Ecuación de segundo grado

Transcripción

1 GUIC3M047M311-A17V1 GUíA Ecuación de segundo grado

2 MATEMÁTICA - programa 3º medio s e ion ac cu e de o ión grad c lu er so Re prim de cio n Fu ine l ny fí :a s ne o al u Ec a n ció de nd u eg s rad og a br a c áti dr ua c ión c n Fu n nie Mi lge oá y sa Qué aprenderemos hoy? CONTENIDOS - Ecuación de segundo grado. Determinaremos las raíces de una ecuación de segundo grado por dos métodos: factorización y fórmula general. Además, podremos determinar el tipo de raíces que tiene una ecuación de segundo grado mediante el discriminante. También resolveremos problemas en contextos que impliquen la resolución de una ecuación de segundo grado. Finalmente, aplicaremos estos conceptos a la resolución de ejercicios tipo PSU. sección 1: Ecuaciones de segundo grado A lo largo de este curso has trabajado con el álgebra. En este sentido, en la clase 8 aprendimos lo que es una ecuación, los tipos de soluciones que estas tenían y resolvimos sistemas de ecuaciones lineales. Aplicando conocimientos de álgebra intenten resolver las ecuaciones que se presentan a continuación. 1 x + x 15 = 0

3 guia de ejercitación x+ 1 = 3 x 3 3 (x 4) (x ) = 6 (4 x) 4 x + 4x + 13 = 0 En relación con los procedimientos que han utilizado, respondan las siguientes preguntas. 1 Respecto a las ecuaciones presentadas, qué estrategia utilizaron para obtener el o los valores de x? 3

4 MATEMÁTICA - programa 3º medio Es válida esta estrategia para resolver la ecuación 4? Qué otro método puedes utilizar para despejarla? 3 Qué es una ecuación de segundo grado? Qué tipos de soluciones puede tener? 4 Qué estrategia utilizarías para determinar que las raíces obtenidas son las correctas? ntesis de Sí Estrategia Completa los siguientes recuadros con ayuda de tu profesor. Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax + bx + c = 0, con a, b y c números y a 0. En el caso de que la expresión no se pueda factorizar, o bien su factorización no sea sencilla de realizar, se puede utilizar la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, dada por la expresión x = 4

5 guia de ejercitación o de Sección : Cómo determinar el tip raíces de una ecuación cuadrática? En la actividad anterior, se tiene que las raíces de las ecuaciones 1, y 3 eran reales y distintas entre sí y que las raíces de la ecuación 4 eran complejas conjugadas, pero existirá alguna forma de determinar el tipo de soluciones que tendrá una ecuación sin necesidad de resolverla? x = b ± b 4ac a Basado en la fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado ax + bx +c = 0, con a, b y c números reales tal que a es distinto de cero, respondan las siguientes preguntas. 1 Si la cantidad subradical es un número real positivo, cómo deberían ser las soluciones de una ecuación de segundo grado que cumplan con esta condición? Si la cantidad subradical es cero, cómo deberían ser las soluciones de una ecuación de segundo grado que cumplan con esta condición? 3 Si la cantidad subradical es un número real negativo, cómo deberían ser las soluciones de una ecuación de segundo grado que cumplan con esta condición? 4 Si la cantidad subradical de la fórmula general se denomina discriminante, qué conclusiones podríamos obtener en función de las respuestas anteriores? 5

6 MATEMÁTICA - programa 3º medio sección 3: contextualizando! A continuación se exponen dos situaciones en las que las ecuaciones de segundo grado son útiles para dar solución al problema que en ellas se presenta. Reúnanse en equipos de 4 a 5 personas y respondan las preguntas que se plantean en cada caso en un tiempo determinado. Finalmente, discutan como curso sus respuestas y conclusiones. 3.1 Patricio quiere ampliar el huerto que tiene en el patio de su casa, con el fin de cultivar una mayor variedad de hortalizas. Actualmente, las dimensiones de este huerto rectangular son 5 metros de ancho por 7 metros de largo y Patricio quiere aumentar cada lado de este en x metros, para obtener una superficie total de 99 metros cuadrados, como muestra la figura adjunta. x 5m 7m 6 x 1. Cómo se calcula el área de un rectángulo?. Cuál es el ancho del rectángulo después de aumentarlo, en términos de x?

7 guia de ejercitación 3. Cuál es el largo del rectángulo después de incrementarlo, en términos de x? 4. Cuál es la expresión para determinar el área, en términos de x, después de aumentar la medida de los lados del huerto original? 5. Si se concoce el área, cuál(es) es (son) la(s) solución(es) de la ecuación obtenida a partir de la expresión de la pregunta anterior? 6. De acuerdo a las soluciones de la ecuación, en cuántos metros Patricio tuvo que aumentar cada lado del huerto? Por qué seleccionaron este valor y no el otro? 7

8 MATEMÁTICA - programa 3º medio 3. Un grupo de amigos quiere ir al cine para ver una película de terror. Carolina es la encargada de cotizar el precio de las entradas y determina que el costo total de ellas es $ Sin embargo, por ser cliente frecuente, le ofrecen un descuento de $ 500 por cada una de las entradas y gracias a esto puede invitar a 4 amigos más para que vean la película Cuáles son las variables descritas en el caso anterior?. Considerando las variables del punto anterior, qué ecuaciones pueden plantearse a partir de la situación descrita? 3. Qué estrategia se puede utilizar para determinar la cantidad inicial de amigos con base en las ecuaciones que han planteado? Cuál es la ecuación cuadrática que permite determinarlos? 4. Cuál es la cantidad total de amigos que irán al cine?

9 guia de ejercitación 5. Cuál es el precio inicial de cada entrada? 6. Según lo visto en sesiones anteriores, qué contenido te fue útil para resolver este problema? 9

10 MATEMÁTICA - programa 3º medio sección 4: preguntas de modelamiento Tiempo estimado 15 minutos a continuación se presentan cinco preguntas tipo psu, las que serán desarrolladas conjuntamente por ustedes y su profesor. si tienes cualquier duda acerca de estos contenidos, consulta a tu profesor, ahora es el momento! 1 Si una de las soluciones para x en la ecuación x + 3ax 3 = 0 es, entonces la otra solución es 3 Sea la ecuación x + 1 = 15, con x 0. Cuál es su conjunto solución? x 3,5 5,3 5, 3 3, 5 No existe solución en los reales. Las soluciones de la ecuación (3 4x) + 8x (3x + 1) = 0 son ± 4i ±i ± i ±i números reales.

11 guia de ejercitación 4 En la figura, ABCD es un cuadrado y APQR es un rectángulo, tal que BP =, PQ = 5 y AD = x, con x > 5. Si el área sombreada es 30, entonces la ecuación que permite encontrar el valor de x es x 5 = 0 x 5x + 40 = 0 x 5x + 30 = 0 x 5x 30 = 0 x 5x 0 = 0 D Q R A 5 C B P Se puede afirmar que la ecuación x + mx + n = 0 tiene solución en los reales, si: (1) () m es positivo. n es negativo. (1) por sí sola. () por sí sola. Ambas juntas, (1) y (). Cada una por sí sola, (1) ó (). Se requiere información adicional. 11

12 MATEMÁTICA - programa 3º medio sección 5: preguntas elementales Tiempo estimado 10 minutos Es momento de poner a prueba tus conocimientos y habilidades sobre estos contenidos. A continuación debes contestar cinco ejercicios de dificultad fácil, los que son útiles para medir qué tanto has entendido y aprendido durante esta sesión. 6 Un paralelepípedo tiene base cuadrada de lado x cm y su altura mide 6 cm. Si el área total del paralelepípedo es 30 cm, la ecuación que permite calcular el valor de x es 7 La(s) solución(es) de la ecuación x (x 5) = (x 6) es (son) 8 y y y y m n m n m+n Para que la ecuación kx 4x + = 3 tenga solución en los reales para x, k debe tomar valores La suma de las soluciones para x en la ecuación x mx n = 0, con m y n números reales, es 9 x + 4x 30 = 0 x + 1x 30 = 0 x + 1x 15 = 0 x + 6x 15 = 0 x + 6x 30 = 0 mayores o iguales que 4. mayores o iguales que. menores o iguales que 4. menores o iguales que. mayores que cero.

13 guia de ejercitación 10 Sea x 8x + (4 k) = 0 una ecuación en x. Para qué valores de k se cumple que la ecuación tiene soluciones complejas? k>4 k<4 k> 4 k< 4 k 4 13

14 MATEMÁTICA - programa 3º medio Tiempo estimado sección 6: preguntas intermedias 10 minutos Es tiempo de enfrentarse a cinco ejercicios de dificultad media, los que están presentes en mayor medida en la PSU. Anímate a resolverlos! 11 Un almacén vende semanalmente x unidades de pilas, donde el valor del precio de venta se obtiene de la expresión (x + 100). Si el ingreso se genera como el producto entre el precio de venta y el número de artículos vendidos, cuántas pilas se deben vender para conseguir un ingreso de $ 1.950? 1 Si m y n son las soluciones para x en la ecuación x + ax + b = 0, con a y b números reales distintos de cero, entonces cuál de las siguientes ecuaciones tiene como soluciones para x al conjunto 3 y 3? m n { } bx 3ax + 9 = 0 x + 3ax + 9 = 0 bx 3a + 9 = 0 x 3ax + 9 = 0 bx + 3ax + 9 = 0 Si el conjunto solución para x en la ecuación ax + bx + 1 = 0 es { 3, 3}, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) El discriminante de la ecuación es cero. a=9 b = 18 Solo I Solo II Solo II y III I, II y III Ninguna de ellas.

15 guia de ejercitación 14 Si (3 5i) es una de las soluciones para x en la ecuación x ax b = 0, entonces los valores de a y b, respectivamente, son 15 6 y 34 y 34 6 y 34 6 y 34 y 34 Dos móviles, A y B, parten a encontrarse por un camino recto que inicialmente los separa 54 km, en el que la distancia recorrida del móvil A, medida en km, se obtiene de la expresión s(t) = t + 30t, donde t corresponde al tiempo en horas transcurridos desde que comienza su movimiento. Se puede determinar el tiempo que tardarán en encontrarse por primera vez, si: (1) La distancia recorrida por el móvil B está dada por x(t) = s(t). 6 () El móvil B recorre solo km hasta encontrarse con el móvil A. (1) por sí sola. () por sí sola. Ambas juntas, (1) y (). Cada una por sí sola, (1) ó (). Se requiere información adicional. 15

16 MATEMÁTICA - programa 3º medio sección 7: preguntas avanzadas Tiempo estimado 10 minutos Finalmente, te presentamos cinco ejercicios de dificultad alta, los que requieren que pongas a prueba todas tus capacidades y, en algunas ocasiones, otros contenidos que no son propios de la sesión pero que son claves al momento de la resolución. Mucha concentración y a resolver! 16 Cuál es el valor de k para que las soluciones reales de x en la ecuación x + 17x + k = 0 difieran en 3 unidades? 17 La suma de dos números es y la suma de sus cuadrados es 34. La suma de los cubos de dichos números es ninguno de los valores anteriores. En la ecuación x x 1 = 1, cuál(es) de los siguientes valores para x satisface(n) la ecuación? x + x 3 I) II) III) 1 i i Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III

17 guia de ejercitación 19 El interés compuesto puede usarse para determinar el monto C cuando un capital inicial k se invierte en una tasa de ( ) t interés anual i %, durante t años, de modo tal que C = k 1 + i. Si una persona invierte inicialmente $ en 100 una cuenta de ahorros cuyo interés compuesto se paga una vez al año y, al cabo de años, el monto en la cuenta fue de $ 5.000, entonces cuál fue la tasa de interés anual aplicada? 0 ( 5 1) 100% ( 5 1) 100% (1 5 ) 100% 100% % Se puede afirmar que la ecuación cuadrática mx + nx + p = 0, con m 0, tiene soluciones para x reales e iguales, si: (1) x= n m () n 4mp = 0 (1) por sí sola. () por sí sola. Ambas juntas, (1) y (). Cada una por sí sola, (1) ó (). Se requiere información adicional. 17

18 MATEMÁTICA - programa 3º medio Compruebo lo aprendido A continuación encontrarás una lista con los conocimientos y habilidades que se han medido con la ejercitación de esta sesión, indicando las preguntas que tienen relación con dicho punto. Marca aquellos aspectos en los que hayas logrado progresar y refuerza en casa los que aún no has podido desarrollar. Determino las raíces de una ecuación de segundo grado mediante factorización o el uso de la fórmula general (preguntas 1,, 3, 7, 10, 14, 16 y 18). Analizo y determino el tipo de raíces que tiene una ecuación de segundo grado con base en sus parámetros (5, 8, 9, 1, 13 y 0). Resuelvo problemas en contextos en los que se justifica la utilización de la ecuación de segundo grado (4, 11, 15, 17 y 19). 18

19 guia de ejercitación tabla de corrección Ítem Alternativa Habilidad Dificultad estimada 1 Comprensión Fácil Comprensión Media 3 Aplicación Fácil 4 Aplicación Difícil 5 ASE Media 6 Comprensión Fácil 7 Aplicación Fácil 8 Comprensión Fácil 9 ASE Fácil 10 ASE Fácil 11 Aplicación Media 1 Comprensión Media 13 Comprensión Media 14 ASE Media 15 ASE Media 16 ASE Difícil 17 ASE Difícil 18 ASE Difícil 19 ASE Difícil 0 ASE Difícil 19

20 Han colaborado en esta edición: Directora Académica Paulina Núñez Lagos Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Marcelo Gajardo Vargas Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Pamela Martínez Fuentes Vania Muñoz Díaz Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias. Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.