Paso 3: Ahora por cada variable del sistema de ecuaciones (x,y,z) vamos a calcular su

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Ángel Flores Fidalgo
hace 7 años
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1 Regla de Cramer la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3x3 26-octubre-2013 Elaboró: Ing. Edwing Daniel Chay Morales 1 El método de Cramer emplea el uso de determinantes para obtener la solución de un sistema de ecuaciones de nxn, con n incógnitas y n ecuaciones Ejemplo 1: Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales de 3 variables y 3 ecuaciones. Paso 1: Vamos a representar el sistema de ecuaciones en formato de matriz aumentada X Y Z k Paso 2: Tenemos que obtener la determinante principal de la matriz de las variables. En este curso se enseñaron dos métodos. El método de Sarrus (determinantes 3x3) y el método de cofactores. Para este ejemplo aplicaremos el método de cofactores. La determinante por cofactores seleccionando la primea fila es: X Y Z = (2) x det[ ] - (4) x det[ ] + (6) x det[ ] = (2) x (-16) - (4) x (-26) + (6) x (-11) = = 6 La determinante principal = 6 1 Catedrático Universidad Autónoma de Campeche, Instituto Tecnológico de Lerma. 1

2 Paso 3: Ahora por cada variable del sistema de ecuaciones (x,y,z) vamos a calcular su determinante correspondiente x, y, z Si queremos calcular la determinante x realizamos lo siguiente: El sistema de ecuaciones lo representamos de la siguiente manera. X Y Z k Para la determinante x sustituimos la columna de la variable x, por la de la columna k K Y Z x = Y utilizamos esta matriz para calcular la determinante. En este caso lo calcularemos por el método de cofactores utilizando la primera fila x = (18) x det[ ] - (4) x det[ ] + (6) x det[ ] = (18) x (-16) - (4) x (-72) + (6) x (4) = = 24 La determinante de x es: x = 24 Si queremos calcular la determinante y realizamos lo siguiente: El sistema de ecuaciones lo representamos de la siguiente manera. X Y Z k Para la determinante y sustituimos la columna de la variable x, por la de la columna k X K Z y =

3 Y utilizamos esta matriz para calcular la determinante y. En este caso lo calcularemos por el método de cofactores utilizando la primera fila y = (2) x det[ ] - (18) x det[ ] + (6) x det[ ] = (2) x (-72) - (18) x (-26) + (6) x (-56) = = -12 La determinante de y es: y = -12 Y por último para la determinante z realizamos lo siguiente: El sistema de ecuaciones lo representamos de la siguiente manera. X Y Z K Para la determinante z sustituimos la columna de la variable x, por la de la columna k X Y k z = Y utilizamos esta matriz para calcular la determinante z. En este caso lo calcularemos por el método de cofactores utilizando la primera fila y = (2) x det[ ] - (4) x det[ ] + (18) x det[ ] = (2) x (-4) - (4) x (-56) + (18) x (-11) = = 18 La determinante de z es: z = 18 3

4 Paso 4: Solución del sistema de ecuaciones. Las solución del sistema de ecuaciones, para la solución de cada variable dividimos su determinante entre la determinante principal. Para este caso: Solución del sistema de ecuaciones: x = 4, y = -2, z = 3 Interpretaciones de la Regla de Cramer para sistemas sin solución y con infinitas soluciones Solución única Si la determinante principal es diferente de cero, entonces el sistema tiene solución única. Ejemplo 1: = 2 x =4, y =8, z =12 El sistema tiene solución única porque 0 x = x/ = 4/2 = 2 y = y/ = 8/2 = 4 z = z/ = 12/2 = 6 Ejemplo 1: = 2 x =4, y =8, z =0 El sistema tiene solución única porque 0 x = x/ = 4/2 = 2 y = y/ = 8/2 = 4 z = z/ = 0/2 = 0 Ejemplo 2: = 4 x =0, y =0, z =0 El sistema tiene solución única porque 0 x = x/ = 0/4 = 0 y = y/ = 0/4 = 0 z = z/ = 0/24= 0 4

Infinitas soluciones La determinante principal = 0 Y todas las determinantes de las variables son igual a cero x =0, y = 0, z =0 Si se quiere obtener la solución generalizada es necesario aplicar el

5 Infinitas soluciones La determinante principal = 0 Y todas las determinantes de las variables son igual a cero x =0, y = 0, z =0 Si se quiere obtener la solución generalizada es necesario aplicar el método de Gauss_jordan (Ver ejemplo 4) Sin solución La determinante principal = 0 Si una o más determinantes de las variables es diferente de cero, entonces el sistema no tiene solución. Ejemplo 1: = 0 x =0, y = -2, z =0 El sistema no tiene solución porque y 0 Ejemplo 2: = 0 x =1, y = 0, z =2 El sistema no tiene solución porque x 0, z 0 Ejemplo 3: = 0 x =1, y = 5, z =2 El sistema no tiene solución porque x 0, y 0, z 0 5

Matrices Invertibles y Elementos de Algebra

6 Referencias: Grossman, S. I. (1996). Álgebra Lineal (Quinta ed.). Mc Graw Hill. ITESM;, Departamento de Matemáticas. (12 de enero de 2011). Matrices Invertibles y Elementos de Algebra Matricial. Recuperado el 30 de agosto de 2012, de 6

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