Límite de una función real. Definición de límite. Teoremas fundamentales. Teorema del Sándwich Semana 05 Sesión 01

Transcripción

1 CÁLCULO DIFERENCIAL Límite de una función real. Definición de límite. Teoremas fundamentales. Teorema del Sándwich Semana 5 Sesión 1

2 LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante conoce, interpreta y aplica la noción y el concepto del Límite de una función y su continuidad en las soluciones de problemas relativos a la ingeniería.

3 ESQUEMA DE LA CLASE LIMITES DE UNA FUNCION DEFINICION DE LIMITES TEOREMAS FUNDAMENTALES TEOREMA DEL SADWICH.

4 Introducción Alguna vez ha estado Ud. en una competencia de atletismo donde participan docentes, en la cuál dos de ellos llegaron a la menta prácticamente juntos, pero uno de ellos ganó el premio?. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y en la cual está involucrada el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo.

5 Noción de límite Cuando una variable se aproima a un valor particular, podemos eaminar el efecto que tiene sobre los valores de la función.

6 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL Resulta adecuado empezar el estudio del cálculo diferencial, investigando los límites y sus propiedades. El concepto fundamental de límite es muy importante para precisar otros tales como la continuidad y la derivación. Punto de acumulación: se dice que es un punto de acumulación del dominio de una función D f, si todo intervalo abierto que lo contiene, también contiene puntos del D f.

7 Límite de una Función f - Definición Si es un punto de acumulación del D f, se dice que el límite de f () cuando tiende a es igual a L y se simboliza así: lím f ( ) L Si es posible aproimar arbitrariamente los valores de f() hacia L (tanto como se desee), escogiendo a suficientemente cerca de, pero no igual a.

8 Límite de una función real Ejemplo: 1 Por ejemplo para hallar el límite: lim Podemos obtener valores de la función f = para valores de que se aproiman a 1 sin ser nunca iguales a 1. En la tabla dada a continuación, observamos que el valor de f() se aproima a 1/2. f(),9,5263,99,525,999, /2 f() 1, ,1,4975 1,1, /2

9 TEOREMAS FUNDAMENTALES 1.- Teorema de la Unicidad del Límite: Si el límite de una función eiste, entonces es único. Si : Lim f ( ) L L L L a 1 y Lim f ( ) a 2 1 2

10 2.-Teorema de la compresión (del Sandwich) Sean f, g y h funciones tales que: a) Si f ( ) g( ) h( ), N( ) con y b) lim f ( ) lim h( ) L Entonces se cumple que: y lim g( ) L h() g() f() N : es una vecindad de

11 TEOREMAS FUNDAMENTALES 3.- Teoremas sobre propiedades operacionales: Suponiendo que c es una constante y que: eiste Lim f ) ( eiste Lim g ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( [ ) Lim g Lim f g f Lim a ) ( ) ( ) clim f f Lim c b

12 3.- Teoremas sobre propiedades operacionales: El límite de un producto de funciones, es igual al producto de los límites de dichas funciones. c) Lim[ f ( ). g( )] Lim f ( ). Lim g( ) El límite del cociente de funciones, es igual al cociente de los límites de dichas funciones, siempre que el límite de la función denominador sea diferente de cero. d) Lim[ f ( ) / g( )] Lim f ( ) / Lim g( )

13 Teorema del cambio de Variable Si lim f = L, entonces haciendo = + h, se cumple: lim f + h = L h Observación: En la práctica este procedimiento consiste en hacer el cambio de variable de la siguiente forma: L = lim f = lim f = lim f( + h) h Donde: = h = + h

14 Ejemplos 1. 1 Hallar : lim Solución.- efectuando la epresión dentro del paréntesis resulta: lim (2 )( ) = lim 2 Como 2 entonces (2 ) 2, por tanto: (2 )( + 4) (2 )( ) lim 2 (2 )(+4) (2 )( ) = lim 2 (+4) = 6 12 = 1 2

15 Ejemplos t 2. Calcular : lim t t 3 Solución.- racionalizando el numerador resulta: lim t t t 2 = lim t ( t )( t ) t 2 ( t ) Como t entonces: lim t t 2 t 2 ( t ) = lim t 1 t = 1 6

16 OBSERVACIÓN: Aplicando las propiedades operacionales, pueden establecerse los siguientes límites útiles: 1. Lim[ f ( )] n Lim f ( ) n,( n ) n n 2. lim n 3. lim n 4. Lim n f ( ) n Lim f ( ) (Para n = par se requiere: lim f() > :

17 Ejercicio reto 1.- Calcular el siguiente límite: 6 3 lim a)2 / 3 b)1/ 3 c)1 d) 1/ 3 e) 2 / 3

18 Muchas gracias! Plataforma Educativa Portal de Alumnos