gr(u) = 2 E gr (u) = gr + (u) = E u V ( ) gr(u)

Transcripción

1 ½ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÁÒØÖÓÙÒ Ð ÌÓÖ ÖÓ ½º ÖÓ º ÓÒÔØÓ ÙÒÑÒØÐ ÍÒ ÖÓ G ÙÒ ÔÖ G = (V,E) ÓÒ V ÙÒ ÓÒÙÒØÓ ÒØÓ ÚÖØ ÒÓÓ µ Ý E ÙÒ ÑÙÐØÓÒÙÒØÓ ÔÖ ÒÓ ÓÖÒÓ ÚÖØ ÒÓØÓ ÔÓÖ {x,y} ÕÙ ÒÓÑÒÒ ÐÓ Ö Ø Øº Ò Ø Ó ÑÓ ÕÙ x Ý y ÓÒ ÜØÖÑÓ {x,y}º ÒÓØÑÓ V(G) ÔÓÖ Ð ÓÒÙÒØÓ ÚÖØ Ð ÖÓ G Ý ÔÓÖ E(G) Ð ÓÒÙÒØÓ ÐÓ Ð ÖÓ Gº Ñ ν(g) Ý ε(g) ÒÓØÒ Ð ÒÑÖÓ ÚÖØ Ý Ð ÒÑÖÓ Ö Ø G Ö ÔØÚÑÒغ ÈÙ ØÓ ÕÙ E ÙÒ ÑÙÐØÓÒÙÒØÓ ÔÓ Ð ÕÙ Ü ØÒ ÔÖ ÖÔØÓ Ò Ø Ó G ØÒ ÐÓ ÑÐØÔÐ º ÌÑÒ ÔÓ Ð ÕÙ ÐÒ ÔÖ ÒÓ ÓÖÒÓ E ØÒ Ð Ñ ÑÓ ÚÖØ ÖÔØÓ Ò Ø Ó ÑÓ ÕÙ Ð ÐÓ ÙÒ ÐÞÓ ÐÓÓÔµ Ó ÙÐ º ÙÒÓ Ü ØÒ ÐÓ ÑÐØÔÐ Ý»Ó ÐÞÓ ÑÓ ÕÙ G ÙÒ ÑÙÐØÖÓº Ë ÒÓ Ý ÐÓ ÑÐØÔÐ Ò ÐÞÓ ÑÓ ÕÙ ÙÒ ÖÓ ÑÔк ÍÒ ÖÓ G ÙÒ ÔÖ G = (V,E) ÓÒ V ÙÒ ÓÒÙÒØÓ ÚÖØ Ý E ÙÒ ÑÙÐØÓÒÙÒØÓ ÔÖ ÓÖÒÓ º ÄÓ ÐÓ ÒÓØÒ ÔÓÖ ÔÖ ÓÖÒÓ (u,v) ÒÓØ Ð ÐÓ ÖÓ ÕÙ ØÒ ÓÑÓ ÚÖØ ÒÐ u Ý ÓÑÓ ÚÖØ ØÖÑÒÐ vº ÓÒØÒÙÒ ÑÓ ÙÒ ÒÓÒ ÕÙ ÔÖÓÚÒÒ Ð ÐÖÓ ÅØÑ ¹ Ø ÖØ Ý Ù ÔÐÓÒ ÊÓ Ò ¾ º Ë Ð ÐØÓÖ ÓÑÔÖÖ Ð ÖÒØ ÒÓÒ º ÒÒ ½ ÍÒ ÖÓ ÑÔÐ G(V,E) ÓÒ Ø V ÙÒ ÓÒÙÒØÓ ÒÓ Ú¹ Ó ÚÖØ Ý E ÙÒ ÓÒÙÒØÓ ÔÖ ÒÓ ÓÖÒÓ ÐÑÒØÓ ØÒØÓ V º Ó ÔÖ Ð ÐÐÑ Ö Ø Ó ÐÓ º ÖÓ ½ ÅÙ ØÖ ÕÙ G ÑÔÐ ÒØÓÒ ε ( ν 2) º Ò ÐÙÒÓ Ó ÐÓ ÖÓ ÑÔÐ ÒÓ ØÒ ÔÖ ÑÓÐÖ ÖØ ØÙÓÒ Ò Ð ÙÐ ÖÕÙÖ Ð Ü ØÒ ÑÐØÔÐ Ö Ø ÒØÖ ÔÖ ÚÖØ º Ò Ø Ó ÒÓ ÙÒØ ÒÖ Ð Ö Ø ÓÑÓ ÔÖ ÚÖØ Ð ÒÒ ÑÙÐØÖÓ ÙÒ ÔÓÓ Ñ ÓÑÔк ÒÒ ¾ ÍÒ ÑÙÐØÖÓ G(V,E) ÓÒ Ø ÙÒ ÓÒÙÒØÓ V ÚÖØ ÙÒ ÓÒÙÒØÓ E Ö Ø Ý ÙÒ ÙÒÒ f E Ò {{u,v} u,v V,u v}º Ë ÕÙ Ð Ö Ø e 1, e 2 ÓÒ Ö Ø ÑÐØÔÐ Ó ÔÖÐÐ f(e 1 ) = f(e 2 )º

2 ¾ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÄÓ ÑÙÐØÖÓ ÒÓ ÒÓ ÑØÒ ÙÐ Ó ÐÞÓ Ö Ø ÕÙ ÓÒØÒ ÙÒ ÚÖØ ÓÒ Ó Ñ ÑÓµº Í ÑÓ Ò Ø Ó Ô ÙÓÖÓ ÕÙ ÓÒ Ñ ÒÖÐ ÕÙ ÐÓ ÑÙÐØÖÓ º ÒÒ ÍÒ Ô ÙÓÖÓ G(V,E) ÓÒ Ø ÙÒ ÓÒÙÒØÓ V ÚÖع ÙÒ ÓÒÙÒØÓ E Ö Ø Ý ÙÒ ÙÒÒ f E Ò {{u,v} u,v V}º Ë ÕÙ ÙÒ Ö Ø e ÙÒ ÙÐ Ó ÐÞÓ f(e) = {u,u} = {u} ÔÖ ÐÒ u V º Ä ÖÒ ÒØÖ ÖÓ Ý ÖÓ ÕÙ Ð ÐØÑÓ ØÒ ÐÓ ÐÓ ÖÓ Ý ÒØÒ ÓÑÓ ÙÒ ÖÓ ÖÓº ÒÒ ÍÒ ÖÓ ÖÓ Ó ÖÓ G = (V,E) ÓÒ Ø ÙÒ ÓÒ¹ ÙÒØÓ V ÚÖØ ÙÒ ÓÒÙÒØÓ E Ö Ø ÕÙ ÓÒ ÔÖ ÓÖÒÓ ÐÑÒØÓ V º ÒÑÓ ÐÓ ÑÙÐØÖÓ ÖÓ Ð ÙÒØ ÑÒÖ ÒÒ ÍÒ ÑÙÐØÖÓ ÖÓ G(V,E) ÓÒ Ø ÙÒ ÓÒÙÒØÓ V ÚÖØ ÙÒ ÓÒÙÒØÓ E Ö Ø Ý ÙÒ ÙÒÒ f E Ò {(u,v) u,v V}º Ë ÕÙ Ð Ö Ø e 1, e 2 ÓÒ Ö Ø ÑÐØÔÐ Ó ÔÖÐÐ f(e 1 ) = f(e 2 )º ÙÖ ½ ÑÔÐÓ ÖÓ Ý ÑÙÐØÖÓ ÖÓº ½º½º ÝÒ ÎÖØ ÁÒÒ Ö Ø Ý ÖÓ ÐÓ ÎÖØ Ó ÚÖØ u,v ÙÒ ÖÓ G = (V,E) Ò ÝÒØ {u,v} E Ñ ÑÓ Ó Ö Ø ÓÒ ÝÒØ ØÒÒ ÙÒ Ñ ÑÓ ÚÖØ ÓÑÓ ÜØÖÑÓ Ò ÐÓÑÒØ e = {u,v} ÑÓ ÕÙ Ð ÐÓ e ÒÒØ ÐÓ ÚÖØ u Ý vº Ð ÖÓ ÙÒ ÚÖØ Ð ÒÑÖÓ ÐÓ ÒÒØ Ðº Ð ÖÓ ÙÒ ÚÖØ u ÒÓØ gr(u)º ÒÓØÑÓ ÓÒ δ(g) Ý (G) Ð ÑÒÑÓ Ý Ð Ñ ÜÑÓ ÖÓ ÐÓ ÚÖØ G Ö ÔØÚÑÒغ

3 ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÖÓ ¾ Ë G ÙÒ ÖÓ ÑÔÐ ÑÙ ØÖ ÕÙ ν 1 ÓÒ ν Ð ÒÑÖÓ ÚÖØ Gº Ò ÙÒ ÖÓ ØÒÙÑÓ ÒØÖ ÖÓ ÒØÖÒØ ÒÖµ Ý ÖÓ ÐÒØ ÓÙØÖµ u Ð ÔÖÑÖÓ Ò Ð ÒÑÖÓ ÐÓ ÕÙ ØÒÒ Ð ÚÖØ u ÓÑÓ ØÖÑÒÐ Ý Ð ÙÒÓ Ò Ð ÒÑÖÓ ÐÓ ÕÙ ØÒ Ð ÚÖØ u ÓÑÓ ÒÐ Ý ÒÓØÒ gr (u) Ý gr + (u) Ö ÔØÚÑÒغ ÌÓÖÑ ½ ÈÖÙ ÕÙ Ò ÙÒ ÖÓ Ð ÙÑ ÐÓ ÖÓ ÐÓ ÚÖØ Ð ÓÐ Ð ÒÑÖÓ ÐÓ º Ö G = (V,E) Ð ÖÓ ÒØÓÒ gr(u) = 2 E u V ÌÓÖÑ ¾ Ë G = (V,E) ÙÒ ÖÓ ÒØÓÒ gr (u) = gr + (u) = E u V u V ÌÓÖÑ ÈÖÙ ÕÙ Ð ÒÑÖÓ ÚÖØ ÖÓ ÑÔÖ ÔÖº ÖÓ ÅÙ ØÖ ÕÙ δ 2ε/ν º ÖÓ Ð ÖÓ Ö Ø ÙÒ ÖÓ G Ð ÖÓ ÙÝÓ ÓÒÙÒØÓ ÚÖØ E(G) Ò Ð ÙÐ Ó ÚÖØ ÓÒ ÝÒØ Ý ÐÓ ÐÐÓ ÓÒ Ö Ø ÝÒØ Ò Gº ÅÙ ØÖ ÕÙ G ÑÔÐ Ð ÖÓ Ö Ø G ( ) gr(u) ØÒ ε(g) ÚÖØ Ý Ö Ø º 2 u V(G) ½º¾º ÊÔÖ ÒØÓÒ ÐÓ ÖÓ Ë G = (V,E) ÙÒ ÖÓ ÓÒ ν ÚÖØ Ý ε Ö Ø ÒØÓÒ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÑØÖÞν ε ÒÓÑÒ Ð ÑØÖÞ ÒÒ Gº Ë ÒÓØÑÓ ÐÓ ÚÖØ G ÔÓÖ v 1,v 2,...,v ν Ý Ð Ö Ø ÔÓÖ e 1,e 2,...,e ε º ÒØÓÒ Ð ÑØÖÞ ÒÒ G Ð ÑØÖÞ M(G) = [m ij ] ÓÒ m ij Ð ÒÑÖÓ Ú ÕÙ Ð Ö Ø e j Ò Ò Ð ÚÖØ v i ÐÓ ÚÐÓÖ ÓÒ ¼ ½ ¾ ¾ Ò Ð Ó ÕÙ Ð Ö Ø ÙÒ ÐÞÓµº ÇØÖ ÑØÖÞ Ó G Ð ÑØÖÞ ÝÒ Ø ÙÒ ÑØÖÞ ν ν A(G)[a ij ] Ò ÓÒ a ij Ð ÒÑÖÓ Ö Ø ÕÙ ÚÒ v i Ø v j º ÓÒØÒÙÒ ÑÓ ÙÒ ÑÔÐÓ ÙÒ ÖÓ ÓÒ Ù ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ÑØÖÞ ÒÒ Ý ÑØÖÞ ÝÒº

4 ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ v 1 e 5 v 4 e 1 e 2 e 7 e 6 e 4 G v 3 v2 e 3 v 1 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e v 2 v 3 v M(G) v 1 v 1 v 2 v 3 v v 2 v 3 v A(G) ÙÖ ¾ ÅØÖÞ ÁÒÒ Ý ÝÒ G ½º º ÑÒÓ Ý ÐÓ Ò ÐÙÒÓ ØÜØÓ º ÖÙÐ ½ ØÒÙ ÒØÖ Ò Ò µ Ý ÑÒÓ Ôص Ù ÒÓ Ð ÔÖÑÖ ØÖÑÒÓ ÔÖ ÖÓ Ý Ð ÙÒÓ ÔÖ ÖÓ º ÍÒ Ù Ò ÐØÖÒ ÚÖØ Ý ÐÓ u 1,e 1,u 2,e 2,...,e k,u k+1 ØÐ ÕÙ e i = [u i,u i+1 ] ÒÓÑÒ Ò Ò ÙÒ ÖÓ Ý ÑÒÓ Ò ÙÒ ÖÓº ÄÓ ÑÒÓ Ò ÖÐÞÖ ÙÖÓ Ð ÖÒ ÐÓ ÐÓ º Ë ÒÓ Ü ØÒ ÐÓ ÑÙÐØÔÐ ÔÓÑÓ ÒÓØÖ Ò Ñ Ð Ò ÓÑÓ ÙÒ Ù Ò ÚÖØ ÚÖØ ÓÒ ÙØÚÓ ÝÒØ µº ÍÒ Ò ÖÖ Ð ÚÖØ ÒÐ Ý ÒÐ Ð Ñ ÑÓº Ä Ò ÖÖ ÙÒ ÐÓ ØÓÓ ÐÓ ÚÖØ ÜÔØÓ ÐÓ ÜØÖÑÓ µ ÓÒ ØÒØÓ º Ð ÑÒÓ ÖÖÓ ÙÒ ÖÙØÓ ØÓÓ ÐÓ ÚÖØ ÜÔØÓ ÐÓ ÜØÖÑÓ µ ÓÒ ØÒØÓ º ÌÓÖÑ Ë Ò ÙÒ ÖÓ G ØÓÓ ÐÓ ÚÖØ ØÒ ÖÓ ÑÝÓÖ ½ ÔÖÙ ÕÙ Ü Ø ÙÒ ÐÓº ÖÓ ÅÙ ØÖ ÕÙ δ 2 ÒØÓÒ G ÓÒØÒ ÙÒ ÐÓº ÑÓ ÕÙ Ð Ò ÑÒÓµ ÑÔÐ ÒÓ Ý ÚÖØ ÖÔØÓ Ò Ð Ù Òº ÑÓ ÕÙ Ð Ò ÑÒÓµ ÙÒ ÖÓÖÖÓ ØÖÝØÓÖµ ÒÓ ØÒ ÐÓ ÖÔØÓ º ÖÓ ÈÖÙ ÕÙ ØÓÓ ÑÒÓ ÑÔÐ ÙÒ ÖÓÖÖÓº ÙÒ ÑÔÐÓ Ò ÙÒ ÖÓ ÙÒ ÖÓÖÖÓ ÕÙ ÒÓ ÑÒÓ ÑÔк Ä ÐÓÒØÙ ÙÒ Ò ÑÒÓµ Ð ÒÑÖÓ ÐÓ ÕÙ Ý Ò Ðº Ä ØÒ ÒØÖ Ó ÚÖØ ØÒØÓ ÙÐ Ð ÐÓÒØÙ Ð Ò Ñ ÓÖØ ÒØÖ ÐÐÓ ÒÓ Ý ÑÒÓ ÒØÖ ÐÐÓ Ð ØÒ ÒÓ Ø Ò Ý Ð ØÒ ÖÓ ÐÓ ÚÖØ ÓÒ ÙÐ º Ð ÑØÖÓ ÙÒ ÖÓ Ð Ñ ÜÑÓ Ð ØÒ ÒØÖ ÙÐ ÕÙÖ ÔÖ ÚÖØ º ÍÒ Ò ÑÒÓµ α = (v 0,v 1,...,v n ) ÖÖ Óµ v 0 = v n ÖÓ ÅÙ ØÖ ÕÙ G ÑÔÐ Ý δ 2 ÒØÓÒ G ÓÒØÒ ÙÒ ÐÓ ÐÓÒØÙ Ð ÑÒÓ δ +1º

5 ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÌÓÖÑ Ü Ø ÙÒ Ò u v Ý ÐÓ Ü Ø ÙÒ ÑÒÓ ÑÔÐ u vº ÖÓ ÅÙ ØÖ ÕÙ G ÑÔÐ Ý δ k ÒØÓÒ G ØÒ ÙÒ ÑÒÓ ÑÔÐ ÐÓÒØÙ kº ½ºº ÖÓ ØÕÙØÓ Ý ÈÓÒÖÓ ÙÒÕÙ Ý ÑÓ Ù Ó ÐÓ ÖÓ ØÕÙØÓ ÑÓ ÙÒ ÒÒ Ò Ø Òº ÍÒ ÖÓ G ÙÒ ÖÓ ØÕÙØÓ Ù Ö Ø Ý»Ó ÚÖØ ØÒÒ ÒÓ ÐÙÒ ÒØÒº Ò ÔÖØÙÐÖ G ÙÒ ÖÓ ÔÓÒ¹ ÖÓ Ö Ø e G Ð Ò ÙÒ ÒÑÖÓ ÒÓ ÒØÚÓ w(e) ÒÓÑÒÓ Ô Ó Ó ÐÓÒØÙ eº Ð Ô Ó Ó ÐÓÒØÙ ÙÒ ÑÒÓ Ò ÙÒ ÖÓ ÔÓÒÖÓ G Ò ÓÑÓ Ð ÙÑ ÐÓ Ô Ó Ð Ö Ø Ð ÑÒÓº ÍÒ ÑÔÓÖØÒØ ÔÖÓÐÑ Ò ØÓÖ ÖÓ ÒÓÒØÖÖ Ð ÑÒÓ Ñ ÓÖØÓ ÐÚÒÓµ ØÓ Ð ÑÒÓ ÓÒ Ð Ô Ó ÐÓÒØÙµ ÑÒÑÓ ÒØÖ Ó ÚÖØ Ó º ÖÓ ÒÓÒØÖÖ ÐÓ ÑÒÓ Ñ ÓÖØÓ ÒØÖ P Ý Q P A 1 A 2 A 3 ¾ ¾ ¾ ½ ¾ Q A 4 A 5 A 6 ½ ¾ ¾ P ½ ¾ Q ½ ¾ ½ ½

6 ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ½ºº ÌÔÓ ÖÓ ÀÝ ÚÖÓ ØÔÓ ÖÓ º Ò Ø Ò ÓÒ ÖÑÓ ØÖ ØÔÓ ÐÐÓ ÐÖ ÓÑÔÐØÓ ÖÙÐÖº Å ÐÒØ ØÙÑÓ ÐÓ ÖÓ ÔÖØØÓ º ÖÓ ÄÖ ÍÒ ÖÓ G = (V,E) ÐÖ E = Ö ÒÓ ØÒ Ö Ø º ÖÓ ÓÑÔÐØÓ ÍÒ ÖÓ ÑÔÐ G = (V,E) ÓÑÔÐØÓ ÚÖØ Ø ÓÒØÓ ÙÐÕÙÖ ÓØÖÓ ÚÖØ Ò Gº Ð ÖÓ ÓÑÔÐØÓ ÓÒ n ÚÖØ ÒÓØ K n º K 3 K 4 ÖÓ ½¼ ÍÒ ÖÓ ÓÑÔÐØÓ ÓÒ n ÚÖØ ØÒ ( n 2) Ö Ø º ÖÓ ÊÙÐÖ ÍÒ ÖÓ G = (V,E) ÖÙÐÖ ÖÓ k Ó k¹öùðö ÚÖØ ØÒ ÖÓ k Ö ÙÒ ÖÓ ÖÙÐÖ ØÓÓ ÐÓ ÚÖØ ØÒÒ Ð Ñ ÑÓ ÖÓº ¾¹ÖÙÐÖ ¹ÖÙÐÖ ÖÓ ½½ Ë k ÑÔÖº ÈÖÙ ÕÙ ÒÓ Ü ØÒ ÖÓ k¹öùðö ÓÒ ÙÒ ÒÑÖÓ ÑÔÖ ÚÖØ

7 ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ¾º Á ÓÑÓÖ ÑÓ ÖÓ ÒÒ ÄÓ ÖÓ G 1 = (V 1,E 1 ) Ý G 2 = (V 2,E 2 ) ÓÒ ÓÑÓÖÓ Ü Ø ÙÒ ÙÒÒ ÝØÚ f V 1 Ò V 2 ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ÕÙ ÔÖ ÔÖ ÚÖØ u,v V 1 u,v ÓÒ ÝÒØ Ò G 1 Ý ÐÓ f(u),f(v) ÓÒ ÝÒØ Ò G 2 º Ö {u,v} E 1 {f(u),f(v)} E 2 º Ë G 1 Ý G 2 ÓÒ ÓÑÓÖÓ ÐÓ ÒÓØÑÓ G 1 = G2 º Ë Ó ÖÓ G 1 Ý G 2 ÓÒ ÓÑÓÖÓ ØÒÒ Ð Ñ ÑÓ ÒÑÖÓ ÚÖØ Ð Ñ ÑÓ ÒÑÖÓ Ö Ø Ð Ñ ÑÓ ÒÑÖÓ ÚÖØ ÙÐÕÙÖ ÖÓ Ð Ñ ÑÓ ÒÑÖÓ ÐÓ ÙÐÕÙÖ ÐÓÒØ٠غ ØÓ ÒÓ ÔÖÓÚ ÐÙÒÓ ÖØÖÓ ÔÖ ØÖÑÒÖ Ó ÖÓ ÒÓ ÓÒ ÓÑÓÖÓ º ÖÓ ½¾ ÈÖÙ ÕÙ ÐÓ ÖÓ G Ý H Ó ÓÒ ÓÑÓÖÓ º b e 1 e 5 v 2 e 7 e 2 e3 v 3 e 8 a u g e 6 v 4 v 1 e 4 G v 5 v c e d w H h y x f ÙÖ ÖÑ ÐÓ ÖÓ G Ý H ÖÓ ½ ½º ÅÙ ØÖ ÕÙ G = H ÒØÓÒ ν(g) = ν(h) Ý ε(g) = ε(h)º ¾º ÙÒ ÑÔÐÓ Ò Ð ÙÐ Ð ÖÔÖÓÓ Ð ÖÑÒ ÒØÖÓÖ Ð Óº º ÅÙ ØÖ ÕÙ Ý ÓÒ ÖÓ ÑÔÐ ÒÓ ÓÑÓÖÓ ÙØÖÓ ÚÖØ º º ÅÙ ØÖ ÕÙ ÐÓ ÙÒØ ÖÓ ÒÓ ÓÒ ÓÑÓÖÓ

8 ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ G 1 G 2 ÙÖ ÖÑ ÐÓ ÖÓ G 1 Ý G 2 ÖÓ ½ Ò ÐÓ ÙÒØ ÖÓ ÓÒ ÓÑÓÖÓ Ó ÒÓº ÜÔÐÕÙ Ù Ö ÔÙ Ø G 1 G 2 ÙÖ ÖÑ ÐÓ ÖÓ G 1 Ý G 2 ÖÓ ½ ÅÙ ØÖ ÕÙ ÐÓ ÙÒØ ÖÓ ÓÒ ÓÑÓÖÓ G 1 G 2 ÙÖ ÖÑ ÐÓ ÖÓ G 1 Ý G 2 ¾º½º ÖÓ ÓÑÔÐÑÒØÖÓ Ó ÙÒ ÖÓ ÑÔÐ G = (V,E) Ð ÖÓ ÓÑÔÐÑÒØÖÓ ÒÓØÓ ÔÓÖ G c Ð ÖÓ ÑÔÐ ÕÙ ØÒ ÐÓ Ñ ÑÓ ÚÖØ Ý Ð ÓÒÙÒØÓ Ö Ø

9 ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÓÒ ØÓ ÕÙÐÐ ÕÙ Ð ÐØÒ G ÔÖ ÕÙ ÓÑÔÐØÓº ÑÒÖ Ñ ÓÖÑÐ E = {{u,v} u,v V,u v} Ð ÓÒÙÒØÓ ØÓ Ð Ö Ø ÔÓ Ð Ý E c = E\E ÒÓØ Ð ÓÑÔÐÑÒØÓ Ö ÔØÓ E ÒØÓÒ G c = (V,E c )º ÑÔÐÓ ½ G 1 ÖÓ ÓÑÔÐÑÒØÖÓ G 2 H 1 ÖÓ ÓÑÔÐÑÒØÖÓ H 2 ÖÓ ½ ½º Ö ÐÓ ÖÓ K c n Ý Kc n,m º ¾º ÀÐÐÖ Ð ÖÓ ÓÑÔÐÑÒØÖÓ ÙÒÓ ÐÓ ÖÓ ¹ÖÙÐÖ Ó ÖÖº ÒÒ ÍÒ ÖÓ ÑÔÐ G ÙØÓ¹ÓÑÔÐÑÒØÖÓ G = G c º ÖÓ ½ ½º ÅÙ ØÖ ÕÙ G ÙØÓ¹ÓÑÔÐÑÒØÖÓ ÒØÓÒ ν 0,1( mód 4)º ¾º ÀÐÐÖ ÐÓ ÖÓ ÙØÓ¹ÓÑÔÐÑÒØÖÓ ÓÒ Ý ÚÖØ º

10 ½¼ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ¾º¾º ËÙÖÓ Ë G = (V,E) ÙÒ ÖÓº Ë H = (W,F) ÙÒ ÖÓ ØÐ ÕÙ W V Ý F E ÑÓ ÕÙ H ÙÒ ÙÖÓ Gº Ë F ÓÒØÒ ØÓÓ ÐÓ ÐÓ E ÕÙ ÙÒÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ W Ò G ÕÙ H ÙÒ ÙÖÓ ÓÑÔÐØÓ G ÒÖÓ ÔÓÖ W º Ë W = V ÑÓ ÕÙ H ÙÒ ÙÖÓ ÜØÒÓ G ÔÒÒÒ ÙÖÔµº ÑÔÐÓ ¾ v 3 v 6 v 3 v 6 v v 2 1 v 5 v 8 v 9 v 10 v 2 v 5 v 8 v 9 v 4 v 7 v 4 v 7 G G 1 v 3 v 6 v 3 v 6 v v 2 1 v 5 v 8 v v 2 1 v 5 v 8 v 9 v 10 v 4 v 7 v 4 v 7 G 2 G 3 ÙÖ ËÙÖÓ G Ð ÖÓ G 1 ÙÒ ÙÖÓ G Ð ÖÓ G 2 ÙÒ ÙÖÓ ÓÑÔÐØÓ G Ý Ð ÖÓ G 3 ÙÒ ÙÖÓ ÜØÒÓ Gº ¾º º ÖÓ ÔÖØØÓ ÒÒ Ë ÕÙ ÙÒ ÖÓ ÑÔÐ G = (V,E) ÔÖØØÓ Ð ÓÒÙÒØÓ ÚÖØ V ÔÙ ÚÖ Ò Ó ÓÒÙÒØÓ ÙÒØÓ V 1,V 2 (V 1 V 2 = V, V 1 V 2 = ØÐ ÑÒÖ ÕÙ ØÓ Ö Ø e E ÓÒØ ÙÒ ÚÖØ V 1 ÓÒ ÙÒ ÚÖØ V 2 º ØÓ Ò ÕÙ Ð ÙÖÓ ÓÑÔÐØÓ ÒÖÓ ÔÓÖ V 1 ÐÖ ÐÓ Ñ ÑÓ Ð ÙÖÓ ÓÑÔÐØÓ ÒÖÓ ÔÓÖ V 2 º

11 ½½ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ G 1 G 2 ÙÖ ÖÓ ÔÖØØÓ ÑÔÐÓ ÑÓ Ó ÑÔÐÓ ÖÓ ÔÖØØÓ ÍÒ ÙÖÓ ÔÖØØÓ ÓÑÔÐØÓ ÚÖØ V 1 Ø ÓÒØÓ ØÓÓ ÐÓ ÚÖØ V 2 V 1 = n Ý V 2 = m Ø ÖÓ ÒÓØ K m,n K 2,3 K 3,3 K 2,4 ÙÖ ÖÓ ÔÖØØÓ ÓÑÔÐØÓ ¾ºº ÓÒÜ ÍÒ ÖÓ ÑÙÐØÖÓ ÖÓµG ÓÒÜÓ Ü Ø ÙÒ Ò ÑÒÓµ ÒØÖ ÙÐ ÕÙÖ ÔÖ ÚÖØ º H ÙÒ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ G H ÙÒ ÙÖÓ ÓÒÜÓ Óѹ ÔÐØÓ ÑÜÑк Ö ÒÓ Ü Ø ÙÒ ÙÖÓ ÓÑÔÐØÓ G ÕÙ ÓÒØÒ ÔÖÓÔÑÒØ H Ý ÓÒÜÓº ÒÑÓ Ò G ÙÒ ÖÐÒ ÓÖ ÐÓ ÚÖØ Ø ÑÒÖ u = v u = v Ó Ü Ø ÙÒ Ò ÕÙ ÐÓ ÙÒº

12 ½¾ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÈÖÙ ÕÙ = ÙÒ ÖÐÒ ÕÙÚÐÒº ÈÖÙ ÕÙ Ð ÕÙÚÐÒ ÙÒ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ Gº ÒÓØÑÓ Ð ÒÑÖÓ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ G ÓÒ ω(g)º Ë G ÙÒ ÖÓ Ý v V(G) ÙÒ ÚÖØ G Ò G v ÓÑÓ Ð ÙÖÓ G ÕÙ ÓØÒ Ð ÓÖÖÖ Ð ÚÖØ v Ð ÖÓ G Ý ØÓÓ ÐÓ ÐÓ ÒÒØ vº ÒÒ Ë G ÙÒ ÖÓ ÑÔÐ ÒÓ ØÖÚÐ ÒØÓÒ v ÙÒ ÚÖØ ÓÖØ Ý ÐÓ ω(g v) > ω(g)º Ë G ÙÒ ÖÓ Ý e E(G) ÙÒ ÐÓ G Ò G e ÓÑÓ Ð ÙÖÓ G ÕÙ ÓØÒ Ð ÓÖÖÖ Ð ÐÓ e Ð ÖÓ Gº V(G) = V(G e) Ý E(G e) = E(G)\{e}º ÒÒ ½¼ ÍÒ ÐÓ e ÙÒ ÖÓ G ÕÙ ÔÙÒØ G e ØÒ Ñ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ ÕÙ Gº ÖÓ ½ ÈÖÙ ÕÙ e ÙÒ ÔÙÒØ ÒØÓÒ ω(g e) = ω(g)+1º ÖÓ ½ ÀÐÐÖ ÐÓ ÔÙÒØ Ò Ð ÙÒØ ÖÓ G ÌÓÖÑ Ë G ÓÒÜÓ Ý e ÙÒ ÔÙÒØ G ÔÖÙ ÕÙ G e ØÒ Ó ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ º ÖÓ ¾¼ ½º ÅÙ ØÖ ÕÙ G ÑÔÐ Ý ε > ( ν 1) 2 ÒØÓÒ G ÓÒÜÓº ËÙÖÒ Í Ð ÒØ (s+t 1)(s+t 2) = s(s 1)+t(t 1)+2(s 1)(t 1)

13 ½ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ¾º ÈÖ ν > 1 ÒÙÒØÖ ÙÒ ÖÓ ÑÔÐ ÓÒÜÓ G ÓÒ ε = ( ) ν 1 2 ÖÓ ¾½ ½º ÅÙ ØÖ ÕÙ G ÑÔÐ Ý δ > [ν/2] 1 ÒØÓÒ G ÓÒÜÓº ¾º ÒÙÒØÖ ÙÒ ÖÓ ÑÔÐ [ν/2] 1¹ÖÙÐÖ ÓÒÜÓ ÔÖ ν ÔÖº ÖÓ ¾¾ ÅÙ ØÖ ÕÙ G ÓÒÜÓ ÒØÓÒ G c ÓÒÜÓº ÍÒ ÑÙÐØÖÓ ÕÙ ÔÙ ÖÓÖÖÖ ÔÙ ÙÖ Ò ÖÓØÙÖ ÐÚÒØÖ Ð Ð ÔÞµ Ý Ù ÒÓ ÐÓ ÜØÑÒØ ÙÒ ÚÞ Ö Ý ÙÒ Ò ÕÙ Ô ÔÓÖ ØÓÓ ÐÓ ÚÖØ Ý ÔÓÖ ØÓÓ ÐÓ ÐÓ ÜØÑÒØ ÙÒ ÚÞº Ø Ò Ð ÒÓÑÒÑÓ ÙÒ ÖÓÖÖÓ ØÓØк ÌÓÖÑ ËÙÔÓÒ ÕÙ G ÔÙ ÖÓÖÖÖ Ý ÕÙ γ ÙÒ ÖÓÖÖÓ ØÓØÐ ÕÙ ÒÓ ÑÔÞ Ò ØÖÑÒ Ò Ð ÚÖØ uº ÈÖÙ ÕÙ Ð ÖÓ u ÔÖº ÍÒ ÖÓ ÑÙÐØÖÓµ ÙÐÖÒÓ Ü Ø ÙÒ ÖÓÖÖÓ ØÓØÐ ÖÖÓº ÌÓÖÑ ÍÒ ÖÓ ÒØÓ ÓÒÜÓ ÙÐÖÒÓ Ý ÐÓ ÚÖØ ØÒ ÖÓ ÔÖº ÈÖÙ ÕÙ ÙÐÕÙÖ ÖÓ ÓÒÜÓ ÒØÓ ÓÒ Ó ÚÖØ ÖÓ ÑÔÖ ØÒ ÙÒ ÖÓÖÖÓ ØÓØк º ÖÓ ÈÐÒÖ ÑÓ ÕÙ ÙÒ ÖÓ G ÔÐÒÖ ÔÙ ÙÖ Ò Ð ÔÐÒÓ Ò ÕÙ ÐÓ ÐÓ ÖÙÒ ÙÖ Ù ÜØÖÑÓ º Ä ÖÓÒ Ò ÙÒ ÖÔÖ ÒØÒ ÙÒ ÖÓ ÔÐÒÖ Ø Ò ÐÑØ ÔÓÖ ÐÓ ÐÓ º Ó ÔÙÒØÓ ÒÙÒØÖÒ Ò Ð Ñ Ñ ÖÒ Ü Ø ÙÒ ÐÒ ÓÒØÒÙ ÕÙ ÐÓ ÙÒ Ò ÖÙÞÖ ÒÒÒ ÐÓ Ó ÚÖغ Ð ÖÓ ÙÒ ÖÒ Ð ÒÑÖÓ ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÖÓÒØÖ ÖÒ ÙÒÓ ÙÒ ÐÓ ÔÖØÒ ÔÓÖ ÓÑÔÐØÓ ÙÒ ÖÒ Ø ÐÓ ÔÓÖØ ¾ Ð ÖÓ Ð ÖÒ ÌÓÖÑ ÙÐÖµ Ë G ÙÒ ÖÓ ÔÐÒÖ ÓÒÜÓ ÒØÓÒ ÙÐÕÙÖ ÖÔÖ ÒØÒ ÔÐÒÖ G ØÒ r = e v+2 ÖÓÒ ÓÒ e Ð ÒÑÖÓ ÐÓ Ý v Ð ÒÑÖÓ ÚÖØ º ÑÔÐÓ Ò Ø ÖÓ G Ð ÒÑÖÓ ÚÖØ v Ð ÒÑÖÓ Ö Ø e ½ Ý Ð ÒÑÖÓ ÖÓÒ r Ý ÚÖ Ð ÖÑÙÐ ÙÐÖ ÔÖ ÖÓ ÔÐÒÖ ÓÒÜÓ ÌÓÖÑ ½¼ Ë G ÔÐÒÖ ÓÒÜÓ ÓÒ v 3 ÒØÓÒ e 3v 6

14 ½ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ G ÒÒ ½½ Ë G ÙÒ ÖÓ Ý u,v Ó Ù ÚÖØ ÕÙ ÓÖÑÒ Ö Øº ÒØÓÒ ÙÒ ÙÚ Ò ÐÑÒØÐ Ð ÖÓ G Ð ÖÓ G ÕÙ Ð ÖÓ G Ð ÕÙ Ð ÙÒ ÚÖØ w Ð ÕÙØ Ð Ö Ø {u,v} Ý Ð Ò Ó Ö Ø ÙÒ Ð {u,w} Ý ÓØÖ Ð {w,v}º ÓÑÓ Ù ØØÙÖ ÙÒ Ù Ö Ø ÔÓÖ ÙÒ ÚÖØ ÙÒÓ ÐÓ ÚÖØ ÕÙ ÒØ ÖÒ ÜØÖÑÓ Ö Øº ÍÒ ÙÚ Ò G Ð ÖÓ ÔÙ Ö ÙÒ ÒÑÖÓ ÒØÓ ÒÐÙ Ó ¼µ ÙÚ ÓÒ ÐÑÒØÐ Ù Ú º ÌÓÖÑ ½½ ÃÙÖØÓÛ µ ÍÒ ÖÓ G ÔÐÒÖ Ý ÐÓ ÒÓ ØÒ Ù¹ ÖÓ ÓÑÓÖÓ ÙÒ ÙÚ Ò K 5 Ó K 3,3 º º ýöóð ÍÒ ÖÓÐT ÙÒ ÖÓ Ò Ð ÙÐ ÔÖ ÚÖØ ØÒØÓ Ø ÙÒÓ ÔÓÖ ÙÒ Ò Ò ÑÔк ÑÔÐÓ T 1 T 2 ÙÖ ½¼ T 1 Ý T 2 ÖÓÐ ÒÒ ½¾ Ë G ÙÒ ÖÓ ÑÓ ÕÙ T ÙÒ ÖÓÐ ÜØÒÓ ÔÒ¹ ÒÒ ØÖµ G ÙÒ ÙÖÓ ÜØÒÓ ÔÒÒÒ ÙÖÔµ ÕÙ ÙÒ ÖÓк

15 ½ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÑÔÐÓ G T 1 T 2 ÙÖ ½½ ÐÙÒÓ ÖÓÐ ÜØÒÓ G ÖÓ ¾ ½º ÒÙÒØÖ ÐÓ ÖÓÐ ÜØÒÓ Ð ÖÓ Ó ÖÖº ¾º ÒÙÒØÖ ØÓÓ ÐÓ ÖÓÐ ÒÓ ÓÑÓÖÓ ÙØÖÓ ÚÖØ º º ÒÙÒØÖ ØÓÓ ÐÓ ÖÓÐ ÒÓ ÓÑÓÖÓ ÒÓ ÚÖØ º º ÒÙÒØÖ ØÓÓ ÐÓ ÖÓÐ ÒÓ ÓÑÓÖÓ ÚÖØ º ÌÓÖÑ ½¾ G ÓÒÜÓ Ý ÐÓ Ü Ø ÙÒ ÖÓÐ ÜØÒÓ Gº ÄÓ ÖÓÐ ÜØÒÓ ÓØÒ ÓÖÖÒÓ Ù ÚÑÒØ ÐÓ ÕÙ ÓÖÑÒ ÐÓ º Ð ÖÐÞÖ Ø ÔÖÓÑÒØÓ ÖÓÑÔÒÓ ÐÓ ÐÓ ÕÙ Ü ØÒ Ò G ÐÐ ÙÒ ÖÓÐ ÜØÒÓº ÀÝ ÙÒ ÖÑÙÐ ÖÙÖ Ú ÑÔÐ Ý ÐÒØ ÔÖ ÐÐÖ Ð ÒÑÖÓ ÖÓÐ ÜØÒÓ ÙÒ ÖÓ Gº ÌÒÑÓ ÕÙ Ù Ö ÙÒ ÓÔÖÒ ÓÖ ÐÓ ÖÓ ÕÙ Ð ÓÒØÖÒ ÙÒ ÐÓ Ð ÙÐ ÒÑÓ ÓÒØÒÙÒº ÍÒ ÐÓ e G ÕÙ ÓÒØÖÓ Ð ÓÖÖÓ Ý ÐÓ ÜØÖÑÓ ÓÒ ÒØÓ Ð ÖÓ Ö ÙÐØÒØ ÒÓØ ÔÓÖ G eº ÁÐÙ ØÖÑÓ ÓÒ ÙÒ ÑÔÐÓ Ø ÓÔÖÒ ÑÔÐÓ e 6 e 7 e 5 e 6 e e 7 5 e 6 e 7 e 5 e 6 e 7 e 1 e 2 e 3 e 1 e 4 e 3 e 1 e 2 e 3 e 4 e 1 e 2 e 3 e 4 G G e 2 G e 4 G e 5

16 ½ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ Ë e ÙÒ ÐÓ G ÒØÓÒ ν(g e) = ν(g) 1 ε(g e) = ε(g) 1 ω(g e) = ω(g) ÎÖÖÐÓº ÓÒÐÙÖ ÕÙ T ÙÒ ÖÓÐ Ý e ÙÒ ÐÓ Ð ÖÓÐ ÒØÓÒ T e ÙÒ ÖÓк ÒÓØÖÑÓ Ð ÒÑÖÓ ÖÓÐ ÜØÒÓ G ÔÓÖ τ(g)º ÌÓÖÑ ½ Ë e ÙÒ ÐÓ G ÒØÓÒ τ(g) = τ(g e)+τ(g e) ÈÖÙº ÅÓ ØÖÑÓ ÙÒ ÓÞÓ Ð ÔÖÙº ÈÖÑÖÓ Ó ÖÚ ÕÙ ÔÓÑÓ ÚÖ ÐÓ ÖÓÐ ÜØÒÓ G Ò Ó ÓÒÙÒØÓ ÙÒØÓ ÐÓ ÕÙ ØÒÒ Ð ÐÓ e Ý ÐÓ ÕÙ ÒÓ ØÒÒ Ð ÐÓ eº Ü Ø ÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÝØÚ ÒØÖ ÐÓ ÖÓÐ ÕÙ ÓÒØÒÒ Ð ÐÓ e Ý ÐÓ ÖÓÐ ÜØÒÓ Ð ÖÓ G e Ð ÝÒ T T eµº ÅÒØÖ ÕÙ ØÓÓ ÖÓÐ ÜØÒÓ G ÕÙ ÒÓ ÓÒØÒ e ÙÒ ÖÓÐ ÜØÒÓ G eº Í ÑÓ Ð ÔÖÒÔÓ Ð ÙѺ ÖÓ ¾ ½º ÍÒ ÖÓ G ÙÒ ÖÓÐ Ý ÐÓ ÓÒÜÓ Ý Ò ÐÓ º ¾º G ÙÒ ÖÓÐ Ý ÐÓ ÓÒÜÓ Ý ØÓÓ Ù ÐÓ ÓÒ ÔÙÒØ º º Ë G ÙÒ ÖÓÐ Ü ØÒ Ð ÑÒÓ ÙÒ ÚÖØ ÓÐÒØ ÖÓ ÙÒÓµº º Ë T ÙÒ ÖÓÐ n ÚÖØ ÒØÓÒ Ð ÒÑÖÓ ÐÓ n 1º º Ë G ÙÒ ÖÓÐ Ü ØÒ Ð ÑÒÓ Ó ÚÖØ ÓÐÒØ ÖÓ ÙÒÓµº º ÍÒ Ó ÕÙ ÙÒ ÖÓ ÓÒ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ ÙÒ ÖÓк Ë ÙÒ Ó ÕÙ ØÒ n ÚÖØ Ý k ÓÑÔÓÒÒØ úù ÒØÓ ÐÓ ØÒ º Ë G ØÒ n ÚÖØ n 1 ÐÓ Ý ÓÒÜÓ ÒØÓÒ ÙÒ ÖÓк º Ë G ØÒ n ÚÖØ n 1 ÐÓ Ý ÒÓ ØÒ ÐÓ ÒØÓÒ ÙÒ ÖÓк ÌÓÖÑ ½ ÍÒ ÚÖØ v ÙÒ ÖÓÐ T ÙÒ ÚÖØ ÓÖØ T Ý ÐÓ gr(v) > 1º ÈÖÙº Ë gr(v) = 0 ÒØÓÒ T = K 1 Ý Ð ÖÓ ØÖÚÐ Ý ÒÓ ÚÖØ ÓÖØ ÔÓÖ Ð ÒÒ º Ë gr(v) = 1 ÒØÓÒ T v ÒÓ ØÒ ÐÓ Ý ØÒ ν(t) 2 Ö Ø Ý ÕÙ ØÒ ÓÖÒÐÑÒØ ν(t) 1 Ö Ø ÔÓÖ Ö ÖÓе Ý ÓÖÖ Ð Ö Ø ÒÒØ Ð ÚÖØ vº ÈÖÓ ν(t v) = ν(t) 1 ÔÓÖ ÐÓ ØÒØÓ ØÒ ν(t v) 1 Ö Ø Ý Ð Ö ÙÐØÓ ÒØÖÓÖ ØÒ ÕÙ T v ÙÒ ÖÓÐ Ý ÔÓÖ ÐÓ ØÒØÓ ÓÒÜÓº Ö ω(t) = ω(t v) Ý Ò ÓÒ ÙÒ v ÒÓ ÚÖØ ÓÖØ T º

17 ½ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ Ë gr(v) > 1 Ü ØÒ Ó ÚÖØ ØÒØÓ u,w ÝÒØ uº Ð ÑÒÓ uvw ÙÒ ÑÒÓ ÒØÖ u Ý w Ò T º ÈÙ ØÓ ÕÙ Ü Ø ÙÒ ÐÓ ÑÒÓ ÑÔÐ ÒØÖ u Ý w Ù ÕÙ ÒÓ Ý ÑÒÓ ÒØÖ u Ý w Ò Ð ÖÓ T vº ÈÓÖ ÐÓ ØÒØÓ u Ý w ÒÙÒØÖÒ Ò ÖÒØ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ Ö ω(t v) > ω(t)º ÓÖÓÐÖÓ ½ ÌÓÓ ÖÓ ÑÔÐ ÓÒÜÓ ØÒ Ð ÑÒÓ Ó ÚÖØ ÕÙ ÒÓ ÓÒ ÚÖØ ÓÖغ ÈÖÙº Ë G ÙÒ ÖÓ ÑÔÐ ÓÒÜÓº ÈÓÖ Ð ØÓÖÑ ½¾ Ü Ø ÙÒ ÖÓÐ ÜØÒÓ T ÓÑÓ T ØÒ Ð ÑÒÓ Ó ÚÖØ ÖÓ 1 ÔÓÖ Ð ØÓÖÑ ÒØÖÓÖ ØÓ ÚÖØ ÒÓ ÓÒ ÓÖغ Ë v ÙÒÓ Ó ÚÖØ ÒØÓÒ ω(t v) = 1 ÈÙ ØÓ ÕÙ T ÙÒ ÖÓÐ ÜØÒÓ G T v ÙÒ ÖÓÐ ÜØÒÓ G v Ý Ò ÓÒ ÙÒ ω(g v) ω(t v) Ë Ù ÕÙ ω(g v) = 1 Ý Ø ÑÓÓ v ÒÓ ÚÖØ ÓÖØ Gº ÈÙ ØÓ ÕÙ Ý Ð ÑÒÓ Ó ÚÖØ Ø ØÔÓ Ð ÔÖÙ ØÖÑÒº ÌÓÖÑ ½ ÝÐÝ ½µ Ü ØÒ n n 2 ÖÓÐ ØÕÙØÓ ØÒØÓ n ÚÖØ ÚÖØ ÓÒ ÙÒ ØÕÙØ ØÒصº ÈÖÙº ÑÓ ÙÒ ÔÖÙ ÈÖÖ ½½µº ÈÖÖ ØÐ ÙÒ ÝÒ ÒØÖ ÐÓ ÖÓÐ ØÕÙØÓ n ÚÖØ Ý ÙÒÓ Ó ÕÙ ÒÓÑÒÑÓ Ó ÈÖÖº Ó ÙÒ ÖÓÐ ØÕÙ¹ ØÓ V(T) = {1,2,3,...,n} ÓÒ ØÖÙÑÓ Ð Ó ÈÖÖ ÓÓ Ð ÙÒØ ÑÒÖ T 1 := T Ý b 1 Ð ÚÖØ ÖÓ ½ ÓÒ Ð ÚÐÓÖ ÑÒÑÓ Ò Ù ØÕÙØ T 1 Ý a 1 Ð ÚÖØ ÝÒØ T 2 Ð ÖÓÐ ÕÙ ÓØÒ Ð ÓÖÖÖ Ð ÚÖØ b 1 Ý Ð ÐÓ {a 1,b 1 }º ÊÔØÑÓ Ð ÔÖÓÑÒØÓ ÓÖ T 2 Ø ÑÒÖ ÓØÒÑÓ [a 1,a 2,,a n 2 ] Ð ÙÐ Ð Ó Ð ÖÓÐ T º ÓÑÓ ÙÒ ÑÔÐÓ ÄÓ ÚÖØ ÖÓ ½ ÓÒ 2,4,5,6,7,9 Ý Ð T := T 1 ÑÒÓÖ ÚÐÓÖ ¾º Ø ÑÓÓ Ð ÔÖÑÖ ÚÐÓÖ Ð Ó ½¼ ÕÙ Ð ØÕÙØ Ð ÚÖØ ÕÙ ÝÒØ Ð ÚÖØ ¾ Ý ÓØÒÑÓ Ð ÖÓÐ T 2 Ð ÐÑÒÖ Ø ÚÖØ Ý Ù ÐÓº Ò Ð ÙÒØ Ð ÚÖØ ÖÓ ½ ÓÒ Ð ÑÒÓÖ ÚÐÓÖ Ý Ù ÚÖØ ÝÒØ Ð ÕÙ Ð ÙÒØ ÚÐÓÖ Ò Ð T 2

18 ½ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ T T T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 Ó ÓØÒÑÓ Ð ÖÓÐ T 3 Ð ÓÖÖÖ Ð ÚÖØ Ý Ù ÐÓ Øº Ð Ó ÕÙ ÓØÒ ØÖÚ Ø ÔÖÓ Ó [10,3,3,10,8,8,10,1]º Ü Ø ÙÒ ÝÒ ÒØÖ ÐÓ ÖÓÐ ÓÒ ÚÖØ V(T) = {1,2,3,...,n} Ý Ó Ð ÓÖÑA = [a 1,a 2,...,a n 2 ] ÓÒa i {1,2,3,...,n}º ÑÓ Ð ÑÒÖ ÓØÒÖ ÙÒ ÖÓÐ ØÖÚ ÙÒ Ó Ó Ð ÙÒØÓ ÓÒ Ø Ò ÓÒ ØÖÙÖ ÐÓ ÐÓ º ÈÙ ØÓ ÕÙ [n] \ [a 1,a 2,...,a n 2 ] ÔÖÓÑÓ ÓÒ ØÖÙÖ ÐÓ ÐÓ ÑÒÖ ÒÙØÚ b 1 = mín{[n]\[a 1,a 2,...,a n 2 ]} ÒØÓÒ {a 1,b 1 } ÙÒ ÐÓ Ð ÖÓÐ T ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ð Ó A b 2 = mín{[n]\([a 2,a 3...,a n 2 ] {b 1 }} Ð ÐÓ ÕÙ ÓØÒ Ò Ø Ô Ó {a 2,b 2 } Ò Ð Ô Ó i b i = mín{[n]\([a i,...,a n 2 ] {b 1,...,b i 1 }} ÓØÒ Ð ÐÓ {a i,b i } Ø ÕÙ ÐÓ ÕÙÒ Ó ÚÖØ ÕÙ ÓÒ ÝÒØ Ý Ø Ð ÐØÑÓ ÐÓº ÑÓ ÙÒ ÑÔÐÓ ÓÑÓ ÓØÒÖ ÙÒ ÖÓÐ ÔÓÖ ÑÓ Ù Ó ÈÖÖº Ë V(T) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Ý Ð Ó A = [3,3,1,8,8,5,3] [9]\A = {2,4,6,7,9}º Ð ÔÖÑÖ ÐÓ {3,2}º [9]\[3,1,8,8,5,3] {2} = {4,6,7,9}º Ð ÐÓ {3,4}º [9]\[1,8,8,5,3] {2,4} = {6,7,9}º Ð ÐÓ {1,6}º [9]\[8,8,5,3] {2,4,6} = {1,7,9}º Ð ÐÓ {8,1}º [9]\[8,5,3] {1,2,4,6} = {7,9}º Ð ÐÓ {8,7}º [9]\[5,3] {1,2,4,6,7} = {8,9}º Ð ÐÓ {5,8}º [9]\[3] {1,2,4,6,7,8}= {5,9}º Ð ÐÓ {3,5}º [9]\{1,2,4,5,6,7,8}= {3,9}º Ð ÐÓ {3,9}º ÄÙÓ Ð ÖÓ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ð Ó A = [3,3,1,8,8,5,3] ÈÙ ØÓ ÕÙ Ý ÙÒ ÝÒ ÒØÖ ÐÓ ÖÓÐ ØÕÙØÓ ÓÒ n ÚÖØ Ý ÐÓ Ó [a 1,a 2,...,a n 2 ] ÓÒ a i [n] Ý Ð ÒÑÖÓ Ó ÔÓ Ð n n 2 Ð ÒÑÖÓ ÙÒÓÒ [n 2] Ò [n]µ ÓÒÐÙÝ ÕÙ Ý n n 2 ÖÓÐ ØÕÙØÓ ÓÒ n ÚÖØ º ÁÙÐÑÒØ Ø ÒÑÖÓ Ð ÒÑÖÓ ÖÓÐ ÜØÒÓ K n º

19 ½ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ T 8 7 º ÓÐÓÖÒ ÖÓ ÌÒÑÓ ÙÒ ÖÓ Ý ÙÒ ÓÒÙÒØÓ ÓÐÓÖ C = {a,b,...}º ÍÒ Ó¹ ÐÓÖÒ ÓÒ ÐÓ ÓÐÓÖ C ÙÒ ÒÒ ÐÓ ÚÖØ ÐÑÒØÓ C ÓÐÓÖ µ ÑÒÖ ÕÙ ÐÓ ÜØÖÑÓ Ö Ø Ö¹ Ò ÓÐÓÖ ØÒØÓ º ÓÖÑÐÑÒØ ÙÒ ÓÐÓÖÒ ÓÒ ÓÐÓÖ C ÙÒ ÔÐÒ γ : V(G) C ØÐ ÕÙ {v,w} E(G) ÒØÓÒ γ(v) γ(w) Ç ÖÚÒº Ò ÐÙÒÓ ÐÖÓ Ø ÓÐÓÖÓÒ ÒÓÑÒÒ ÓÐÓÖÓÒ Ñ Ð ÕÙ ÔÓÖ ÓÑÓ Ð ÒÓÑÒÑÓ ÓÐÓÖÓÒ º ÒÒ ½ Ð ÒÑÖÓ ÖÓÑ ØÓ ÙÒ ÖÓ G χ(g) Ð ÒÑÖÓ ÑÒÑÓ ÓÐÓÖ Ò ÖÓ ÔÖ ÓÐÓÖÖ Gº ÐÙÒ Ó ÖÚÓÒ ÒÑØ ÓÖ Ð ÒÑÖÓ ÖÓÑ ØÓ ÓÒ Ð ÙÒ¹ Ø ½º ÈÖ ØÓÓ ÖÓ G, χ(g) V ÔÓÖÕÙ ÑÔÖ ÔÓÖÑÓ ÓÐÓÖÖ ÓÒ Î ÓÐÓÖ ÒÒÓ ÚÖØ ÙÒ ÓÐÓÖ ØÒØÓº Ø ÓÚÑÒØ Ð ÓÖÑ ÑÒÓ ØÚ ÓÐÓÖÖº ¾º Ë Ð ÖÓ ÓÒØÒ Ð ÑÒÓ ÙÒ Ö Ø Ò ØÖÑÓ Ó ÓÐÓÖ ÓÑÓ ÑÒÑÓ Ö A 1 ÒØÓÒ χ(g) 2º º Ë G ÓÒØÒ G ÓÑÓ ÙÖÓ ÒØÓÒ χ(g) χ(g ) º Ë G ØÒ k ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ G 1,G 2,...,G k ÕÙ ØÒÒ ÒÑÖÓ ÖÓÑ ØÓ χ(g 1 ),χ(g 2 ),...,χ(g k ) Ö ÔØÚÑÒØ ÒØÓÒ χ(g) = máx 1 i k {χ(g i)} º Ë G Ý G ÓÒ ÓÑÓÖÓ ÒØÓÒ χ(g) = χ(g )º ÑÔÐÓ

20 ¾¼ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÙÖ ½¾ ÖÓ ÐÒÐ L 9 Ð ÖÓ ÐÒÐ n ÚÖØ ÕÙ ÒÓØÑÓ L n ØÒ ÒÑÖÓ ÖÓÑ ØÓ ¾ Ö χ(l n ) = 2 ÈÖÓÑÓ Ö ÙÒ ÑÓ ØÖÒ ÔÓÖ ÒÙÒº ÈÙ ØÓ ÕÙ ÔÖ n 2 Ý ÔÓÖ ÐÓ ÑÒÓ ÙÒ Ö Ø ØÒ ÔÓÖ Ð Ó ÖÚÓÒ ÕÙ χ(l n ) 2º L 2 ØÒ ÓÑÓ ÒÑÖÓ ÖÓÑ ØÓ ¾º ËÙ ÔÓÒÑÓ ÕÙ ÔÖ ØÓÓ k < n ÚÖ χ(l k ) = 2º Ë e E(L n ) Ý L n e Ð ÙÖÓ L n ÕÙ ÓØÒ Ð ÓÖÖÖ Ð ÐÓ e Ð ÙÖÓ L n e ØÒ Ó ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ ÕÙ ÓÒ ÖÓ ÐÒÐ L s Ý L t ØÐ ÕÙ s + t = n Ý 1 s,t < n ÔÓÖ ÔØ ÒÙØÚ L s Ý L t ÚÖÒ χ(l s ) = χ(l t ) = 2º Ë u Ý v ÓÒ ÐÓ ÜØÖÑÓ e ÒØÓÒ u Ý v ÔÖØÒÒ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ ØÒØ Ý ÑÓ ØÒÒ ÖÓ ½º Í ÑÓ Ó ÓÐÓÖ ÔÖ ÓÐÓÖÖ Ñ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ L s Ý L t ØÐ ÕÙ u Ý v ØÒÒ ÓÐÓÖ ØÒØÓ ØÓ ÑÔÖ ÔÓ Ðµ ÐÙÓ Ð ÖÖ Ð ÐÓ e ÓØÒ ÙÒ ÓÐÓÖÒ L n º Ø ÖÙÑÒØÓ ÔÙ Ù Ö ÔÖ ÔÖÓÖ ÕÙ ØÓÓ ÖÓÐ ØÒ ÒÑÖÓ ÖÓÑ ØÓ ¾ Ö χ(t n ) = 2 ÒÓ T n ÙÒ ÖÓÐ n ÚÖØ º ùàöðó ÓÒ ÖÑÓ ÐÓ ÐÓ C n ÕÙ ÓÒ ØÓÓ ÐÓ ÖÓ ÓÑÓÖÓ Ð ÖÓ ÕÙ ØÒ V = {v 1,v 2,...,v n } ÓÑÓ ÚÖØ Ý Ð ÓÒÙÒØÓ Ö Ø E = {{v i,v i+1 } i = 1,...,n 1} {v n,v 1 }} Ç ÖÚ ÕÙ e ÙÒ Ö Ø C n ÒØÓÒ C n e = L n Ý v 1,v n ÓÒ ÐÓ ÙÖ ½ ÐÓ C 9 Ý C 12 ÚÖØ ÖÓ ½ L n ÒØÓÒ Ð ÖÓ ÕÙ ÓØÒ L n Ð ÖÖ Ð ÐÓ {v 1,v n } ÓÑÓÖÓ µ C n Ñ ØÒ ÙÒ ¾¹ÓÐÓÖÒ L n Ý n ÔÖ ÒØÓÒ ÐÓ ¾ ÚÖØ ÖÓ ½ ØÒÒ ÓÐÓÖ ØÒØÓ Ý n ÑÔÖ ØÓ ØÒÒ Ð Ñ Ñ ÓÐÓÖÒº ùèöóöðó ÈÓÖ ÐÓ ØÒØÓ n ÔÖ Ý L n ØÒ ÙÒ ¾¹ÓÐÓÖÒ ÔÓÑÓ ÖÖ ÙÒ ÐÓ ÕÙ ÙÒÒ ÐÓ ÚÖØ ÖÓ ½ Ý ÓØÒ ÙÒ ¾¹ÓÐÓÖÒ C n º ØÓ ÑÔÓ Ð n ÑÔÖº ÈÓÖ Ø ÖÞÒ ÓÒ Ò ÖÓ ØÖ ÓÐÓÖ ÔÖ ÓÐÓÖÖ C n n ÑÔÖº Ò

21 ¾½ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÓÒÐÙ Ò χ(c n ) = { 2 n ÔÖ 3 n ÑÔÖ Ë G 1 Ý G 2 ÓÒ ÖÓ ÑÔÐ ÒÑÓ Ð ÖÓ G 1 G 2 ÓÑÓ Ð ÖÓ ÑÔÐ ÕÙ ÓØÒ G 1 Ý G 2 ÖÒÓ ØÓÓ ÐÓ ÐÓ ÔÓ Ð ÒØÖ ÐÓ ÚÖØ G 1 Ý ÐÓ ÚÖØ G 2 º ÑÒÖ Ñ ÓÖÑÐ G 1 G 2 Ð ÖÓ ÑÔÐ ØÐ ÕÙ V(G 1 G 2 ) = V(G 1 ) V(G 2 ) Ý E(G 1 G 2 ) = E(G 1 ) E(G 2 ) {{u,v} u G 1,v G 2 } ÓÒ ÒÓØ Ð ÙÒÒ ÙÒغ Ð ÖÓ ÖÙ R n Ò R n = C n K 1 ÓÒ K 1 Ð ÖÓ ÑÔÐ ÓÒ ÙÒ ÚÖØ ÙÖ ½ ÖÓ ÖÙ R 8 ÎÖÖ χ(r n ) = { 3 n ÔÖ 4 n ÑÔÖ º½º ÊÐÓÒ ÓÒ Ð Ø Ý ÔÖØÓÒ Ò ÐÓÕÙ ÍÒ ÓÐÓÖÒ ÙÒ ÖÓ G ÕÙÚÐÒØ ÙÒ Ð Ø ÓÒ ÖØ Ö ¹ ØÖÓÒ º ËÙÔÓÒÑÓ ÕÙ V(G) = {v 1,v 2,,v n } ÒØÓÒ ÙÒ ÓÐÓÖÒ Ù ÒÓ ÐÓ k ÓÐÓÖ C = {a 1,a 2,...,a k } ÙÒ Ð Ø n¹ùôðµ ÓÒ ÖÔØÒ (a i1,a i2,...,a in ) ØÐ ÕÙ v s Ý v t ÓÒ ÝÒØ ÒØÓÒ a is a it º ÙÒ ÓÐÓÖÒ γ : V(G) C ÒÑÓ Ð ÖÐÒ ÒØÖ ÐÓ ÚÖØ G Ð ÙÒØ ÑÒÖu γ v γ(u) = γ(v) Ö Ó ÚÖØ Ø Ò ÖÐÓÒÓ ØÒÒ Ð Ñ ÑÓ ÓÐÓÖº Ø ÙÒ ÖÐÒ ÕÙÚÐÒ ùîööðóµº Ø ÖÐÒ ÒÙ ÙÒ ÔÖØÒ ÓÖ Ð ÓÒÙÒØÓ V(G)

22 ¾¾ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÙÝÓ ÐÓÕÙ ÓÒ Ð Ð ÕÙÚÐÒº ÐÓÕÙ Ø ÓÒ ØØÙÓ ÔÓÖ ÚÖØ ÕÙ ØÒÒ Ð Ñ ÑÓ ÓÐÓÖº ÑÔÓÖØÒØ ÒÓØÖ ÕÙ ÐÓ ÚÖØ ÕÙ Ø Ò ÖÐÓÒÓ ÒÓ ÓÒ ÝÒØ Ó ÚÖØ ÓÒ ÝÒØ ÒÙÒØÖÒ Ò ÐÓÕÙ ØÒØÓ º ÊÔÖÓÑÒØ ÔÖØÓÒÑÓ Ð ÓÒÙÒØÓ ÚÖØ ÙÒ ÖÓ G ØÐ ÑÒÖ ÕÙ ÚÖØ ÝÒØ ÒÙÒØÖÒ Ò ÐÓÕÙ ØÒØÓ ÒØÓÒ Ø ÔÖØÒ ÒÙ ÙÒ ÓÐÓÖÒ ÐÓ ÚÖØ Gº Ë ÓÐÓ¹ ÖÒ ÐÓ ÚÖØ Ð Ñ ÑÓ ÐÓÕÙ ÓÒ ÙÒ Ñ ÑÓ ÓÐÓÖ Ý ÐÓÕÙ ØÒØÓ ÓÒ ÓÐÓÖ ØÒØÓ º Ø Ó ÖÚÓÒ ÓÒ ØÐ ÔÖ Ö ÓÐÚÖ ÔÖÓÐÑ º ÓÑÓ ÑÔÐÓ ÖÓÖÑÓ ÐÓ ÖÓ ÔÖØØÓ º Ð ÓÒÙÒØÓ ÚÖØ ÔÙ ÔÖØÓÒÖ Ò Ó ÓÒÙÒØÓ V 1 (G) Ý V 2 (G) ØÐ ÑÒÖ ÕÙ ÚÖع ÝÒØ ÒÙÒØÖÒ Ò ÓÒÙÒØÓ ØÒØÓ ÔÓ Ð Ù Ö Ó ÓÐÓÖ ÔÖ ÓÐÓÖÖ ÐÓ ÚÖØ Ó ÖÓº ÐÓ ÚÖØ V 1 (G) Ð Ò ÙÒ ÓÐÓÖ Ý ÐÓ ÚÖØ V 2 (G) Ð Ò ÓØÖÓ ÓÐÓÖ Ý Ö ÙÐØ ÙÒ ÓÐÓÖÒ Gº º¾º ÐÓÖØÑÓ Ù ØÖÓ ÔÖ ÓÐÓÖÖ ÑÓ ÙÒ ÔÖÓÑÒØÓ ÔÖ ÓÐÓÖÖ ÐÓ ÚÖØ ÙÒ ÖÓ ÙÒÓ ÙÒ ÓÖÒ ÑÔÙ ØÓ ÐÓ ÚÖØ Ù ÒÓ Ð ÑÒÓÖ ÒØ ÓÐÓÖ ÔÓ ¹ Ð º ËÙÔÓÒÑÓ ÕÙ C = {c 1,c 2,...} Ð ÓÒÙÒØÓ ÓÐÓÖ ÔÖÓÑÓ ÖÖ Ð ÐÓÖØÑÓ ÕÙ ÒÓÑÒÑÓ ÐÓÖØÑÓ Ù ØÖÓ ½ Ý ÓÒ Ø ÐÓ ÙÒØ Ô Ó È Ó Òк ÇÖÒÑÓ ÐÓ ÚÖØ Ð ÖÓº ÑÔÓÖØÒØ ÒÓØÖ ÕÙ Ð Ò Ð ÐÓÖØÑÓ ÔÒ Ð ÓÖÒ ÕÙ ÐÑÓ º ÀÑÓ ÙÒ Ð Ø ÐÓ ÚÖØ Ð ÖÓ (v 1,v 2,...,v n ) ÈÖÑÖ Ô Óº Ä ÒÑÓ Ð ÔÖÑÖ ÓÐÓÖ c 1 Ð ÚÖØ v 1 º ËÙÒÓ Ô Óº ÈÖÓÑÓ ÒÖ ÙÒ ÓÐÓÖ Ð ÚÖØ v 2 ÝÒØ Ð ÚÖØ v 1 Ð ÒÑÓ Ð ÙÒØ ÓÐÓÖ c 2 Ò ÓØÖÓ Ó Ð ÒÑÓ c 1 k¹ ÑÓ Ô Óº ÈÖ ÓÐÓÖÖ Ð ÚÖØ v k Ù ÑÓ ØÓÓ ÐÓ ÚÖØ Ð ÓÒÙÒØÓ {v 1,v 2,...,v k 1 } ÕÙ ÓÒ ÝÒØ v k Ý ØÖÑÒÑÓ ÐÓ ÓÐÓÖ ÕÙ Ò Ó Ù Ó Ò Ù ÓÐÓÖÓÒ ÐÙÓ Ù ÑÓ Ð ÔÖÑÖÓ ÔÓÒÐ Ò Ð ÓÖÒ C ÕÙ ÒÓ Ý Ó Ù Ó Ò Ð ÓÐÓÖÒ ÐÓ ÚÖØ ÝÒØ v k º ½ Ò Ð ÐØÖØÙÖ ÒÐÓ ÓÒ ÒÓÑÒ ÖÝ ÐÓÖØÑ ÕÙ ÔÓÖ ØÖÙÖ ÔÓÖ ÐÓÖØÑÓ ÚÓÖÞ ÔÖÓÖ ÚÖÓ Óº º º Ø ØÖÙÒ ØÖØ ÔØÖ Ð ÐÓ Ó Ð ÐÓÖØÑÓ ÕÙ ÙÔÓÒ ÐÖ Ò Ô Ó Ð ÓÔÒ Ñ ÓÒÑ Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÓÐÓÖÒ ÓÑÔÐغ

23 ¾ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÑÔÐÓ ÓÒ ÖÑÓ Ð ÙÒØ ÖÓ ÓÒ ÐÓ ÚÖØ ÓÖÒÓ Ý C = {a,b,c,...} v 1 v 2 v 4 v 3 v 5 v 6 v 7 Í ÑÓ Ð ÐÓÖØÑÓ Ù ØÖÓ ÔÖ ÒÖ ÐÓ ÓÐÓÖ Ð ÚÖØ v 1 Ð ÒÑÓ Ð ÓÐÓÖ a ÔÙ ØÓ ÕÙ Ð ÚÖØ v 2 ÝÒØ v 1 Ð ÒÑÓ Ð ÓÐÓÖ b Ð ÚÖØ v 3 ÝÒØ v 2 ÔÖÓ ÒÓ ÝÒØ v 1 Ø ÑÓÓ Ð ÒÑÓ Ð ÓÐÓÖ a v 4 ÝÒØ v 2 Ý v 3 ÐÙÓ Ð ÒÑÓ Ð ÓÐÓÖ c v 5 Ð ÓÖÖ ÔÓÒ a v 6 Ð ÓÖÖ ÔÓÒ b Ý v 7 Ð ÓÖÖ ÔÓÒ bº Ä ÓÐÓÖÒ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ÙÒÓ Ð ÐÓÖØÑÓ Ù ØÖÓ a b c b a b a Ð ÒÑÖÓ ÓÐÓÖ Ù Ó ØÖ Ð ÙÐ Ù ÒÑÖÓ ÖÓÑ ØÓº ÆÓ ÑÔÖ Ø ÐÓÖØÑÓ ÒÓ ÙÒ ÓÐÓÖÒ ÓÒ Ð ÒÑÖÓ ÓÐÓÖ ÙÐ Ð ÒÑÖÓ ÖÓÑ ØÓº ÑÓ ÙÒ ÑÔÐÓº ÑÔÐÓ ½¼ ÓÒ ÖÑÓ Ð ÖÓ Ð ÙÓ Q a c d b a d c b ÓÐÓÖ

24 ¾ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ a b c a b c c b ÓÐÓÖ a b a a b b a b ¾ ÓÐÓÖ Ø ÐØÑ ÓÐÓÖÒ Ð ÑÓÖº ÀÝ Ó Ó ÑÔÓÖØÒØ Ð ÓÐÓÖÓ¹ Ò ÔÒÒ Ð ÓÖÒ Ò ÕÙ ÐÒ ÐÓ ÚÖØ º Ä ÓØÖ ÕÙ ÒÓ ØÒ ÚÒØ ÕÙ ÔÓÑÓ ØÖÑÒÖ Ð ÔÓÖ ÓÐÓÖÒ Ò (G) ÕÙ Ð Ñ ÜÑÓ ÖÓ ÐÓ ÚÖØ Gº Ò Ð Ô Ó k Ð ÐÓÖØÑÓ ÐÓ ÔÓÖ ÕÙ ÔÙ Ô Ö ÕÙ ØÓÓ ÐÓ ÚÖØ ÝÒØ v k Ý Ò Ó ÓÐÓÖÓ ÓÒ ØÒØÓ ÓÐÓÖ Ö Ý Ò Ó Ù Ó gr(v k ) ÓÐÓÖ Ý ÔÖ Ó¹ ÐÓÖÖ v k Ò ØÑÓ gr(v k )+1 ÓÐÓÖ º ÈÓÑÓ ÓÒÐÙÖ ÕÙ Ù ÒÓ Ø ÐÓÖØÑÓ ÔÖ ÓÐÓÖÖ G Ð Ñ ÜÑÓ ÒÑÖÓ ÓÐÓÖ ÒÓ ÑÝÓÖ ÕÙ (G)+1º Ê ÙÑÑÓ Ò ÈÖÓÔÓ Ò ½ Ë G ÙÒ ÖÓ Ý (G) Ð Ñ ÜÑÓ ÐÓ ÖÓ ÐÓ ÚÖ¹ Ø G ÒØÓÒ Ð ÐÓÖØÑÓ Ù ØÖÓ Ù ÐÓ ÙÑÓ (G) + 1 ÓÐÓÖ º ÈÓÖ ÐÓ ØÒØÓ χ(g) (G)+1 ÈÖ ÓÒ ÙÖ ÙÒ ÓÖÒ ÔØÑÓ ÐÓ ÚÖØ ÔÖ ÔÐÖ Ð ÐÓÖØÑÓ ÚÑÓ Ð ÙÒØ Ç ÖÚÒº Ð ÒÑÖÓ ÓÐÓÖ ÔÖÓÓ Ò Ð Ô Ó k Ð ÒÑÖÓ ÓÐÓÖ Ù Ó ÔÓÖ ÐÓ ÚÖØ ÚÒÓ Ý ÒØÖÓÖ #{ÓÐÓÖ ÔÖÓÓ } mín{úòó ÒØÖÓÖ } = mín{úòó k 1} ÍÒ ÙÒ ÓÖÒ ÑÒÑÞÖ ÐÓ ÓÐÓÖ ÔÖÓÓ Ò ÓÐÓÖ ÐÓ ÚÖØ ÑÝÓÖ ÓÖÒ Ð ÔÖÒÔÓº ØÓ ÑÒÖ ÒÓ Ý ÙÒ ÖØÖÓ ØÐÓ ÔÖ ÓÒ ØÖÙÖ Ó ÓÖÒº ÈÖÓÔÓ Ò ¾ Ë G ÙÒ ÖÓ ÓÒÜÓ ÓÒ ÑÝÓÖ ÖÓ (G) ÔÖÓ Ò Ð ÕÙ Ü Ø Ð ÑÒÓ ÙÒ ÚÖØ u ØÐ ÕÙ gr(u) < (G) ÒØÓÒ χ(g) < (G)+1

25 ¾ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÈÖÙº ÑÓ ÙÒ Ð ÔÖÙ Ý Ð ÐØÓÖ ÓÑÔÐØÖ ÐÓ ØÐÐ º Ð ÚÖØ u ÐÓ ÓÐÓÑÓ ÐØÑÓ Ò Ð ÓÖÒ Ö u = v n G ØÒ n ÚÖØ gr(u) = s < (G) ÐÓ ÚÖØ ÝÒØ u ÐÓ ÒÙÑÖÑÓ {v n s,v n s 1,...,v n 1 } ÐÙÓ ÓÒ ÖÑÓ ÐÓ ÝÒØ v n 1 ÕÙ ÒÓ Ò Ó ÓÖÒÓ Ý ÐÓ v n 2 Ý Ø ÓÖÒÖÐÓ ØÓÓ º ÈÓÖ Ö G ÓÒÜÓ ÔÓÑÓ ÓÖÒÖÐÓ ØÓÓ º ÌÓÓ ÐÓ ÚÖØ ØÒÒ ÙÒ ÚÖØ ÝÒØ ÔÓ ØÖÓÖ ÓÒ ÙÒ ÑÝÓÖµ ÜÔØÓ Ð ÚÖØ uº ÄÙÓ Ð ÒÑÖÓ ÚÖØ ÝÒØ ÓÒ ÙÒ ÑÒÓÖ ÑÒÓÖ ÕÙ (G) Ý Ù ÒÓ Ð ÐÓÖØÑÓ Ù ØÖÓ Ò Ô Ó Ý ÐÓ ÙÑÓ (G) 1 ÓÐÓÖ ÔÖÓÓ º ÈÖ u Ð ÒÑÖÓ ÚÖØ ÝÒØ ÑÒÓÖ ÕÙ (G)º Ò Ô Ó Ý ÐÓ ÙÑÓ (G) 1 ÓÐÓÖ ÔÖÓÓ ÔÓÖ ÐÓ ØÒØÓ ÔÙ ÓÐÓÖÖ ÓÒ (G) ÓÐÓÖ º ÄÓ ÙÒØ ÖÓ ÒÓ ÔÖÑØÖ Ò ÑÐÖÞÖÒÓ ÓÒ Ð ÔÖØÓÒ Ð ÓÒÙÒØÓ ÚÖØ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ÓÐÓÖÓÒ ÖÓ ¾ ½º ÈÖÓÖ ÕÙ Ò ÙÐÕÙÖ ÖÓ G Ü Ø ÙÒ ÓÖÒ ÓÖ ÐÓ ÚÖØ ØÐ ÕÙ Ð ÐÓÖØÑÓ Ù ØÖÓ ÓÐÓÖÒ Ù χ(g) ÓÐÓÖ º ËÙÖÒº ÀÐÐ ÙÒ ÔÖØÒ ÐÓ ÚÖØ Ò χ(g) ÐÓÕÙ Ý ÔÖÓ ÓÖÒÖ ÐÓ ÚÖØ º ¾º ÈÖÙ ÕÙ G ÙÒ ÖÓ ÓÒ n ÚÖØ ØÐ ÕÙ ØÓÓ Ù ÚÖØ ØÒÒ ÖÓ k ÒØÓÒ χ(g) n n k ËÙÖÒº ÀÐÐ ÙÒ ÔÖØÒ ÐÓ ÚÖØ Ò χ(g) ÐÓÕÙ Ý ØÖÑÒ Ù Ð Ð ÑÝÓÖ ÒÑÖÓ ÚÖØ ÔÓ Ð Ò ÐÓÕÙº º ÈÖÙ ÕÙ ε(g) ( ) χ(g) 2 º ËÙÖÒº ÀÐÐ ÙÒ ÔÖØÒ ÐÓ ÚÖØ Ò χ(g) ÐÓÕÙ Ý ÑÙ ØÖ ÕÙ ÔÖ ÔÖ ÐÓÕÙ Ü Ø ÒÓ ÚÖØ ÕÙ ÓÒ ÝÒØ º ÖÓ ¾ Ë n Ð ÒÙÑÖÓ ÚÖØ G ½º ÈÖÓÖ ÕÙ χ(g)χ(g c ) nº ËÙÖÒº ËÒ {a 1,a 2,...,a n } Ý {b 1,b 2,...,b n } ÓÐÓÖÓÒ G Ý G c Ö ÔØÚÑÒØ ÓÒ a i Ð ÓÐÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ð ÚÖØ v i Ò Ð ÖÓ G Ý b i Ð ÓÐÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ð ÚÖØ v i Ò Ð ÖÓ G c º ÈÖÙ ÕÙ {(a 1,b 1 ),(a 2,b 2 ),...,(a n,b n )} ÙÒ ÓÐÓÖÒ Ð ÖÓ K n º ¾º ÈÖÓÖ ÕÙ χ(g)+χ(g c ) n+1º ËÙÖÒº ÌÖØ Ð Ó ÜØÖÑÓ Ò Ð ÙÐ ÙÒ ÐÓÕÙ ØÒ Ð Ñ ÜÑÓ ÔÓ Ð ÐÑÒØÓ Ö Ð Ö ØÓ ÐÓ ÐÓÕÙ ØÒ Ð ÑÒÑÓ ÐÑÒØÓ º

26 ¾ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ º ÈÖÓÖ ÕÙ χ(g)+χ(g c ) 2 nº ËÙÖÒº ÌÖØ Ð Ó ÜØÖÑÓ Ò Ð ÙÐ ÐÓ ÐÓÕÙ ØÒ Ð ¹ ØÖÙÒ Ñ ÙÒÓÖѺ ÖÓ ¾ ÀÐÐÖ Ð ÒÑÖÓ ÖÓÑ ØÓ ÐÓ ÙÒØ ÖÓ º ÐÓ ÀÑÐØÓÒ Ò Ð Ò ¾º ØÖØÑÓ Ð ÔÖÓÐÑ ÐÓ ÑÒÓ Ý ÐÓ Ù¹ ÐÖº Ò Ø Ò ÑÓ ÙÒ ÖÚ ÒØÖÓÙÒ ÐÓ ÑÒÓ Ý ÐÓ ÀÑÐØÓÒÒÓ º ÍÒ ÑÒÓ ÑÔÐ ÕÙ ÓÒØÒ ÚÖØ G ÒÓÑÒ ÑÒÓ ÀÑÐØÓÒÒÓ G Ò ÐÓÑÒØ ÙÒ ÐÓ ÀÑÐØÓÒÒÓ G ÙÒ ÐÓ ÕÙ ÓÒØÒ ØÓÓ ÐÓ ÚÖØ Gº ÌÐ ÑÒÓ Ý ÐÓ ÓÒ ÐÐÑÓ ÔÙ ÕÙ ÀÑÐØÓÒ ½µ Ö Ò ÙÒ ÖØ Ù ÑÓ ÖÚ ÙÒ ÙÓ ÑØÑ ØÓ ÓÖ Ð ÓÖÓ Ò Ð ÙÐ ÙÒ ÔÖ ÓÒ ÓÐÓ ÒÓ ÐÐÖ Ò ÒÓ ÚÖØ ÓÒ ÙØÚÓ Ý ÓØÖ Ð Ü Óѹ ÔÐØÖ ÙÒ ÑÒÓ ÑÔÐ Ø ÓÑÔÐØÖ ÙÒ ÐÓº ÍÒ ÖÓ ÑÐØÓÒÒÓ (a) (b) ÙÖ ½ (a) Ð ÓÖÓ (b) Ð ÖÓ ÀÖ Ð ÓÒØÒ ÙÒ ÐÓ ÀÑÐØÓÒÒÓº Ð ÓÖÓ ÑÐØÓÒÒÓ Ð ÖÓ ÀÖ Ð ÒÓ ÑÐØÓÒÒÓ ÔÓÖÕÙ ÔÖØØÓ Ý ØÒÒ ÙÒ ÒÑÖÓ ÑÔÖ ÚÖØ º

27 ¾ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÄÑ ½ Ë C n ÙÒ ÐÓ ÓÒ n ÚÖØ Ý S ÙÒ ÙÓÒÙÒØÓ ÔÖÓÔÓ Ð ÓÒÙÒØÓ ÚÖØ C n º ÒØÓÒ ω(c n S) S º ÈÖÙº ÊÐÞÑÓ ÙÒ ÔÖÙ ÔÓÖ ÒÙÒº Ë S = {v} ÙÒ ÚÖØ ØÒ ÕÙ C n v = L n 1 ÓÒ L n Ð ÖÓ ÐÒÐ ÓÒ n ÚÖØ Ý ÔÓÖ ÐÓ ØÒØÓ ω(c n v) = 1 = S ÙÔÓÒÑÓ ÕÙ Ð ÖÑÒ ÚÐ ÔÖ S = kº Ð ÖÓ ω(c n S) ÓÒ Ø ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ ÕÙ ÓÒ ÖÓ ÐÒÐ v ÙÒ ÚÖØ C n ØÐ ÕÙ v / S ÔÖÓÑÓ ÐÑÒÖ v Ý ÒÐÞÑÓ ÐÓ Ó ÖÓ ½ Ð ÒÑÖÓ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ ÔÖÑÒ ÚÖ ÑÓ ØÖÒ Ð ØÓÖÑ ½µ Ð ÚÖØ ØÒ ÖÓ ¼ Ð ÒÑÖÓ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ ÑÒÙÝ Ò ½ Ý Ð ÚÖØ ÖÓ ¾ Ð ÒÑÖÓ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ ÙÑÒØ Ò ÙÒÓ Öω(C n S v) ω(c n S)+1º ÔÓÖ ÔØ ÒÙØÚ ω(c n S) S Ò ÓÒ ÙÒ ω(c n (S {v})) ω(c n S)+1 S +1 = S {v} ÈÖ ÒØÑÓ ÙÒ ÓÒÒ Ò Ö ÑÔÐ ÔÖÓ ØÐ ÌÓÖÑ ½ Ë G ÑÐØÓÒÒÓ ÔÖ ÙÓÒÙÒØÓ ÔÖÓÔÓ ÒÓ ÚÓ S V ω(g S) S ÈÖÙº ËÙÔÓÒÑÓ ÕÙ G ÑÐØÓÒÒÓ ÓÒ n ÚÖØ ÒØÓÒ ÓÒع Ò ÙÒ ÐÓ C n º ÈÙ ØÓ ÕÙ V(G S) = V(C n S) Ý E(C n S) E(G S) ØÒ ω(g S) ω(c n S) Ë ÔÐ Ð ÐÑ ÒØÖÓÖ Ý ÓØÒ Ð Ö ÙÐØÓº Ð ØÓÖÑ ½ ÔÙ ÔÐÖ Ò ÐÙÒÓ Ó ÔÖ ØÖÑÒÖ ÙÒ¹ Ó ÙÒ ÖÓ ÒÓ ÑÐØÓÒÒÓº ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð ÖÓ Ó Ð ÐÑÒÖ ÐÓ ÙÖ ½ ÚÖØ Ö ÐØÓ ÕÙ ÓÒ ØÖ ÓØÒÒ ÙØÖÓ ÓÑÔÓÒÒØ ÓÒÜ Ø ÑÓÓ Ð ØÓÖÑ ÒÓ ÙÖ ÕÙ ÒÓ ÑÐØÓÒÒÓº ËÒ ÑÖÓ Ø ÑØÓÓ ÒÓ ÑÔÖ ÙÒÓÒ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð ÖÓ ÈØÖ ÓÒ ÒÓ Ñй ØÓÒÒÓ ÔÖÓ Ó ÒÓ ÔÙ ÙÖ Ð ØÓÖÑ ½º ÎÖÑÓ ÙÒ ÓÒÒ

28 ¾ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ ÙÖ ½ ÖÓ ÈØÖ ÓÒ ÙÒØ ÔÖ ÕÙ ÙÒ ÖÓ ÑÐØÓÒÒÓ ÔÙ ØÓ ÕÙ ÙÒ ÖÓ Ñй ØÓÒÒÓ Ý ÐÓ Ü Ø ÙÒ ÙÖÓ ÖÓ ÑÔÐ ÕÙ ÑÐØÓÒÒÓ ÙÒØ ØÖØÖ ÓÒ ÖÓ ÑÔÐ º ÌÒÑÓ ÙÒ Ö ÙÐØÓ Ö ½¾µº ÌÓÖÑ ½ Ö ½¾µµ Ë G ÙÒ ÖÓ ÑÔÐ ÓÒ ν 3 Ý δ ν/2 ÒØÓÒ G ÑÐØÓÒÒÓº ÈÓÖ ÓÒØÖÒº ËÙÔÓÒÑÓ ÕÙ Ð ØÓÖÑ Ð Ó Ý G ÙÒ ÖÓ ÑÔÐ ÑÜÑÐ ÒÓ ÑÐØÓÒÒÓ ÓÒ ν 3 Ý δ ν/2º ÈÙ ØÓ ÕÙ ν 3 G ÒÓ ÓÑÔÐØÓº ËÒ u,v ÚÖØ ÒÓ ÝÒØ Ò Gº ÈÓÖ Ö G ÑÜÑÐ ØÒ ÕÙ G + e ÓÒ e = {u,v} ÑÐØÓÒÒÓº Ñ ÔÙ ØÓ ÕÙ G ÒÓ ÑÐØÓÒÒÓ ÐÓ ÀÑÐØÓÒ G + e ÓÒØÒÖ Ð ÐÓ eº ÒØÓÒ Ü Ø ÙÒ ÑÒÓ ÀÑÐØÓÒ v 1 v 2...v ν Ò G ÓÒ ÓÖÒ Ò u = v 1 Ý ÒÐ Ò v ν º ÒÑÓ S = {v i {u,v i+1 } E} Ý T = {v i {v i,v} E} v = v ν / T ÔÓÖÕÙ ÒÓ Ý ÐÞÓ Ý v = v ν / S ÔÙ v ν+1 ÒÓ Ü Ø ν Ð Ñ ÜÑÓ ÙÒº Ø ÑÓÓ Ñ S T < ν (1) S T = (2) Ý ÕÙ S T ÓÒØÒ ÙÒ ÚÖØ v i, i = 2,...,ν 1 ÒØÓÒ Ü Ø ÙÒ ÐÓ ÀÑÐØÓÒ v 1 v 2...v i v ν v ν 1...v i+1 v 1 Í ÒÓ (1) Ý (2) ØÒÑÓ gr(u)+gr(v) = S + T < ν ÓÒØÖÒ ÓÒ δ ν/2º ÓÒÝ Ý Ú ØÐ ½µ Ó ÖÚÖÓÒ ÕÙ Ð ÔÖÙ Ð ØÓÖÑ ½ ÔÙ¹ Ö ÑÓ ÔÖ ÓØÒÖ ÙÒ ÓÒÒ ÙÒØ Ñ ÙÖØ ÕÙ Ð ÓØÒ ÔÓÖ Öº

29 ¾ ËÑ ØÖ ¾¼¼ ÌÓÖ v 1 v 2 v 3 v i v i+1 v ν 1 v ν ÙÖ ½ ÓÖÓÐÖÓ ¾ Ë G ÙÒ ÖÓ ÑÔÐ Ý Ò u Ý v ÚÖØ ÒÓ ÝÒØ Ò G ØÐ ÕÙ gr(u)+gr(v) ν (3) ÒØÓÒ G ÑÐØÓÒÒÓ Ý ÐÓ G+{u,v} ÑÐØÓÒÒÓº ÍÒ ØÓÖÑ Ó ÇÖ ØÒ ÓÑÓ ÓÖÓÐÖÓ Ð ØÓÖÑ Ö Ý Ð ÓÖÓÐÖÓ ÓÒÝ Ý Ú Øк ÌÓÖÑ ½ ÇÖ ½¼µµ ËÙÔÓÒ ÕÙ G ÙÒ ÖÓ ÑÔÐ ÓÒ ν 3 Ý ÔÖ ÔÖ ÚÖØ u v ÕÙ ÒÓ ÓÒ ÝÒØ ÚÖ ÕÙ ÒØÓÒ G ÑÐØÓÒÒÓº gr(u)+gr(v) ν Ä ÔÖÙ ÑÐÖ Ð Ò Ð ØÓÖÑ Öº ÊÖÒ ½ ÊÖ º ÖÙк ÁÒØÖÓÙØÓÖÝ ÓÑÒØÓÖ Ð ÚÖ ÆÓÖع ÀÓÐÐÒ ½º ¾ ÃÒÒØ Àº ÊÓ Òº ÅØÑ Ø ÖØ Ý Ù ÔÐÓÒ ÅÖÛ¹ÀÐÐ ÉÙÒØ Òº ¾¼¼º ººÙÒÝ ÍºËºÊºÅÙÖØݺ ÖÔ ÌÓÖÝ ÛØ ÔÔÐØÓÒ ÆÓÖع ÀÓÐÐÒ ½º Ö Ëº ÊÓÖØ ºÔÔÐ ÓÑÒØÓÖ ÈÖÒعÀÐÐ ½º ˺ ÄÔ ÙØÞ Åº ÄÔ ÓÒ ÖØ ÅØÑØ º ËÙÑð ÇÙØÐÒ ËÖ º ÅÖÛ¹ÀÐÐ ½º ÈÐÓ ÖÒ ÒÞ ÐÐÖÓ Ý ÂÓ ÄÙ ÖÒ ÒÞ ÈÖÞº ÆÓØ Å¹ ØÑ Ø Öغ ÍÒÚÖ ÙØÒÓÑ ÅÖº ÎÖ Ò ÈÖ¹ ÐÑÒÖº ÔØÙÐÓ º ¾¼¼