Examen de Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia.

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1 Examen de Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia. 1 de Febrero de 2001 Notas: No está permitido el uso de calculadora programable o gráfica. Tiempo: 3 horas y media. Puntuación: Problema 1, 3 puntos; Problema 2, 2 puntos; Problema 3, 2 puntos; Problema 4, 3 puntos. 1. Dada la función f(x) = x3 x 2, se pide: 1 (a) Representarla gráficamente en su dominio de definición, estudiando previamente: dominio de existencia, continuidad, simetrías, cortes con los ejes, asíntotas, crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión. (b) Calcula, justificadamente, el área de la región comprendida entre la gráfica de la función f(x), el eje OX y las rectas x = 2 y x = Dada la ecuación x3 x 1 = 0, se pide: (a) Demostrar que posee una única raíz real. (b) Obtener un intervalo en donde se pueda aplicar el método de Newton para hallar una aproximación de dicha raíz. Calcular la iteración x La siguiente tabla representa la relación entre la edad de gestación (en semanas) de un feto y su peso (en gramos): Edad de gestación (X) Peso (Y ) Qué edad aproximada tiene un feto de 2 Kilos de peso? Analizar la fiabilidad de esta estimación. 4. El número de basófilos por mm 3 de sangre en un individuo sigue una distribución normal con desviación típica 9. Un individuo sospechoso de padecer una cierta enfermedad se considera patológico si tiene más de 34 basófilos por mm 3 de sangre. Se sabe que la probabilidad de que un individuo sea patológico es Se pide: (a) Probar que la media de dicha distribución es 25. (b) Calcular la probabilidad de que el número de basófilos por mm 3 de sangre esté comprendido entre 12 y 16. (c) Calcular dos valores a y b (a < b) tales que el 70% de individuos tiene un número de basófilos comprendido entre esos valores, sabiendo que el 10% tiene un número de basófilos superior a b.

2 Examen de Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia. 5 de Septiembre de 2001 Notas: No está permitido el uso de calculadora programable o gráfica. Tiempo: 3 horas y media. Puntuación: Problema 1, 2 puntos; Problema 2, 3 puntos; Problema 3, 2 puntos; Problema 4, 3 puntos. 1. Dada la función f(x) = x, se pide: e x 1 (a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f en su dominio. (b) Enunciar el Teorema de Weierstrass. Calcular los máximos y mínimos absolutos de f en el intervalo [ 2, 2], caso de que existan. 2. Se considera la función f(x) = x ln(x 2 ). Se pide: (a) Calcular el área de la región comprendida entre la curva y = f(x), el eje OX y las rectas verticales x = 1 2 y x = 2, estudiando previamente el signo de f(x). (b) Demostrar que la ecuación xln(x 2 ) = 1 tiene una única raíz real. (c) Aproximar dicha raíz por el Método de Newton, obteniendo previamente un intervalo donde se pueda aplicar dicho método. Calcular hasta la segunda iteración x Los pesos de 50 estudiantes de primer curso de la Facultad de Farmacia vienen dados por la siguiente tabla: (a) Dibujar el histograma. Peso (X) [50, 58) [58, 62) [62, 68) [68, 74) [74, 80] Número de estudiantes (Y ) (b) Calcular el peso por debajo del cual se encuentra el 85 por ciento de los estudiantes y el peso por encima del cual se encuentra el 46 por ciento de los mismos. (c) Se va a realizar una donación de sangre en la Facultad de Farmacia y el peso mínimo para ser donante es 55Kg. Calcular cuántos de los 50 alumnos podrán donar. 4. En una cierta población que consta de dos hospitales A y B se estima que el número de enfermos que precisan atención médica un día determinado es 125 (se supone que diariamente cada enfermo recibe una atención médica). Se sabe que la probabilidad de que un enfermo acuda al hospital A es 0.6. Se pide: (a) Considerar la variable aleatoria X: número de enfermos que acuden al hospital A un día determinado y justificar que su distribución de probabilidad es binomial. Aproximarla por una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad sea normal. (b) Calcular la probabilidad de que un día determinado acudan al hospital A 65 enfermos o menos. (c) Calcular la probabilidad de que un día determinado acudan al hospital A exactamente 75 enfermos. (d) Calcular el número de atenciones médicas diarias que debe ofrecer el hospital A para que un enfermo que acuda a él un día determinado pueda ser atendido con probabilidad 0.4.

3 Examen de Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia. 21 de Septiembre de 2001 Notas: No está permitido el uso de calculadora programable o gráfica. Tiempo: 3 horas. Puntuación: Problema 1, 2 5 puntos; Problema 2, 2 5 puntos; Problema 3, 2 puntos; Problema 4, 3 puntos. 1. Dada la función f(x) = { x 2 sen 1 x + e x si x 0, 1 si x = 0, estudiar razonadamente la continuidad y derivabilidad de f(x) en su dominio. 2. Dada la función se pide: f(x) = x2 x + 1 (a) Representarla gráficamente en su dominio de definición, estudiando previamente: dominio de existencia, continuidad, simetrías, cortes con los ejes, asíntotas, crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión. (b) Obtener el área comprendida entre el eje OX, las rectas x = 0, x = 2 y la función y = f(x). 3. Las calificaciones de 15 alumnos en la asignatura Matemática Aplicada son: 7, 6, 2, 8 5, 9, 6, 6, 5, 5 5, 4 5, 3, 1, 8, 7 5, 6 5. (a) Calcular la media, la mediana y la moda. (b) Hallar los percentiles de orden 20 y El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro sanitario se distribuye según una variable normal de media de 17 minutos y desviación típica de 3 minutos. (a) Calcula la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre 13 y 21 minutos. (b) Para qué valor de t la probabilidad de que la ambulancia emplee más de t minutos en llegar es del 5%?.

4 Examen de Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia. 3 de Diciembre de Dada la función f(x) = x2, se pide: ex (a) Calcular lim f(x) y lim f(x). x x + (b) Calcular 2 0 f(x)dx. 2. (a) Calcular el polinomio de interpolación que pasa por los puntos (-3,-47), (-2,18), (-1,7) y (0,-2). (b) Probar que el polinomio 13x 3 +40x 2 +18x 2 tiene 3 raíces reales y separarlas en intervalos disjuntos. (c) Obtener un intervalo en el cual se verifiquen las hipótesis del método de Newton para aproximar la raíz mayor del polinomio del apartado anterior. Como aplicación obtener la primera iteración x Para investigar la dependencia de la energía desprendida por el cuerpo humano respecto de la complexión física, los investigadores usaron técnicas para determinar la masa corporal libre de grasa de 7 personas. También midieron la energía total desprendida en 24 horas por cada individuo durante una actividad sedentaria. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla: X Y donde X representa la masa corporal e Y la energía total desprendida en 24 horas por individuo. Se pide: (a) Calcular la recta de regresión de Y sobre X. (b) Dibujar la nube de puntos y la recta de regresión calculada en el apartado anterior. (c) Calcular la energía desprendida en 24 horas por un individuo con masa corporal de 50 kg. Es fiable este valor? 4. El peso de los jóvenes con 18 años de edad se distribuye según una distribución normal con media 56 Kg y una desviación típica σ. Se sabe que el 80 % de los jóvenes pesa entre 52 y 60 Kg. Se pide: (a) Probar que σ = (b) Qué porcentaje de jóvenes pesa entre 53 y 57 Kg.? (c) Calcular el peso por encima del cual se halla el 40 % de los jóvenes. (d) Calcular el peso por debajo del cual se halla el 35 % de los jóvenes. Tiempo: 3 horas. Puntuación: Problema 1, 2 puntos; problema 2, 3 puntos; problema 3, 2 puntos; problema 4, 3 puntos.

5 MATEMATICA APLICADA (FARMACIA) Examen Final (24 de enero de 2002) Nota: No está permitido el uso de calculadora programable o gráfica. Tiempo: 3 horas y media. Puntuación: Pb 1: 3.5 puntos, Pb 2: 2.5 puntos, Pb 3: 2 puntos y Pb 4: 2 puntos. 1. Dada la ecuación x 5 + 5x + 1 = 0, se pide: a) Separar sus raíces. b) Aproximar una de ellas mediante el método de Newton con un error menor que c) Efectuar la representación gráfica de la función f(x) = x 5 + 5x Un garaje particular tiene 40 m 3 de aire limpio y un extractor para ventilación que permite renovar el aire a razón de v 2 m 3 /h. Se introduce un automóvil que queda con el motor en marcha y se cierra la puerta. El motor arroja una mezcla de gases a razón de v 1 m 3 /h; dicha mezcla contiene 0.04 gr de monóxido de carbono por cada m 3 de mezcla. a) Establecer la ecuación diferencial para la cantidad de monóxido de carbono (en gramos) que hay en el garaje en cada instante. b) Cuando v 1 = 3 m 3 /h y v 2 = 80 m 3 /h, la ecuación diferencial que resulta es y = y Determinar la cantidad de monóxido de carbono que hay en el garaje en cada instante. c) El monóxido de carbono empieza a ser peligroso en concentración superior a gr/m 3. Es prudente vaciar el maletero del coche con el motor en marcha si en dicha operación se tarda 5 min? 3. El índice de mortalidad (Y) de siete grupos que consumían diariamente (X) cigarrillos, aparece en la siguiente tabla: X Y Se pide: a) Calcular el coeficiente de correlación lineal. b) Es razonable utilizar la recta de regresión para hacer predicciones de Y a partir de X? c) Hallar la recta de regresión de Y sobre X. d) Qué índice de mortalidad se espera para una persona que consume 60 cigarrillos diarios? 4. Entre los diabéticos, el nivel X de glucosa en sangre, en ayunas, puede suponerse de distribución aproximadamente normal, con media 1.06 mg/ml y desviación típica 0.08 mg/ml. Se pide: a) Qué porcentaje de diabéticos tendrá niveles de glucosa entre 0.9 y 1.2 mg/ml? b) Hallar P (1.06 X 1.1). c) Encontrar un valor K que tenga la propiedad de que el 25 por ciento de los diabéticos tenga un nivel de glucosa por debajo de este valor.

6 MATEMATICA APLICADA (FARMACIA) Examen de septiembre (5 de septiembre de 2002) Notas: No está permitido el uso de calculadora programable o gráfica. Tiempo: 3 horas y media. Puntuación: Pb 1: 3 5 puntos; Pb 2: 2 5 puntos; Pb 3: 2 puntos; Pb 4: 2 puntos. 1. La temperatura de cierto proceso natural es función del tiempo. Con intervalos de tiempo de una hora se ha obtenido la siguiente tabla: Tiempo Temperatura Se pide: a) Hallar justificadamente un polinomio de grado menor o igual que tres que ofrezca una aproximación de la temperatura. b) Justificar que la ecuación x 3 x 1 = 0 posee una única solución en el intervalo [1, 1 5]. c) Hallar una aproximación de dicha raíz con un error menor que En cierto cultivo de bacterias, la velocidad de aumento en cada instante es proporcional al número de bacterias existente en ese momento. Se ha hallado que el número de bacterias se duplica cada 4 horas. a) Plantear y resolver la ecuación diferencial para el número de bacterias que hay en cada instante. b) Al cabo de 5 horas, se retira la mitad de las bacterias que hay en ese instante y se continua con el cultivo durante 1 hora más. b1) Cuántas bacterias hay en ese momento? b2) Durante las primeras cuatro horas, en qué momento había dicho número de bacterias? Nota: Se supone que la cantidad de bacterias existente en el instante inicial es x Se ha aplicado un test de aptitudes a los empleados de una factoría. Las puntuaciones (x i ), agrupadas en clases, están recogidas en la siguiente tabla: x i [38, 50) [50, 56) [56, 62) [62, 68) [68, 80] n i a) Dibujar el histograma. b) Calcular la media aritmética y la desviación típica. c) Hallar la puntuación por encima de la cual queda el 30 por ciento de los empleados. d) Calcular el porcentaje de empleados cuya puntuación está en el intervalo (50,70). 4. La longitud de los arenques de una determinada población sigue una distribución normal de media 54 mm y desviación típica 4 5 mm. Se pide: a) Qué porcentaje de arenques mide entre 54 y 60 mm? b) Qué porcentaje mide más de 48 mm? c) Para otra población de peces cuya longitud sigue también una distribución normal, se sabe que el 10 por ciento mide menos de 61 2 mm y el 80 por ciento mide entre 61 2 y 67 4 mm. Calcular la media y la desviación típica de esta distribución.

7 Examen de Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia. 24 de Enero de Dada la función f(x) = 2x2 + x, se pide: x + 1 (a) Calcular todas las asíntotas de la función f(x). (b) Estudiar razonadamente el crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de f(x). (c) Calcular el área de la región del primer cuadrante limitada por la curva y = f(x), su asíntota oblicua y = 2x 1 y las rectas verticales x = 0 y x = Dada la ecuación diferencial ordinaria y (t) + 2y(t) = 1 + e t, calcular su solución suponiendo que y(0) = y 0. Obtener asímismo el lim y(t). t + 3. Se realiza un estudio sobre los efectos del ejercicio físico en 6 pacientes con enfermedad coronaria, midiendo el oxígeno consumido (en ml/kg) por cada paciente antes de comenzar un programa de entrenamiento de seis meses (X) y después de este programa (Y ), obteniéndose los siguientes datos: X a Y (a) Calcular el valor de a para que la media de la variable X sea 40. A partir de ahora tomemos el valor a = 43. Se pide: (b) Calcular el coeficiente de correlación lineal. (c) Hallar la recta de regresión de Y sobre X. Si un paciente antes de comenzar el entrenamiento consume 35 ml/kg de oxígeno, qué consumo se espera que tenga después de él? 4. En personas sanas, la concentración X en sangre de determinada proteína sigue una distribución normal de media 6 85 gr/dl y desviación típica 0 42 gr/dl. Se pide: (a) Qué porcentaje de personas sanas presentará en sangre una concentración de esa proteína superior a 6 5 gr/dl? (b) Hallar la probabilidad de que la concentración de esa proteína tome valores comprendidos entre 6 5 y 8 gr/dl. (c) Hallar un valor k tal que el 33% de las personas sanas tenga en sangre una concentración de dicha proteína por debajo de k. Tiempo: 3 horas. Puntuación: Prob. 1, 3 5 ptos., Prob. 2, 2 5 ptos., Prob. 3, 2 ptos., Probl. 4, 2 ptos.

8 Examen de Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia 4 de Septiembre de Dada la función se pide: f(x) = 1 1 e x, (a) Calcular el dominio y las asíntotas de la función y estudiar razonadamente su crecimiento. (b) Calcular el área de la región limitada por la curva y = f(x), el eje de abscisas y las rectas verticales x = 1 y x = Un vino que está a 10 C se saca de una bodega y se deja reposar en un cuarto con temperatura ambiente 23 C. (a) Sabiendo que la ley de enfriamiento de Newton es T (t) = k(m T ), donde T (t) es la temperatura del vino en el instante t, m es la temperatura ambiente y k es una constante, expresar la temperatura del vino en función del tiempo y k. (b) Si transcurridos 10 minutos el vino alcanzó los 15 C, en qué momento la temperatura del vino llega a 18 C? 3. Las puntuaciones obtenidas por 50 personas en una prueba para acceder a un puesto de una empresa fueron de Puntuaciones [10,20) [20,30) [30,50) [50,60] n i (a) Calcular la media aritmética y la desviación típica. (b) Construir la distribución de frecuencias porcentuales acumulada. (c) Qué porcentaje de personas tiene una puntuación menor que 40? (d) Si la empresa piensa rechazar el 60% de las personas presentadas, cuál es la puntuación mínima requerida para ser admitido? 4. La probabilidad de que una persona se recupere de un virus tomando un fármaco es de 1/20. Dicho fármaco se le suministra a 50 personas. Llamemos X a la variable aleatoria binomial número de enfermos que se recuperan de las 50 personas. Se pide: (a) Aproximar dicha variable por otra cuya distribución de probabilidad sea normal. (b) Calcular la probabilidad de que se recuperen 5 o más enfermos. (c) Calcular la probabilidad que se recuperen exactamente 3 enfermos. Tiempo: 3 horas. Puntuación: Prob. 1, 3 5 ptos., Prob. 2, 2 5 ptos., Prob. 3, 2 ptos., Probl. 4, 2 ptos.

9 Examen de Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia. 10 de Noviembre de Dada la ecuación f(x) = 0, con f(x) = e x x 2, se pide: (a) Determinar el número de raíces y separarlas en intervalos disjuntos. (b) Utilizando el método de Newton, encontrar un intervalo de convergencia para aproximar la mayor de las raíces y calcular hasta la segunda iteración. 2. Un depósito contiene 100 litros de una disolución salina cuya concentración se desconoce. Comienza a entrar en el depósito otra disolución conteniendo 2 gramos de sal por litro a razón de 5 litros por minuto. La mezcla (que se hace uniforme instantáneamente) sale a la misma velocidad. Se pide: (a) Justificar que la cantidad de sal que hay en el depósito, y, verifica la ecuación diferencial y = y y resolverla. (b) Sabiendo que al cabo de 10 minutos la mezcla que sale tiene una concentración de 1.5 gramos de sal por litro, hallar la concentración inicial. 3. Los datos que siguen corresponden a los valores del metabolismo basal (MB) en varones sanos, así como sus edades respectivas: Se pide: Edad en años MB (a) Calcular el coeficiente de correlación lineal. Es razonable usar la recta de regresión para hacer predicciones del valor del metabolismo en función de la edad en varones sanos? (b) Qué valor de MB se espera en un varón sano de 35 años? 4. El tamaño de los individuos de una población sigue una distribución normal N(µ, σ). Se sabe que el porcentaje de individuos que mide menos de 53.2 mm es del 20% y el porcentaje de individuos que mide entre 53.2 mm y 75 mm es del 40%. Se pide: (a) Calcular razonadamente el valor de la media µ y de la desviación típica σ. (b) Sabiendo que µ = 70 y σ = 20, calcular el porcentaje de individuos que miden menos de 70 mm. (c) Hallar un valor k tal que el 30% de los individuos tengan un tamaño superior a k. Tiempo: 3 horas. Puntuación: Prob. 1, 3 5 ptos., Prob. 2, 2 5 ptos., Prob. 3, 2 ptos., Probl. 4, 2 ptos.

10 Matemática Aplicada. Farmacia Convocatoria de Febrero, 2 de Febrero de 2004 Ejercicio 1: Determina los extremos absolutos de la función en el intervalo [1, 3]. f(x) = { ln(x + 1) 0 x < 1 x ln(2) 1 x 3 Ejercicio 2: Dada la función f(x) = e x (x + 1) 2. a) Comprobar que la función es creciente en el intervalo ( 1, + ). b) Estudiar el signo de f en el intervalo [1, 4]. Hallar el área comprendida entre la función, el eje OX y la rectas x = 1 y x = 4. Ejercicio 3: Dada la ecuación sen (x) 2x + 2 = 0. a) Comprobar que se puede aplicar el Método de Newton en el intervalo [ π 4, π 2 ]. b) Escribir el método para dicha ecuación. Ejercicio 4: Se considera la ecuación diferencial Se pide: y = 2ty + t + e t2 a) Resolver la ecuación diferencial anterior sabiendo que y(0) = 1/2. b) Calcular lim t y(t). Ejercicio 5: En un ayuntamiento se realiza un examen para optar a policía local al que se presentan 80 personas, obteniéndose los siguientes resultados: Calcular: Puntuaciones [0, 3) [3, 5) [5, 8) [8, 10] n i a) La media aritmética, la varianza y la desviación típica. b) Si el ayuntamiento quiere contratar sólo al 20 por ciento de los que obtuvieron mejor nota, cuál debe ser la nota de corte? Ejercicio 6: El peso de los bebés recién nacidos se distribuye según una distribución normal con media 3.25 Kg. y desviación típica 0.3. Se pide: a) Porcentaje de bebés con peso comprendido entre 3 y 3.5 Kg. b) Calcular el peso por encima del cual se encuentra el 15 por ciento de los bebés. Tiempo: 3.5 h. Puntuación: Ejercicios 2, 3, 5 y 6: 1.5 puntos cada uno; Ejercicios 1 y 4: 2 puntos cada uno.

11 Examen de Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia 10 de Septiembre de Dada la función a sen (x) + b si π 2 x 0 f(x) = 1 cos(x) si 0 < x π sen (x) 2 (a) Para qué valores de a y b es la función f continua en el intervalo [ π/2, π/2]? Y derivable? (b) Para los valores a = 1/2 y b = 0, hallar los extremos absolutos de f en [ π/2, π/2]. 2. Empíricamente se han obtenido los siguientes valores de y = f(x): x y (a) Hallar el polinomio de interpolación que se ajuste a estos datos. (b) Si a la tabla anterior se le añade una nueva observación: x 8 y 1 obtener el nuevo polinomio de interpolación correspondiente a todos los datos. (c) Hallar el valor que, aproximadamente, debería corresponder a x = 7 mediante ambos polinomios Cúal de los dos valores obtenidos crees que se debería tomar como mejor aproximación de f(7)? Por qué? 3. Se considera la ecuación diferencial y (t) = y(t) t (t 1) 2. (a) Calcular la solución general y(t) de dicha ecuación diferencial. (b) Calcular la solución particular con dato inicial y(2) = 2/3. Cuanto vale lim y(t)? t + 4. Los pesos en miligramos de 50 pastillas de ciertos medicamentos distintos vienen dados por la siguiente tabla: Peso (X) [200, 210) [210, 215) [215, 220) [220, 230) [230, 240] Número de pastillas (Y ) (a) Dibujar el histograma. (b) Calcular el tanto por ciento de pastillas con peso menor que 212 mg. (c) Calcular el peso de las pastillas por debajo del cual se encuentra el 15% de las mismas, y el peso por encima del cual se encuentra el 74 % de las pastillas de medicamentos. 5. El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro sanitario se distribuye según una variable normal de media de 17 minutos y desviación típica de 3 minutos. (a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre 13 y 21 minutos. (b) Hallar la probabilidad de que la ambulancia tarde exactamente 15 minutos en llegar al centro sanitario. (c) Para qué valor de t la probabilidad de que la ambulancia emplee más de t minutos en llegar es del 5%? Tiempo: 3 horas. Puntuación: Prob. 1: 2 5 pts., Prob. 2: 2 pts., Prob. 3: 2 5 pts., Prob. 4: 1 5 pts, Prob. 5: 1 5 pts.

12 Examen de Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia. 22 de Enero de Dada la función f(x) = x 1 +, se pide: x (a) Estudiar su dominio, crecimiento y decrecimiento, y asíntotas. (b) Calcular, razonadamente, el área de la figura delimitada por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = 0 y x = Dada la función f(x) = x 3 + px 2 + q, se pide: (a) Hallar las contantes p y q para que f(x) tenga un mínimo en x = 2 siendo f(2) = 3. (b) Suponemos a partir de ahora que p = 3 y q = 7, se pide: (i) Hallar razonadamente el número de raíces que posee f(x) en su dominio. (ii) Obtener justificadamente un intervalo donde se pueda aplicar el Método de Newton, con garantía de su convergencia, para aproximar la menor de las raíces obtenidas en el apartado anterior. 3. Un depósito contiene 1000 litros de agua sin contaminar. En t = 0 comienza a entrar en el depósito, a razón de 10 litros por minuto, agua contaminada con una concentración de 5 gramos de contaminante por litro; y la mezcla, bien disuelta instantáneamente, sale a la misma velocidad. Se pide: (a) Encontrar la cantidad de contaminante que hay en el depósito en cada instante. (b) Cuándo habrá 50 gramos de contaminante en el depósito? 4. Para abonar una parcela de huerta se necesitan al menos 8 kg. de nitrógeno y 12 kg. de fósforo. Se dispone de un producto A cuyo precio es de 0 24 euros/kg. y que contiene un 10 % de nitrógeno y un 30 % de fósforo. Existe en el mercado otro producto B que contiene un 20 % de nitrógeno y un 20 % de fósforo, y cuyo precio es de 0 18 euros/kg. (a) Representa gráficamente la región factible que corresponde a las restricciones de este ejercicio. (b) Qué cantidades se deben tomar de A y B para abonar la parcela con el menor gasto posible? 5. En una gasolinera se ha estudiado el número de vehículos que repostaron en un día, obteniéndose los siguientes resultados: Horas [0, 8) [8, 12) [12, 16) [16, 20) [20, 24] n i Se pide: (a) Dibujar el histograma. (b) Calcular la media aritmética, la varianza y la desviación típica. (c) Cuál es el porcentaje de coches que han repostado cuando han pasado 19 horas? A qué hora han repostado el 40 % de los coches? Tiempo: 3 horas y media. Puntuación: Problemas 1, 3 y 5: 2 ptos. Problema 2: 2 5 ptos. Problema 4: 1 5 ptos.

13 SOLUCIONES DEL EXAMEN DE ENERO DE ) (a) En este caso, para que la función tenga sentido necesitamos que x 0 para que la raíz cuadrada tenga sentido, y que 1 + x 0 para que el denominador no se anule. Este segundo caso nunca ocurre, así pues el dominio viene dado por la expresión: Dom(f) = [0, + ). Para estudiar la monotonía de la función, calculamos su derivada: f (x) = Luego f es creciente en (0, + ). Cálculo de asíntotas: Asíntotas verticales: No hay. 1 2 x (1 + x) x 1 2 x (1 + 1 = x) 2 2 x (1 + x) > 0 2 Asíntotas horizontales: son de la forma y = a, donde a = lim lim x + luego y = 1 es una asíntota horizontal. x + f(x). Notemos que: x 1 + x = + = (aplicando la regla de L Hôpital) + = lim x x 1 2 x = lim x 1 = 1, Asíntotas oblicuas: No hay ya que son incompatibles con las asíntotas horizontales. (b) Observemos que la función estudiada sólo se anula en el punto x = 0, de manera que en el intervalo [0, 1] siempre es positiva. Notemos que dicho área correspondería a la sección cerrada que aparece en la siguiente figura: x 1

14 2) Entonces, el área viene dada por: A = 1 0 f(x) dx = 1 0 x 1 + x dx = (haciendo el cambio de variable x = t 2 dx = 2tdt) = = t 2t dt = 1 + t 0 [ 2t t 2t 2 dt = (dividiendo) 1 + t ] dt = [ t 2 2t + 2ln 1 + t ] t=1 = ln 2 2 ln 1 = 2 ln(2) 1 = (a) Para que f(x) tenga un mínimo en x = 2, se tiene que verificar que f (x) = 0, es decir, x = 0 f (x) = 3x p x = 0 x (3x + 2p) = 0 x = 2p 3 = 2 luego p = 3. Es decir, f(x) = x 3 3x 2 + q. Como además, el valor de f en x = 2 debe ser 3, se debe verificar que f(2) = q = 4 + q = 3, luego q = 7. t=0 (b) Dados p = 3, q = 7, la función es entonces f(x) = x 3 3x (i) Para saber cuántas raíces posee, debemos estudiar su crecimiento: { f (x) = 3x 2 x = 0 6x = 3x(x 2) = 0 x = 2 De ello se deduce que la función es creciente en (, 0) (2, + ) y decreciente en (0, 2). Por tanto, alcanza un máximo relativo en el punto (0, 7) y un mínimo relativo en el punto (2, 3). Además, lim f(x) = +, lim x + f(x) =. x La representación gráfica de la función es la siguiente (observemos la situación del máximo y mínimo relativos): x

15 Por tanto, la ecuación posee una única raíz real. (ii) La raíz se encuentra en el intervalo (, 0). Procedemos a encontrar un intervalo más pequeño en el que podamos aplicar la regla de Fourier. Observemos que f( 1) = 3 > 0 y f( 2) = 13 < 0. Si consideramos el intervalo [ 2, 1], vemos que: f( 2) f( 1) < 0, f (x) 0 en todo el intervalo [ 2, 1], f (x) = 6x 6 < 0, x [ 2, 1]. Entonces, si tuviésemos que elegir el extremo x 0 del intervalo [ 2, 1] tal que signo(f(x 0 )) = signo(f (x 0 )), sería x 0 = 2. 3) Denotamos por y(t) la cantidad de contaminante en el agua en el minuto t. La cantidad inicial es 0 g/l 1000 l = 0 g, es decir, y(0) = 0. El depósito tiene 1000 litros, pero la cantidad de contaminante disuelto va variando, ya que a la concentración inicial se le está inyectando una disolución con otra concentración distinta. La variación de contaminante, y (t), viene dada por la diferencia entre la cantidad de contaminante a la entrada y a la salida por unidad de tiempo (minutos). Si llamamos c e a la concentración de contaminante en la disolución de entrada, c s a la concentración de contaminante en la disolución de salida, v e a la velocidad de entrada y v s a la velocidad de salida, entonces: Según los datos del problema, v e = v s = 10, c e = 5, y es decir, c s = y (t) = c e v e c s v s. cantidad de contaminante n o litros = y(t) volumen del depósito, y (t) = 5 10 y(t) 1 10 = y(t) (a) Por tanto, para encontrar la cantidad de contaminante que hay en el depósito en cada instante, tenemos que resolver la ecuación lineal: y (t) + 1 y(t) = Si consideramos que se trata de una ecuación lineal completa, la solución de la parte homogénea es y(t) = A e t 100. Buscamos entonces la solución de la ecuación lineal completa como y(t) = A(t) e t 100, de manera que: A (t) = 50 e t 100 A(t) = 5000 e t C, luego y(t) = 5000+C e t 100. Como y(0) = 0, entonces C = Finalmente, la evolución de la cantidad de sal en el depósito es: y(t) = 5000 (1 e t 100 ). (b) La cantidad de contaminante en el depósito será igual a 50 si se verifica que: ( ) 5000 (1 e t ) = 50 t = 100 ln = 1 005, 100 lo que corresponde a 1 minuto y 0 3 segundos.

16 4) Si analizamos la información, observamos que: Hay dos elementos que se mezclan: nitrógeno y fósforo. Hay dos productos distintos: A y B. Hay un precio para cada producto. Los ingresos corresponden a la venta de la cantidad de producto de tipo A y la cantidad de producto de tipo B. Por tanto, adjudicamos el valor x a la cantidad de producto A (en kg.), y el valor y a la cantidad de producto B (en kg.) Prestemos atención al siguiente cuadro: Cantidad de nitrógeno Cantidad de fósforo Precio Producto A 0 1 x 0 3 x 0 24 x Producto B 0 2 y 0 2 y 0 18 y Total 0 1 x+ 0 2 y x+0 2 y x y Por tanto, la función que queremos minimizar (función objetivo) es: F (x, y) = 0 24 x y. Para encontrar el mínimo de la función anterior, necesitamos dibujar el dominio limitado por las restricciones algebraicas que aparecen en el planteamiento del problema, y que en este caso son: x 0, y 0, 0 1 x y 8, 0 3 x y 12. (1) (a) En el dibujo siguiente la línea gruesa representa la recta x + 2 y = 80, y la más fina es 3 x + 2 y = 120. La zona sombreada representa el sector que verifica a la vez las cuatro condiciones de (1): y x

17 (b) Con esto, debemos abonar la parcela de huerta con el menor gasto posible. Observemos que la función F (x, y) no está acotada superiormente (luego no posee máximo), pero sí está acotada inferiormente (luego sí posee mínimo). Sabemos que el mínimo de la función se alcanza en uno de los vértices de la figura anterior. Dichos vértices son (0, 60), (20, 30) y (80, 0). Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de dichos puntos. El menor de los tres valores corresponderá al mínimo de dicha función: f(0, 60) = 10 8, f(20, 30) = 10 2, f(80, 0) = Así pues, el mínimo se alcanza en el punto (20, 30). Es decir, se tienen que comprar 20 kg. de producto A y 30 kg. de producto B para que abonar una parcela de una huerta con el menor gasto posible. 5) (a) En primer lugar, construimos la tabla de frecuencias absoluta, n i, y de alturas, h i : Horas Y dibujamos el histograma, que viene dado por: Frecuencia absoluta n i Altura h i [0, 8) [8, 12) [12, 16) [16, 20) [20, 24] ni horas (b) Para calcular la media aritmética, la varianza y la desviación típica de una variable cuantitativa continua, es necesario calcular las marcas de clase, c i. Completamos entonces la tabla anterior con dichas marcas:

18 Horas Frecuencia absoluta n i Altura h i Marcas c i [0, 8) [8, 12) [12, 16) [16, 20) [20, 24] Entonces, la media aritmética viene dada por la expresión: la varianza por: x = S 2 X = 5 c i n i i=1 y la desviación típica por: N = 5 (c i x) n i i=1 N = 5 c 2 i n i i=1 N x 2 = S X = S 2 X = 4 4 = 14 9, = (c) Completamos la tabla con los porcentajes simples y acumulados de cada hora: Frecuencia absoluta Porcentajes simples Horas Altura h n i Marcas c i i p i [0, 8) [8, 12) [12, 16) [16, 20) [20, 24] Porcentajes acumulados P i El porcentaje de coches que han repostado hasta las 19 horas se calcula usando la recta que une los puntos A = (16, 55) y B = (20, 90), que viene dada por la expresión: y 55 = 35 4 Si x = 19, entonces y = (19 16) = %. (x 16). Por el contrario, si queremos ver a qué hora han repostado el 40 % de los coches, usamos la recta que une los puntos C = (12, 25) y D = (16, 55), que viene dada por la expresión: y 25 = 30 (x 12). 4 Si y = 40, entonces x = (40 25) = 14 horas. 30

19 Examen de Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia. Jueves, 15 de Septiembre de 2005 Dada la función f(x) = a) Estudiar su dominio, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos y asíntotas. b) Calcular, razonadamente, el área de la figura delimitada por la curva y = f (x), el eje O X y las rectas x = O y x = Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm de altura cada uno y los laterales 1 cm. Qué dimensiones debe tener la hoja para que el gasto de papel sea mínimo? 3. El efecto medido en determinados tiempos de la concentración de una vacuna en sangre es el siguiente: tiempo (horas) concentración (mg/l) Hallar el polinomio de interpolación que pasa por dichos pares de valores. Usarlo para predecir cuál era la concentración a las 5 horas. 4. Hallar la solución particular del siguiente problema: l' 1 y' + -y = cosx, x.y(7r) = Una empresa farmacéutica tiene las siguientes restricciones a la hora de adquirir compuestos para sus productos: como máximo puede adquirir unidades anuales de un compuesto A y unidades de otro compuesto B. Por otro lado, la elaboración de un producto P1 requiere dos unidades de A y una de B, y el producto se vende a 3 euros. Un segundo producto, P2, requiere tres unidades de A y seis de B en su composición. El precio de venta de este producto es de 4 euros. Qué cantidades se deben producir de P1 y P2 para obtener el máximo beneficio? 6. Se ha realizado un estudio en cinco países tomando los datos de la expectativa de vida al nacer (X) y la renta per cápita en euros (Y), obteniéndose: Se pide: IXI y (a) Calcular el coeficiente de correlación lineal. Es razonable usar las recta de regresión para predecir la expectativa de vida al nacer en función de la renta per cápita? (b) Qué expectativa de vida al nacer se puede esperar en un país con una renta de 1000 euros? Tiempo: 3 horas y media. Puntuación: y-", 1 rroolemas 1,4, 5 Y 6: 2 ptas. Problemas 2 y 3: 1 pta.

20 1 Soluciones: Ejercicio 1. Como f(x) = (2-:1:)(2+:1:)' es claro que Dom(f) = IR. -{2, -2}. Además el signo de f es claro: negativo, positivo y negativo en los intervalos (-00, -2), (-2,2) y (2, +00) respectivamente. Su derivada es f'(x) = ~. De modo que su signo es positivo o negativo según el semieje de la recta real en que estemos. Completamos este análisis más tarde. Análisis de las asíntotas: como claramente y = O es asíntota horizontal (en ambas direcciones: x -t :f:oo), no hay asíntotas oblícuas. Las verticales son los valores que anulan el denominador: x = 2 y x = -2 ya que en ellos lim:l:-+:l:o f(x) = :f:oo con signos dados según el análisis anterior. En estos valores, 2 y -2, f no es continua ni, por tanto, derivable. Así, el signo de la derivada hay que interpretarlo del siguiente modo: f es decreciente en (-00, -2) y también lo es en (-2, O], mientras que es creciente en [0,2) yen (2, +00). Esta distinción es obligada hacerla, ya que la función no es decreciente en todo (-00, O] ni creciente en todo [0,00) (recuérdense las asíntotas y los saltos infinitos). Es obvio que la función no tiene mínimo ni máximo absoluto, aunque sí tiene un mínimo relativo en x = O. Para la integral, primero descomponemos la expresión racional del siguiente modo: De la expresión anterior, operando (igualando numeradores) obtenemos 1 = A(2 + x) + B(2 -x), de donde deducimos que Esto permite calcular fácilmente la integral: A = B = 1/4..dx = 1 -(in 12 + xl -in 12 -xl) = 1-in 1-2+X I x Así, el área que nos piden se obtiene aplicando la Regla de Barrow: x 1 1 o (2 -x)(2 + x) dx -[4 In 1:2""=-;-1]0 = 4 In3 '"" 0'2746.

21 A = (a + : )(b + 4), ~ ~f U~~ //~r.~gb.,p ~~/ di. - r 4 r;1~=~ Ejercicio 3 La tabla de valores permite construir por el Método de Diferencias Divididas el polinomio de interpolación asociado: O u con lo que la solución es p(x) = 0+ 12x -2x(x -2) = -2X2 + 16x = -2x(x -8). Haciéndolo por cualquier otro método, el resultado final ha de seguir siendo el mismo porque el polinomio de interpolación de grado menor o igual que 3 es único. Para responder a la pregunta, simplemente calculamos p(5) = 30. Luego la concentración en sangre a las 5 horas era 30 mg/l. Ejercicio 4. Dado el Problema de Cauchy y'+~y=cosx, Y(7r) = 1 multiplicamos por el factor integrante eln x (es decir, en este caso simplemente por x) y obtenemos o xy' + y = xcosx, de donde (xy)' = xcosx y por tanto xy =! XCO8X que, integrando por partes, implica f cosx + C xy = xsenx -senxdx = xsenx + cosx + C =>- y(x) = senx + -x -. Imponiendo la condición inicial, Jobtenemos que la solución al problema de Cauchy planteado es y(x) = sen x + cosx + 11" x

22 Ejercicio 5. Notamos x e y las cantidades que se producirán de los productos P1 y P2 respectivamente. La función a optimizar es el beneficio: 3x + 4y, sujeta a las restricciones: x ~ O, y ~ O, 2x + 3y ~ 2000 y x + 6y ~ En este caso, la región factible es la siguiente donde el punto de intersección de las dos rectas y = ~ -~x e y = 500 -~x es P(~, ~). El valor de la función que muestra el beneficio en los puntos candidatos (estos son (O, O), (0,500), (1000, O) y P) es (respectivamente) O, 2000, 3000 y 2777'77 respectivamente, lo que permite ver que el máximo se alcanza produciendo 1000 unidades del producto P1 y ninguna del producto P2. Ejercicio 6. Hacemos los cálculos previos estándar para obtener el coeficiente de correlación lineal: x = 54'2, Y = 770'2, s~ = 19'76, Sx = 4'44, s~ = 74278'16, Sy = 272'54, y finalmente la covarianza SXy = ~ -xy = 812'16. Ahora podemos calcular el coeficiente de correlación: r = -!..U:- = 0'67, que no es demasiado bueno, por tanto BXBy la información dada por las rectas de regresión no será del todo fiable. Usando y -y = ~(x -x) obtenemos que el valor que corresponde a y = 1000 es, despejando, x = 59'79, mientras que si usamos x -x = ~ se obtiene x = 56'71. Luego la expectativa de vida sería entre 56 y 59 años. BX By (y -y)

23 Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia. Curso 2005/06 Primera Prueba Intermedia de Seguimiento - 18 de noviembre de 2005 Examen Tipo A 1. (4 puntos) Se considera la siguiente función: f(x) = x 3 e x. (a) Estudia el dominio, simetrías, periodicidad, continuidad, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas de f(x). (b) Representa la gráfica de la función. 2. (2 puntos) Se considera la siguiente función: f(x) = ( 1 ln x + 1 senx, si 2π x 0, ), si 0 < x 2π. (a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f(x) en el intervalo [ 2π, 2π]. (b) Estudia los máximos y mínimos absolutos de la función anterior en dicho intervalo. 3. (3 puntos) Dada la ecuación f(x) = 0, con f(x) = xe x2 1, se pide: (a) Determinar el número de raíces de dicha ecuación y separarlas en intervalos disjuntos. (b) Obtener justificadamente un intervalo donde se pueda aplicar el Método de Newton, para aproximar la mayor de las raíces obtenidas en el apartado anterior. (c) Aplicar el método de Newton para aproximar dicha raíz, calculando hasta la segunda iteración Con cuantas cifras decimales hemos obtenido tal aproximación? Razona la respuesta. 4. (1 punto) Calcular las siguientes integrales: (a) (b) ln(x 6 ) x dx. x 3 cos(x 4 )dx. Tiempo: 3 horas.

24 1. Estudio y representación de f(x) = x 3 e x. (a) Estudia el dominio, simetrías, periodicidad, continuidad, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas de f(x). Resolución: La función es continua y derivable en todo su dominio, que es todo R. No tiene asíntotas verticales, simetrías ni comportamiento periódico. Sí tiene una asíntota horizontal en y = 0 ya que lim x x3 e x = 0 = lim x x 3 e x = L H lim x 3x 2 e x = L H lim x 6x e x = L H lim x 6 = 0. e x Sin embargo, lim x + f(x) = +, luego no tiene ahí asíntota horizontal. También es obvio que no tiene asíntota oblícua cuando x +. La derivada de la función, necesaria para estudiar el crecimiento y decrecimiento de ésta, es: f (x) = e x (x 3 + 3x 2 ) = e x x 2 (x + 3). Analizando el signo de f concluimos por tanto que f es decreciente en (, 3), f es creciente en ( 3, 0) y en (0, + ). En realidad, como f es continua, es creciente en todo ( 3, + ). Por tanto en x = 3 tiene un mínimo, no sólo relativo, sino también absoluto. La función no tiene máximo absoluto, ya que comprobamos antes que lim x + f(x) = +. Para el análisis de concavidad y convexidad y puntos de inflexión hacemos la derivada segunda: f (x) = e x (x 3 + 6x 2 + 6x) = e x x(x 2 + 6x + 6). Se puede comprobar que las raíces de la ecuación x 2 + 6x + 6 = 0 son 3 ± 3. De modo que el signo de f es: negativo en (, 3 3) (f cóncava), positivo en ( 3 3, 3 + 3) (f convexa), negativo en ( 3 + 3, 0) (f cóncava), positivo en (0, + ) (f convexa). Los puntos 3 3, y 0 son puntos de inflexión.

25 (b) Representa la gráfica de la función. Resolución: La gráfica de la función viene dada por: 2. (a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = en el intervalo [ 2π, 2π]. Resolución: La función es continua en [ 2π, 0) (0, 2π]. ocurre en x = 0: f (0) = f(0 ) = lim f(x) = lim x 0 f + (0) = f(0 + ) = lim f(x) = lim ln x 0 + x 0 + f(0) = 0 ( 1 ln x + 1 senx, si 2π x 0, ), si 0 < x 2π, Estudiamos separadamente lo que senx = 0 x 0 ( 1 x + 1 ) = 0 Entonces, f también es continua en x = 0. Por tanto, f es continua en [ 2π, 2π]. Estudiamos ahora la derivabilidad: la función es derivable en [ 2π, 0) (0, 2π], la derivada en esos puntos es: cosx si 2π x < 0; f (x) = 1 x + 1 si 0 < x 2π. Veamos qué ocurre en x = 0. Para ello, calculamos las derivadas laterales: f(0 + h) f(0) lim h 0 h f(0 + h) f(0) lim h 0 + h senh 0 = lim = 0 = (regla de L Hôpital) h 0 h 0 cosh = lim h 0 1 ln = lim h h+1 h 0 + = lim = 1 ( 1 h + 1 h 1 = 1. ) 0 = 0 0 = (regla de L Hôpital) Entonces, f no es derivable en x = 0. Por tanto, f sólo es derivable en [ 2π, 0) (0, 2π].

26 (b) Estudia los máximos y mínimos absolutos de la función anterior en dicho intervalo. Resolución: Como f : [ 2π, 2π] R es una función continua en [ 2π, 2π], se verifica el Teorema de Weierstrass y tenemos garantizada la existencia de máximo/s y mínimo/s absolutos. Para su estudio, seguimos los siguientes pasos: Puntos de ( 2π, 2π) donde la función es derivable y f (x) = 0. En nuestro caso, se trata de los puntos que verifican: x ( 2π, 0) (0, 2π), f (x) = 0, es decir, f (x) = 0 cosx = 0 si 2π < x < 0, 1 = 0 x + 1 si 0 < x < 2π, { x = π 2, 3π 2 si 2π < x < 0, no hay si 0 < x < 2π, } Puntos de ( 2π, 2π) donde f no es derivable. En nuestro caso, el candidato es x = 0. Los extremos del intervalo, es decir, x = 2π y x = 2π. Ahora calculamos la imagen de cada uno de los puntos de los apartados anteriores: ( f π ) ( = 1, f 3π ) ( ) 1 = 1, f(0) = 0, f( 2π) = 0, f(2π) = ln 1, π + 1 Por tanto, el máximo absoluto se alcanza en x = 3π ( ) 2 1 x = 2π y es ln 1, π + 1 La gráfica de f en dicho intervalo es: y es 1, y el mínimo absoluto se alcanza en

27 3. Dada la ecuación f(x) = 0, con f(x) = xe x2 1, se pide: a) Determinar el número de raíces de dicha ecuación y separarlas en intervalos disjuntos. b) Obtener justificadamente un intervalo donde se pueda aplicar el Método de Newton, para aproximar la mayor de las raíces obtenidas en el apartado anterior. c) Aplicar el método de Newton para aproximar dicha raíz, calculando hasta la segunda iteración Con cuantas cifras decimales hemos obtenido tal aproximación? Razona la respuesta. Resolución: a) Por un lado, la función f(x) = xe x2 1 está definida y es continua en R y verifica lim f(x) = +, lim x + f(x) =. x Por otro lado, estudiamos su crecimiento: f (x) = (2 x 2 + 1)e x2 está definida en R y f (x) > 0, x R. En consecuencia, la ecuación posee una única raíz real en R pues la función es estrictamente creciente en todo R y pasa de ser negativa a ser positiva. La representación gráfica de la función es la siguiente: b) Para aproximar dicha raíz, procedemos a continuación a encontrar un intervalo más pequeño en el que podamos aplicar el método de Newton. Haciendo cuentas, obtenemos primero que f(0) = 1 < 0 y f(1) = e > 0. Por tanto, la raíz que queremos aproximar se encuentra en el intervalo [0, 1]. Comprobamos ahora que en este intervalo se cumplen las hipótesis para poder aplicar el método de Newton. En concreto, probamos que en [0, 1] se verifica que: f(0) < 0 y f(1) > 0. f (x) > 0 en todo el intervalo [0, 1]. f (x) = (4 x x)e x2 = 2 x (2x 2 + 3) e x2 0, x [0, 1]. Entonces, el extremo x 0 del intervalo [0, 1] que verifica signo(f(x 0 )) = signo(f (x 0 )) es x 0 = 1, que es el punto que debemos elegir para iniciar el método de Newton. c) Para aproximar la raíz que está en el intervalo [0, 1], aplicamos el método de Newton, comenzando en x 0 = 1 y obtenemos, hasta la segunda iteración: x 0 = 1 x 1 = x 2 =

28 Observamos que x 1 y x 2 no coinciden en ninguna cifra decimal y, por tanto, no podemos afirmar que x 2 aproxime con ninguna cifra exacta la raíz de la ecuación f(x) = 0. Sin embargo, si calculamos una iteración más, vemos que x 3 = , luego resulta que al menos tenía una cifra exacta. 4. Calcular las siguientes integrales: (a) (b) ln(x 6 ) x dx. x 3 cos(x 4 )dx. Resolución: ln(x 6 ) ln(x) x dx = 6 x dx = 3 2ln(x) 1 x dx = 3(ln(x))2 + C. x 3 cos(x 4 )dx = 1 4x 3 cos(x 4 )dx = sen(x4 ) + C.

29 Matemática Aplicada. Licenciatura de Farmacia. Curso 2005/06 Primera Prueba Intermedia de Seguimiento - 18 de noviembre de 2005 Examen Tipo B 1. (4 puntos) Se considera la siguiente función: f(x) = x x 2 1. (a) Estudia el dominio, simetrías, periodicidad, continuidad, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas de f(x). (b) Representa la gráfica de la función. 2. (2 puntos) Dada la función f(x) = { e 2x, 2 x 0, sen(x + π/2), 0 < x π. (a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f(x) en el intervalo [ 2, π]. (b) Estudia los máximos y mínimos absolutos de la función anterior en dicho intervalo. 3. (3 puntos) Dada la ecuación f(x) = 0, con f(x) = 6ln(x + 2) x 2 1, se pide: (a) Determinar el número de raíces de dicha ecuación y separarlas en intervalos disjuntos. (b) Obtener justificadamente un intervalo donde se pueda aplicar el Método de Newton, para aproximar la mayor de las raíces obtenidas en el apartado anterior. (c) Aplicar el método de Newton para aproximar dicha raíz, calculando hasta la segunda iteración Con cuantas cifras decimales hemos obtenido tal aproximación? Razona la respuesta. 4. (1 punto) Calcular las siguientes integrales: (a) x 5x 2 1dx. (b) x 2 sen(x 3 )dx. Tiempo: 3 horas.

30 1. Estudio y representación de f(x) = x x 2 1. (a) Estudia el dominio, simetrías, periodicidad, continuidad, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas de f(x). Resolución: La función tiene dominio dom f = R { 1, 1}. Es continua en su dominio. En los valores x = ±1 tiene asíntotas verticales. Además tiene asíntota horizontal y = 0 ya que lim x ± f(x) = 0. Por tanto no tiene sentido buscar asíntotas oblícuas. Se comprueba fácilmente que es simétrica impar, y que no posee ningún tipo de periodicidad. El único punto de corte con los ejes es el (0, 0). Para ver su crecimiento y decrecimiento, observemos que f (x) = x2 1 2x 2 (x 2 1) 2 = x2 + 1 (x 2 1) 2. Por tanto, f es derivable en su dominio de definición, y el signo de la derivada es, siempre que existe, negativo. Esto implica que f es decreciente en los intervalos (, 1), ( 1, 1) y (1, + ). Por el estudio de las asíntotas y lo anterior, sabemos que f no posee ni máximos ni mínimos relativos ni absolutos. Para ver concavidad y convexidad y puntos de inflexión, téngase en cuenta que f (x) = 2x(x2 1) 2 2(x 2 1)2x(x 2 + 1) (x 2 1) 4 = 2x(x2 1) 4x(x 2 + 1) (x 2 1) 3 = 2x3 2x 4x 3 4x (x 2 1) 3 = 2x3 + 6x (x 2 1) 3 = 2x(x2 + 3) (x 2 1) 3. Así pues, el signo de la derivada segunda es negativo en (, 1) y (0, 1), positivo en ( 1, 0) y (1, + ). El único cambio de signo de f donde f sea continua es en x = 0, que es por tanto un punto de inflexión.

31 (b) Representa la gráfica de la función. Resolución: La gráfica de la función viene dada por: { e 2x, 2 x 0, 2. (a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = en sen(x + π/2), 0 < x π. el intervalo [ 2, π]. Resolución: La función es continua en [ 2, 0) (0, π]. Estudiamos separadamente lo que ocurre en x = 0: f (0) = f(0 ) = lim f(x) = lim x 0 x 0 e 2x = 1 f + (0) = f(0 + ) = lim f(x) = lim sen(x + π/2) = 1 x 0 + x 0 + f(0) = 1 Entonces, f también es continua en x = 0. Por tanto, f es continua en [ 2, π]. Estudiamos ahora la derivabilidad: la función es derivable en [ 2, 0) (0, π], la derivada en esos puntos es: f (x) = { 2 e 2x si 2 x < 0; cos(x + π/2) si 0 < x π. Veamos qué ocurre en x = 0. Para ello, calculamos las derivadas laterales: f(0 + h) f(0) lim h 0 h f(0 + h) f(0) lim h 0 + h e 2h 1 = lim = 0 = (regla de L Hôpital) h 0 h 0 = lim h 0 2 e 2h 1 = 2 sen(h + π/2) 1 = lim = 0 = (regla de L Hôpital) h 0 + h 0 cos(h + π/2) = lim = 0. h Entonces, f no es derivable en x = 0. Por tanto, f sólo es derivable en [ 2, 0) (0, π].

32 (b) Estudia los máximos y mínimos absolutos de la función anterior en dicho intervalo. Resolución: Como f : [ 2, π] R es una función continua en [ 2, π], se verifica el Teorema de Weierstrass y tenemos garantizada la existencia de máximo/s y mínimo/s absolutos. Para su estudio, seguimos los siguientes pasos: Puntos de ( 2, π) donde la función es derivable y f (x) = 0. En nuestro caso, se trata de los puntos que verifican: x ( 2, 0) (0, π), f (x) = 0, es decir, f (x) = 0 { 2 e 2x = 0 si 2 < x < 0, cos(x + π/2) = 0 si 0 < x < π, Vemos que no hay ningún punto que verifique ninguna de la dos condiciones anteriores. Puntos de ( 2, π) donde f no es derivable. En nuestro caso, x = 0. Los extremos del intervalo, es decir, x = 2 y x = π. Ahora calculamos la imagen de cada uno de los puntos de los apartados anteriores: f(0) = 1, f( 2) = e 4, f(π) = 1. Por tanto, el máximo absoluto se alcanza en x = 2 y es e 4, y el mínimo absoluto se alcanza en x = π y es 1. } La gráfica de f en dicho intervalo es: