Representación y clasificación de formas usando la ecuación de Poisson

Transcripción

1 Representación y clasificación de formas usando la ecuación de Poisson Rafael Granero Belinchón 1 Resumen En esta clase estudiaremos con un enfoque muy práco los caminos aleatorios y la ecuación de Poisson y lo aplicaremos al reconocimiento de formas usando un ordenador. Los resultados están contenidos en el artículo [GGSBB]. 1. Motivación Hace poco se podía leer en el periódico varias noias que trataban sobre los nuevos radares de tramo que se han instalado en la AP-6 ( Los radares de tramo de Guadarrama y Torrox empiezan a multar mañana, El País, , y Los radares de tramo pueden reducir la contaminación hasta en un 10%, El País, ). Estos radares son más complejos que los usuales. Lo que hacen es grabar e identificar a los coches que entran en un determinado tramo, por ejemplo, un túnel, e identificarlos al final del mismo. Como se sabe la longitud del tramo y el tiempo entre ambos puntos puede calcularse la velocidad media, y si se rebasa la velocidad de dicho tramo el radar hace la (dichosa) foto. El problema matemáo es cómo se identifica cada coche? Porque parece claro que no es óptimo en tiempos de crisis tener a varias personas tecleando números de matrículas que ven por la pantalla. En esta clase vamos a conocer aunque sea someramente un posible método (ver [GGSBB]) de hacerlo. La clase se plantea desde un enfoque muy aplicado, la idea es experimentar con el código y dejar los teoremas y el rigor para estas notas. El texto, que prete ser claro, contiene unos ejercicios y cuestiones que deben ser realizadas por el alumno. Se remarcan en color morado. 2. Introducción El problema consiste en, dada una silueta, es decir una imágen que sólo tiene dos colores, a saber, blanco (para el ordenador un pixel blanco es un 255 como entrada de la matriz) y negro (un pixel negro es un 0 en la matriz de la imagen), extraer propiedades de dicha imágen para poder discernir unas siluetas de otras. La manera de hacerlo es conseguir distinguir la posición relativa de los pixeles internos de la silueta con respecto al contorno que la define. Una manera rápida de hacer esto es considerar la ecuación Eikonal u 2 = 1, en la silueta. De esta manera lo que se consigue es que la función u da un valor que refleja la distancia mínima la frontera. Por qué esta manera da problemas? Indicación: Pensad en la unicidad de soluciones para la misma ecuación en un intervalo con condiciones Dirichlet homogéneas en el borde.. Nosotros haremos como en [GGSBB], donde se puede leer 1 r.granero@icmat.es, Consejo Superior de Invesaciones Científicas Instituto de Ciencias Matemáas (CSIC-UAM-UC3-UCM) C/ Nicolás Cabrera, Campus de Cantoblanco, Madrid 1

2 A sensible approach to inferring properties of the silhouette is to assign to every internal point a value that deps on the relative position of that point within the silhouette. One popular example is the distance transform, which assigns to every point within the silhouette a value reflecting its minimal distance to the boundary contour. An alternative approach is to place a set of parles at the point and let them move in a random walk until they hit the contour. La idea es ahora considerar varias partículas para cada punto interno de nuestra silueta y medir los tiempos medios para cada punto que tardan estas partículas en golpear el contorno de la silueta. Figura 1: (a) Solución de la ecuación de Poisson y (b)función calculada considerando la distancia al contorno. 3. Los caminos aleatorios y el Laplaciano La relación entre los caminos aleatorios y el Laplaciano es bien conocida. En [GGSBB] la motivan razonando de la siguiente manera: sea U(x, t) el tiempo medio que emplean estas partículas en golpear el contornodel dominio salio desde el punto (x,y) (interno de la silueta S). Entonces si (x,y) S se tiene que U(x,y) = 0, si no, por ser las probabilidades uniformes se tiene que se puede calcular conocio los valores de los puntos vecinos. En efecto, si estamos en un punto (x,y) y conocemos el valor de U en los puntos inmediatamente vecinos lo que podemos hacer es gastar un movimiento en movernos a un punto vecino (siguio el camino aleatorio uniforme, lo que nos da una probabilidad 1/4 de elegir un determinado punto adyacente) y sumarle el tiempo medio que se emplea desde este nuevo punto. Por lo tanto se tiene que el valor es U(x,y) = 1+ 1 (U(x+dx,y)+U(x dx,y)+u(x,y +dx)+u(x,y dx)). (1) 4 Entonces observamos que la discretización del Laplaciano es U(x,y) U(x+dx,y)+U(x dx,y)+u(x,y +dx)+u(x,y dx) 4U(x,y) dx 2, y por lo tanto la ecuación (1) es una versión discretizada de U = 4 dx2. (2) Una manera rigurosa de obtener la misma conclusión es considerar la ecuación 1 u = 1, 2 con datos de borde Dirichlet homogéneos. Observamos que nos aparece un 2 que en artículo no está presente, pero mencionan los autores un factor de escala que hacen igual a 1 por conveniencia. Sea ahora τ (x,y) = ínf{t : X t (x,y) S}. Entonces se tiene u(x,y) = E[τ (x,y) ]. (3) 2

3 La idea de la demostración es aplicar la fórmula de Itô (ver [Ku-84] o [Ku-97]) al proceso u(x t ), donde X t es un movimiento browniano, obtenio la fórmula siguiente tras tomar esperanzas [ τ(x,y) ] E[u(X τ(x,y) )] E[u(x,y)] = E u(x s )ds Ahora usamos las condiciones de borde y la ecuación para obtener [ τ(x,y) ] 0 u(x,y) = E 1ds = E[τ (x,y) ] 0 Concluyo la demostración. Sabrías programar una función en Matlab que simule un movimiento aleatorio en el plano? Y en el espacio? Indicación: La función debe tener como argumentos un punto inicial x 0 del que parta nuestra partícula y un número T de movimientos totales. Se puede usar la función de Matlab rand. Programa una función de Matlab que resuelva u = f si (x,y) [0,1] 2, u = 0 si (x,y) [0,1] 2. para una función f que se reciba como argumento. Para el resultado teórico que nos gusta a los matemáos me remito al artículo [GGSBB] The solution to the Poisson equation exists and is unique for any closed region with boundary conditions given by any integrable function. Uniqueness is shown by noing that the solution to the related homogeneous equation u = 0 with zero boundary conditions is idenally zero. Sabrías completar todas las lagunas de este argumento? Supongamos ahora que nuestro dominio espacial está formado por los puntos del interior de una cónica (por ejemplo los puntos encerrados por una circunferencia o un elipse). Supongamos que la cónica viene dada por el polinomio P(x,y) = ax 2 +by 2 +( potencias de orden menor que 2). Entonces la solución de la ecuación (2) con dx = 2 en este dominio es U(x,y) = P(x,y) 2(a+b). Es fácil comprobar que en efecto dicha U es solución. También es fácil convencerse de que la solución será como un paraboloide hacia abajo. Sabemos que esta solución u será regular (tanto como permita la frontera) y que será positiva. Esta última cualidad es trivial deducirla de la expresión anterior como esperanza. Los conjuntos de nivel de u nos dan aproximaciones cada vez más suaves a la frontera. También se menciona en [GGSBB] la propiedad del valor medio, por la cual el valor de una función armónica (solución de la ecuación de Laplace) en un cierto punto (x,y) está determinado como la media de los valores en B(x,r) para todo r. La prueba de esto es de nuevo trivial usando nuestra representación estocása (ahora el término que se anula es el integrando y me sobrevive el término de golpear la frontera). De nuevo, sabrías completar este argumento? 4. Aplicaciones a las siluetas Comenzamos esta sección notando que podemos usar la solución de nuestro problema (2) con dx 2 = 4 para dividir una silueta en partes mediante el método del umbral. Aunque también notamos que este método puede llevar a perder información de las partes no centrales de nuestra forma. Para solucionar este problema consideramos la función Φ(x) = u(x)+ u(x) 2 Esta función tiene ciertas propiedades que la hacen interesantes, pero para el tratamiento de imágenes lo más importante es que los valores altos de Φ indican concavidades (allí el gradiente 0 3

4 Figura 2: Utilización de Φ para dividir en partes. es grande) y que podemos utilizar el método del umbral para dividir nuestra forma en partes sin perder información. Hemos mencionado que podía utilizarse Φ para detectar concavidades, sin embargo hay un método mejor. Definimos la función ( ) u Ψ(x) =. u Esta función 1 tiene la propiedad de que ciertos valores se alcanzan en zonas curvadas. Por lo tanto sirve para encontrar esquinas en nuestra forma. Lo valores negativos de Ψ indican concavidades. Cuanto más negativo más picuda es la concavidad. Al reves también funciona, los valores altos indican convexidades. Figura 3: Concavidades calculadas a partir de Ψ. Para encontrar el esqueleto de nuestra forma definimos la función Ψ = uψ/ u. Ahora por el método del umbral podemos encontrar el conjunto pedido. Podemos usar la solución de Poisson también para definir una orientación, lo cual es útil en el reconocimiento de caracteres, donde la ausencia de una parte troncal imposibilita el uso de Φ para dividir nuestra forma. Observamos que los conjuntos de nivel de u en una figura alargada serán paralelos a la frontera. En esta dirección las derivadas segundas de u serán pequeñas, mientras que en la dirección ortogonal serán grandes. Así encontraremos la orientación si encontramos la dirección θ tal que u θθ sea pequeña. 1 Este operador es el 1-Laplaciano. 4

5 El objetivo de todo esto es poder discernir entre las distintas formas. Utiliza el código que te damos y haz una función que calcule Ψ. Utiliza el código que te damos y la función que has hecho para discernir entre los caráceteres 1 y 2 y A y C. Utilizando las funciones que hemos definido utiliza el método del umbral para dividir las imágenes de la casa, de la C y del 2 en trozos. Utiliza la solución de la ecuación de Poisson para regularizar los contornos para la A y para la casa. 5. Código y Experimento Este programa utiliza un método SOR para resolver la ecuación de Poisson. El dominio (esto es, la silueta) se le introduce desde la imágen simplemente cambiando los colores y añadio una condición if. function [img,img2,u,t,cnt]=imagessor(tol,itmax,image) %this program use the sor method for solve the poisson equation in a silhouette %tol is the tolerance %itmax is the maximum number of iterations %image is an png image. img=imread(image); figure;imagesc(img); input( Press any key ) img=double(img); [H,W]=size(img) w= 2 / ( 1 + sin(pi/(h+1)) );%our overrelaxation parameter for i=1:h for j=1:w img2(i,j)=abs(img(i,j)-255); %change white for black and viceversa img2; figure; imagesc(img2); input( Press any key ) clear i,j; %now we start with the algorithm. Like maybe it will be difficult to %put the geometry of the silhouette %we use the boundary conditions to treat all the image, %but we only solve the poisson equation inside the silhouette. u=img2; v=u; err=1; cnt=0; while((err>tol)&(cnt<=itmax)) for i=2:h-1 for j=2:w-1 if (img2(i,j)==0) else v(i,j)=u(i,j)+w*(v(i-1,j) + u(i+1,j) + v(i,j-1) + u(i,j+1) +1-4*u(i,j))/4; E(i,j)=v(i,j)-u(i,j); err=norm(e,inf); cnt=cnt+1; 5

6 u=v; u=flipud(u); figure;imagesc(u); mesh(u) Los programas (para calcular gradientes, normas y las funciones especiales Φ y Ψ) son los siguientes function [Gux,Guy,NGu,t]=gradient(u) %This program calculate the gradient and its norm %Gux is the first component of the gradient, %Guy is the second one %NGu is the norm of the gradient [H,W]=size(u); for i=2:h for j=2:w Gux(i,j)=u(i,j)-u(i-1,j); Guy(i,j)=u(i,j)-u(i,j-1); NGu(i,j)=(Gux(i,j)^2+Guy(i,j)^2)^0.5; function [Phi,t]=phi(u,NGu) %This program calculate the function phi=u+ngu^2 %NGu is the norm of the gradient of u [H,W]=size(NGu); for i=1:h for j=1:w Phi(i,j)=u(i,j)+NGu(i,j)^2; function [Psi,t]=psiimages(u,Gux,Guy,NGu) %This program calculate the function psi=-div(gradient(u)/norm(gradient(u)) %NGu is the norm of the gradient of u %Gux is the first component of the gradient, %Guy is the second one [H,W]=size(NGu); for i=2:h for j=2:w Psix(i,j)=((Gux(i,j)-Gux(i-1,j))*NGu(i,j)-Gux(i,j)*(NGu(i,j)-NGu(i-1,j)))/NGu(i,j)^2; Psiy(i,j)=((Guy(i,j)-Guy(i,j-1))*NGu(i,j)-Guy(i,j)*(NGu(i,j)-NGu(i,j-1)))/NGu(i,j)^2; Psi(i,j)=-Psix(i,j)-Psiy(i,j); 6

7 Figura 4: Experimento numérico, silueta y u. Figura 5: Resultados, arriba la función Φ, abajo la función Ψ. Observamos (Figura 5) los altos valores de Φ entorno a la chimenea de la casa, que es la zona de las concavidades. Asimismo observamos que Ψ detecta tando las concavidades (alrededor de la chimenea y valores negativos) y las convexidades (esquinas inferiores y valores positivos), así como el esqueleto, que es el pico de valor positivo y alto en el centro de la casa. Referencias [GGSBB] L.Gorelick, M.Galun, E.Sharon, R.Basri, A.Brandt, Shape Representation and Classification Using the Poisson Equation, IEEE transaction on pattern analysis and machine intelligence, 28 (2006), no.12, [Ku-84] H.Kunita, Stochas differential equation and stochas flows of diffeomorphism, Lecture Notes in Math. vol 1097, Springer, [Ku-97] H.Kunita, Stochas flows and stochas differential equations, Cambridge studies in advanced mathemas,