SEMANA 1: NÚMEROS REALES

Transcripción

1 1. Números Reales 1.1. Introducción Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Importante: Î Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ»»ÛÛÛº Ѻ٠РºÐ» ÐÙÐÓº ÒÓÒØÖ Ö Ð Ù Ö Ó Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø SEMANA 1: NÚMEROS REALES Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒÓØ Ó ÔÓÖ R ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÙÝÓ Ð Ñ ÒØÓ ÐÐ Ñ Ò Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ð Ù Ð Ò Ò Ó ÓÔ Ö ÓÒ ÐÐ Ñ ÙÑ Ó Ò Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓº Ð ÓÒ ÙÒØÓ R ÓÒ Ø ÓÔ Ö ÓÒ Ø ÔÖÓÔ ÕÙ ÐÓ Ò Ò Óº Ò R Ü Ø Ò ÒÙÑ ÖÓ ÔÖÓÔ ÕÙ Ò Ó Ù ÙÖ ÒØ ÐÓ Ó Ò ÒÞ Ý Ñ º Ø ÔÖÓÔ ÔÙ Ò ÖÙÔ Ö Ò ØÖ Ñ Ð Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙÔÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÕÙ ÐÐ Ó Ð Ù Ð Ý Ð Ù ÓÒ Ð ÙÒ Ó ÖÙÔÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ÔÖÓÔ Ò ØÓÖÒÓ Ð Ù Ð Ý Ð Ò Ù ÓÒ Ò ÐÑ ÒØ Ü Ø ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÖÓ¹ Ô Ú ÒÞ ÕÙ Ñ Ö Ð Ö Ò ÒØÖ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ý ÐÓ Ö ÓÒ Ð Ð Ö ÓÒ µ Ø ÔÖÓÔ ÔÖ ÓÙÔ Ò Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º Ø ÐØ Ñ ÔÖÓÔ ÓÒÓ Ò ÓÑÓ Ð Ü ÓÑ Ð ÙÔÖ ÑÓº ÍÒ ÔÓ Ð ØÙ Ö Ð ÔÖÓÔ R Ö Ö ÙÒ Ð Ö Ó Ð Ø Ó ØÓ ÐÐ ÑÓ Ó ÕÙ Ù Ò Ó ÒÓ ÔÖ ÙÒØ ÙÒ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÒÓ Ø Ö ÓÒ Ö ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ÔÖÓÔ ½ ÔÓÖ ÑÔÐÓµ º ØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ð ÙÖ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ò ÙÒÓ ÓÒ ÐÓ Ö ÕÙ Ñ ÑÓÖ Þ Ö Ò Ò Ø ÔÖÓÔ º Ò Ø ÙÖ Ó Ó Ö ÑÓ ÙÒ Ú Ò ÓÔÙ Ø Ð ÒØ Ö ÓÖº Ö ØÓ Ð ÔÖÓÔ Ò Ö ÙÒ ÓÒ Ù Ò ÖØÓ ÔÓ ØÙÐ Ó Ó Ð Ñ ÒØ Ð º ÄÓ ÔÓ ØÙÐ Ó Ó Ð Ñ ÒØ Ð ÐÐ Ñ Ò Ü ÓÑ Ý Ö Ò ÐÓ Ô Ð Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÒÙ ØÖ Ø ÓÖ º Ä ÔÖÓÔ R Ö Ò ÐÓ ÕÙ ÐÐ ÕÙ ÔÙ Ò Ö Ù Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ Ð Ó¹ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ô ÖØ Ö ÐÓ ÁÇŠ˺ ÖÙÔ Ö ÑÓ ÐÓ Ü ÓÑ Ò ØÖ ÖÙÔÓ ÄÓ Ü ÓÑ Ù ÖÔÓ Ó Ó Ð Ù Ð µ ÐÓ Ü ÓÑ ÓÖ Ò Ó Ó Ð Ù Ð µ Ý Ð Ü ÓÑ Ð ÙÔÖ ÑÓ ÕÙ Ñ Ö Ð Ö Ò ÒØÖ ÐÓ Ö Ð Ý ÐÓ Ö ÓÒ Ð µº ÂÙÒØ Ò Ó ØÓ Ó ÐÓ Ü ÓÑ ÕÙ Ø R Ù Ð Ö Ò ÔÓ Ô Ð Ö ÕÙ R ÙÒ Ù ÖÔÓ ÇÖ Ò Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ý ÖÕÙ Ñ ÒÓº 1.2. Axiomas de Cuerpo de los Reales ÄÓ Ü ÓÑ R Ò ØÓÖÒÓ Ð Ù Ð Ø Ñ Ò ÓÒ ÐÐ Ñ Ó Ü ÓÑ Ù ÖÔÓ ÐÓ Ö Ð º ÄÓ ÖÙÔ Ö ÑÓ Ò ÙÒ ØÓØ Ð ÐÓ Ù Ð ÐÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÒ ÐÓ Ù ÒØ Ö Ù Ð Ö Ð Ò Ñ Ð ÙÖ Óº Í Ø ÒÓØ Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ Ö Ô Ð Ñ ¹ Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ ÔÖÓÔ ÒÓØ ÓÒ º Ü ÓÑ ½º ÓÒÑÙØ Ø Ú µ ܺ ½º ÓÒÑÙØ Ø Ú µ Ù Ð ÕÙ Ö ÕÙ Ò ÐÓ Ö Ð x, y Ó Ù ÙÑ ÙÒ Ö Ð ½

2 Ò Ô Ò ÒØ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ Ù Ò ÐÓ Ó ÙÑ Ò Ó Ö ( x, y R) x + y = y + x. µ È Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÙÑÔÐ Ð Ñ Ñ ÔÖÓÔ Ð Ñ ÒØ Ð Ö ( x, y R) x y = y x. Ü ÓÑ ¾º Ó Ø Ú µ ܺ ¾º Ó Ø Ú µ ( x, y, z R) x + (y + z) = (x + y) + z µ ( x, y, z R) x (y z) = (x y) z Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ü ÓÑ Ð Ó Ø Ú ÆÇ Á ÕÙ x + (y + z) = (x + z) + yº Ë Ò Ñ Ö Ó Ø ÐØ Ñ Ù Ð ÙÒ ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ð ÓÑ Ò Ò ÔÖÓÔ ÐÓ Ó Ü ÓÑ ÒØ Ö ÓÖ º Ò ØÓ Ú ÑÓ Ð Ù ÒØ ÖÖÓÐÐÓ x + (y + z) = x + (z + y); Ö Ð Ü ÓÑ ½ = (x + z) + y; Ö Ð Ü ÓÑ ¾. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÓÑ Ò Ò Ó ÐÓ Ó Ü ÓÑ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÐÙÝ ÕÙ ÐÓ ÓÔ Ö Ò Ó ÙÒ ØÖ ÔÐ ÙÑ ÔÙ Ò Ö ÓÖ Ò Ö Ù ÐÕÙ Ö ÓÖÑ ÕÙ Ò Ñ Ö Ð Ö ÙÐØ Óº ÔÓÖ Ø Ö Þ Ò ÕÙ Ò Ò Ö Ð Ù Ò Ó Ý Ú Ö Ó ÙÑ Ò Ó ÒÓ Ù Ò ÐÓ Ô Ö ÒØ ÒÓ Ö ÕÙ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ö Óº Ö Ó ½º½ ÑÓ ØÖ Ö Ð Ù ÒØ Ù Ð Ù Ò Ó ÓÐÓ ÐÓ Ü Ó¹ Ñ ½ Ý ¾º ½º (a+b)+c = (a+c)+b = (b+a)+c = (b+c)+a = (c+a)+b = (c+b)+aº ÕÙ Ò Ö ØÓ ØÓ Ó ÐÓ ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓ Ð ÐÓ Ö Ð a b Ý cº ¾º (x + y) + (z + w) = (x + w) + (z + y) = (w + y) + (x + z). Ð Ø Ö Ö Ü ÓÑ ÕÙ Ù ÓÑÔÐ Ø Ð ÔÖÓÔ Ñ Ò ÔÙÐ Ò Ð Ö Ð ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ ÙØÓº Ü ÓÑ º ØÖ ÙØ Ú µ ܺ º ØÖ ÙØ Ú µ ( x, y, z R) x(y + z) = xy + xz µ ( x, y, z R) (x + y)z = xz + yz ¾

3 Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ò Ø Ø Ö Ö Ü ÓÑ Ð ÔÖÓÔ µ ÙÒ ÓÒ Ù Ò¹ Ð µ Ñ ÐÓ Ü ÓÑ ÔÖ Ú Ó Ñ ÔÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒÑÙØ Ø ¹ Ú Ð ÔÖÓ ÙØÓµº Ö Ø Ü ÓÑ Ö ÙÒ ÒØ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÒÓ Ö Ö Ü ÓÑ º Ë Ò Ñ Ö Ó ÐÐ Ñ Ö ÑÓ Ñ ÔÖÓÔ Ü ÓÑ ÔÙ Ò Ó ÙØ Ð Þ Ö Ð Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ó Ð ÓØÖ Ò Ð ÑÓ ØÖ ÓÒ º ÄÓ Ü ÓÑ Ý ÒØÖ Ò Ð Ü Ø Ò ÖØÓ Ð Ñ ÒØÓ Ô Ð Ò Ê. ÍÒ ÓÒ Ù Ò Ö Ø ÐÐÓ ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒÓ Ú Óº Ë Ò Ñ Ö Ó ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ Ñ Ð ÒØ ÓÒ ØÓ Ü ÓÑ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ØÓ Ú ÔÓ Ö Ø Ò Ö ÑÙÝ ÔÓÓ Ð Ñ ÒØÓ º Ü ÓÑ º Ü Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ µ Ò R Ü Ø Ò ÖØÓ Ò Ñ ÖÓ ÒÓØ Ó ÔÓÖ Ð Ð ØÖ e ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ð Ö ÙÐØ Ó Ð ÓÔ Ö Ò ÙÑ º Ö Üº º РѺ Ò ÙØÖÓ ÙÑ ( x R) x + e = x. ÌÓ Ó ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ e ÕÙ ÙÑÔÐ Ò Ø ÔÖÓÔ ÐÐ Ñ Ò Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÙÑ º ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ø Ü ÓÑ ÒÓ Ö ÒØ Þ Ð Ü Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÙÑ º Ë Ò Ñ Ö Ó ÒÓ Ù ÒØÓ Ý Ò Ö Ð ÕÙ Ý ÙÒ ÒØ Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÙÒÓµº Ë Ö Ú ÑÓ ÒÙ ØÖÓ ÒØ ÙÓ ÓÒÓ Ñ ÒØÓ R Ö ÓÖ Ö ÑÓ ÕÙ Ý ÐÓ ÙÒ Ò ÙØÖÓº Ø ÐØ Ñ ÖÑ Ò ÔÙ ÑÓ ØÖ Ö Ù Ò Ó ÐÓ Ü Ó¹ Ñ Ý Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ ÙÒ Ø ÓÖ Ñ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ Ð ÙÖ Óµº Ì ÓÖ Ñ ½º½º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÙÑ Ò Óº Ç ÖÚ Ò ÍÒ Ú Þ ÑÓ ØÖ Ó Ð Ø ÓÖ Ñ ÔÓ Ö ÑÓ ÔÓÒ ÖÐ ÙÒ ÒÓѹ Ö Ô Ð Ð Ò Ó Ò ÙØÖÓ Ø ÚÓº ÄÓ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ ÖÓ Ý ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ 0º Î ÑÓ Ð ÑÓ ØÖ Ò Ð Ø ÓÖ Ñ ÑÓ ØÖ Òº Í Ò Ó Ð Ü ÓÑ ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ü Ø Ò Ð Ñ Ò¹ ØÓ Ò ÙØÖÓ º ÑÓ ÕÙ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ó ÙÒÓ Ý ÐÓ ÐÐ Ñ ÑÓ e 1 º Ø Ö Ð Ø Ð ÔÖÓÔ ( x R) x + e 1 = x. ½º½µ È Ò ÑÓ ÕÙ ÔÓÖ Ð Ò ÓØÖÓ Ñ ÒÓ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ó ÙÒ Ò ÙØÖÓ e 2 Ô ÖÓ ÒÓ ÑÓ Ó ÒÓ Ð Ñ ÑÓ ÒØ Ö ÓÖº Ø Ò ÙØÖÓ Ø Ð ÔÖÓÔ ( x R) x + e 2 = x. ½º¾µ È Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ð Ò ÙØÖÓ Ò Ó ÑÓ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ò Ö Ñ ÒØ e 1 = e 2 Ý Ö ÑÓ ÕÙ Ú Þ ÕÙ ÒÓÒØÖ ÑÓ ÙÒ Ò ÙØÖÓ Ø Ö ÑÔÖ Ð Ñ ÑÓº

4 Í Ò Ó e 2 Ò Ð Ù Ð ½º½µ Ý e 1 Ò Ð Ù Ð ½º¾µ Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ e 2 + e 1 = e 2 e 1 + e 2 = e 1. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ð Ñ Ö Ö Ø Ó ÜÔÖ ÓÒ Ú ÑÓ ÕÙ ÐÓ Ò Ó ÕÙ ÐØ Ô Ö ÓÒÐÙ Ö Ð Ù Ð Ù Ö Ð Ü ÓÑ Ð ÓÒÑÙØ Ø Ú ÕÙ ÕÙ Ð Ö ÙÐØ Ó ÙÒ ÙÑ Ò Ô Ò ÒØ Ð ÓÖ Ò ÐÓ ÙÑ Ò Ó º Ó Ø Ò Ð Ö ÙÐØ Óº Ò ÙÒ Ð Ò ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ö ÙÑ Ò e 1 = e 1 + e 2 = e 2 + e 1 = e 2. ÓÒØ ÒÙ Ò ÒÙÒ ÑÓ Ð Ü ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ÔÖÓ ÙØÓº Ü ÓÑ º Ü Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ µ Ò R Ü Ø Ò ÖØÓ Ò Ñ ÖÓ ÒÓØ Ó ÔÓÖ Ð Ð ØÖ e ÕÙ ÔÓÖ ÙÒ Ð Ó ÓÒ Ö ÒØ ¼ Ý ÔÓÖ ÓØÖÓ ÒÓ Ø Ò Ò Ð ÓÔ Ö Ò ÔÖÓ ÙØÓº Ö ( x R) x e = x. ܺ º РѺ Ò ÙØÖÓ ÔÖÓ ÌÓ Ó ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ e ÕÙ ÙÑÔÐ Ò Ø ÔÖÓÔ ÐÐ Ñ Ò Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓº ÆÙ Ú Ñ ÒØ Ø Ü ÓÑ ÐÓ ÒÓ Ö ÒØ Þ Ð Ü Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓº Ò Ø Ó ÒÙ Ú Ñ ÒØ ÔÙ ÔÖÓ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ÕÙ ÕÙ ÐÓ Ò ÙØÖÓ ÓÒ Ò Ó Ö Ì ÓÖ Ñ ½º¾º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ò Óº Ç ÖÚ Ò Ä ÑÓ ØÖ Ò Ø Ø ÓÖ Ñ Ò ÐÓ Ð Ó Ð ÙÑ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÖÓÔÓÒ ÓÑÓ Ö Óº Ð Ò Ó Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÐÓ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ ÙÒÓ Ý ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ 1. Ð Ü ÓÑ Ñ ÕÙ 1 0. Ü ÓÑ º Ü Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ ÒÚ Ö Ó µ ܺ º Ð Ñ º ÒÚ Ö Ó

5 µ È Ö x R Ü Ø Ò Ö Ð Ó Ó x ÕÙ ÐÐ Ñ Ò ÓÔÙ ¹ ØÓ Ó ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓ x ÕÙ Ø Ò x + ÓÔÙ ØÓ(x) = 0. µ Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ô Ö x R ÓÒ x 0 Ü Ø Ò ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ¹ ÔÐ Ø ÚÓ Ó Ö ÔÖÓÓ x ÕÙ Ø Ò x Ö ÔÖÓÓ(x) = 1. Ì ÓÖ Ñ ½º º ½º x R, Ù Ð Ñ ÒØÓ ÓÔÙ ØÓ Ò Óº ¾º x R, x 0 Ù Ð Ñ ÒØÓ Ö ÔÖÓÓ Ò Óº ÑÓ ØÖ Òº Ë Ò p 1 Ý p 2 ÓÔÙ ØÓ Ð Ñ ÑÓ Ö Ð Ö ØÖ Ö Ó x. ÐÐÓ Ø Ò Ð Ù ÓÒ ÄÓ ÕÙ ÑÓ ÔÖÓ Ö x + p 1 = 0 ½º µ x + p 2 = 0. ½º µ Ⱥ ºÉ p 1 = p 2. Ò ØÓ Ù Ò Ó Ð Ù ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ Ý ÐÓ Ü ÓÑ Ø Ò ÑÓ ÕÙ p 1 = p 1 + 0, ÕÙ ÑÓ Ù Ó Ð Ü ÓÑ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ = p 1 + (x + p 2 ), ÕÙ ÑÓ Ù Ó Ð Ù Ò ½º µ, = (p 1 + x) + p 2, ÕÙ ÑÓ Ù Ó Ð Ü ÓÑ Ð Ó Ø Ú, = (x + p 1 ) + p 2, ÕÙ ÑÓ Ù Ó Ð Ü ÓÑ Ð ÓÒÑÙØ Ø Ú = 0 + p 2, ÑÓ Ù Ó Ð Ù Ò ½º µ, = p 2 + 0, ÑÓ Ù Ó Ð Ü ÓÑ Ð ÓÒÑÙØ Ø Ú = p 2, ÑÓ Ù Ó ÒÙ Ú Ñ Ð Ü ÓÑ Ð ºÆº

6 Ç ÖÚ Ò ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ä ÑÓ ØÖ Ò Ð ÙÒ Ð ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ò ÐÓ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÖÓÔÙ Ø ÓÑÓ Ö Óº ÄÓ ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓ Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ x ÒÓØ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ ÔÓÖ x Ý x 1 Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÓÒ ÐÓ Ü ÓÑ ÒÙÒ Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÕÙ R ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÒ + Ý ÓÖÑ ÙÒ Ù ÖÔÓº Ë ÒÓØ ÓÒ Ò Ñ ÒØ ÓÑÓ (R, +, ) ÙÒ Ù ÖÔÓº 1.3. Propiedades en R relacionadas con la igualdad ÓÒØ ÒÙ Ò ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ ÓØÖ ÔÖÓÔ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º ÅÙ ÐÐ ÓÒ ÓÒÓ Ð ÓÐ Óº ÆÓ ÒØ Ö Ö Ö Ú ÖÐ ÔÓÖ ÙÒ Ó Ð Ó Ø ÚÓº ÈÓÖ ÙÒ Ð Ó Ù ÒÓ Ö ÓÖ ÖÐ Ý»Ó ÔÖ Ò ÖÐ µ Ý ÔÓÖ ÓØÖÓ ÕÙ Ö ÑÓ Ú Ö ÔÓÖ ÕÙ ÓÒ ÖØ Ý ÓÑÓ Ù Ò ÐÐ Ô ÖØ Ö ÐÓ Ü ÓÑ Ù ÖÔÓ ÒØ Ö ÓÖ º ÓÑ Ò ÑÓ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ Ñ Ñ Ð Ñ Ø Ø Ô ØÙÐÓ ÕÙ ÐÐ ÕÙ ØÓ Ó Ð ÑÙÒ Ó ÓÒÓ Ð ÙÒÓ Ô Ò Ò ÕÙ ÙÒ Ü ÓÑ Ô ÖÓ Ò Ö ¹ Ð ÙÒ ÔÖÓÔ ÕÙ Ù ÐÓ Ü ÓÑ º Ë ØÖ Ø Ð Ø Ð Ð ÖÓº ÈÖÓÔ ½º a R ÙÑÔÐ a 0 = 0. ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ð Ø Ð Ð ÙÒÓ ÕÙ a 1 = a. Ç Ð Ø Ð ÙÒÓ ÙÒ Ü ÓÑ úö Ù Ö Ù Ð µº È ÖÓ Ð Ø Ð Ð ÖÓ Ë ÍÆ ÈÊÇÈÁ º ÑÓ ØÖ Òº Ë a R ÙÒ Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö º ÑÓ ÔÖÓ Ö ÕÙ a 0 = 0. Ç ÑÓ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð Ö Ð a 0 Ð Ò ÙØÖÓ Ø ÚÓ Ò R. È Ö ÓÒÐÙ Ö ØÓ ÑÓ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð Ö Ð a 0 Ø Ð ÔÖÓÔ x R, x + a 0 = x ½º µ ÓÑ Ò ÑÓ ÔÓÖ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓÔ ½º µ ÖØ Ô Ö Ð Ö Ð a Ò ÐÙ Ö xµ Ó ÕÙ a + a 0 = a. Ò ØÓ ÒÓØ ÑÓ ÕÙ a + a 0 = a 1 + a 0 = a (1 + 0) = a 1 = a.

7 Ç ÖÚ Ò ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ö Ö ÓÒÓÞ Ù Ð Ù ÖÓÒ ÐÓ Ü ÓÑ Ù Ó Ò ÙÒ Ð Ù Ð ÒØ Ö ÓÖ º Ø ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ ÒÓ Ò ÑÔÐ Ö Ð Ø ÖÑ ÒÓ a 0 Ù Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ó ÓÒ a. ÑÓ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ò Ò Ö Ð ÔÙ ÑÔÐ Ö Ù Ò Ó Ø ÙÑ Ó ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö Ó º Î ÑÓ ÓÖ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ½º µ Ò Ò Ö Ðº Ä Ð Ú Ö Ô Ö Ö Ð ÙÑ a + a 0 ÕÙ Ý ÓÒÓ ÑÓ x + a 0 = x + [0 + a 0] = x + [(a + ( a)) + a 0] = x + [(( a) + a) + a 0] = x + [( a) + (a + a 0)], ÕÙ Ô Ö Ð ÙÑ ÓÒÓ = x + [( a) + a] = x + [a + ( a)] = x + 0 = x ÓÒ Ù Ò ÍÒ ÓÒ Ù Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ ÕÙ ÆÇ ÁËÌ Ä ÁÆÎ ÊËÇ ÅÍÄÌÁÈÄÁ ÌÁÎÇ Ä ÊǺ Ò ØÓ Ü Ø Ö Ö ÙÑÔÐ Ö = 1 Ý Ø Ñ Ò Ð ÔÖÓÔ = 0 ÓÒ Ó Ø Ò Ö 0 = 1, ÐÓ ÕÙ ÓÒØÖ Ð Ü ÓÑ Ð Ò ÙØÖÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓº Ë Ð Ñ Ò Ö ÑÓ Ð Ö ØÖ Ò 0 1 ÐÓ Ü ÓÑ ÒØÓÒ Ò Ó 0 Ø Ò Ö Ö ÔÖÓÓ Ô ÖÓ ÐÓ Ö Ð Ö Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ØÖ Ú Ð Ö Ù Ó ÐÓ Ð ÖÓ Ý ÕÙ a, a = a 1 = a 0 = Otras Propiedades en R ÈÖÓÔ ¾º Ò R Ð Ù ÓÒ µ a + x = b µ a x = b (a 0) Ì Ò Ò ÓÐÙ Ò Ý ÓÐÙ Ò Ò º À Ö ÑÓ ÐÓ Ð ÑÓ ØÖ Ò Ð Ô ÖØ µº ÓÑÓ Ö Ó ÑÓ ¹ ØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÐÙ Ò Ò Ð Ô ÖØ µ x = b a 1. ÑÓ ØÖ Òº Î ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ð Ü Ø Ò Ð ÓÐÙ Òº ÓÑ ÒÞ Ö ¹ ÑÓ ÔÓÖ Ö ÙÒ ÐÙÐÓ ÓÖÑ Ð ÕÙ ÓÒ Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ð Ù Ò ÓÖ Ò Ð Ò ÙÒ Ñ Ú ÒØ º Î ÑÓ

8 a + x b ÓÑÓ a R ÒØÓÒ Ü Ø ( a) R ( a) + (a + x) ( a) + b Ó Ò Ó [( a) + a] + x ( a) + b Ô ÖÓ ( a) + a = 0 ÔÓÖ Ò Ò Ð Ñ ÒØÓ ÒÚ Ö Ó 0 + x ( a) + b Ô ÖÓ 0 + x = x ÔÓÖ Ò Ò Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ x ( a) + b. Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÙÐÓ ÓÖÑ Ð ÕÙ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ÙÒ Ù Ð¹ ÕÙ ÒÓ ÑÓ ÖØ Ó ÒÓº Ë Ò Ñ Ö Ó ÒÓ ÒØÖ ÙÒ Ù Ò Ò ØÓ ÓÐÙ Òº Ä Ú Ö Ö ÑÓ ØÖ Ò ÓÑ ÒÞ ÕÙ Ò Ó Ë α = ( a) + b Ú ÑÓ ÕÙ Ø Ö Ð Ø Ð Ù Òº Ò ØÓ a + α = a + [( a) + b] = [a + ( a)] + b = 0 + b = b. ØÓ ÓÒÐÙÝ Ð ÑÓ ØÖ Ò Ð Ü Ø Ò Ð Ñ ÒÓ ÙÒ ÓÐÙ Ò Ð Ù Òº ÓÖ Ú ÑÓ ÕÙ Ø ÓÐÙ Ò Ò º È Ö ÐÐÓ ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ó ÐÓ Ö Ð x 1 Ý x 2 ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÓÐÙ ÓÒ a + x = b. Ä ÙÒ ÕÙ Ö ÑÓ ØÖ ÓÒ ÐÓ Ø Ô Ø ÓÒÐÙÝ ÕÙ x 1 = x 2. Î ÑÓ a + x 1 = b Ý Ñ a + x 2 = b ÒØÓÒ a + x 1 = a + x 2 ÒØÓÒ ( a) + [a + x 1 ] = ( a) + [a + x 2 ] ÒØÓÒ [( a) + a] + x 1 = [( a) + a] + x 2 ÒØÓÒ 0 + x 1 = 0 + x 2 ÒØÓÒ x 1 = x 2. ÓÒ ØÓ ÓÒÐÙÝ Ð ÑÓ ØÖ Ò Ð ÙÒ ÓÐÙ ÓÒ º 1.5. Definiciones importantes Ä ÙÒ ÕÙ ÒÓ Ð ÈÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ ÑÓØ Ú Ð Ù ÒØ Ò ¹ ÓÒ Ò Ò ½º½ Ö Ò Ý ÙÓ ÒØ µº ÄÐ Ñ Ö ÑÓ Ö Ò ÒØÖ a Ý b Ð Ö Ð x = b + ( a) Ý ÒÓØ ÔÓÖ x = b a. ÓÒ ØÓ Ð ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ Ö ÙÑ Ò a + x = b Ý ÐÓ x = b a.

9 Ð Ö ÙÐØ Ó Ð Ù Ò µ x = b a 1 ÒÓÑ Ò ÙÓ ÒØ b ÔÓÖ a Ý ÒÓØ ÔÓÖ Ð Ö Ò x = a b Ó Ò ÔÓÖ Ð ÙÓ ÒØ x = b : a. ÄÙ Ó a 0 Ø Ò ÕÙ a x = b Ý ÐÓ x = b a. Ç ÖÚ Ò Ð ÙÒ ÓÐÙ ÓÒ Ø Ù ÓÒ Ù Ò Ú Ö Ú Ö ÒØ Ø Ð Ò ÔÖÓ Ó Ð Ö Ó ½º Ä Ý Ò Ð Ò Ô Ö Ð ÙÑ a + b = a + c ÒØÓÒ b = c. Ò ØÓ ÔÙ Ö ÕÙ b Ý c ÓÒ Ð ÓÐÙ ÓÒ Ð Ñ Ñ Ù Ò a + x = a + c. ÓÑÓ Ð ÓÐÙ Ò Ø Ù Ò Ò ÒØÓÒ b = c. ¾º Ä Ý Ò Ð Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ù Ò Ó a 0 a b = a c ÒØÓÒ b = c. Ò ØÓ Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÙ Ö ÕÙ b Ý c ÓÒ Ð ÓÐÙ ÓÒ Ð Ñ Ñ Ù Ò a x = a c. º Ê ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð a x + b = 0, ÓÒ a 0. ÓÑ Ò Ò Ó Ð Ó Ô ÖØ Ð ÔÖÓÔÓ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ò ÕÙ ÔÖ Ñ ÖÓ Ù Ò Ó Ð Ô ÖØ Ð ÙÑ µ Ý ÔÓÖ ÓØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ a x = b x = b a. ÈÖÓÔ Ê Ð ÐÓ ÒÚ Ö Ó µº µ ( a) = a a R µ (a 1 ) 1 = a a R ; R = R \ {0} ÑÓ ØÖ Òº Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ó ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ÓÔÙ ØÓ ( a) a. Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ð ÓÔÙ ØÓ ( a) ÙÒ Ò Ñ ÖÓ p ÕÙ ÙÑÔÐ Ð Ö Ð Ò ( a) + p = 0.

10 ÈÙ Ò ÑÓ ÔÖÓ Ö ÕÙ a Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Èº ºÉ ( a) + a = 0. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÆÓØ ÑÓ ÕÙ ÙÒ Ú Þ ÕÙ ÐÓ Ö ÓÑÔÖ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ú Ð Ý ÐÓ Ö ÑÓ ÒØ Ö ÕÙ ÐÓ ÕÙ Ý ÕÙ ÔÖÓ Ö Ð ÑÓ ØÖ Ò Ñ Ñ Ò ÐÐ º Ò ØÓ Ø Ò ÕÙ ( a) + a = a + ( a) = 0. Ä ÑÓ ØÖ Ò Ð Ó µ Ò ÐÓ Ý ÖÐ ÓÑÓ Ö Óº ÆÓØ ÑÓ ÕÙ ÕÙ Ó Ø Ò Ð Ö Ð ÓÒØ Ö ÐÓ ÒÓ º ( ( ( ( a)))) = a غ ÈÖÓÔ Ê Ð ÐÓ ÒÓ µº µ a ( b) = (a b) = ab µ ( a) ( b) = a b µ (a + b) = ( a) + ( b) = a b Úµ (a b) 1 = a 1 b 1 Úµ a (b + c) = a b c Ú µ a (b c) = a b + c ÑÓ ØÖ Òº ÓÑ Ò ÑÓ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ µº Ë ÔÖÓ Ö ÐÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ð Ý ÕÙ Ð ÙÒ ÙÒ ÒÓØ Ò Ð ÙÒ Ó Ø ÖÑ ÒÓº Ø Ù Ð ÔÖ Ø Ò ÕÙ Ä ÇÈÍ ËÌÇ (a b) Ð Ö Ð a ( b). ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÓ ÔÖÓ Ö ÐÓ Ù ÒØ Èº ºÉº (a b) + [a( b)] = 0. Î ÑÓ ØÓ ÐØ ÑÓ Ó ÒÓ ÖØÓ (a b) + [a( b)] = a [b + ( b)] = a 0 = 0. ØÓ ÓÒÐÙÝ Ð ÑÓ ØÖ Ò µº ½¼

11 Ç ÖÚ Ò ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ö Ö ÓÒÓÞ Ù Ð Ù ÖÓÒ ÐÓ Ü ÓÑ Ù Ó Ò ÙÒ Ð Ù Ð ÒØ Ö ÓÖ º È Ö ÑÓ ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔ µ Ù ÑÓ Ð ÔÖÓÔ µ Ó Ú Ò ÓÖÑ Ù Ú º Ò ØÓ ( a) ( b) = [( a) b] = [b ( a)] = [ (b a)] = ab. È Ö ÑÓ ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔ µ ÑÓ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ÓÔÙ ØÓ (a+b) Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ( a) + ( b). Ö ÑÓ ÔÖÓ Ö Õ٠Ⱥ ºÉº (a + b) + [( a) + ( b)] = 0. ØÓ Ø Ú Ñ ÒØ ÖØÓ Ý ÕÙ (a + b) + [( a) + ( b)] = [(a + b) + ( a)] + ( b) = [(b + a) + ( a)] + ( b) = [b + (a + ( a))] + ( b) = [b + 0] + ( b) = b + ( b) = 0. Ä ÔÖÓÔ Úµ Ò ÐÓ Ð µ Ñ Ò Ó Ð ÓÔ Ö Ò ÙÑ ÔÓÖ ÔÖÓ ÙØÓº Ö ÓÑÓ Ö Óº È Ö ÑÓ ØÖ Ö Ð ÐØ Ñ Ó ÔÖÓÔ Ò ÓÑ Ò Ö Ð ÔÖÓÔ ¹ Ý ÑÓ ØÖ º À ÑÓ Ð ÔÖÓÔ Úµº Ä ÔÖÓÔ Ú µ Ö ÓÑÓ Ö Óº Ä ÑÓ ØÖ Ò Ö Ð Þ ØÓÑ Ò Ó Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ý ÓÒÐÙÝ Ò Ó ÕÙ Ù Ð Ð Ð Ó Ö Óº Î ÑÓ a (b + c) = a + [ (b + c)] = a + [( b) + ( c)] = a + ( b) + ( c) = (a b) c. ½½

12 ÈÖÓÔ º x y = 0 (x = 0) (y = 0) ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÑÓ ØÖ Òº Ä ÔÖÓÔ ÕÙ Ú Þ ÕÙ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ó Ö Ð ÖÓ ÒØÓÒ Ð ÙÒÓ ÐÓ ØÓÖ Ö ÖÓº È Ö ÑÓ ØÖ ÖÐ ØÓÑ Ð Ù Ð x y = 0 ÓÑÓ ÙÒ ØÓ Ý Ö ÞÓÒ Ø ÓÒÐÙ Ö ÕÙ ÖØÓ ÕÙ x = 0 Ó Ò y = 0. ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ò Ö Ð ÙÒ ÑÔÐ Òµº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÓ ÕÙ x y = 0. Ⱥ ºÉº x = 0 Ó Ò y = 0. Ð Ö Ñ ÒØ x ÔÙ Ó ÒÓ Ö ÖÓº Ë ÐÓ Ù Ö ÒØÓÒ Ð ÑÓ ØÖ Ò Ø Ö ÓÒÐÙ º ËÓÐÓ ÒÓ ÐØ Ö Ú Ö ÕÙ Ô x 0. Ò Ø Ó Ð Ù Ð x y = 0 Ú ÓÑÓ ÙÒ Ù Ò Ò Ð Ù Ð ÔÙ Ô Ö y Ú Ò Ó ÔÓÖ x ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ x 1 µº À Ò Ó ØÓ ÓÒÐÙÝ ÕÙ y = 0. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ó Ò x = 0, Ó Ò x 0, Ô ÖÓ Ò Ø Ó y = 0. ÓÒÐÙ Ò Ð ÙÒÓ ÐÓ Ö Ð Ö ÖÓº Propiedades adicionales ac ½º bc = a a, b, c, R ÓÒ b, c 0 b ¾º a b ± c ad ± bc = d bd a, b, c, d R ÓÒ b, d 0 º a b c d = ac bd a, b, c, d R ÓÒ b, d 0 º a b : c d = ad bc a, b, c, d R ÓÒ b, c, d 0 º (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ½¾

13 º (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø º (a + b)(a b) = a 2 b 2 º (a b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 b 3 º (a + b)(a 2 ab + b 2 ) = a 3 + b 3 Ç ÖÚ Ò Ò Ø ÔÖÓÔ Ò Ù Ó Ð ÒÓØ ÓÒ Ù ÒØ ab = a b = 2, = 3, = 4, Ø. a a = a 2, a 2 a = a 3, a 3 a = a 4, Ø. Ñ Ð Ñ ÓÐÓ ± Ö ÔÖ ÒØ Ð ÕÙ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ö ¹ ÑÔÐ Þ Ò ØÓ Ð Ô Ö ÓÒ ± ÔÓÖ + Ó Ö ÑÔÐ Þ Ò ØÓ ÔÓÖ. ÑÓ ØÖ Òº ½º ac bc = ac(bc) 1 = ac(b 1 c 1 ) = ac(c 1 b 1 ) = a(cc 1 )b 1 = a 1 b 1 = ab 1 = a b ¾º a b ± c d = ab 1 ± cd 1 = ab 1 dd 1 ± cbb 1 d 1 = ad(bd) 1 ± bc(bd) 1 = (ad ± bc)(bd) 1 ad ± bc = bd º a b c d = ab 1 cd 1 = ac(bd) 1 = ac bd ½

14 º º a b : c d = ab 1 : cd 1 = ab 1 (cd 1 ) 1 = ab 1 (c 1 d) = ad(bc) 1 = ad bc (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 º (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Ê Ü Ò ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ö Ö ÓÒÓÞ Ù Ð Ù ÖÓÒ ÐÓ Ü ÓÑ Ý ÔÖÓ¹ Ô Ù Ó Ò ÙÒ Ð Ù Ð ÒØ Ö ÓÖ º Ä ÑÓ ØÖ Ò Ð ÔÖÓÔ Ö Ø ÒØ Ö ÓÑÓ Ö Óº Otros Cuerpos ÓÒ Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ù ÒØ A = {, }. Ò Ø ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ò Ó ÓÔ Ö ÓÒ, Ñ ÒØ Ð Ø Ð Ù Ò¹ Ø ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÒØÓ ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ö Ø Ó (A,, ) Ø ØÓ Ó ÐÓ Ü ÓÑ Ù ÖÔÓº ÈÓ ÑÓ ÒØ Ö ÓÒ Ð ÙÑ ÓÒ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò ÓÒ 0 Ý ÓÒ ½º Í Ò Ó Ø ÒØ Ò ÓÙÖÖ ÕÙ = = 1 غ Î ÑÓ ÕÙ ÐÓ Ü ÓÑ Ù ÖÔÓ ÓÒ ÒØ Ö ÒØ Ô ÖÓ ÒÓ Ò Ò ÓÑÔÐ ¹ Ø Ñ ÒØ Ð ÓÒ ÙÒØÓ R ÕÙ Ô Ö ÑÓ º Ø ÓÒ ÙÒØÓ A Ó Ð Ñ ÒØÓ Ø ÐÓ Ñ ÑÓ Ü ÓÑ ÕÙ R. ½

15 Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð Ù ÒØ ÖÑ ÓÒ ½º Ü Ø Ò Ó Ò Ñ ÖÓ Ø ÒØÓ x, y Ê Ø Ð ÕÙ x+y = x Ý y+x = yº ¾º È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ x, y Ê Ø Ò ÕÙ x + y = y + xº º È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ x, y Ê Ø Ò ÕÙ x + y = xº º È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ x, y Ê Ø Ò ÕÙ x y = y xº º ( x, y, z Ê) (x + y) + z = (x + z) + (y + z)º º Ò ÙÒ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ Ø Ö Ð Þ Ò ÙÑ ÑÔÓÖØ Ò º º ( x, y, z Ê) (x + y) + z = x + (y + z)º º ( x, y, z Ê) (x y) z = x ( z) + y ( z)º º ( x, y, z Ê) (x + y) z = y z + x zº ½¼º ( x, y, z Ê) (x + y) z = (x + z) (y + z)º ½½º Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ ÙÑ Ó Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÓÑÓ Ö ÙÐØ Ó Ø ÐØ ÑÓº ½¾º Ó a Ê \ {0} Ð Ù Ò a x = a ÒÓ Ø Ò ÓÐÙ Ò Ò Êº ½ º ½ º ½ º ½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x Ê Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÙÑ ÒØÓÒ Ù ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ º ¼º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ò ÐÓ Ö Ð Ô Ö Ð ÙÑ Ò Óº Ë Ð ÒÓØ Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x Ê Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÙÑ ÒØÓÒ Ù ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ º Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ø ÒØÓ ¼ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÓÑÓ Ö ÙÐØ Ó Ø ÐØ ÑÓº ½

16 ½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò ÒØÓÒ Ù ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ º ½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò ÒØÓÒ Ù ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ º ½ º Ó a Ê Ð Ù Ò a x = a ÑÔÖ Ø Ò ÓÐÙ Ò Ò Êº ¾¼º ¾½º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ò ÐÓ Ö Ð Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ò Óº Ë Ð ÒÓØ ½º Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö x Ü Ø ÓØÖÓ ÕÙ Ð ÙÑ ÖÐÓ ÓÒ x Ö ÙÐØ ¼º ¾¾º Ó x Ê Ð Ù Ò x + y = 0 Ø Ò Ñ ÙÒ ÓÐÙ Ò y ʺ ¾ º Ð ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓ Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ò Óº Ë ÒÓØ xº ¾ º ¾ º ¾ º ¾ º ¾ º Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x Ê ÕÙ ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓ Ñ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº Ü Ø Ò x 1, x 2, x 3 Ê ØÓ Ó Ø ÒØÓ ÒØÖ Ø Ð ÕÙ x 1 Ð ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓ x 2 Ý x 2 Ð ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓ x 3 º Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö x ÓÒ x 0 Ü Ø ÓØÖÓ ÕÙ Ð ÑÙÐØ ÔÐ ÖÐÓ ÔÓÖ x Ö ÙÐØ ½º Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x Ê ÕÙ ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ñ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº Ð ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ø ÒØÓ ¼ Ò Óº Ë ÒÓØ x 1 º ¾ º Ó x Ê Ð Ù Ò x y = 1 ÑÔÖ Ø Ò ÙÒ ÓÐÙ Ò y ʺ ¼º ÆÓ Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x Ê Ø Ð ÕÙ x x = x + x = 0º ½º Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ö ÙÐØ Ò Ð Ñ ÑÓº ¾º Ð ¼ ÒÓ ÔÓ ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓº º Ð ¼ ÔÓ ÙÒ ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ô ÖÓ ÒÓ Ò Óº º º Ð ¼ ÒÓ ÔÓ ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓº Ð ½ ÔÓ ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓº º º Ü Ø Ò x 1, x 2, x 3 Ê ØÓ Ó Ø ÒØÓ ÒØÖ Ø Ð ÕÙ x 1 Ð ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ x 2 Ý x 2 Ð ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ x 3 º Ó a, b Ê Ð ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò a + x = b ÑÔÖ Ô ÖØ Ò Ò Ê \ {0}º ½

17 º Ó a, b Ê Ð Ù Ò a+x = b Ø Ò ÙÒ Ò ÓÐÙ Ò Ò Êº º ¼º ½º Ó a, b Ê ÓÒ a 0 Ð Ù Ò a x = b Ø Ò ÙÒ Ò ÓÐÙ Ò Ò Êº Ó a, b Ê Ð Ù Ò a x = b ÔÙ Ø Ò Ö Ñ ÙÒ ÓÐÙ Ò Ò Êº Ë a, b, c Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ a + b = a + c ÒØÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ b = cº ¾º Ë a, b, c Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ a b = a c ÒØÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ b = cº º Ó a, b Ê ÓÒ a 0 Ø Ò ÕÙ ¼ ÑÔÖ ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò a x + b = 0º º Ó a, b Ê ÓÒ a 0 Ð ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò a x + b = 0 x = b a º º Ë x, y Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ x + y = 0 ÒØÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ x = 0 y = 0º º Ë x, y Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ x y = 0 ÒØÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ x = 0 y = 0º º Ë x, y Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ x + y = 1 ÒØÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ x = 0 y = 0º ½

18 Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó ½º ÑÙ ØÖ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÖÓÔÙ Ø Ò Ð ØÙØÓÖ µ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ò Óº µ Ð ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Óº µ Ä Ù Ò ax = b ÓÒ a 0 Ø Ò ÙÒ Ò ÓÐÙ Ò Ò Êº Ø ÔÓÖ x = ba 1 º µ Ó a Ê \ {0} (a 1 ) 1 = aº ¾º ÙÒ Ð Ù ÒØ Ù Ð Ú Ö Ö Ò Ð Ø Ñ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º ÁÒ ÕÙ Ð Ö Þ Ò Ù Ú Ö Ö Ô ØÓ ÐÓ Ü ÓÑ Ý ÔÖÓÔ Ú ØÓ º µ 2 + (3 + 5) = (2 + 5) + 3º µ = 5º µ (x + y) + z = z + (y + x)º µ (x + 2) y = y x + 2 yº µ (4 1 4) 1 = 0º º Ò Ð Ù ÖÔÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò 2 = = = = Ý 6 = 5 + 1º Í Ò Ó ÐÓ ÐÓ Ü ÓÑ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ý Ð Ó ÕÙ 2 0 ÔÖÙ Ð Ù ÒØ ÖÑ ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓ Ó ÐÓ Ô Ó Ý Ñ Ò ÓÒ Ò Ó Ð Ü ÓÑ Ó Ò Ò ÕÙ ÙØ Ð Þ Ò ÙÒÓ ÐÐÓ µ = 5º µ 3 2 = 6º µ = 2º µ 5 3 = 2º µ (4 3) = 4º ½

19 º Ð Ù ÒØ Ù Ò Ù Ð Ø ÖÑ Ò ÐÓ Ü ÓÑ Ý Ð ÔÖÓÔ ÕÙ Ð Ò ÓÖÖ Ø µ Ó a, b Ê µ Ó x, y Ê µ Ó a, b Ê µ Ó a Ê (ab) + (a( b)) = a (b + ( b)) = a 0 = 0 (1 x)y + yx = (1 y + ( x)y) + yx = (y + (xy)) + yx = y + ( xy + yx) = y + ( xy + xy) = y + 0 = y (a + b) 2 = (a + b)(a + b) µ Ó a, b, c, d Ê ÓÒ b, d 0 = a(a + b) + b(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 a + 0 a = a 1 + a 0 = a(1 + 0) = a 1 = a a b + c d = ab 1 + cd 1 = (ab 1 ) 1 + (c 1)d 1 = (ab 1 )(dd 1 ) + (c(bb 1 ))d 1 = (ab 1 )(d 1 d) + cb(b 1 d 1 ) = ad(b 1 d 1 ) + cb(b 1 d 1 ) = ad(bd) 1 + bc(bd) 1 = (ad + bc)(bd) 1 = ad + bc bd ½

20 º ÑÙ ØÖ Ð Ù ÒØ Ù Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ò Ó Ð Ö ¹ Ñ ÒØ ÐÓ Ü ÓÑ Ó ÔÖÓÔ Ù Ó µ a + a = 2 aº µ a (b c) = a + ( b) + c µ (a + b)(a b) = a 2 b 2 µ (a b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 b 3 µ (a b)(a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 ) = a 4 b 4 µ (a + b)(a 2 ab + b 2 ) = a 3 + b 3 µ (x + b 2 )2 + c ( b 2 )2 = x 2 + bx + c º Ê Ù ÐÚ Ð Ù ÒØ Ù ÓÒ x Ð Ò Ò Ø µº µ 2x + 3 = 0º µ 3x + a = 2(x + a) Ù Ö ÙÐØ Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ aµº µ (x + 1) 2 = (x + 2)(x 4)º µ (x + a)(x a) = x 2 ax Ù Ö ÙÐØ Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ aµº µ x( x + 2) 3(x 6) = x(x 1) ( (x + 2) 7)º µ (2x 7) 2 x(3 x) = 3(x + 1) 2 + 2(1 x) 2 º µ ax = 0 Ô Ö a 0º µ (x 2) 2 = 0º µ (x + 2)(x 3) = 0º º Ë C ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ Ø ÐÓ Ù ÒØ ÔÖÓÔ ¹ Ü ÓÑ µ ½µ 2 Cº ¾µ Ë x C ÒØÓÒ 3x + 1 Cº µ Ë x, y C ÒØÓÒ x + y Cº µ 3 / Cº ÑÙ ØÖ ÒØÓÒ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔ Ò Ò Ó ÕÙ Ü ÓÑ Ý ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ó ÐÓ Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ó ÙØ Ð Þ µ 9 Cº µ 1 / Cº µ Ë 5 C ÒØÓÒ 22 Cº µ Ë x, y C ÒØÓÒ 3x y Cº µ Ë x C ÒØÓÒ x / Cº ¾¼

21 Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ Ä ÔÖ ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ Ø ÒØ ÔÖ Ð Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ö Ô Þ Ö ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ Ò Ý Ð Ø ÑÔÓ ÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ÓÐÚ ÖÐÓ º Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö Óй Ú ÖÐ Ò ÓÖ º Ä Ö ÓÑ Ò ÑÓ ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ Ð Ð ØÖ Ó Ö Ó ÕÙ Ö Ù ÐÚ Ù Ù Ò Ð Ð ØÖ Ó Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ Ö Ö ÓÒ Ø ÐÐ Ð ÓÐÙ ÓÒ º Ƚº Í Ò Ó ÜÐÙ Ú Ñ ÒØ ÐÓ Ü ÓÑ ÐÓ Ö Ð Ý Ñ Ò ÓÒ Ò ÓÐÓ Ð Ö Ñ ÒØ Ú Þ ÕÙ ÐÓ Ù ÑÙ ØÖ Ð ÔÖÓÔ Ù ÒØ º Ë ÓÙÔ Ð ÙÒ ÓØÖ ÔÖÓÔ ÒØÓÒ Ö ÑÓ ØÖ ÖÐ Ò Ò Ó ÐÓ Ü ÓÑ ÕÙ Ù Ò ÐÐÓº µ ¾¼ Ñ Òºµ x, y Ê, x, y 0, (x + y)(x 1 y 1 ) = x 1 + y 1 µ ¾¼ Ñ Òºµ x, y Ê, x, y 0, (xy) 1 = y 1 x 1 µ ¾¼ Ñ Òºµ Í Ò Ó µ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ a, b, c, d Ê, b, d 0, ab 1 + cd 1 = (ad + cb)(bd) 1 µ ¾¼ Ñ Òºµ a Ê, a 2 = 0 a = 0 Ⱦº Í Ò Ó ÐÓ ÐÓ Ü ÓÑ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ý Ð ÙÒ ÐÓ ÒÚ Ö Ó ÑÙ ØÖ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔ Ò Ø Ð ÙÒ ÔÖÓÔ ÜØÖ ÑÓ ØÖ ÖÐ µ µ ½ Ñ Òºµ È Ö ØÓ Ó x, y Ê ( x) + ( y) ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓ x + yº µ ¾ Ñ Òºµ Ë a, b, c, d Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ Ú Ö Ð Ö Ð Ò (ad) + ( (cb)) = 0 ÒØÓÒ [(a + b)d] + [ ((c + d)b)] = 0. µ ½ Ñ Òºµ È Ö a 0 (a 1 ) = ( a) 1 º È º ¾¼ Ñ Òº µ Í Ò Ó ÔÖÓÔ Ð Ñ ÒØ Ð ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ¹ ÑÙ ØÖ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó x, y, z, w Ê w 0 z 0 ÐÓ Ù ÒØ Ú Ö ÖÓ (xw + yz) 2 = (x 2 + y 2 )(w 2 + z 2 ) λ Ê ØºÕº x = λw, y = λz. ¾½

22 È Ö ÐÐÓ ÒÓØ Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö ÕÙ Ð Ù Ð Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ô Ö¹ Ñ Ø Ù Ö ÕÙ x 2 z 2 + y 2 w 2 = 2xwyzº ÄÙ Ó Ú ÕÙ ØÓ ÐØ ÑÓ ÑÔÐ ÕÙ xz = ywº Ò ÐÑ ÒØ Ð Ù Ð ÒØ Ö ÓÖ ÙÞ Ð ÓÒÐÙ Òº È º Ë C ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ Ø ÐÓ Ù ÒØ ÔÖÓ¹ Ô Ü ÓÑ µ ½µ 3 Cº ¾µ Ë x C ÒØÓÒ 3x + 1 Cº µ Ë x, y C ÒØÓÒ x + y Cº µ 7 / Cº ÑÙ ØÖ ÒØÓÒ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔ Ò Ò Ó ÕÙ Ü ÓÑ Ý ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ó ÐÓ Ö Ò Ñ ÓÒ Ó ÙØ Ð Þ µ Ñ Òºµ 1 / Cº µ Ñ Òºµ Ë x, y C ÒØÓÒ 3x + 2y + 4 C µ Ñ Òºµ Ë x, y C ÒØÓÒ 4 x y / Cº µ Ñ ÒºµË 3y + z + 4 / C ÒØÓÒ (y / C z 2 / C)º µ Ñ Òº µæó Ü Ø x C Ø Ð ÕÙ 3(2x 1) = 39º ¾¾

23 Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo Axiomas de Orden de los Reales Importante: Î Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ»»ÛÛÛº Ѻ٠РºÐ» ÐÙÐÓº ÒÓÒØÖ Ö Ð Ù Ö Ó Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø SEMANA 2: AXIOMAS DE ORDEN È Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ð ÓÖ Ò Ò ÐÓ Ö Ð Ý ÔÓ Ö ØÖ Ö ÓÒ ¹ Ù Ð Ü Ø Ò Ú Ö ÓÖÑ Ô Ö ÓÑ ÒÞ Öº Ò Ø ÔÙÒØ ÑÓ Ó Ó Ð Ú Ö Ò ÕÙ ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ Ð Ò Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ Ý Ò ÐÐÓ Ó Ø Ò Ò Ð Ò ÓÒ Ð Ù Ð Ý ØÓ Ð ÔÖÓÔ º Ò R Ü Ø ÙÒ Ù ÓÒ ÙÒØÓ ÐÐ Ñ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ µ ÔÓ Ø ÚÓ (R + ) Ð Ù Ð Ø ÐÓ Ù ÒØ Ü ÓÑ Ó Ö Ð º Ö Ù Ð Ö Ð Ò Ñ Ð ÙÖ Óº Í Ø ÒÓØ Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ Ö Ô Ð Ñ ¹ Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ ÔÖÓÔ ÒÓØ ÓÒ º Ü ÓÑ º Ð ØÖ ÓØÓÑ µ x R ÙÒ Ý ÓÐÓ ÙÒ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ ÓÒ Ú Ö Ö Üº º ÌÖ ÓØÓÑ µ x R + µ ( x) R + µ x = 0 Ç ÖÚ Ò ÙÑÔÐ Ö µ ÕÙ x ÙÒ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ Ý ÙÑÔÐ µ Ö ÑÓ ÕÙ x ÙÒ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓº Ü ÓÑ º Ð Ù ÙÖ µ ( x, y R +) ÙÑÔÐ Õ٠ܺ º Ð Ù ÙÖ ÐÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ (x + y) R + x y R + Ö R + ÖÖ Ó Ô Ö Ð ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ ÙØÓº 1.7. Relaciones de orden ÓÖ ÕÙ ÓÒÓ ÑÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ R + Ø ÑÓ Ò ÓÒ ÓÒ ÒÓÖÔÓÖ Ö Ð Ò ÓÒ ÐÓ Ñ ÓÐÓ <, >,, º Ê Ð ÓÒ ÓÖ Ò Ë Ò x, y R Ò Ð Ö Ð ÓÒ < > ÔÓÖ ½º x < y (y x) R + ¾º x > y y < x (x y) R + º x y (x < y) (x = y) º x y (x > y) (x = y) ¾

24 1.8. Propiedades de la desigualdad ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÈÖÓÔ ½ x > 0 x R + ÑÓ ØÖ Òº x > 0 ÓÖÖ ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ò Ò (x 0) R + ÐÓ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ Ð ÜÔÖ Ò x R + º ÓÒ ØÓ ÕÙ ÑÓ ØÖ Ð ÕÙ Ú Ð Ò Ð ÔÖÓÔÓ ÓÒ º ÈÖÓÔ ¾ x Ò Ø ÚÓ x < 0. ÑÓ ØÖ Òº x < 0 ÓÖÖ ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ò Ò (0 x) R + ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ø Ò ÕÙ x R + ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ø Ò ÕÙ x Ò Ø ÚÓº ÈÖÓÔ ØÖ ÓØÓÑ µ È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð x y ÙÒ Ý ÐÓ ÙÒ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ ÓÒ Ú Ö Ö µ x < y µ x > y µ x = y ÑÓ ØÖ Òº Ë Ò Ð Ü ÓÑ ½ Ð ØÖ ÓØÓÑ ÓÑÓ (y x) R ÒØÓÒ ÙÒ Ý ÐÓ ÙÒ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ ÓÒ Ú Ö Ö µ(y x) R + µ (y x) R +, Ó Ò µ (y x) = 0º Ë Ò Ñ Ö Ó µ Ò x < yº µ Ò (x y) R + Ó x > yº Ò ÐÑ ÒØ µ Ò x = yº ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ø Ò Ð ÑÓ ØÖ Òº ÈÖÓÔ x < y Ý a R = x + a < y + a. ÑÓ ØÖ Òº Î ÑÓ ÕÙ (y + a) (x + a) R + Ö ÕÙ (y + a) (x + a) > 0 (y + a) (x + a) = y + a + (( x) + ( a)) = y + ( x) + a + ( a) = y x, Ô ÖÓ ÔÓÖ Ô Ø ÑÓ ÕÙ x < y ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ y x > 0, ÐÙ Ó (y + a) (x + a) > 0 ÓÒ x + a < y + aº Ç ÖÚ Ò ÓÒ Ø ÐØ Ñ ÔÖÓÔ ÔÓ ÑÓ ÙÑ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ñ Ó Ð Ó Ð Ù Ð Ý Ø ÒÓ Ñ º ÈÖÓÔ µ x < y a > 0 ax < ay ¾

25 µ x < y a < 0 ax > ay ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÑÓ ØÖ Òº µ ÈÓÖ Ô Ø (y x) R + Ý a R + ÔÓÖ ÐÓ Ü Ó¹ Ñ Ý Ø Ò Ö ÑÓ ÕÙ a(y x) = ay ax R + ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ax < ayº µ ax ay = a(x y) = ( a)(y x) R + = ax > ayº Ç ÖÚ Ò ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ÔÓ ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ñ¹ Ó Ð Ó Ð Ù Ð Ý Ø Ð ÐÑ ÒØÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ð Ù Ð ÒÓ Ñ Ô ÖÓ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò Ø ÚÓ Ð Ù Ð Ñ Ö º ÈÖÓÔ x R x 2 0º ÑÓ ØÖ Òº ÈÓÖ Ð Ü ÓÑ ½ ØÖ ÓØÓÑ ÑÓ x R = x R + x = 0 ( x) R + = x x R + x 2 = 0 ( x)( x) R + = x 2 R + x2 = 0 x 2 R + = x 2 > 0 x 2 = 0 = x 2 0. ÓÑ ÒØ Ö Ó 1 = 1 1 = Ô ÖÓ 1 0 ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 1 > 0ÐÙ Óº ÓÒ ØÓ1 R + º ÈÖÓÔ Ë x < y Ý u < v = x + u < y + vº ÑÓ ØÖ Òº ÈÓÖ Ð Ò Ò <Ø Ò ÑÓ Ó Ó x < y (y x) R + Ý u < v (v u) R + º ÓÑÓ R + ÖÖ Ó Ô Ö Ð ÙÑ Ø Ò Ö ÑÓ (y x) + (v u) R + ÓÒ ÖÖÓÐÐ Ò Ó ÐÓ Ô Ö ÒØ Ó Ø Ò Ö ÑÓ (y + v) (x + u) R + º ÄÙ Ó ÒÙ Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð Ò Ò < ÐÓ ÐØ ÑÓ ÕÙ Ú Ð x+u < y+v. Ç ÖÚ Ò Ù Ð º Ø ÐØ Ñ ÔÖÓÔ ÒÓ ÕÙ ÔÓ ÑÓ ÙÑ Ö Ð ÈÖÓÔ Ë 0 < x < y Ý 0 < u < v ÒØÓÒ ÔÓ ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð Ù Ð Ö xu < yvº ÑÓ ØÖ Òº ÈÓÖ Ð Ò Ò <Ý ÔÓÖ Ð ÖÖ ÙÖ R + Ô Ö +Ý Ó Ø Ò Ö ÑÓ } 0 < x < y = (y x) R + 0 < u < v = (v u) R = v(y x) + (v u)x R +, + ÖÖÓÐÐ Ò Ó Ð ÐØ Ñ ÜÔÖ Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓ vy ux R + ÓÒ ÐÓ Ù Ð ÔÓÖ Ð Ò Ò < Ø Ò Ö xu < yv. ¾

26 Ç ÖÚ Ò Ø ÔÖÓÔ ÒÓ ÕÙ ÔÓ ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð ¹ Ù Ð Ò R + Ò ÕÙ Ñ Ð Ù Ð º ÈÖÓÔ µ (x < 0) (y > 0) xy < 0 µ (x < 0) (y < 0) xy > 0 ÑÓ ØÖ Òº ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔ ½ Ð ÖÖ ÙÖ Ô Ö Ó Ø Ò Ö ÑÓ ÐÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ö µ ( x) R + y R + xy R + xy < 0º µ ( x) R + ( y) R + ( x)( y) R + xy > 0º ÈÖÓÔ ½¼ µ x > 0 x 1 > 0 µ x < 0 x 1 < 0 ÑÓ ØÖ Òº µ x 1 = x 1 x 1 x = (x 1 ) 2 x ÐÙ Ó ÓÑÓ (x 1 ) 2 > 0 Ý x > 0 ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ò Ö ÑÓ x 1 = (x 1 ) 2 x > 0 µ x 1 = x 1 x 1 x = (x 1 ) 2 x < 0 Ý ÕÙ (x 1 ) 2 > 0 x < 0º ÈÖÓÔ ½½ Ë 0 < x < y ÒØÓÒ x 1 > y 1 º ÑÓ ØÖ Òº Î ÑÓ ÕÙ x 1 y 1 R + x 1 y 1 = 1 x 1 y = y x xy = (y x) x 1 y 1 Ô ÖÓ 0 < x < y = (y x) R +, x 1 R + y 1 R + ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ð ÐØ Ñ ÜÔÖ Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓ x 1 y 1 R + Ö y 1 < x 1 º 1.9. Gráfico de subconjuntos de R. Ò Ú ÖØÙ Ð Ö Ð Ò Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð Ò Ò R ÔÙ Ô Ò Ö Ò ÓÖ Ò Ö ÕÙ Ñ Ø Ñ ÒØ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÒÓÖ Ñ ÝÓÖº ÄÓ Ò Ñ ¹ ÖÓ Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ó Ö ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ð ÕÙ x Ò R Ð Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ P x Ó Ö Ð Ö Ø Ù Ò Ó Ð Ù ÒØ ÓÒÚ Ò ÓÒ µ Ë x < y ÒØÓÒ P x Ø Ð ÞÕÙ Ö P y µ Ë x < y ÒØÓÒ P x+y 2 ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð ØÖ ÞÓ P x P y º ¾

27 Px P(x+y)/2 Py Ò Ò ½º¾ ÁÒØ ÖÚ ÐÓ µº Ë Ò a, b R Ø Ð ÕÙ a bº ÄÓ Ù Ò¹ Ø Ù ÓÒ ÙÒØÓ R ÐÐ Ñ Ö Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ ½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ a ÓÑ b (a, b) = {x R : a < x < b} ¾º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó a ÓÑ b [a, b] = {x R : a x b} º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ a ÓÑ b ÖÖ Ó ÔÓÖ Ð Ö Ý ÖØÓ ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö (a, b] = {x R : a < x b} º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ a ÓÑ b ÖÖ Ó ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö Ý ÖØÓ ÔÓÖ Ð Ö [a, b) = {x R : a x < b} º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓ ÓØ Ó (, a] = {x R : x a} (, a) = {x R : x < a} [a, + ) = {x R/a x} (a, + ) = {x R : a < x} ÆÓØ Ò È Ö ÒÓØ Ö ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ (a, b) Ø Ñ Ò ÔÙ ÓÙÔ Ö ÐÓ Ô Ö Ò¹ Ø ]a, b[. Ç ÖÚ ÓÒ ½º Ë a = b ÒØÓÒ (a, a) = (a, a] = [a, a) = Ý [a, a] = {a}º ¾º Ë ÔÙ ÒÓØ Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ R ÓÑÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓ ÓØ Ó (, + ). º Ë I ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ý x 1, x 2 I Ø Ð ÕÙ x 1 x 2 ÒØÓÒ [x 1, x 2 ] Iº ¾

28 1.10. Inecuaciones Introducción ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ò Ù Ò ÙÒ Ù Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ð ÕÙ ÒØ ÖÚ ¹ Ò Ò ÙÒ Ó Ñ ÒØ Ò Ö º Ê ÓÐÚ Ö ÙÒ Ò Ù Ò ÓÒ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ô Ö ÕÙ Ú ÐÓÖ Ö Ð Ð Ò Ò Ø Ò Ö Ø Ð Ù Ð º Ô Ò Ò Ó Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØ Ò Ö Ý Ò Ù ÓÒ 1, 2 Ó Ñ Ò Ò Ø Ý ÒØÖ Ð ÙÒ Ò Ò Ø Ð Ý ÔÖ Ñ Ö ÙÒ Ó Ø Ö Ö Ó Ñ ÝÓÖ Ö Óº Ð Ö ÓÐÚ Ö ÙÒ Ò Ù Ò ½ Ò Ò Ø Ù Ð Ù Ö Ð Ñ ÝÓÖ Ù ÓÒ ÙÒ¹ ØÓ R ÓÒ Ð Ù Ð ÙÑÔÐ º Ø ÓÒ ÙÒØÓ ÐÐ Ñ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Òº Inecuaciones de primer grado ËÓÒ Ð ÓÖÑ ax + b < 0 ÓÒ a Ý b ÓÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ Ý a 0º ÓÒ Ð ÒÓ < ÔÙ Ö Ø Ñ Ò > Ó. ËÓÐÙ Ò ax + b < 0 ax < b µ Ë a > 0 ÒØÓÒ Ð Ò Ù Ò ÕÙ x < b a Ø Ñ ÒØ x (, b a )º ÙÝ ÓÐÙ Ò Ú Ò¹ µ Ë a < 0 ÒØÓÒ Ð Ò Ù Ò ÕÙ x > b a Ø Ñ ÒØ x ( b a, )º ÙÝ ÓÐÙ Ò Ú Ò¹ ÑÔÐÓ ½º½º ËÓÐÙ Ò 5(x 1) > 2 (17 3x) 5(x 1) > 2 (17 3x) 5x 5 > x 2x > 10 x > 5 ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÓÐÙ Ò Ö x ( 5, )º ¾

29 Inecuaciones de grado mayor a 1 ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÒÙÒ Ö ÑÓ ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ð ÙÒ Ò Ù ÓÒ Ð Ø ÔÓ P(x) Q(x) < 0, ÓÒ Ð ÒÓ < ÔÙ Ö Ø Ñ Ò > Ó º ÆÓ Ö Ñ Ø Ö ÑÓ ÔÖ Ñ Ö Ñ ÒØ ÐÓ Ó Ù Ò Ó P(x) Ý Q(x) ÓÒ ÔÖÓ Ù¹ ØÓ ØÓÖ ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ò Ð Ø ÔÓ ax + bº ÓÑ Ò ÑÓ ÔÓÖ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ø Ø ÔÓ ØÓÖ Ñ ÒÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ x = b a º ÒÓÑ Ò ¹ Ö ÑÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó ØÓ Ú ÐÓÖ º Ð Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ø Ò Ù ÓÒ Ò ÓÒ Ù Ò Ð Ù ÒØ ½º Ø ÖÑ Ò Ö ØÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó Ñ ÒØ Ð Ù Ò x = b a º ¾º ÇÖ Ò Ö ÐÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó Ñ ÒÓÖ Ñ ÝÓÖ Ý ÓÖÑ Ö ÐÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ Ò ÖÖ Ó ÒØÖ ÐÐÓ Ñ ÐÓ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓ ÓØ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º º Ò Ð Þ Ö Ð ÒÓ Ð ÜÔÖ Ò P(x) Q(x) Ò ÐÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓÒØÖ Ó Ò ¾ºµ Ý Ó Ö ÕÙ ÐÐÓ ÕÙ Ö Ù ÐÚ Ò Ù Ò ÑÓ Ó Ð Ò Ù Òº º Ò ÐÓ Ó Ò ÕÙ ÐÓ ÒÓ Ð Ò Ù Ò Ò Ó Ò Ö Ö Ð ÓÐÙ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ Ý ÕÙ Ò Ó ÔÙÒØÓ ÒÙÐ Ð Ö Òº ÑÔÐÓ ½º¾º ÔÐ ÕÙ ÑÓ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ð Ù ÒØ ÑÔÐÓ ËÓÐÙ Ò x+1 x x+1 x + 1 x x+4 x x+1 x + 1 x 1 3 x x+1 x x+1 x 1 3 x x x 0 x 1 0 x(x 1) 0 2x 4 x(x 1) 0. x2 x+4x 4 x 2 x ÄÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó Ö Ò È Ö 2x 4 Ð ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó 2º È Ö x 1 Ð ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó 1. ¾

30 È Ö x Ð ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó 0º ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø È Ö Ö Ð Þ Ö Ð ÔÙÒØÓ µ Ý µ Ö Ò Ð Þ Ö Ð ÒÓ Ð ÜÔÖ Ò ÐÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓÒØÖ Ó ÓÖÑ Ñ ÓÖ Ò ÓÒ¹ 2x 4 x(x 1) Ú Ò ÒØ ÓÖÑ Ö ÙÒ Ø Ð ÓÒ Ò Ð Þ Ö ÑÓ ÔÓÖ Ô ÖØ Ð ÒÓ ÔÓÖ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÓÖÑ ax + b ÕÙ Ô ÖØ Ô Ý ÐÙ Ó Ú Ö Ð ÒÓ Ð ÜÔÖ Ò ØÓØ Ð ÔÓÖ Ñ Ó Ð Ö Ð ÐÓ ÒÓ Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Òº Ò Ø ÑÔÐÓ Ð Ø Ð Ö (, 0) (0, 1) (1, 2) (2, + ) x ( ) (+) (+) (+) x 1 ( ) ( ) (+) (+) 2x 4 ( ) ( ) ( ) (+) 2x 4 x(x 1) ( ) (+) ( ) (+) Ð Ó Ð ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó x = 2 Ð ÜÔÖ Ò Ú Ð 0 ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÙÑÔÐ Ð Ù Ð Ñ Ò Ð Ù Ð ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÓ Ö ÖÐ ÒÙ ØÖÓ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙ Òº Ð Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ x = 0 Ý x = 1 Ø ÒØÓ ÑÓ ÕÙ Ø ÖÐÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙ Ò ÔÙ Ð ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÙÐ Ó Ø Ò Ò Ó Ú Ò ÔÓÖ 0 ÐÓ Ù Ð ÒÓ ÔÙ Öº ÈÓÖ ØÓ Ó ØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙ Ò Ö (, 0) (1, 2] Factorización de términos cuadráticos Ë Ð Ò Ù Ò ÒÓ Ô Ö ØÓÖ Þ ÔÓÖ ØÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ö Ó ÔÙ ÒØ ÒØ Ö ØÓÖ Þ Ö Ð ÜÔÖ Ò Ó Ò ÒØ ÒØ Ö ÓÒÓ Ö Ò ØÓÖ ¹ Þ Öµ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÓÒ ØÓ ØÓÖ Ñ Ò ÒÓº Ò Ø ÐØ ÑÓ Ó ÔÙ Ö ÓÐÚ Ö Ð Ò Ù Ò ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó Ò Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ô Ö ÐÓ ØÓÖ ÙÒ Ó Ö Ó Ø Ò ax 2 + bx + c = a[x 2 + b a x + c a ] = a[(x + b 2a )2 b2 4a 2 + c a ] = a[(x + b 2a )2 b2 4ac 4a 2 ]. ÄÐ Ñ ÑÓ Ð ØÓÖ b 2 4acº Ô Ò Ò Ó Ð ÒÓ Ø Ò Ò ØÖ ÔÓ Ð ½º Ë > 0 ÒØÓÒ Ð ÜÔÖ Ò ØÓÖ Þ Ð Ò ØÓÖ ÔÖ ¹ Ñ Ö Ö Ó Ð Ù ÒØ ÓÖÑ ¼

31 ax 2 + bx + c [ = a (x + b 2a )2 b2 4ac 4a 2 = a (x + b 2a )2 ( 2a ] ) 2. ÔÐ Ò Ó Ð ØÓÖ Þ Ò ÙÑ ÔÓÖ Ù Ö Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓ Ð Ü¹ ÔÖ Ò Ò ØÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ö Ó ax 2 + bx + c = a(x + b + 2a )(x + b ). 2a ÄÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó Ð ÐØ Ñ ÜÔÖ Ò ÓÒ x 1 = b 2a x 2 = b+ 2a ÓÒ ÐÓ Ù Ð ÚÓÐÚ ÑÓ Ð Ó Ý ØÙ Óº Ö ax 2 + bx + c Ø Ò Ð ÒÓ a x (, x 1 ) (x 2, )º ax 2 + bx + c Ø Ò Ð ÒÓ a x (x 1, x 2 )º ¾º Ë = 0 ÒØÓÒ ÓÐÓ Ý ÙÒ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó ÕÙ x = b 2a Ý Ø Ò ÕÙ ax 2 + bx + c Ø Ò Ð ÒÓ a x (, x ) (x, ). º Ë < 0 ÒØÓÒ ÒÓ Ý ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó Ý Ò Ø Ó ax 2 + bx + c Ø Ò Ð ÒÓ a x R. ÄÙ Ó Ð ØÓÖ ax 2 +bx+c ÔÙ Ö ÑÔÐ Ó Ò Ð Ò Ù Ò Ù Ò Ó Ð ØÓ ÕÙ Ð ÒÓ Ø ØÓÖ ÔÖÓ Ù Ò Ð ÒØ Ó Ð Ù Ð º Ë Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ö Ò ØÓÖ Ñ ÝÓÖ Ö Ó Ù Ö ÓÐÙ Ò Ø Ö ÓÒ ÓÒ Ð Ó ÔÙ Ó ÒÓ ØÓÖ Þ Ö Ø ØÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ý ÙÒ Ó Ö Ó Ó ÓÒÓ Ò Ù Ñ Ó ÒÓº Ö Ó ½º¾ ½º Ê ÓÐÚ Ö Ð Ù ÒØ Ò Ù ÓÒ µ 2x 2 + 3x + 1 < 0 µ 4x 5 x 2 > 0 µ x 3 < x 22 Úµ 2x x+26 4x 2 9 > 51 2x+3 Úµ 6x 6 x 3 < x 4 Ú µ 4x 3 6x Ú µ 8x 6 5x x 9 +x x 2 3x+2<0 ½

32 ¾º Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ Ù ÒØ Ù ÓÒ ÙÒØÓ R ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø µ {x R/ x8 +2x 7 8x 6 x 2 4x+3 > 0} µ {x R/x 3 11x x < 10x 3 12x x > 0} µ {x R/ 40 x 2 +x 12 < 4} Algunas soluciones µ 2x 2 + 3x + 1 < 0 = b 2 4ac = = 1 > 0 { x 1,2 = b± 2a = 3±1 x1 = 1 4 x 2 = 1 2 ÄÙ Ó 2x 2 + 3x + 1 < 0 x ( 1, 1/2). µ 4x 5 x 2 > 0 x 2 + 4x 5 > 0 = b 2 4ac = 16 (4 1 5) = = 4 < 0 ÄÙ Ó Ð ÒÓ Ð ØÓÖ ÓÒ Ø ÒØ Ù Ð Ð ÒÓ a = 1 Ö ÑÔÖ Ò Ø ÚÓº ÄÙ Ó Ð ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Ò 4x 5 x 2 > 0 x Φ. µ x 3 < x x 3 x < 0 x(x 2 1) < 0 x(x 1)(x + 1) < 0 ÄÙ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó ÓÒ 0 1 Ý 1º ÓÒ ØÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó ÓÒ ÓÒ ÑÓ Ð Ù ÒØ Ø Ð (, 1) ( 1, 0) (0, 1) (1, + ) x ( ) ( ) (+) (+) x 1 ( ) ( ) ( ) (+) x + 1 ( ) (+) (+) (+) x 3 x ( ) (+) ( ) (+) ÄÙ Ó Ð ÓÐÙ Ò x (, 1) (0, 1). Ú µ 4x 3 6x 8x 6 5x 4x 3 6x 8x 6 5x 0 (20x 15) (48x 36) 30x 0 28x+21 30x 0 ( 7 30 )(4x 3 x ) 0 4x 3 x 0 ¾

33 ÄÙ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó ÓÒ 0 Ý 3 4 º ÓÒ ØÓ ÓÒ ÓÒ ÑÓ Ð Ø Ð ¹ Ù ÒØ (, 0) (0, 3 4 ) (3 4, + ) 4x 3 ( ) ( ) (+) x ( ) (+) (+) 4x 3 x (+) ( ) (+) Ñ Ð ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó x = 3 4 ÒÙÐ Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ Ð Ö Ò ÐÙ Ó Ø Ñ Ò ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Òº ÄÙ Ó Ð ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Ò x (, 0) [ 3 4, ) Módulo o valor absoluto Ò Ò ½º Å ÙÐÓ Ó Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓµº Ë x R ÐÐ Ñ Ö ÑÓ Ñ ¹ ÙÐÓ x Ð Ö Ð Ò Ó ÔÓÖ { x, x 0 x = x, x < 0 ÑÔÐÓ µ 2 = 2 µ 2 = ( 2) = 2 µ 1 x 2 = Ô ÖÓ { 1 x 2, 1 x 2 0 x 2 1, 1 x 2 < 0 1 x 2 0 (1 x)(1 + x) 0 x [ 1, 1] ÄÙ Ó 1 x 2 = { 1 x 2 x [ 1, 1] x 2 1 x (, 1) (1, ) ÈÖÓÔ ½º ½º x 0 x R ¾º x = 0 x = 0 º x = x

34 º x 2 = x 2 = x 2 ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø º x x x º xy = x y º x y = x y º x a a x a x [ a, a] º x a x a a x x (, a] [a, ) ½¼º x x 0 a x 0 a x x 0 + a x [x 0 a, x 0 + a] ½½º x x 0 a x x 0 a x x 0 + a x (, x 0 a] [x 0 + a, ) ½¾º ( x, y R) x + y x + y Ù Ð ØÖ Ò ÙÐ Öµ Ç ÖÚ Ò Å ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ð ÑÓ ØÖ Ò Ð ÐØ Ñ ÔÖÓÔ ¹ ÐÓ Ö Ö ÒØ Ò ÖÐ ÒØ ÖÒ Ð Þ ÖÐ Ð Ý ÕÙ Ö Ò ÙÒ ÖÖ Ñ ÒØ ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö Ð Ö ÓÐÙ Ò Ò Ù ÓÒ ÕÙ ÓÒ¹ Ø Ò Ò ÜÔÖ ÓÒ ÓÒ Ñ ÙÐÓº ÁÒ Ù ÓÒ ÕÙ ÔÓÖ ÖØÓ Ö Ò ÑÙ Ó Ñ ÒØ Ö ÒØ Ý ÓÑÔ Ð Ú Þ ÕÙ Ð Ú Ø Ð ÓÑ ÒÞÓº Demostración de algunas propiedades del módulo ½º ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ( x R) x 0 x R = x 0 x < 0 = x = x 0 x = x > 0 = x 0 x > 0 = x 0. ¾º ÑÓ Ô ÖØ Ö Ð Ó x = 0 Ý ÔÖÓ Ö ÕÙ x = 0 Ý ÐÙ Ó Ô ÖØ Ö x = 0 Ý Ô ÖØ Ö Ø Ó ÔÖÓ Ö ÕÙ x = 0º ÓÒ ØÓ Ö ÑÓ ÔÖÓ Ó Ð ÕÙ Ú Ð Ò º ¹x = 0 x = x = 0 x = 0 ¹ x = 0 x = 0 x = 0 x = 0º º ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ( x R) x x x x R = x 0 x < 0 = x = x x = x = x x = x x = x < x = x x x x x x = x x x.

35 º ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö x a a x a x [ a, a] Ë a < 0 Ð ÕÙ Ú Ð Ò Ú ÒØ ÔÙ x a x Φ a x a Ë a 0 ÒØÓÒ Ø Ò ÕÙ x a [x 0 x < 0] x a 0 x = x a a x = x < 0 0 x a a x < 0 [0 x a x a] [x < 0 a x a] [0 x x < 0] a x a a x a ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÑÔÐÓ ½º º Ê ÓÐÚ ÑÓ 2 x < x 1 È Ö Ö ÓÐÚ Ö Ø Ø ÔÓ Ò Ù ÓÒ ÔÙ Ò Ù Ö Ó Ñ ØÓ Ó ÐØ Ö¹ Ò Ø ÚÓ º Ð ÔÖ Ñ ÖÓ Ù Ð ÔÖÓÔ Ð Ñ ÙÐÓ Ò ÓÖÑ Ö Ø Ö º Ð ÙÒ Ó Ñ ØÓ Ó ÓÒ Ø Ò Ô Ö Ö Ð Ò Ù Ò ÓÒ Ñ ÙÐÓ Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ù ÓÒ Ð Ò ÑÓ ÙÐÓº Î ÑÓ Ò ÓÖÑ Ø ÐÐ ÓÑÓ Ù Ö Ø Ó Ø Ò Ò Ø Ö Óº Ì Ò ½ Ù Ó Ð ÔÖÓÔ Ð Ñ ÙÐÓµ Ø Ø Ò Ù Ð ÑÓ Ó Ù ÒØ 2 x < x 1 x 1 < 2x < x 1 x 1 > 2x x 1 > 2x [x 1 < 2x x 1 > 2x] [x 1 < 2x x 1 > 2x] [x > 1 3x > 1] [3x < 1 x < 1] [x > 1] [x < 1 3 ] x ( 1, 1 3 ). ÑÔÐÓ ½º º Ì Ò ¾ Ù Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó µ Ø Ø Ò ÓÑ ÒÞ Ù Ò Ó ØÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ò ÐÓ Ù Ð ÐÓ ¹ ØÓÖ Ó ÐÓ Ñ ÙÐÓ Ñ Ò ÒÓº Ë Ñ Ö ÑÓ Ð ÜÔÖ Ò 2 x < x 1, Ú ÑÓ Ð Ö Ñ ÒØ ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó ÓÒ Ð 0 Ô Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ñ ÙÐÓ Ý Ð 1 Ô Ö Ð ÙÒ Óº ØÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó ÓÖ Ò Ò Ñ ÒÓÖ Ñ ÝÓÖ Ý ÓÒ ÐÐÓ ÓÖÑ Ò ÐÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ (, 0], (0, 1] Ý (1, + ).

36 ÓÒ ØÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÔÙ Ö ÕÙ Ð Ò Ù Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ö Ð Ù ÒØ À Ý ÕÙ ÒÓÒØÖ Ö ØÓ Ó ÐÓ Ö Ð ÕÙ ÙÑÔÐ Ò 2 x < x 1. À Ý ÕÙ ÒÓÒØÖ Ö ØÓ Ó ÐÓ Ö Ð Ò (, 0] (0, 1] (1, + ) ÕÙ ÙÑÔÐ Ò 2 x < x 1 º À Ý ÕÙ ÒÓÒØÖ Ö ØÓ Ó ÐÓ Ö Ð Ò (, 0] ÕÙ ÙÑÔÐ Ò 2 x < x 1 Ñ ØÓ Ó ÐÓ Ö Ð Ò (0, 1] ÕÙ ÙÑÔÐ Ò 2 x < x 1 Ñ ØÓ Ó ÐÓ Ö Ð Ò (1, + ) ÕÙ ÙÑÔÐ Ò 2 x < x 1 º Ò Ð ÐØ Ñ Ö Ð ÒØ Ö ÓÖ Ø Ð Ð Ú Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ò ØÓ ÐÓ ÕÙ Ö Ö ÓÐÚ Ö Ð Ò Ù Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ Ö Ó Ý Ð Ò Ð Ö ÙÒ Ö ØÓ Ð ÓÐÙ ÓÒ º ÄÓ ÒØ Ö ÒØ ÕÙ Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ ÐÓ Ñ ÙÐÓ ÔÙ Ò Ð Ñ Ò Ö Ý ÕÙ ÐÓ Ö ÙÑ ÒØÓ ÕÙ ÐÐÓ Ò ÖÖ Ò Ø Ò Ò ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ º Î ÑÓ ÓÑÓ ÓÔ Ö Ø Ñ ØÓ Ó Ò ÒØ ÖÚ ÐÓº ½º Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (, 0] ÐÓ ØÓÖ x Ý x 1 ÓÒ Ñ Ó Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÖÓ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ò Ù Ò Ö 2 x < x 1 2x < (x 1) 2x > x 1 x > 1. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð ÓÐÙ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ( 1, 0]º ¾º Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (0, 1] Ð ØÓÖ x ÔÓ Ø ÚÓ Ô ÖÓ Ð ØÓÖ x 1 Ò Ø ÚÓ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ò Ù Ò Ö 2 x < x 1 2x < (x 1) 3x < 1 x < 1 3. ÄÙ Ó Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð ÓÐÙ Ò (0, 1 3 )º º Ò ÐÑ ÒØ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (1, ) ÐÓ ØÓÖ x Ý x 1 ÓÒ Ñ Ó ÔÓ Ø ÚÓ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ò Ù Ò Ö 2 x < x 1 2x < (x 1) x < 1. Ø Ò Ù Ò Ø Ò ÓÐÙ Ò (, 1) Ò R Ô ÖÓ ÓÑÓ Ð Ø ¹ ÑÓ Ö ÓÐÚ Ò Ó Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (1, ) Ù ÕÙ Ð ÓÐÙ Ò. Ò ÓÒ Ù Ò Ð ÓÐÙ Ò Ò Ð Ø Ò Ù Ò ( 1, 0] (0, 1 ( 3 ) Φ = 1, 1 ) 3

37 ÑÔÐÓ ½º º x x < 4 ËÓÐÙ Ò ½ Í Ò Ó Ð ÔÖÓÔ Ñ ÙÐÓµ x x < 4 4 < x x < x < x x > x 2 4 [ x 2 4 < 3 + 2x 3 + 2x < x 2 + 4] [3 + 2x < x x > x 2 4] x 2 + 2x + 7 > 0 x 2 2x + 1 > 0 [x 2 + 2x 1 < 0 x 2 2x 7 < 0]. Ò Ò Ù Ò ÙÒ Ó Ö Ó Ø Ò = 24 < 0 = ax 2 + bx + c = x 2 + 2x + 7 Ø Ò Ð ÒÓ a x R Ò Ø Ó a = 1 ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ð ÓÐÙ Ò ØÓ Ó Rº = 0 = Ð ÓÐÙ Ò ÒÓ ÒÐÙ Ö x = 1Ý ÕÙ Ð ÜÔÖ Ò x 2 2x + 1 ÒÙÐ Ý ØÓ ÒÓ ÔÙ Öº Ñ Ð ÒÓ x 2 2x+1 ÒÙ Ú Ñ ÒØ Ö Ð ÒÓ a = 1 Ð Ù Ð ÔÓ Ø ÚÓ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÓÐÙ Ò Ö R \ {1}º = 8 = Ð ÓÐÙ Ò ( 1 2, 1+ 2) ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ Ð ÒÓ x 2 + 2x 1 Ð ÒÓ a ÓÒ a = 1 ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ x 2 + 2x 1 < 0º = 32 = Ð ÓÐÙ Ò (1 2 2, )º ÄÙ Ó Ð ÓÐÙ Ò Ò Ð Ð Ò Ù Ò R R \ {1} [( 1 2, 1 + 2) (1 2 2, ) = ( 1 2, 1) (1, ) ÑÔÐÓ ½º º ËÓÐÙ Ò ¾ Í Ò Ó ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó µ ÄÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ú Ö Ð ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó 3 + 2x, Ð Ù Ð 3 2 ÐÙ Ó Ð ÒÓ 3 + 2x Ô Ö x < 3 2 Ö Ò Ø ÚÓ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÓ ÒØ ÔÓÒ Ö ÙÒ ÒÓ ( ) Ð ÜÔÖ Ò Ý Ö Ð Ñ ÙÐÓº Ë x > 3 2 Ð ÜÔÖ Ò Ö ÔÓ Ø Ú Ý ÐÓ ÑÓ Ö Ø Ö Ö Ð Ñ ÙÐÓº ÓÒ ØÓ Ø Ò Ö ÑÓ ÐÓ Ù ÒØ x x < 4 [x < 3 2 x x < 4] [x 3 2 x2 3 2x < 4]. ÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ö ÑÓ Ù Ö Ó Ò Ð ÜÔÖ ÓÒ ÕÙ Ø Ò Ò Ñ ÙÐÓ [x < 3 2 (x + 1)2 + 2 < 4] [x 3 2 (x 1)2 4 < 4].

38 ÄÙ Ó Ù ÑÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó (x+1) 2 +2 Ý (x 1) 2 4º Ä ÔÖ ¹ Ñ Ö ÜÔÖ Ò Ö ÑÔÖ ÔÓ Ø Ú ÕÙ ÔÙ Ö Ø Ö Ö Ð Ñ ÙÐÓº Ä ÙÒ ÜÔÖ Ò Ø Ò Ö Ó ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó x = 1 Ý x = 3. ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ó Ö Ö Ò ÐÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ý Ö ÐÓ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÒ Ð Ñ ÙÐÓ Ô Ò Ò Ó Ð ÒÓ Ö ÙÐØ ÒØ (x 1) 2 4 Ò ÒØ ÖÚ ÐÓº Ê Ð Þ Ò Ó ØÓ Ø Ò Ö ÑÓ [x < 3 2 (x + 1)2 < 2] [x [ 3 2, 1) (x 1)2 4 < 4] [x [ 1, 3] (x 1) < 4] [x (3, ) (x 1) 2 4 < 4]. ÓÒ ØÓ ÐØ ÑÓ Ý ÒÓ Ø Ò ÑÓ Ò Ò ÙÒ ÜÔÖ Ò ÓÒ Ñ ÙÐÓ ÓÖ ÐÓ ÐØ Ö Ù Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÐÙ Ò ÓÑÓ Ò Ò ÙÒ ÓÑ ÒÞÓ [x < 3 2 x ( 1 2, 1 + 2)] [x [ 3 2, 1) x (1 2 2, )] [x [ 1, 3] x 1] [x (3, ) x (1 2 2, )], ÖÖ Ð Ò Ó ÙÒ ÔÓÓ ÐÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÐÙ Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓ [x ( 1 2, 3 2 )] [x [ 3 2, 1)] [x [ 1, 3] \ {1}] [x (3, )] x ( 1 2, ) \ {1}.

39 Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð Ù ÒØ ÖÑ ÓÒ ½º ÌÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒÓ ÒÙÐÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓ Ó Ñ Ó º ¾º ÌÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒÓ ÒÙÐÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ Ó ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓ Ô ÖÓ ÒÓ Ñ Ó º º Ð ¼ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ Ý ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓ Ð Ú Þº º ÌÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ ØÖ Ø Ñ Ò¹ Ø ÔÓ Ø Ú º º Ü Ø Ò Ô Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ê + Ø Ð ÕÙ Ù ÙÑ ¼º ÈÓÖ ÑÔÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ý Ù ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓº º Ä ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÖÖ Ò Ê + º º Ä ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÖÖ Ò Ê \ Ê + º º Ð ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ ÒÓ ÔÙ Ö ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ Ø Ñ Òº º ÌÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú º ½¼º Ó x, y Ê ÕÙ x < y Ð Ö Ð y x ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓº ½½º Ó x, y Ê ÕÙ x < y Ð Ö Ð y x Ø ÒØÓ ¼º ½¾º Ó x, y Ê ÕÙ x < y Ð Ö Ð x y ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓº ½ º Ó x, y Ê ÕÙ x y Ð Ö Ð x y Ø ÒØÓ ¼º ½ º ½ º Ó x, y Ê ÕÙ x y Ð Ö Ð x y ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ Ó ¼º Ó x, y Ê ÕÙ x y Ð Ö Ð x y ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓº

40 ½ º ÍÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ x > 0º ½ º ½ º ½ º ¾¼º ¾½º ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ø ÕÙ x 1 > 0 ÒØÓÒ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓº Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ø ÕÙ x > 0 ÒØÓÒ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓº Ó x, y Ê Ø Ð ÕÙ x < y Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö z Ê Ø Ò ÕÙ x + y < zº Ó x, y Ê Ø Ð ÕÙ x < y Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö z Ê Ø Ò ÕÙ x z < y zº Ó x, y Ê Ø Ð ÕÙ x < y Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö z Ê Ø Ò ÕÙ x + z < y + zº ¾¾º Ë x, y Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ x < y Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ó ÔÓÖ a < 0 Ó Ø Ò ax ay > 0º ¾ º Ë x, y Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ x < y Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ó ÔÓÖ a < 0 Ó Ø Ò ax > ayº ¾ º Ó x, y Ê Ø Ð ÕÙ x < y Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ a < 0 Ø Ð ÕÙ ax = ayº ¾ º Ë x, y Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ x < y Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ó ÔÓÖ a > 0 Ó Ø Ò ax ayº ¾ º ¾ º ¾ º Ó x, y Ê Ø Ð ÕÙ x < y Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ a > 0 Ø Ð ÕÙ ax = ayº Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ó Ð Ó ÙÒ Ö Ð Ò Ù Ð ÔÓÖ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ Ø ÒÓ Ñ º Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ø Ð ÕÙ Ð ÑÙÐØ ÔÐ ÖÐÓ ÔÓÖ Ñ ÑÓ Ó Ø Ò Ð ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓ ½º ¾ º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒÓ ÒÙÐÓ Ù ÐÕÙ Ö ÔÓÖ Ñ ÑÓ Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓº ¼º ½º Ë x, y, z, w Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ x < y Ý z < w ÒØÓÒ x+y < z+wº Ë x, y, z, w Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ x < y Ý z < w ÒØÓÒ x+z < y+wº ¾º Ë x, y, z Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ x < y Ý z < 0 ÒØÓÒ x < y zº º Ë x, y, z, w Ê ÓÒ Ø Ð ÕÙ x < y Ý z < w ÒØÓÒ xz < ywº º º Ë x, y, z, w Ê ÓÒ ØÓ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ý Ø Ð ÕÙ x < y Ý z < w ÒØÓÒ xz < ywº Ë x, y, z, w Ê ÓÒ x, z > 0 Ý Ø Ð ÕÙ x < y Ý z < w ÒØÓÒ xz < ywº ¼

41 º º ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒØÖ Ñ Ó Øº ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ñ Ó Øº Ò Ø ÚÓ ÔÙ Ó Ø Ò Ö Ø ÒØÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Øº ÔÓ Ø ÚÓ ÓÑÓ ÙÒÓ Øº Ò Ø ÚÓº Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒØÖ Ñ Ó Øº ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ñ Ó Øº Ò Ø ÚÓ Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓº º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒØÖ Ñ Ó Øº Ò Ø ÚÓ Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Øº Ò Ø ÚÓº º ¼º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÙÝ Ö Ø ÒÓ ¼ Ó Ø Ò ÑÔÖ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓº Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÙÝ Ö Ø ÒÓ ¼ ÔÓ Ð Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓº ½º Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ Ó ÒÓ Ô ÖØ Ò ÒØ Ê + ÑÔÖ Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓº ¾º º º º º Ð ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓº Ð ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓº Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ ÔÓÖ Ù ÒÚ Ö Ó ÑÙй Ø ÔÐ Ø ÚÓ Ó Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓº Ë Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x, y Ø Ò ÕÙ 0 < x < y Ù ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ø Ò Ð Ö Ð Ò ÓÔÙ Ø Ö x 1 > y 1 º Ë Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x, y Ø Ò ÕÙ 0 < x < y Ù ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ø Ò x 1 < y 1 º º Ë x ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Øº Ò Ø ÚÓº ÓÑÓ x < 0 ÐÙ Ó x 1 > 0º º º ¼º ½º ¾º Ó a, b Ê Ø Ð ÕÙ a b Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [a, b) ÓÒØ Ò b Ô ÖÓ ÒÓ aº Ó a, b Ê Ø Ð ÕÙ a b ÒØÓÒ [a, b) ÓÒØ Ò ÑÔÖ b aº Ó a, b Ê Ø Ð ÕÙ a < b Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [a, b) ÓÒØ Ò a Ô ÖÓ ÒÓ bº Ó ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ð I x 1, x 2 I ÒØÓÒ x1+x2 2 Iº Ó ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ð I x 1, x 2 I Ý α [0, 1] ÒØÓÒ αx 1 + (1 α)x 2 Iº º Ó ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ð I x 1, x 2 I Ý α 1, α 2 (0, 1] ÒØÓÒ α 1 x 1 + α 2 x 2 Iº ½

42 º º º º º º ¼º ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ë Ò a, b ʺ Ë a > 0 Ð Ò Ù Ò ax+b < 0 Ø Ò ÓÑÓ ÓÐÙ Ò (, b a ] [ b a, )º Ë Ò a, b ʺ Ë a < 0 Ð Ò Ù Ò ax+b 0 Ø Ò ÓÑÓ ÓÐÙ Ò [ b a, b a ]º Ë Ò a, b ʺ Ë a < 0 Ð Ò Ù Ò ax+b < 0 Ø Ò ÓÑÓ ÓÐÙ Ò ( b a, )º Ë Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ¼ ÒØÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ ¼º Ë Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ ÒØÓÒ Ó Ò Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓº Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ù Ð Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò ÐÓ Ñ ÙÐÓ Ó Ö Ð º Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ù Ð Ð ÙÑ ÐÓ Ñ ÙÐÓ Ó Ö Ð º ½º Ü Ø ÙÒ Ô Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ø Ð ÕÙ Ð Ñ ÙÐÓ Ù ÙÑ Ñ ÝÓÖ ØÖ Ø ÕÙ Ð ÙÑ Ù Ñ ÙÐÓ º ¾º º º ÄÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x ÕÙ Ø Ò x 1 3 ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ [ 2, 3]º ÄÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x ÕÙ Ø Ò x 1 3 ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ (, 3] [3, )º ÄÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x ÕÙ Ø Ò x 1 3 ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ (, 2] [4, )º ¾

43 Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó ½º ÑÙ ØÖ Ð Ù ÒØ Ö Ð ÓÒ Ù Ð µ È Ö ØÓ Ó x Ê (1 + x) xº µ È Ö ØÓ Ó x, y Ê x 2 + y 2 2xyº µ È Ö ØÓ Ó x, y Ê x 2 xy + y 2 0º µ È Ö ØÓ Ó x Ê + x + x 1 2º µ È Ö ØÓ Ó x Ê + x3 > 0º ¾º Ó x, y, z Ê + {0} ÑÙ ØÖ Ð Ù ÒØ Ö Ð ÓÒ ¹ Ù Ð µ x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx µ (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz µ x 3 + y 3 + z 3 3xyz µ (x + y) 2 z 4xy z º Ó x, y, z Ê + ÑÙ ØÖ Ð Ù ÒØ Ö Ð ÓÒ Ù Ð µ (x + y + z)( 1 x + 1 y + 1 z ) 9 µ Ë x + y + z = 1 ÒØÓÒ ( 1 x 1)(1 y 1)( 1 x 1) 8 µ Ë xyz = 1 ÒØÓÒ x + y + z 3 µ (x 2 + x + 1)(y 2 + y + 1)(z 2 + z + 1) 27xyz º Ê Ù ÐÚ Ð Ù ÒØ Ò Ù ÓÒ Ò Ò Ó ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ¹ ÙÒØÓ ÓÐÙ Ò µ 5x 3 2x + 1 µ 2x µ 4x + 1 > 3x µ Ó b Ê x + b 2x + 3b µ Ó a, b Ê ax+b 2b+4x ÁÒ ÕÙ ÑÓ Ô Ò Ð ÓÐÙ Ò a Ý bµ

44 º Ê Ù ÐÚ Ð Ù ÒØ Ò Ù ÓÒ Ò Ò Ó ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ¹ ÙÒØÓ ÓÐÙ Ò µ (x 2)(x 3) 0 µ Ó a Ê + (x + a)(x a) < 0 µ 3x 2 < x 5 µ 2x 2 + 3x + 1 < 0 µ 4x 5 > x 2 º Ê Ù ÐÚ Ð Ù ÒØ Ò Ù ÓÒ Ò Ò Ó ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ¹ ÙÒØÓ ÓÐÙ Ò µ 2 6x 5 < 0 µ x+2 2x 2 3x < 0 µ 4 x + x 1 5 < 3 x + 1 µ (x a) (x+1)(x a) > 0 ÁÒ ÕÙ ÑÓ Ð ÓÐÙ Ò Ô Ò aµ µ 4x 3 6x 8x 6 5x º Ø ÖÑ Ò ÐÓ Ù ÒØ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ê µ { x Ê x 3 x } { } µ x Ê x8 +2x 7 8x 6 x 2 4x+3 > 0 µ { x Ê x 3 11x x < 10x 3 12x x } { } 40 µ x Ê x 2 +x 12 < 4 º Ê Ù ÐÚ Ð Ù ÒØ Ò Ù ÓÒ Ò Ò Ó ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ¹ ÙÒØÓ ÓÐÙ Ò µ x µ 2 x < x 1 µ x 8 < x 2 µ x x + 1 > 2 µ 7 5x+3 x 1

45 Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ Ä ÔÖ ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ Ø ÒØ ÔÖ Ð Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ö Ô Þ Ö ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ Ò Ý Ð Ø ÑÔÓ ÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ÓÐÚ ÖÐÓ º Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö Óй Ú ÖÐ Ò ÓÖ º Ä Ö ÓÑ Ò ÑÓ ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ Ð Ð ØÖ Ó Ö Ó ÕÙ Ö Ù ÐÚ Ù Ù Ò Ð Ð ØÖ Ó Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ Ö Ö ÓÒ Ø ÐÐ Ð ÓÐÙ ÓÒ º Ƚº µ ¾¼ Ñ Òºµ ÑÙ ØÖ ÕÙ x, y Ê, x, y > 0 (x + y)(x 1 + y 1 ) 4. µ ÁÒ ÕÙ ÕÙ Ü ÓÑ Ó ÔÖÓÔ Ð ÓÖ Ò Ø ÙØ Ð Þ Ò Óº ½µ ½ Ñ Òºµ ÑÙ ØÖ ÕÙ x Ê, x > 0, x x 3. À ÒØ Ò Ð Ð ÔÖÓ ÙØÓ (x 1) 2 (x + 2)º ¾µ ½ Ñ Òºµ ÑÙ ØÖ ÕÙ Ô Ö a, b Ê, a, b > 0 Ø Ò a 3 + 2b 3 3ab 2. À ÒØ ÍØ Ð Ð Ô ÖØ ÒØ Ö ÓÖº Ⱦº µ ¼ Ñ Òºµ Ë A Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Ò x x 1 Ý B Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Ò 4x 2 > x(1 2x)º Ê Ù ÐÚ Ð Ò Ù ÓÒ ØÓ Ø ÖÑ Ò A Ý Bº ÐÙÐ A B A Bº µ ¼ Ñ Òºµ Ê Ù ÐÚ Ð Ò Ù Ò x 2 + 2x + 11 (x 2) x + x 2 < 1 2. µ ¾¼ Ñ Òºµ ÒÙ ÒØÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Ò x 2 + 3x + x x x x 2.

46 µ ¾¼ Ñ Òºµ ÒÙ ÒØÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙ Ò Ð Ù ÒØ Ò Ù ¹ Ò x 2 2x + 1 x 2 3x µ ¾¼ Ñ Òºµ ÒÙ ÒØÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙ Ò Ð Ò Ù Ò x 2 2x + x x + 3 3

47 2. Geometría Analítica Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Importante: Î Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ»»ÛÛÛº Ѻ٠РºÐ» ÐÙÐÓº ÒÓÒØÖ Ö Ð Ù Ö Ó Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø SEMANA 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA 2.1. Sistema de coordenadas cartesianas Motivación y ecuaciones elementales À Ó Ó Ð Ö Ó Ö ÒØ ÕÙ Ù Ö Þ Ò Ø Ò Ö ÕÙ Ñ Ö Ö ÒÙÒ Ð Ø Ð ÖÓ Ë º ØÓ ÔÓ Ð Ý Ð ÖÖ Ñ ÒØ ÐÐ Ñ ÓÓÖ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓº Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ Ö Þ Ù Ò Ð Ð ØÖ Ð Ð À Ô Ö ÒØ Ö Ð ÓÐÙÑÒ Ð Ø Ð ÖÓ Ý ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ð ½ Ð Ô Ö ÒØ Ö Ù Ð º Ç ÖÚ Ð ÙÖ Ð Ó ÐÐ Ô Ö Ð Ø Ô Ó Ø Ð ÖÓ Ö Þ ÓÒ Ù ÓÐÙÑÒ Ý Ð ÖÓØÙÐ Ò Ð Ö Ð ÒÙÒ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð ØÓÖÖ Ð Ò ÓÑ ÒÞ Ù Ò Ó Ò Ð ÓÓÖ Ò ½ µ Ð Ø Ð ÖÓº ÓÒ Ø Ø Ò ÐÓ Ù ÓÖ ÔÙ Ò ÒÓØ Ö Ù Ù Ò ÐÓ Ô ÖØ Ó Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÑÙÒ ÖÐ Ù Ú Ö Ö Ó Ð ÓÓÖ Ò Ð Ô Þ ÕÙ Ô Ò ÑÓÚ Ö Ý Ø Ü Ø Ñ ÒØ Ù Ð Ö Ð ÒÙ Ú ÓÒ ÙÖ Ò Ð Ø Ð ÖÓ Ö Ù Ð Ö Ð Ò Ñ Ð ÙÖ Óº Í Ø ÒÓØ Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ Ö Ô Ð Ñ ¹ Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ ÔÖÓÔ ÒÓØ ÓÒ º A B C D E F G H Ø ÔÙ Ù Ö Ò ÓØÖ ØÙ ÓÒ ÓÑÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ ÙÒ Ð Ó Ù Ó Ø ÐÐ Ò Ú Ð ÓÒ ÐÓ Ù ÓÖ ÒØ ÒØ Ò ØÖÙ Ö Ð ÖÓ Ú Ö Ö Ó Ò Ó ÓÓÖ Ò Ù ÓÑ Ö Ó º ÍÒ ÑÔÐÓ ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð ÈÐ ÒÓ ÓÑ ØÖ Óº Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ù Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö ØÖ Þ Ö Ö ØÖ Ö ¹ Ñ ÒØ Ó Ö Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÕÙ ÓÖØ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ ÐÐ Ñ Ó ÓÖ Ò Oº ÆÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÙÒ Ð Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý ÒÓØ ÔÓÖ OX Ý Ð ÓØÖ Ú ÖØ Ð Ý ÒÓØ ÔÓÖ OY º

48 ÓÒ Ø ÓÒ ØÖÙ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ù Ò Ð ÔÐ ÒÓ Ñ Ò Ó Ù ¹ Ø Ò ÙÒ Ð Ö Ø º È Ö Ö Ò Ö ÐÓ Ö ÒØ Ð Ó Ø Ø Ò Ð Ò Ò ÒÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ò Ø ÚÓ Ð ÑÓ Ó Ù ÒØ Ä Ø Ò P Ð Ö Ø OY ÒÓØ ÔÓÖ Ð Ð ØÖ xº x > 0 P Ø Ð Ö OY ÒÓ x Ö Ò Ø ÚÓ Ð ÓØÖÓ Ð Óº Ä Ø Ò P Ð Ö Ø OX ÒÓØ ÔÓÖ Ð Ð ØÖ yº y > 0 P Ø ÖÖ Ð Ö Ø OX Ó Ù y < 0º Ø ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ø Ý Ð ÓÖÑ Ò ÕÙ Ù Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ò ÐÐ ÓÒ Ø ØÙÝ Ò Ð ÑÓ Ó Ë Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò º Ë Ù Ð ÒÓØ Ö Ø Ø Ñ ÔÓÖ Ð Ñ ÓÐÓ {OXY } Ô Ö Ö ÓÖ Ö Ù Ð Ñ ÒØÓ ØÓÖ º Ç ÖÚ Ð Ö ÓÑÓ Ù Ó Ð ÔÙÒØÓ P ÕÙ Ø x = 3 Ð OY Ý Ø y = 4 Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð OXº ÄÓ Ò Ñ ÖÓ 3 Ý 4 ÐÐ Ñ Ò Ð ÓÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ P º ØÓ ÒÓØ P = (3, 4)º Y = R O (x,y)= (3,4) X = R ÍÒ ÔÓÓ Ñ ÒÓÑ ÒÐ ØÙÖ Ä Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð OX Ù Ð ÐÐ Ñ Ö Ð x Ó Ð º Ä Ö Ø Ú ÖØ Ð OY ÐÐ Ñ Ó Ð y Ó Ð ÓÖ Ò º Ë P = (x, y) ÒØÓÒ ÕÙ x Ð P Ý ÕÙ y Ð ÓÖ Ò P º ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ó Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ø Ñ Ò ÖÚ Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÒ¹ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ º Ò Ò Ö Ð ØÓ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓØ Ò ÔÓÖ ÜÔÖ ÓÒ Ð Ø ÔÓ A = {ØÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ ÓÓÖ Ò (x, y) Ø Ð ÕÙ C}, ÓÒ Ð Ð ØÖ C ÒÓØ Ð ÙÒ ÓÒ Ò ÕÙ Ø Ò ÓÓÖ Ò º

49 ÑÔÐÓ ¾º½º ÈÓÖ ÑÔÐÓ ÐÓ ÓÓÖ Ò ÔÙ Ò Ö Ö ÓÑÓ ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø OX = {(x, y) : x R, y = 0} OY = {(x, y) : x = 0, y R}. ÄÓ Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ ÐÐ Ñ Ò Ù Ö ÒØ Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò ½ Öº Ù Ö ÒØ = {(x, y) : x > 0, y > 0} ¾ Óº Ù Ö ÒØ = {(x, y) : x < 0, y > 0} Öº Ù Ö ÒØ = {(x, y) : x < 0, y < 0} ØÓº Ù Ö ÒØ = {(x, y) : x > 0, y < 0} Otras ecuaciones elementales Î ÑÓ Ð ÙÒÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ñ ÒØ Ð Ð ÔÐ ÒÓ Ö ØÓ Ù Ò Ó Ù Ó¹ Ò Ð Ö º ½ {(x, y) : xy = 0} = {(x, y) : x = 0 obien y = 0} ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ÙÒ Ò Ó º ¾ {(x, y) : y > 0} ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ñ ÔÐ ÒÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ù Ó Ó Ö Ð OX {(x, y) : x = a} ÓÒ a Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø Ú ÖØ Ð ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (a, 0)º {(x, y) : y = b} ÓÒ b Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (0, b)º Lugares Geométricos Ò Ò ¾º½ ÄÙ Ö ÓÑ ØÖ Óµº Ò Ø ÓÒØ ÜØÓ ÐÓ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ Ð ÔÐ ÒÓ ÕÙ Ø Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ò ÓÑ ØÖ Ó Ð Ö ÐÓ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ ÄÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó º Ç ÖÚ Ò Ò ÓÑ ØÖ Ò ØÙ Ó ÑÙ Ó ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ð ÓÑÓ Ð Ö Ø ÖÙÒ Ö Ò Øº Ò Ó Ù Ö Ø Ö Ø Ñ ¹ ÒØ Ð Ð Ò Ù Ð ÓÑ ØÖ º ÆÙ ØÖÓ Ó Ø ÚÓ Ö ØÙ Ö Ó ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó Ö Ò Ó Ù Ò ÓÒ Ñ ÒØ Ù ÓÒ Ð Ö ÕÙ ÐÓ ÒØ ÕÙ Ò ÔÐ Ò Ñ Ò¹ Ø º ÆÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ò ÒÙ ØÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ö ÑÓ ÕÙ ÒÓÒØÖ Ö Ù ÓÒ ÒØ Ö Ð ÓÒ ÔØÓ ÓÑ ØÖ Ó ÕÙ ÐÐ Ö ÔÖ ÒØ Òº

50 2.2. Distancia entre dos puntos y pitágoras Ó Ó ÔÙÒØÓ Ð ÔÐ ÒÓ A = (x 1, y 1 ) Ý B = (x 2, y 2 )º Ë C Ð ÔÙÒØÓ ÓÓÖ Ò (x 2, y 1 )º ÒØÓÒ Ð ACB Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò Cº ÈÓÖ Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ÙÑÔÐ ÕÙ d(a, B) 2 = d(a, C) 2 + d(c, B) 2. Ð ÙÖ Ú ÑÓ Ð ÖÓ ÕÙ Ð Ø Ò ÒØÖ A Ý C Ý Ð Ø Ò ÒØÖ C Ý B Ø Ò ÔÓÖ d(a, C) = x 2 x 1 d(c, B) = y 2 y 1, Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó Ý Ò Ó Ö Þ Ù Ö Ð Ø Ò d(a, B) Ú Ð y 2 Y B y 1 C A O x 2 x 1 X Ò Ò ¾º¾ Ø Ò ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ µº d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. ¾º½µ Teorema de pitágoras Î ÑÓ ÙÒ ÑÓ ØÖ Ò Ð ÑÓ Ó Ø ÓÖ Ñ Ô Ø ÓÖ ÓÒ Ð ÝÙ Ð Ù ÒØ ÙÖ º ¼

51 a b ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø b c c a a c c b b a Î ÑÓ ÕÙ Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ð Ó a+b Ù Ð Ð Ö Ð Ù Ö Ó ÒÐ Ò Ó Ð Ó c Ñ Ð Ö ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ ÐÓ ÜØÖ ÑÓ Ö (a + b) 2 = c (ab) 2. ÖÖÓÐÐ Ò Ó Ð Ù Ö Ó Ð ÒÓÑ Ó Ð ÞÕÙ Ö Ý ÓÖ Ò Ò Ó Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ö Ó Ø Ò a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab. Ò ÐÑ ÒØ ÑÔÐ Ò ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ 2ab Ý Ö ÙÐØ 2.3. Circunferencia a 2 + b 2 = c Ecuación de la circunferencia Ë Ò A = (a, b) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó ÓÒÓ Ó Ð ÔÐ ÒÓ Ý r ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒÓ Ó Ñ ÝÓÖ ÕÙ 0º ÍÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ A Ý Ö Ó r Ð ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ (x, y) Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ð ÕÙ Ù Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ A Ú Ð r Ö C = {P = (x, y) : d(p, A) = r}, ½

52 Ù Ò Ó Ð Ù Ò ¾º½ Ó Ø Ò ÑÓ ÐÙ Ó Ð Ú Ò Ó Ð Ù Ö Ó C = {P = (x, y) : (x a) 2 + (y b) 2 = r}, C = {P = (x, y) : (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 }. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ (a, b) Ý Ö Ó r Ö Ò Ò ¾º Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò µº C : (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. Ö Ð Ù Ö Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÕÙ Ø Ò Ø Ù Ò ÓÖÑ Ö ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò º ÑÔÐÓ x 2 + y 2 = 8 2, Ö (x 0) 2 + (y 0) 2 = 64, ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÓÖ Ò (0, 0) Ý Ö Ó 8. C : x 2 + y 2 2x = Completación de cuadrados perfectos C : x 2 + y 2 2x = 0 È Ö ÔÓ Ö Ú Ö ÕÙ Ø Ú Ñ ÒØ Ø ÐØ ÑÓ ÑÔÐÓ ØÖ Ø ÙÒ ÖÙÒ¹ Ö Ò Ò Ö Ó Ø Ò ÖÒÓ Ô Ö ÔÖ Ò Ö Ð Ñ ØÓ Ó ÓÑÔÐ Ø Ò Ù Ö Ó º ÄÙ Ó Ð Ù Ò Ð ÑÔÐÓ C : x 2 + y 2 2x = 0 ÕÙ Ú Ð ÒØ x 2 + y 2 2x = 0 x 2 2x + y 2 = 0 (x 2 2x + 1) 1 + y 2 = 0 (x 1) 2 + y 2 = 1. Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò (1, 0) Ý Ö Ó r = 1º Ç ÖÚ Ò ½º Ë C ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ù Ò (x a) 2 +(y b) 2 = r 2 ÒØÓÒ Ù Ù Ò ÔÙ Ö Ö (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 x 2 2ax + a 2 + y 2 2by + b 2 = r 2 x 2 + y 2 2ax 2by + (a 2 + b 2 r 2 ) = 0, ¾

53 Ö Ò ÑÓ A = 2a B = 2b C = a 2 +b 2 r 2 Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò Ø Ñ Ò Ö Ö Ð ÓÖÑ x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0. ¾º Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ Ð Ñ ØÓ Ó ÓÑÔÐ Ø Ò Ù Ö ¹ Ó º ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ M = {(x, y) : x 2 +y 2 +Ax+By+C = 0} ÓÒ A, B, C ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ º Ä Ù Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ M ÔÙ Ö Ö x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 x 2 + Ax + y 2 + By + C = 0 x 2 + 2( A 2 )x + y2 + 2( B 2 )y + C = 0 x 2 + 2( A 2 )x + ( A 2 )2 ( A 2 )2 + +y 2 + 2( B 2 )y + ( B 2 )2 ( B 2 )2 + C = 0 (x + A 2 )2 + (y + B 2 )2 + C A2 4 B2 4 + C = 0 (x + A 2 )2 + (y + B 2 )2 = A2 +B 2 4C 4 ÓÒ Ú ÑÓ ÕÙ M ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ ( A 2, B 2 ) Ý Ö Ó A 2 +B 2 4C 2 Ù Ò Ó A 2 + B 2 4C 0º Ë ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó ÐÓ ØÓ A B Ý C Ù Ö Ò Ø Ð ÕÙ A 2 + B 2 4C < 0 ÒØÓÒ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÒÓ Ü Ø Ö Ò Ú ÐÓÖ x y ÕÙ Ø Ò Ð Ù Ò M ÐÙ Ó M ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ú Ó Ý ÕÙ ÒÓ ÔÓ ÑÓ Ö Ö ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ö Ó Ò Ø ÚÓº {(x, y)/(x a) 2 + (y b) 2 > r 2 } Ê ÔÖ ÒØ Ð ÞÓÒ ÜØ Ö ÓÖ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ Ò (a, b) Ý Ö Ó rº

54 Y r b O a X ÑÔÐÓ ¾º¾º {(x, y)/(x a) 2 + (y b) 2 r 2 } Ê ÔÖ ÒØ Ð ÞÓÒ ÒØ Ö ÓÖ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ Ò (a, b) Ý Ö Ó rº