabilidad del 8% con una volatilidad del 15% y el. Por tanto, se produce un efecto similar al que teníamos cuando se buscaban carteras diversificadas según el VaR en su primera variante: hay que buscar activos que combinen adecuadamente una mayor rentabilidad esperada con correlaciones bajas entre ellos para reducir, como ya sabemos, la volatilidad de la cartera. Por tanto, como en los casos anteriores, también prevalece más la calidad entre los activos que no la cantidad de activos que se incorporen a la cartera. En este caso el planteamiento del problema de optimización multiobjetivo que nos permitiría obtener las carteras diversificadas sería (Problema 4): En este modelo, y bajo las mismas restricciones que el modelo de Markowitz, también se comprueba que las carteras eficientes forman un subconjunto de la frontera eficiente de Markowitz Coeficiente de variación Existen inversores y analistas que consideran que tomar únicamente la volatilidad en términos absolutos como medida de riesgo para decidir la idoneidad o no de una cartera puede conducir a decisiones erróneas pues, por ejemplo, aunque una cartera tenga una volatilidad elevada del 20% y otra 47

6 cartera una volatilidad más baja del 10%, si de la primera cartera se espera una rentabilidad del 30% y de la segunda un 7% no queda claro que la primera tenga más riesgo que la segunda por el hecho de tener mayor volatilidad en términos absolutos. Por ello, el coeficiente de variación surge a partir de la volatilidad como una medida de riesgo relativo; es decir, mide la volatilidad de una cartera en relación a su rentabilidad esperada, o en otras palabras, nos indica la volatilidad que asume la cartera por cada punto de rentabilidad de la cartera, y por eso se define de la siguiente forma: Si calculamos el coeficiente de variación de la primera cartera mencionada sería de 0,66 (20%/30%), y nos indicaría que por cada punto de rentabilidad que se obtiene en esta cartera se asume una volatilidad del 0,66%. En cambio en la segunda cartera, como el coeficiente de variación sería de 1,43 (10%/7%), indicaría que por cada punto de rentabilidad que se obtiene en esta cartera se asume una volatilidad del 1,43%. Así pues, en términos relativos tendría más riesgo la segunda cartera que la primera. Para obtener carteras diversificadas reduciendo el riesgo según el coeficiente de variación, debe intentarse minimizar la expresión. Por tanto, las carteras diversificadas deben combinar el efecto conjunto de buscar los activos con mayor rentabilidad esperada que a su vez tengan correlaciones más bajas entre ellos para reducir, la volatilidad de la cartera. También en este caso prevalece más la calidad entre los activos que no la cantidad que se incorpore a la cartera y para obtener carteras diversificadas y eficientes se deberá resolver un problema de optimización multiobjetivo del tipo (Problema 5): Bajo las mismas restricciones que en el modelo de Markowitz, se observa que el planteamiento de este problema es equivalente al que se realizó cuando se buscaba minimizar la probabilidad de que la cartera tuviera una rentabilidad negativa (Problema 4 con E*=0%) y, por tanto, la frontera eficiente de ambos modelos será la misma y también será un subconjunto de la frontera eficiente del modelo de Markowitz. Uno de los problemas de esta medida es que las carteras con rentabilidad cercana al 0% tendrán mucho riesgo puesto que el coeficiente de variación tiende a ser muy elevado, conclusión ésta que no comparten muchos inversores. Otro de los problemas que algunos inversores atribuyen a esta medida es que una cartera con una rentabilidad esperada del 6% y una volatilidad del 10% tendría el mismo riesgo que otra cartera con una rentabilidad esperada del 30% y una volatilidad del 50% por tener el mismo coeficiente de variación. En el próximo número de la Revista se desarrollarán las aplicaciones prácticas del respectivo artículo. El Director de la Escuela de Formación del IEFA Jesus Lopez Zaballos ha sido designado nuevo presidente de la European Federation of Financial Analysts Societies (Federación Europea de Analistas de Sociedades Financieras/Effas) en representación del Instituto Español de Analistas Financieros (IEAF). Es una excelente noticia para nuestro Programa de Asesor Financiero Certificado ya que el IEAF es Patrocinador del AFC y es quien otorga la certificación a nuestros Asesores Financieros. REFERENCIAS 1. Téngase en cuenta que el VaR, por definición, mide una pérdida y, por tanto, el valor de la expresión debe ser negativo o nulo. Por ello, minimizar el VaR de una cartera es equivalente a maximizar el valor de. 2. En realidad, podríamos considerar que el Value at Risk no es más que una parametrización del modelo multiobjetivo de Markowitz. 3. En este caso, al ser negativo el numerador y positivo el denominador, el cociente es negativo, y minimizar un cociente negativo es equivalente a maximizar su opuesto. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ALEXANDER, G.J.; SHARPE, W.F.; BAILEY,J.V. Fundamentos de inversiones. Teoría y práctica. Nova Jersey: Prentice-Hall, BODIE, Z.; MERTON, R.C. Finanzas. México: Prentice-Hall, 2003 ELTON, E. J.; GRUBER, M. J. Modern portfolio theory and investment analysis. Nova York: Wiley, FRANCIS, J. C.; ARCHER, S. H. Portfolio analysis. Nova Jersey: Prentice-Hall, GÓMEZ-BEZARES, F. Gestión de carteras: eficiencia, teoría de cartera, CAPM, APT. Bilbao : Desclee de Brouwer, LOPEZ, F.J.; GARCIA, P. Bolsa, mercados y técnicas de inversión. Madrid: Ed. McGraw-Hill, 2005 MARKOWITZ, H. M. Portfolio selection. A: Journal of finance. 1952, vol. 7, pág MARKOWITZ, H. M. Portfolio selection. Nova York: Wiley, 1959 MASCAREÑAS, J. (Coor) Activos y mercados financieros. Las acciones. Madrid: Pirámide, 1996 SHARPE, W. F. A simplified model for portfolio analysis. A: Management science 1963, vol. 9, pág SHARPE, W. F. Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk. A: Journal of finance. 1964, vol. 17, pág