Autores: Julián N. Azar Isaac y María Elena Aldana Ortiz.

Transcripción

1 1. Antecedentes de la Geometría Analítica Autores: Julián N. Azar Isaac y María Elena Aldana Ortiz. 1.1 Evolución histórica Te has preguntado alguna vez, quiénes fueron los científicos matemáticos y filósofos que nos aportaron sus conocimientos e investigaciones para desarrollar la ciencia que hoy conocemos como Geometría Analítica? Realizar un análisis histórico del desarrollo de la Geometría Analítica hasta obtener su carácter de ciencia, nos sirve, para conocer las ideas y concepciones antiguas que dieron origen a esta ciencia, que han soportado el paso del tiempo, ya que, se emplean actualmente para tratar de resolver problemas que nos afectan. En esta sección no se pretende hacer una reseña cronológica de la historia de las matemáticas, sino comentar los hechos más sobresalientes y aportaciones de algunos de los grandes filósofos y matemáticos que contribuyeron al desarrollo de la Geometría Analítica, como: Menecmo, Apolonio, Descartes, etc. En la historia de las matemáticas, el siglo XVII es señalado como un período de importantes acontecimientos que contribuyeron a que la ciencia lograra notables avances en todas las áreas. En esta época, llamada de la Matemática Moderna, se suscitaron los siguientes hechos: el descubrimiento de la Geometría Analítica de Fermat y Descartes, del Cálculo Diferencial e Integral de Newton y Leibniz, el Análisis Combinatorio y la teoría de las Probabilidades de Fermat y Pascal, la Aritmética Superior de Fermat, la Dinámica de Galileo y de Newton y la Gravitación Universal de Newton.

2 Quién crees qué es reconocido como el principal precursor de la Geometría Analítica? En lo referente a la Geometría Analítica, podemos citar como precursores a los franceses Descartes y Fermat, que trabajando en forma separada coincidieron en la aplicación y desarrollo de los conceptos y métodos geométricos que fundamentan esta ciencia. Los principales matemáticos y filósofos que contribuyeron al desarrollo de la Geometría Analítica son: 1. Se atribuye a Menecmo (hacia 350 a.c.), de la Academia platónica, la introducción de los términos de secciones cónicas, para referirse a las curvas que después recibieron el nombre de elipse, parábola e hipérbola. Durante más de ciento cincuenta años, estas curvas se llamarían a partir de la descripción de cómo habían sido descubiertas, es decir, sección (trazando perpendiculares a una generatriz) de cono acutángulo, rectángulo y obtusángulo para referirse a la elipse, a la parábola y a la hipérbola, respectivamente. 2. Apolonio de Pérgamo ( a. C.) quien realizó el trabajo Las Cónicas, en el que ya se percibe el uso de coordenadas, también clasificó a estas curvas en elipses, hipérbolas y parábolas. Figura 1.1. Apolonio de Pérgamo

3 Descubrió que las cónicas poseen las llamadas propiedades de reflexión, por lo que fue capaz de construir espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos según sea la forma de la curva cónica que gira alrededor de su eje. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de tal forma que los rayos incidentes sean paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada se concentra en el foco; cuenta una leyenda que durante la batalla entre griegos y romanos llevada a efecto para defender Siracusa, Arquímedes ( a.c.) logró incendiar las naves romanas usando las propiedades de reflexión de los espejos parabólicos. 3. René Descartes ( ) filósofo y matemático, nace en el seno de una familia que perteneció a la nobleza francesa. Huérfano de madre, queda al cuidado de su padre. Recibió una amplia educación en el área humanística en el colegio de jesuitas de la Fleche. Figura 1.2. René Descartes Descartes estudió matemáticas, en forma autodidacta, durante los años que vivió en París. En 1617 se unió al ejército, prestando sus servicios como oficial. En 1621 abandona su carrera militar y se traslada a Holanda, deseoso

4 de llevar una vida tranquila, siendo esta etapa de su existencia en la que se da a conocer la grandeza de su pensamiento. Sus ideas y su fama se difundieron por toda Europa a través de la correspondencia que sostenía con el padre Mersenne (francés, ) que actuó como intermediario entre los intelectuales franceses y Descartes, en un intento de este gran genio por evadir las censuras por parte de algunas autoridades académicas y eclesiásticas de esa época. En el año de 1637, Descartes publicó la obra Geometrie, que consta de tres libros, siendo el segundo el más importante en el cual, Descartes expresa su novedoso y revolucionario método geométrico: Una curva en un plano queda definida por alguna propiedad determinada que sea válida para todos y cada uno de los puntos de la curva Descartes establece una correspondencia entre las curvas planas y las ecuaciones de dos variables; para cada curva hay una ecuación determinada f(x, y) = 0, y para cada ecuación f(x, y) = 0 existe una curva determinada, de esta manera, Descartes proporciona una interpretación geométrica al álgebra y la geometría la transforma a álgebra, valiéndose de un sistema coordenado en los que establece una correspondencia biunívoca entre puntos y números reales. En 1649, aceptando una invitación de la reina Cristina de Suecia se trasladó a Estocolmo, lugar donde falleció a los pocos meses de su llegada a causa de una neumonía.

5 4. Pierre de Fermat ( ), nació en Francia. Estudió derecho y ejerció su profesión como consejero del parlamento de Toulouse. Por su gran afición a las matemáticas, se dio a la tarea de leer las obras maestras de las matemáticas griegas. Figura 1.3. Pierre de Fermat Fermat limitó la publicación de sus brillantes métodos matemáticos, debido a su gran modestia, ya que sus descubrimientos eran conocidos sólo por algunos de sus amigos más cercanos, Pascal (padre), Roverval, Mersenne, Carcavi y otros. En la invención de la Geometría Analítica, Fermat precedió a Descartes, pero debido a que los trabajos que elaboró en 1629, los dio a conocer hasta 1636, y siendo estos publicados hasta 1679, cuando Fermat ya había fallecido, es por eso que algunos autores consideran a Descartes como el inventor de esta ciencia. En 1629 Fermat ya había comunicado haber encontrado la ecuación general de la línea recta, la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y las ecuaciones de la elipse, la parábola y la hipérbola rectangular. Elaboró un método para encontrar las tangentes a la curva cuando éstas son paralelas al eje x, que bien puede considerarse como un ingenioso antecedente para el Cálculo Diferencial de Newton.

6 5. Gottfried Wilhelm Leibniz ( ), fue el primer científico en utilizar la palabra función (1694), para denominar a cualquier cantidad relacionada con una curva, como por ejemplo las coordenadas de algún punto o la pendiente de dicha curva. Figura 1.4. Gottfried Wilhelm Leibniz 6. Isaac Newton ( ), en su obra, "Enumeración de las Curvas de Tercer Orden", publicada en 1704, clasificó a las curvas según el número posible de puntos de intersección con una recta. Lo verdaderamente importante de esta obra, por su aportación a la Geometría Analítica fue el descubrimiento de las nuevas posibilidades del método de coordenadas, definiendo los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano. Figura 1.5. Isaac Newton 7. Leonhard Euler ( ), empleó la palabra función para describir cualquier expresión con variables y varias constantes (alrededor de 1734) e introdujo la notación y = f(x), en las ciencias matemáticas. Proporcionó a la

7 geometría analítica un aspecto próximo al actual, en su obra del segundo tomo de "Introducción al Análisis" (1748). Figura 1.6. Leonhard Euler 8. Le precedió sólo Alexis Claude Clairaut ( ) que extendió la geometría analítica al espacio tridimensional mediante la introducción de un sistema de tres ejes coordenados rectangulares. Figura 1.7 Alexis Claude Clairaut 9. La denominación, a esta ciencia como geométrica analítica, fue introducida por primera vez por el matemático francés Silvestre Francois Lacroix ( ) a finales del siglo XVIII. El surgimiento de la geometría analítica, aligeró sustancialmente la formación del análisis infinitesimal y se convirtió en un elemento imprescindible para la construcción de la mecánica de Newton, Lagrange y Euler, significando la aparición de las posibilidades para la creación del análisis de variables.

8 Recuerda que Con el trabajo y la inteligencia de genios matemáticos como Descartes y Fermat fue posible recobrar las aportaciones matemáticas del precursor Apolonio creando un método nuevo, ordenado, sistemático y general para resolver problemas, originando con ello lo que hoy conocemos como Geometría Analítica