GUIA DE ESTUDIO DE MATEMATICAS II

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1 GUIA DE ESTUDIO DE MATEMATICAS II TURNO MATUTINO ELABORO: ACADEMIA DE MATEMATICAS

2 SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO 4/2 LIC: JESÚS REYES HEROLES ACADEMIA DE MATEMÁTICAS. GUÍA PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS II ABRIL, 2015 Propósito: La asignatura de Matemátias II, tiene omo propósito introduirte en el estudio de la Geometría, Trigonometría, Estadístia y Probabilidad; lo ual te ayudará a visualizar y analizar geométria y estadístiamente los problemas que se presentan en tu entorno, así omo en la onstruión de modelos matemátios para su estudio y posible soluión. Desde el punto de vista prátio, la Geometría y la Trigonometría te proporionan herramientas útiles para estudiar diversas situaiones o fenómenos desde una o ambas perspetivas, según la informaión disponible y la onvenienia de tales representaiones; por otro lado la Estadístia y Probabilidad te servirán para analizar y omprender el omportamiento de ierta informaión. De esta forma, posibilita que apliques dihos onoimientos en la modelaión de fenómenos, en la asignatura de Físia I y en el estudio del la Geometría Analítia del terer semestre, así omo del Cálulo Diferenial e Integral, del V y VI semestres. Competenias a desarrollar: 1.- Construye e interpreta modelos matemátios mediante la apliaión de proedimientos aritmétios, algebraios, geométrios, y variaionales, para la omprensión y análisis de situaiones reales, hipotétias o formales. 2.-Formula y resuelve problemas matemátios, apliando diferentes enfoques. 3.- Explia e interpreta los resultados obtenidos mediante proedimientos y los ontrasta on modelos estableidos o situaiones reales. 4.- Argumenta la soluión obtenida de un problema, on métodos numérios, gráfios, analítios o variaionales mediante el lenguaje verbal, matemátio y el uso de la tenología de la informaión y la omuniaión. 5. Analiza las relaiones entre dos o más variables de un proeso soial o natural para determinar o estimar su omportamiento. 6.- Cuantifia, representa y ontrasta experimental o matemátiamente las magnitudes del espaio y de las propiedades físias de los objetos que los rodean. 7.- Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proeso o fenómeno, y argumenta su pertinenia. 8. Interpreta tablas, gráfias, mapas, diagramas y textos on símbolos matemátios y ientífios. TEMARIO BLOQUE I: UTILIZAS TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS. En el Bloque I identifiarás los diferentes tipos de ángulos y triángulos, y ubiarás sus araterístias en ontextos de tu omunidad; asimismo, podrás resolver ejeriios en torno a la apliaión de la suma de ángulos de los triángulos. Identifia diferentes tipos de ángulos y triángulos. Utiliza las propiedades y araterístias de los diferentes tipos de ángulos y triángulos, a partir de situaiones que identifia en su omunidad. Resuelve ejeriios y/o problemas de su entorno mediante la apliaión de las propiedades de la suma de ángulos de un triángulo. 1.- Investigar los siguientes oneptos: a) Angulo b) Clasifiaión de ángulos de auerdo a su medida (agudo, reto, obtuso, llano, entrante y perigonal) ) Ángulos adyaentes, omplementarios y suplementarios. d) Ángulos: paralelas, perpendiulares, obliuas y opuestos por el vértie. 1

3 e) Ángulos formados por dos retas paralelas y una seante (orrespondientes, alternos internos, alternos internos, olaterales internos, olaterales externos y olineales). 2.- Hallar los omplementos de los siguientes ángulos: a) 23 b) ) d) Hallar los suplementarios de los siguientes ángulos: a) 93 b) ) d) Obtener el valor de x y del ángulo que se te pide: K N A B a b g h j O P O C Si <KON = 2x, Si <a = 2x + 15 Si: <AOB = x + 70, Si: <g = 2x, <NOP = 3x + 40 <b = 6x +5 <BOC = x <h = 3x, <j = 4x. hallar x, <KON, obtener: x, <a, b. Obtener x, <g, <NOP. <h, <j. A B a g p j d b i O m t C D z n Si: <AOC = x, Si: < = 5 + 4m Si: <g = 3x + 50 Si: <j = 3x + 10 <AOD = 2x + 15 <d = 6m 10 <p= 4x+30 <z=2x+20 Hallar x, <AOC, Obtener: m, <a, Hallar: x, <p Obtener: x, <j,<z >AOD <b, <, <d. <g, <m, <t. <i, <n. 5.- Investigar los siguientes oneptos. a) Triángulo. b) Clasifiaión de los triángulos de auerdo a la medida de sus lados (equilátero, isóseles y esaleno) y a la medida de sus ángulos (autángulo, obtusángulo y retángulo). ) Perímetro y área del triángulo (formulas). d) Teorema de la suma de los ángulos interiores del triángulo y ángulos exteriores. 6.- Resolver los siguientes ejeriios, apliando los teoremas de triángulos, obtener los valores que se te piden. A Si <A = 3x x Calular:<e A Calular: x <B = 5x y <x, <y, <a, <b. <A y <B. <C = 4x Obtener <A, <B, <C. C B a b d e C B si < = 97, <d = 135 Si <A = 6x/2 y <B = 6x/3 7.- Mediante la fórmula de Herón de Alejandría determinar las áreas de los siguientes triángulos: a) a = 4m b = 5m = 6m b) a = 310m b = 276m = 187m ) a = 26.64mm b = 37.40mm = 50.22mm Fórmula de Herón de Alejandría: A ssasbs onde s es el semiperímetro del triángulo, o sea que: a b s 2 2

4 BLOQUE II: COMPRENDES LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS En el Bloque II apliarás el riterio de ongruenia de los triángulos y argumentarás su uso. Utilizas los riterios de ongruenia para estableer si dos o más triángulos son ongruentes entre sí. Resuelve ejeriios en los que se requiere la apliaión de los riterios de ongruenia. Argumenta el uso de los riterios de ongruenia en la resoluión de triángulos. I. Investigar los riterios de ongruenia de los triángulos. a) Lado, lado, lado. b) Lado, ángulo, lado. ) Ángulo, lado, ángulo. II. Resuelve los siguientes ejeriios apliando los riterios de ongruenia. J A B d E 4y+3 F G H I C 5x-6 Si FG= 2x+18 Si <A= 7x-2 obtener HI= 6x, FJ= 8x + 11 <C = 8y-3 el valor de x y y JI = 9y-2 <d=3x+2 Obtener x y y <e= 4y-3 Obtener x y y BLOQUE III: RESUELVES PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE PITAGORAS En el Bloque III resolverás ejeriios o problemas de tu entorno apliando los teoremas de Tales y Pitágoras. Argumenta la apliaión de los riterios de semejanza. Aplia los teoremas de Tales y de Pitágoras. Resuelve ejeriios o problemas de su entorno apliando el teorema de Tales y Pitágoras. I. Investigar los riterios de semejanza de triángulos. a) Caso ángulo, ángulo, ángulo. b) Caso: lado, ángulo, lado. ) Caso: lado, lado, lado. II. Investigar en qué onsiste el teorema de Tales. III. IV. Investigar el teorema de Pitágoras. Determinar el valor de x, apliando los riterios de semejanza. R H F 15 T 20 I T U 12 W x V F J G W O P Si: FG = 20, JG = 12, FI = x, IH = 10 Si: FT = 7, TP = 9, OT = x WF = 5x 3 2 V. Calular el valor de x y de y en los siguientes triángulos semejantes: 3

5 x x 12 y+3 x-2 4 y 6 y 20 VI. Problemas de triángulos semejantes: a) Hallar la altura de un árbol que proyeta una sombra de 4.5m, al mismo tiempo que un poste de 5m proyeta una sombra de 3m. b) La sombra que proyeta un edifiio es de 16.25m al mismo tiempo que la de un poste de 10m de altura es de 7m. Enuentre la altura del edifiio. ) La sombra de un arbusto de 123m de altura es de 75m; en ese momento de un árbol proyeta una sombra de 24m. Cuál es su altura? VII. Problemas apliando el teorema de Pitágoras: Considera los valores de auerdo al triángulo retángulo. a) Enuentra la hipotenusa dados los valores de los atetos. a i. a = 6m b = 7m ii. a = 4.6m b = 7.3m b) Enuentra uno de los atetos dados los valores de un ateto y la hipotenusa. b i. = 10m b = 8m ii. a = 3.24m = 5.31m ) Calular la altura de un triángulo isóseles, si su base mide 30m y ada uno de sus lados iguales mide 17m. d) uánto mide la diagonal de un uadrado de 7m por lado? e) Cuánto mide el lado de un uadrado si la diagonal mide 8.5m? f) Hallar la longitud del segmento x marado en la figura orrespondiente. 13 Figura f-1 Figura f-2 Figura f-3 B H 9 AB = x x 8 11 M J P Si: MP = 20, HJ = x A BLOQUE IV: RECONOCES LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS. El Bloque IV apliarás los elementos y propiedades de los polígonos en la resoluión de problemas. Reonoe polígonos por el número de sus lados y por su forma. Aplia los elementos y propiedades de los polígonos en la resoluión de problemas. I. Investigar los siguientes oneptos: a) Clasifiaión de los polígonos de auerdo al número de lados, equiláteros, equiángulos, onvexo, ónavo, regular e irregular. b) Sus elementos de los polígonos: radio, apotema y diagonales. ) Área y perímetro de los polígonos (fórmulas, elaborar un formulario para estudiarlo). d) Formulas para obtener la medida de los ángulos: interiores, exteriores, entral y número de diagonales totales y desde un vértie. II. Resuelve los siguientes problemas relativos a ángulos interiores, exteriores, entral y las diagonales de un polígono. 4

6 a) Cuánto suman los ángulos interiores, uánto mide un ángulo interior y exterior, así omo uántas diagonales tiene un polígonos regular de 16 lados? b) Cuánto mide un ángulo interior y exterior de un otágono regular? ) Cuál es el polígono uya suma de los ángulos interiores es de 1980? d) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de Cuál es el polígono? e) Cuál es el polígono regular uyo ángulo interior es de 156? f) Cuál es el polígono que se pueden trazar 135 diagonales? g) Determinar el número total de diagonales que pueden trazarse en un polígono regular de 19 lados. h) Si un polígono regular uno de sus ángulos interiores mide 160, uál es el polígono y uántas diagonales se pueden trazar en diho polígono. III. Problemas de polígonos relativos a perímetro y área. a) Calular el área de un hexágono regular sabiendo que su apotema es igual a 5 3m, y ada uno de sus lados mide 12m. b) Calular el área de un eneágono regular si su radio mide 25m y su apotema 10m. ) Si el área de un pentágono regular es de 1453 entímetros uadrados y su apotema vale 20 m, qué valor tiene ada lado? d) En un polígono regular, el perímetro es igual a 27 3, y ada uno de sus lados vale 3 3, uál es el número de lados de ese polígono? BLOQUE V: RECONOCES LAS PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA. En el Bloque V emplearás las propiedades de los elementos asoiados a una irunferenia omo: radio, diámetro, uerda, aro, seantes y tangentes en la resoluión de problemas. Asimismo, resolverás ejeriios de perímetros y áreas de la irunferenia. Reonoe y distingue los diferentes tipos de retas, segmentos y ángulos asoiados a la irunferenia. Emplea las propiedades de los elementos asoiados a una irunferenia omo: radio, diámetro, uerda, aro, seantes y tangentes en la resoluión de problemas. Resuelve ejeriios de perímetros y áreas de la irunferenia. I. Investigar los siguientes oneptos: a) Círulo y irunferenia. b) Sus elementos: radio, diámetro, uerda, aro, tangente y seante. ) Ángulos: entral, insrito, semi-insrito, externo e interno. d) Área y perímetro. II. Obtener el valor de los siguientes ángulos en las diversas irunferenias. B B q A M A C D O O N C D C A B P Fig. 1 fig.2 fig. 3 fig. 4 Si el aro CD= 70 Si el aro AB = 2x, Si el aro PN = 120 Si los aros CD = 39 y y <COD= 60 el aro BC = 3x, y el aro MN = 70 AB = 137 Hallar el aro AB el aro CA = 4x. Determinar <O Calular: <q, <ACB, <CBD Hallar: x, <A, y <AOB <B, <C. III. Resuelve los siguientes ejeriios sobre longitud de la irunferenia y área del írulo. A.- Determinar la longitud de la irunferenia y el área del írulo, si su diámetro es de 15 m. B.- Si la irunferenia es de longitud 27 m., determinar su radio y su área. 5

7 2 C.- Si el área del un írulo es de 420. m, determinar el valor de su radio y la longitud de la irunferenia. D.- En las figuras siguientes alular las áreas sombreadas. 23 mm A B 40mm Cirulo A: diámetro 16mm. Cirulo B: diámetro 10 mm. Medida del retángulo: 36mmde largo por 25mm de anho mm BLOQUE VI: DESCRIBES LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. En el Bloque VI identifiarás diferentes sistemas de medida de ángulos, y desribirás las razones trigonométrias para ángulos agudos. Finalmente, apliarás las razones trigonométrias en ejeriios teório prátios. En este bloque debes: Desribir las razones trigonométrias. Identifiar diferentes sistemas de medidas de ángulos. Apliar las razones trigonométrias en ejeriios teório-prátios La trigonometría estudia la relaión entre los lados y los ángulos de los triángulos. Unidades de medida de ángulos: La unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir la irunferenia en 360 ángulos entrales iguales en donde ada uno es 1/360 = 1, por lo que la irunferenia es igual a 360. Este sistema de medida de los ángulos se llama sexagesimal. En éste sistema 1 = 60 minutos y un minuto es igual a 60 segundos, es deir: 1 = 60 y 1 = 60. Otra unidad de medida angular es el radian que se define omo la medida de un ángulo entral en donde la longitud del aro omprendido entre sus lados es igual a la longitud de los radios que lo forman, asi: 1 Rad = 180/π = 57.3 aprox. y 1 =π/180 rad = rad aprox. Dado el triángulo retángulo ABC, estableer las funiones trigonométrias del ángulo A y del ángulo B: B a C A A b Conversión de ángulos en grados sexagesimales a radianes y vieversa Estudia on atenión los ejemplos siguientes sobre la onversión de medidas angulares (de grados sexagesimales a radianes y vieversa): Ejemplos: 90 = 90 π = 90π = π rad = 180 π = π rad = 180π = 180 π π rad = π π rad = 7π 180 = π 6 3 = 60 Sen A = a/ Tan A = Sen B = Tan B = Cos A= Ctg A = Cos B = Ctg B = Tan A= Se A = Tan B = b/a Se B = = 210 6

8 Realizando los álulos neesarios, ompleta la siguiente tabla: N Medida en grados sexagesimales Medida en radianes π 6 rad 3. π 4 rad π 5 rad 7. 3rad a). Calula el valor de la hipotenusa y de las funiones trigonométrias diretas y reíproas del ángulo B en el siguiente triangulo retángulo: B N Funión direta Funión reíproa 1 Sen B = 15 Cs B = 12 2 Cos B = 12 Se B = 3 Tan B = 12 Ctg B = C 15 A b) En un triángulo retángulo la tangente del ángulo agudo A es 3, enuentra el valor de las ino 4 funiones trigonométrias restantes del ángulo A: N Funión direta Funión reíproa 1 Sen A = Cs A = 2 Cos A = Se A = 3 Tan A = 3 4 Ctg A = 7

9 BLOQUE VII: APLICAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. En el Bloque VII interpretarás y apliarás las funiones trigonométrias en el plano artesiano, así omo en el írulo unitario. En este bloque debes: Identifiar e interpretar las funiones trigonométrias en el plano artesiano. Reonoer las funiones trigonométrias en el írulo unitario. Apliar las funiones trigonométrias. Una manera onveniente de representar un ángulo onsiste en oloar su vértie en el origen de los ejes oordenados, el lado iniial en el eje positivo de las "x" y el punto P(a, b) determinaría la posiión del lado terminal. Y P(a, b) b α a X El ángulo de referenia es aquel que forma el lado terminal on el eje de las "x", sin importar el uadrante en el que se ubique. Para omprender mejor estas ideas, ubia los siguientes puntos en el plano utilizando tus esuadras. Una vez realizado lo anterior, traza un segmento de reta del punto al origen e india el ángulo de referenia: A (2,3) B (-3.2) C (-4,-4) D (2,-3) Los signos de las funiones trigonométrias en el plano artesiano son omo se muestran en la siguiente tabla: 8

10 Ejemplo 1: Enuentra los valores de las funiones trigonométrias para un ángulo A, uyo lado terminal está en el segundo uadrante y su tangente es 12. La tan A es negativa entones al ángulo A está en el 2 uadrante. Utiliza 5 el Teorema de Pitágoras para enontrar la longitud del lado terminal (que equivale a la hipotenusa del triángulo). P(-5, 12) Y 12 A - X -5 a) Si el lado final de un ángulo pasa por P, uyas oordenadas son (6, 8) omo lo muestra la siguiente figura, determina los valores de las razones trigonométrias del ángulo α. Y P(6, 8) Sen α = Ctg α = Cos α = Se α = 8 Tan α = Cs α = α 6 X 9

11 b) Si el lado final de un ángulo pasa por P, uyas oordenadas son ( 2, 2 ) 8) omo lo muestra la siguiente 2 2 figura, determina los valores de las razones trigonométrias del ángulo 45. Y Sen α = Ctg α = 45 P( 2 2, 2 2 ) X Cos α = Se α = Tan α = Cs α = ). India en qué uadrantes son positivas las funiones trigonométrias seno y oseante. R: d). India en qué uadrantes son positivas las funiones trigonométrias oseno y seante. R: e). India en qué uadrantes son positivas las funiones trigonométrias tangente y otangente R: BLOQUE VIII: APLICAS LAS LEYES DE SENOS Y COSENOS. En el Bloque VIII apliarás las leyes de los senos y osenos. LEY DE SENOS Y COSENOS. Para la apliaión de la LEY DE LOS SENOS y la LEY DE LOS COSENOS se debe tener en uenta que un triángulo que no tiene ángulo reto es obliuángulo y puede ser triángulo autángulo si tiene sus ángulos interiores agudos y triangulo obtusángulo si tiene un ángulo obtuso. Obtener los elementos del triángulo es lo que se llama resolver el triángulo. Apliaión de la LEY DE LOS SENOS La le de los senos permite resolver triángulos obliuángulos uando se onoen: Un lado y dos ángulos. Dos lados y el ángulo opuesto a ualquiera de ellos. Ley de los Senos: En ualquier triángulo obliuángulo ABC de lados a, b,, las longitudes de los lados son proporionales a los senos de los ángulos opuestos, es deir: 10

12 a sen A = b sen B = sen C Ejemplo: Obtener el ángulo y los lados que faltan del siguiente triángulo: C Para obtener el < B = 180- ( ) b A a = 20 B <B = 25 Para obtener el lado b: 20 sen 43 = b sen 25 b = 20 sen 25 sen 43 = 12.4 Para obtener : 20 = sen 43 sen 112, de donde se obtiene:, de donde: 20 sen 112 = = 27.2 sen 43 a) Obtener los elementos que faltan en el siguiente triángulo obliuángulo: C b =12 a = 21 <A = < B = = 28 A B 11

13 LEY DE LOS COSENOS. La ley de osenos permite resolver triángulos obliuángulos que no es posible resolver on la Ley de Senos. Cuando se onoen: a) Los tres lados. b) Dos lados y el ángulo omprendido entre ellos. Ley de senos. En todo triángulo obliuángulo ABC, de lados a, b,, se umple que: a 2 = b b os A b 2 = a a os B 2 = a 2 + b 2 2a os C Ejemplo: Resuelve el siguiente triángulo: C 5 A a B Soluión: Sustituyendo los valores de b, y <A: a 2 = b os 120 Efetuando operaiones: a 2 = (-0.5) a = 9.5 a) Mediante las leyes de SENOS o de COSENOS, según sea el aso, enuentra la medida de los ángulos y de los lados desonoidos de ada triángulo ABC, si se sabe que: 1). < A = 52.4, b = 100m, = 120 m. <B = < C = = 2) <A = 48, < C = 57, b = 47 m. <B = a = = 3). a = 10 m, b = 9 m, = 6 m <A = <B = < C = 4). < B = 18, a = 8 m, = 12 m, < A = < C = b = 5) < A = 76, b = 10 m, = 24 m < B = < C = a = 12

14 BLOQUE IX: APLICAS LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL. En el Bloque IX identifiarás el signifiado de poblaión y muestra, además de reonoer y apliar los oneptos de medidas de tendenia entral y de dispersión. En este bloque IX estudiarás la estadístia desriptiva, que en su funión básia de reduir datos, propone una serie de indiadores que permiten tener una perepión rápida de lo que ourre en un fenómeno, para ésto nos enfoaremos prinipalmente en dos temas: Medidas de Tendenia Central Medidas de Dispersión Los datos o valores que tendrás que analizar se presentarán en dos formas pueden no estar agrupados, es deir, estarán sin ningún orden o aomodo espeifio; y en forma de datos agrupados, los uales generalmente se onentran en tablas y deberás de aprender a interpretar. La primera gama de indiadores orresponde a las "Medidas de Tendenia Central". Existen varios proedimientos para expresar matemátiamente las medidas de tendenia entral, de los uales, los más onoidos son: la media aritmétia, la moda y la mediana. Estas medidas tienen omo objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo de la informaión que estés tratando para poder inferir e interpretar las araterístias prinipales de la informaión que se esté manejando. El segundo grupo de indiadores serán "Las medidas de Dispersión" que nos dien hasta qué punto estas medidas de tendenia entral son representativas omo síntesis de la informaión. Las medidas de dispersión uantifian la separaión, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribuión respeto al valor entral. Distinguimos entre medidas de dispersión el rango, Varianza y Desviaión Estándar. La estadístia es la rama de las matemátias que se oupa de reunir, organizar y analizar datos numérios; ayuda a resolver problemas omo el diseño de experimentos y toma de deisiones. Investiga los siguientes oneptos y redatalos on tus propias palabras, de auerdo on lo que hayas. Estadístia Media Mediana Moda Datos Agrupados Datos no agrupados Tablas de freuenia Medidas de tendenia entral Son indiadores estadístios que muestran haia qué valor (o valores) se agrupan los datos. Esta primera parte la dediaremos a analizar tres medidas de tendenia entral: La media aritmétia La moda La mediana La Media Aritmétia Equivale al álulo del promedio simple de un onjunto de datos. Para difereniar datos muéstrales de datos poblaionales, la media aritmétia se representa on un símbolo para ada uno de ellos: si trabajamos on la poblaión, este indiador será μ; en el aso de que estemos trabajando on una muestra, el símbolo será X Media aritmétia (μ o X): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un onjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es apliable para el tratamiento de datos uantitativos. Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar on los datos: sin agruparlos o agrupándolos en tablas de freuenias. Esta apreiaión nos sugiere dos formas de representar la media aritmétia. A) Media aritmétia para datos no agrupados Podemos difereniar la fórmula del promedio simple para datos: Apliquemos esta fórmula para resolver el siguiente aso. El profesor de la materia de estadístia desea onoer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la lase. Las notas de los alumnos son: Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la lase? Apliando la fórmula para datos no agrupados tenemos: Cabe anotar que en el ejemplo estamos hablando de una poblaión orrespondiente a todos los alumnos de la lase (10 alumnos en total). El promedio de las notas es de 3,47. Modifiquemos la primera nota por 0,0 y alulemos nuevamente la media BLOQUE X: EMPLEAS LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD. Lo aprendido en el Bloque X te permitirá distinguir entre eventos deterministas y aleatorios, utilizando las leyes aditiva y multipliativa de las probabilidades. 13

15 En la vida otidiana, por ejemplo uando lanzas una moneda al aire en un "volado" on los amigos, o uando tiras un par de dados en un juego, uando saas una baraja al azar, uando metes la mano en una ánfora para saar un boleto para una rifa o uando lanzas un dardo esperando dar en el entro, et. tienen que ver on probabilidades y estadístias, o en otras palabras, todos aquellos eventos en los que existan elementos aleatorios, al azar, basados en informaión previa que señale patrones y similitudes que permitan predeir un sueso o resultado. Estas dos disiplinas de las matemátias, están íntimamente ligadas entre sí. La probabilidad es una parte de las matemátias que más apliaiones en la vida otidiana tiene y,por lo tanto, es neesario reonoer que no sólo se trata de números, sino que también uenta on araterístias y propiedades que te permitirán interpretar diversos suesos otidianos. Eventos deterministas y aleatorios Si dejamos aer una piedra o la lanzamos, y onoemos las ondiiones iniiales de altura, veloidad, et., sabremos on seguridad dónde aerá, uánto tiempo tardará, et. Es una experienia determinista. Si ehamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué ara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experienia aleatoria. La vida otidiana está plagada de suesos aleatorios. Muhos de ellos, de tipo soiológio (viajes, aidentes, entre otros); aunque son suma de muhas deisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, omo aleatorios. Experimentos o fenómenos aleatorios: son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enuniar on erteza uál de éstos va a ser observado en la realizaión del experimento. Sueso aleatorio: es un aonteimiento que ourrirá o no, dependiendo del azar. Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un experimento es ualquier proeso, entones los resultados pueden tomar ualquier tipo de valor. Por esta razón, se define omo experimento aleatorio al proeso en el que se pueden predeir on erteza la ourrenia de sus eventos, on exepión del seguro o del imposible. Hay que haer la observaión de que esta definiión habla en términos generales y no espeífiamente sobre un experimento. En ambio, a un experimento no aleatorio se le denomina experimento determinístio porque para que sueda no depende del azar. Existen eventos que siempre, no importa el número de experimentos o su situaión, ourren, y en ambio existen otros que nuna sueden. Los que siempre ourren son los eventos seguros, y los que nuna son los eventos imposibles pero a ambos se les puede reonoer omo eventos determinístios. Meniona 5 ejemplos de eventos probabilístios y 5 eventos determinístios. Espaio Muestral A la oleión de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espaio muestral. Espaio muestral es el onjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E. Por ejemplo: Si se tiene un dado ualquiera, el espaio muestral (EM) es EM= {1, 2, 3, 4, 5,6}. Si existen más de una variable, el espaio muestral está formado por las ombinaiones de valores de ada una de las variables. A aquella variable que está asoiada a un experimento de este tipo se le denomina variable aleatoria. Cuando hablamos de varios eventos dentro del mismo experimento se pueden dar varios asos. Si dos o más eventos no pueden ourrir simultáneamente, se llaman eventos mutuamente exluyentes, es deir, ourre el primero o el segundo pero no los dos al mismo tiempo. Por otro lado, en oasiones un evento o más eventos dependen de otro previo, es deir, un evento A ourre dado que ourrió un evento B. Si existe este tipo de relaión entre eventos se die que son eventos dependientes o ondiionados (el evento A depende del evento B, o el resultado del evento A está ondiionado al resultado del evento B). Por otro lado, si no existe tal relaión entre eventos se die que son eventos independientes. 14

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