BUCLES EN MAPLE. Prof. Carlos Conde LázaroL Prof. Arturo Hidalgo LópezL Prof. Alfredo LópezL

Transcripción

1 BUCLES EN MAPLE Prof. Carlos Conde LázaroL Prof. Arturo Hidalgo LópezL Prof. Alfredo LópezL Marzo, 2007

2 Definición Un cálculo que se repite varias veces, se programa mediante una estructura denominada: BUCLE Para vc desde vinic hasta vfin con incremento incr hacer Fin del bucle Sentencias que se repiten vc: variable de control vinic: valor inicial de la variable vc vfin: valor final de la variable vc incr: incremento con el que se pasa desde vinic hasta vfin

3 Proceso seguido en en un un bucle vc vc vc... vinic sentencias vinic + incr sentencias vinic + 2.incr sentencias hasta que vc salga del rango [vinic.. vfin]

4 Programación en en MAPLE > for vc from vinic to vfin by incr do od; Sentencias de MAPLE que se repiten NOTA: by incr es opcional cuando incr = 1

5 Ejemplo 1 Ejemplo: Calcular el producto escalar de los vectores u=(u 1, u 2, u 3 ) y v=(v 1, v 2, v 3 ) a) Sin utilizar bucles: [> u := vector(3): v=vector(3): [> pe := u[1]*v[1] + u[2]*v[2] + u[3]*v[3]; b) Utilizando bucles: [> u := vector(3): v=vector(3): pe:=0: > for i from 1 to 3 by 1 do pe := pe + u[i]*v[i]; od;

6 Ejemplo 1 (cont.) El proceso seguido es el siguiente: pe = 0 i=1 pe = pe + u 1 v 1 ( = 0 + u 1 v 1 ) i=2 pe = pe + u 2 v 2 ( = u 1 v 1 + u 2 v 2 ) i=3 pe = pe + u 3 v 3 ( = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) pe = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

7 Los Bernoulli Ambos hermanos fueron pioneros en el desarrollo del cálculo diferencial, así como otras ramas de la Matemática. Jakob Entre otros temas, analizó diferentes curvas. Y, entre ellas, su preferida fue la llamada Espiral Milagrosa (o de Bernoulli) Dejó dispuesto que en la lápida de su tumba se le grabase una espiral milagrosa. Pero el escultor se equivocó y le grabó una espiral de Arquímedes. Te proponemos que repares ese error. Johan Daniel Hijo de Johan. Fue, en opinión de muchos Autores, el más brillante de la saga Bernoulli. Además de sus numerosas contribuciones a la Matemática, fue pionero en hidrodinámica descubriendo la ecuación de Bernoulli estudiada en Mecánica de Fluidos.

8 Ejercicio 1 (La espiral milagrosa) * ρ V θ ω ρ = V.t θ = (1/k) ln(ρ/c) x(t) = ρ cos(θ) y(t) = ρ sen(θ) Dibujar la curva para: k = 0.1; V = 50; C = 0.01 ; t = 0, 0.005, 0.01, 0.015,..., 1 (*) o de Jakob Bernoulli

9 Ejercicio 1 (cont.) t 0 = 0 t = t i i-1 + Δt (i = 1, 2,, n) t n = 1 Δt = t n t 0 n n = 200 n 200 k 0.1 v 50 c 0.01 Δt 1./n x 0 0 y 0 0 t 0 Para i desde 1 hasta n con paso 1 HACER: 1) t t + Δt 2) ρ v t 3) θ ln(ρ/c)/k 4) x i ρ cos(θ) 5) y i ρ sen(θ) Fin del bucle

10 Ejercicio 1 (cont.) [> restart: [> with(plots): [> n:=200: k:=0.1: v:=50: c:=0.01: [> x:=array(0..n): y:=array(0..n): [> x[0]:=0.: y[0]:=0.: t:=0.: [> delta_t:=1/n: > for i from 1 to n by 1 do t:=t+delta_t: rho:=v*t: theta:=ln(rho/c)/k: x[i]:=rho*cos(theta): y[i]:=rho*sin(theta): od:

11 Algo más sobre gráficos en en MAPLE (1) Hasta ahora hemos utilizado el comando plot de la siguiente manera: Si queremos representar, por ejemplo, la función f(x)=x 2 en el intervalo [0,2], hacemos: [> f:=x->x^2; [> plot(f, 0..1, opciones); o bien: [> f(x):=x^2; [> plot(f(x), x=0..1, opciones);

12 Algo más sobre gráficos en en MAPLE (2) que da como resultado:

13 Algo más sobre gráficos en en MAPLE (3) Pero, Cómo podemos representar un conjunto de puntos (x[i], y[i]), i=1,2,,n? Volvamos al ejemplo. Si ejecutamos: [> f:=x->x^2; [> a:=plot(f, 0..1, opciones);

14 Algo más sobre gráficos en en MAPLE (4) obtenemos: a:=plot(curves([[0.,0.],[0.0217, ], [0.0407, ] [1.,1.]],COLOUR(RGB,1.0,0.,0.)), AXESLABELS(, ),VIEW(0...1.,DEFAULT)) Los números: [[0.,0.],[0.0217, ],[0.0407, ] [1.,1.]] Forman una SECUENCIA generada automáticamente por el comando plot a partir de f.

15 Algo más sobre gráficos en en MAPLE (5) Esta secuencia se puede generar manualmente, resultando la siguiente forma del comando plot: [>plot(secuencia, opciones); Para crear la secuencia de puntos se utiliza la expresión: [> nombre:=[seq(f(vc), vc=vinic..vfin)] donde f es una expresión y vc una variable que varía entre vinic y vfin. Se escribe entre corchetes para que el resultado sea una LISTA!

16 Algo más sobre gráficos en en MAPLE (6) El comando: [> pointplot(secuencia, opciones); permite dibujar una secuencia de puntos aislados

17 Ejercicio 1 (cont.) [> dibu:=[seq([x[i],y[i]],i=1..n)]: [> plot(dibu, scaling=constrained);

18 Ejercicio 1 (cont.) [> puntos:=[seq([x[i],y[i]],i=0..n)]; [> pointplot(puntos,color=blue, scaling=constrained);

19 Ejercicio 1 (cont.) Volver a ejecutar el programa con los datos: n = 5000, v = 25, k = -0.1, c = 0.1

20 Ejercicio 2 NOTA: El planteamiento teórico de este ejemplo se ha tomado de la referencia: SHAMPINE, L.F., ALLEN Jr., R.C. and PRUESS, S. (1997) Fundamentals of numerical computing. Ed. John Wiley & Sons, Inc. La integral: A = x e dx (n = 0,1,...) n 1 n x-1 0 puede calcularse integrando por partes: n x-1 = 1 1 n-1 x-1 A x e n x e dx= 1 n A n 0 0 n = x-1 = x-1 1 A1 x e dx 1 e dx = = e

21 Ejercicio 2 (cont.) Determinar el efecto de los errores de redondeo si calculamos con una precisión de 7 dígitos y suponemos que el cálculo realizado con una precisión de 20 dígitos es el valor exacto.

22 Ejercicio 2 (cont.) 1 1) AE 0 = 1-2) A = e 3) eabs 0 = AE 0 A 0 4) errel 0 = eabs 0 / AE 0 Para i desde 1 hasta n con paso 1 HACER: 5) A Ei = 1 iiaei 1 6) Ai = 1 iiai-1 eabs 7 ) eabsi = AE i A 8) errel i i = AEi Fin del bucle Notas: Tomar n = 10. Calcular 6) con 7 dígitos y todo lo demás con 20. i

23 Ejercicio 2 (cont.) [> restart: [> with(plots): [> n:=10: ndigex:=20: ndigap:=7: [> AE:=array(0..n): A:=array(0..n): [> eabs:=array(0..n): errel:=array(0..n): [> AE[0]:=evalf(1-1/exp(1),ndigex): [> A[0]:=evalf(1-1/exp(1),ndigap): [> eabs[0]:=evalf(abs(ae[0]-a[0]),ndigex): [> erel[0]:=evalf(abs(eabs[0]/ae[0]),ndigex): [> for i from 1 to n by 1 do AE[i]:= evalf(1-i*ae[i-1],ndigex): A[i] := evalf(1-i*a[i-1],ndigap): eabs[i]:=evalf(abs(ae[i]-a[i]),ndigex): erel[i]:=evalf(abs(eabs[i]/ae[i]),ndigex): od:

24 Ejercicio 2 (cont.) [> d1:=[seq([i,ae[i]],i=1..n)]: [> d2:=[seq([i,a[i]],i=1..n)]: [> d3:=[seq([i,eabs[i]],i=1..n)]: [> d4:=[seq([i,erel[i]],i=1..n)]: [> dibu1:=plot(d1,color=red): [> dibu2:=plot(d2,color=blue): [> dibu3:=plot(d3,color=red): [> dibu4:=plot(d4,color=blue): [> display(dibu1,dibu2); [> display(dibu3,dibu4);

25 Ejercicio 2 (cont.) Exacta Aproximada Error absoluto Error relativo

26 Ejercicio propuesto 1 Sea una función f(x) derivable en todos los puntos del intervalo real [a,b]. Su derivada primera en x* є [a,b] se puede aproximar mediante: f ( x ) ' * = ( ) ( ) f x f x 1 0 x x 1 0 Sean los puntos de [a,b] equidistantes: x0 = a< x1 < x2 < < xn = b ( ) ( ) f xi+ 1 f xi '( i ) =, = 0,1,, 1 b f x i N con h = h x Dada la función: f ( x) = cos( ) sin ( 2x) 2 a) Calcular f (x i ), i = 0, 1, 2,, N-1, con N = 50 y [a,b] = [-π, π] b) Representar conjuntamente f(x) y su primera derivada aproximada N a

27 Ejercicio propuesto 1 [> restart: [> with(plots): [> f:=x->cos(x/2)*sin(2*x); [> a:=evalf(-pi); b:=evalf(pi); N:=50; h:=(b-a)/n; [> x:=array(0..n,[]): df:=array(0..n,[]):x[0]:=a: [> for i from 0 to N-1 do x[i+1]:=x[i]+h; df[i]:=evalf((f(x[i+1])-f(x[i]))/h): od: [> ptos:=[seq([x[i],df[i]], i=0..n)]: [> dib1:=plot(ptos,color=blue,thickness=2, legend="derivada"): [> dib2:=plot(f,-pi..pi, thickness=2,color=black, legend="función"): [> display(dib1,dib2);

28 Ejercicio propuesto 1

29 Ejercicio propuesto 2 ( ) i La sucesión: v[i] = 1 3,i= 0,1,2,...,n puede aproximarse mediante: x[0] = 1; x[1] = 1 3; x[i] = 2 (x[i-1] + x[i-2]), (i = 2, 3,..., n) Calcúlense los primeros 51 valores exactos y represéntese en una misma gráfica de puntos los 20 primeros valores exactos y aproximados utilizando: a) 8 dígitos significativos b) 24 dígitos significativos

30 Ejercicio propuesto 2 [> restart: [> with(plots): [> n:=50: ndig[1]:=8: ndig[2]:=24: [> v:=array(0..n): x:=array(0..n): [> v[0]:=1.: x[0]:=1.: [> for j from 1 to 2 by 1 do v[1]:=evalf(1-sqrt(3),ndig[j]): x[1]:=evalf(1-sqrt(3),ndig[j]): for i from 2 to n by 1 do v[i]:=evalf((1-sqrt(3))^i,ndig[j]): x[i]:=evalf(2*(x[i-1] + x[i-2]),ndig[j]): od: ptos1:=[seq([i,v[i]], i=0..20)]: ptos2:=[seq([i,x[i]], i=0..20)]: dibu1[j]:=plot(ptos1,color=red): dibu2[j]:=plot(ptos2,color=blue): od: [> display(dibu1[1],dibu2[1]); [> display(dibu1[2],dibu2[2]);

31 Ejercicio propuesto 2 Exacta Aproximada Exacta Aproximada 8 dígitos 24 dígitos

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