Matemáticas. Jovenes de Excelencia Banamex-UAEM. Dan Sidney Díaz Guerrero. Abril 19 del Universidad Autónoma del Estado de Morelos.

Transcripción

1 Jovenes de Excelencia Banamex-UAEM. Universidad Autónoma del Estado de Morelos. Abril 19 del 2016.

2 Quiz inicial. (1) Hallar el valor absoluto de 5 8. (2) Hallar el valor absoluto de (3) (2 3(1 2 )) (4) (5)

3 Suma con resta. Sabemos que la suma es asociativa, esto es: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) para cualesquiera numeros reales a, b, c.

4 Suma con resta. Sabemos que la suma es asociativa, esto es: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) para cualesquiera numeros reales a, b, c. Qué sucede cuando mezclamos sumas y restas? Veamos por ejemplo:

5 Suma con resta. Sabemos que la suma es asociativa, esto es: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) para cualesquiera numeros reales a, b, c. Qué sucede cuando mezclamos sumas y restas? Veamos por ejemplo: esto se puede asociar como (10 + 3) 5 = 13 5 = 8.

6 Suma con resta. Sabemos que la suma es asociativa, esto es: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) para cualesquiera numeros reales a, b, c. Qué sucede cuando mezclamos sumas y restas? Veamos por ejemplo: esto se puede asociar como (10 + 3) 5 = 13 5 = 8. Por otra parte, también se puede asociar como 10 + (3 5) = 10 2 = 8.

7 Suma con resta. Sabemos que la suma es asociativa, esto es: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) para cualesquiera numeros reales a, b, c. Qué sucede cuando mezclamos sumas y restas? Veamos por ejemplo: esto se puede asociar como (10 + 3) 5 = 13 5 = 8. Por otra parte, también se puede asociar como 10 + (3 5) = 10 2 = 8. Este ejemplo indica que la suma y la resta tienen la misma jerarquía y por lo tanto se puede asociar de cualquiera de las dos maneras.

8 Suma o resta con multitplicación. Recordemos que la multiplicación es una suma iterada, o dicho de otro modo, suma abreviada. Por ejemplo 3a = a + a + a para cualquier numero real a.

9 Suma o resta con multitplicación. Recordemos que la multiplicación es una suma iterada, o dicho de otro modo, suma abreviada. Por ejemplo 3a = a + a + a para cualquier numero real a. Si en una expresión aritmética encontramos multiplaciones mezcladas con sumas, qué operación se debe realizar primero?

10 Suma o resta con multitplicación. Recordemos que la multiplicación es una suma iterada, o dicho de otro modo, suma abreviada. Por ejemplo 3a = a + a + a para cualquier numero real a. Si en una expresión aritmética encontramos multiplaciones mezcladas con sumas, qué operación se debe realizar primero? Consideremos el siguiente ejemplo ,

11 Suma o resta con multitplicación. Recordemos que la multiplicación es una suma iterada, o dicho de otro modo, suma abreviada. Por ejemplo 3a = a + a + a para cualquier numero real a. Si en una expresión aritmética encontramos multiplaciones mezcladas con sumas, qué operación se debe realizar primero? Consideremos el siguiente ejemplo usando la suma abreviada (3 + 3) ,

12 Suma o resta con multitplicación. Recordemos que la multiplicación es una suma iterada, o dicho de otro modo, suma abreviada. Por ejemplo 3a = a + a + a para cualquier numero real a. Si en una expresión aritmética encontramos multiplaciones mezcladas con sumas, qué operación se debe realizar primero? Consideremos el siguiente ejemplo usando la suma abreviada , (3 + 3) + 5 = ( ) + 5

13 Suma o resta con multitplicación. Recordemos que la multiplicación es una suma iterada, o dicho de otro modo, suma abreviada. Por ejemplo 3a = a + a + a para cualquier numero real a. Si en una expresión aritmética encontramos multiplaciones mezcladas con sumas, qué operación se debe realizar primero? Consideremos el siguiente ejemplo usando la suma abreviada , (3 + 3) + 5 = ( ) + 5 = = 11.

14 Suma o resta con multitplicación. Recordemos que la multiplicación es una suma iterada, o dicho de otro modo, suma abreviada. Por ejemplo 3a = a + a + a para cualquier numero real a. Si en una expresión aritmética encontramos multiplaciones mezcladas con sumas, qué operación se debe realizar primero? Consideremos el siguiente ejemplo usando la suma abreviada , (3 + 3) + 5 = ( ) + 5 = = 11. Los parentesis aparecen debido a que convertimos la multiplicación en suma.

15 Suma o resta con multitplicación. Recordemos que la multiplicación es una suma iterada, o dicho de otro modo, suma abreviada. Por ejemplo 3a = a + a + a para cualquier numero real a. Si en una expresión aritmética encontramos multiplaciones mezcladas con sumas, qué operación se debe realizar primero? Consideremos el siguiente ejemplo usando la suma abreviada , (3 + 3) + 5 = ( ) + 5 = = 11. Los parentesis aparecen debido a que convertimos la multiplicación en suma.

16 Suma o resta con multitplicación. Qué sucederá si erroneamente no hacemos primero la multiplicación?

17 Suma o resta con multitplicación. Qué sucederá si erroneamente no hacemos primero la multiplicación? lo consideramos como 2(3 + 5)

18 Suma o resta con multitplicación. Qué sucederá si erroneamente no hacemos primero la multiplicación? lo consideramos como 2(3 + 5) 2(3 + 5) = 2(8) = 16.

19 Suma o resta con multitplicación. Qué sucederá si erroneamente no hacemos primero la multiplicación? lo consideramos como 2(3 + 5) 2(3 + 5) = 2(8) = 16. Así, es evidente que la multiplicación tiene mayor jerarquía que la suma y la resta. De manera semejante, la división tiene mayor jerarquía que la suma y resta.

20 Multitplicación y división. Veamos por ejemplo:

21 Multitplicación y división. Veamos por ejemplo: Por un lado = 5 1 5

22 Multitplicación y división. Veamos por ejemplo: Por un lado = = 5 5 = 1.

23 Multitplicación y división. Veamos por ejemplo: Por un lado Por otra parte, = = 5 5 = =

24 Multitplicación y división. Veamos por ejemplo: Por un lado Por otra parte, = = 5 5 = = = = 1.

25 Multitplicación y división. Veamos por ejemplo: Por un lado = = 5 5 = 1. Por otra parte, = = = 1. Entonces, la multiplicación y la división tienen la misma jerarquía.

26 Repaso de signos de agrupación. Los símbolos de agrupación son ( ), [ ], { } y se utilizan para dar una jerarquía en el orden de las operaciones.

27 Repaso de signos de agrupación. Los símbolos de agrupación son ( ), [ ], { } y se utilizan para dar una jerarquía en el orden de las operaciones. Entonces la expresión { [ (5 2) 2 3 ]} 2 2

28 Repaso de signos de agrupación. Los símbolos de agrupación son ( ), [ ], { } y se utilizan para dar una jerarquía en el orden de las operaciones. Entonces la expresión 2 { [ 1 + (5 2) 2 3 ]} 2 2 { [ ]} 1 1 =

29 Repaso de signos de agrupación. Los símbolos de agrupación son ( ), [ ], { } y se utilizan para dar una jerarquía en el orden de las operaciones. Entonces la expresión 2 { [ 1 + (5 2) 2 3 ]} 2 2 { [ ]} 1 1 = { 1 = } = 4 2

30 Repaso de signos de agrupación. Los símbolos de agrupación son ( ), [ ], { } y se utilizan para dar una jerarquía en el orden de las operaciones. Entonces la expresión 2 { [ 1 + (5 2) 2 3 ]} 2 2 { [ ]} 1 1 = { 1 = } = 4 2 Si se elimina un solo símbolo de agrupación, cambia la expresión.

31 Repaso de signos de agrupación. Los símbolos de agrupación son ( ), [ ], { } y se utilizan para dar una jerarquía en el orden de las operaciones. Entonces la expresión 2 { [ 1 + (5 2) 2 3 ]} 2 2 { [ ]} 1 1 = { 1 = } = 4 2 Si se elimina un solo símbolo de agrupación, cambia la expresión. Por ejemplo { [ ]} { [ ]} 1 1 = = 2 { } { } = 2 = 9. 2

32 Mínimo común multiplo. Dado un número entero positivo a, a todo número de la forma b = ak con k Z se denomina multiplo de a.

33 Mínimo común multiplo. Dado un número entero positivo a, a todo número de la forma b = ak con k Z se denomina multiplo de a. Así, por ejemplo, si a = 3 algunos de sus multiplos son: {3 = (3)(1), 6 = (3)(2), 9 = (3)(3), 12 = (3)(4),...}.

34 Mínimo común multiplo. Dado un número entero positivo a, a todo número de la forma b = ak con k Z se denomina multiplo de a. Así, por ejemplo, si a = 3 algunos de sus multiplos son: {3 = (3)(1), 6 = (3)(2), 9 = (3)(3), 12 = (3)(4),...}. Si consideramos dos enteros positivos 3 y 7, y calculamos sus multiplos de 3 son: {3 = (3)(1), 6 = (3)(2), 9 = (3)(3),...},

35 Mínimo común multiplo. Dado un número entero positivo a, a todo número de la forma b = ak con k Z se denomina multiplo de a. Así, por ejemplo, si a = 3 algunos de sus multiplos son: {3 = (3)(1), 6 = (3)(2), 9 = (3)(3), 12 = (3)(4),...}. Si consideramos dos enteros positivos 3 y 7, y calculamos sus multiplos de 3 son: {3 = (3)(1), 6 = (3)(2), 9 = (3)(3),...}, de 7 son: {7 = (7)(1), 14 = (7)(2), 21 = (7)(3),...}.

36 Mínimo común multiplo. Dado un número entero positivo a, a todo número de la forma b = ak con k Z se denomina multiplo de a. Así, por ejemplo, si a = 3 algunos de sus multiplos son: {3 = (3)(1), 6 = (3)(2), 9 = (3)(3), 12 = (3)(4),...}. Si consideramos dos enteros positivos 3 y 7, y calculamos sus multiplos de 3 son: {3 = (3)(1), 6 = (3)(2), 9 = (3)(3),...}, de 7 son: {7 = (7)(1), 14 = (7)(2), 21 = (7)(3),...}. Al menor número que es multiplo de ambos números se le llama mínimo común multiplo.

37 Números pares e impares. El conjunto de números naturales se puede dividir en dos subconjuntos: los pares y los impares.

38 Números pares e impares. El conjunto de números naturales se puede dividir en dos subconjuntos: los pares y los impares. pares= {2, 4, 6, 8,...},

39 Números pares e impares. El conjunto de números naturales se puede dividir en dos subconjuntos: los pares y los impares. pares= {2, 4, 6, 8,...}, impares= {1, 3, 5, 7,...}. Si n 1 es un número par, entonces se puede expresar como n 1 = 2k con k N.

40 Números pares e impares. El conjunto de números naturales se puede dividir en dos subconjuntos: los pares y los impares. pares= {2, 4, 6, 8,...}, impares= {1, 3, 5, 7,...}. Si n 1 es un número par, entonces se puede expresar como n 1 = 2k con k N. Si n 2 es un número impar, entonces se puede expresar como n 2 = 2k 1 con k N.

41 Ejercicios. (1) (2) (3) (2 3(1 2 )) (4) (4 6( )) (5) ( 2) + 7(1 4 )

42 Ejercicios. (6) 3(1 2) + 2 { 4[ 2 3(1 + 1)]} { [ (1 + 1)]} (7) ( ) { [ ( ) ( ) ( )]} (8) 5 + { (2 + 7) [ (2 + 7) + ( 2 7) + ( 2 + 7) 2]} (9) { ( ) { + 3 [ ( )]}} 1 (10) ( ) ( [ ])

43 Quiz final. (1) Simplificar y hallar el valor absoluto de (2) Simplificar y hallar el valor absoluto de 11 4(3 5) 5 3 ( ( )) (3) 5 2 (4) (5)