Transcripción

1 ÔÙÒØ Á Öº ĺ ÓÒ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÔÐ ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö ½ ÔØ Ñ Ö ¾¼½

2

3 ÆÓØ ØÓ ÔÙÒØ ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö Ö ØÙ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÖÑ ØÓ Ô Ò Ð Ô Ò Û Ð Ò ØÙÖ Á ØØÔ»»ÛÛÛº ÖÓºÙÔѺ»» Ô ÖØ Ñ ÒØÓ»»»È Ï» Ò ØÙÖ» ½» ½º ØÑÐ ÓÒ Ø Ñ Ò ÒÙ ÒØÖ ØÓ Ð Ò ÓÖÑ Ò Ö Ð Ø Ú Ð ÔÖ ÒØ ÙÖ Óº ÄÓ ÔÙÒØ ÒÓ ÔÖ Ø Ò Ò Ù Ø ØÙ Ö Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ Ü Ð ÒØ Ø ÜØÓ ÕÙ Ø Ò Ò Ð Ð Ó Ö ÕÙ ÒÙ ÒØÖ Ò Ò Ð Ð ÓØ Ð ÒØÖÓ ÔÓ Ò ÐÓ ÐÙÑÒÓ Ý ÙÝÓ ÑÔÐ Ó ÓÑÓ Ð ÖÓ ÓÒ ÙÐØ ÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ º ÓÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ø Ò ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ø ÜØÓ ÓÒ Ô Ó Ñ ÒÙ Ð º Ä ÜØ Ò Ò Ô ÖØ Ó ÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ð ÓÒØ Ò Ó Ð ÙÖ Ó ÐØ Ò ÑÔÐÓ Ý Ð Ò Ø Ñ ÓÒ Ð ÕÙ ÜÔÐ Ö ÙÖ ÒØ Ð Ð º Ì Ñ Ò Ò ÓÑ Ø Ó Ð ÙÒ ÑÓ ØÖ ÓÒ ÕÙ ÔÙ Ò ÒÓÒØÖ Ö Ò ÐÓ Ø ÜØÓ Ð Ð Ó Ö º ÍÒ ÙÖ Ó Ð Ñ ÒØ Ð Ò Ø Ò ÐÙ Ð Ñ ÒØ Ð ÙÒ ÖÖ Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø º Å Ô Ö Ó ÓÒ Ð ÒÐÙ Ö ÙÒ Ô ØÙÐÓ Ô Ð ÒÓÑ Ò Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ò Ð ÙÒÓ ÐÓ ÓÒ ÔØÓ Ò Ö Ó ÙÒ ÑÓ Ó Ò ÓÖÑ Ðº Ñ ÕÙ Ò Ò Ö Ó Ö Ö Ò Ò Ð Ø ÜØÓ Ó ÓÒØ Ò Ó º

4

5 Æ Á Æ Ê Ä ½º Î ØÓÖ ½ ½º½º ÁÒØÖÓ Ù Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾º Å Ò ØÙ Ú ØÓÖ Ð Ý Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖØ Ò ÙÒ Ú ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º ÇÔ Ö ÓÒ ÓÒ Ú ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½º ÈÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ ÙÒ Ð Ö Ý Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º¾º ËÙÑ Ý Ö Ø Ú ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º º ÈÖÓ ÙØÓ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º º ÈÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º º ÈÖÓ ÙØÓ Ñ ÜØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º º ÅÓÑ ÒØÓ ÙÒ Ú ØÓÖ Ö Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ý Ö Ô ØÓ ÙÒ º º º º ½º º Ë Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º º ÙÒ ÓÒ Ú ØÓÖ Ð Ý Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º º½º ÙÖÚ Ý ÙÔ Ö ÓÒÚ Ò Ó ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º¾º Ö Ú ÙÒ ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð Ö Ô ØÓ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ º º º º º º º ½ ½º º º ÁÒØ Ö Ò ÙÒ ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð Ö Ô ØÓ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ º º º º º º ½ ½º º º ÁÒØ Ö Ð Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ò Ñ Ø ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ ½ ¾º½º ÈÓ ÓÒ Ú ÐÓ Ý Ð Ö ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ Ò ÙÒ ÔÐ ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾

6 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ Ö Ð Ø ÚÓ ¾ º½º Ö Ú ÙÒ Ú ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ò Ú ÐÓ Ý Ð Ö ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ò Ñ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ ¼ º½º Ä Ý Æ ÛØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º Ù ÖÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½º ÁÒØ Ö ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½º½º ÑÔÓ Ö Ú Ø ØÓÖ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½º¾º ÑÔÓ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾º Ù ÖÞ Ñ ÖÓ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾º½º Ê ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾º¾º Ù ÖÞ ÖÓÞ Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º º Ù ÖÞ Ò ÐÓ Ý ÔÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º º½º Ù ÖÞ ÙÒ ÑÙ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º º Ù ÖÞ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ Ó Ý Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ù ÖÞ ÓÒ ÖÚ Ø Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½º Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾º Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ö Ú Ø ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÓØ Ò Ð Ð ØÖÓ Ø Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ö ÔÓØ Ò Ð ÒØÖ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ù ÐØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ ½ º½º ÈÓ Ò Ý Ú ÐÓ Ð ÒØÖÓ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ Ð ÒØÖÓ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ö ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÐ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ë Ø Ñ Ó Ô ÖØ ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ Ó Ù ÖÞ ÒØÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º º º Ä Ý Ã ÔÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Ä Ý ÓÒ ÖÚ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ù ÐØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

7 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á º Ë Ð Ó Ö Ó Ò Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ý ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ö º½º Ò Ñ Ø Ð Ð Ó Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½º Ö Ó Ð ÖØ ÙÒ Ð Ó Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾º Ê Ù Ò Ø Ñ Ú ØÓÖ Ð Þ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º º ÑÔÓ Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò ÙÒ Ð Ó Ö Ó º º º º º º º º º ¾ º¾º ÒØÖÓ Ñ ÙÒ Ð Ó Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½º ÐÙÐÓ ÒØÖÓ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓÑ ÒØÓ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ì ÓÖ Ñ ËØ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ò Ñ Ð Ð Ó Ö Ó ¾ º½º Ù Ò Ð ÒØ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ù Ò Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ù Ò Ð Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ ÔÐ ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ Ó Ð ØÓÖ Ó º½º Ð Ó Ð ÓÖ ÖÑ Ò Ó ÑÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ð Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ô Ò ÙÐÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ó Ð ÓÖ ÖÑ Ò Ó ÑÓÖØ Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ º º Ð Ó Ð ÓÖ ÖÑ Ò Ó ÓÖÞ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ º ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ½¼ º½º Ë Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º Ä Ö ÓÐÙ Ò Ð Ù ÓÒ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ Ý Ö ÔÓØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º ÈÖÓÔ Ð Ð Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º ÑÔÓ Ð Ö Ý Ú ØÓÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º Ö Ú Ô Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º ÙÖÚ Ý ÙÔ Ö ÓÒÚ Ò Ó ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ º º ÁÒØ Ö Ð Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º º ÐÙ Ó ÙÒ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º½¼º Ð ÓÔ Ö ÓÖ Ò Ð Ö ÒØ Ý Ú Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º½½º Ð Ø ÓÖ Ñ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º½¾º Ù Ò ÓÒØ ÒÙ Ý Ú ØÓÖ Ù Ó Ñ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º½ º ÄÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

8 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö ½¼º Ð Ó Ö ½¾¼ Ú

9 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á Ú

10 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ú

11 È ÌÍÄÇ ½ Î ÌÇÊ Ë ½º½º ÁÒØÖÓ Ù Ò ÄÓ ÙÖ Ó Ò Ö Ð ÓÑ ÒÞ Ò ØÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ ÓÒ Ð Å Ò ÕÙ Ð ¹ Ö Ô Ò Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ù ÖÔÓ º Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÒØ ÙÓ Ð Ð ÔÙÒØÓ Ú Ø Ø Ö Ó Ý Ö ÙÐØ Ó Ú Ó ÕÙ Ð ØÖ Ý ØÓÖ ÐÓ Ó ØÓ ÕÙ ÑÙ Ú Ò Ò Ð Ô Ó ÓÒ Ö Ù ÒØ Ñ ÒØ ÙÖÚ ÑÙÝ ÓÑÔÐ º ËÙ ÓÖÖ Ø Ö Ô Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ¹ Ø ÙÒ ÖÖ Ñ ÒØ Ù º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ú ÐÓ Ð Ð Ö Ò Ý Ð Ù ÖÞ ÕÙ Ù Ò Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ù ÖÔÓ ÓÒ Ú ØÓÖ º ÄÓ Ñ ÑÓ Ù Ò ØÓ Ó ÐÓ ÑÔÓ Ð ÓÑÓ Ð Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÑÓ Ð ÔÖÓÔ Ò ÓÒ Øº ÄÓ Ú ØÓÖ Ý Ð Ù ÓÒ Ú ØÓÖ Ð ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ð Ð Ý Ý ÔÖ Ò Ô Ó Ð ÙÒ ÑÓ Ó ÔÖ Ó Ý Ø Ñ Ø Óº ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ Ù Ñ ÒØ Ò Ð Ü Ø Ò ÑÙÐØ ØÙ Ñ ¹ Ò ØÙ Ú ØÓÖ Ð ÓÑÓ Ð ÑÔÓ Ð ØÖ Ó Ð ÑÔÓ Ñ Ò Ø Ó Øº Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö Ú ÑÓ ÒØÖÓ Ù Ö ÐÓ Ú ØÓÖ Ý Ù ÓÔ Ö ÓÒ º Ð Ñ Ø Ö Ð Ð ÔÖ ÒØ Ô ØÙÐÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÙ ØÓ ÕÙ ÙÒÕÙ Ò Ù Ñ ÝÓÖ Ô ÖØ ÙÒ Ö Ô Ó ÐÐ Ö ØÓ ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÙÖ Ó Ö ÑÓ ÙÒ Ù Ó ÒØ Ò ÚÓ Ð Ñ Ø Ö Ð ÕÙ ÖÖÓÐÐ ÕÙ º ½º¾º Å Ò ØÙ Ú ØÓÖ Ð Ý Ð Ö E O A P A = A E ÙÖ ½º½ Ê ÔÖ ÒØ ¹ Ò ÓÑ ØÖ ÙÒ Ú ØÓÖº Ò Ð ÒØ Ò ÑÓ ÔÓÖ Ñ Ò ØÙ ØÓ Ó ÕÙ ÐÐÓ Ù ÔØ Ð Ö Ñ Ó Ý ÔÓÖ Ñ Ð Ö ÙÐØ Ó Ð ÓÑÔ Ö Ò ÓÒ ÙÒ ÒØ Ö ØÖ Ö Ð Ñ Ñ ÕÙ ÒÓÑ Ò ÑÓ ÙÒ Ñ Ò ØÙ º Ä Ñ Ò ØÙ Ú Ò Ò Ð Ö Ý Ú ØÓÖ Ð º ÄÓ Ð Ö Ö ÙÐØ Ò ÓÑÔÐ Ø ¹ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ñ ÒØ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ý Ð ÙÒ Ò ÕÙ Ñ Òº ½

12 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ä Ñ Ò ØÙ Ú ØÓÖ Ð Ö ÕÙ Ö Ò Ñ Ô Ö ÙÒ Ö Ò Ð Ô Ó Ý ÙÒÓ ÐÓ Ó ÒØ Ó ÔÓ Ð ÐÓ Ð Ö Ó Ö Ø º ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ð Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ñ ÒØ ÙÒ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÒØ Ó ÓÑÓ Ð Ð º ½º½ ÕÙ ÕÙ Ò Ó ÔÓÖ Ð Ù ÒØ Ö Ø Ö Ø ËÙ Ö Ò Ð Ö Ø EE ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ñ ÒØÓ OP º ÄÐ Ñ Ö Ø ÓÔÓÖØ Ó ÔÐ Òº ËÙ ÒØ Ó Ò Ñ ÒØ ÙÒ ÔÙÒØ º Ð ÔÙÒØÓ ÔÐ Ò Ù ÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ P º ËÙ Ñ ÙÐÓ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒØÓ OP º Ö Ð Ñ Ò ØÙ Ú ØÓÖ Ð Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ò Ò Ð Ô Ó Ý ÒÓ ÔÙ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ ÙÒ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÑÓ Ð Ñ Ò ØÙ Ð Ö º ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ ÓÒØ ÒÙ Ò Ô Ö Ö Ö Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ú ØÓÖ Ò Ð Ô Ó ØÖ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ò Ø ÑÓ Ô Ö ØÖ Ò Ñ ÖÓ ÒÓÑ Ò Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ñ ÑÓ Ö Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ ÓÓÖ Ò Ó Ö Ö Ò Ð ØÖ ÖÓ ØÙ Ö Ò Ð Ò Ù ÒØ µº Ù Ò Ó Ð Ú ØÓÖ ÜÔÖ ÓÒ Ö Ô ØÓ ÓØÖÓ Ø Ñ Ö Ö Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ Òº ÈÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó ÔÙ ØÓ ÕÙ Ð Ñ Ò ØÙ Ð Ö ÒÓ Ø Ò Ò Ó Ó Ø ÓÒ ÔØÓ Ö Ò Ù Ú ÐÓÖ Ò Ô Ò ÒØ Ð Ø Ñ Ö Ö Ò Ó Óº V x X V z Z i O k V j P V y ÙÖ ½º¾ Ë Ø Ñ Ö Ö Ò Ö¹ Ø ÒÓº Ô Ó ÐÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ¾ Y ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ Ù Ñ ÒØ Ò Ð Ò¹ Ð Ø Ò Ù Ö ÐÓ Ú ØÓÖ Ð Ñ Ò ØÙ ¹ Ð Ö º È Ö Ö Ò ÖÐ Ð Ñ Ò ØÙ Ú ØÓÖ Ð Ò Ò Ñ ÒØ ÙÒ A Ñ ÒØ Ù ÔÙÒ¹ ØÓ Ò Ó Ý Ò Ð A = OP ÓÒ Ð ØÖ Ò Ò Ö Ø A = A = OP º ËÙ Ñ ÙÐÓ OP = A = A = A, Ò Ñ ÒØ ÙÒ Ð ØÖ Ò Ò Ö Ø Ó Ñ ÒØ Ð Ñ ÓÐÓ Ú ØÓÖ ÒØÖ Ó ÖÖ Ú ÖØ Ð º Ø ÒÓØ ÓÒ ÓÒ ØÓØ ÐÑ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ º Ò Ø ÒÓØ Ö Ö Ò Ð Ñ Ò ØÙ Ú ØÓÖ Ð Ò Ò Ö Ø A Ý Ù Ñ ÙÐÓ ÓÑÓ A = Aº Ð ÔÙÒØÓ Ú Ø Ù ÐÓ Ð Þ Ò Ò Ð Ä Ö È ÖØ Ò Ò ÙÒ Ô Ó Ú ØÓÖ Ð ØÖ ØÓ Ý ÒÓ Ø Ò ÐÓ Ð Þ Ó Ò Ò Ò Ò ÔÙÒØÓ Ð Ô Óº ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ú ØÓÖ Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö ÙÒ Ð Ó ÙÒ Ú ØÓÖ ÕÙ ÒÓ Ø Ú ÒÙÐ Ó Ò Ò Ò ÔÙÒØÓ Ø ÑÔÓÓ Ð ÒØÖÓ Ð Ð Ó Ù Ò Ó Ø Ø Ò ÒØÖÓ ÙÒÕÙ Ø Ð ÐÙ Ö ÓÒ Ù Ð Ù Ö Ð ÐÙ ØÖ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ µº Ð Þ ÒØ Ó ÙÒ Ú ØÓÖ Ð Ô Ó ÕÙ Ú Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ñ Ñ Ö Ò Ð Ú ØÓÖº Ë ÐÐ Ñ Ú ØÓÖ Ð Þ ÒØ ÙÒ Ú ØÓÖ ÕÙ ÔÙ Ð Þ Ö ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ñ Ö Ø Ò Ó Ö Ø ÔÐ Ò µ Ò ÕÙ Ù ØÓ Ó Ñ º Ë Ò Ñ Ö Ó ÒÓ ÔÙ Ò ÓÒ Ö Ù Ö Ø Òº ÈÓÖ ÑÔÐÓ

13 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á ÒÓ ÔÙ Ø Ò Ù Ö Ð ÔÐ Ò ÙÒ Ù ÖÞ ÙÒ Ð Ó ÑÔÙ Ò ÓÐÓ Ó Ø Ö Ò Ó Ð Ñ ÒØ ÙÒ Ù Ö ÕÙ Ø Ò Ð Ö Ò Ð Ö Ø Ò Ð Ù ÖÞ Ð ØÓ Ð Ñ ÑÓº Ò Ñ Ó Ø Ö ÓÒ Ð Ù Ö ÓØÖÓ ÐÙ Ö Ó Ñ Ð Ù Ö Ö Ò Ð ØÓ Ý ÒÓ Ð Ñ ÑÓº Ä Ó Ó Ó Ø Ò ÐÓ Ð Þ Ó Ò ÙÒ ÔÙÒØÓº ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ò ÙÒ Ò Ø ÒØ Ó Ð Ú ÐÓ Ð Ú ÒØÓ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò Ð ÕÙ Ý ÙÒ Ò Ñ Ñ ØÖÓº Ó Ú ØÓÖ A Ý B ÓÒ Ù Ð A = B Ù Ò Ó Ø Ò Ò Ð Ñ ÑÓ Ñ ÙÐÓ Ö Ò Ý ÒØ Óº Ë ÐÓ Ö Ò Ò Ù ÒØ Ó Ö Ò ÓÔÙ ØÓ A = B Ý ÒØ Ò ÑÓ ÔÓÖ Ú ØÓÖ ÒÙÐÓ ÕÙ Ð Ñ ÙÐÓ ÖÓº ÄÓ Ú ØÓÖ A Ý B ÓÒ ÕÙ ÔÓÐ ÒØ Ù Ò Ó Ø Ò Ò Ù Ð Ö Ò ÒØ Ó Ý Ñ ÙÐÓ Ô ÖÓ ÔÙ Ò Ø Ò Ö Ø ÒØÓ ÓÖ Ò Ý Ø ÒØ Ö Ø Òº Ö Ó Ú ØÓÖ ÓÒ ÕÙ ÔÓÐ ÒØ Ù Ò Ó ÓÒ Ù Ð Ò Ø ÒØÓ ÕÙ Ú ØÓÖ Ð Ö º ½º º ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖØ Ò ÙÒ Ú ØÓÖ ÍÒ ØÖ ÖÓ Ó Ø Ñ Ö Ö Ò ÖØ ÒÓ S(O,X,Y,Z) ÓÑÓ Ð Ð º ½º¾ Ø ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ØÖ ÑÙØÙ Ñ ÒØ Ô ÖÔ Ò Ù¹ Ð Ö (X,Y,Z) ÕÙ ÖÙÞ Ò Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓÑ Ò O ÕÙ ÒÓÑ Ò ¹ ÑÓ ÓÖ Òº ÄÓ ØÖ Ú ØÓÖ Ð Ö i j Ý k Ô Ö Ö ÐÓ ÐÓ Ý Ñ ÙÐÓ ÙÒ ÓÒ Ø ØÙÝ Ò ÐÓ ÕÙ ÒÓÑ Ò ÙÒ Ú ØÓÖ Ðº ÑÙÝ Ö Ù ÒØ ÜÔÖ Ö ÙÒ Ú ØÓÖ V Ò ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ Ù ÔÖÓÝ ÓÒ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ ÐÓ Ð Ö Ó ÐÓ Ð Ø Ñ S(O,X,Y,Z)º ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ (V x,v y,v x ) ÓÒ Ù ÓÑÔÓÒ Ò¹ Ø ÖØ Ò Ó Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ò Ð Ú ØÓÖ Ðº ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ Ò Ð Ù ÒØ Ò Ð Ú ØÓÖ V ÜÔÖ ÒØÓÒ ÓÑÓ A A B R = A + B R = A + B (A) (B) V = V x i+v y j +V z k ½º½µ Ð Ú ØÓÖ V ÓÑÓ ÒØ ÓÑ ØÖ ÓÒ Ù Ö Ò Ñ ÙÐÓ ÒØ Ó Ý Ö Ø ÓÔÓÖØ Ù Ò Ó ØÖ Ø ÙÒ Ú ØÓÖ Ð Þ ÒØ µ Ð Ñ Ñ ÓÒ ÒÔ Ò Ò Ð ØÖ ÖÓ ÕÙ ÑÔÐ Ô Ö ¹ Ò ÖÐÓº È ÖÓ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ö Ò Ó ÙÒ Ñ Ó Ð Ø Ñ Ö Ö Ò S(O,X,Y,Z) Ð ØÖ ÖÓ S (O,X,Y,Z )º Ö Ù B ÙÖ ½º µ ËÙÑ Ó Ú ØÓÖ Ý µ Ù Ù¹ Ñ Ñ ÒØ Ð Ö Ð Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ÓÑÔÓÒ ÒØ (V x,v y,v x ) Ò S Ö Ò Ö ÒØ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò S (V x,v y,v x )º Ø ÙÒ Ö Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÒØÖ ÐÓ Ú ØÓÖ Ý Ð Ñ Ò ØÙ Ð Ö Ý ÕÙ Ø ÐØ Ñ ØÓÑ Ò Ð Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ Ò Ù ÐÕÙ Ö Ø Ñ Ö Ö Ò º Ë Ò Ñ Ö Ó Ð Ñ ÙÐÓ V = V Ô ÖÑ Ò Ò ÐØ Ö Ó Ý ÕÙ Ð ÒØ V 2 x + V 2 y + V 2 z ÒÓ Ú Ö Ò ÓÒ ÖÓØ ÓÒ Ò ÓÒ ØÖ Ð ÓÒ º Ò Ð Ó Ò ÕÙ V r p Ð Ú ØÓÖ OP ÕÙ ÙÒ Ð ÓÖ Ò O ÓÒ Ð ÔÙÒØÓ P Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ Ð ÓÓÖ Ò Ó ÔÙÒØÓº ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ r p = OP Ð Ú ØÓÖ ÔÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ P Ö Ô ØÓ Ð ØÖ ÖÓ S(O,X,Y,Z) Ý Ô ÖØ Ö Ð º ½º¾ Ö ÙÐØ Ú ÒØ ÕÙ V = V = Vx 2 +Vy 2 +Vz 2

14 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ú ØÓÖ Vº È Ö Ð Ú ØÓÖ ÔÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ò Ö ÑÓ ÕÙ r p = r p = x 2 +y 2 +z 2 Ù Ø Ñ ÒØ Ð Ø Ò P Ð ÓÖ Òº ÓÑÓ ÔÖ Ò Ð º ½º¾ ØÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Q ÕÙ ÒÙ ÒØÖ Ò Ð Ñ Ñ Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ O Ø Ò Ó Ö Ð ÙÔ Ö ÙÒ Ö Ö Ó r Q = r Q º ÙÒ ÔÙÒØÓ Ú Ø Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙÒ Ñ Ò ØÙ Ö Ø Ö Ú ØÓÖ Ð ÕÙ ÐÐ ÙÝ ÓÑÔÓÒ ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ó ÙÒ Ñ Ó ÓÓÖ Ò Ñ ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÓÖÓØÓ ÓÒ Ð ÓÑÓ ØÙ Ö Ò Ð Ö º ½º º ÇÔ Ö ÓÒ ÓÒ Ú ØÓÖ ÄÓ Ú ØÓÖ Ñ Ø Ò ÓÔ Ö ÓÒ ÒØÖ ÐÐÓ ÙÝÓ Ö ÙÐØ Ó ÔÙ Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ú ØÓÖ Ó Ø Ñ Ò ÙÒ Ð Öº Ä ÙÑ Ý Ö Ò Ú ØÓÖ Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ ÙÒ Ð Ö Ý Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÓÑÓ Ö ÙÐØ Ó ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ú ØÓÖº Ò Ñ Ó Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö ÒØÖ Ó Ú ØÓÖ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÙÒ Ð Öº ½º º½º ÈÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ ÙÒ Ð Ö Ý Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó A 1 A 2 A 3 A4 R R = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 ÙÖ ½º Ê ÔÖ ÒØ Ò ÓÑ ØÖ Ð ÙÑ Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÙÒ Ú ØÓÖ A ÔÓÖ ÙÒ Ð Ö b ÓØÖÓ Ú ØÓÖ V = ba Ñ ÙÐÓ V = b A Ý ÓÒ Ð Ñ Ñ Ö Òº Ð ÒØ Ó V Ð Ñ ÑÓ ÕÙ A Ù Ò Ó b > 0 ÓÒ Ú ØÓÖ Ô Ö Ð ÐÓ µ Ý Ð ÓÔÙ ØÓ b < 0 Ú ØÓÖ ÒØ Ô Ö Ð ÐÓ µº Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÙÒ Ð Ö ÔÓÖ ÙÒ Ú ØÓÖ ÓÒÑÙØ Ø ÚÓ ma = Am Ý Ó Ø ÚÓ m(na) = (mn)a Ö Ô ØÓ Ð ÔÖÓ¹ ÙØÓ Ð Ö º ØÖ ÙØ ÚÓ (m+n)a = ma+na Ö Ô ¹ ØÓ Ù ÙÑ Ð Ö Ý Ø Ñ Ò m(a+b) = ma+mb Ö Ô ØÓ Ð ÙÑ Ú ØÓÖ º Ù ØÖÓ Ú ØÓÖ º Ë ÐÐ Ñ Ú Ö ÓÖ Ó Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó ÙÒ Ú ØÓÖ Ñ ÙÐÓ ÙÒ ÔÓÖ ÑÔÐÓ ÐÓ Ú Ö ÓÖ i j Ý k Ò Ó Ò Ð Ò ÒØ Ö ÓÖº È Ö Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ú Ö ÓÖ Ô ÖØ Ö Ù ÐÕÙ Ö Ú ØÓÖ Ø Ú Ö ÒØÖ Ù Ñ ÙÐÓº Ó Ð Ú ØÓÖ A Ð Ú ØÓÖ a = 1 A A ÙÒ Ú ØÓÖ Ñ ÙÐÓ ÙÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÕÙ Ø Ò Ð Ñ ÑÓ ÒØ Ó Ý Ö Ø ÔÐ Ò ÕÙ Ð Ú ØÓÖ A ÓÖ Ò Ðº ½º º¾º ËÙÑ Ý Ö Ø Ú ØÓÖ ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ð º ½º Ó Ú ØÓÖ A Ý B ÓÒ ÓÖ Ò ÓÑ Ò Ò Ò ÙÒ ÔÐ ÒÓ Ò Ð Ô Ó Ý Ù ÙÑ ÓØÖÓ Ú ØÓÖ R = A+B ÕÙ Ó Ø Ò ÐÐ Ú Ò Ó Ð ÓÖ Ò ÙÒ Ú ØÓÖ Ð ÜØÖ ÑÓ Ð ÓØÖÓº ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ò ÐÓ Ó ÓÖ Ò A Ý B Ù ÙÑ R Ó Ò ÓÒ Ð ÓÒ Ð Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ ÕÙ ÓÖÑ Ò Ö Ð Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓµº È Ö ÙÒ Ø Ñ N Ú ØÓÖ A i i = 1,...Nµ Ð Ú ØÓÖ ÙÑ R = A 1 +A A N Ó Ø Ò ÓÑÓ Ò Ò Ð º ½º ÔÓÒ Ò ÐÓ Ú ØÓÖ ÕÙ ÔÓÐ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ

15 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á ÙÒÓ ÐÓ ÙÑ Ò Ó ÑÓ Ó ÕÙ Ð ÜØÖ ÑÓ ÙÒÓ Ó Ò ÓÒ Ð ÓÖ Ò Ð Ù ÒØ º Ð Ú ØÓÖ R Ð ÒÓÑ Ò Ö ÙÐØ ÒØ Ð Ø Ñ Ú ØÓÖ º A Ä ÙÑ Ú ØÓÖ ÓÒÑÙØ Ø Ú R = A+B = B+A Ý Ó Ø Ú R = A B B R = A B A B ÙÖ ½º Ö Ò Ó Ú ØÓÖ º (A+B)+C = A+(B+C) ÓÑÓ Ó ÖÚ Ò Ð º ½º Ð Ú ØÓÖ Ö Ò Ó Ö Ø Ó Ú ØÓÖ D = A B Ð ÒÙ ÚÓ Ú ØÓÖ ÕÙ Ö ÙÐØ ÙÑ Ö Ð Ú ØÓÖ ÓÔÙ ØÓ Ù Ò Ó Ð Ö Ð Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ ÙÒ Ð Ö Ý Ð ÙÑ Ú ØÓÖ ÒÓ Ô Ö¹ Ñ Ø Ò Ö ÖÐÓ Ò ÙÒ Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÐÓ Ð Ö Ó ÐÓ Ö Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ ÓÓÖ Ò Óº Ð Ú ØÓÖ V Ð º ½º¾ ÔÙ Ö Ö ÓÑÓ Ð ÙÑ V = V x i+v y j+v z k ØÖ Ú ØÓÖ ÐÓ Ð Ö Ó ÙÒÓ ÐÓ º Ò ÓÒ ¹ Ù Ò Ð ÙÑ Ó Ú ØÓÖ A = A x i+a y j+a z k Ý B = B x i+b y j+b z k Ö Ð Ú ØÓÖ R = A+B = (A x +B x )i+(a y +B y )j+(a z +B z )k Ý Ð ÜÔÖ ÓÒ Ô Ö Ð Ö Ò Ú ØÓÖ ÓÒ Ò ÐÓ º Ä ÙÑ Ó Ö Ò µ ÐÓ N Ú ØÓÖ A i i = 1,...Nµ ÒØ Ö ÓÖ ½º º º ( N ) ( N ) ( N ) R = A xi i+ A yi j+ A zi k. i=1 ÈÖÓ ÙØÓ Ð Ö i=1 i=1 OP O P θ B A ÙÖ ½º ÈÖÓ ÙØÓ Ð Ö Ó Ú ØÓÖ º Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö Ó Ú ØÓÖ A Ý B ÙÒ Ð Ö ÙÝÓ Ú ÐÓÖ Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÐÓ Ñ ÙÐÓ Ñ Ó Ú ØÓÖ ÔÓÖ Ð Ó ÒÓ Ò ÙÐÓ θ ÕÙ ÓÖÑ Ò A B = A B cos θ. ÓÑÓ Ó ÖÚ Ò Ð º ½º Ð Ø Ò OP = A cos θ Ð ÔÖÓÝ Ò Ð Ú ØÓÖ A Ó Ö Ð Ö Ò Ð Ú ØÓÖ Bº ÈÓÖ Ø ÒØÓ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö Ó Ú ØÓÖ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö

16 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö θ = π/2µ ÒÙÐÓ Ý Ð ÙÒ Ú ØÓÖ ÓÒ Ó Ñ ÑÓ θ = 0µ Ù Ð Ù Ñ ÙÐÓ Ð Ù Ö Ó A A = A 2 º Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö ÓÒÑÙØ Ø ÚÓ A B = B A Ý Ó Ø ÚÓ Ö Ô ØÓ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò ÔÓÖ ÙÒ Ð Ö (ma) B = m(a B) = A (mb), Ý Ø Ñ Ò ÙÑÔÐ Ð ÔÖÓÔ ØÖ ÙØ Ú Ö Ô ØÓ Ð ÙÑ Ú ØÓÖ A (B+C) = A B+A C ÑÔÐ Ò Ó Ø Ö Ð ÓÒ Ô Ö ÐÓ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó (i,j,k) Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó S(O,X,Y,Z) Ð º ½º¾ Ø Ò Ö ÑÓ i j = j k = i k = 0 C = A B Ý Ø Ñ Ò A senθ a B b θ c A i i = j j = k k = 1 Ä ÓÑÔÓÒ ÒØ X ÙÒ Ú ØÓÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ A x = i A Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ô Ö Ð Y Ý Zµº Ä Ò Ò ÔÖÓ Ù¹ ØÓ Ð Ö ÑÔÐ ÓÒ Ö Ù Ò Ô Ö Ö Ð Ù ÒØ ÖÑÙÐ Ð Ó ÒÓ Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ò cos θ = A B A B. ÙÖ ½º ÈÖÓ ÙØÓ Ú ¹ ØÓÖ Ð Ó Ú ØÓÖ º ÈÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö Ó Ú ØÓÖ A Ý B Ù Ð ÕÙ Ö Ò ÙÒ Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖØ Ò º Ò Ú ÖØÙ Ð ÔÖÓÔ ØÖ ÙØ Ú A B = (A x i+a y j+a z k) (B x i+b y j+b z k) = A x B x +A y B y +A z B z ÓÑÓ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö A A = A 2 x +A2 y +A2 z = A 2 ½º º º ÈÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð Ó Ú ØÓÖ A Ý B ÕÙ ÓÖÑ Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ θ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ú ØÓÖ C = A B ÙÝÓ Ñ ÙÐÓ C = A B = A B Òθ. ËÙ Ö Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÔÐ ÒÓ ÕÙ Ò Ò A Ý B Ý ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð º ½º Ù ÒØ Ó Ð Ð Ú Ò ÙÒ ÓÖ Ó Ù Ò Ó Ö Ð Ú ØÓÖ A Ð B ÔÓÖ Ð Ñ ÒÓ Ñ ÓÖØÓº Ó Ò ÓÒ Ð ÒØ Ó Ò Ð ÕÙ ÔÙÒØ Ð ÔÙÐ Ö Ð Ñ ÒÓ Ö Ù Ò Ó Ð Ñ ÒÓ Ñ ÓÖØÓ A B Ø Ò Ó ÔÓÖ ÐÓ Ñ Ó Ð Ñ ÒÓ ÓÒ Ö Ó ÓÑÓ ÓÒ Ð ÔÙÒØ Ò Ð Ù º Ò Ø ÒÓØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÑÓ A B ÙÒÕÙ ÑÙÝ ÓÑ Ò Ö ÖÐÓ Ø Ñ Ò ÓÑÓ A B ÒÐÙ Ó [A,B] Ò Ð ÙÒÓ Ø ÜØÓ º

17 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð ÒØ ÓÒÑÙØ Ø ÚÓ A B = B A Ý ØÖ ÙØ ÚÓ Ö Ô ØÓ Ð ÙÑ Ú ØÓÖ A (B+C) = A B+A Cº Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ó Ú ØÓÖ Ô Ö Ð ÐÓ θ = 0µ ÒÙÐÓ Ý Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò ÔÓÖ ÙÒ Ð Ö a Ø Ò ÑÓ a(a B) = (aa) B = A (ab). ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ð ÒØ A Òθ Ð ÔÖÓÝ Ò Ð Ú ØÓÖ A Ó Ö Ð Ö Ò Ô Ö¹ Ô Ò ÙÐ Ö Bº Ö ÕÙ A B Ð Ó Ð Ð Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓ abc Ð º ½º º ÔÐ Ò Ó Ð ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ ÐÓ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó Ð Ø Ñ Ö Ö Ò ÖØ ÒÓ Ð º ½º¾ Ø Ò Ö ÑÓ i i = 0, j j = 0 y k k = 0, Ñ ÒØÖ ÕÙ ÐÓ ÔÖÓ ÙØÓ ÒØÖ ÐÐÓ Ù Ò ÙÒ Ö Ð Ò ÖÙÐ Ö i j = k, j k = i y k i = j. Ø ÜÔÖ ÓÒ Ò Ò ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ð ÒØ Ó ÔÓ Ø ÚÓ ÐÓ Ð ØÖ ÖÓ ÖØ ÒÓ Ð º ½º¾ ÔÙ ÙÒ Ñ Ó Ò Ð ÒØ Ó Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ Ú Ö ÓÖ (i,j,k) ÐØ Ö ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð º ÈÓÖ Ø ÑÓØ ÚÓ ÕÙ Ð ØÖ ÖÓ ÓÖ ÒØ Ó Ý Ù Ò Ó Ø Ò Ò Ð ÒØ Ó ØÙ Ð ÕÙ Ð Ò Ó Ò Ð º ½º¾ ÕÙ Ð ØÖ ÖÓ S(O,X,Y,Z) Ø ÓÖ ÒØ Ó Ö º Ë ÜÔÖ ÑÓ ÐÓ Ú ØÓÖ A = A x i+a y j+a z k Ý B = B x i+b y j+b z k Ò ÙÒ Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖØ Ò ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ù ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð A B = (A x i+a y j+a z k) (B x i+b y j+b z k) Ý ÑÔÐ Ò Ó Ð Ö Ð ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ò ÑÓ A B = (A y B z A z B y )i+(a z B x A x B z )j+(a x B y A y B x )k Ö Ù ÒØ Ö Ö Ø Ñ ÑÓ Ö ÙÐØ Ó ÑÓ Ó Ñ Ð Ó ÑÔÐ Ò Ó Ð ÒÓØ Ò Ý Ð Ö Ð ÑÔÐ Ô Ö Ð ÐÙÐÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ A B = i j k A x A y A z B x B y B z = (A yb z A z B y )i+(a z B x A x B z )j+(a x B y A y B x )k ½º¾µ ÓÑÓ Ð Ö ÙÐØ Ó Ð ÔÖÓ ÙØÓ A B ÙÒ Ú ØÓÖ ÔÓ ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÖÐÓ ÒÙ ÚÓ Ú ¹ ØÓÖ ÐÑ ÒØ Ô Ö ÓÖÑ Ö ÙÒ Ó Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð A (B C)º Ð Ö ÙÐØ Ó ÙÒ Ú ØÓÖ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÔÐ ÒÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ A Ý (B C) ÕÙ Ú Ò Ó ÔÓÖ A (B C) = B(A C) C(A B)

18 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ø Ö ÙÐØ Ó ÓÒÓ ÓÑÓ Ö Ð Ð ÜÔÙÐ Ò º Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð ÒÓ Ø Ò Ð ÔÖÓÔ Ó Ø Ú ÒÓ ÕÙ Ø Ð ÒØ Â Ó A (B C) (A B) C, A (B C)+C (A B)+B (C A) = 0. ½º º º ÈÖÓ ÙØÓ Ñ ÜØÓ A h B C B A È Ö ØÖ Ú ØÓÖ A B Ý C ÔÓ ÑÓ ÓÑ Ò Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÒ Ð Ð Ö Ô Ö ÓÖÑ Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ ØÖ ÔÐ A (B C)º Ð Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÔ Ö Ò Ö Ó Ú Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ö Ý ÜÔÖ Ó ÐÓ Ú ØÓÖ Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖØ Ò Ø Ò¹ Ö ÑÓ A (B C) = A x A y A z B x B y B z C x C y C z ½º µ ÙÖ ½º ÈÖÓ ÙØÓ Ñ ÜØÓ ØÖ Ú ØÓÖ º ÒÙ ÚÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð ÔÖÓÔ ÐÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð Ú Ö ÕÙ A (B C) = B (C A) = C (A B) = (A,B,C). ÈÙ ØÓ ÕÙ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ñ ÜØÓ ØÖ Ú ØÓÖ ÒÓ Ñ Ó Ô ÖÑÙØ Ò ÖÙÐ Ö Ô ÖÓ Ñ ÒÓ Ó Ô ÖÑÙØ Ò ÒÓ ÖÙÐ Ö ÓÒ Ö Ù Ò ÑÔÐ Ð ÐØ Ñ ÒÓØ Ò Ð ÜÔÖ Ò ÔÖ ÒØ ÓÒ Ð ÔÖÓÔ (A,B,C) = (B,C,A) = (C,A,B) = (B,A,C) = (C,B,A) = (A,C,B). ÓÑÓ Ó ÖÚ Ò Ð º ½º Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ñ ÜØÓ Ñ Ø ÙÒ ÒØ ÖÔÖ Ø Ò ÓÑ ØÖ º ËÙ Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ó Ò ÓÒ Ð ÚÓÐÙÑ Ò Ð Ô Ö Ð Ô Ô Ó ÕÙ ÓÖÑ Ò ØÖ Ú ØÓÖ ÕÙ ÔÓÐ ÒØ ÐÓ Ó Ý ÓÒ ÙÒ ÓÖ Ò ÓÑ Òº ½º º º ÅÓÑ ÒØÓ ÙÒ Ú ØÓÖ Ö Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ý Ö Ô ØÓ ÙÒ ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÙÖ Ó Ò Ð ÑÔÐ Ð Ô Ð Ö ÑÓÑ ÒØÓ Ô Ö Ò Ö ÒØ ÕÙ ÔÙ Ò Ö Ð Ö Ó Ú ØÓÖ Ð º Ò Ð ÐÙÐÓ Ú ØÓÖ Ð Ð ÑÓÑ ÒØÓ ÙÒ Ú ØÓÖ Ö Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÙÒ Ú ØÓÖ Ý Ò Ñ Ó ÙÒ Ð Ö Ð ÑÓÑ ÒØÓ ÙÒ Ú ØÓÖ Ö Ô ØÓ ÙÒ º Ò ÑÓ Ð ÑÓÑ ÒØÓ ÙÒ Ú ØÓÖ A Ö Ô ØÓ Ð ÔÙÒØÓ O ÓÑÓ Ð Ú ØÓÖ M o = r A ÓÒ r Ð Ú ØÓÖ ÕÙ ÙÒ Ð ÔÙÒØÓ O ÓÒ ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ð Ö Ø EE ÓÔÓÖØ Ð Ú ØÓÖ Aº

19 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á ÓÑÓ Ù Ð º ½º µ Ð Ñ ÙÐÓ Ð ÑÓÑ ÒØÓ M o Ý Ù Ö Ò ÓÒ Ò Ô Ò¹ ÒØ Ð ÔÙÒØÓ P Ð Ó Ó Ö EE º Ë Q Ð ÔÙÒØÓ Ð Ö Ø EE ÓÒ Ð Ø Ò r Q = OQ Ñ Ò Ñ ÑÔÖ ÔÓ ÑÓ ÓÑÔÓÒ Ö Ð Ú ØÓÖ r = OQ+ QP Ý ÒØÓÒ M o = r A = OQ A + QP A = A OQ M o = r O A r Q P A (A) θ E M o O u e M e r E P A (B) θ E E ÙÖ ½º µ ÅÓÑ ÒØÓ M o ÙÒ Ú ØÓÖ Ö Ô ØÓ Ð ÔÙÒØÓ O Ý µ ÅÓÑ ÒØÓ M e ÙÒ Ú ØÓÖ Ö Ô ØÓ Ð EE º Ò Ð ÙÖ Ð Ö Ð Ò ÙÐÓ Ö ØÓ ÒÓ Ö Ð Ð Óº È Ö ÐÐ Ö Ö Ñ ÒØ M e ÔÖÓÝ Ø Ö Ð Ú ØÓÖ M o Ó Ö Ð Ö Ø ³ ÑÔÖ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ð Ò P Ó Ö Ð Ö Ò Aº Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ö Ô ØÓ O ÜÔÖ Ó Ò ÙÒ Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò Ó ÔÓÖ M o = r A = i j k x y z A x A y A z ÓÑÓ ÑÓ Ú ØÓ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ô Ö Ð Ø Ñ Ö Ö Ò ÖØ ÒÓ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÒ EE Ñ ÒØ ÙÒ Ú Ö ÓÖ u e ÓÑÓ Ò Ò Ð º ½º µº Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ú ØÓÖ A Ö Ô ØÓ Ð EE ÙÒ Ð Ö ÕÙ Ö ÙÐØ ÔÖÓÝ Ø Ö Ù Ú ØÓÖ ÑÓÑ ÒØÓ M o Ö Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö O Ð ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÓÒ Ö Ó. Ë ÑÔÐ ÑÓ Ð ÜÔÖ Ò ½º Ø Ò Ö ÑÓ M e = M o u e = (r A) u e. M e = (r A) u e = x y z A x A y A z u x u y u z Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ú ØÓÖ Ö Ô ØÓ ÙÒ ÒÓ Ô Ò Ð ÔÙÒØÓ O ÓÒ Ö Ó ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ñ ÑÓº Ñ Ð Ö Ø ÓÔÓÖØ Ð Ú ØÓÖ A Ý Ð EE ÓÒ Ô Ö Ð Ð ÐÓ ÒØÓÒ M e ÒÙÐÓº

20 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö ½º º Ë Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó ÄÓ Ú ØÓÖ ÕÙ Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ Ù ØÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ ÓÓÖ Ò Ó Ý Ù Ð Ö ÓÒÚ Ò ÒØ Ô ÖÐ ÑÔÐ Ò Ó Ö ÒØ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó º Ä Ö Þ Ò ÕÙ ÒÙ ÒØÖ Ò Ù ÓÒ Ñ Ò ÐÐ Ù Ò Ó Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó ÙØ Ð Þ Ó Ö Ô Ø Ð Ñ ØÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Î ÑÓ ÒØÖÓ Ù Ö ÐÓ ØÖ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó Ñ ÓÑÙÒ Ò Ó Ö Ö Ò Ð ÔÓ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò Ð Ô Ó ÙÒÕÙ ÔÙ Ò ÑÔÐ Ö Ø Ñ Ò ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ Ñ Ò ØÙ Ú ØÓÖ Ðº X X Z r Z p k i O j P Y (A) Y X Z O θ P r p Z r k u r Y (B) u θ ÙÖ ½º½¼ µ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ð ÔÙÒØÓ P Ý µ ÓÓÖ Ò Ð Ò Ö º Ð Ø Ñ ÖØ ÒÓ Ý ÒØÖÓ Ù Ó Ô Ö ÙÒ Ú ØÓÖ Ò Ö Ó V º ½º¾ Ý Ë º ½º µº Ä ÔÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ Ð Ú ØÓÖ r p ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð º ½º½¼ µº Ä ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ö Ø Ö Þ Ò Ð ÔÓ Ò Ó ÔÙÒØÓ Ö Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ (O,X,Y,Z) Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÝ ÓÒ Ð Ú ØÓÖ ÔÓ Ò r p = xi+yj+zk Ð ÔÙÒØÓ P ÐÓ Ð Ö Ó ÐÓ ØÖ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö º Ø Ø Ñ Ù Ð Ö ÓÒ Ð Ù Ò Ó Ð ØÖ Ö ÓÒ Ð Ô Ó ÓÒ Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ º Ë Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ñ ØÖ ÑÙØ Ð Ó Ð Ò Ö ÓÒ Ö Ô ØÓ ÙÒ Ó Ð Ú Ö Ð ÙÒ¹ Ñ ÒØ Ð Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø Ò ÙÒ Ù Ð Ö ÓÒÚ Ò ÒØ ÑÔÐ Ö Ð ÓÓÖ Ò Ð Ò Ö Ò Ð ÕÙ Ð ÔÓ Ò P Ö Ø Ö Þ Ñ ÒØ Ù ÓÓÖ Ò z Ð ÔÖÓÝ Ò r p Ó Ö Ð ÔÐ ÒÓ (X,Y) Ý Ð Ò ÙÐÓ θ ÕÙ ÓÖÑ Ø ÐØ Ñ ÓÒ Ð Xº ÓÑÓ Ù Ð º ½º½¼ µ Ð Ö Ð Ò ÒØÖ Ð ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ý Ð Ð Ò Ö x = r cosθ y = r senθ r = x 2 +y 2 Ý Ð ÔÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ P Ô Ñ ÒØ Ð ÒØ r,θ,zµº Ä ÙÔ Ö ÓÒ r = cte. ÓÒ Ð Ò ÖÓ ÓÒ ÒØÖ Ó ÙÝÓ Ñ ØÖ ÓÒØ Ò Ð Ú Ö ÓÖ kº È Ö Ø Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÒÓ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ö Ò Ö Ð Ý Ð Ð Ò ÙÐÓ θ ÓÑÓ Ò Ò Ð ÙÖ º Ì Ò Ö ÑÓ ½¼

21 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á u r = cosθi+senθj u θ = senθi+cosθj X Z O ϕ θ r p r p P = r Y ÙÖ ½º½½ ÓÓÖ Ò ¹ Ö Ð ÔÙÒØÓ P º ÕÙ ÙÒØÓ ÓÒ Ð Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó k Ø Ò ÐÓ ÔÖÓ ÙØÓ Ú ¹ ØÓÖ Ð k u r = u θ u θ k = u r u r u θ = k ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ Ñ Ð ÒØ ØÓ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó ÓÒ ÑÙÝ Ø Ð Ù Ò Ó ÔÓÖ ÑÔÐÓ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ ÑÙ Ú Ö Ò Ó ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ý ÕÙ u θ Ô Ö Ð ÐÓ Ù Ú ÐÓ º Ò ÐÑ ÒØ ÔÓ ÑÓ ÒÓÒØÖ ÖÒÓ ÓÒ ØÙ ÓÒ ÓÒ ¹ Ñ ØÖ Ö Ò ÓÒ Ù Ð Ö ÓÒ Ð ÑÔÐ Ö ÓÓÖ ¹ Ò Ö º ÓÑÓ Ó ÖÚ Ò Ð º ½º½½ Ð ÔÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ø ÖÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ Ð Ø Ò r = r p Ð ÓÖ Ò O Ð Ò ÙÐÓ θ ÕÙ ÓÖÑ r p ÓÒ Ð Z Ý Ð ÕÙ ÓÖÑ Ð ÔÖÓÝ Ò r p Ó Ö Ð ÔÐ ÒÓ (X,Y)º Ì Ò Ö ÑÓ ÒØÓÒ x = r senθ cosϕ y = r senθ senϕ z = r cosθ r = x 2 +y 2 +z 2 Ö ÙÐØ Ò Ó Ð ÔÓ Ò P Ô ÔÓÖ Ð ÒØ r,θ,ϕµº Ð Ò ÙÐÓ θ Ú Ö ÒØÖ 0 Ý π ÑÓ Ó ÕÙ Ù Ò Ó θ = 0 Ð Ú ØÓÖ r p Ô Ö Ð ÐÓ Ð Ú Ö ÓÖ k Ý Ù Ò Ó θ = π ÔÙÒØ Ò Ð Ö Ò kº Ò Ñ Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ 0 ϕ 2π ÑÓ Ó ÕÙ Ù Ò Ó ϕ = π Ð ÔÖÓÝ Ò r p Ò Ð ÔÐ ÒÓ (X,Y) ÔÙÒØ Ò Ð Ö Ò iº ÄÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ò ÐÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ý ÖØ ÒÓ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÒ ØÖ ÖÓ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó (e r,e θ,e ϕ ) ÐÓ Ð Ö Ó Ö Òº ÈÙ ØÓ ÕÙ Ð ÙÔ Ö ÓÒ r = cte. ÓÒ Ö ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÓÖ Ò O Ø Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó ÑÙÝ Ø Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ø Ò Ò Ñ ØÖ ÐÖ ÓÖ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÒØÖ Ð Ó Ò ÐÓ ÕÙ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ø Ò r Ð ÔÙÒØÓ Ð ÓÖ Òº ½º º ÙÒ ÓÒ Ú ØÓÖ Ð Ý Ð Ö ÍÒ Ú ØÓÖ A(t) ÙÒ ÙÒ Ò Ú Ö Ð Ð Ö t Ù Ò Ó ÐÓ Ð ÙÒ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ º Ë ØÖ Ø ÙÒ ÙÒ Ò ÕÙ Ò Ú ÐÓÖ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ t = t o ÙÒ Ú ØÓÖ A o = A(t o )º ÈÓ ÑÓ ÜÔÖ ÖÐÓ Ð ÓÖÑ A(t) = A x (t)i+a y (t)j+a z (t)k ½º µ Ò ÓÒ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ A x (t),a y (t) Ý A z (t) ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ö Ð Ð Ú Ö Ð Ö Ð tº Ø ÙÒ ÑÓ Ó ØÙ Ð Ö Ö ÙÒ ÙÖÚ Ò Ð Ô Ó Ò ØÖ Ñ Ò ÓÒ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ ØÙ ÐÑ ÒØ ÜÔÖ Ö ÑÓ Ð ÔÓ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò Ð Ô Ó ÓÑÓ ÙÒ Ò Ð Ø ÑÔÓ Ñ ÒØ ÙÒ Ú ØÓÖ ÔÓ Ò r(t)º ËÙ ÔÓ ÓÒ Ò ÐÓ Ò Ø ÒØ Ù ÚÓ t 1,t 2,... ½½

22 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ú Ò Ö Ò Ô Ñ ÒØ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ r 1 = r(t 1 ),r 2 = r(t 2 ),... ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð º ¾º½º Ñ Ð Ú ØÓÖ ÔÓ Ò r(t) ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ú ØÓÖ Ð ÕÙ Ô Ò Ò Ð Ø ÑÔÓ Ð Ð Ö Ò a(t) = a x i+a y j+a z k Ý Ð Ú ÐÓ v(t) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò ¾º½µº Ò Ð Ø Ñ Ò ØÖ Ø ÑÓ ÓÒ Ñ Ò ØÙ ÕÙ ÔÙ Ò Ö Ð Ö P(r) = P(x,y,z) Ó Ú ØÓÖ Ð A(r) = A(x,y,z) Ý ÕÙ ÒÙ ÒØÖ Ò Ò Ó Ö Ö ÓÒ Ð Ô Ó Ö Ô Ò ÒØ Ð Ú ØÓÖ ÔÓ Ò r = xi+yj+zkº ÍÒ ÑÔÓ Ð Ö ÙÒ ÙÒ Ò ÕÙ Ò ÔÙÒØÓ Ð Ô Ór Ð Ú ÐÓÖ ÙÒ Ñ Ò ØÙ Ð Ö P(r)º Ù Ò Ó Ð Ñ¹ ÔÓ Ð Ö ÙÒ Ò ÙÒ Ú Ö Ð ÒØÓÒ ÔÙ ÑÔÐ Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö ØÙ Ð Ý ÓÒÓ ÔÓÖ Ð ÐÙÑÒÓ ÕÙ ÓÒ Ø Ò Ù Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ {(x,p(x))} Ò¹ Ñ Ö Ó Ò ÖØ ÒÓ (x,p)º Ù Ò Ó Ð ÑÔÓ Ð Ö ÙÒ Ò Ó Ú Ö Ð Ù Ñ ÒØ ÙÒ Ù Ó Ò Ô Ö Ô Ø Ú Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ {(x,y,p(x,y))}º Ù Ò Ó Ð ÑÔÓ Ð Ö ÙÒ Ò ØÖ Ú Ö Ð ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÓÑÓ Ð ÒØ Ö ÓÖ Ý ÒÓ ÔÓ Ð ÔÓÖÕÙ ÒÓ Ø ÑÓ Ó ØÙÑ Ö Ó Ö ÔÖ ÒØ Ö Ô Ö Ô Ø Ú Ó ØÓ Ù ØÖÓ Ñ Ò ÓÒ x,y,z,p)º Ò Ø Ó ÔÙ Ù Ö X z p Z ( x p,y p ) ÙÖ ½º½¾ Á Ó ÙÔ Ö Ð ÙÒ Ò Ð Ö P(x,y,z) P ØÓÑ Ð Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ Ò Ù ÐÕÙ Ö ÔÙÒØÓ Ð ÙÔ Ö¹ Ö ÔÖ ÒØ µº Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ò ÓÒ Ð ÙÒ Ò ØÓÑ ÙÒ ÖØÓ Ú ÐÓÖº Ë Ó Ø Ò Ò Ð ÐÐ Ñ Ó ÙÔ Ö Ð Ù Ð Ú Ò Ò ÔÓÖ Ð Ù Ò P(x,y,z) = constanteº ÍÒ ÑÔÐÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð º ½º½¾º ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ Ñ Ð ÒØ ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ð Ö Ð ÔÓØ Ò Ð Ö Ú Ø ØÓÖ Ó U(r) Ò º º¾µ Ó Ð ÔÓØ Ò Ð Ð ØÖ Ó φ(r) Ò º º µº ds = n ds Γ S n X r Z d l = Y t t dl Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÙÒ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÙÒ ÙÒ Ò ÕÙ ¹ Ò ÙÒ Ú ØÓÖ V (x,y,z) ÔÙÒØÓ (x,y,z) ÙÒ ÖØ Ö Ò Ð Ô Óº ÙÒ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ú ØÓÖ Ó¹ ÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÒ ÙÒ Ò Ð Ö ÑÓ Ó ÕÙ V (r) = V x (x,y,z)i+v y (x,y,z)j+v z (x,y,z)k ÍÒ ÑÔÐÓ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð ÑÔÓ Ð ØÖÓ Ø Ø Ó ÙÖ ½º½ ËÙÔ Ö S E(r) Ò º¾º½º¾µ ÕÙ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø ÑÔÓ Ò ÕÙ ÔÓÝ Ò Ð ÙÖÚ ÔÙÒØÓ Ð Ô Ó rº Γº ÈÓÖ ÐØ ÑÓ ÐÓ ÑÔÓ Ð Ö Ý Ú ØÓÖ Ð Ø Ñ Ò ÔÙ Ò Ô Ò Ö Ð Ø ÑÔÓ Ý ÒØÓÒ Ø Ò Ö ÑÓ P(r,t) Ý V(r,t)º P Y ½º º½º ÙÖÚ Ý ÙÔ Ö ÓÒÚ Ò Ó ÒÓ ÄÓ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó ÒØÖÓ Ù Ó Ò Ð Ô º ÙØ Ð Þ Ò Ñ Ô Ö Ò Ö Ð ÓÖ Ò¹ Ø Ò ÙÖÚ Ý ÙÔ Ö Ò Ð Ô Óº Ò Ð ÙÖ ½º½ ÑÙ ØÖ ÙÒ ÙÔ Ö S Ð Ñ Ø ÔÓÖ ÙÒ ÙÖÚ Γ Ò Ð ÕÙ ÔÓÝ º ½¾

23 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á Ä ÓÖ ÒØ Ò ÙÒ ÙÔ Ö Ò Ð Ô Ó Ö Ø Ö Þ Ñ ÒØ ÙÒ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó n Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ñ Ñ Ò ÔÙÒØÓ Ý Ù Ò Ó ÖÖ ØÓÑ n ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÒÓÖÑ Ð ÜØ Ö ÓÖ Ð Ñ Ñ º Ð Ð Ñ ÒØÓ ÙÔ Ö ds = nds ÓÒ n Ð Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó ÒÓÖÑ Ð Ð Ñ Ñ Ò ÔÙÒØÓ Ý ds Ð Ð Ñ ÒØÓ Ö º ÈÓ ÑÓ Ø Ñ Ò Ò Ö Ð Ú ØÓÖ dl = tdl Ó Ö Ð ÙÖÚ Γ Ò ÓÒ dl Ð Ð Ñ ÒØÓ ÐÓÒ ØÙ Ý t ÙÒ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó Ø Ò ÒØ Ð ÙÖÚ Ò ÔÙÒØÓ ÓÑÓ Ò Ò Ð º ½º½ º Ð ÒØ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ð Ö ÓÖÖ Ó Γ ØÓÑ ÓÑÓ Ò Ò Ð ÙÖ ½º½ Ö ÓÒ Ð Ö Ð Ð Ñ ÒÓ Ö Ð ÔÙÐ Ö ÔÙÒØ Ò n Ù Ò Ó Ð Ö ØÓ ÐÓ Ó Ù Ò Ð Ö Ò tº µ ½º º¾º Ö Ú ÙÒ ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð Ö Ô ØÓ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÈÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð Ö Ú Ð ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð A(t) º ½º µ Ö Ô ØÓ Ð Ô Ö Ñ ÖÓ t ÑÔÐ Ò Ó Ö Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ò da = lím A(t+ t) A(t) = da x t 0 t i+ da y jda z k Ì Ñ Ò ÔÙ Ò Ò Ö Ö Ú Ù Ú Ð ÙÒ Ò d 2 A 2 = d ( ) da Ä Ö Ð Ö Ú Ò ÙÒ ÓÒ Ú ØÓÖ Ð ÓÒ ÑÙÝ Ñ ÒØ Ð ÙÒ ÙÒ Ò Ö Ðº Ô ÖØ Ö Ð ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ ÔÙ Ò Ù Ö Ð Ù ÒØ Ö Ð ÓÒ d (A(t)+B(t)) = da + db d db (λa(t)) = λ d [A(t) B(t)] = da d [A(t) B(t)] = da db B(t)+A(t) db B(t)+A(t) Ë ÙÒ ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð A(t) = A(t)u ÔÙÒØ ÑÔÖ ÐÓ Ð Ö Ó ÙÒ Ö Ò ÓÒ Ø ÒØ u Ù Ö Ú ÔÙÒØ ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ñ Ñ Ö Òº da = da u = Ȧ(t)u Ë Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð A(t) = A ÓÒ Ø ÒØ Ù ÜØÖ ÑÓ ÑÙ Ú Ó Ö ÙÒ ÙÔ Ö Ö Ö Ó Aº Ñ Ù Ö Ú Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÙÒ Ò ÔÙ Ø Ò Ö ÑÓ d (A2 ) = 0 = d A 2 = d ( (A A) = 2 A da ) = 0 Luego, A(t) da ½

24 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö ½º º º ÁÒØ Ö Ò ÙÒ ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð Ö Ô ØÓ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ È Ö ÙÒ ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ A(t) Ò ÑÓ Ù ÒØ Ö Ð Ò Ò ÓÑÓ Ð ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð B(t) Ø Ð ÕÙ A(t) = db ÕÙ ÒÓØ Ö ÑÓ ÓÑÓ B(t) = A(t) Ý C ÙÒ Ú ØÓÖ ÓÒ Ø ÒØ Ù ÐÕÙ Ö B(t)+C Ø Ñ Ò Ð ÒØ Ö Ð A(t)º Ä ÒØ Ö Ð Ò Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [t a,t b ] Ó Ø Ò Ú Ò Ó Ø Ò N Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ t i = t i t i 1 Ò Ó t a = t 1 < t 2 <... < t N = t b ÑÓ Ó ÕÙ tb t a A(t) = lím N A(t i ) t i ÙÒ Ò Ò ÑÙÝ Ñ Ð Ö Ð Ê Ñ ÒÒ ÐÚÓ ÕÙ Ð ÒØ Ö Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ðº ÔÐ Ò Ó Ð Ö Ð ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÑÓ ÜÔÖ ÖÐ Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ tb t a A(t) = ( tb t a ) ( tb A x (t) i+ t a i=1 ) ( tb A y (t) j+ t a ) A z (t) k ÓÒ Ö Ò Ó ÕÙ ÐÓ Ú Ö ÓÖ Ð Ø Ñ Ö Ö Ò ÖØ ÒÓ ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ º Ä ÒØ Ö Ð Ð ØÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ A x (t),a y (t) Ý A z (t) ÙÑÔÐ Ò Ð Ö Ð Ð ÐÙÐÓ Ú ØÓÖ Ðº ½º º º ÁÒØ Ö Ð Ð Ò Ä ÓÔ Ö ÓÒ ÓÒ Ú ØÓÖ Ô ÖÑ Ø Ò Ò Ö ÓÔ Ö ÓÒ Ñ ÓÑÔÐ ÕÙ ÒÚÓÐÙÖ Ò Ð ÒØ Ö Ð ÙÒ ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ðº ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ Ù Ñ ÒØ Ð ÒØ Ö Ð Ð Ò Ó ÖÙÐ Ò ÙÒ Ú ØÓÖ ÙÒ ÓÒ ÔØÓ Ò Ö Ó Ô Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ð ØÖ Ó ÙÒ Ù ÖÞ ½ º ÓÑÓ ÑÓ Ú ØÓ Ò Ð Ë º ½º ÙÒ ÙÖÚ C Ò Ð Ô Ó ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð ØÖ Ý ØÓÖ ÙÒ ÔÙÒØÓµ ÔÙ Ö Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð r(t) ÕÙ Ô Ò ÙÒ Ô Ö Ñ ÒØÖÓ Ð Ø ÑÔÓ Ò Ð Ó ÙÒ ØÖ Ý ØÓÖ µº ÓÒ Ö ÑÓ Ñ ÕÙ ÙÒ ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ ÞÓÒ Ð Ô Ó V (r) = V x (r)i+v y (r)j+v z (r)k ÑÓ Ó ÕÙ Ò ÔÙÒØÓ Ð ÙÖÚ C Ð ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð ØÓÑ Ð Ú ÐÓÖ V(r(t))º ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ð º ½º½ ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ Ð ÙÖÚ A Ý B Ó ÔÓ ÑÓ Ú ÖÐ Ò N ØÖ ÑÓ Ô ÕÙ Ó ÐÓÒ ØÙ r j Ò Ó ÔÓÖ ÐÓ Ú ØÓÖ r j = r j r j 1 ÓÒ Ð ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð ØÓÑ ÐÓ Ú ÐÓÖ V j = V(r j )º Ò ÙÒÓ ÐÓ j = 1,...,N + 1 ÔÙÒØÓ ÔÓ ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ÐÓ ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö V j r j = V j r j cos θ j Ò ÓÒ θ j Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÙÖÚ Ð Ú ØÓÖ r j ÓÒ Ð Ú ØÓÖ V j º ÈÙ ØÓ ÕÙ Ð Ö ÙÐØ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ ÑÓ ÙÑ ÖÐÓ ½ Ä ÒØ Ö Ð Ð Ò ÒØÖÓ Ù Ò Ð Ë º º¾ Ô º ¾¼ ¹¾¼ ÎÓÐ Á Ð Ê º ½ Ò Ð ÓÒØ ÜØÓ Ð ØÖ Ó ÙÒ Ù ÖÞ º ½

25 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á C X A Z O r 1 r 2 r 3 V 1 r 2 V 2 θ 2 V r 3 θ 3 3 r V 4 θ 4 4 Y r 4 r(t) r 5 r 5 B I = V 5 V j r j j=1 Ý ÓÒ Ö Ö ÙÒ Ð Ñ Ø Ò Ó ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ ØÖ ÑÓ N Ò ÕÙ Ú ÑÓ Ð ÙÖÚ C ÒØÖ A Ý B ÙÑ ÒØ Ò Ò Ñ ÒØ Ý Ð Ø Ò r j = r j r j 1 Ò Ú Þ Ñ Ô ÕÙ º ÒØÓÒ Ð Ú ØÓÖ r j = r j r j 1 dl = tdl Ô Ö Ð ÐÓ Ð Ú ØÓÖ t Ø Ò ÒØ Ð ÙÖÚ Ò ÔÙÒØÓ ÙÝÓ Ñ ÙÐÓ Ò Ò Ø Ñ Ð Ð ÐÓÒ ØÙ ÖÓ dlº Ì Ò Ö ÑÓ ÒØÓÒ ÙÖ ½º½ ÙÖÚ C Ò ÔÓÖ r(t) Ò ÙÒ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð V (r)º Ø ÐØ Ñ ÜÔÖ Ò ÒÓÑ Ò ÒØ Ö Ð Ð ¹ Ò Ð ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð V(r) ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÙÖÚ C ÒØÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A Ý B ÓÒ Ö Ó º Ð Ú ØÓÖ dl Ð ÔÐ Ò ÐÓ Ö Ø Ö Ó ÙØ Ó Ò Ð È º ½¾ Ó Ö Ð ÒØ Ó Ö ÓÖÖ Ó Ð ÙÖÚ Cº I = V j r j j=1 C V(r) dl dl AB = dl BA A C 1 C 2 C B ÙÖ ½º½ Ä ÙÖÚ ÖÖ C ÓÑÔÓÒ Ò Ó C 1 Ý C 2 º Ù Ò Ó Ð ÙÖÚ ÖÖ Ù Ð Ò Ö Ò Ð ÒÓ ÒØ Ö Ð Ñ ÒØ I = C V(r) dl Ý Ø ÒØ Ö Ð Ð Ò Ð ÒÓÑ Ò ÖÙÐ Ò Ð ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð V(r) ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÙÖÚ Cº Ñ Ð ÙÖÚ ÙÒ ÙÒ Ò Ù Ú ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð º ½º º ÔÙ Óѹ ÔÓÒ Ö Ò Ó ÙÖÚ C 1 Ý C 2 ÕÙ ÓÑÔ ÖØ Ò ÙÒ ØÖ ÑÓ ÓÑ Ò ABº Ë ÜØ Ò ÑÓ Ð ÒØ Ö Ð Ð Ò Ó Ö ÐÓ ÓÖ ÙÒÓ ÐÓ Ó Ö ÒØÓ Ð º ½º º Ø Ò Ö ÑÓ I = C V(r) dr = V(r) dl+ V(r) dl. C 1 C 2 ½

26 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ú ÒØ Ñ ÒØ Ð ÖÙÐ Ò Ð ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð V(r) Ò Ð ÒØ Ó AB Ö Ù Ð Ý Ñ ÒÓ Ð Ð ÒØ Ó BA Ý ÐÓ Ð Ö Ó Ø ØÖ ÑÓ dl 1 = dl 2 B A B V(r) dl 1 = V(r) dl 2. A ½

27 È ÌÍÄÇ ¾ ÁÆ ÅýÌÁ ÍÆ È ÊÌ ÍÄ ¾º½º ÈÓ ÓÒ Ú ÐÓ Ý Ð Ö ÓÒ ÍÒ Ô ÖØ ÙÐ Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ó ØÓ ÙÝ Ñ Ò ÓÒ ÓÒ Ô ÕÙ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÓÖÖ Ò Ù ÑÓÚ Ñ ÒØÓº Ë ØÖ Ø ÙÒ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ò Ð ÕÙ ÓÒ Ö ÑÓ ÓÐ Ñ ÒØ ÐÓ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ØÖ Ð Ò ÐÓ Ó ØÓ ÕÙ ÓÒ Ö Ø Ö Þ Ó ÓÑÓ ÔÙÒØÓ Ñ mº ËÙ ÔÓ Ò r Ò Ð Ô Ó Ø ÖÑ Ò Ñ ÒØ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓÑ ØÖ Ó Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÓÖ ÙÒ Ú ØÓÖ Ö Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ Ö Ö Ò S(O,X,Y,Z) ÓÖ Ò O ÓÑÓ Ó ÖÚ Ò Ð º ¾º½º Ä ÓÓÖ Ò r Ñ Ò Ò Ð ÙÖ Ó Ð Ø ÑÔÓ Ñ ÕÙ ÔÐ Þ º Ä ÙÒ Ò Ú ØÓÖ Ð r(t) ÕÙ ÒÓ Ò ÒÙ ÒØÖ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ø ÒØ ÒÓÑ Ò Ð Ý ÓÖ Ö Ð Ñ Ú Ðº Ò ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ð Ð Ý ÓÖ Ö ÜÔÖ r(t) = x(t)i+y(t)j +z(t)k. Ä ØÖ Ý ØÓÖ Ð Ñ Ú Ð Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð Ô Ó ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ô Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ {r(t)} ÓÒ t Ö ÓÖÖ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÑÔÓ ÓÒ Ö Óº ÍÒ Ñ Ñ r(t) Z P r 3 r 2 r 1 X Y ÙÖ ¾º½ ÌÖ Ý ØÓÖ Ð Ô ÖØ ÙÐ P Ö Ø Ñ ÒØ Ù Ú ØÓÖ ÔÓ Ò r(t) Ö Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓº ½

28 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö ØÖ Ý ØÓÖ ÔÙ Ö ÓÖÖ Ö ÓÒ Ð Ý ÓÖ Ö Ø ÒØ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ ØÓ Ó ÐÓ Ó ÕÙ Ú Ò Ð Ó Å Ö ÔÓÖ Ð Ñ Ñ ÙØÓÔ Ø µ Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ ØÖ Ý ØÓÖ Ô ÖÓ Ð Ö ÓÖÖ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ð Ý ÓÖ Ö º Ð Ú ØÓÖ Ú ÐÓ v(t) Ð Ö Ú r(t) ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ r(t+ t) r(t) r v = lím = lím t 0 t t 0 t = dr Ð ØÙ Ö Ð Ö Ú Ò Ö Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ S Ó ÙÝ ÔÓ Ò Ô ÖÑ Ò ÒÚ Ö Ð Ò Ð Ø ÑÔÓ ØÓÑ Ò ÐÓ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó i,j,kµ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ø Ò Ö ÑÓ v = dx dy i+ j + dz k ÓÒ dx/,dy/ Ý dz/ ÓÒ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ú ØÓÖ Ú ÐÓ Ò Ð Ø Ñ Sº Ò ÐÓ ÔÙÒØ Ö Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð Ú Ö Ð Ô Ö Ò Ö Ð Ö Ú Ø ÑÔÓÖ Ð ÙÒ ÒØ Ð Ö Ó Ú ØÓÖ Ð ÔÓÖ ÑÔÐÓ ẋ(t) dx/ Ó A da/º Ð Ñ ÙÐÓ ÙÒ Ú ØÓÖ Ö Ö ÓÑÓ Ð Ú ØÓÖ ÒØÖ ÖÖ ÔÓÖ ÑÔÐÓ v µ Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ð ØÖ Ò Ò Ö Ø vµº Ë ÒØÖÓ Ù ÑÓ Ð ÖÓ s Ô ÕÙ Ó Ð ÙÖÚ ØÖ Ý ØÓÖ µ ÕÙ Ö ÓÖÖ Ð Ô ÖØ ÙÐ ÙÖ ÒØ Ð Ø ÑÔÓ t º ¾º¾µ Ö ÙÐØ r t = r r r s s t, r(t) S r r(t o + t) Ò Ð Ð Ñ Ø t 0 Ø Ò Ö ÑÓ s/ t v ÕÙ Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ú ØÓÖ Ú ÐÓ Ý r/ r τ ÕÙ ÙÒ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó τ = 1µ Ø Ò ÒØ Ð ØÖ Ý ØÓÖ r(t) Ò ØÓ Ó Ò Ø ÒØ º r(t o ) v = τ 1 v = vτ ÙÖ ¾º¾ ÖÓ s Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ð Ô ÖØ ÙÐ º Ñ Ð Ú ØÓÖ τ Ý Ù Ö Ú Ò Ö Ô ÖÔ Ò¹ ÙÐ Ö ÔÙ ØÓ ÕÙ Ö Ú ÑÓ τ τ = 1 τ dτ = 0 Ä Ð Ö Ò Ð Ô ÖØ ÙÐ ÐÙÐ Ö Ú Ò Ó ÒÙ ÚÓ Ð Ú ØÓÖ Ú ÐÓ v(t) Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ v a = lím t 0 t = ẍi+ÿj + zk Ý Ø Ñ Ò ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ò ÖÐ Ô ÖØ Ö Ð Ú ØÓÖ v = v(t)τ a(t) = dv = dv dτ τ +v(t) ¾º½µ ½

29 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á ÓÒ Ò Ø ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð Ö Ú Ð Ú ØÓÖ Ø Ò ÒØ Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ τ τ (t o + t) τ ϕ ρ τ(t o ) (t o + t) ϕ C (t o ) n (t o ) ÙÖ ¾º Ò ÙÐÓ ϕ ÕÙ ÖÓØ ÐÖ ¹ ÓÖ Ð ÔÙÒØÓ C Ð Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó Ø Ò¹ ÒØ τ(t) ÙÖ ÒØ Ð Ô ÕÙ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÑÔÓ t º Ó Ø Ò τ dτ = lím τ t 0 t Æ Ø ÕÙ τ Ø Ò ÐÓÒ ØÙ ÓÒ Ø ÒØ ÙÒ Ø Ö Óµ Ý ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö Ú Ö Ò Ø ÑÔÓÖ Ð ÐÓ ÔÙ Ö Ó ÙÒ Ñ Ó Ù Ö Ò Ó ÒØ Óº ÓÑÓ Ò Ð ÙÖ ¾º ÙÖ ÒØ ÙÒ Ø ÑÔÓ t Ô ÕÙ Ó ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ϕ ÑÓ Ó ÕÙ Ð Ú ØÓÖ Ö Ò τ Ò Ð Ð Ñ Ø t 0 ÔÙÒØ Ö Ò Ð Ö Ò Ð ÒÓÖÑ Ð Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ý Ø Ò Ö ÑÓ dτ = lím τ t 0 ϕ ϕ s s t Ò Ó ϕ Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ τ(t o ) Ý τ( t+t o )º Î ÑÓ ÕÙ τ/ ϕ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ ÙÒ Ú Ö ÓÖ n(t o ) ÒÓÖ¹ Ñ Ð τ(t o ) ÓÒØ Ò Ó Ò Ð ÔÐ ÒÓ Ð Ñ Ø Ò Ó ÔÓÖ τ(t o ) Ýτ(t o + t) Ý ÕÙ ÔÙÒØ Ð ÓÒ Ú Ð ÙÖÚ º Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ò Ð Ð Ñ Ø t 0 ÙÑÔÐ s/ t v Ý Ò Ò Ó Ð Ö Ó ÙÖÚ ¹ ØÙÖ ÓÑÓ ½ 1 ρ lím ϕ s 0 s dτ = lím τ t 0 t = v ρ n(t) ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ò Ð Ù ÓÒ ¾º½ Ö ÙÐØ Ò ÐÑ ÒØ ¾º¾µ a = dv τ + v2 ρ n ¾º µ Ð ÔÖ Ñ Ö ÙÑ Ò Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò Ò Ð a τ = (dv/)τ Ð Ú ØÓÖ ¹ Ð Ö Ò Ý Ð ÙÒ Ó Ð Ð Ö Ò ÒØÖ Ô Ø a n = (v 2 /ρ)n Ó ÒÓÖÑ Ðº ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ú ØÓÖ ÐÑ ÒØ Ð Ù Ò ¾º ÔÓÖ v Ý ØÓÑ Ò Ó Ñ ÙÐÓ Ó Ø Ò ρ = v3 a v ÕÙ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ö Ó ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÙÒ Ò Ð Ú ÐÓ Ý Ð Ð Ö Òº Ç ÖÚ ÕÙ ρ ÙÒ Ö Ø Ö Ø ÐÓ Ð Ö Ò Ò Ö Ð Ö ÒØ Ò ÙÒÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð ØÖ Ý ØÓÖ º Ô Ò ÓÐÓ Ð ÓÖÑ Ð ØÖ Ý ØÓÖ ÓÑÓ Ú Ò ¾º¾µº Ë Ò Ñ Ö Ó ÔÙ ÐÙÐ Ö Ô ÖØ Ö Ð Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ ÕÙ Ø Ò Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ý Ð Ö ÓÖÖ ÓÒ ÙÒ Ð Ý ÓÖ Ö r(t) Ù ÐÕÙ Ö º Ó Ù ÔÓÖÕÙ Ð ½ ÈÙ ÓÒ ÙÐØ Ö Ð Ò º Ô º ½¼ Ý ½¼ Ð ÎÓÐ Á Ð Ê º ½ º ½

30 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ú ÐÓ Ý Ð Ð Ö Ò ÒÓ ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ ÒÓ ÕÙ Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ö Ð Ö Ð Ò ÔÖ ÒØ º Ç Ú Ñ ÒØ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö Ð Ö Ó ÙÖÚ ØÙÖ Ù Ð Ð Ö Ó ρ = Rµ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÕÙ Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ Ý Ð ØÖ Ý ØÓÖ ÙÒ Ö Ø ρ = µ ÒÓ Ü Ø Ö Ð Ö Ò ÒÓÖÑ Ðº Ù Ò Ó a = 0 Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ö Ø Ð Ò Ó Ý ÙÒ ÓÖÑ Ö ÙÐØ Ò Ó Ö Ø Ð Ò Ó Ý Ð Ö Ó Ù Ò Ó a t 0 Ý a n = 0º Ë Ð Ð Ö Ò Ø Ò Ò Ð ÒÙÐ a t = 0µ Ý a n 0 Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ö ÙÖÚ Ð Ò Ó Ý Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ö ÙÒ ÙÒ Ö Ò Ó ÙÒ Ð Ñ a n ÓÒ Ø ÒØ º Ð Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð τ Ý n Ò b = τ n. Ð ØÖ ÖÓ Ö (τ,n,b) ÐÐ Ñ ØÖ ÖÓ ÒØÖ Ò Óº ÐÓ ÔÐ ÒÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ð Ô Ö Ú ØÓÖ τ Ý b τ Ý n Ý n Ý b Ð ÒÓÑ Ò Ò ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ Ó ÙÐ ÓÖ Ý ÒÓÖÑ Ð Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ê ÙÑ Ò Ó ÐÓ Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ ÙÖÚ r = r(s) Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÔÓÖ Ð ÐÓÒ ØÙ ÖÓ s Ø Ò τ = 1 dr(s) dr ds ds, n = 1 dτ ds dτ(s) ds, b = τ n. ¾º¾º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö ω (t) C P ÙÖ ¾º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Öº r (t) v (t) Ò Ð Þ Ö ÑÓ Ð Ó Ò ÐÐÓ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ P ÕÙ ÑÙ Ú Ó Ö ÙÒ ÔÐ ÒÓ Ö Ò Ó ÙÒ ÖÙÒ¹ Ö Ò Ö Ó ÓÒ Ø ÒØ R = r(t) ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ð ÙÖ ¾º º Ò ØÓ Ó Ò Ø ÒØ Ø ÑÔÓ Ù ÔÓ ¹ Ò r(t) Ý Ú ÐÓ v(t) Ø Ö Ò ÓÒØ Ò Ò Ó ÔÐ ÒÓ Ò Ó Ø ÐØ Ñ Ø Ò ÒØ Ð ÖÙÐÓ Ö Ó R Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ú ØÓÖ r(t) ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ð º ¾º º ÈÓ ÑÓ ÒØÖÓ Ù Ö Ð Ú ØÓÖ Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö ω(t) Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÔÐ ÒÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ r(t) Ý v(t) ÑÓ¹ Ó ÕÙ v(t) = ω(t) r(t) ¾º µ Ý Ö Ú ÑÓ ÒÙ ÚÓ Ð º ¾º Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ Ó Ø Ò ÑÓ Ô Ö Ð Ð Ö Ò a(t) = dω r(t)+ω(t) dr a(t) = dω r(t)+ω(t) [ω(t) r(t)] ¾º µ ¾¼

31 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á Î ÑÓ ÓÒØ ÒÙ Ò ÑÓ Ö Ò Ð Ù ÓÒ ¾º Ý ¾º Ò Ð ØÖ ÖÓ ÒØÖ Ò Óº Ø Ö ÕÙ Ô Ö ØÙ Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ Ò Ù ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö ÐÓ Ò Ö Ó Ö ÙÒ ÓÓÖ Ò ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ò ÙÐÓ θ ÕÙ ÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ CP ÓÒ Ð x Ú Ö ÙÖ ¾º Ý ¾º µº Ò Ø Ó ÕÙ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ø Ò ÙÒ Ò Ó Ö Ó Ð ÖØ Ý ÐÓ Ú ØÓÖ ÔÓ Ò Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò Ö Ò ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ θ Ý Ù Ó ÔÖ Ñ Ö Ö Ú Ø ÑÔÓÖ Ð θ Ý θµº Ù Ù Ð ¾ ÙØ Ð Þ Ö Ò ÐÙ Ö τ Ý n ÐÓ Ú ØÓÖ u r = n Ý u θ = τ ÕÙ ÔÖÓÝ Ø Ó Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ ÒÓ ÓÒ Ú Ö º ¾º µ u r = cosθi+senθj y u θ = senθi+cosθj ¾º µ Ë ÔÙ ÓÑÔÖÓ Ö ÕÙ ÐÓ ØÖ Ú ØÓÖ (u r,u θ, k) ÓÖÑ Ò ÙÒ ØÖ ÖÓ Ö Ý Ø Ò Ð Ù ÒØ Ö Ð ÓÒ u r u θ = k u θ k = u r k u r = u θ du r dθ = u θ, du θ dθ = u r. Ø Ø Ñ Ù Ó Ô Ö ØÙ Ö Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö Ý ÕÙ Ð ÔÓ Ò Ý Ð Ú ÐÓ Ö Ò ÓÑÓ r(t) = Ru r Ý v(t) = v(t)u θ º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ö Ð Ð Ò Ý Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ θ Ñ ÓÒ Ð Ø ÑÔÓ ÐÓ Ú ØÓÖ ÔÓ Ò Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö ÜÔÖ Ò Ð Ù ÒØ Ñ Ò Ö r(t) = Ru r v(t) = d [Ru r(θ)] = R du r dθ a(t) = d [R θu θ ] = R d θ u θ +R θ du θ Ä Ð Ö Ò ÒØÖ Ô Ø a c = R θ 2 u r ÔÙÒ¹ Ø Ð ÓÖ Ò C Ð ÖÙÒ Ö Ò Ð º ¾º º ÓÒ Ð Ù ÓÒ ¾º ¾º Ý ¾º Óѹ ÔÖÙ ÕÙ ÐÓ Ú ØÓÖ Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö ω Ý Ð Ö Ò Ò ÙÐ Ö ω ÓÒ ω(t) = θk Ý dω = θk. Ý Ð ÒØ Ó θ(t) > 0 ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ð Ò ÙÐÓ θ(t) Ö ÒØ ÓÑÓ Ò Ò Ð º ¾º º ÈÓÖ Ø ÒØÓ Ò ÙÒ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö Ø Ò ω(t) = v(t)/rº dθ = R θu θ ¾º µ ¾º µ = R θu θ R θ 2 u r ¾º µ X Z θ u r k Y u θ ÙÖ ¾º ÌÖ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ Ú ØÓÖ u r,u θ, kµº ÈÓÖ ÐØ ÑÓ Ý ÕÙ Ù Ö Ý Ö ÕÙ ÑÔÐ ÑÓ Ð Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð n = u r Ø Ò Ö ÑÓ ÙÒ Ñ Ó ÒÓ dτ dθ = n y, dn dθ = τ ¾º½¼µ ¾ Ø Ú ØÓÖ Ø Ò Ó Ò Ð Ô º ½¼ Ð Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ Ý Ø Ñ Ò ÔÙ ÓÒ ÙÐØ Ö Ð Ò º Ô º ¹ Ð Ê º ¾ º ¾½

32 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ý Ð Ð Ö Ò Ö ÙÐØ Ö a(t) = R θτ + R θ 2 n ÕÙ Ð Ñ ÑÓ Ú ØÓÖ ÕÙ Ó ØÙÚ ÑÓ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º ¾º º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ Ò ÙÒ ÔÐ ÒÓ ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð º ¾º ÔÓ ÑÓ ¹ Ò Ö Ð Þ Ö ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ P ÕÙ ÑÙ Ú Ò ÙÒ ÔÐ ÒÓ Ö Ò¹ Ó ÙÒ ØÖ Ý ØÓÖ Ö ØÖ Ö º Ò Ø Ó Ò ÓÒ Ò Ö Ó ÓÓÖ Ò Ô Ö ØÙ Ö Ð Ô ÖØ Ù¹ Ð Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ø Ò Ð ÓÖ Ò r(t) Ý Ð Ò ÙÐÓ θ(t) ÕÙ ÓÖÑ Ò Ð Ú ØÓÖ r Ý Ð xº Î ÑÓ ÔÙ ÓÑÓ ÜÔÖ Ò ÐÓ Ú ¹ ØÓÖ ÔÓ Ò Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò ÒÓ Ò Ð ØÖ ÖÓ ÒØÖ Ò Ó ÒÓ Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ ¹ Ò ÔÓÐ Ö ÓÒ Ú Ö ÓÖ (u r,u θ, k) Ú Ö º ¾º µº ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ö Ð Ð Ò Ó Ø Ò r(t) = r(t)u r v(t) = d [r(t)u r] = dr u r +r(t) du r a(t) = ru r +ṙ du r +ṙ θu θ +r θu θ +r θ du θ X Z θ(t) r(t) P ur ÙÖ ¾º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ Ò Ö Ð Ð Ô ÖØ ¹ ÙÐ P ÙÝ ØÖ Ý ØÓÖ Ø ÓÒØ Ò Ò ÙÒ ÔÐ ÒÓº Y u θ ¾º½½µ = ṙu r +r θu θ ¾º½¾µ = ( r r θ 2 )u r +(r θ+2ṙ θ)u θ ¾º½ µ Y v r A v θ r(t) P v B u θ ur θ (t) X ÙÖ ¾º ÓÑÔÓÒ ÒØ v r Ý v θ Ð Ú ÐÓ P º Ä Ù Ò ¾º½¾ ÑÙ ØÖ ÓÑÓ Ð Ú ÐÓ v(t) ÕÙ Ô Ö Ð Ð Ð Ú ØÓÖ Ø Ò ÒØ τ Ð ØÖ Ý ØÓÖ ÔÙ ÓÑÔÓÒ Ö Ò Ù ÔÖÓÝ Ò v r ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ú Ö ÓÖ u r Ý Ù ÔÖÓÝ Ò v θ ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ö Ø AB Ô Ö Ð Ð Ð Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó u θ Ú Ö º ¾º µº ÈÓÖ Ø ÒØÓ Ò Ò Ö Ð Ð Ú ØÓÖ Ø Ò ÒØ τ Ð ØÖ Ý ØÓÖ P ÒÓ Ö Ô Ö Ð ÐÓ u θ ÓÑÓ Ò Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö ØÙ Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º ÍÒ ÒØ ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö Ö Ù ÒØ Ñ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ô ÖØ ÙÐ ÕÙ Ò Ø Ó Ø Ò Ð ÓÖÑ E c = mv2 = m (ṙ ) 2 +r 2 θ2 2 2 ¾¾

33 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á ÈÓÖ ÐØ ÑÓ Ð Ð ØÓÖ ÔÙ ÓÑÔÖÓ Ö ÕÙ Ù Ò Ó r(t) = R ÓÒ Ø ÒØ ṙ = r = 0µ Ö ÙÔ ¹ Ö ÑÓ Ð Ú ÐÓ º ¾º µ Ý Ð Ö Ò º ¾º µ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö Ý ÐÓ Ú Ö ÓÖ τ Ý u θ ÓÒ Ô Ö Ð ÐÓ º ¾

34 È ÌÍÄÇ ÅÇÎÁÅÁ ÆÌÇ Ê Ä ÌÁÎÇ P r p (t) X r p (t) Z S S Z r oo O Y X O Y ÙÖ º½ Ä Ô ÖØ ÙÐ È ÑÙ Ú Ö Ô ØÓ Ó ØÖ ÖÓ Ë Ý Ë³º Ò Ð Ô ØÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ÓÒ Ö Ó Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ö Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ Sº Ë Ò Ñ Ö Ó Ð ØÖ Ý ØÓÖ ÙÒ Ñ Ñ Ô ÖØ ÙÐ ÔÙ Ö Ö Ø ¹ Ö ÒØ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó ÕÙ ÒÙ ÒØÖ Ò Ò ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ù Ú Þ ÙÒÓ Ö Ô ØÓ ÓØÖÓ º ÆÙ ØÖÓ Ó Ø ÚÓ ÓÖ ÒÓÒØÖ Ö ÜÔÖ ÓÒ ÕÙ Ö Ð ÓÒ Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò Ö Ô ØÓ Ó ØÖ ÖÓ ÓÓÖ Ò Ó Ò ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ö Ð Ø ÚÓº Ò Ð º ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ P ÑÙ Ú Ö Ô ØÓ Ó ØÖ ÖÓ S(O,X,Y,Z) ÝS (O,X,Y,Z ) Ý Ù Ð Ý ÓÖ Ö ½ ÔÙ Ö ÔÓÖ Ð Ú ØÓÖ ÔÓ Òr p (t) Ú ØÓÖOP µ Ó ÔÓÖ Ð Ú ØÓÖ ÔÓ ¹ Ò r p(t) Ú ØÓÖ O P µº ÄÓ Ú ØÓÖ r p (t) Ýr p(t) ÓÒ Ø ÒØÓ Ý ÕÙ Ø Ò Ò ÜØÖ ÑÓ Ù Ð Ð ÔÙÒØÓ Pµ Ô ÖÓ ÓÖ Ò Ø ÒØÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ O Ý O µº Ó ÕÙ r(t) Ý r (t) ÓÒ Ú ØÓÖ Ö ÒØ Ð Ú ÐÓ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ò S v P (t) = dr P (t)/ Ý Ò S v P (t) = dr P (t)/ ÓÒ Ò Ò Ö Ð Ø Ñ Ò Ö ÒØ Ý ÐÓ Ñ ÑÓ ÓÙÖÖ Ö ÓÒ Ð Ð Ö ÓÒ a(t) Ý a (t)º ½ È Ö Ø Ô ÖØ Ó ÔÙ ÓÒ ÙÐØ Ö Ð Ò º¾ Ô º ¾ ¹¾ ¾ Ð Ê º ¾ ¾

35 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á a D ab b S Z r a r b r a r b Z S X O Y r oo X O Y ÙÖ º¾ Ð Ú ØÓÖ D ab Ö Ô ØÓ ÐÓ ØÖ ÖÓ S Ý S º ÆÓ Ý ÕÙ ÓÒ ÙÒ Ö ÙÒ Ô Ö Ú ØÓÖ Ø ÒØÓ ÓÑÓ ÐÓ r(t) Ý r (t) Ð Ô ÖÖ Ó ÔÖ ÒØ ÓÒ Ð Ó ÕÙ ÙÒ Ñ ÑÓ Ú ØÓÖ Ø Ò Ø ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø ÒØÓ Ø Ñ Ö Ö Ò º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ú ØÓÖ D ab Ù Ó Ò Ð ÙÖ º¾ ÔÙ ÔÖÓÝ Ø Ö Ø ÒØÓ Ò S ÓÑÓ Ò S D ab = (x bs x as )i+(y bs y as )j+(z bs z as )k = (x bs x as )i +(y bs y as )j +(z bs z as )k. Ä ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó ÔÖÓÝ ÓÒ Ò S (x bs x as,y bs y as,z bs z as ) Ý Ò S (x bs x as,y bs y as,z bs z as ) ÓÒ Ø ÒØ Ô ÖÓ Ù ÐÓÒ ØÙ Ó Ñ ÙÐÓ Ð Ñ ÑÓ Ò Ñ Ó Ø Ñ Ö Ö Ò (x bs x as ) 2 +(y bs y as ) 2 +(z bs z as ) 2 = (x bs x as ) 2 +(y bs y as ) 2 +(z bs z as ) 2. º½µ ÙÒÕÙ ÐÓ Ò ØÙÖ Ð Ö Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ú ØÓÖ OP = r(t) Ò Ð Ø Ñ S Ý Ð Ð Ú ØÓÖ O P = r (t) Ò Ð Ø Ñ S Ò Ð ÙÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ó ÐÐ Ö Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ú ØÓÖ OP = r(t) Ò Ð Ø Ñ S Ó Ð Ð Ú ØÓÖ O P = r (t) Ò Ð Ø Ñ Sº Î Ö ÑÓ ÙÒ ÑÔÐÓ Ò Ð Ò ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö Ø Ô ØÙÐÓº º½º Ö Ú ÙÒ Ú ØÓÖ È Ö ÙÒ Ó ÖÚ ÓÖ Ò S ÐÓ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó (i,j,k) Ô ÖÑ Ò Ò Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø ÑÔÓ Ñ ÒØÖ ÕÙ (i,j,k ) Ñ Òº Ä ØÙ Ò ÒÚ Ö Ô Ö ÙÒ Ó ÖÚ ÓÖ ÕÙ ÑÙ Ú ÓÒ S º ÈÓÖ Ø ÒØÓ Ð Ö Ú Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ ÙÒ Ú ØÓÖ Ù ÐÕÙ Ö q(t) Ò Ó ØÖ ÖÓ Ò ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ö Ð Ø ÚÓ S Ý S Ö ÒØ ( ) dq S ( ) dq. S Ë Ö Ú ÑÓ Ð Ú ØÓÖ q(t) ÙÝ ÜÔÖ Ò Ò Ð Ø Ñ S q(t) = q x (t)i + q y (t)j + q z (t)k Ò Ð ØÖ ÖÓ S ÓÒ (i,j,k ) Ú Ö Ò Ò Ð Ø ÑÔÓ Ø Ò Ö ÑÓ ¾

36 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö ( ) dq = dq x S i + dq y j + dq z k + ( ) ( ) ( ) di dj dk +q x +q y +q z. º¾µ S ÄÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ØÖ ÙÑ Ò Ó ÓÒ Ù Ð (dq/) S ÕÙ Ð Ö Ú Ø ÑÔÓÖ Ð q(t) Ñ ÒØ Ò Ò Ó ÓÒ Ø ÒØ ÐÓ Ú ØÓÖ (i,j,k )º È Ö ÐÙÐ Ö Ð Ö Ú ÕÙ ÒÓ ÐØ Ò Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ ÐÓ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó (i,j,k ) Ò S ÔÓ ÑÓ Ö Ö ¾ S S ( di ) ( ) dj ( dk ) S S S = a 11 i +a 12 j +a 13 k = a 21 i +a 22 j +a 23 k º µ = a 31 i +a 32 j +a 33 k ÓÒ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ Ó ÒØ a 11,a 12,...,a 33 º ÈÙ ØÓ ÕÙ i i = 1 Ò ØÓ Ó Ò Ø ÒØ Ø ÑÔÓ Ö Ú ÑÓ Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ d (i i ) = 0 = di i = 0 Ý Ò ÓÒ Ù Ò a 11 = 0 Ý Ö Ô Ø Ò Ó Ð Ñ ÑÓ Ö ÙÑ ÒØÓ Ô Ö j Ý k Ø Ò Ö ÑÓ a 11 = a 22 = a 33 = 0º Ñ ÑÔÖ Ø Ò i k = 0 ÐÙ Ó d (i k ) = 0 = di k = i dk ÑÓ Ó ÕÙ Ò Ð º º Ú Ö ÕÙ a 13 = a 31 Ý Ù Ò Ó Ð Ñ Ñ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ô Ö ÐÓ ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö i j = 0 Ý j k = 0 Ó Ø Ò a 12 = a 21 Ý a 23 = a 32 º Ë ÐÓ ÕÙ Ò ÒØÓÒ Ò Ð º º ØÖ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ a 23,a 31 Ý a 12 º Ò ÐÑ ÒØ ÒØÖÓ Ù ÑÓ ÙÒ Ú ØÓÖ Ω = Ω x i +Ω y j +Ω z k ÓÒ Ω x = a 23 Ω y = a 31 Ω z = a 12 Ð Ù ÓÒ º ÔÙ Ò Ö Ö ÓÖÑ ÓÑÔ Ø ( ) ( ) di dj = Ω i S S ( ) dk = Ω j S = Ω k Ý Ù Ø ØÙÝ Ò Ó Ø ÜÔÖ ÓÒ Ò Ð º º¾ ÐÐ ÑÓ Ò ÐÑ ÒØ Ð Ö Ð Ò Ò Ö Ð ¾ Î Ð Ò º¾ Ô º ¾ Ð Ê º ¾ ¾

37 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á ( ) dq = S ( ) dq +Ω q S º µ Ð Ò Ó Ó Ω = Ω S S Ù Ø Ñ ÒØ Ð Ð Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö Ð ØÖ ÖÓ S Ö Ô ØÓ Sº È Ö Ð Ö Ú (dq/) S Ð Ú ØÓÖ q(t) = q x (t)i + q y (t)j + q z (t)k Ó Ø Ò Ö ÑÓ ÙÒ Ù Ò Ñ ØÖ º ( ) dq = S Ò ÓÒ Ú ÒØ Ñ ÒØ Ω SS = Ω S Sº ( ) dq +Ω SS q º µ S Ð Ù ÓÒ º Ý º ÔÓ ÑÓ ÜØÖ Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ù Ò º Ë Ô ÖØ ÙÐ Ö Þ ÑÓ q(t) = Ω S S Ò Ð º º Ø Ò Ö ÑÓ ( ) dωs S = S ( ) dωs S S º µ Ö Ð Ð Ö Ò Ò ÙÐ Ö Ð Ñ Ñ Ò Ñ Ó ØÖ ÖÓ º Ë ÓÒ Ö ÑÓ ØÖ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó S S Ý S ÔÐ Ò Ó Ö Ø Ö Ñ ÒØ Ð º º Ω S S = Ω S S +Ω S S Ó Ø Ò ÑÓ ÙÒ Ö Ð Ò Ð Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö Ö Ð Ø Ú º º¾º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ò Ú ÐÓ Ý Ð Ö ÓÒ ÓÑÓ Ù Ð º ÑÔÖ Ø Ò Ö ÑÓ ÕÙ r p (t) = r o (t)+r p(t)º ÐÙÐ Ò Ó Ù Ö Ú Ø ÑÔÓÖ Ð ( ) drp = S Ý ÑÔÐ Ò Ó º Ò Ó q(t) = r p(t) v p = v o + ( ) dro S + ( dr ) p S ( dr ) p +Ω S S r p S Ò ÓÒ v o Ð Ú ÐÓ Ð ÓÖ Ò O Ð ØÖ ÖÓ S Ö Ô ØÓ S Ý v p = (dr /) S Ð Ú ÐÓ P Ö Ô ØÓ S Ý ÕÙ Ò ÐÑ ÒØ v p = v o +v p +Ω S S r p º µ ¾

38 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ø ÐØ Ñ Ù Ò Ö Ð ÓÒ Ð Ú ÐÓ Ò S Ý S v p = v p + v arr Ò Ó Ð Ø ÖÑ ÒÓ v arr = v o +Ω S S r p ÒÓÑ Ò Ó Ú ÐÓ ÖÖ ØÖ º ÈÓ ÑÓ Ö Ô Ø Ö Ð Ñ ÑÓ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ô Ö ÐÙÐ Ö a p (t) = (dv p /) S º ÑÔÐ Ò Ó ÒÙ ÚÓ Ð Õº º ÓÒ q(t) = v p (t) a p = a o + ( ) dvo a p = S + [( dv ) ] p +Ω S S v p + S ( dv ) p + d ( ΩS S S r p) ( ) dωs S r p +Ω S S S ( dr ) p S Ý Ù Ø ØÙÝ Ò Ó Ò Ð ÐØ ÑÓ ÙÑ Ò Ó (dr p/) S = (dr p/) S +Ω S S r p ÕÙ Ò ÐÑ ÒØ a p = a o +a p + ( ) dωs S r p +2Ω S S v p +Ω S S (Ω S S r p) S º µ Ä Ð Ö Ò a o Ð Ð Ö Ò Ð ÓÖ Ò S Ö Ô ØÓ S Ý a p Ð Ð ÔÙÒØÓ P Ò S º Ð Ø ÖÑ ÒÓ a arr = a o + ( ) dωs S r p +Ω S S (Ω S S r p) S Ð ÒÓÑ Ò Ð Ö Ò ÖÖ ØÖ Ý a cor = 2Ω S S v p Ð Ð Ö Ò ÓÖ ÓÐ Ö ÙÐØ Ò Ó ÒØÓÒ a p = a p +a cor +a arr Ä Ù ÓÒ º Ý º Ö Ð ÓÒ Ò ÐÓ Ú ØÓÖ Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ò Ó ØÖ ÖÓ Ö Ö Ò S Ý S º Ö ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ò ÐÙÐ Ö Ð Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò P Ò S v p Ý a p µ ÓÒÓ ÑÓ Ù Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò Ò ÙÒ ØÖ ÖÓ S v p Ý a pµ Ý Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ S ÓÒ Ö Ô ØÓ Sº Ø ÐØ ÑÓ Ø Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò Ð ÓÖ Ò O ÓÒ Ö Ô ØÓ S v O Ý a O µ Ý Ð Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò Ò ÙÐ Ö Ð ØÖ ÖÓ S ÓÒ Ö Ô ØÓ S Ω S S Ý dω S S/µº º º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö ÓÒØ ÒÙ Ò Ö ÙÔ Ö Ö ÑÓ Ð Ù ÓÒ ¾º Ý ¾º Ô Ö Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ P ÕÙ Ö ÓÒ Ö Ó R ÓÒ Ø ÒØ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ú ÐÓ Ý Ð Ö ÓÒ ÒØÖ Ó ØÖ ÖÓ ÓÓÖ Ò Ó Ù ÓÒ º Ý º µº Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ P Ò Ð Þ Ö Ò ÐÓ ØÖ ÖÓ S Ý S Ð ÙÖ º º Ñ Ó ØÖ ÖÓ Ø Ò Ò ÙÒ ÓÖ Ò ÓÑ Ò O O µ ÑÓ Ó ÕÙ v o = 0 Ý Ø Ñ Ò a o = 0º Ð ØÖ ÖÓ S Ó Ý Ð Ô ÖØ ÙÐ ÑÙ Ú Ò Ù ÔÐ ÒÓ XY Ò Ó θ Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ r p ÓÒ Ð Ç º Ð ØÖ ÖÓ S ÕÙ Ø Ò Ð OZ ÑÔÖ Ô Ö Ð ÐÓ OZ Ö Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ø ÑÔÖ Ó Ö Ð OX º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò Ò ÙÐ Ö S ÓÒ Ö Ô ØÓ S Ö Ò Ω S S = θk Ý dω S S/ = θkº ¾

39 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á ÍÒ Ó ÖÚ ÓÖ Ò S Ú Ð Ô ÖØ ÙÐ P Ò Ö ÔÓ Ó v p = 0 Ý a p = 0µ Ò Ð ÔÙÒØÓ Ð X r p = Ri º ÔÐ Ò Ó Ð Ù ÓÒ º Ý º Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò Ò S v p = Ω S S r p = R θ(k i ) = R θj º µ a p = dω S S r p +Ω S S (Ω S S r p ) = R θ(k i )+R θ 2 (k [k i ]) = R θj R θ 2 i º½¼µ Ω SS Z Z Ω S S k k Y O O S θ P X j u i u θ r S Y X ÙÖ º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÙÐ Ö ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ P Ò Ö ÔÓ Ó Ò r p = Ri Ö Ô ØÓ S ÕÙ Ù Ú Þ Ö Ö Ô ØÓ Ð ØÖ ÖÓ Sº Ø Ù ÓÒ ÓÒ ÒØ Ð Ù ÓÒ ¾º Ý ¾º ÐÚÓ ÕÙ ÐÐ ÙØ Ð Þ Ð ÒÓØ Ò u r Ý u θ Ò ÐÙ Ö i Ý j º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ø ÖÑ ÒÓ R θ 2 i Ð Ð Ö Ò ÒØÖ Ô Ø ÕÙ Ò ØÓ Ó ÑÓÑ ÒØÓ Ô Ö Ð Ð Ð Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð n ÕÙ ÔÙÒØ Ð ÒØÖÓ ÙÖÚ ØÙÖ Oº Ä Ù ÓÒ º Ý º½¼ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ò Ð Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò Ð ÔÙÒØÓ P ÓÒ Ö Ô ØÓ S ÔÖÓÝ Ø Ò Ð Ø Ñ S º Ë Ò Ø Ö ÑÓ ÔÖÓÝ Ø ÖÐ Ò Ð Ø Ñ S ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ð Ö Ð ÓÒ i = cosθi+sinθj Ò Ð Ù ÓÒ º Ý º½¼º j = sinθi+cosθj ¾

40 È ÌÍÄÇ ÁÆýÅÁ ÍÆ È ÊÌ ÍÄ Ä Ò Ñ Ø ØÙ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ù ÖÔÓ Ò ÔÖ ÙÒØ Ö ÔÓÖ Ð Ù Ð Ñ ÑÓº Ä Ó ÖÚ ÓÒ ÒÓ Ò Ò ÕÙ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ù ÖÔÓ Ð Ö ÙÐØ Ó Ù ÒØ Ö Ò ÓÒ ÓØÖÓ Ù ÖÔÓ ÕÙ Ð ÖÓ Ò Ý Ô Ö Ö Ö ÒØ Ö ÓÒ ÒØÖÓ Ù ÑÓ Ð ÓÒ ÔØÓ Ù ÖÞ º Ä Ò Ñ Ð ØÙ Ó Ð Ö Ð Ò ÒØÖ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ù ÖÔÓ Ý Ð Ù Ð Ñ ÑÓ Ð Ù ÖÞ º º½º Ä Ý Æ ÛØÓÒ Ä Ò Ñ Ð Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ò Ð Ð Ý Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Æ ÛØÓÒ ÕÙ ÔÙ Ò ÓÒ Ö Ö ÓÑÓ Ü ÓÑ Ö Ò Ö Ð Þ ÓÒ ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ò ÑÓ ØÖ Ò ÖÙØÓ Ð Ò Ð ÐÓ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÕÙ Ó ÖÚ ÑÓ ÐÓ Ù ÖÔÓ Ý Ð ÜØÖ ÔÓÐ Ò Ó ÖÚ ÓÒ º ËÙ Ú Ð Þ ÕÙ Ø Ð Ò Ð Ñ Ò ÕÙ ÐÓ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÔÖ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÒ ÐÓ ÕÙ Ó ÖÚ ÑÓ Ò Ð Æ ØÙÖ Ð Þ º Ä ØÙ Ò Ñ ÒØ Ñ ÑÔÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ð ÕÙ ÕÙ ÐÐ ÕÙ ÒÓ ÒØ Ö ÓÒ ÓÒ Ð Ö ØÓ Ð ÙÒ Ú Ö Óº Ë ØÖ Ø ÙÒ Ð Þ Ò Ý ÔÓ Ö ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÕÙ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ø Ð Ò Ù Ò Ó Ù ÒØ Ö ÓÒ ÓÒ Ð Ñ Ò Ð Ò Ó Ò ÔÓÖÕÙ Ö Ò ÓÒ Ð Ø Ò Ý ÒÙ ÒØÖ ÑÙÝ Ð Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ Ô ÖØ ÙÐ ÓÒ Ð ÕÙ ÔÙ Ö ÒØ Ö ÓÒ Öº ½ a Ä Ý Æ ÛØÓÒ Ë ÔÓ ØÙÐ Ð Ü Ø Ò ÖØÓ ØÖ ÖÓ ÕÙ ÒÓÑ Ò Ö ÑÓ Ò Ö Ð Ö Ô ØÓ ÐÓ Ù Ð Ð Ô ÖØ ÙÐ Ð Ø Ò Ò Ð Ö Ò ÒÙÐ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ù ÒØ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ò ÓÑÓ Ð ÔÖÓ ÙØÓ p = m p v p ÓÒ Ø ÒØ Ä Ý Ò Ö µº Ê Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ Ò Ö Ð ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ ÒÓ ÓÑ Ø Ò Ò ÙÒ Ù ÖÞ ÑÙ Ú ÓÒ Ú ÐÓ ÙÒ ÓÖÑ Ý Ö Ø Ð Ò Ù Ú ÐÓ v p ÙÒ Ú ØÓÖ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø ÑÔÓº ÓÑÓ Ù Ð º º Ý º ÙÒ ØÖ ÖÓ S Ò Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ S ÓÒ a o = 0 Ω S S = 0 Ý dω S S/ = 0 Ø Ñ Ò Ò Ö Ð Ö ÙÐØ Ò Ó Ù Ð Ð Ð Ö ÓÒ a p = a p ÕÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ò Ñ Ó Ø Ñ º È Ö Ð Ú ÐÓ Ø Ò Ö ÑÓ v p = v o +v pº ¼

41 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á ¾ a Ä Ý Æ ÛØÓÒ È Ö ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ ÒÓ Ð ÔÙ Ö Ö Ò ÙÒ ØÖ ÖÓ Ò Ö Ð a p = F/m p ÓÒ Ð Ú ØÓÖ F ÐÐ Ñ Ó Ù ÖÞ Ô Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð Ô ÖØ ÙÐ ÓÒ ÐÓ Ó ØÓ ÕÙ ÒÙ ÒØÖ Ò Ò Ù ÔÖÓÜ Ñ º Ð Ð Ö m p > 0 Ð Ñ Ò Ö Ð Ð Ô ÖØ ÙÐ Ý Ø Ò Ö ÑÓ F = m p dv p º½µ Ë ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð º º ÒÓÒØÖ ÑÓ ÕÙ S Ý S ÓÒ Ó ØÖ ÖÓ Ò Ö Ð Ð Ð Ö ÓÒ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù ÖÞ F ÕÙ Ó ÖÚ Ò Ñ Ó ØÖ ÖÓ ÓÒ Ð Ñ Ñ º Ä ÙÒ Ð Ý Æ ÛØÓÒ Ø Ñ Ò ÔÙ ÒÙÒ Ö Ñ ÑÓ Ð ÓÖÑ F = dp Ö ÕÙ Ð Ù ÖÞ ÔÖÓ Ù Ð Ú Ö Ò Ò Ð Ø ÑÔÓ Ð ÒØ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ p = m p v p Ð Ô ÖØ ÙÐ º a Ä Ý Æ ÛØÓÒ Ê Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ Ò Ö Ð Ô Ö ÙÒ Ô Ö Ô ÖØ ÙÐ Ù Ð ÕÙ Ö i Ý j Ð Ð Ö ØÓ Ð ÙÒ Ú Ö Ó Ó ÖÚ ÕÙ F ij = F ji ÓÒ F ij F ji µ Ð Ù ÖÞ Ð Ô ÖØ ÙÐ j µ Ó Ö Ð i µº ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ Ù Ò Ó Ð Ù Ò º½ Ø Ò ÑÓ m i a i +m j a j = 0 Ä Ý Ò Ý Ö Òµº Ë Ð Ø Ñ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ó Ô ÖØ ÙÐ Ø Ð Ó Ð Ù ÖÞ Ó Ö ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ù Ð Ý ÓÔÙ Ø Ð ÕÙ Ö Ð ÓØÖ º ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ ÔÓ ÑÓ Ö ÕÙ Ð ÒØ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ P = p i +p j Ð Ø Ñ Ð Ó ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ó Ô ÖØ ÙÐ ÓÒ ÖÚ m i a i +m j a j = d (p i +p j ) = dp = 0. º¾º Ù ÖÞ Ä ÙÒ Ð Ý Æ ÛØÓÒ º º½µ ÒÓ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÙÒ Ù Ò Ö Ò Ð ÙÝ ÓÐÙ Ò r p (t) Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ð Ô ÖØ ÙÐ P º È Ö ÔÐ ÒØ Ö Ù Ò ÔÖ Ó ÒÓÒØÖ Ö Ü¹ ÔÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ô Ö Ð ÒØ Ö ÓÒ ÒØÖ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ö ÙÒ ÓÒ F(v,r,t) Ô Ö Ð Ù ÖÞ ÕÙ Ô Ò Ò Ð Ú ÐÓ v Ð ÔÓ Ò r Ý Ð Ø ÑÔÓ tº ÓÒÓ Ø Ð ØÖ Ý ØÓÖ r(t) Ð Ô ÖØ ÙÐ ÒÙ ÒØÖ Ö ÓÐÚ Ò Ó Ð Ù ÓÒ Ö Ò Ð m dv = F(r,v,t) dr = v º¾µ ÄÓ Ñ ÓÑ Ò Ö ÓÒ ÓÒ Ò Ð r p (t o ) Ý v p (t o ) Ô Ö Ð ÔÓ Ò Ý Ð Ú ÐÓ Ò Ð Ò Ò Ø ÒØ Ò Ð t o º ½ ½ Ë ÖÖÓÐÐ Ø Ù Ø Ò Ñ ÒØ ÙÒ ÑÔÐÓ Ò Ð Ô Ò ½¼ º ½

42 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ð ØÙ Ó Ð Ö ÒØ Ù ÖÞ ÕÙ Ü Ø Ò Ò Ð ÙÒ Ú Ö Ó Ý Ð Ø ÖÑ Ò Ò Ù ÜÔÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÙÒÓ ÐÓ Ó Ø ÚÓ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð º ØÙ ÐÑ ÒØ ÓÒÓ Ò Ù ØÖÓ Ø ÔÓ ÒØ Ö ÓÒ Ó Ù ÖÞ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö Ú Ø ØÓÖ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÒÙÐ Ö Ð Ý ÒÙÐ Ö Ù ÖØ º Ò ØÓ ÔÙÒØ Ò Ñ Ö Ó Ö ÑÓ ÙÒ Ð Ò Ð Ù ÖÞ Ò ÐÓ ØÖ ÖÙÔÓ µ Ð ÒØ Ö ÓÒ Ó ÓÒ Ø Ò ÒØÖ Ó Ù ÖÔÓ ÓÒ ÒØ ÖÚ Ò Ò Ð Ñ Ó Ð Ö Ð ØÖ Ö Ð Ó ÔÖ Ñ Ö Ù ÖÞ Ð Ù ØÖÓ ÒÙÑ Ö µ µ Ð Ù ÖÞ Ñ ÖÓ Ô Ó ÓÒØ ØÓ ÓÑÓ Ð ÖÓÞ Ñ ÒØÓ Ó Ð Ö ÓÒ ÔÓÝÓ ÕÙ Ñ ÖÓ Ô Ñ ÒØ ÓÒ Ð Ö ÙÐØ Ó Ð ÒØ Ö ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÒØÖ Ð Ö Ò Ò Ñ ÖÓ Ô ÖØ ÙÐ ØÓÑÓ µ ÕÙ ÓÑÔÓÒ Ò ÐÓ Ù ÖÔÓ Ñ Ø Ö Ð Ý µ Ð Ù ÖÞ Ò Ö ÕÙ Ô Ò Ò Ð Ø Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ð Ó ÖÚ ÓÖº Ð Ö ÕÙ Ð Ù ÖÞ Ò Ö ÒÓ ÓÒ ÖÙØÓ Ò Ò ÙÒ ÒØ Ö Ò ÒÓ Ð Ð Ö Ò Ð Ø Ñ ÒÓ Ò Ö Ð ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ù Ð ØÙ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓº ÈÓÖ Ø ÑÓØ ÚÓ Ò Ó ÓÒ Ð ÐÐ Ñ Ô Ù Ó Ù ÖÞ º Ñ ÐÓ ÑÔÓ Ö Ú Ø ØÓÖ Ó Ý Ð ØÖÓ Ø Ø Ó ÓÒ Ó Ó Ù ÖÞ ÒØÖ Ð ÔÙ ØÓ ÕÙ Ù Ö Ò Ô ÑÔÖ ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ Ó Ð Ô Ó ÒÓÑ Ò Ó ÒØÖÓ Ù ÖÞ ÓÒ ÒÙ ÒØÖ ØÙ Ð Ñ Ó Ð Ö ÕÙ Ò Ö Ð ÑÔÓº º¾º½º º¾º½º½º ÁÒØ Ö ÓÒ ÑÔÓ Ö Ú Ø ØÓÖ Ó ÓÑÓ Ò Ò Ð º º½ ÒØÖ Ó Ñ ÔÙÒØÙ Ð m Ý M Ô Ö ÙÒ Ù ÖÞ ØÖ Òº Ä Ù ÖÞ F mm ÕÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ñ m Ù ÒØ Ö Ò Ö Ú Ø ØÓÖ ÓÒ Ð Ñ M Ú Ò ÔÓÖ u Mm m r m X F mm Z Y rm F Mm M ÙÖ º½ ÁÒØ Ö Ò Ö Ú Ø ØÓ¹ Ö ÒØÖ Ó Ñ m Ý Mº F mm = G mm (r m r M ) r m r M 2 r m r M º µ Ò ÓÒ Ð Ú ØÓÖ (r m r M )/ r m r M ÙÒ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó ÓÒ ÓÖ Ò Ò M Ý ÜØÖ ÑÓ Ò m Ý G Ð ÓÒ ¹ Ø ÒØ Ö Ú Ø Ò ÙÒ Ú Ö Ð ÕÙ Ò Ð Ø Ñ ÅÃË Ú Ð G 6, N m 2 kg 2 º Ò Ú ÖØÙ Ð Ø Ö Ö Ð Ý Æ ÛØÓÒ F Mm = F mm º Ä Ù ÖÞ Ö ÙÐØ ÒØ Ó Ö ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ñ m β ¹ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ñ m α ÓÒ α = 1,...N Ð ÙÑ Ú ØÓÖ Ð Ð Ù ÖÞ ÕÙ Ö ÙÒ ÐÐ Ò Ú Ù ÐÑ ÒØ º F β = F βα = G m βm α r β r α 2 (r β r α ) r β r α Ë Ò Ð Ú ØÓÖ ÒØ Ò Ð ÑÔÓ Ö Ú Ø ØÓÖ Ó a M (r) Ö Ó ÔÓÖ Ð Ñ M ÓÑÓ Ð Ù ÖÞ ÕÙ Ø Ö Ó Ö Ð ÙÒ Ñ ØÙ Ò Ð ÔÙÒØÓ r ¾ a M (r) = G M (r r M ) r r M 2 r r M, º µ

43 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð Ù ÖÞ Ó Ö ÙÒ Ñ m ØÙ Ò Ð ÔÙÒØÓ r Ö F mm = ma M (r)º Ç ÖÚ ÕÙ Ð ÒØ Ò Ð ÑÔÓ Ö Ú Ø ØÓÖ Ó Ø Ò Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Òº È Ö ÙÒ Ø Ñ α = 1,...N Ô ÖØ ÙÐ Ñ M α Ð ÒØ Ò ÑÔÓ Ö Ú Ø ØÓÖ Ó Ò Ð ÔÙÒØÓ r Ö Ð ÙÑ Ú ØÓÖ Ð a(r) = a α (r) = M α (r r α ) ( G) r r α 2 r r α Ò Ð ÜÔÖ Ò Ð Ý Ö Ú Ø Ò Ô Ö Ò Ð Ñ Ö Ú Ø ØÓÖ m Ý M ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ó ÒÓ Ø Ò Ò ÔÓÖ ÕÙ Ö Ù Ð Ð Ñ Ò Ö Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÕÙ Ô Ö Ò Ò Ð ÙÒ Ð Ý Æ ÛØÓÒ º º½µº Ë Ò Ñ Ö Ó Ò Ò Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ö Ð Þ Ó Ø Ð ÒÓÒØÖ Ó Ö Ô Ò Ð ÙÒ ÒØÖ Ñ Ó Ú ÐÓÖ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ù Ö ÒØÖ Ñ Ò Ð Ö ØÓ Ð Ø ÜØÓº È Ö ÙÒ Ñ m ØÙ ÙÒ ÐØÙÖ h Ó Ö Ð ÙÔ Ö Ð Ì ÖÖ Ñ M T Ý Ö Ó R T µ ÔÓ ÑÓ Ö ÙÒ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ö Ò Ó r r T = h+r T Ý ÖÖÓÐÐ Ò Ó Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ù ÖÞ Ò ÔÓØ Ò h/r T F g = G mm T r r T 2 = G mm T R 2 T 1 (1+h/R T ) 2 F g mg [1 2 h R T +3( h R T ) 2 4( h R T ) ] Ò ÓÒ g = GM T /R 2 T = 9,8ms 2 º ÌÓÑ Ò Ó Ð Ú Ö ÓÖ k ÒÓÖÑ Ð Ð ÙÔ Ö Ò Ð Ì ÖÖ Ý ÔÙÒØ Ò Ó Ò Ð ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ð ÒØÖÓ Ð Ì ÖÖ ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö ¾ Ð Ù ÖÞ ÓÑÓ F g = mg º µ ÑÔÖ ÕÙ h/r T 1º º¾º½º¾º ÑÔÓ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ó ÒØÖ Ó Ö Ð ØÖ q Ý Q Ô Ö Ò Ù ÖÞ Ó Ð ÒØ Ö Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ö Ø Ò Ò Ö ÔÓ Ó Ô Ö Ð ÒÓÑ Ò Ù ÖÞ ÓÙÐÓÑ Ð Ù Ð ØÙ Ö Ò ÔÖÓ ÙÒ Ò Ð ÙÖ Ó ÁÁº Ä Ù ÖÞ ÓÙÐÓÑ F qq ÕÙ Ö Ð Ö Q Ó Ö Ð q ØÖ Ø Ú Qq < 0µ Ó Ö ÔÙÐ Ú Qq > 0µ Ô Ò Ò Ó Ð ÒÓ Ð Ö Ú Ö Ð º º½ Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó Ð Ñ M Ý m ÔÓÖ Ð Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ µº Î Ò ÔÓÖ F qq = 1 4πǫ o qq (r q r Q ) r q r Q 2 r q r Q º µ Ò ÓÒ ǫ o > 0 ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú Ý 1/4πǫ o N m 2 C 2 º Ì ÒØÓ Ð Ù ÖÞ ØÖ Ò Ö Ú Ø ØÓÖ ÒØÖ Ó Ñ º º µ ÓÑÓ Ð Ù ÖÞ ÓÙÐÓÑ ÒØÖ Ö º º µ Ö Ò Ñ Ò Ö ÒÚ Ö Ñ ÒØ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð Ù Ö Ó ¾ ËÓ Ö ÐÓ ÖÖÓÐÐÓ Ò Ö ÔÓØ Ò ÙÒ ÙÒ Ò ÔÙ ÓÒ ÙÐØ Ö Ð È º ½¼ º

44 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ð Ø Ò º Ë Ò Ñ Ö Ó Ù Ö Ò Ñ Ò ØÙ ÓÒ ÑÙÝ Ö ÒØ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ô Ö ÙÒ ÔÖÓØ Ò Ý ÙÒ Ð ØÖ Ò Ð Ó ÒØ ÒØÖ Ð Ñ ÙÐÓ Ñ Ù ÖÞ F Coulomb F Gravitatoria = e 2 4πǫ 0 Gm e m p º µ Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð Ú ØÓÖ ÒØ Ò Ð ÑÔÓ Ö Ú Ø ØÓÖ Ó Ò Ð Ú ØÓÖ ÑÔÓ Ð ØÖ Ó E(r) ÓÖ Ò Ó ÔÓÖ Ð Ö Q ÓÑÓ Ð Ù ÖÞ ÕÙ Ö Ó Ö Ð Ö ÙÒ Ò Ð ÔÙÒØÓ r E Q (r) = 1 4πǫ o Q (r r Q ) r r Q 2 r r Q, º µ ÑÓ Ó ÕÙ Ð Ù ÖÞ ÕÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö q ØÙ Ò Ð ÔÙÒØÓ r Ö F qq = qe Q (r)º È Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ N Ö Ø Ò Ö ÑÓ ÓÑÓ Ô Ö Ð ÑÔÓ Ö Ú Ø ØÓÖ Ó ÙÒ ÙÑ Ú ØÓÖ Ð E(r) = E α (r) = 1 4πǫ o Q α (r r α ) r r α 2 r r α Ý Ð Ù ÖÞ Ó Ö Ð Ö q β ØÙ Ò Ð ÔÙÒØÓ r Ö F β (r) = q β E(r)º ÍÒ Ö q ÕÙ ÑÙ Ú ÓÒ Ú ÐÓ v q Ö Ô ØÓ ÙÒ Ñ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ù ÖÞ F = q(v q B), ÓÒ B Ð Ú ØÓÖ Ò Ù Ò Ñ Ò Ø ÕÙ Ñ Ð ÒØ Ò Ð ÑÔÓ Ñ Ò Ø Ó Ö Ó ÔÓÖ Ð Ñ Òº Ë Ý ÙÒ ÑÔÓ Ð ØÖ Ó E Ý ÙÒ ÑÔÓ Ñ Ò Ø Ó B ÙÔ ÖÔÙ ØÓ Ð Ö q ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ù ÖÞ ÕÙ ÒÓÑ Ò Ù ÖÞ ÄÓÖ ÒØÞº F q = q[e +v q B], º¾º¾º º¾º¾º½º Ù ÖÞ Ñ ÖÓ Ô Ê ÓÒ ÄÓ Ù ÖÔÓ ÒÙ ØÖÓ ÒØÓÖÒÓ ÒØ Ö ÓÒ Ò ØÖ Ú Ð ÐØ Ñ Ô ØÓÑÓ ÕÙ ÓÒ Ø ØÙÝ Ò Ù ÙÔ Ö ÜØ Ö ÓÖ º Ù Ò Ó Ø ÒÙ ÒØÖ Ò ÐÓ Ù ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ Ü Ñ Ô Ö Ò Ù ÖÞ Ñ ÖÓ Ô ÕÙ Ö ÙÐØ Ò Ð ÔÖÓÑ Ó Ð ÒØ Ö ÓÒ Ò Ú Ð ÑÓÐ ÙÐ Ö ÒØÖ ÐÓ ØÓÑÓ Ù ÙÔ Ö º Ù ÖÞ ÓÒ ÓÖØÓ Ð Ò Ö Ñ ÒÙÝ Ò Ö Ô Ñ ÒØ ÓÒ Ð Ø Ò Ô Ö Ò Ý ÒÓÑ Ò Ò Ù ÖÞ ÓÒØ ØÓ ÔÙ ØÓ ÕÙ ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÕÙ ÐÓ Ø Ò Ó Ö ÐÓ Ù ÖÔÓ Ñ ÖÓ Ô Ó Ù Ò Ó Ù ÙÔ Ö Ø Ò Ò ÓÒØ ØÓ Óº

45 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á º¾º¾º¾º Ù ÖÞ ÖÓÞ Ñ ÒØÓ Ä Ù ÖÞ ÖÓÞ Ñ ÒØÓ Ó Ö Ò ÔÓÖ Ð Þ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ù ÖÞ ÓÒØ ØÓ ÕÙ ÓÔÓÒ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ö Ð Ø ÚÓ Ó Ù ÖÔÓ Ñ ÖÓ Ô Ó º ËÙ Ö Ò ÒÙ ÒØÖ ÓÒØ Ò Ò Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ Ð ÙÔ Ö Ò ÓÒØ ØÓ Ý Ú Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ ÕÙ Ù Ñ Ò ØÙ F R = µn ÓÒ N Ð Ñ ÙÐÓ Ð Ù ÖÞ Ö Ò ÒØÖ Ñ Ó Ù ÖÔÓ º ÙÑÔÐ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔ ÆÓ Ô Ò Ð Ñ Ò ØÙ Ð ÙÔ Ö ÓÒØ ØÓ ÒÓ Ð Ò ØÙÖ Ð Þ Ð ÙÔ Ö º ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð Ö Ò ÒÓÖÑ Ð N ÒØÖ Ñ Ó Ù ÖÔÓ º Ð Ó ÒØ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð µ Ð ÒÓÑ Ò Ó ÒØ ÖÓÞ Ñ ÒØÓ Ä Ö Ò Ð Ù ÖÞ ÖÓÞ Ñ ÒØÓ F R ÓÒØÖ Ö Ð Ú ÐÓ v Ð Ù ÖÔÓ F R = µn v v. º µ Ë ÑÔÐ Ð Ó ÒØ ÖÓÞ Ñ ÒØÓ Ø Ø Ó µ = µ e Ù Ò Ó ÐÓ Ó Ù ÖÔÓ Ò ÓÒØ ØÓ ÒÙ ÒØÖ Ò Ò Ö ÔÓ Ó Ö Ð Ø ÚÓº Ò Ù Ò ÓØÖ Ù ÖÞ Ò Ð Ö Ò Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ Ñ ÙÔ Ö F R Ð Ù ÖÞ Ñ Ò Ñ Ò Ö Ô Ö ÔÓÒ ÖÐ Ò ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ö Ð Ø ÚÓº Y F Re F Re = µ e N M ÙÖ º¾ Ù ÖÞ ÖÓÞ Ñ ÒØÓ Ø Ø Óº N F X Ë ÐÓ Ù ÖÔÓ ÒÙ ÒØÖ Ò Ò ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ö Ð Ø ÚÓ ÙØ Ð Þ Ð Ó ÒØ ÖÓÞ Ñ ÒØÓ Ò Ñ Ó Ó Ò Ø Ó µ = µ d ÙÝÓ Ú ÐÓÖ Ò Ò Ö Ð Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð Ø Ø Ó µ d < µ e µº Ù Ò Ó Ð Ò Ù ÖÞ ÕÙ Ø Ò Ð Ö Ò Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ð ÖÓÞ Ñ ÒØÓ F R Ö ÔÖ ÒØ Ð Ù ÖÞ Ò Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ó Ù ÖÔÓ Ò ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÒ ÓÖÑ Ö Ð Ø ÚÓº Ä Ù ÖÞ Ö Ò ÒØÖ ÙÒ Ð Ó Ý ÙÒ Ó ÙÒ Ð ÕÙ Ó Ô Ò Ð Ø ÔÓ Ù Ó ÕÙ Ü Ø ÐÖ ÓÖ Ð Ù ÖÔÓº Ë Ð Ù Ó Ð Ñ Ò Ö Ð Ù ÖÞ Ö Ò F f ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ù Ú ÐÓ Ö Ð Ø Ú Ð Ñ Ó F f = γv º½¼µ ÓÒ Ð Ó ÒØ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð γ > 0 Ô Ò Ð ÓÖÑ Ð Ù ÖÔÓ Ý Ð Ñ Ó Ò ÕÙ ÑÙ Ú º Ë Ð Ù Ó ØÙÖ ÙÐ ÒØÓ Ð Ù ÖÞ Ö Ò ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð Ù Ö Ó Ð Ú ÐÓ º º¾º º Ù ÖÞ Ò ÐÓ Ý ÔÓÐ ÈÓÐ Ý Ð Ð ÍÒ ÐÓ Ó Ð Ð ÕÙ Ð ÕÙ ÓÒ Ö ÑÓ Ò ÜØ Ò Ð Ý Ò Ñ ÙÝ Ø Ò Ò T ÑÔÖ ÔÓ Ø Ú ÑÓ Ó ÕÙ Ø Ö ÑÓ ÙÒÓ Ù ÜØÖ ÑÓ Ð ÈÙ ÓÒ ÙÐØ Ö Ð Ò º Ô ½ ¼¹½ ÎÓÐ Á Ð Ê º ½ Ý Ð Ò ¾º Ô º ¾¹ ¾ º Ð ÐÙÑÒÓ ØÙ Ö Ò Ñ Ò Ù Ó ÕÙ Ð Ø ÔÓ Ù Ó Ô Ò Ð Ò Ñ ÖÓ Ê ÝÒÓÐ Ð Ù Ð Ø ÓÒØÖÓÐ Ó ÔÓÖ Ð Ú Ó Ð Ù Ó Ý Ð Ú ÐÓ Ð Ù ÖÔÓ

46 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ù ÖÞ Ö ØÖ Ò Ñ Ø ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ñ ÑÓº Ä Ø Ö Ö Ð Ý Æ ÛØÓÒ ÒÓ ÕÙ Ð Ø Ö Ö ÙÒ ÜØÖ ÑÓ Ô Ö Ö ÙÒ Ù ÖÞ Ö Ò Ò Ð ÜØÖ ÑÓ ÓÔÙ ØÓº Ä Ø Ò ÓÒ ÔÙ Ò Ð Ö ÓÑÓ Ù ÖÞ ÓÒØ ØÓ Ý Ð ÐÓ ÒØÖÓ Ù Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ù Ò Ð ÙÖ ÓÒ Ð Ý ÕÙ Ö Ð ÓÒ ÐÓ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ó Ù ÖÔÓ ÕÙ Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ó º T T O T ÙÖ º Ó Ñ m Ý M ÙÒ ÔÓÖ ÙÒ ÐÓ Ð Ð Ð ÚÓ O ÕÙ ÑÙ ¹ Ú Ò Ó Ö ÙÒ ÔÐ ÒÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ðº T Ñ ÐÓ Ð Ð Ö Ð ÓÒ Ò Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ù ÖÔÓ ØÖ Ú ÔÓÐ º Ò ÙÒ ÔÓÐ Ð ÒÓ Ý ÖÓÞ Ñ ÒØÓ ÒØÖ Ø Ý Ð Ð Ý Ø ÑÔÓÓ ØÖ Ò Ñ Ø ÒØ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ð ÔÓÐ ÕÙ ÓÒ Ö Ò Ñ Ó ÕÙ Ø ÔÖ Ð µº Ä ÔÓÐ Ð Ñ Ò Ð Ö Ò Ð Ð ÔÓÝ Ó Ò ÐÐ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö Ò Ð Ø Ò Ò Ð Ð Ò ÐØ Ö Ö Ù Ú ÐÓÖº ÈÙ ØÓ ÕÙ Ð Ø Ò Ò Ò ÙÒ ÐÓ Ð Ø Ò Ð ¹ Ö Ò Ð Ö Ø ÕÙ ÙÒ ÐÓ Ù ÖÔÓ ÓÑÓ Ú ÑÓ Ò Ð º º Ô Ö Ð Ó Ô ÖØ ÙÐ Ñ M Ý m ÙÒ ÔÓÖ ÙÒ ÐÓ Ð Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó ÓÒ ÖÚ Ö Ô ØÓ Ð ÔÙÒØÓ O Ú Ö Ò º µº º¾º º½º Ù ÖÞ ÙÒ ÑÙ ÐÐ Y F m = K ( X L o ) M X ÍÒ ÑÙ ÐÐ ÙÒ Ó ØÓ Ñ Ò Ó Ð Ø Ó ÕÙ Ò Ù ÑÓ ÐÓ Ñ Ò ÐÐÓ Ø Ò Ó ÔÓÖ Ù ÐÓÒ ØÙ Ò ØÙÖ Ð L o Ý Ù ÓÒ Ø ÒØ Ð Ø Kº Ë Ð ÑÙ ÐÐ Ó Ð Ð Ý ÀÓÓ Ð Ö Ð Ò ÒØÖ Ð Ù ÖÞ Ò Ð ÜØÖ ÑÓ Ð ÑÙ ÐÐ Ý Ù Ð Ö¹ Ñ ÒØÓ Ú Ò ÔÓÖ Ú Ö ÙÖ º µ ÙÖ º Ù ÖÞ ÙÒ ÑÙ ÐÐ Ó Ö ÙÒ ÐÓÕÙ Ñ Mº F m = K(L L o )i º½½µ ÓÒ L Ð ÐÓÒ ØÙ ÒØÖ ÐÓ ÜØÖ ÑÓ Ð ÑÙ ÐÐ ÕÙ Ó Ò ÓÒ Ð ÓÓÖ Ò x Ð ÙÖ º µº Ð ÒØ L L o Ð ÐÐ Ñ ÐÓÒ Òº Î ÑÓ ÕÙ L > L o Ö Ð ÑÙ ÐÐ Ø Ø Ö Ó ÔÓÖ Ò Ñ Ù ÐÓÒ ØÙ Ò ØÙÖ Ð Ð Ù ÖÞ Ø Ò ÒØ Ó i Ý Ð ÑÙ ÐÐ ØÖ Ø Ö ÙÔ Ö Ö Ù ÐÓÒ ØÙ Ò ØÙÖ Ð Ö Ò Ó Ð ÐÓÕÙ Ð Ô Ö º Ë Ð ÑÙ ÐÐ Ø ÓÑÔÖ Ñ Ó L < L o Ð Ù ÖÞ Ø Ò ÒØ Ó Ò i Ý Ð ÑÙ ÐÐ ÒØ ÒØ Ð Ö Ð ÐÓÕÙ Ð Ô Ö º Ë ÒÓÖ Ð ÖÓÞ Ñ ÒØÓ Ð Ù Ò º½ ÔÖÓÝ Ø Ò Ð Ö Ò i Ô Ö Ð ÐÓÕÙ Ñ M Ð ÙÖ º M d2 x 2 = K(x L o) º½¾µ ÓÒ ÙØ Ð Þ Ó Ð Ð Ý º½½º Ä Ù Ò Ö Ò Ð º½¾ Ð ÙÒ Ó Ð ÓÖ ÖÑ Ò Ó Ý Ö ØÙ ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ð Ô ØÙÐÓ º º¾º º Ù ÖÞ Ò Ö Ò ØÖ ÖÓ Ò Ö Ð Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ø Ö ØÓ ÔÓÖ Ð Ð Ý º½ ÓÒ F ÒÐÙÝ Ð Ù ÖÞ Ö Ð Ö Ø Ñ ÒØ ÔÐ º Ë Ò Ñ Ö Ó ÑÙÝ ØÙ Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ö ÕÙ Ò Ö Ó ØÙ Ö Ð Ò Ñ ÓÒ Ö Ô ØÓ ÙÒ Ø Ñ Ö Ö Ò ÒÓ

47 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á Ò Ö Ðº ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ ÓÒØ ÒÙ Ò Ò Ø ÐØ ÑÓ Ó Ò Ö Ó Ö Ð ÓÒÓ ÓÑÓ Ù ÖÞ Ò Ö º È Ö ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ P Ñ m Ó Ö Ð ÕÙ Ø ÙÒ Ù ÖÞ F p Ð Ù Ò Ð ÑÓÚ ¹ Ñ ÒØÓ ÓÒ Ö Ô ØÓ ÙÒ Ø Ñ Ò Ö Ð S F p = ma p º½ µ Ë ÓÖ ÙÒ Ø Ñ S ÒÓ Ò Ö Ð ÙÝÓ ÓÖ Ò Ø Ò Ú ÐÓ v o (t) Ý Ð Ö Ò a o (t) ÓÒ Ö Ô ØÓ S Ý ÙÝÓ Ø Ò Ò Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò Ò ÙÐ Ö Ω S S(t) Ý Ω S S(t) Ö Ô Ø ¹ Ú Ñ ÒØ º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ù Ò º Ò º½ Ö ÙÐØ [ ( ) ] F p = m a p +a o + dωs S r p +2Ω S S v p +Ω S S (Ω S S r p ) º½ µ S ÄÐ Ñ Ò Ó Ù ÖÞ Ò Ö F I Ð Ø ÖÑ ÒÓ [ ( ) ] dωs F I = m a o + S r p +2Ω S S v p +Ω S S (Ω S S r p ) Ð Ù Ò º½ S º½ µ ma p = F p, F p F p +F I º½ µ Ð Ù Ð Ð Ù Ò Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ò Ð Ø Ñ S º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÑÓÚ ¹ Ñ ÒØÓ Ö Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ Ö Ö Ò S ÒÓ Ò Ö Ð Ò Ö Ó ÒÐÙ Ö Ò Ð ÙÒ Ð Ý Æ ÛØÓÒ º º½µ Ð Ù ÖÞ Ò Ö F I º Ä Ù ÖÞ Ò Ö Ô Ò Ò Ð ÔÓ Ò r p Ý Ð Ú ÐÓ v p Ð Ô ÖØ ÙÐ Ò S Ý Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ö Ð Ø ÚÓ ÒØÖ Ñ Ó ØÖ ÖÓ º Ð Ø ÖÑ ÒÓ F cor = 2m(Ω S S v p) Ð ÒÓÑ Ò Ù ÖÞ ÓÖ ÓÐ º Ø Ù ÖÞ Ò Ö ÑÔÖ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö Ω S S Ý Ð Ú ØÓÖ Ú ÐÓ v p Ð Ô ÖØ ÙÐ ÓÒ Ö Ô ØÓ S º Ä Ù ÖÞ ÒØÖ Ù F c = m[ω S S (Ω S S r p )] Ö ÑÔÖ Ò Ð Ö Ò Ô Ö¹ Ô Ò ÙÐ Ö Ð Ú ØÓÖ Ω S Sº Ë ÓÑÔÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ò r p = r + r Ð Ô ÖØ ÙÐ Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö r Ý Ô Ö Ð Ð r Ð Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö Ω S S ÔÙ ØÓ ÕÙ Ω S S r = 0 Ð Ù ÖÞ ÒØÖ Ù Ú Ò ÔÓÖ F c = m[ω S S (Ω S S r )] = mω2 S S r r r º½ µ ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð º º Ð Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó r /r ÔÙÒØ Ò Ð Ö Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ω S S ÓÒ ÒØ Ó Ù Ö Ð ÖÓº Ð ØÖ ÖÓ Ø ÖÖ ØÖ È Ö ÐÙ ØÖ Ö Ð Ù ÖÞ Ò Ö ÙØ Ö ÑÓ ÓÒØ ÒÙ Ò Ð ÓÒÓ Ó ÓÑÓ ØÖ ÖÓ Ø ÖÖ ØÖ º Ó ÕÙ Ð Ì ÖÖ Ö ÐÖ ÓÖ Ð ËÓÐ Ý ÐÖ ÓÖ Ù ÖÓØ Ò ÓÒ Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö Ω año Ý Ω Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð ØÖ ÖÓ Ø ÖÖ ØÖ S T ÓÒ ÓÖ Ò Ò Ð ÒØÖÓ Ð Ì ÖÖ Ý Ð Ó Ð Ñ Ñ ÒÓ ÙÒ Ø Ñ Ö Ö Ò Ò Ö Ðº Ò ÓÒ Ù Ò Ô Ö Ö Ö Ð Ò Ñ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ñ móò Ö Ô ØÓ S T ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ñ Ð Ù ÖÞ Ö Ø Ñ ÒØ ÔÐ ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ò Ö Ú Ö Ù Ò º½ µº

48 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ð Ô Ö Ó Ó ÖÓØ Ò Ð Ì ÖÖ ÐÖ ÓÖ Ù T = (24h 60m 60s) = s ÑÓ Ó ÕÙ Ω = 2π/T 7, rads 1 º ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó Ω año ÔÙ Ø Ñ Ö ÓÑÓ Ω año = Ω /( ) 2, rads 1 ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ω >> Ω año º ÄÓ Ø ÖÑ ÒÓ ÕÙ Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ø Ò Ö Ò Ù ÒØ Ò Ð Ù Ò º½ ÓÒ ma T, m dω dia r p 2mΩ dia v p, y mω dia (Ω dia r p ). º½ µ ÓÒ a T Ð Ð Ö Ò Ð ÒØÖÓ Ð Ì ÖÖ Ò Ù Ö Ø Ò ØÓÖÒÓ Ð ËÓÐ Ð Ø ÖÑ ÒÓ a o Ò Ð Ù Ò º½ µº Ë D 1, m Ð Ø Ò ÔÖÓÜ Ñ Ì ÖÖ ¹ËÓÐ Ø Ò Ö ÑÓ a T Ω 2 año D = ms 2 º È Ö Ò Ð Þ Ö ÑÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ ÐÓ Ö ÒØ Ø ÖÑ ÒÓ Ò Ð Ù ÓÒ º½ ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÓÒØ ÒÙ ¹ Ò ÙÒ Ó ØÓ Ó Ö Ð ÙÔ Ö Ø ÖÖ ØÖ r p R T µ ÑÓÚ Ò Ó Ð Ú ÐÓ Ð ÓÒ Ó v p 340m/s Ý Ð¹ ÙÐ Ö ÑÓ Ð Ó ÒØ ÒØÖ Ð Ù ÖÞ Ò Ö Ý Ù Ô Ó mgº Ç Ú Ñ ÒØ Ð Ø ÖÑ ÒÓ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð dω dia / Ò Ð Ù Ò º½ Ö ÔÖ Ð Ý Ô Ö Ð Ö ØÓ Ø Ò Ö ÑÓ Ω 2 año D g , 2Ω dia v p g , Ω 2 dia R T g º½ µ Î ÑÓ ÕÙ ÒÐÙ Ó ØÓÑ Ò Ó ÙÒ Ú ÐÓÖ ÐØÓ Ô Ö Ð Ú ÐÓ ¹ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ð Ø ÖÑ ÒÓ ÓÖ ÓÐ ÑÙÝ Ô ÕÙ Ó ÓÑÔ Ö Ó ÓÒ Ð Ð Ö Ò Ð Ö Ú Ø ÖÖ ØÖ º O =r Ω r r F c r Ω V 2 Ω = m r ÙÖ º Ù ÖÞ ÒØÖ Ù F c = mω 2 r Ó Ö ÙÒ Ô ÖØ Ù¹ Ð º ÈÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ ÙÒ ØÖ ÖÓ S Ð Ó Ð ÙÔ Ö Ð Ì ÖÖ ÔÙ ÓÒ Ö Ö ÓÑÓ Ò Ö Ð Ô Ö Ð Ñ ÝÓÖ Ô ÖØ ÐÓ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ó ØÓ ÒÙ ØÖ Ú Ö º Ä ÓÖÖ ÓÒ Ð Ð Ö ÓÒ ÒØÖ Ù Ó ÓÖ ÓÐ ÓÒ Ö Ð Ú ÒØ Ð Ø Ò Ó Ö Ð ÙÔ Ö Ø ÖÖ ØÖ ÓÒ ÑÙÝ Ö Ò Ó ÐÓ Ô Ö Ó Ó ÑÔÐ Ó ÓÒ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÑÙÝ Ð ÒØÓ ÑÓ Ó ÕÙ Ù ØÓ ÙÑÙÐ Ò ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ø ÑÔÓ ÓÑÓ Ð Ó Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ð Ô Ò ÙÐÓ Ó ÙÐغ Ò Ð º º ÓÒ Ö ÑÓ Ó ØÖ ÖÓ S Ý S ÓÒ ÓÖ Ò Ò Ð ÒØÖÓ Ð Ì ÖÖ º Ð Ø Ñ S Ò Ö Ð Ý Ù ÔÙÒØ Ò Ö ÓÒ Ò Ð Ô Óº Ð ØÖ ÖÓ S ÓÐ Ö Ó ÓÒ Ð Ì ÖÖ Ý ÖÓØ Ö Ô ØÓ S ÓÒ Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö Ω dia = Ω dia k º Ä Ù ÖÞ F p ÕÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ P ØÙ Ð ÐØÙÖ h Ó Ö Ð ÙÔ Ö Ø ÖÖ ØÖ Ö F p = F g m [ 2Ω dia v p +Ω dia (Ω dia r p )] Ý ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÔÓÖ ÑÔÐ Ö Ð Ú ÐÓ v p = v p [cos(ϕ)i + sen(ϕ)k ] ÓÒØ Ò Ò Ð ÔÐ ÒÓ (X,Z )º Ñ ÑÓ r p = (R T +h)u r = (R T +h)[cos(θ)i +sen(θ)k ] Ý Ð Ù ÖÞ Ð Ö Ú F g = mgu r Ð Ñ Ñ Ò S Ý S º Ä Ù ÖÞ ÒØÖ Ù Ö ÙÐØ F cent = m(r T +h)ω dia (Ω dia u r ) = m(r T +h)ω 2 dia cos(θ)i ÓÑÓ Ò Ð ÙÖ Ý Ð ÓÖ ÓÐ F cor = 2mΩ dia v p = 2mΩ dia v pcos(ϕ)j

49 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á (R T + h) Sen ( θ) Z Z Ω dia v p h θ F g ϕ P F cent O=O (R T + h) Cos ( θ) X ÙÖ º Ð ØÖ ÖÓ S Ö ÓÒ Ð Ì ÖÖ º Ö ÙÐØ Ö Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÔÐ ÒÓ (X,Z ) Ö Ð Ð ØÓÖ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÒÓ Ø Ù Ò Ð º º º Ä Ù ÖÞ ØÓØ Ð ÕÙ Ó ÖÚ Ó Ö P Ò S Ò ÐÑ ÒØ F p = mgu r +m(r T +h)ω 2 dia cos(θ)i 2mΩ dia v pcos(ϕ)j Î ÑÓ ÕÙ Ñ Ð Ô Ó F g Ý ÓØÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÕÙ Ô Ò Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ θ Ð Ø ØÙ µ Ý ϕ ÐÓÒ ØÙ µ ÕÙ Ò Ð ÙÒÓ Ó ÔÙ Ò Ö ÒÙÐ º Ä Ù ÖÞ ÒØÖ Ù ÒÙÐ Ò ÐÓ ÔÓÐÓ θ = ±π/2 Ý Ñ Ü Ñ Ò Ð Ù ÓÖ (θ = 0) Ð ÓÖ ÓÐ ÒÙÐ ϕ = π/2 Ý Ñ Ü Ñ Ù Ò Ó ϕ = 0º º º ÌÖ Ó Ý Ò Ö Ë Ò Ð ØÖ Ó dw ØÙ Ó ÔÓÖ Ð Ù ÖÞ F Ó Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ P ÕÙ ÑÙ Ú ÐÓ Ð Ö Ó Ð ØÖ Ý ØÓÖ r(t) ÓÑÓ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö dw = F dr = F dr cosθ º¾¼µ Ð Ò Ó ÓÑ ØÖ Ó ÔÖ Ò Ð º º Ð ÒØ dw Ö ÔÖ ÒØ Ð ÔÖÓÝ Ò F cos(θ) Ð Ù ÖÞ ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ú ØÓÖ drº Ö ÓÐÓ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ù ÖÞ F Ø Ò Ò Ð Ô Ö Ð Ð Ð Ú ØÓÖ drµ Ö Ð Þ ØÖ Óº ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ a Ý b Ù Ð ÕÙ Ö Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ò Ó ÔÓÖ ÐÓ Ú ØÓÖ r a Ý r b Ø Ò¹ Ö ÑÓ rb r a dw = W ab = rb r a F dr ÓÒ Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ð Ò Ð Ù ÖÞ F ÐÓ Ð Ö Ó Ð ØÖ Ý ØÓÖ r(t) ÒØÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÓÒ Ö Ó º Ô ÖØ Ö Ð ¾ Ð Ý Æ ÛØÓÒ ÔÓ Ð ÒÓÒØÖ Ö ÙÒ Ù Ò ÕÙ Ö Ð ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ô ÖØ ÙÐ E c = 1 2 mv2 º¾½µ ÈÙ ÓÒ ÙÐØ Ö Ð Ô ØÙÐÓ Ð ÎÓÐ Á Ð Ê º ½ Ô º ¾¼½¹¾ ÍÒ ÒØÖÓ Ù Ò Ø ÓÒ ÔØÓ ÒÙ ÒØÖ Ò Ð Ô º ½½½º

50 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö ÓÒ Ð ØÖ Ó W Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ Ð Ù ÖÞ º È Ö Ù ÖÐ ÑÙÐØ ÔÐ ÑÓ Ð Ù Ò º½ ¹ Ð ÖÑ ÒØ ÔÓÖ Ð Ú ÐÓ v m dv ( ) 1 = F v d 2 mv2 = F dr º¾¾µ Ò ÓÒ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ó Ð Ö Ð Ò dr = vº ÁÒØ Ö Ò Ó ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ a Ý b Ù ÐÕÙ Ö Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ý Ù Ò Ó Ð Ù Ò º¾½ ÒÓÒØÖ ÑÓ E c = W ab º¾ µ ÓÒ E c = m(v 2 b v2 a )/2º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ú Ö Ò E c Ò Ö Ò Ø Ð Ô ÖØ ÙÐ ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ a Ý b Ù Ð Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ ÔÐ Ó Ö ÐÐ W ab º ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÐØ Ö ÕÙ Ð Ù Ò º¾ Ó Ø Ò Ó ÒØ Ö Ò Ó Ð ¾ Ð Ý Æ ÛØÓÒ Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ ÒÓ Ò ÓÖÑ Ò ÓÒ Ö Ô ØÓ Ø º X Z r a O a Y P r(t) F r b θ dr v ÙÖ º ËÓÐÓ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ù ÖÞ F Ô Ö Ð Ð dr(t) Ö Ð Þ ØÖ ¹ Óº b Ë Ö Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ Ð ÙÒ ÓÖÑ Ð Ù Ò º¾¾ Ó Ø Ò ÑÓ Ð ÔÓØ Ò de c = F v. º¾ µ Î ÑÓ ÕÙ Ù Ò Ó Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö F v ÒÙÐÓ Ð Ò Ö Ò Ø ÓÒ ÖÚ ÐÓ Ø ØÖ Ó Ó Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ù ÖÞ Ô Ö Ð Ð Ð Ú ØÓÖ Ú ÐÓ Ö Ð Ø Ò ÒØ Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ð Ô ÖØ ÙÐ º Ò Ð º º¾¼ º¾ Ý º¾ ÒÓ ÑÓ Ô Ó Ð ØÖ ÖÓ Ö Ô ØÓ Ð ÕÙ Ö ÑÓ Ð ÑÓÚ Ñ Ò¹ ØÓ Ò Ö Ð Ó ÒÓ Ò Ö Ðº Ë Ð ØÖ ÖÓ ÒÓ Ò Ö Ð Ý ÕÙ ÓÒ Ö Ö Ñ Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ Ò Ö Ò Ø Ó Ø Ò Ö ÑÓ r b r a r dw = W ab = b F dr ÓÒ ÑÓ Ù Ø ØÙ Ö F = F +F I º Ð Ù Ò º¾ r a E c = [ mv 2 2 ] b a = mv b 2 2 mv a 2 2 = r b r a (F +F I ) dr = r b r a r F dr b + F I dr = W F +W I r a º¾ µ ÒØÓÒ E c = W F +W I ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö ÙÑ Ò Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ØÖ Ó W F Ð Ù ÖÞ ÐÙÐ Ó Ù Ð ÕÙ Ò Ð Ò Ò º º¾¼µ Ô ÖÓ Ú ÐÙ Ó ÐÓ Ð Ö Ó Ð ØÖ Ý ØÓÖ r (t) Ö Ô ØÓ Ð ØÖ ÖÓ S º Ð ÙÒ Ó Ð Ð ØÖ Ó ØÙ Ó ÔÓÖ Ð Ù ÖÞ Ò Ö W I Ý Ð ÙÑ Ñ Ó Ù Ð Ð Ú Ö Ò Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ô ÖØ ÙÐ Ò Ð ØÖ ÖÓ S º ¼

51 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á Ò Ð Ó Ð Ù ÖÞ ÓÖ ÓÐ ÒÙÐÓ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ö Ð Ù ÖÞ F cor ÔÓÖ Ð Ú ÐÓ Ð Ô ÖØ ÙÐ v Ò Ð ØÖ ÖÓ S F cor v = 2m(Ω S S v ) v = 0 ÆÓ ØÖ Ó ÔÙ ØÓ ÕÙ F cor ÑÔÖ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ú ÐÓ v º ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÐØ Ö ÕÙ ÐÓ ØÖ Ó ÕÙ ÙÒ Ù ÖÞ F Ö Ð Þ Ó Ö ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ò ÙÒ Ø Ñ Ë Ý Ò ÓØÖÓ Ë³ Ò Ò Ö Ð ÒÓ Ó Ò Òº Ö W ab = rb r a F dr W ab = r b r a F dr ÍÒ ÑÔÐÓ ÒÙ ÒØÖ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ù ÐØÓ Ð Ò Ð Ð Ô ØÙÐÓº º º Ù ÖÞ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÈÓ ÑÓ ÔÐ Ö Ð Ò Ò ØÖ Ó º¾¼ ÐÓ Ð Ö Ó ÙÒ ØÖ Ý ØÓÖ ÕÙ ÓÖÑ ÙÒ ÙÖÚ ÖÖ C Ò Ð Ô Ó ÑÓ Ó ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ò Ð a Ý Ò Ð b ÓÒ Ð Ñ ÑÓ Ý Ö ÑÓ W ab = F dr. Ù Ò Ó ÐÓ Ð Ö Ó Ù ÐÕÙ Ö ÙÖÚ ÖÖ C Ò Ð Ô Ó ÙÑÔÐ ÕÙ F dr = 0, C ÑÓ ÕÙ Ð Ù ÖÞ F(r) ÓÒ ÖÚ Ø Ú º Ò Ø Ó ÔÙ ÔÖÓ Ö ÕÙ ÒØÓÒ Ü Ø ÙÒ ÙÒ Ò Ð Ö E p (x,y,z) Ø Ð ÕÙ de p = F dr Ý Ð ØÖ Ó Ú Ð C W = b a F dr = b a de p W = E p = E p (a) E p (b) º¾ µ ÒÑ ØÓ Ú Ö ÕÙ Ù Ò Ó Ð ÙÒ Ò Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ü Ø ÒØÓÒ C F dr = 0 ÔÙ ØÓ ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ a Ý b Ð ÖÑÙÐ ÔÖ ÒØ Ó Ò Òº Ä Ù Ð de p = F dr ÔÙ ÖÖÓÐÐ Ö ÕÙ ÑÔÐ de p = ( Ep x i+ E p y j+ E ) p z k dr = F dr, ( Ep F = E p x i+ E p y j+ E ) p z k º¾ µ ÓÒ E p Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ý Ð Ú ØÓÖ E p ÒÓÑ Ò Ö ÒØ Ð ÙÒ Ò E p (r) º ÓÒ Ð Ö Ô Ö ÐÓ ÓÒ ÔØÓ ÑÔÓ Ð Ö Ý Ú ØÓÖ Ð ÕÙ ÒØÖÓ Ù Ò Ö Ú Ñ ÒØ Ò Ð Ô º ½¼ º Ð ÓÒ ÔØÓ Ö Ú Ô Ö Ð Ý Ö ÒØ ÔÙ ÒÓÒØÖ Ö Ò Ð È º ½½ º ½

52 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ò Ò Ö Ð Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ø Ò ÐÚÓ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ú ÒØ Ö Òº ÓÒ Ø ÒØ ÒÓ Ø Ð Ò Ñ Ý ÕÙ Ô Ö Ð Ö Ú Ö Ô Ö ÐÙÐ Ö F Ô ÖØ Ö Ð Ù Ò º¾ Ó Ò Ð ÐÙÐ Ö Ð Ö Ò Ò Ö ÔÓØ Ò Ð ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ E p = E p (r b ) E p (r a )º ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ ÓÒØ ÒÙ Ò Ô Ö ÐÓ ÑÔÓ Ð ØÖ Ó Ý Ö Ú Ø ØÓÖ Ó ÓÒ Ø ÒØ Ù Ð Ð Ö ÑÓ Ó ÕÙ Ð Ò Ö ÒÙÐ Ò Ð Ð Ñ Ø r Ö Ô Ö ÔÙÒØÓ Ò Ò Ø Ñ ÒØ Ð Ó Ð Ö Ð ØÖ Ó Ñ µ ÕÙ Ö Ó ÑÔÓº Ù Ò Ó Ð Ù ÖÞ ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ð Ù Ò Ð Ò Ö ØÓÑ ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÝ Ò ÐÐ Ý ÕÙ ÔÓ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ð Ù ÓÒ º¾ Ý º¾ Ý Ö Ö (E c +E p ) = 0 E E c +E p = cte º¾ µ ÈÓÖ Ø ÒØÓ Ù Ò Ó Ð Ù ÖÞ ÕÙ Ø Ò Ó Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ð Ò Ö Ñ Ò E ÙÑ Ð Ò Ö Ò Ø Ý ÔÓØ Ò Ðµ ÓÒ ÖÚ º Ö Ð Ò Ö Ñ Ò ØÓÑ Ð Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ ÐÓ Ð Ö Ó Ð ØÖ Ý ØÓÖ º Ð ÐÙÑÒÓ ÔÙ ÓÑÔÖÓ Ö ÕÙ Ù Ò Ó Ó Ö ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ø Ò Ù ÖÞ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ý ÒÓ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ð Ù Ò Ð Ò Ö Ö ÓÑÓ (E c +E p ) = W NC º¾ µ ÓÒ E p Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ð ÕÙ Ö Ú Ð Ù ÖÞ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ý W NC Ð ØÖ Ó ÕÙ Ö Ð Þ Ò Ð Ù ÖÞ ÒÓ ÓÒ ÖÚ Ø Ú º ÓÒØ ÒÙ Ò ÐÙÐ Ò ÐÓ ÔÓØ Ò Ð Ð ÕÙ Ö Ú Ò Ð ÙÒ Ð Ù ÖÞ ÓÒ Ö¹ Ú Ø Ú ÔÖ ÒØ Ò Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ý ÐÐ Ú Ò Ó Ð ÙÒÓ ÑÔÐÓ ÕÙ ÐÙ ØÖ Ò ÐÓ ÓÒ ÔØÓ Ò Ö Ý ØÖ Óº Ð ÐÙÑÒÓ ÒÓÒØÖ Ö ÙÒ Ö ÙÑ Ò ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ò Ð Ø Ð º½ ÕÙ Ý Ð Ò Ð Ð Òº º º½º Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ð Ø Ò Ð ÙÖ º ÑÙ ØÖ ÙÒ ÐÓÕÙ Ñ M ÙÒ Ó ÙÒ ÑÙ ÐÐ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ø K Ý ÐÓÒ ØÙ Ò ØÙÖ Ð L o º Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ Ð Ø ÐÙÐ Ù Ò Ó Ð Ò Ò º¾¼ ÙÒØÓ ÓÒ Ð Ù ÖÞ ÔÓÖ Ð Ù Ò º½½ Ý dr = dx i W ab = rb r a F dr = ( K) [ K(xb L o ) 2 (x L o )dx = x a 2 xb K(x a L o ) 2 ] 2 Í Ò Ó Ð Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ò Ð Ù Ò º¾ ÒÓÒØÖ ÑÓ Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ð Ø º ¼µ E e (x) = 1 2 K(x L o) 2 +cte. º ½µ Ò ÓÒ cte. ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ù Ð ØÓÑ Ö cte. = 0 Ô Ö ÕÙ E e (L o ) = 0 µº Ë ÔÙ ÓÑÔÖÓ Ö ÕÙ Ð Ù ÖÞ Ð ÑÙ ÐÐ Ù Ò º½½µ Ö ÙÔ Ö Ð Ù Ø ØÙ Ö Ð Ù Ò º ½ Ò º¾ F m = E e = de m dx i = K(x L o)i ÔÐ ÑÓ ÕÙ Ð ÖÑÙÐ º½½ Ð Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ Ò ÙÒ Ñ Ò Òº º ¾µ ¾

53 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á ÄÓ Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ø Ñ Ò ÔÙ Ò Ù Ö Ð Ù Ò ÑÓÚ Ñ ÒØÓ º º½¾µ Ô Ö Ð Ñ m ÙÒ ÙÒ ÑÙ ÐÐ Ð Ò ÙÒ Ñ Ò Òº Ò ØÓ mẍ = K(x L o ) mẋẍ = K(x L o )ẋ Ð ÒØ Ö Ö ÒØÖ Ó Ò Ø ÒØ Ø ÑÔÓ t a < t b ÓÒ ÙØ ÚÓ [ m 2 ẋ2] t b t a = [ ] K tb 2 (x L o) 2 Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÞÕÙ Ö Ù Ø Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ò Ð Ò Ö Ò Ø E c Ý Ð Ð Ö E e º ÓÑÔÖÓ ÑÓ ÙÒ Ú Þ Ñ ÕÙ Ð Ù ÖÞ ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ð Ò Ö Ñ Ò E = 1 2 mv K(x L o) 2 º µ ÓÒ Ø ÒØ º Ë ÔÐ ÙÒ Ù ÖÞ ÓÒ Ð F x Ð Ù Ò Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ t a mẍ+k(x L o ) = F x ahora, mẋẍ+k(x L o )ẋ = F x ẋ ÒØ Ö Ò Ó Ù Ð ÕÙ ÒØ Ö ÙÐØ [ m 2 ẋ2] t b t a + [ ] K tb tb 2 (x L o) 2 = F x dx = W f t a t a Î ÑÓ ÕÙ Ö ÙÔ Ö ÑÓ Ð Ù Ò º¾ º Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÞÕÙ Ö Ð ÙÑ E c Ý E m (x) Ý Ð Ö Ô Ö Ð ØÖ Ó W f Ð Ù ÖÞ ÔÐ E = [E c (ẋ)+e m (x)] = W f Ä Ò Ö E = E c +E m Ð Ñ m ÔÙ Ñ ÒÙ Ö W f Ò Ø ÚÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ù Ò Ó F x ÙÒ Ù ÖÞ ÖÓÞ Ñ ÒØÓ Ó Ö Òµ Ó ÙÑ ÒØ Ö Ù Ò Ó ÔÓ Ø ÚÓº Ð ØÙ Ó Ø ÐÐ Ó Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ó Ð ØÓÖ Ó ÓÒ Ý Ò ÖÓÞ Ñ ÒØÓ ØÙ Ö Ò Ð Ô ØÙÐÓ º º º¾º Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ö Ú Ø ØÓÖ Ë ÙÒ Ñ M Ò ÙÒ ÔÓ Ò r M Ý ÙÒ ÙÒ Ñ mõù Ö ÓÖÖ ÙÒ ØÖ Ý ØÓÖ ÒØÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ r a Ý r b º Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ Ö Ú Ø ØÓÖ rb rb [ ] d( r r M ) 1 W ab = F mm (r) dr = ( GMm) r a r a r r M 2 = (GM m) r b r M 1 r a r M º µ Ð Ú Ø Ð Ù Ò º¾ ÔÓ ÑÓ ÒØÖÓ Ù Ö Ð Ù ÒØ ÜÔÖ Ò Ô Ö Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ö Ú Ø ØÓÖ E g ( r r M ) = G Mm +cte. º µ r r M Ë ØÓÑ cte. = 0 Ô Ö ÕÙ Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ö Ú Ø ØÓÖ ÙÒ Ø Ñ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ Ó Ñ Ò Ò Ø Ñ ÒØ Ð ÒÙÐ º

54 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ô ÖØ Ö Ð Ù ÓÒ º Ý º¾ Ö ÙÔ Ö Ù ÖÞ Ö Ú Ø Ò Ù ÓÒ º µ ½¼ ÈÙ ØÓ ÕÙ Ð Ú ØÓÖ r M Ó ÑÓ Ð Ñ Ó u = r r M ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö F mm = E g = de g u du u = u ( d G Mm ) = G M u u du u u 2 u ÕÙ Ù Ø Ñ ÒØ Ð º º º ÓÑÓ Ð Ù ÖÞ ÕÙ Ö M Ó Ö ÓØÖ Ñ m ØÙ Ò Ð ÔÙÒØÓ r F Mm = mf M (r) Ò Ó ÓÒ ÙØ Ð Þ Ò ÐÙ Ö E g Ð ÔÓØ Ò Ð Ö Ú Ø ØÓÖ Ó Ð Ú ØÓÖ ÒØ Ò ÑÔÓ Ö Ú Ø ØÓÖ Ó U g º Ç Ú Ñ ÒØ Ñ Ó ÔÓØ Ò Ð Ø Ò Ö Ð ÓÒ Ó ÔÓÖ E g = m U g Ý Ð ÔÓØ Ò Ð Ö Ú Ø ØÓÖ Ó U g ( r r M ) = G M +cte. º µ r r M Z P V È Ö Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ó Ö Ð ÙÔ Ö Ø ¹ ÖÖ ØÖ Ú Ö Ù Ò º µ ÓÒ Ö ÑÓ Ð ØÖ ÖÓ Ð º º º Ð ØÖ Ó Ð ÑÔÓ Ö Ú Ø ØÓÖ Ó ÐÙÐ Ù Ø ØÙÝ Ò Ó Ð Ù Ò º Ò º¾¼ F = M g X ÙÖ º È ÖØ ÙÐ P ÕÙ ÑÙ Ú Ò Ð ÔÐ ÒÓ Ú ÖØ Ð (Z,X)º W = rb r a F dr = mg zb z a dz = mg(z b z a ) º µ Ý Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ Ð Ù Ò º¾ Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð E p (z) = mgz +cte. º µ ÓÖ Ý ÒÓ Ø ÑÓ Ò ÙÒ ÓÒØ ÜØÓ ØÖÓÒ Ñ Ó ÒÓ Ò Ð Ì ÖÖ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ cte. Ù Ð Ó Ö Ô Ö ÕÙ Ð Ò Ö ÔÓ¹ Ø Ò Ö Ú Ø ØÓÖ ÒÙÐ Ò Ð ÙÔ Ö Ø ÖÖ ØÖ Ó Ò Ð Ò Ù ÐÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ÔÐ ÒØ º ÒÙ ÚÓ Ù Ò Ó Ð ÔÓØ Ò Ð ÒØ Ö ÓÖ Ò Ð Ù Ò º¾ ÔÓ ÑÓ ÓÑÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ÐÙÐÓ ÓÖÖ ØÓ F g = E p = de p dz k = mgk º µ º º º ÈÓØ Ò Ð Ð ØÖÓ Ø Ø Ó Ë Ù Ò Ó ÙÒ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ò ÐÓ Ó Ð ÑÔÐ Ó Ô Ö Ð ÔÓØ Ò Ð Ö Ú Ø ØÓÖ Ó ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ð ÜÔÖ Ò Ð ÔÓØ Ò Ð Ð ØÖ Ó φ(r)º ÌÓÑ Ò Ó Ð ÔÓ Ò Ð Ö Q Ò Ð ÔÙÒØÓ r Q Ý ÑÔÐ Ò Ó Ð ÑÔÓ Ð ØÖ Ó E(r) Ð º º rb r a E(r) dr = Q 4πǫ o rb d( r r Q ) r a r r Q 2 = Q 4πǫ o [ ] 1 r b r Q 1 r a r Q Ç ÖÚ ÕÙ ÐÚÓ Ð ÒÓ Ø Ò Ö ÔÓØ Ò Ð ÔÓÖ ÙÒ Ö Ø Ò Ð Ñ Ñ ÓÖÑ ÕÙ Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ö Ú Ø ØÓÖ º Ñ ÓÒ ÒÚ Ö Ñ ÒØ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÒØÖ Ð Ô ÖØ ÙÐ º ØÓ Ú ÓÒ Ñ Ð Ö Ò Ð Ø Ð ÕÙ Ú Ð Ò Ð Ø Òº Ð ØÖ Ó ÔÓÖ ÙÒ Ö Ø Ñ Ò ÔÙ Ö Ö ½¼ Ð Ö ÒØ Ò Ö Ú Ò Ó ÔÓÖ Ð Ù Ò º½¾

55 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á rb r a E(r) dr = [φ(r b ) φ(r a )], ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ó Ð ÔÓØ Ò Ð Ð ØÖ Ó φ( r r Q ) = 1 4πǫ o Q r r Q º ¼µ Ö Ó ÔÓÖ Ð Ö Q Ò Ð ÔÙÒØÓ r = r r Q º Ö Ö ÓÒ Ð Ø Ò Ý Ò Ð Ð Ñ Ø r r Q Ö ÙÐØ φ 0º ÓÑÓ Ð Ù ÖÞ ÒØÖ Ó Ö F qq = qe Q (r) Ð ØÖ Ó ØÙ Ó ÔÓÖ Ð ÑÔÓ Ð ØÖ Ó Ö Ó ÔÓÖ Q Ù Ò Ó ÓØÖ Ö q ÑÙ Ú ÒØÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ r a Ý r b Ö W ab = rb r a F Qq (r) dr = q[φ(r b ) φ(r a )] = q φ Ý Ð Ú Ö Ò Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð E p = q φº Ð ÑÔÓ Ð ØÖ Ó Ö ÙÔ Ö Ø Ñ Ò ÓÑÓ E(r) = φ ÔÙ ØÓ ÕÙ Ð Ú ØÓÖ r Q Ó ÓÒ Ð Ñ Ó u = r r Q ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð Ö ÒØ ÓÑÓ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÕÙ Ù Ø Ñ ÒØ Ð º º º E = φ = dφ u du u = u u d du ( ) 1 Q = 1 Q u 4πǫ o u 4πǫ o u 2 u º º º Ò Ö ÔÓØ Ò Ð ÒØÖ Ù Ù Ò Ó Ð Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö Ω ÓÒ Ø ÒØ Ü Ø ÙÒ Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ô Ö Ð Ù ÖÞ ÒØÖ Ù º Ê ÓÖ¹ ÑÓ ÕÙ Ø Ù ÖÞ Ú Ð Ω r = r p Sen ( θ) F c = m[ω (Ω r )] Ý Ð ØÖ Ó Ò Ð Ø Ñ S θ r P dw = F c dr = m(ω [Ω r ]) dr º ½µ ÓÒÚ Ò ÒØÖÓ Ù Ö Ð Ú ØÓÖ u = Ω r ÑÓ Ó ÕÙ du = Ω dr º ÈÓÖ Ö Ω ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ ÑÓ Ö Ö Ð Ù ÒØ ÒØ ÙÖ º ÈÖÓÝ Ò r p Ô Ö¹ Ô Ò ÙÐ Ö Ð Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö Ω (Ω [Ω r ]) dr = (Ω u) dr = (dr Ω) u Ý Ù Ø ØÙÝ Ò Ó Ò Ð Ù Ò º ½ dw = F c dr = m(dr Ω) u = m(ω dr ) u = mu du ÒØ Ö Ò Ó ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ÐÓ ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ò Ò ÐÑ ÒØ Ð Ò Ö ÔÓ¹ Ø Ò Ð ÒØÖ Ù E ct = m 2 Ω r 2 = m 2 Ω 2 r 2 º ¾µ

56 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ç ÖÚ ÕÙ ÐÚÓ Ð ÒÓ Ø Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ø Ò Ð Ñ Ñ ÓÖÑ ÕÙ Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð ÙÒ ÑÙ ÐÐ º ÕÙ ÐÐ Ö ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ Ð ÐÓÒ Ò Ð ÑÙ ÐÐ Ð Ù Ö Ó Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ Ð Ø Ò Ð Ð Ù Ö Óº ÓÑÓ ÔÙ Ú Ö Ò Ð ÙÖ º Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð ÒØÖ Ù Ô Ò Ð ÔÖÓÝ Ò r = r p sen θ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ω Ð Ú ØÓÖ r p Ù ÒØÓ Ñ ÝÓÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ð Ù ÖÞ ÒØÖ Ù F c Ý Ù Ò Ö ÒØÖ Ù E ct Ñ Ò Ø Ú º Ð ÐÙÐÓ Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð ÔÙ ÓÑÔÖÓ Ö Ù Ø ØÙÝ Ò Ó Ð Ù Ò º ¾ Ò º¾ F c = E p = de p dr r r = r r d dr ( m ) 2 Ω2 r 2 = mω 2 r ( r r ). º µ Ì ÔÓ Ù ÖÞ ÜÔÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ö Ú Ø ØÓÖ F mm = G mm r m r M 2 (r m r M ) r m r M E Ö Ú Ø ØÓÖ = G Mm r r M È Ó P = mgk E Ô Ó = mgz ÓÙÐÓÑ F qq = 1 4πǫ o qq (r q r Q ) r q r Q 2 r q r Q E ÓÙÐÓÑ = 1 4πǫ o qq r r Q Ð Ø F Ð Ø = K(x L o )i E e = 1 2 K(x L o) 2 ÒØÖ Ù Ω ÓÒ Ø ÒØ µ F c = m[ω (Ω r )] E ÒØÖ Ù = m 2 Ω 2 r 2 Ù ÖÓ º½ Ð ÙÒÓ ÑÔÐÓ Ù ÖÞ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ý Ù ÔÓØ Ò Ð º º ÅÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ê Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ A Ò Ð Ú ØÓÖ ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ó ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÙÐ Ö L A ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ P Ñ m ÕÙ ÑÙ Ú ÓÒ Ú ÐÓ v Ö Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ S ÓÑÓ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ú ØÓÖ Ð L A = (r p r A ) p, Ò ÓÒ p = mv Ð Ú ØÓÖ ÒØ ÑÓÚ Ñ ÒØÓº ÓÑÓ ÔÙ Ú Ö Ò Ð º º½¼ Ð Ú ØÓÖ L A Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÔÐ ÒÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ Ú ØÓÖ Ú ÐÓ v Ý r = r p r A Ò Ó Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ

57 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á L Ax = yp z zp y L Ay = zp x xp z L Az = xp y yp x. L A Ë Ð ÔÙÒØÓ A ÒÓ ÑÙ Ú v A = 0µ Ö Ô ØÓ Ð ØÖ ÖÓ S Ý Ö Ú L A Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ Z r A Q r p rp r A P v dl A = d (r p r A ) p+(r p r A ) dp, ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ ÒÓ ÒÙÐÓº Ð Ù Ø ØÙ Ö F = dp/ ÐÐ X Y ÙÖ º½¼ ÅÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó L A Ö Ô ØÓ Ð ÔÙÒØÓ A Ò Ð ØÖ ÖÓ Sº dl A = (r p r A ) F. º µ Ù Ò Ó ÐÓ Ú ØÓÖ F Ý (r p r A ) Ò Ô Ö Ð ÐÓ Ø Ò Ö ÑÓ dl A / = 0 Ý Ð Ú ØÓÖ ÑÓÑ ÒØÓ ¹ Ò Ø Ó ÒØÓÒ ÙÒ Ñ Ò ØÙ ÓÒ ÖÚ ÐÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ù ÓÒ Ð Ò Ö Ó ÖØ ÓÒ ÓÒ º º µº Ð Ö ÙÒ Ñ Ò ØÙ Ú ØÓÖ Ð Ò Ð ÙÒÓ Ó ÒÓ ÓÒ ÖÚ Ð Ú ØÓÖ L Q ÒÓ ÐÓ Ð ÙÒ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ º Ë Ö ÑÓ dl A / = M A M A = (r p r A ) F º µ Ð Ú ØÓÖ M A Ð ÒÓÑ Ò ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ù ÖÞ F Ö Ô ØÓ Ð ÔÙÒØÓ Aº Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó ÓÒ ÖÚ Ù Ò Ó Ð Ù ÖÞ ÒØÖ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ö Ø ÕÙ Ð ÙÒ º Ë Ò Ð º º Ô Ö Ð Ù ÖÞ Ö Ú ØÓÑ ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ A Ò Ð ÔÓ Ò Ð Ñ M ÒØÓÒ ÐÓ Ú ØÓÖ F Mm Ý r m r M Ö ÙÐØ Ò Ö Ô Ö Ð ÐÓ Ý ÔÓÖ Ð º º Ø Ò Ö ÑÓ dl A / = 0º ÄÓ Ñ ÑÓ Ù ÓÒ Ð ÔÓØ Ò Ð Ð ØÖ Ó º º µ ØÙ Ò Ó Ð ÔÙÒØÓ A Ò Ù ÐÕÙ Ö Ð Ó Ö q Ý Qº º º ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ù ÐØÓ ÍÒ ÐÓÖ Ó Ñ m Ð Þ Ò ÖÓÞ Ñ ÒØÓ ÔÓÖ ÙÒ Ù Ö Ø ÓÒØ Ò Ò Ð ÔÐ ÒÓ XY ÙÒ Ø Ñ Ò Ö Ð S ÓÒ OZ Ò Ð Ú ÖØ Ðº Ä Ù ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò O Ð ØÖ ÖÓ ÖÓØ Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ω ÐÖ ÓÖ Ð OZº Ë Ò ÙÒ ÙÒ Ó Ø Ñ Ö Ö Ò S ÕÙ Ö ÓÒ Ð Ù ÓÒØ Ò Ò Ù ÔÐ ÒÓ ³ ³µ Ø Ò ÓÖ Ò Ò O Ý Ù OZ Ó Ò ÓÒ OZº Ë Ò ÐÑ ÒØ Ð ÐÓÖ Ó ÒÙ ÒØÖ ÙÒ Ø Ò d 0 Ð OZ Ý Ø Ò Ú ÐÓ d 0 Ω ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ù Ô ½º Ö Ó Ð ÖØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒØÖÓ Ù Ö Ð µ ÓÓÖ Ò µ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ô Ö Ö Ö Ð ØÖ Ý ØÓÖ º ¾º Ù ÖÞ ÕÙ Ø Ò Ó Ö Ð ÐÓÖ Ó Ö ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ý ÔÖÓÝ Ø ÖÐ Ò Ð Ø Ñ S º

58 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ò ÐÓ Ø Ñ S Ý S ½º Î ØÓÖ ÔÓ Ò Ú ÐÓ Ý Ð Ö Òº ¾º ÈÐ ÒØ Ö Ð ¾ Ð Ý Æ ÛØÓÒ ÐÐ Ö Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ð ÐÓÖ Ó Ý Ð Ö ÓÒ º º Ù Ò Ð Ò Ö º ËÓÐÙ Ò ½º Ð Ø Ñ Ø Ò ÙÒ Ò Ó Ö Ó Ð ÖØ º Ë ØÓÑ ÓÑÓ ÓÓÖ Ò Ð Ø Ò x Ð ÖÓ Ø Ð Ô ÖØ ÙÐ º ¾º Ä Ù ÖÞ ÕÙ Ø Ò Ó Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ ÓÒ µ Ð Ô Ó P = mg ÓÒ ÖÚ Ø Ú µº µ Ä Ö Ò Ð Ù N = N y j +N z k µ Ë ØÙ Ð Ò Ñ ÓÒ Ö Ô ØÓ S Ý ÕÙ ÓÒ Ö Ö Ð Ù ÖÞ Ò Ö F I = m [ Ω ( Ω r p) +2Ω v p ] = mω 2 x i 2mΩẋ j º Ä Ù ÖÞ ÓÖ ÓÐ ÒÙÒ ØÖ Ý Ð Ù ÖÞ ÒØÖ Ù ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÔÓÖ Ö Ω = cteº Ò Ð Ø Ñ Ò Ö Ð S ½º ÄÓ Ú ØÓÖ ÔÓ Ò Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò ÓÒ Ö Ô ØÓ S ÔÖÓÝ Ø Ó Ò S ÓÒ ( ) ( ) r p = x i drp, v p = = ẋ i +x Ωj dvp, a p = = ( ẍ x Ω 2) i +2ẋ Ωj S S º µ ¾º Ë ÙÒ Ð Ý Æ ÛØÓÒ Ò S ÔÖÓÝ Ø Ò S 0 = m ( ẍ x Ω 2) º µ N y = 2mẋ Ω N z mg = 0 Ä Ù Ò º ÔÙ ÒØ Ö Ö ÙÒ Ú Þ Ô Ö Ö º µ º µ ẋ 2 x 2 Ω 2 = cte ẋ (t) = Ωx (t) º ¼µ ÓÒ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ó ÕÙ ẋ = d 0 Ω Ù Ò Ó x = d 0 Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ º ÁÒØ Ö Ò Ó ÓØÖ Ú Þ Ý Ù Ò Ó x = d 0 Ò t = 0 Ó Ø Ò x (t) = d 0 e Ωt º Ø Ð Ý ÙÒØÓ ÓÒ Ð Ù Ò º ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ò N y (t)º Ä Ù Ò º ÑÙ ØÖ ÕÙ N z = mgº Í Ò Ó Ð Ú ØÓÖ ÔÓ Ò Ð Ô ÖØ Ó ½µ i = cosωti + sinωtj Ý Ð Ð Ý x (t) ÒÓÒØÖ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ò S x(t) = d 0 e Ωt cosωt, y(t) = d 0 e Ωt sinωt z(t) = 0 º ½µ ÕÙ ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÙÒ Ô Ö Ð ÓÒØ Ò Ò Ð ÔÐ ÒÓ XY º

59 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á º Ð ÒÖ Ñ ÒØÓ Ò Ö Ò Ø Ý Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ Ò Ð Ø Ñ S ÓÒ E c = 1 2 m( ẋ 2 +x 2 Ω 2 2d 2 0Ω 2) W = (N +P) dr p = N y j dr p º ¾µ º µ Ð Ô ÖØ Ó ½µ ÑÓ ÕÙ dr p = (ẋ i +x Ωj ) Ý Ù Ò Ó Ð Ù Ò º ÒÓÒ¹ ØÖ ÑÓ N y j dr p = 2mΩ 2 x dx º Ð ØÖ Ó W = x x 0 2mΩ 2 x dx = mω 2( x 2 d 2 ) 0 º µ Ä Ù Ò Ð Ò Ö E c = W ÕÙ Ò ÐÑ ÒØ ẋ 2 Ω 2 x 2 = 0 Ö Ð Ñ ÑÓ Ö ÙÐØ Ó ÕÙ Ó ØÙÚ ÑÓ ÔÐ Ò Ó Ð ¾ Ð Ý Æ ÛØÓÒ Ú Ö Ù Ò º ¼µº Ò Ð Ø Ñ ÒÓ Ò Ö Ð S ½º ÄÓ Ú ØÓÖ ÔÓ Ò Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò ÓÒ ( dr r p = x i, v p ) p = = ẋ i, a p = S ( dv ) p = ẍ i S º µ ¾º Ë ÙÒ Ð Ý Æ ÛØÓÒº ÓÑÓ S ÒÓ Ò Ö Ð Ý ÕÙ ÒÐÙ Ö Ð Ù ÖÞ Ò Ö F I = mω 2 x i 2mΩẋ j mω 2 x = mẍ N y 2mẋ Ω = 0 N z mg = 0 º µ º µ º µ Ô ÖØ Ö Ð Ø Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÔÙ ÐÙÐ Ö Ð Ð Ý x (t) Ý Ð Ö ÓÒ Ð Ù Ó Ø Ò Ò Ó ÐÓ Ñ ÑÓ Ö ÙÐØ Ó ÕÙ Ò Ð Ô ÖØ Ó ÒØ Ö ÓÖº Ò Ð Ø Ñ S Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ð Ô ÖØ ÙÐ ÙÒ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ö Ø Ð Ò Ó Ð Ö Ó Ý ÕÙ Ø Ò ÑÓ x (t) = d 0 e Ωt, y (t) = 0 z (t) = 0 º µ º Ð ÒÖ Ñ ÒØÓ Ò Ö Ò Ø Ý Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ Ò Ð Ø Ñ S ÓÒ E c =1 2 m( ẋ 2 d 2 0 Ω2) W = (N +P +F I ) dr p = F c dr p º ¼µ º ½µ Ð Ô Ó Ð Ö Ò Ð Ù Ý Ð Ù ÖÞ ÓÖ ÓÐ ÒÓ Ö Ð Þ Ò ØÖ Ó ÔÓÖÕÙ ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ dr p = dx i º Ä Ò Ù ÖÞ ÕÙ Ö Ð Þ ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ ÒØÖ Ù F c º ËÙ ØÖ Ó ÔÙ ÐÙÐ Ö ÓÒ W = x mω 2 x dx = 1 d 0 2 mω2( x 2 d 2 ) 0 º ¾µ Ó Ò Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð Ù ÖÞ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ý W = E p ÓÒ E p = 1 2 mω2 x 2 º Ä Ù Ò Ð Ò Ö E c = W ÕÙ ÒÙ ÚÓ ẋ 2 Ω 2 x 2 = 0º

60 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ø ÑÔÐÓ ÔÙ ØÓ Ñ Ò ØÓ Ó ÓÒ ÔØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ½º Ä Ù Ò Ð Ò Ö ÓÒ Ù Ò Ð ¾ Ð Ý Æ ÛØÓÒ ÒÓ Ò ÓÖÑ Ò ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ô ØÓ Ø º Ë Ò Ñ Ö Ó ÑÔÖ ÕÙ ÔÓ Ð ÓÒÚ Ò ÒØ ÔÐ ÒØ Ö Ø Ù Ò Ú Ö ÕÙ Ð ¾ Ð Ý Æ ÛØÓÒ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ẍ Ω 2 x = 0 Ò ÔÖ Ò Ô Ó ÙÒ Ù Ò Ö Ò Ð Ð ÒØ Ö Öµ Ñ ÒØÖ ÕÙ Ð Ù Ò Ð Ò Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ù ÒØ Ö Ð ẋ 2 Ω 2 x 2 = 0º ¾º Ð ØÖ Ó ÙÒ Ù ÖÞ Ò Ó Ø Ñ Ö Ö Ò Ø ÒØÓ W Ý W ÓÒ Ò Ò Ö Ð Ö ÒØ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð ÒÓÖÑ Ð Ð Ù ÒÓ ØÖ Ò S ÔÓÖÕÙ ÒÓÖÑ Ð Ð ¹ ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ dr p Ò S Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ò Ð Ö Ø OX Ð Ù Ð Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ò Ð Ù µº Ë Ò Ñ Ö Ó ØÖ Ò S Ý ÕÙ Ý ÙÒ ÔÖÓÝ Ò Ð Ö Ò Ò dr p Ð Ö Ò Ð Ù Ø Ò ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ð Ö Ò Ð Ø Ò ÒØ Ð Ô Ö Ð ÕÙ Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ Ò Sµº ¼

61 È ÌÍÄÇ ËÁËÌ Å Ë È ÊÌ ÍÄ Ë ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ð º º½ ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ m ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ N Ñ Ö ÒØ m 1 α ØÙ Ò m 2 ÐÓ ÔÙÒØÓ r α α = 1,2,...,Nµ ÕÙ ÑÙ Ú Ò Ö Ô ¹ ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ S ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ðµº ËÓ Ö r r 1 2 m 3 ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ α Ø ÙÒ Ù ÖÞ F α ÕÙ Ò Ò Ö Ð ÙÑ ØÖ Ø ÖÑ ÒÓ º Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö Ø Ò ÑÓ Ð Z r ÓÒÓ ÓÑÓ Ù ÖÞ ÒØ ÖÒ ÕÙ ÓÒ Ð Ù ÖÞ 3 m 4 ÕÙ Ð ÓØÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ó Ö αº Ð Ù ÖÞ r 4 ÕÙ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ β Ö Ð Þ Ó Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ α Ð ¹ X O ÒÓØ ÑÓ ÓÒ F αβ º ËÓ Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ α Ø Ñ Ò ÔÙ Y ØÙ Ö ÙÒ Ù ÖÞ ÜØ ÖÒ Ð Ø Ñ F eα Ý Ñ ÙÖ º½ Ë Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ º Ð ØÖ ÖÓ S ÒÓ Ò Ö Ð Ø Ò Ö ÑÓ ÕÙ ÓÒ Ö Ö Ð Ù ÖÞ Ò Ö F Iα ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º Ä Ù ÓÒ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ô Ö ÙÒ Ð α = 1,...,N Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò m α dv α = F α con F α F eα +F Iα + β α F αβ º½µ Ò Ð ÙÑ ØÓÖ Ó º½ ÜÐÙ Ó Ð Ø ÖÑ ÒÓ β = α Ý ÕÙ Ð Ù ÖÞ ÕÙ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ö Ñ Ñ ÒÙÐ F αα = 0µº Ñ Ø Ò ÑÓ ÕÙ F αβ = F βα º Ü ÔØÓ Ò Ð ÙÒÓ Ó ÓÒ ÑÙÝ ÔÓ Ô ÖØ ÙÐ Ð Ö ÓÐÙ Ò ÑÙÐØ Ò Ø ÓÒ¹ ÙÒØÓ 3N Ù ÓÒ Ö Ò Ð ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÑÙÝ ÓÑÔÐ Óº Ù Ò Ó Ð Ò Ñ ÖÓ Ô ÖØ ÙÐ ÑÙÝ Ö Ò ÒØÓÒ ÔÙ Ò ÔÐ Ö Ø Ò Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ö Ð Ù¹ Ò ÒØ º Ø Ð Ð Ø Ø º ÕÙ Ò ÙØ Ð Þ Ö Ø ÖÖ Ñ ÒØ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ð ÙÒÓ Ö ÙÐØ Ó Ó Ö Ð Ø Ñ º½ ÕÙ ÓÒ ÑÙÝ Ò Ö Ð Ý ÔÐ Ð Ò ÑÙÐØ ØÙ ØÙ ÓÒ º ½

62 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö º½º ÈÓ Ò Ý Ú ÐÓ Ð ÒØÖÓ Ñ Ë Ò Ð ÒØÖÓ Ñ Åµ Ð Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ ÓÑÓ Ð ÔÙÒØÓ Ð Ô Ó ÙÝÓ Ú ØÓÖ ÔÓ Ò R cm = 1 M m α r α donde, M = m α º¾µ Ð Ñ ØÓØ Ð Ð Ø Ñ º ÓÑÓ ÔÙ Ú Ö Ò Ð º º¾ Ð ÔÓ Ò Ð ÒØÖÓ Ñ ÒÓ Ø Ò ÔÓÖ ÕÙ Ó Ò Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ð ÙÒ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ð Ø Ñ º Ä Ú ÐÓ Ð ÒØÖÓ Ñ Ó Ø Ò Ö Ú Ò Ó Ø Ú ØÓÖ Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ r 1 m 1 s 1 CM s 2 V cm = 1 M m α v α. º µ X Z O Y R cm r 2 m 2 ÙÖ º¾ ÈÓ Ò Ð ÒØÖÓ Ñ Ñµ Ó Ô ÖØ Ù¹ Ð º ØÖ ÖÓ S CM ÕÙ ÔÓÖ Ò Ò ÒÓ ÖÓØ Ö Ô ØÓ Sº Ó ÙÒ ØÖ ÖÓ S Ù ÐÕÙ Ö Ó ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ðµ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÒ ÙÒ Ó ØÖ ÖÓ S CM ÕÙ Ò ØÓ Ó Ò Ø ÒØ Ø Ò Ù ÓÖ Ò Ò Ð ÒØÖÓ Ñ Ý Ô Ö Ð ÐÓ Sº È Ö Ô ÖØ ÙÐ ½ Ø Ò Ö ÑÓ r α = R cm + s α Ò ÓÒ ÐÓ Ú ØÓÖ s α Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÔÓ ÓÒ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô ØÓ S CM Ú Ö ÙÖ º¾µº Ö Ú Ò Ó Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ Ö ÙÐØ v α = V cm + w α ÓÒ w α = ds α / Ö Ò Ð Ú ÐÓ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô ØÓ Ð È Ö Ð ÙÒ Ù ÓÒ Ø Ö ÓÒÚ Ò Ö Ö Ö Ð Ò Ò Ð ÒØÖÓ Ñ º¾µ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ñ Ó Ñ Ñ ÖÓ ÔÓÖ Ð Ñ Ý ÐÙ Ó Ö Ú Ö MR cm = m α r α = m α (R cm +s α ) = MR cm + m α s α, MṘ cm = m α ṙ α = m α (Ṙ cm +ṡ α ) = MṘ cm + m α ṡ α. Ð ÓÑÔ Ö Ö ÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ý ÐØ ÑÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ù Ò Ð Ù Ð º µ m α s α = 0 y m α ṡ α = m α w α = 0. º µ ½ Ò Ð º º¾ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ó Ð Ñ ÒØ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ô ÖÓ Ð Ñ ÑÓ ÕÙ Ñ ÔÐ Ð Ð α = 1,2,...,N Ô ÖØ ÙÐ Ð Ø Ñ Ð º º½º ¾

63 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á º¾º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ Ð ÒØÖÓ Ñ Ä Ù Ò ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Å Ð Ø Ñ Ó Ø Ò ÙÑ Ò Ó Ð α = 1,2,...,N Ù ÓÒ Ú ØÓÖ Ð º½ m α dv α = (F eα +F Iα )+ β α F αβ ÈÙ ØÓ ÕÙ F αβ = F βα Ý F αα = 0 Ð Ó Ð ÙÑ ØÓÖ Ó Ò Ð ÐØ Ñ Ù Ò ÒÙÐÓº Ö Ð Ö ÙÐØ ÒØ Ð Ù ÖÞ ÒØ ÖÒ Ð Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ ÒÙÐ F αβ = 0. β α º µ Ò ÓÒ Ù Ò M dv cm = F T con F T (F eα +F Iα ), º µ ÕÙ ÒÓ Ò ÕÙ Ð ÒØÖÓ Ñ ÑÙ Ú ÓÑÓ Ù Ù Ú Þ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ ÓÒ ÓÒ ÒØÖ ØÓ Ð Ñ M Ð Ø Ñ Ó Ö Ð ÕÙ ÒÙ ÒØÖ ÔÐ Ð Ö ÙÐØ ÒØ F T ØÓ Ð Ù ÖÞ ÜØ ÖÒ Ý Ò Ö Ö Ô ØÓ Ð ØÖ ÖÓ Sº Ä ÙÑ ØÓØ Ð ØÓ Ð Ù ÖÞ Ò Ö ÕÙ Ô Ö Ò Ð Ù Ò º Ò Ó ÕÙ Ð Ø Ñ S ÒÓ Ò Ö Ð F I = F Iα = [ m α a o + dω ] r α +2Ω v α +Ω (Ω r α ) ÔÙ Ö Ö Ò ÙÒ Ò R cm Ý V cm Ò Ñ ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö Ð Ò ÓÒ º¾ Ý º º Ë Ó Ø Ò F I = M [ a o + dω ] R cm +2Ω V cm +Ω (Ω R cm ) Ò Ó Ω Ð Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö S Ö Ô ØÓ ÓØÖÓ ØÖ ÖÓ Ò Ö Ðº º µ ÓÒ ÖÚ Ò Ð ÒØ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ë Ð Ö ÙÐØ ÒØ ØÓ Ð Ù ÖÞ ÜØ Ö ÓÖ Ý Ò Ö ÔÐ Ó Ö ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ ÒÙÐ ÒØÓÒ Ð ÒØ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ð ÒØÖÓ Ñ Ý Ð ÒØ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ð Ø Ñ ÓÒ ÖÚ Òº Ø Ö ÙÐØ Ó ÓÒ Ù Ò Ð Ù Ò º Ý ÕÙ F T = 0 Ø Ò ÑÓ d (MV cm) = 0 P cm MV cm = m α v α = cte. º µ Ò Ð Ô Ò ÐØ Ñ Ù Ð ÑÔÐ Ó º º

64 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö ÓÒ ÖÚ Ò Ð Ò Ö Ô Ö Ð ÒØÖÓ Ñ Ó ÕÙ Ð Ù Ò º Ø Ò Ð Ñ Ñ ÓÖÑ ÕÙ Ð Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ñ M ÓÑ Ø Ð Ù ÖÞ F T ÔÓ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö ÙÒ Ù Ò ÓÒ ÖÚ Ò Ð Ò Ö Ù Ò Ó Ð Ñ ÑÓ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ Ò Ð Ô ØÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ú Ö Ù Ò º¾ µ Ë ÐÐ Ñ Ø Ó ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ð ÔÓ ÓÒ Ý Ú ÐÓ Ð Ñ Ñ º ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ð ÖÑ ÒØ ÔÓÖ V cm Ð Ù Ò º ÒØ Ö Ò Ó ÒØÖ Ó Ø Ó ÒÓØ Ó ÔÓÖ ÐÓ Ù Ò a Ý b Ø Ò ÑÓ Vcmb ( ) M Rcmb d V cma 2 V cm 2 = F T dr cm R cma Î ÑÓ ÕÙ Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ö Ö ÔÖ ÒØ Ð ÒÖ Ñ ÒØÓ Ò Ö Ò Ø Ð ÒØÖÓ Ñ ÒØÖ ÐÓ Ø Ó a Ý b Ý Ð Ö Ó Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ F T [ M 2 V 2 cm ] Vcmb V cma = W cm, con W cm Rcmb R cma F T dr cm º½¼µ À Ý ØÖ Ô ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ù Ò º½¼ ÕÙ Ò Ð Ö ½º Ð Ø ÖÑ ÒÓ MV 2 cm/2 Ð Ò Ö Ò Ø Ð ÒØÖÓ Ñ Ý ÒÓ ÓÒ ÙÒ Ö ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ú Ö Ù ÒØ Òµº ¾º Ä Ù ÖÞ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ ÑÓ Ò Ð Ò Ö Ò Ø Ð ÒØÖÓ Ñ º º Ð ØÖ Ó W cm Ø ÐÙÐ Ó ÐÓ Ð Ö Ó Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ð ÒØÖÓ Ñ R cm (t) º º Ò Ö ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ Î ÑÓ ÓÒØ ÒÙ Ò ÑÓ Ö Ð Ù Ò Ð Ò Ö Ò ÙÒ Ø Ñ Ë Ù ÐÕÙ Ö Ý Ò Ð Ø Ñ S CM ÓÒ ÓÖ Ò Ò Ð ÒØÖÓ Ñ Ý ÑÔÖ Ô Ö Ð ÐÓ ÐÓ Sº Ù Ò Ð Ò Ö Ò Ë Ä Ò Ö Ò Ø ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ ÓÒ Ú ÐÓ v α Ö Ô ØÓ ÙÒ Ø Ñ S m α vα 2. º½½µ 2 Ò Ö ÔÙ Ö Ö Ò ÙÒ Ò Ð Ò Ö Ò Ø Ð ÒØÖÓ Ñ º ËÙ Ø ØÙ¹ Ý Ò Ó Ð Ö Ð Ò v α = V cm +w α Ò º½½ ÒÓÒØÖ ÑÓ 1 2 m α (V cm +w α ) (V cm +w α ) = M 2 V 2 cm + m α 2 w2 α +V cm m α w α º½¾µ Ý ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ð Ù Ò º Ð ÐØ ÑÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ö ÒÙÐÓº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ò S m α v 2 α 2 = M V 2 cm 2 + m α w 2 α 2 º½ µ

65 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á Ù Ð Ð ÙÑ Ð Ò Ö Ò Ø Ð ÒØÖÓ Ñ Ñ Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ô ÖØ ÙÐ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ØÖ ÖÓ S CM º Ä Ù Ò Ð Ò Ö Ð Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ò S Ó Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ð Ö¹ Ñ ÒØ ÙÒ Ð Æ Ù ÓÒ º½ ÔÓÖ v α Ý ÙÑ Ò Óº Ð Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö Ó ÒØÖ Ó Ø Ó Ð Ø Ñ a Ý b 1 b 2 m αvα 2 b a= a b (F eα +F Iα ) dr α + a β α F αβ r α º½ µ Ë Ò Ð ÐØ ÑÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ö ÑÔÐ ÑÓ Ð Ö Ð Ò F αβ = F βα ÒÓÒØÖ ÑÓ Ò Ð¹ Ñ ÒØ 1 b b 2 m αvα 2 b a = (F eα +F Iα ) dr α + F αβ (r α r β ) º½ µ a a pares(α,β) ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÒÖ Ñ ÒØÓ Ò Ö Ò Ø Ð Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ò S Ù Ð Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ ÜØ Ö ÓÖ Ý Ò Ö S ÒÓ Ò Ö Ðµ Ñ Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ ÒØ Ö ÓÖ º ÒØ Ö ÒØ Ö Ð Ù ÒØ Ó ÖÚ ÓÒ Ó Ö ÐÓ ØÖ Ó ÕÙ Ô Ö Ò Ò Ð Ù Ò º½ ½º Í Ò Ó Ð Ö Ð Ò dr α = dr cm +ds α Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ ÜØ Ö ÓÖ Ý Ò Ö Ö ÓÑÓ b b b (F eα +F Iα ) dr α = F T dr cm + (F eα +F Iα ) ds α º½ µ a a Î ÑÓ ÕÙ Ó ØÖ Ó ÙÑ Ð ØÖ Ó Ð Ö ÙÐØ ÒØ ÜØ Ö ÓÖ Ý Ò Ö ÐÓ Ð Ö Ó Ð ØÖ Ý ØÓÖ R cm W cm µ Ñ Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ ÜØ Ö ÓÖ Ý Ò Ö Ò Ð Ø Ñ S CM º ¾º ÙÒÕÙ Ð Ö ÙÐØ ÒØ Ð Ù ÖÞ ÒØ ÖÒ ÒÙÐ F αβ = 0µ Ù ØÖ Ó Ò Ò Ö Ð ÒÓ ÒÙÐÓº Î ÑÓ ÕÙ Ô Ò Ð Ø Ò Ö Ð Ø Ú ÒØÖ Ô ÖØ ÙÐ d(r α r β ) Ý Ó ÕÙ d(r α r β ) = d(s α s β ) Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ ÒØ ÖÒ Ò Ð Ø Ñ S Ý Ò S CM Ö Ò Ù Ð º º Ü Ø Ò Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò ÐÓ ÕÙ Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ ÒØ ÖÒ ÒÙÐÓº Ó ÑÔÐÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ µ ÈÓÐ Ý Ð Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ Ø Ñ ÓÑÓ Ð Ð º º Ö ÒÙÐÓ ÔÓÖÕÙ Ð Ü Ø Ö Ð Ð ÙÖ Ð Ð Ð ÐÓÒ ØÙ ÓÒ Ø ÒØ µ Ø Ò Ö ÑÓ d[r α r β ] = 0 µ Ë Ð Ó Ö Ó Ò ÙÒ Ð Ó Ö Ó Ð Ò ÓÖÑ Ð µ Ð Ø Ò Ö Ð Ø Ú ÒØÖ Ù Ô ÖØ ÙÐ r α r β ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ W int = 0º º Ë Ð Ù ÖÞ ÒØ ÖÒ ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ø Ú du int ( s α s β ) = F αβ d(s α s β ) ÔÓ ÑÓ Ö Ö W int = b F α,β d[s α s β ] = U int pares(αβ) a a α β

66 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ù Ò Ð Ò Ö Ò S CM Ë Ò F Iα Ð Ù ÖÞ Ò Ö Ó Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ α Ò Ð ØÖ ÖÓ S CMº Ä Ù ÓÒ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Æ Ô ÖØ ÙÐ Ò Ð Ø Ñ S CM ÓÒ m α dw α N = F eα +F Iα + F αβ, α β º½ µ Ð Ù Ð ÒØ Ð Ù Ò º½ ÐÚÓ ÕÙ Ô Ö Ò w α Ý F Iα Ò ÐÙ Ö v α Ý F Iα º ÙÒÕÙ ÐÓ S CM ÒÓ Ö Ò ÓÒ Ö Ô ØÓ S Ù ÓÖ Ò Ð ÒØÖÓ Ñ µ ÔÙ Ø Ò Ö Ð Ö Ò ÓÒ Ö Ô ØÓ S Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù ÖÞ Ò Ö Ó Ö ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ α Ò S CM Ò Ò Ö Ð Ö ÒØ ÕÙ Ò S F Iα F Iαµº È Ö Ù Ö Ð Ù Ò Ð Ò Ö Ò S CM ÑÙÐØ ÔÐ ÑÓ Ð ÖÑ ÒØ ÙÒ Ð Æ Ù ÓÒ º½ ÔÓÖ w α Ý ÙÑ ÑÓ Ô Ö ØÓ Ð Ô ÖØ ÙÐ º ÁÒØ Ö Ò Ó ÒØÖ Ó Ø Ó a Ý b Ð Ø Ñ ÒÓÒØÖ ÑÓ 1 b 2 m αwα 2 b a = a ( b Feα +F Iα ) dsα + a pares(α,β) F αβ d(s α s β ). º½ µ ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó Ð Ù Ò º½ Ð Ö Ø ÑÓ Ð Ù Ò º½¼ ÒÓÒØÖ ÑÓ Ð Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ó 1 b 2 m αwα 2 b a = a b (F eα +F Iα ) ds α + a pares(α,β) F αβ d(r α r β ) º½ µ ÓÒ ÑÓ Ù Ó Ð Ù ÓÒ º½ Ý º½ º ÓÑÔ Ö Ò Ó ÓÖ Ð Ù ÓÒ º½ Ý º½ Ý Ø Ò Ò Ó Ò Ù Ò Ó ÕÙ Ð ØÖ Ó Ð Ù ÖÞ ÒØ Ö ÓÖ Ò ÐÓ Ø Ñ S Ý S CM ÓÒ Ù Ð ÒÓÒØÖ ÑÓ Ð Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ó b a F Iα ds α = b a F Iα ds α, Ö Ð ÙÑ ÐÓ ØÖ Ó Ò S CM Ð Ù ÖÞ Ò Ö F Iα Ý F Iα ÓÒ Ù Ð º º¾¼µ º º ÅÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ø Ñ Ò ÐÐ Ñ Ó ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÙÐ Ö µ L A ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ A Ð ÙÑ Ú ØÓÖ Ð ÐÓ ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó L Aα ÙÒ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ð Ø Ñ Ö Ô ØÓ Ó ÔÙÒØÓ L A = L Aα = (r α r A ) m α v α. º¾½µ Ë Ø ÒØ Ö Ó Ò ÐÙÐ Ö Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð Ø Ñ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ù ÒØÖÓ Ñ Ñ Ð Ù Ò A ÔÓÖ cm Ò Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ý Ø Ò ÑÓ L CM = (r α R cm ) m α v α. º¾¾µ

67 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á À ÑÓ ÑÔÐ Ó Ð Ù Ò cm ÓÑÓ Ö Ú ØÙÖ Ð ÒØÖÓ Ñ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ R cm Ò ÔÓ Ò Ð ÒØÖÓ Ñ º Ò Ñ Ó ÑÔÐ ÑÓ Ð Ù Ò CM ÓÑÓ Ö Ú ØÙÖ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÒØÖÓ Ñ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ L CM Ò ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÒØÖÓ Ñ º È Ö Ð Ø Ñ Ö Ö Ò ÓÒ ÓÖ Ò Ò Ð ÒØÖÓ Ñ Ø Ñ Ò ÙØ Ð Þ ÑÓ ÐÓ Ù Ò Ò Ñ Ý ÙÐ º Ë ÓÖ ÑÔÐ ÑÓ Ð Ö Ð ÓÒ r α = R cm +s α Ý v α = V cm +w α Ò Ð Ù Ò º¾¾ ÒÓÒØÖ ÑÓ Ð Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ó L CM = s α m α (V cm +w α ) = s α m α w α V cm m α s α = s α m α w α, º¾ µ ÓÒ ÙÒ Ú Þ Ñ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ó Ð Ù Ò º º À ÑÓ ÐÐ Ó ÕÙ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð Ø Ñ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÒØÖÓ Ñ Ð Ñ ÑÓ Ò Ð Ø Ñ S Ó ÔÓÖ Ð Ù Ò º¾¾µ ÕÙ Ò Ð Ø Ñ S CM ÐØ ÑÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ö Ò Ð Ù Ò º¾ µº Ò ÑÙ Ó ÓÒ ÔÖ Ø Ó ÔÓÒ Ö ÙÒ Ù Ò ÕÙ Ö Ð ÓÒ ÐÓ ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð Ø Ñ Ö Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö Ý Ð ÒØÖÓ Ñ º Ö Ð Ò Ó Ø Ò ÐÑ ÒØ Ò Ñ ÕÙ Ö Ø Ö Ð Ù Ò º¾ Ð Ù Ò º¾½ Ý Ù Ö Ð Ö Ð ÓÒ º L A = L CM +(R cm r A ) MV cm, º¾ µ Ö Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð Ø Ñ Ö Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ A ÙÑ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð Ø Ñ Ö Ô ØÓ Ð Å Ý Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð Å Ö Ô ØÓ Aº È Ö ÐÙÐ Ö ÓÑÓ Ú Ö ÓÒ Ð Ø ÑÔÓ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð Ø Ñ Ö Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ A ØÓÑ Ð Ö Ú Ø ÑÔÓÖ Ð Ò Ð Ù Ò º¾½ dl A = (v α v A ) m α v α + = v A MV cm + (r α r A ) m α dv α (r α r A ) m α dv α, º¾ µ º¾ µ ÓÒ Ø Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ v α v α = 0º Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ ÒÓ ÒÙÐ A ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó v A = 0µ Ó Ð ÒØÖÓ Ñ A = CM v A MV cm = Mv cm V cm = 0µ Ö ÙÐØ dl A Ý Ù Ø ØÙÝ Ò Ó Ð º º½ ÐÐ ÑÓ = (r α r A ) m α dv α º¾ µ dl A = (r α r A ) (F eα +F Iα )+ (r α r A ) F αβ. β α Ò ÐÓ Ó Ñ ØÙ Ð ¾ Ð Ù ÖÞ ÒØ ÖÒ ÓÒ Ô Ö Ð Ð r α r β Ý ÒÓ ÓÒØÖ ÙÝ Ò ¾ ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ù ÖÞ Ö Ú Ø ØÓÖ Ý Ð ØÖÓ Ø Ø º

68 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö dl A / ÔÙ ØÓ ÕÙ (r α r A ) F αβ = (r α r A ) F αβ +(r β r A ) F βα β α pares(α,β) ÒØÓÒ Ø Ò Ö ÑÓ Ò ÐÑ ÒØ = (r α r β ) F αβ = 0. pares(α,β) dl A = α M α siendo, M α (r α r A ) (F eα +F Iα ). º¾ µ ÄÙ Ó Ð Ö Ú Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð Ø Ñ Ö Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ A ÕÙ Ð ÒØÖÓ Ñ Ó Ø Ò Ú ÐÓ ÒÙÐ µ Ù Ð Ð ÙÑ ÐÓ ÑÓÑ ÒØÓ M α Ð Ù ÖÞ ÔÐ Ð Ø Ñ Ö Ô ØÓ Ð ÔÙÒØÓº Ù Ò Ó Ð Ù ÖÞ ÒØ ÖÒ Ø Ò ÐÓ Ð Ö Ó ÐÓ Ú ØÓÖ r α r β ÒØÓÒ Ó ÑÓÑ ÒØÓ M α ÓÒ ÐÓ Ð Ù ÖÞ ÜØ ÖÒ Ý Ò Ö F eα +F Iα Ý ÒÓ ÓÒØÖ ÙÝ Ò dl A / Ð Ù ÖÞ ÒØ ÖÒ F αβ = F αβ º ÓÒ ÖÚ Ò Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ë Ð ÙÑ ØÓ Ó ÐÓ ÑÓÑ ÒØÓ Ö Ô ØÓ Ð ÒØÖÓ Ñ Ó Ö Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÒÑ Ú Ð Ð Ù ÖÞ ÜØ Ö ÓÖ Ý Ò Ö ÔÐ ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ ÒÙÐ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ö Ô ØÓ Ó ÔÙÒØÓ ÓÒ ÖÚ º Ø Ö ÙÐØ Ó ÓÒ Ù Ò Ð Ù Ò º¾ Ý ÕÙ α M α = 0 L A es cte. α M α = dl A = 0 Ø Ò ÑÓ º¾ µ ÑÔÐÓ Ë Ð Ù ÖÞ ÕÙ Ø Ò Ó Ö ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ ÓÒ ÓÐÓ Ù ÖÞ ÒØÖ ¹ Ð ØÓ Ø Ð ÕÙ Ù Ö Ø Ò ÓÖÑ Ò ÙÒ Þ ÕÙ Ô ÔÓÖ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð ÒØÖÓ Ù ÖÞ µ ÒØÓÒ Ù ÑÓÑ ÒØÓ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ó ÔÙÒØÓ ÓÒ ÒÙÐÓ Ý Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó ÓÒ Ö Ô ØÓ Ó ÒØÖÓ ÓÒ ÖÚ º Ø Ð Ó ÐÓ ÔÐ Ò Ø Ð Ø Ñ ÓÐ Ö Ó Ö ÐÓ ÕÙ Ø Ò Ù ÖÞ ÙÝ Ö Ø Ò Ô Ò Ò ØÓ Ó ÑÓÑ ÒØÓ ÔÓÖ Ð ËÓк Ø Ò Ñ Ù ÖÞ Ö Ú Ø ØÓÖ ÒØ ÖÒ ØÓ ÒØÖ ÐÓ ÔÖÓÔ Ó ÔÐ Ò Ø Ñ Ð Ù ÖÞ Ö Ú Ø ØÓÖ ÓÐ Öµ Ô ÖÓ Ø ÓÑÓ Ú ÑÓ ÒÓ ÔÙ Ò ÐØ Ö Ö Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Óº º º º º½º ÔÐ ÓÒ Ë Ø Ñ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ð Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ñ ÑÔÐ ÔÓ Ð Ð Ð º º ÓÖÑ Ó Ð Ñ ÒØ ÔÓÖ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ñ m 1 Ý m 2 º Ë ÒØÖÓ Ù ÑÓ Ð ÔÓ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Å Ð Ø Ñ r 1 = s 1 +R CM, r 2 = s 2 +R CM y r 1 r 2 = s 1 s 2 ÈÙ ÓÒ ÙÐØ Ö Ð Ë º º¾ Ô º ¾¾¾¹¾¾ Ð Ê º Ë º º Ô º ½ ¹½ Ð Ê º ¾ Ý Ð ÑÔÐÓ º Ô º ¾ ¾¹¾ Ð Ê º ½ º

69 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á Ë Ò Ð º º¾ Ô Ö Ð Ú ØÓÖ R CM Ó Ô ÖØ ÙÐ ÙÑ ÑÓ Ý Ö Ø ÑÓ m 2 r 1 Ø Ò ÐÙ Ó r 1 = R CM + (m 1 +m 2 )R CM +m 2 r 1 = m 1 r 1 +m 2 r 2 +m 2 r 1 (m 1 +m 2 )R CM +m 2 (r 1 r 2 ) = (m 1 +m 2 )r 1 m 2 m 2 (r 1 r 2 ), r 1 = R CM + (s 1 s 2 ) m 1 +m 2 m 1 +m 2 Ý ÔÙ ØÓ ÕÙ r 2 = r 1 (s 1 s 2 ) [ ] m 2 m 1 r 2 = R CM + 1 (s 1 s 2 ) = R CM (s 1 s 2 ) m 1 +m 2 m 1 +m 2 Ò ÐÑ ÒØ r 1 = R CM + ÁÒØÖÓ Ù ÑÓ Ð Ú ØÓÖ m 2 m 1 (s 1 s 2 ) r 2 = R CM (s 1 s 2 ) m 1 +m 2 m 1 +m 2 q = s 1 s 2 = r 1 r 2 º ¼µ ÙÝÓ Ñ ÙÐÓ Ð Ø Ò Ö Ð Ø Ú ÒØÖ Ð Ó Ô Ö¹ Ø ÙÐ Ý Ð ÒÓÑ Ò Ñ Ö Ù Ð Ø Ñ µ = m 1m 2 m 1 +m 2 Ä Ù ÓÒ ÕÙ Ò ÒØÓÒ ÜÔÖ Ò ÙÒ Ò Ð Ú ØÓÖ q Ý Ù Ö Ú Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ ÕÙ Ð Ú ÐÓ v q r 1 = R CM + µ m 1 q r 2 = R CM µ m 2 q X Z O r 1 Y m 1 s q = r 1 r 2 = 1 R cm r 2 CM s s 1 s 2 2 m 2 ÙÖ º Ë Ø Ñ Ó Ô ÖØ ÙÐ º Ý Ö Ú Ò Ó Ö Ô ØÓ Ð Ø ÑÔÓ ÓÒ v q = s 1 s 2 = r 1 r 2 Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ú ÐÓ º ½µ v 1 = V CM + µ m 1 v q v 2 = V CM µ m 2 v q º ¾µ Ä Ò Ö Ò Ø Ø Ø Ñ Ó Ô ÖØ ÙÐ ÓÒ Ù Ø ØÙÝ Ò Ó Ð Ú ÐÓ º ¾ E c = (m 1 +m 2 ) 2 E c = m 1v m 2v V 2 CM µ2 ( 1 m m 2 ) ÇÔ Ö Ò Ó Ö ÙÐØ Ò ÐÑ ÒØ ÙÒ Ù Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð º º½ v 2 q E c = M 2 V 2 CM + µ 2 v2 q º µ

70 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö Ð Ò Ö Ò Ø ÓÑÔÓÒ Ò Ó Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ð ÒØÖÓ Ñ Ý ÓØÖ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð Ñ Ö Ù º ÍÒ Ö ÙÐØ Ó Ò ÐÓ Ó Ó Ø Ò ÐÙÐ ÑÓ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ö Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ O Ó L o = r 1 m 1 v 1 +r 2 m 2 v 2 L o = (R CM + µ m 1 q) (m 1 V CM +µv q )+(R CM µ m 2 q) (m 2 V CM µv q ) ÓÒ ÓÔ Ö Ò Ó Ó Ø Ò ( µ 2 ) L o = R CM MV CM + + µ2 (q v q ) m 1 m 2 ÄÐ ÑÓ Ò ÐÑ ÒØ ÙÒ ÓÑÔÓ Ò Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ò ÐÓ Ð ÕÙ Ó ØÙÚ ÑÓ Ô Ö Ð Ò Ö Ò Ø ÕÙ ÕÙ Ú Ð Ð º º¾ L = R CM MV CM +q µv q º µ Ä Ù ÓÒ º Ý º ÒÓ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ò Ð Ò Ö Ò Ø Ý Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ð Ø Ñ Ð º º¾º Ò Ð Ó Ñ Ò Ö Ð Ó Ö Ø Ø Ñ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ø Ò ÙÒ Ù ÖÞ ÒØ Ö ÓÖ F i 12 = Fi 21 Ý Ù ÖÞ ÜØ Ö ÓÖ Fe 1 Ý Fe e º Ä Ù ÓÒ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÓÒ m 1 dv 1 = Fe 1 +F i 21 m 2 dv 2 = Fe 2 +F i 21 ËÙÑ Ò Ó Ð º º Ò Ó F e 1 = F e1 +F I1 Ý F e 2 = F e2 +F I2 ÒÓÒØÖ ÑÓ º µ dv 1 m 1 +m dv 2 2 = (F e1 +F I1 +F 21 )+(F e2 +F I2 +F 12 ) Ý ÓÒ M = m 1 +m 2 Ó Ø Ò ÑÓ Ð º º ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð ÒØÖÓ Ñ M dv CM Ò ÓÒ ÐÓ ÒØ ÖÚ Ò Ò Ð Ù ÖÞ ÜØ ÖÒ º = F e 1 +F e 2 º º¾º ÅÓÚ Ñ ÒØÓ Ó Ù ÖÞ ÒØÖ Ð ÍÒ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒØ Ö Ð Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ñ m 1 Ý m 2 ÕÙ ÒØ Ö ÓÒ Ò ÒØÖ Ñ ÒØ Ù ÖÞ ÕÙ Ô Ò Ò Ù Ø Ò Ö Ð Ø Ú F( r 1 r 2 ) = F( r 1 r 2 ) r 1 r 2 r 1 r 2 Ý ÕÙ Ø ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ö Ø ÕÙ ÙÒ Ð Ñ m 1 Ý m 2 º Ø Ø ÔÓ Ù ÖÞ Ô ÖØ Ò Ð ÑÔÓ Ö Ú Ø ØÓÖ Ó º º µ Ó Ð ØÖÓ Ø Ø Ó º º µº Ë ÑÔÐ ÑÓ Ð Ú ØÓÖ q = r 1 r 2 º º ¼µ F(q) = F(q) q q ¼

71 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á Ý ÔÓ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ð Ò ÒØ Ö ÓÖº Ë ÓÒ Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ñ m 1 Ô ÖÑ Ò ÒÑ Ú Ð Ò Ð ÔÙÒØÓ r 1 Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ó Ù ÖÔÓ Ö Ù Ð ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ò ÙÒ ÑÔÓ ÜØ Ö ÓÖ ÓÒ Ð Ò Ö ÔÓØ Ò Ð U(q) Ô Ò Ð Ñ ÒØ Ð Ø Ò q Ð ÔÙÒØÓ r 1 F(q) = U(q) y F(q) = du dq ÔÐ Ò Ó Ð º º½¾º Ë ÕÙ ÙÒ Ù ÖÞ ÒØÖ Ð ÔÙ ØÓ ÕÙ Ù Ö Ò Ô ÑÔÖ ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ Ó r 1 Ð Ô Ó ÒÓÑ Ò Ó ÒØÖÓ Ù ÖÞ º ÓÒ Ö Ö ÑÓ Ñ ÕÙ Ð Ø Ñ Ó Ô ÖØ ÙÐ ÒÙ ÒØÖ Ð Ó Ö ÕÙ ÒÓ Ü Ø Ò Ù ÖÞ ÜØ ÖÒ ÑÓ Ó ÕÙ Ð Å Ð Ø Ñ ÙÒ ØÖ ÖÓ Ò Ö Ðº ÓÑÓ Ù Ð º º Ð ÒØ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ø Ø Ñ Ó Ô ÖØ ÙÐ ÓÒ Ø ÒØ p 1 +p 2 = (m 1 +m 2 )V CM Ý Ù Ú ÐÓ p 1 Ý p 2 Ö Ô ØÓ ÙÒ Ö Ö Ò Ð S CM ÕÙ ÑÙ Ú ÓÒ Ð Å Ð Ø Ñ Ø Ò p 1 +p 2 = 0º ÑÔÐ Ò Ó Ð º º ½ Ý º ¾ ÓÒ V CM = 0 p 1 = p 2 = m 1m 2 (m 1 +m 2 ) v q = µv q Ò ÓÒ µ Ð Ñ Ö Ù q = r 1 r 2 Ý v q = dq/º Ê Ø Ò Ó Ð º ÑÓÚ Ñ ÒØÓ º ( dv q 1 = r 1 r 2 = + 1 ) F(q) q m 1 m 2 q = (m 1 +m 2 ) F(q) q m 1 m 2 q Ó Ø Ò ÑÓ ÙÒ Ù Ò ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÑÔÐ µ dv q = F(q) q q q q º µ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ñ µ ÕÙ ÑÙ Ú Ó Ð Ò Ð Ù ÖÞ F(q) Ö Ô ØÓ Ð Ø Ñ Åº ÂÙÒØÓ ÓÒ Ð º º Ý º E c = µ 2 v2 q y L CM = q µv q ÑÔÐ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ó Ù ÖÔÓ Ö ÙÐØ Ò Ó Ð Ø Ò q = r 1 r 2 Ý Ð Ú ÐÓ Ö Ð Ø Ú v q = r 1 r 2 Ð ÒØ Ö Ð Ú ÒØ º ÑÔÐ Ò Ó Ð º º¾ ÔÓ ÑÓ ÓÑÔÖÓ Ö ÕÙ ÓÒ ÖÚ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó L CM = cte. ÔÙ ØÓ ÕÙ F(q) Ô Ö Ð ÐÓ qº Ò ÓÒ Ù Ò Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ð Ó Ô ÖØ ÙÐ ÒÙ ÒØÖ ÓÒ Ò Ó Ò ÙÒ ÔÐ ÒÓ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö L CM Ò Ð ÕÙ Ø Ò ÓÒØ Ò Ó ÐÓ Ú ØÓÖ q = r 1 r 2 Ý v q º Ò Ð Ó ÕÙ Ð Ù ÖÞ ÒØÖ Ð F Ñ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø Ò Ö F = U Ý Ø Ñ Ò ÓÒ ÖÚ Ö Ð Ò Ö Ð Ø Ñ º Ð ÒÓÒØÖ Ö Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÓÒØ Ò Ó Ò ÙÒ ÔÐ ÒÓ ÕÙ ÔÓ ÑÓ ÒØ Ö ÓÒ Ð (x,y) ÓÑÔÓÒ ÑÓ Ð Ú ÐÓ v q = v r + v θ Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ð v r Ô Ö Ð Ð Ð Ú ØÓÖ q = r 1 r 2 Ý Ò ÙÐ Ö v θ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÒØ Ö ÓÖ Ú Ö È º ¾¾µ E = E c +U(q) = µ 2 v2 q +U(q) = µ 2 ( q2 +q 2 θ2 )+U(q) = cte L CM = µqv θ = cte. º µ º µ Î Ö Ð º º½¾ Ð Ô ØÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ º ½

72 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö º º º Ä Ý Ã ÔÐ Ö Ô ÖØ Ö Ð º º Ý º ÔÙ Ò Ö Ð ØÙ¹ Ó Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö Ù ÖÞ ÒØÖ Ð ÕÙ ÒÓ Ð Ó Ø ÚÓ Ð ÔÖ ÒØ ÙÖ Óº ÆÓ Ð Ñ Ø Ö ÑÓ Ð Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÔÐ Ò Ø Ö Ó ÓÒ F(q) Ö Ð º º Ò Ð Ð Ñ Ø Ò ÕÙ ÙÒ Ð Ó Ñ ÑÙ Ó Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð ÓØÖ º Ë m 2 = m m 1 = M ÒØÓÒ Ð Ñ Ö Ù µ m Ý Ð ÔÓ Ò Ð Å ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ Ñ ÝÓÖ m r p (t) ÙÖ º ÇÖ Ø Ð ÔÐ Ò Ø Ñ m ÐÖ ÓÖ ÓØÖÓ Ñ M mº R CM r 2 ÓÒ ÔÓ ÑÓ ØÙ Ö Ð ÓÖ Ò Ð ØÖ ÖÓ S CM ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð º º º ÓÑÓ ÑÓ Ú ØÓ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ð Ñ m ÒÓÒØÖ Ö ÓÒØ Ò Ó Ò ÙÒ ÔÐ ÒÓ ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò O ÕÙ ÑÓ Ó Ò Ö ÓÒ Ð ÔÐ ÒÓ (x,y)º Ê Ô ØÓ ÙÒ ØÖ ÖÓ S CM ØÙ Ó Ò M ÓÒ ÖÚ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ö Ô ØÓ O ÓÑÓ Ù Ð º º º ÍÒÓ ÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ü ØÓ Ð Ñ Ò Æ ÛØÓÒ ½ ¾¹½ ¾ µ ÕÙ ÔÙ Ð Ù ÈÖ Ò Ô Ò ½ Ù Ð Ù Ò Ð Ð Ý Ã ÔÐ Ö ½ ½¹½ ¼µº Ø ÐØ Ñ ÓÒ Ø ØÙÝ Ò ÙÒ ÒØ Ð Ó ÖÚ ÓÒ ÔÓÒ Ð Ø ÒØÓÒ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ù ÖÔÓ Ð Ø º È Ö ÐÓ ÔÐ Ò Ø Ð Ø Ñ ÓÐ Ö Ã ÔÐ Ö ÓÒÐÙÝ ÕÙ ½ a Ä Ý Ä ØÖ Ý ØÓÖ ÐÓ ÔÐ Ò Ø Ð Ø Ñ ÓÐ Ö ÓÒ Ð Ô ÓÒ Ð ÓÐ Ò ÙÒÓ Ù ÓÓ º ¾ a Ä Ý Ð Ö A(t) ÖÖ ÔÓÖ Ð Ö Ó Ú ØÓÖ r(t) ÕÙ Ú Ð ÓÐ ÔÐ Ò Ø Ñ m Ò Ð ÙÒ Ø ÑÔÓ ÒÓÑ Ò Ú ÐÓ Ö ÓÐ Öµ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø ÑÔÓ da = L o 2m. a Ä Ý Ä Ö Ð Ò ÒØÖ Ð Ô Ö Ó Ó T Ð Ö Ø Ý Ð Ñ a Ð Ð Ô a 3 T 2 = GM 4π 2. Ä ÙÒ Ð Ý ÙÒ ÓÒ Ù Ò Ð ÓÒ ÖÚ Ò Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Óº Ë ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ t Ô ÕÙ Ó ÓÑÓ Ó ÖÚ Ò Ð º º ÔÓ ÑÓ Ö Ö M X Z Y r(t+ t) = r(t)+ r Ý ÓÑÓ Ó ÖÚ Ò Ð ÙÖ º Ð Ö A Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ØÓ ØÖ Ú ØÓÖ A = 1 2 (base altura) A = 1 2 r(t) r sen ϕ = 1 2 r r ÑÓ Ó ÕÙ Ú Ò Ó ÔÓÖ t Ý ØÓÑ Ò Ó Ð Ð Ñ Ø ¾ da = lím 1 r r = 1 t 0 2 t 2 r v = L o 2m

73 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á Ò ÓÒ L o Ö ÔÖ ÒØ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ö Ô ØÓ ÙÒÓ ÐÓ ÓÓ Ð Ð Ô ÕÙ ÓÒ Ø ÒØ º º µ ÓÑÓ ÔÖ Ò Ð º º Ý º º Ë T Ð Ô Ö Ó Ó Ð Ö Ø r ( t+ t ) 90 o ϕ r (t) r m ÙÖ º Ó ÔÓ ÓÒ Ù ¹ Ú Ð Ö Ø Ô Ö ÙÒ ÒØ Ö¹ Ú ÐÓ Ø ÑÔÓ t Ô ÕÙ Óº da = cte = A T = πab T. Ò ÓÒ a Ý b ÓÒ ÐÓ Ñ Ñ ÒÓÖ Ý Ñ ÝÓÖ Ð Ð Ô º È Ö Ù Ö Ð Ø Ö Ö Ð Ý ÑÔÐ ÑÓ Ð ÓÒ ÖÚ Ò Ð Ò Ö º µ Ý Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó º µ ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ ÓÔÙ ØÓ Ð Ö Ø Ð Ñ Ö ÒÓ r m Ý Ñ Ð Ó r x Ð ÔÐ Ò Ø Ñ Ô Óº Ò ÐÐÓ Ø Ò Ò Ö ¹ Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓ Ñ Ü Ñ v x Ý Ñ Ò Ñ v m ÕÙ ÓÒ Ñ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ù Ö Ô Ø ÚÓ Ú ØÓÖ ÔÓ Òº ÒØÓÒ mv x r m = mv m r x mv 2 x 2 GM m r m = mv2 m 2 GM m r x Ð Ñ Ò ÑÓ v x ÒØÖÓ Ù Ò Ó v 2 x = (v mr x ) 2 /r 2 m Ò Ð ÙÒ Ù Ò Ð ÓÖÑ [ 1 vx 2 vm 2 = (2GM) 1 ] > 0 r m r x ÓÒ ÓÔ Ö Ò Ó Ö ÙÐØ v 2 m ( r 2 x rm 2 ) r 2 m = 2GM r x r m r x r m (v m r x ) 2 = 2GM r xr m r x +r m A(t) m X Z M Y ÙÖ º Ö A(t) Ð Ð Ô ¹ ÖÖ ÔÓÖ Ð Ö Ó Ú ØÓÖ r(t) Ð º º º µ ÈÓ ÑÓ ÓÖ ÒØÖÓ Ù Ö Ð Ö Ð Ò r m Ý r x ÓÒ ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð Ð Ô r m = a c r x = a+c Ý b 2 = a 2 c 2 r x r m = (a c)(a+c) r x +r m (a+c)+(a c) = b2 2a Ý ÓÑÓ ÔÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ da/ = L o /2m = (πab)/t Ø Ò Ö ÑÓ v m r x = 2πab/T Ý Ù Ø ØÙÝ Ò Ó Ò º Ó Ø Ò Ò ÐÑ ÒØ a 3 T 2 = GM 4π 2 Ä ÔÖÓÔ Ð Ð Ô ÒÙ ÒØÖ Ò Ò Ð Ô º ½¼ º Î Ö È º ½¼ º

74 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö º º Ä Ý ÓÒ ÖÚ Ò ÅÓÑ ÒØÓ Ð Ù ÓÒ º Ý º½ Ù ÕÙ ( dp = d N ) m α v α = F α = F T. º ¼µ ÒØÓÒ Ð Ö ÙÐØ ÒØ Ð Ù ÖÞ ÔÐ ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ ÒÙÐ F T = 0 ÓÒ ÖÚ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ N m αv α = M V cm = cte Ý Ð Ú ÐÓ Ð ÒØÖÓ Ñ Ð Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ º Ä ÙØ Ð Ø Ó ÖÚ Ò Ö Ò ÕÙ ÓÑÓ Ð Ö ÙÐØ ÒØ Ð Ù ÖÞ ÒØ ÖÒ ÒÙÐ ÒØÓÒ Ù Ò Ó Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÐÓ Ý Ù ÖÞ ÒØ ÖÒ ÒØÓÒ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ø Ñ ÓÒ ÖÚ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ñ m 1 Ý m 2 ÓÐ ÓÒ Ò Ò Ó F T = 0 ÐÓ ÒÓÒØÖ Ö Ò ÓÑ Ø Ð Ù ÖÞ ÒØ ÖÒ ÕÙ Ü Ø Ò ÒØÖ Ñ º ÈÙ ØÓ ÕÙ Ð ÑÓÑ ÒØÓ ØÓØ Ð P ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ö ÑÓ Ö Ö Ô Ö Ó Ò Ø ÒØ t ÒØ Ý t ÔÙ Ð ÓÐ Ò m 1 v 1 +m 2 v 2 = m 1 v 1 +m 2 v 2 Ò ÓÒ v 1,v 2 µ Ý v 1,v 2 µ ÓÒ Ð Ú ÐÓ ÒØ Ý ÔÙ Ð ÓÕÙ º ÅÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ê Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó A Ò S Ø Ò Ö ÑÓ Ô Ö Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò ¹ Ø Ó dl A = d [ N ] L Aα = (r α r A ) (F αe +F αi ) = M Aα Ý L A Ö ÙÒ Ú ØÓÖ ÓÒ Ø ÒØ ÑÔÖ ÕÙ Ð ÑÓÑ ÒØÓ ØÓØ Ð ÕÙ Ø Ó Ö Ð Ø Ñ ÒÙÐÓº ÍÒ ÓÒ Ò Ù ÒØ Ô ÖÓ ÒÓ Ò Ö Ô Ö ÕÙ ØÓ Ù ÕÙ F αe +F αi = 0 Ô Ö Ô ÖØ ÙÐ Ð Ø Ñ º Ç ÖÚ ÕÙ Ô Ö ÕÙ ÓÒ ÖÚ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó ÙÒ Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ ÒÓ Ø ÓÒ ÕÙ ÒÙÐ Ð Ö ÙÐØ ÒØ Ó Ö Ð Ø Ñ º Ò Ö Ò Ð º º½ Ú ÕÙ W CM W α ÓÒ ÒÙÐÓ Ù Ò Ó F αe +F αi = 0 Ô Ö Ô ÖØ ÙÐ Ð Ø Ñ Ø ÙÒ ÓÒ Ò Ù ÒØ Ô ÖÓ ÒÓ Ò Ö µº ÒØÓÒ ÒØÖ Ó Ò Ø ÒØ t ÒØ Ý t ÔÙ Ð ÓÕÙ E c = [ m1 v1 2 ] t + 2 t [ m2 v2 2 ] t = W int. 2 t ÈÙ ØÓ ÕÙ Ò Ò Ö Ð W int 0 ÙÖ ÒØ ÙÒ ÓÐ Ò ÒÓ Ø Ò ÔÓÖÕÙ ÓÒ ÖÚ Ö Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ô ÖØ ÙÐ ÕÙ ÒØ ÖÚ Ò Òº Ë ÓÒ ÖÚ Ð Ò Ö E c = 0 ÑÓ ÕÙ Ð ÓÕÙ Ð Ø Ó Ý Ù Ò Ó E c < 0 Ý Ð ÓÕÙ Ò Ð Ø Óº Ò Ð ÓØÓ Ö Ö Ô ÔÙ Ò Ó ÖÚ Ö Ð ÓÖÑ ÓÒ ÕÙ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò ÐÓ Ù ÖÔÓ ÙÖ ÒØ ÐÓ ÓÕÙ Ò Ð Ø Ó º Ø ÓÖÑ ÓÒ ÔÙ Ò Ö Ô ÖÑ Ò ÒØ Ó ÒÓº Ë Ð Ó Ô ÖØ ÙÐ ÕÙ Ò Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÔÙ Ð ÓÐ Ò Ð ÓÕÙ ÒÓÑ Ò Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ò Ð Ø Óº Ë Ð ÓÕÙ Ò Ð Ø Ó Ò Ø ÑÓ Ñ Ò ÓÖÑ Ò Ô Ö ÔÓ ÖÐÓ Ö ÓÐÚ Ö ÔÙ ØÓ ÕÙ W int = E c 0º Ò Ð Ó ÙÒ ÓÐ Ò Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ò Ð Ø V Ð Ú ÐÓ ÓÒ ÙÒØ Ð Ó Ô ÖØ ÙÐ ÔÙ Ð ÓÕÙ ÔÓ ÑÓ Ú ÐÙ Ö W int = E c ÔÙ ØÓ ÕÙ m 1 v 1 +m 2 v 2 = (m 1 +m 2 )V

75 ÙÖ Ó ¾¼½ ¹¾¼½ ÔÙÒØ Á W int = (m 1 +m 2 ) V 2 [ 2 m 1 v m 2 v2 2 ] 2 ÁÒØÖÓ Ù Ò Ó Ð Ú ÐÓÖ V Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ò Ò Ð ÙÒ Ö ÙÐØ 1 ( m v1 2 +2m 1 m 2 v 1 v 2 +m 2 2v2 2 ) = Wint + m 1v1 2 2 Ý Ô Ò Ó W int W int = 1 [ m 2 ] 1 m 1 v1 2 2 m 1 +m + 1 [ m 2 ] 2 m m 1 +m 2 ÓÒ ÐÓ ÕÙ Ó Ø Ò + m 1v v m 1m 2 m 1 +m 2 v 1 v 2 W int = 1 m 1 m 2 2(m 1 +m 2 ) (v2 1 +v2 2 2v 1 v 2 ) = µ v 1 v 2 2 = 1 2 µv2 q ÕÙ ÑÔÖ Ò Ø ÚÓº ÆÓ Ó Ø ÒØ ÔÓ Ö ÑÓ Ö Ù Ó Ö Ø Ñ ÒØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ð º º Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ ÔÙ ØÓ ÕÙ V CM ÓÒ Ø ÒØ Ð Ú Ö Ò Ð Ò Ö Ò Ø Ò Ð ÓÕÙ Ù Ø Ñ ÒØ E c = 1 2 µv2 q = W int ÔÙ ØÓ ÕÙ Ð ÕÙ Ö ÙÒ Ð Ô ÖØ ÙÐ v q = 0º º º ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ù ÐØÓ Ò Ð ÙÖ º ÑÙ ØÖ Ò Ó ÐÓÖ Ó A Ý B Ð Ñ Ñ Ñ m Ý ÙÒ Ó ÔÓÖ ÙÒ ÐÓ Ð ÐÓÒ ØÙ Lº ÈÙ Ò Ð Þ Ö Ò ÖÓÞ Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó Ú Ö ÐÐ ÕÙ Ó Ò Ò ÓÒ ÐÓ Ç Ý Ç Ð ÔÐ ÒÓ Ú ÖØ Ð Ð ØÖ ÖÓ Ò Ö Ð Ö Ö Ò S(O;X;Y;Z)º ÁÒ ÐÑ ÒØ ÐÓ ÐÓÖ Ó Ø Ò Ù ØÓ Ñ ÒØ ØÓÔ ÒÓ Ù Ó µ Ò Ð ÔÓ Ò Ð ÙÖ Ð ÞÕÙ Ö º Ò t = 0 Ö Ø Ö Ò ÐÓ ØÓÔ º Ò Ð ÙÖ Ð Ö ÑÙ ØÖ ÙÒ ÔÓ Ò Ò Ö Ð Ø Ñ Ò ÙÒ Ò Ð Ò ÙÐÓ θ ÕÙ ÓÖÑ Ð ÐÓ ÓÒ Ð Ú ÖØ Ðº Ë Ô ½º ÙØ Ö Ù ÒØÓ Ö Ó Ð ÖØ Ø Ò Ð Ø Ñ Ý Ð Ù ÖÞ ÕÙ Ø Ò Ó Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ º ¾º Î ØÓÖ ÔÓ Ò Ú ÐÓ Ý Ð Ö Ò Ð Ô ÖØ ÙÐ Ò S Ò ÙÒ Ò θ Ý Ù Ö Ú º º ÈÖÓÝ Ø Ö Ð Ù ÖÞ Ó Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ Ò Ð Ø Ñ Sº º Ù ÓÒ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ý Ð Ù Ò Ö Ò Ð ÕÙ Ó ÖÒ Ð ÚÓÐÙ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ð Ú Ö Ð θº º Ù Ò Ð Ò Ö Ý θ = f(θ)º ÓÑÔÖÓ Ö ÕÙ Ø Ù Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ó Ø Ò Ò Ð Ô ÖØ Ó ÒØ Ö ÓÖº

76 ºÌºËº ÁÒ Ò ÖÓ ÖÓÒ ÙØ Ó ÍÒ Ú Ö ÈÓÐ Ø Ò Å Ö ÙÖ º È ÖØ ÙÐ A Ý B Ù Ð Ñ ÙÒ ÔÓÖ ÙÒ ÐÓ Ðº º ÜÔÐ Ö ÑÓ Ó Ø Ò Ö θ(t) Ý Ð Ù ÖÞ Ò ÙÒ Ò Ð Ø ÑÔÓº º Ù ÓÒ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð ÒØÖÓ Ñ Ý ÙØ Ö ÔÓ Ð Ö ÓÐÚ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓÒØÖ Ö θ(t) Ý Ð Ö ÓÒ µ Ô ÖØ Ö ÐÐ º ËÓÐÙ Ò ½º Ë Ò Ð ÐÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ö Ó Ö Ó Ð ÖØ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ø Ò Y A Ð OZ Ð Ô ÖØ ÙÐ A Ý Ð Ø Ò Z B Ð OY Ð Ô ÖØ ÙÐ º Ð ÐÓ ÒØÖÓ Ù Ð Ð ÙÖ Y 2 A +Z2 B = L2 ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÑÓ 2 1 = 1 Ö Ó Ð ÖØ º Ò ÐÓ ÕÙ Ù ØÓÑ ÑÓ Ð Ò ÙÐÓ θ ÓÑÓ ÓÓÖ Ò Ô Ö Ö Ö Ð ÔÓ Ò Ð Ô ÖØ ÙÐ º ËÓ Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ A Ý B Ô Ö Ò Ð Ù ÖÞ Ø Ò Ò Ð ÐÓ ÐÓ Ô Ó Ý Ð Ö ÓÒ Ð Ù º ¾º Ò Ñ Ø Ð Ø Ñ ) r A = Lsinθj, v A = L θcosθj, a A = L( θcosθ θ2 sinθ j ) r B = Lcosθk, v B = L θsinθk, a B = L( θsinθ + θ2 cosθ k º ½µ º ¾µ Ë ÔÙ ÓÑÔÖÓ Ö ÕÙ Ð Ù Ò Ð ÙÖ r A r B = L ÙÑÔÐ º º Ù ÖÞ Ó Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ T A = T (sinθj +cosθk) N A = N A k P A = mgk º µ Ù ÖÞ Ó Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ T B = T (sinθj +cosθk) N B = N B j P B = mgk º µ º Ù ÓÒ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ô Ö ) T sinθ =ml( θcosθ θ2 sinθ T cosθ+n A mg =0 º µ º µ