1. Graficando con Maple

Transcripción

1 1. Graficando con Maple Maple es un programa de computación simbólica que permite, entre otras cosas, calcular derivadas, límites, integrales de funciones de una o varias variables; graficar funciones en el plano o en el espacio, etc. Intentaremos establecer características de las gráficas de algunas funciones a partir de la facilidad y rapidez que brinda esta herramienta, pero a la vez mostraremos algunos engaños en los que podríamos caer si no hacemos un estudio analítico de la situación en cada caso. El comando para graficar funciones en un sistema cartesiano ortogonal en Maple, si las mismas están dadas por una ley explícita, es plot: Por ejemplo: plot(x 2 ) La gráfica que se obtiene por defecto corresponde a un rango de variación de x de 10 a 10. Si 1

2 queremos cambiar el intervalo donde pretendemos que varíe x para visualizar la gráfica, debemos explicitarlo en el comando: plot(x 2,x = 3..5) Está claro que las escalas en ambos ejes no son las mismas; el programa elige una ventana que considera adecuada para una visualización agradable de la imagen. Si se desea forzar que en ambos ejes la escala sea la misma, se puede colocar dentro del comando una opción de escala; en este caso: scaling=constrained. O, más sencillamente, haciendo click con el botón izquierdo del mouse sobre la gráfica anterior, se despliegan usa serie de opciones gráficas en la barra superior, una de las cuales es 1:1. Seleccionando esta opción se logrará que las escalas de ambos ejes sean las mismas. 2

3 Ojo con el infinito! Maple admite la posibilidad de que x varíe en todos los reales, colocando en el comando plot el rango( x =... Esto puede darnos ) una idea del comportamiento de la función completa: 1 plot,x = infinity..infinity x 3

4 pero también puede mostrarnos una imagen como: plot(sen (x), x = 0..inf inity) y esto ocurre porque el programa convierte el intervalo [, ] en [ 1, 1]. 4

5 Otra posibilidad para restringir la visualización de la curva es colocar un rango de valores para la imagen. Por ejemplo: plot(x 2,x,y = ) Ejercicio Grafica la función f (x) = x 3 7x para los siguientes rangos de valores de x e y: 1. x [ 10, 10],y [ 10, 10] 2. x [ 4, 4],y [ 50, 10] 3. x [ 4, 10],y [ 60, 60] Qué concluyes? Es importante tener una idea del comportamiento de la función para que lo que veamos en la pantalla resulte una visualización adecuada de la gráfica. 5

6 Por ejemplo, podríamos establecer cuáles son los puntos (si es que los hay) donde la gráfica de la función corta al eje x. Es decir, encontrar los valores de x para los cuales f (x) = 0. El comando solve (donde debemos indicar quién es la variable cuyos valores queremos establecer) permitirá resolver esta ecuación. En este caso: solve(x 3 7x = 0,x) Como el programa trabaja con aritmética exacta, da las soluciones escritas en una forma que no es útil para los fines de la graficación. Basta obtener soluciones aproximadas de la ecuación, lo cual se logra con: fsolve(x 3 7x = 0,x) Vemos que en este caso un rango de valores para x en el intervalo [ 3, 8] muestra un gráfico que nos da una idea clara del comportamiento de la función. 6

7 Para establecer un rango de valores para y, podríamos analizar también dónde se encuentran las lomas de esta curva. Para esto y otros análisis como prever en qué intervalos la función será creciente o decreciente, etc. necesitamos otras herramientas que veremos más adelante. Más opciones Otra opción para agregar al comando plot que puede resultar de utilidad, tiene que ver con aquellos puntos donde la función puede no estar definida. Por ejemplo, si queremos graficar la función f (x) = 1 ( x 2, ) escribimos: 1 plot,x = 5..5 x 2 Lo primero que observamos es que, como cerca de 2 los valores de la función son, en valor absoluto, muy grandes, no es posible una visualización adecuada sin acotar el rango de variación de y: ( ) 1 plot,x = 5..5,y = 5..5 x 2 7

8 Algo mejora. Sin embargo, aparece una linea vertical que no es parte de la gráfica de la función. Esto sucede porque el programa calcula los valores de la función en algunos puntos y une con segmentos de recta los puntos que obtiene. Así por ejemplo, si calcula: f (1,9999) = y f (2,0001) = tendrá que unir los puntos de coordenadas (1,9999, 10000) y (2,0001, 10000) pareciendo el resultado una linea vertical. Para eliminar estas irregularidades, pedimos a Maple que tenga en cuenta que la función no está definida en ese punto, y no intente unir puntos cuyas abscisas están de un lado y del otro de este punto problemático. Esto lo hacemos agregando la opción ( discont=true: ) 1 plot,x = 5..5,y = 5..5,discont = true x 2 8

9 Este problema también se soluciona si el programa no une los puntos de manera de obtener una curva continua, sino sólo grafica los puntos que ha obtenido. Esto se consigue agregando la opción style=point dentro del comando o, más sencillamente, marcando el gráfico y - con el botón derecho - seleccionar el estilo: punto. También es posible elegir la forma de esos puntos (asterisco, círculo, cruz, etc.). Ejercicio Grafica la función menor entero (en el programa se llama floor) en el intervalo [ 5, 5] Otro problema de visualización que puede ocurrir es el caso de una función con un gran número de oscilaciones en un intervalo pequeño. Si queremos graficar la función f (x) = sen (x) en el intervalo [ 2π, 2π], pondremos: plot(sin (x),x = 2Pi..2Pi) (notemos que la función seno debe ponerse en inglés sin, y que el programa conoce la constante π, que debe ponerse con p mayúscula; otra opción es seleccionar esta constante de la lista de Common Symbols que aparece en la barra de la izquierda). Grafiquemos en el mismo intervalo la función sen (100x): plot(sin (100x),x = 2Pi..2Pi) 9

10 Por qué ocurre esto? Cómo se calcula el período de esta función? 2π Podemos calcular con el programa Maple: pero recordando que el programa trabaja con 100 artimética ( exacta, ) nos conviene otra vez una aproximación: 2Pi evalf 100 Por lo tanto un gráfico en el intervalo [ 0,1, 0,1] dará una mejor idea del comportamiento de la función. 10

11 Ejercicio Busca un rango de valores para x que permita una visualización adecuada de la función f (x) = cos (x) + 1 sen (50x) 50 Redefiniendo funciones Otro problema (más grave) es que las funciones potenciales con exponente no entero están definidas sólo para valores de x > 0. Entonces si queremos graficar: f (x) = 3 x y ponemos: plot( 3 x,x = 3..3) obtendremos sólo la parte de la gráfica que corresponde a x > 0. La forma de solucionar esto es redefiniendo la función. Por ejemplo en este caso: f (x) = x x x 1 3. Por qué? Varias curvas juntas Si queremos mostrar varios gráficos simultáneamente, podemos utilizar el comando display. Los comandos que hemos visto hasta ahora son comandos básicos que están a disposición apenas se abre el programa. El programa posee además paquetes con comandos específicos para distintas áreas. El comando display, por ejemplo, se encuentra dentro del paquete plots y para poder 11

12 usarlo debe cargarse este paquete colocando: with(plots). Entonces por ejemplo: with(plots):display(plot(x 2 + x + 1,x,color = blue),plot(2x 2 + x + 1,x,color = green) Un recurso un poquito más sofisticado permite mostrar una secuencia (seq), en este caso de gráficos: display(seq(plot(i x 2 + x + 1,x,color = COLOR(RGB,rand()/10 1 2,rand()/10 1 2,rand()/10 1 2), ) i = 1..10) Con estas herramientas podemos resolver los ejercicios 1 a 40 de la sección 1.7 del libro de Thomas: Cálculo. Una variable. 12

13 PRÁCTICA En los ejercicios 1 a 4 determina la ventana de visualización más adecuada para la gráfica de la función especificada: 1. f (x) = x 4 7x 2 + 6x a) [ 1, 1] por [ 1, 1] b) [ 2, 2] por [ 5, 5] c) [ 10, 10] por [ 10, 10] d) [ 5, 5] por [ 25, 15] 2. f (x) = x 3 4x a) [ 1, 1] por [ 5, 5] b) [ 3, 3] por [ 10, 10] c) [ 5, 5] por [ 10, 20] d) [ 20, 20] por [ 100, 100] 3. f (x) = x x 3 a) [ 1, 1] por [ 1, 1] b) [ 5, 5] por [ 10, 10] c) [ 4, 4] por [ 20, 20] d) [ 4, 5] por [ 15, 20] 4. f (x) = 5 + 4x x 2 a) [ 2, 2] por [ 2, 2] b) [ 2, 6] por [ 1, 4] c) [ 3, 7] por [0, 10] d) [ 10, 10] por [ 10, 10] En los ejercicios 5 a 30 determina el rango de variación de x más apropiado para visualizar la función dada: 5. f (x) = x 4 4x f (x) = x3 3 x2 2 2x f (x) = x 5 5x f (x) = 4x 3 x 4 9. f (x) = x 9 x f (x) = x 2 (6 x 3 ) y = 2x 3x y = x3 (x 2 8) y = 5x5 2x y = x3 (5 x) 15. y = x y = x 2 x 17. y = x + 3 x y = 1 1 x f (x) = x2 + 2 x f (x) = x2 1 x f (x) = x 1 x 2 x f (x) = 8 x f (x) = 6x2 15x + 6 4x 2 10x 24. f (x) = x2 3 x 2 13

14 25. y = sen (250x) 26. y = 3 cos (60x) ( x 27. y = cos 50) 28. y = 1 10 sen ( x 10 ) 29. y = x + 1 sen (30x) y = x cos (100x) 50 En los ejercicios 31 a 36, grafica las curvas que se indican: 31. La mitad inferior de la circunferencia definida por la ecuación x 2 + 2x = 4 + 4y y La rama superior de la hipérbola y 2 16x 2 = Cuatro períodos de la función f (x) = tan 2x 34. Dos períodos de la función f (x) = 3 cot x La función f (x) = sen 2x + cos 3x 36. La función f (x) = sen 3 x Grafica las funciones de los ejercicios 37 a 40 en modo de puntos: 37. y = 1 x y = sen 1 x 39. y = x x 40. y = x3 1 x 2 1 Ahora responde las preguntas del final del Capítulo 1 (Ejercicios Adicionales y Avanzados 25 al 27). 1. Qué le pasa a la gráfica de y = ax 2 + bx + c conforme: a) a cambia mientras b y c permanecen fijos? b) b cambia (a y c fijos con a 0)? c) c cambia (a y b fijos con a 0)? 2. Qué le pasa a la gráfica de y = a (x + b) 3 + c conforme: a) a cambia mientras b y c permanecen fijos? b) b cambia (a y c fijos con a 0)? c) c cambia (a y b fijos con a 0)? 3. Encuentra todos los valores de la pendiente de una recta y = mx + 2 para los que la intersección con el eje x excede Para resolver y completar Considera la función f(x) = x 3 7x + 6 en el intervalo [ 5, 5] 1. Grafícala para un adecuado rango de valores de y. 14

15 2. Encuentra las raíces de la misma. 3. Grafica las funciones: a) g 1 (x) = f(x + 1) b) g 2 (x) = f(x ) c) g 3 (x) = f(x 3 4 ) d) g 4 (x) = f(x π) En qué intervalo debes graficarlas para reproducir la forma de la curva y = f(x)? Cuál es el rango de valores de y en cada caso? a)... b)... c)... d)... Define una función (explicita ley y dominio) cuya gráfica reproduzca la curva anterior y cuyas raíces sean 6, 2 y Si se conoce la gráfica de la función f : [a,b] R la gráfica de g(x) = f(x + c) se obtiene:... si c > 0... si c < 0 y el dominio de g es el conjunto: Grafica las funciones: a) h 1 (x) = f(x) + 2 b) h 2 (x) = f(x) c) h 3 (x) = f(x)

16 d) h 4 (x) = f(x) 2 En qué intervalo debes graficarlas para reproducir la forma de la curva y = f(x)? Para qué rango de valores de y? a)... b)... c)... d)... Define una función (explicita ley y dominio) cuya gráfica reproduzca la curva anterior que corte al eje y en el punto de ordenada 10. Cuál es el rango?... Si se conoce la gráfica de la función f : [a,b] [c,d] la gráfica de h(x) = f(x) + k se obtiene:... si k > 0... si k < 0 El dominio de h es el conjunto:... y el rango: Recordemos que una función f : A R definida en un dominio simétrico A se dice par si f (x) = f ( x) x A y se dice impar si f (x) = f ( x) x A. Determina si cada una de las siguientes funciones es par o impar (o ninguna de las dos cosas) y efectúa la gráfica en un adecuado dominio simétrico. a) f (x) = x 2 sen x b) f (x) = x 2 cos x c) f (x) = x cos x d) f (x) = x + sen x e) f (x) = 1 x Infiere a partir de lo hecho: f ) f (x) = cos x x 2 g) f (x) = x 2 h) f (x) = x 2 x i) f (x) = 3x + 2x 3 j) f (x) = x 2 + x3 1 16

17 Las gráficas de funciones pares son curvas... Las gráficas de funciones impares son curvas... Las gráficas de funciones impares definidas en un dominio que contiene al 0 pasan por Grafica una secuencia de funciones potenciales f (x) = x n para valores de n N de 1 a 10 y completa: Las funciones potenciales son crecientes para n... Las funciones potenciales son pares para n... Las funciones potenciales son impares para n... Las gráficas de y = x n son curvas que pasan por el origen de coordenadas para n... Para valores de x > 0, si n 1 < n 2 qué relación existe entre x n 1 y x n 2?... si 0 < x < 1... si x > 1 Si las afirmaciones que acabas de proponer son ciertas, deberían poder demostrarse. No es objetivo de esta guía que realices estas demostraciones, pero debes tener en cuenta que a partir de los gráficos sólo puedes conjeturar resultados. 3. Modelos a partir de datos empíricos A la hora de tener que resolver un problema, modelizar una situación para sacar conclusiones, predecir comportamientos, etc. es muy frecuente que no dispongamos de una ley explícita que nos diga cómo varía una cantidad respecto de otra: muy difícilmente sepamos cuál es la ley que en cada instante del movimiento de un vehículo permita establecer la velocidad del mismo, cuál es la ley que en cada momento permita determinar la cantidad de habitantes de una población, cuál 17

18 es la ley que en cada punto de un alambre metálico que se ha calentado en un extremo permita conocer la temperatura a la que se encuentra, etc. Sin embargo, algunos datos observados, algunas mediciones realizadas o algún experimento en particular nos pueden hacer suponer que existe una relación entre esas cantidades. Un gráfico de estas observaciones o mediciones en un sistema de ejes cartesianos nos puede mostrar una tendencia, un comportamiento a grandes rasgos de esta relación. Por ejemplo: x 1 3/2 2 5/2 y /2 Para graficar estos puntos con Maple: Si quisiéramos predecir el comportamiento de la variable y para valores de x que no están en la tabla, podríamos pensar que existe una curva que pasa por los puntos dados, que es la gráfica de una función definida, además de para las absisas de esos puntos, para todos los x de algún intervalo que las contiene. Sin embargo, alguna recta que pase por el origen también puede ser adecuada para aproximar el valor que buscamos. Existen diversos criterios para buscar la más adecuada a la situación. Uno de ellos es buscar aquella recta tal que la suma de los cuadrados de las diferencias entre las ordenadas de los puntos que están sobre ella y las de los puntos dados correspondientes, sea mínima. Es el llamado criterio de los mínimos cuadrados. Entonces en este caso, para encontrar la recta, de ecuación y = mx, debemos encontrar el valor de m que haga mínima la expresión: 18

19 n (y ri y i ) 2 (1) i=1 siendo y i la ordenada del punto dato de abscisa x i, e y ri la ordenada del punto de abscisa x i sobre la recta. Es decir, debemos encontrar el mínimo valor de una función de m: f (m) = n (mx i y i ) 2 = i=1 n ( ) m 2 x 2 i 2mx i y i + yi 2 = m 2 i=1 n n x 2 i 2m x i y i + i=1 i=1 n i=1 y 2 i En el caso del ejemplo f (m) = m 2 (1 2 + ( ) = 27 2 m m ( ) ) 2 ( 5 2m ) ( es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola con ramas hacia arriba y cuyo valor mínimo se asume en el vértice, de abscisa: b 107 2a = 2 = De modo que la recta que pasa por el origen, que mejor ajusta estos puntos según el criterio de mínimos cuadrados es y = x: ( ) )

20 En realidad, para simplificar los cálculos, hemos impuesto la condición de que la recta pase por el origen. Si quisiéramos buscar una recta más general que cumpla esta condición de minimizar los cuadrados de las distancias de las ordenadas de los puntos dados a las de los puntos sobre la recta, habría que buscar m y h que satisfagan esta condición para la recta y = mx + h, pero esto significaría buscar el valor mínimo de una función que depende de dos parámetros, cosa que todavía no sabemos hacer. De la misma forma, si quisiéramos encontrar una parábola que ajuste los datos según el mismo criterio, deberíamos buscar a, b y c de la parábola y = ax 2 + bx + c de manera que también se minimicen los cuadrados de las diferencias de las distancias entre las ordenadas de los puntos dados y los que están sobre la parábola, y esto significaría encontrar el mínimo de una función que depende de tres parámetros, y así sucesivamente. Esto es lo que hace Maple con el comando Fit que está dentro del paquete Statistics: O para ajustar un conjunto de puntos con una parábola: 20

21 Resolvamos a modo de ejemplo el ejercicio 41 de la sección 1.7. del libro (pág. 66). En la tabla se muestra el salario medio anual de los trabajadores de la industria de la construcción. Año Compensación anual (dólares) , , , , , , , , Encuentra una función de regresión lineal para los datos. Definamos los vectores X e Y con los datos de los años y compensaciones anuales respectivamente, y luego con el comando Fit encontremos una recta de regresión (Observación: la palabra lineal no se refiere a que el ajuste deba hacerse necesariamente con una recta, sino que la función es lineal en los parámetros). La recta tiene ecuación y = 2, , t 2. Qué representa la pendiente de la recta de regresión? 21

22 Sabemos que la pendiente de una recta puede interpretarse como la catidad de unidades en que se modifica la variable dependiente por cada unidad en que se incrementa la variable independiente. En este caso el número 1059, estaría representando, en promedio, la cantidad de dólares en que se incrementa anualmente (ya que la variable independiente se mide en años) el salario anual de los trabajadores de la industria de la construcción. 3. Grafica juntos la recta de regresión lineal y los puntos dato. 4. Usa la ecuación de la recta para predecir el promedio salarial anual de los trabajadores de la industria de la construcción en el 2010: Reemplazando en la ecuación: 2, , = 53898,476 obtenemos que el promedio salarial anual en el 2010 será de 53898,476 dólares. PRÁCTICA 1. El precio medio de las casas unifamiliares en Estados Unidos se ha incrementado de manera continua desde Sin embargo, los datos de la tabla indican que tal aumento ha sido diferente en distintas partes del país. a) Encuentra la ecuación de una recta de regresión para el costo de las casas en el noroeste del país 22

23 b) Qué representa la pendiente de la recta de regresión? c) Encuentra la ecuación de una recta de regresión para el costo de las casas en el medio oeste de la nación. d) En qué región del país se está incrementando más rápidamente el precio medio? Año Noreste (dólares) Medio oeste (dólares) , , , , , , , , , , , , , , La tabla muestra la distancia de frenado total de un automóvil como una función de su velocidad. a) Encuentra la ecuación de una parábola de regresión para los datos de la tabla. b) Grafica juntas la parábola y el diagrama de dispersión de los datos. c) Usa la gráfica de la parábola para predecir el promedio de la distancia total de frenado para las velocidades 72 y 85 mph y confirma el resultado algebraicamente. d) Ahora usa una recta de regresión para predecir el promedio de la distancia total de frenado para las velocidades de 72 y 85 mph. Grafica la recta junto con el diagrama de dispersión de los datos. Cuál gráfica ofrece el mejor ajuste? Rapidez (mph) Promedio de la distancia de frenado total (pies) , , , , ,

24 3. Las observaciones de las olas de pola que siguen a un barco en ángulo recto a lo largo de su curso han revelado que la distancia entre las crestas de estas olas (su longitud de onda) aumenta según la velocidad del barco. La tabla muestra la relación entre la longitud de onda y la velocidad del barco. a) Encuentra una función de regresión potencial y = ax b para los datos de la tabla, donde x es la longitud de onda e y es la velocidad del barco. b) Grafica juntas la ecuación de regresión potencial y el diagrama de dispersión de los datos. Longitud de onda (m) Rapidez (kn/h) 0,20 1,8 0,65 3,6 1,13 5,4 2,55 7, ,75 10,8 7,80 12,6 10,20 14,4 12,90 16, ,40 19,8 24