y = f(x) y 1,y 2,y 3,... Ò Ó y i = f(x i )

Transcripción

1 Ô ØÙÐÓ ¾ ËÙ ÓÒ ¾½

2 ¾¾ È ÌÍÄÇ ¾º ËÍ ËÁÇÆ Ë

3 ¾º½º ÈÄ ÆÌ ÅÁ ÆÌÇ Ä ÈÊÇ Ä Å ¾ ¾º½º ÈÐ ÒØ Ñ ÒØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ ÒÓ ÒØ Ö ØÙ Ö Ø ÖÑ Ò Ó Ò Ñ ÒÓ Ó Ñ ÕÙ Ò Ð ØÖ ÑÔÓ Ñ Ò Ø Ó Ö ÓÒ ÕÙ Ñ ÕÙ Ø Ò Ò ÐÙ Ö Ò ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ Ð Ö ÙÔ Ö ÙÒ Ð ÕÙ Ó Øº ÓÒ Ð Ò ØÖÙÑ ÒØ Ð ÔÖÓÔ Ó Ñ ÑÓ Ð Ñ Ò ØÙ ÕÙ ÒÓ ÒØ Ö Ú Ö Ð ÙÖ ¾º½µ ÔÓÖ ÑÔÐÓ ÎÓÐØ ÁÒØ Ò ÓÖÖ ÒØ ÁÒØ Ò ÙÒ ÑÔÓ Ì ÑÔ Ö ØÙÖ ÈÖ Ò ÐØÙÖ Ð Ò Ú Ð ÙÒ Ð ÕÙ Ó º ÙÖ ¾º½ ÅÓ Ð Þ Ò ÅÙ Ú Ò Ö Ó Ö Ø Þ Ö Ð Ñ Ò ØÙ Ó ØÙ Ó ØÓÑ Ò Ó ÙÒ ÑÙ ¹ ØÖ Ù Ú ÐÓÖ Ô Ö ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ö ÐÑ Ò Ó»ØÖ Ø Ó Ò ÓÖ Ò ÓÖº Î Ö Ð ÙÖ ¾º¾µ ÙÖ ¾º¾ Ö Ø Þ Ò y = f(x) y 1,y 2,y 3,... Ò Ó y i = f(x i )

4 ¾ È ÌÍÄÇ ¾º ËÍ ËÁÇÆ Ë Ð ÓÖ Ò ÓÖ Ø Ò Ñ ÑÓÖ Ò Ø ÒÓ ÔÙ ÐÑ Ò Ö ØÓ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ f(x) Ô Ö x [a,b] ÔÙ ÔÙ Ò Ö Ò Ò ØÓ Ô ÖÓ ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö ÙÒ ÑÙ ØÖ y 1 = f(x 1 ),y 2 = f(x 2 ),y 3 = f(x 3 ),,y n = f(x n ) Î ÑÓ ÙÒÓ ÑÔÐÓ ½º Ð ÒØ ÑÓ ÙÒ ÖÖ Ñ Ø Ð Ý ÕÙ Ö ÑÓ ØÙ Ö Ò Ò Ø ÒØ t Ð ØÖ Ù Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó x Ô Ö ÐÐÓ Ñ ÑÓ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÑÔÓ t Ó Ø Ò Ò Ó Ð Ù Ò T 1,T 2, Ú Ö Ð ÙÖ ¾º µ ÙÖ ¾º ÑÔÐÓ ½ ¾º Å ÑÓ Ð Ú ÐÓ ÙÒ Ú ÙÐÓ Ò ÐÓ Ò Ø ÒØ t 1,t 2,t 3, Ó Ø Ò Ò Ó Ð ¹ Ù Ò v 1,v 2,v 3, Ú Ö Ð ÙÖ ¾º µ ÙÖ ¾º ÑÔÐÓ ¾ º Ä Ú Ö Ò Ð Ñ Ò ØÙ ÒÓ ÑÔÖ Ñ Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓº ÈÓÖ ÑÔÐÓ ØÙ ÑÓ Ð Ü Ò ÙÒ Ú Ð ÓÐÓ Ö Ú Ö Ñ Ú Ö Ð ÙÖ ¾º µ ÙÖ ¾º ÑÔÐÓ Î ÑÓ ÙÑ ÒØ Ò Ó m Kg Ú Þ Ý ØÙ ÑÓ Ð Ù Ò d 1,d 2,d 3, Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÙÑ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º Î ÑÓ Ò Ö Ø ÓÒ ÔØÓ ÓÖÑ Ò Ö Ð

5 ¾º¾º ÁÆÁ Á Æ Ä ËÍ ËÁ Æ ¾ Ò Ò ¾º½ ÍÒ Ù Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÙÑ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð {x 1,x 2,x 3,x 4,x 5, } = {x n } n N ÓÖ ÒÓ ÔÐ ÒØ ÑÓ Ð Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ØÙ Ö Ð ÔÖÓÔ {x n } Ñ ÕÙ Ð Ò n N Ú ÙÑ ÒØ Ò Óº Ë Ø ÖÑ Ò ÑÓ Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ {x n } Ó ÒÓ Ò ÓÖÑ Ò Ó Ö ÑÓ ÓÑÔÓÖØ Ð Ò Ñ ÒÓ Óº Ë Ò Ñ Ö Ó Ý ÕÙ Ö Ù Ó Ó Ò Ð ÑÓ Ó ÑÙ ØÖ Ö Ð ÙÒ Ò ÔÓÖÕÙ ÐÓ Ö ÙÐØ Ó ÔÙ Ò Ö ÕÙ ÚÓ Ó ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ú Ö Ð ÙÖ ¾º µ ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ ÒÓ ÒØ Ö Ñ Ö Ð ÑÔÐ ØÙ ÙÒ Ð A(t)º ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ ÑÙ ØÖ ÑÓ Ò ÐÓ Ò Ø ÒØ ÙÖ ¾º Ë Ð A(t) = 3 sen(t) t 1 = π 2,t 2 = π 2 + 2π,,t n = π 2 + 2πn Ë Ð Ð Ù A(t) = C sen t Ð Ó ÖÚ ÓÒ Ö Ò A(t 1 ) = A(t 2 ) = = A(t n ) = C ÑÓ Ó ÕÙ ÒÙ ØÖ ÓÒÐÙ Ò Ö ÕÙ A(t) = C Ô Ö ØÓ Ó t ÐÓ Ù Ð ÒÓ ÖØÓº ÈÓÖ Ó Ð Ø Ô ÑÙ ØÖ Ó ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ º ÆÓ Ú ÑÓ ÒØÖ Ö Ò ÐÐÓ Ô ÖÓ Ü Ø Ò Ö ÙÐØ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó ÕÙ ÒÓ Ò ÑÓ ¹ ØÙ Ö Ð ÑÙ ØÖ Ó ÙÒ Ð f(t) ÑÓ Ó ÕÙ Ð Ù Ò ÑÙ ØÖ f(t 1 ),f(t 2 ),f(t 3 ), ÓÑÔÓÖØ ÙÒ ÑÓ Ó Ô Ö Ó f(t) ÈÖÓ Ñ ÒØÓ Ø Ð Ë Ð µº ÆÓ ÓØÖÓ Ú ÑÓ ÙÔÓÒ Ö ÕÙ Ð Ù Ò {x n } Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú Ð Ò Ñ ÒÓ ØÙ Öº Ê Ù Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ÑÓ ÔÐ ÒØ Ó ØÙ Ö Ð ÔÖÓÔ {x n }º ¾º¾º Ò Ò Ð Ù Ò Ô ÖØ Ö Ù Ú ÐÓÖ ÒÙÑ Ö Ó ÔÓÖ ÑÔÐÓ ÔÓ Ö ØÖ Ø Ö Ñ ÓÒ Ð Ó¹ Ö ØÓÖ Ó {x n } = {x 1 = 2.5,x 2 = 2.51,x 3 = 2.513,x 4 = , }

6 ¾ È ÌÍÄÇ ¾º ËÍ ËÁÇÆ Ë Ô ÖØ Ö Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ò Ö Ð Ö Ð Ö Ð ÕÙ ÒÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö x n Ô Ö n Nº ÈÓÖ ÑÔÐÓ { m 2 Ñ Ô Ö x n = 1 n, y n = ln n n, y m = 1 m Ñ ÑÔ Ö ÈÓÖ Ö ÙÖÖ Ò Ð Ø ÖÑ ÒÓ y n Ó Ø Ò Ô ÖØ Ö ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ º ¾º º ÈÖÓÔ ÒØ Ö ÒØ Ð Ù ÓÒ Ð ÙÒÓ Ø ÔÓ Ù ÓÒ ÔÙ Ò ÖÚ ÖÒÓ Ô Ö Ò Ð Þ Ö Ö ÒØ Ø ÔÓ ÓÑÔÓÖ¹ Ø Ñ ÒØÓ º Î ÑÓ Ð ÙÒ Ù ÓÒ {x n } = {3,3.1,3.14,3.141,3.1415, , , } Ú Ö Ð ÙÖ ¾º µ ÙÖ ¾º Ì Ò π Ö Ó ¾º½ ÜÔÐ ÓÒ ØÙ ÔÖÓÔ Ô Ð Ö ÕÙ ÔÖÓÔ ÔÙ Ò ÖÚ Ö Ô Ö Ö Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓº È Ò Ø Ñ Ò ÕÙ ÑÓ Ó ÔÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ù Ú ÐÓÖ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ú ÑÓ Ò Ó Ò ÙÒ ÓÐ º ÑÓ Ó Ò Ú Þº Ä ÔÖ ÙÒØ úù ÒØ Ò Ö Ò Ð ÓÐ Ò ÑÓÑ ÒØÓ º Ë y n Ð Ò Ñ ÖÓ Ò Ò Ð Ò Ø ÒØ n ÒØÓÒ y n = y n n = 2,3, y 2 = y y 3 = y y 4 = y Ë Ò Ñ Ö Ó Ø Ò Ö ÑÓ ÕÙ Ô Ö Ð Ò Ñ ÖÓ Ò ÕÙ Ò ÐÑ ÒØ Ò Ð ÓÐ ØÓ Ð Ú ÐÓÖ y 1 º ÍÒ Ú Þ ÓÒÓ Ó y 1 Ý ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ò Ö ØÓ Ó ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ù Ò Ú Ö Ð ÙÖ ¾º µ y 1 y 2 = y y 3 = y 2 + 2

7 ¾º º ÈÊÇÈÁ Ë ÁÆÌ Ê Ë ÆÌ Ë Ä Ë ËÍ ËÁÇÆ Ë ¾ ÙÖ ¾º Æ Ñ ÖÓ Ò Ò Ò Ö Ð Ð Ù Ò Ò Ò ÑÓ Ó Ö ÙÖÖ ÒØ Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ y n = F(y n 1 ) n = 2,3, Ò Ó y 1 ÙÒ Ú ÐÓÖ ÓÒÓ Óº ÆÓ Ó Ø ÒØ Ø Ò Ò ÔÙ ÑÔÐ Ö ÓÑÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ò Ð Ù Ò ÓÒ Ò Ð ÓÖÑ y 1 = 1,y 2 = 1,y n = y n 1 + y n 2 n > 2 y 3 = y 1 + y 2, y 4 = y 2 + y 3, Ò Ð ÕÙ Ò Ö Ó ÓÒÓ Ö ÐÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑ ÒÓ º { {y n } = } = {0, n, , }, n 1 ÙÑÔÐ Ð ØÖ ÔÖÓÔ Ù ÒØ Ð Ó ÖÚ Ö ÕÙ y n y n 0 n N {y n } Ö ÒØ {y n } Ø ÓØ y n [ 1,0] n N Ñ Ò Ö ÓÖÑ Ð Ö Ö Ò È Ö y n Ö ÒØ y n+1 > y n n N Ö ÒØ y n+1 < y n n N ÓØ p,q R p y n q n N ÄÓ Ò Ñ ÖÓ p Ý q ÒÓ ÓÒ Ò Ó Ý ÐÐ Ñ Ò ÓØ µ n < n n > 1 n n > n + 1 y n+1 < y n Ö ÒØ µ n N 1 y n 0 p = 1,q = 0 ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ Ö Ó ¾º¾ È Ö ÙÒ Ð Ù ÒØ Ù ÓÒ ØÙ Ö Ú Ö Ð ÙÒ Ð ØÖ ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ

8 ¾ È ÌÍÄÇ ¾º ËÍ ËÁÇÆ Ë u n = n 2 v n = 2n + 1 z k = ( 1) k 1 k x w x = 1 x ØÙ ÖÐ ÓÒ Ø Ò Ñ ÒØÓµ x Ô Ö x ÑÔ Ö x N y n = a n a R Ö Ó ¾º Ê ÞÓÒ Ö Ð ÖÑ ÓÒ {x n } Ö ÒØ» Ö ÒØ {a x n } a R Ö ÒØ» Ö ÒØ {x n } ÓØ {a x n } a R ÓØ ¾º º ÓÒÚ Ö Ò Ù ÓÒ ØÙ Ò Ó Ð Ù ÓÒ u n = 1 n ; y n = 2n n + 1 ; z n = n 2 2n 2 + 3n + 1 ÒÓÒØÖ ÑÓ ÙÒ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÓÑ Ò ÙÒ ÐÐ Ø Ò ÙÒ ÖØÓ Ú ÐÓÖ Ö ¹ Ø Ö Ø Ó l Ñ ÕÙ n ÙÑ ÒØ Ð Ø Ò ÒØÖ Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ò¹ ÑÓ Ð Ù Ò Ý l Ú Þ Ñ ÒÓÖº Ú Ö Ð ÙÖ ¾º µ ÙÖ ¾º ËÙ Ò {1/n} Ò ÓØÖ Ô Ð Ö ÔÓÖ ÑÙÝ Ô ÕÙ ÕÙ Ð Ø Ò d ÕÙ ØÓÑ ÑÓ l ÐÐ ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÕÙ ØÓ Ó ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ù Ò Ø Ò Ò Ñ Ö l ÈÓÖ ÑÔÐÓ u n = 1 n Ú Ö Ð ÙÖ ¾º½¼µ ÙÖ ¾º½¼ ÈÖÓÜ Ñ Ð Ð Ñ Ø ÌÓÑÓ d = 0.4 Ô ÖØ Ö n = 3 ØÓ Ó ÐÓ Ù ÒØ Ø ÖÑ ÒÓ Ø Ò Ñ Ö 0 ÕÙ 0.4

9 ¾º º ÇÆÎ Ê Æ Á ËÍ ËÁÇÆ Ë ¾ Ñ Ó Ð Ú ÐÓÖ d Ôº º d = n < 0.05 n > = 20º Ô ÖØ Ö Ð Ø ÖÑ ÒÓ 21 ØÓ Ó ÐÓ Ù ÒØ Ø ÖÑ ÒÓ Ø Ò Ñ Ö 0 ÕÙ d = 0.05º Î ÑÓ ÓØÖÓ ÑÔÐÓ {x n } = {( 1) n 1 { n } = 1, 1 2, 1 3, 1 } 4, 1 5, Ú Ö Ð ÙÖ ¾º½½µ ÙÖ ¾º½½ ÇØÖÓ ÑÔÐÓ ÄÓ Ø ÖÑ ÒÓ x n Ø Ò Ñ Ó Ð Ó l = 0 Ô ÖÓ Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð Ñ ÑÓº ÈÓÖ ÑÙÝ Ô ÕÙ ÕÙ Ð Ø Ò d ÕÙ ÒÓ ÑÓ l ÐÐ ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÕÙ ØÓ Ó ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ù ÒØ Ð Ù Ò ÒÙ ÒØÖ Ò ÙÒ Ø Ò Ñ ÒÓÖ ÕÙ dº ØÙ ÑÓ Ø ÓÒ Ò Ò y m = 0.5, 0.05, 0.01, m m + 1 Ó d > 0 ØÖ Ø ÒÓÒØÖ Ö m Ø Ð ÕÙ Ý l = 2 Ô Ö Ð ÙÒ Ø Ò d = 2m > 2 d Ú Ö Ð ÙÖ ¾º½¾µ m + 1 ÙÖ ¾º½¾ Ç Ø Ò Ò m ÓÑÓ m m + 1 < 1 y m < 2 m N 2 d < 2m d>0 2m + 2 dm d < 2m 2 d < dm m > 2 d = 2 m + 1 d d 1 Ë d = 0.5 ÒØÓÒ m > = 3 Ë d = Ö m > = 1999 ÓÖ Ú ÑÓ Ö Ö ÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ð ÓÒ ÔØÓ ÓÒÚ Ö Ò Ð Ù Ò {x n } l ε > 0 n 0 N n N, n > n 0 x n (l ε,l + ε) ÓÒ ÐÓÕÙ ÐÓ ÔÓ ÑÓ Ð Ö Ð ÓÖÑ Ù ÒØ

10 ¼ È ÌÍÄÇ ¾º ËÍ ËÁÇÆ Ë ÔÓÖ ÑÙÝ Ô ÕÙ ÕÙ Ð Ø Ò ÕÙ ØÓÑ ÑÓ l... ÐÐ ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ Ö Ü Ø ÙÒ Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ù Ò Ø Ð ÕÙ... ØÓ Ó ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ô ÖØ Ö Ð... Ø Ò ÙÒ Ø Ò l Ñ ÒÓÖ ÕÙ ε Ö Ò ÒØÖÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (l ε,l + ε) Ú Ö Ð ÙÖ ¾º½ µ ÙÖ ¾º½ Ò Ò Ð Ñ Ø Ö Ó ¾º úéù ÒÓÑ Ö Ö ÕÙ ÔÓ Ö ÑÓ ÖÐ Ð Ò Ñ ÖÓ l Ö Ó ¾º y r = Ö Ñ ÒØÓ ÓØ Ò r2 r ØÙ Ö ÓÒÚ Ö Ò ÖØÓ Ú ÐÓÖ l Ö Ó ¾º ØÙ Ö ØÓ Ð ÔÖÓÔ ÕÙ ÑÓ Ò Ó Ò ÐÓ Ù ÒØ ÑÔÐÓ Ù ÓÒ º Ê ÔÖ ÒØ ÖÐ Ö Ñ ÒØ º 1 n Ô Ö ½º x n = 1 n ÑÔ Ö n 3 n 10 6 ¾º y n = 1 n > 10 6 n n 2 n 10 6 º z n = n > 10 6 n º u n = r n r R Ö Ó ¾º Ö Ö ÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ð ÓÒ Ò ÕÙ l ÒÓ Ð Ñ Ø Ð Ù Ò {x n }º

11 ¾º º ÈÊÇÈÁ Ë Ä Ë ËÍ ËÁÇÆ Ë ÇÆÎ Ê ÆÌ Ë ½ ¾º º ¾º º½º ÈÖÓÔ Ð Ù ÓÒ ÓÒÚ Ö ÒØ ÍÒ Ð Ð Ñ Ø ú ÔÓ Ð ÕÙ Ý Ó Ð Ñ Ø Ø ÒØÓ Ú Ö Ð ÙÖ ¾º½ µ lím x n = l 1, n lím n x n = l 2 l 1 l 2 ÙÖ ¾º½ Ð Ð Ñ Ø Ò Ó È Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ØÓ Ð Ó ÔÓÖ Ð Ñ ØÓ Ó Ö Ù Ò Ð ÙÖ Ó Ð ØÖ Ø ÌÓÑ Ö ÙÒ ε ÐÓ Ø ÒØ Ô ÕÙ Ó ( Ô Ö ÕÙ ) ÐÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ (l 1 ε,l 1 + ε) Ý (l 2 ε,l 2 + ε) ÒÓ Ø Ò Ò ÔÙÒØÓ ÓÑÙÒ ε l 1 l 2 2 º ÒÓÒØÖ Ö n 0 N n n 0, x n (l 1 ε,l 1 + ε) Ý x n (l 2 ε,l 2 + ε) ÐÓ Ù Ð ÑÔÓ Ð ÙÖ Óµº ¾º º¾º ÓÒÚ Ö Ò ÓÔ Ö ÓÒ ÒØÖ Ù ÓÒ Ë Ò {x n } l 1, {y n } l 2 º È Ö ÕÙ ÔÓ ÑÓ Ô Ö Ö 1. lím n {x n + y n } = l 1 + l 2 2. lím n {x n y n } = l 1 l 2 3. lím {kx n} = k l 1 n } 4. lím n { xn y n = l 1 l 2 Ò Ó y n 0, n N Ý l 2 0 Ä Ù ØÖÓ ÑÔÖ ÓÒ ÖØ º Î ÑÓ ÐÓ Ó ½ Ý ½µ Ú Ö Ð ÙÖ ¾º½ µ ÙÖ ¾º½ Ä Ñ Ø Ð ÙÑ Ó Ù ÓÒ

12 ¾ È ÌÍÄÇ ¾º ËÍ ËÁÇÆ Ë Ó ε > 0 Ù ÑÓ n 0 N Ø Ð ÕÙ n > n 0 x n + y n (l 1 + l 2 ε,l 1 + l 2 + ε) l 1 + l 2 ε < x n + y n < l 1 + l 2 + ε ¾º½µ Ó d > 0 n 1 N n > n 1 n 2 N n > n 2 l 1 d < x n < l 1 + d l 2 d < x n < l 2 + d ÌÓÑ Ò Ó n 0 = máx{n 1,n 2 } Ý ÙÑ Ò Ó Ñ Ò Ù ÓÒ n > n 0 l 1 + l 2 2d < x n < l 1 + l 2 + 2d Ý ÓÒ Ù ÑÓ ¾º½µ ØÓÑ Ò Ó d = ε 2 µ Ó ε > 0 Ù ÑÓ ÙÒ n 0 N Ø Ð ÕÙ n > n 0 k l 1 ε < k x n < k l 1 + ε ¾º¾µ Ó d > 0 n 0 N n > n 1 l 1 d < x n < l 1 + d ¾º µ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ¾º µ Ò ¾º¾µ Ë k > 0 k l 1 k d < k x n < k l 1 + k d Ý ÓÒ Ù ÑÓ ¾º¾µ ØÓÑ Ò Ó d = ε k Ë k < 0 k l 1 k d > k x n > k l 1 + k d k l 1 + k d < k x n < k l 1 k d Ý ÓÒ Ù ÑÓ ¾º¾µ ØÓÑ Ò Ó d = ε k > 0 Ú Ö Ð ÙÖ ¾º½ µ ÙÖ ¾º½ Ñ Ó Ð Ö Ó ¾º Ë {w n = x n + y n }, {z n = x n y n }, {u n = kx n } ÓÒ ÓÒÚ Ö ÒØ úø Ñ Ò ÐÓ ÓÒ {x n } {y n }

13 ¾º º ËÌÁÅ Á Æ Ä Ä ÅÁÌ ÍÆ ËÍ ËÁ Æ ÇÆÎ Ê ÆÌ ¾º º º ÓØ Ò ØÙ ÑÓ ÓÖ Ù Ð Ð Ö Ð Ò ÒØÖ ÓØ Ò Ý ÓÒÚ Ö Ò º Ò ÓÒÖ ØÓ ½º Ë {x n } ÓØ ú ÑÔÖ ÓÒÚ Ö ÒØ ¾º Ë {x n } ÓÒÚ Ö ÒØ ú ÑÔÖ ÓØ Ö Ó ¾º ØÙ Ö Ñ ÔÖÓÔ Ò Ð Ù Ò x n = ( 1) n º úéù ÓÒÐÙ Ò Ó Ø Ò ÑÓ Ö Ó ¾º½¼ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓÔ ¾µ ÑÔÖ ÖØ ÑÔÐ Ò Ó Ð Ù ÒØ ØÖ Ø ½º ÓØ Ö ØÓ Ó ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ò (l ε,l + ε) Ö ØÓ Ó ÐÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÐÐÓ º ¾º ÓØ Ö Ð Ö ØÓ ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ò Ó ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓº Ö Ó ¾º½½ ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ {x n } ÓÒÚ Ö ÒØ {x n } ÓØ È ÖÓ úõù ÔÓ ÑÓ ÙÖ Ö {x n } ÆÇ ÓØ Ò Ò Ö Ð ÑÓ ÑÓ ØÖ Ó ÙÒ ÑÔÐ Ò È É úõù ÓÙÖÖ ÒÓ ÒÓÒØÖ ÑÓ ÓÒ ÙÒ ÑÔÐÓ Ò Ð ÕÙ É ÒÓ ÖØ ¾º º Ø Ñ Ò Ð Ð Ñ Ø ÙÒ Ù Ò ÓÒÚ Ö ÒØ Ë lím n x n = l Ô Ö Ö ÕÙ Ô Ö ÙÒ Ú ÐÓÖ n Ú ÒÞ Ó l x n º ÓÖ Ò úõù Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ n Ú ÒÞ Ó úèóö ÑÔÐÓ n = 1000, º Ë ØÖ Ø ÙÒ Ù Ø Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÖÕÙ Ø ÑÓ ÐÙÐ Ò Ó ÓÖÑ ÔÖÓÜ Ñ Ð Ð Ñ Ø l {x n } Ñ ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ò ÓÖ Ö ÕÙ Ò Ö Ð Ò ÑÓ Ó Ð Ò Ó n Ú ÒÞ Ó Ö ÕÙ Ô Ö Ð Ò ÑÓ Ó ÕÙ ÓÒ Ò ÙÑÔÐ Ö Ô Ö ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ò Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ñ Ö Ø Ö Ó Ô Ö º Î ÑÓ ØÖ Ö Ø Ö Ó Ô Ö ÕÙ ÔÓ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ö Ø Ö Ó ½ ÐÙÐ Ö x k Ò Ó k ÙÒ Ú ÐÓÖ ÔÖ Ø ÖÑ Ò Ó (100,1000,100000, ) Ö Ø Ö Ó ¾ Ó ε > 0 Ø Ò Ö ÐÓ ÐÙÐÓ Ù Ò Ó x n x n 1 < ε Ö Ø Ö Ó Ó ε > 0 Ø Ò Ö ÐÓ ÐÙÐÓ Ù Ò Ó x n x n 1 = x n 1 x n 1 < ε È ÖÓ Ù Ó Ð Ó { ÕÙ x n x n 1 0 ÒÓ ÙÖ Ð ÓÒÚ Ö Ò {x n }º ÈÓÖ ÑÔÐÓ {x n } = } Ú Ö Ý Ò Ñ Ö Ó x n x n 1 0 n x n

14 È ÌÍÄÇ ¾º ËÍ ËÁÇÆ Ë Î ÑÓ ÕÙ {x n } Ú Ö + x n = > > = = , úôù ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ x n x n 1 0 ¾º º Ì ÓÖ Ñ Ð ÓÒÚ Ö Ò ÑÓÒ ØÓÒ ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ {z n } ÙÒ Ù Ò Ö ÒØ º ØÓ ÒÓ ÙÒ ÓÒ Ò Ò Ö Ò Ù ÒØ Ô Ö Ò Ö Ð Þ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò º ú ÓÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ØÓ ÖØÓ È Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ÙÒ ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ò Ö Ð ÆÓ ÔÓ ÑÓ ÑÔÐ Ö ÑÔÐÓ Ò ÐÓ ÕÙ ÔÖÓÔ ÙÑÔÐ º À Ý ÕÙ ÖÐÓ ÑÓ Ó Ò Ö Ð Ô ÖØ Ò Ó ÙÒ Ù Ò Ù ÐÕÙ Ö º È Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ÙÒ ÔÖÓÔ ÒÓ ÑÔÖ ÖØ Ø ÓÒ ÒÓÒØÖ Ö ÙÒ Ó Ò Ð ÕÙ ÒÓ ÖØ ÙÒ ÓÒØÖ ÑÔÐÓº Ö Ó ¾º½¾ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔ ÒÓ ÓÒ ÖØ Ò Ò Ö Ð È½ È Ö ÕÙ {x n } ÓÒÚ Ö ÒØ Ò Ö Ó ÕÙ {x n } Ö ÒØ º È¾ Ë {x n } Ö ÒØ ÒØÓÒ ÓÒÚ Ö ÒØ º ÔÙ ÐÓ ÑÓ ÕÙ x n Ö ÒØ ÒÓ ÔÓ ÑÓ Ö Ò Ù ÓÒÚ Ö Ò º ÓÖ ÒÓ ÔÖ ÙÒØ ÑÓ úéù ÓÒ Ò Á ÁÇÆ Ä ÒÓ Ô ÖÑ Ø ÙÖ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò¹ º Î ÑÓ Ð ÙÒÓ ÑÔÐÓ ÑÔÐÓ ½ x n = 1 1 n Ö ÒØ Ý ÓÒÚ Ö ÒØ y n = 2n + 1 Ö ÒØ Ý ÒÓ ÓÒÚ Ö º úéù Ð Ö Ò º Ð ÓÑÔÖÓ Ö ÕÙ {x n } Ø ÓØ ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ Ñ ÒØÖ ÕÙ {y n } ÒÓº Ò Ò Ö Ð ÔÙ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÒ ÓÒ Ö ÒØ Ý ÓØ ÒÓ ÙÖ Ò Ð ÓÒÚ Ö Ò º ÓÖ Ò úù Ð Ö Ð Ð Ñ Ø Ú Ö Ð ÙÖ ¾º½ µ ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ú Ö Ð ÙÖ ¾º½ µ x n = 1 1 n l = 1 Ð Ð Ñ Ø Ý Ñ Ð Ñ ÒÓÖ Ð ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ ÙÔÖ ÑÓµº Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ò Ñ ÖÓ 1 ε ÒÓ ÔÙ Ö ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ ÔÓÖÕÙ ÓÑÓ x n Ö ÒØ ÐÐ ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ

15 ¾º º Ì ÇÊ Å Ä ÇÆÎ Ê Æ Á ÅÇÆ ÌÇÆ ÙÖ ¾º½ ËÙ Ò Ö ÒØ Ý ÓØ Ò ÕÙ x n > 1 ε Ö ÙÔ Ö Ð ÓØ º ÈÙ Ò Ø Ö ÙÐØ Ó ÖØÓ Ø Ñ Ò Ò Ò Ö Ð Ý ÓÒÓ ÓÒ Ð ÒÓÑ Ö Ì ÓÖ Ñ Ð ÓÒÚ Ö Ò ÑÓÒ ØÓÒ Ú Ö Ð ÙÖ ¾º½ µ ÙÖ ¾º½ Ð ÙÔÖ ÑÓ Ð Ð Ñ Ø Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ð ÓÒÚ Ö Ò ÑÓÒ ØÓÒ µ Ë {x n } Ö ÒØ Ý ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ¹ Ñ ÒØ ÒØÓÒ {x n } ÓÒÚ Ö ÒØ º Ñ Ù Ð Ñ Ø Ð ÙÔÖ ÑÓ {x n }º Ö Ó ¾º½ ÒÙÒ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ô Ö Ù ÓÒ Ö ÒØ º ÒÓÒØÖ Ö ÑÔÐÓ ÔÐ Ò Ð Ø ÓÖ Ñ º ( ÑÔÐÓ 1 + n) 1 n Ë ÔÙ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ö ÒØ Ý ÓØ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÓÒ¹ Ú Ö ÒØ º Ø Ñ ÑÓ Ù Ð Ñ Ø x 1 = 2, x 2 = 2.25, x 3 = 2.37, x 10 = 2.59, x 100 = 2.704, x 1000 = 2.717, ÓÑÓ Ú ÓÒÚ Ö ÑÙÝ Ð ÒØ Ñ ÒØ µº Î ÑÓ ÓØÖ ÓÖÑ ÐÙÐ ÖÐÓ Ò Ð ÜÔÖ Ò l = lím n ( n) n ØÓÑ ÑÓ ÐÓ Ö ØÑÓ Ò Ô Ö ÒÓ Ð Ö ln(x) ÙÒ Ò ÓÒØ ÒÙ Ý Ö ÒØ Ô Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ ÕÙ ØÓÑ Ð Ù Ò Ð ÐÓ Ö ØÑÓ Ý Ð Ð Ñ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ñ Ð µ Ý ÕÙ ) 1 ( ) 1 n 2 ( ( ln l = lím n ln ) ln = lím n n n n 1 n ØÓÑ ÑÓ Ò Ö Ð ÔÐ ÑÓ Ä³ÀÔ Ø Ð = lím n n Ý Ø Ò ÑÓ ln l = 1 l = e 1 = e Ñ ÒÓÖ Ð ÓØ ÙÔ Ö ÓÖ ÙÔÖ ÑÓº = 1 1 n 2

16 È ÌÍÄÇ ¾º ËÍ ËÁÇÆ Ë ¾º º Ú Ö Ò ± ÙÒ Ù Ò Ö Ó ¾º½ ÓÒ Ö Ð Ù ÒØ Ù ÓÒ x n = n, y n = n 2, z n = e n, w n = n!, p n = ln n q n = 1 n ÑÙ ØÖ ÕÙ ÙÑÔÐ ÐÓ Ù ÒØ n 3 Ò Ô Ö Ò ÑÔ Ö È Ö x n,,p n : M R, n 0 N n > n 0 x n > M È Ö q n : Ø ÓÒ Ò ÒÓ ÖØ ÐÓ ÔÓ ÑÓ Ö ÕÙ ÆÓ ÓØ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÒÓ ÓÒÚ Ö µ ÈÙ Ò Ý ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ó ÒÙ ÚÓ ÓÒ ÔØÓ Ò Ò ¾º¾ Ö Ö ÑÓ lím x n = n ÙÑÔÐ M R, n 0 N n n 0 x n > M Ú Ö Ð ÙÖ ¾º½ µ ÙÖ ¾º½ ËÙ Ò ÒÓ ÓØ ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ ÓÖÑ Ò ÐÓ Ò Ò ¾º Ö Ö ÑÓ lím y n = n ÙÑÔÐ M R, n 0 N n n 0 y n < M Ú Ö Ð ÙÖ ¾º¾¼µ Ö Ó ¾º½ ÙØ Ö Ð Ù ÒØ ÑÔÐÓ x n = { 1 Ò Ô Ö n 2 Ò ÑÔ Ö

17 ¾º º ÁÎ Ê Æ Á À Á ± ÍÆ ËÍ ËÁ Æ ÙÖ ¾º¾¼ ËÙ Ò ÒÓ ÓØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ¾º º½º ÓÑÔ Ö Ò Ð Ú ÐÓ Ö Ñ ÒØÓ À ÑÓ Ú ØÓ ÑÔÐÓ Ù ÓÒ Ø Ð ÕÙ Ù Ð Ñ Ø Ò Ò ØÓ x n = n; y n = n 2 + 1; u n = e n ; v n = n 3 º ÙÒÕÙ Ð Ù ØÖÓ Ú Ö Ò ÒÓ ÐÓ Ò ÓÒ Ð Ñ Ñ Ú ÐÓ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ô Ö n ÐÓ Ø ÒØ Ú ÒÞ Ó Ð Ú ÐÓÖ x n ÑÙ Ó Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð y n,u n Ý v n º Ø ÔÖÓÔ Ð ÒÓØ ÑÓ Ø ÑÓ Ó x n << y n, x n << u n, x n << v n Ë Ò Ñ Ö Ó ØÖ Ø ÑÓ ÓÑÔ Ö Ö y n Ý u n u n Ý v n úù Ð ÐÐ Ø Ò Ö ÙÒ ÓÖ Ò Ñ ÝÓÖ Ú Ö Ò º ú ÑÓ ÔÓ ÑÓ Ò Ò Ö Ð ÓÑÔ Ö Ö ÐÓ Ö Ò Ú Ö Ò Ó Ù ÓÒ a n Ý b n º Ä ÓÒ Ø Ò ØÙ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò Ð Ù Ò Ó ÒØ Ñ º a n lím = n b n {a n } Ñ ÝÓÖ ÓÖ Ò 0 {b n } Ñ ÝÓÖ ÓÖ Ò k 0 ÓÒ Ñ Ð Ñ ÑÓ ÓÖ Ò Ö Ó ¾º½ ÓÑÔ Ö Ö ÐÓ Ö Ò Ö Ñ ÒØÓ Ò Ò ØÓ Ð Ù ÓÒ n p (p R), ln(n), e n, n!, n n ¾º º¾º Ð Ó Ñ Ó Ö Ð Ù ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ Ê Ù Ö Ú Ö Ð ÔÙÒØÓ ¾º¾µµ ÕÙ ÙÒ Ù Ò Ö ÙÖÖ ÒØ ÕÙ Ò Ñ ÒØ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ ÒÓ x 1 Ý ÙÒ ÜÔÖ Ò ÓÒ Ð ÕÙ Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ø ÖÑ ÒÓ x n+1 Ô ÖØ Ö x n º Ö x n+1 = f(x n ),n 1,x 1 R Ú Ö Ð ÙÖ ¾º¾½µ Î ÑÓ ÙÔÓÒ Ö ÕÙ f(x) ÙÒ ÙÒ Ò ÓÒØ ÒÙ Ý ÕÙ l = lím n x n º ÒØÓÒ ( ) x n+1 = f(x n ) lím x n+1 = lím f(x n) = f lím x n+1 l = f(l) n n n ÔÙ Ð Ú ÐÓÖ l ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓÖØ ÒØÖ Ð ÙÒ ÓÒ y = x y = f(x)º Ç ÖÚ Ò Ð ÙÖ ¾º¾½ ÑÓ Ú Ò Ó Ø Ò Ò Ó ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ù Ò x n ÕÙ ÓÒÚ Ö lº

18 È ÌÍÄÇ ¾º ËÍ ËÁÇÆ Ë ÙÖ ¾º¾½ ËÙ ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ ÑÔÐÓ ¾º½ Ò ÑÓ Ð Ù ÒØ Ù Ò Ö ÙÖÖ ÒØ a n+1 = 3 a 2 n Ò Ó a 1 > 0º Ò Ø Ó f(x) = 3x 2 ÑÓ Ó ÕÙ a n ÓÒÚ Ö ÒØ Ù Ð Ñ Ø l Ú Ö Ö Ð Ù Ò x = 3x 2 x = 0 x = 1 3 ÈÓÖ ÑÔÐÓ a 1 = 1 5 a 2 = 3 25 = 0.12 a 3 = = a 4 = ÓÒÚ Ö 0 Ò Ñ Ó a 1 = 1 2 a 2 = 3 4 = 0.75 a 3 = = 1.69 a 4 = 8.54 Ú Ö ÓÖ ÒÓ ÔÖ ÙÒØ ÑÓ úôóö ÕÙ Ô Ö ÙÒ Ú ÐÓÖ ÖÖ ÒÕÙ a 1 Ð Ù Ò ÓÒÚ Ö Ý Ô Ö ÓØÖÓ ÒÓ Ç ÖÚ Ð ÙÖ ¾º¾¾º À ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ð Ö y = 3x 2 y = xº ÍØ Ð Þ Ð Ô Ö ÓÑÔÖÓ Ö ÕÙ Ð Ù Ò a n ÓÒÚ Ö 0 Ù Ò Ó a 1 [0,1/3] Ô ÖÓ Ú Ö a 1 > 1/3º Ä ÜÔÐ Ò ÔÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð ÙÒÓ Ú ÐÓÖ a 1 Ð Ù Ò ÓÒÚ Ö Ý Ô Ö ÓØÖÓ Ú Ö Ð ÒÓÒØÖ ÑÓ Ò ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ÕÙ ØÙ Ö ÑÓ Ñ Ø Ò Ñ ÒØ Ò Ð Ø Ñ 4 Ð ØÖ Ø Ö Ð Ì ÓÖ Ñ Ð ÔÙÒØÓ Ó ÕÙ ÒÓ ÓÒ ÓÒ Ù ÒØ ÙÒÕÙ ÒÓ Ò Ö µ Ô Ö ÙÖ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò a n Ì ÓÖ Ñ Ð ÔÙÒØÓ Ó Ë f(x) ÓÒØ ÒÙ Ò [a,b] Ý f(x) [a,b] ÒØÓÒ Ü Ø ÙÒ ÔÙÒØÓ l [a,b] Ø Ð ÕÙ l = f(l)º

19 ¾º º ÁÎ Ê Æ Á À Á ± ÍÆ ËÍ ËÁ Æ ÙÖ ¾º¾¾ y = 3x 2 y = x Ò ÒÙ ØÖÓ Ó f(x) = 3x 2, x [0,1/3], f(x) [0,1/3] ÐÙ Ó Ü Ø Ð Ò ÔÙÒØÓ Ó Ò [0,1/3] Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò ÑÔÖ ÓÒÚ Ö ÒØ º Ð Ð Ñ Ø ÐÓ ÔÙ Ö 0 1/3 Ô ÖÓ Ò Ø Ó Ð ÓÒÚ Ö Ò ÑÔÖ 0 ¾º º º Ë Ö ÒÙÑ Ö Î ÑÓ ÔÐ ÒØ Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ü Ø Ò ÒÙÑ ÖÓ ØÙ ÓÒ Ò Ð ÕÙ ÖØ Ñ Ò ØÙ A Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÙÑ Ò Ò ØÓ Ø ÖÑ ÒÓ A = a 1 + a 2 + a 3 + Ò Ð Ø Ñ ½ Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó µ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð ÙÒÓ Ö ÙÐØ Ó Ó Ò Ö Ò Ò Ø cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + x8 8! x10 + x R (1) 10! sen x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! x11 + x R (2) 11! e x = 1 + x 1! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 + x R (3) 5! ØÙ Ö ÑÓ Ò Ð Ø Ñ 5 Ò ÙÖ Ò ØÓ ÖÖÓÐÐÓ Ô ÖÓ (3) ÔÓ ÑÓ Ù Ö Ò Ñ ÕÙ ØÓÑ Ö x = 1 e = ! + 1 4! + 1 5! + Ö Ó ¾º½ Í Ö Ð ÜÔÖ ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ð Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ e x, e x2, cos 2x, sen3x, x e x, sen x x (x 0), sen( x), cos( x), sen x cos x

20 ¼ È ÌÍÄÇ ¾º ËÍ ËÁÇÆ Ë ÇØÖÓ ÖÖÓÐÐÓ ÒØ Ö ÒØ Ð Ù ÒØ arctg x = x 1 x3 3 + x5 5 x7 7 + x9 9 + ÓÑÓ Ö Ó Ð ÙÒ Ú ÐÓÖ Ù Ó x R Ô Ö Ó Ø Ò Ö π Ð ÓÖÑ π = 4 ( ) + Ò Ø Ö e Ý π ØÓÑ ÑÓ ÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÙÑ Ò Ó Ó Ø Ò ÑÓ ÙÒ ÔÖÓÜ Ñ Ò ÕÙ Ö Ñ ÔÖ Ü Ñ Ð Ú ÐÓÖ Ö Ð Ù ÒØÓ Ñ ÙÑ Ò Ó ØÓÑ ÑÓ º Ö Ó ¾º½ ÍØ Ð Þ Ö ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÖÖÓÐÐÓ π Ý e Ô Ö Ó Ø Ò Ö ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ Ù Ú ØÓ Ú ÐÓÖ Ø Ó Ø Ò Ö e π ÓÑÔÐ Ø Ò Ó Ð Ù ÒØ Ø Ð n ÙÑ Ò Ó ÔÖÓÜ Ñ Ò e ÔÖÓÜ Ñ Ò π ½ ¾ ½¼ º Ë ÑÓ ÕÙ Ò ÓÖØ Ö Ð Ö Ý ÕÙ ÖÒÓ ÐÓ ÓÒ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÙÑ Ò¹ Ó S = a 1 + a 2 + a 3 + S n = a 1 + a 2 + a a n È ÖÓ úéù Ò ÙÑ Ö ØÓ Ð Ö º ú ÑÓ º Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ä Ù Ø Ò Ø Ò Ù ÙÐØ ÔÓÖ ÑÔÐÓ ú Ù ÒØÓ Ú Ð S = ÈÓ ÑÓ ØÖ Ø Ö ÐÙÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ S Ó Ò Ó Ø ÖÑ ÒÓ Ø ÒØ ÓÖÑ ( 1 + 1) + ( 1 + 1) + ( 1 + 1) + = 0 S = ùù ÓÒØÖ Ò 1 + (1 1) + (1 1) + ( 1 + 1) + = 1 Ø ÑÔÐÓ ÑÙ ØÖ ÕÙ ÒÓ ÑÔÖ ÔÙ Ò ÙØ Ð Þ Ö Ð ÔÖÓÔ Ú Ð Ô Ö ÙÑ Ò Ø Ò Ø Ó Ð ÔÖÓÔ Ó Ø Ú (a 1 + a 2 ) + a 3 = a 1 + (a 2 + a 3 )

21 ¾º º ÁÎ Ê Æ Á À Á ± ÍÆ ËÍ ËÁ Æ ½ È ÖÓ (a 1 + a 2 ) + (a 3 + a 4 ) + (a 5 + a 6 ) + ÔÙ Ö ÐÙ Ö ÙÒ Ú ÐÓÖ Ö ÒØ a 1 + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + a 5 ) + ú ÓÑÓ Ò Ö Ð ÙÑ a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + º Ä ØÓÑ Ö Ð Ù Ò ÙÑ Ô Ö Ð S 1 =a 1 S 2 =a 1 + a 2 S 3 =a 1 + a 2 + a 3 º S n = n a k = a 1 + a a n k=1 º º ÓÑÓ S n ÙÒ Ù Ò ÔÓ ÑÓ ØÙ Ö Ù ÓÒÚ Ö Ò Ò Ò ¾º Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ö a n ÓÒÚ Ö ÒØ Ü Ø Ð Ð Ñ Ø S = lím n a k n k=1 Ý Ð Ð Ñ Ø Ò ØÓº ÄÓ ÒÓØ ÑÓ n=1 a n ÑÔÐÓ ¾º¾ ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ö ÓÑ ØÖ r n = 1 + r + r 2 + r 3 + r R n=0 Ò Ø Ó n S n = r k = 1 + r + r 2 + r r n = 1 rn+1 1 r k=0 Ý ÐÙÐ Ò Ó Ð Ð Ñ Ø 1 lím S r < 1 n = 1 r n ÒÓ ÓÒÚ Ö r 1 = 1 1 r rn+1 1 r r 1

22 ¾ È ÌÍÄÇ ¾º ËÍ ËÁÇÆ Ë ÑÔÐÓ ¾º ú Ù ÒØÓ Ú Ð ( = = =9 Ö Ó ¾º½ ÐÙÐ Ö n=1 ( ) 1 n ÓÑ ØÖ = = = 1 ) = k r k, k=1 k 2 r k k=1 ÝÙ Ö Ú Ö k=0 r k = 1 1 r Ö Ô ØÓ Öµ Ö Ó ¾º¾¼ ØÙ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò Ð Ö = ( 1) n Ö Ó ¾º¾½ Ö Ö ÓÒ ÒÓØ Ò ÙÑ ØÓÖ Ó Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ e x, cos x, sen x, e x2, sen 2x n=1