UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA Facultad de Ciencias Exactas y Naturales DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMA DEL CURSO MEDIDA E INTEGRACIÓN Aprobado en el Consejo de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, por Acuerdo No. 10 del 28 de Agosto de 2002 NOMBRE DE LA MEDIDA E INTEGRACIÓN MATERIA PROFESOR Jairo Eloy castellanos Ramos OFICINA HORARIO DE CLASE HORARIO DE ATENCION INFORMACION GENERAL Código de la materia CNM-? Semestre Área Cursos Básicos Horas teóricas semanales Horas teóricas semestrales 6 No. de Créditos 5 Campo de formación Análisis Validable Habilitable Sí Clasificable Homologable Sí Requisitos Un buen curso de cálculo avanzado (manejo de la teoría de conjuntos, espacios métricos, continuidad y convergencia uniforme). Correquisitos Ninguno Programa a los cuales se Doctorado en Matemáticas ofrece la materia

2 INFORMACION COMPLEMENTARIA Página 2 de Propósito del curso: Justificación: Objetivo General: Objetivos Específicos: Facilitar a los estudiantes de diversas ramas del Análisis actual (ecuaciones diferenciales, análisis de Fourier, teoría de la probabilidad, análisis funcional) el acceso a las herramientas fundamentales que se relacionan con la medida e integración con rapidez y eficacia. La teoría de la Medida e Integración es imprescindible en la formulación abstracta de una gran variedad de problemas, tanto de la Matemática Aplicada (ecuaciones diferenciales, problemas de optimización) como procedentes directamente del Análisis Matemático. En este curso se desarrollan los principios fundamentales y los resultados más importantes de la teoría de de la Teoría de la Medida e integración, en conexión directa con otras ramas del Análisis Matemático, como el Análisis Matemático superior (Variable Compleja, Análisis Armónico, Ecuaciones Diferenciales y Análisis Funcional). Se ofrece un programa bastante amplio y general que podrá concretarse en función de la formación previa de los alumnos. El estudio de esta asignatura debe favorecer la maduración matemática de los alumnos, así como proporcionarles un amplio conocimiento de la Teoría de la Medida e integración. Pretendemos que los estudiantes sean capaces de definir los conceptos, enunciar los teoremas y exponer las demostraciones con precisión y rigor. También queremos que desarrollen la capacidad de relacionar conceptos distintos y que se familiaricen con las técnicas de trabajo propias de la Teoría de la Medida e Integración, indispensable para el estudio de la Teoría de Probabilidades y el Análisis Matemático superior (Variable Compleja, Análisis Armónico, Ecuaciones Diferenciales y Análisis Funcional). Complementar la formación y el pensamiento abstracto necesario en estudiantes de ciencias. - Entender las deficiencias de la integral de Riemann estudiada en cursos anteriores y verán la necesidad de introducir mejoras; - Conocer los procesos de construcción de la Medida de Lebesgue y de las medidas de Lebesgue-Stieltjes, mediante la aplicación del Teorema de Caratheodory;

3 Contenido resumido - Conocer el concepto de función medible y serán capaces de estudiar los diferentes modos de convergencia de sucesiones de funciones medibles concretas; - Conocer la definición de función integrable y sabrán determinar si una función dada es o no es integrable; - Conocer los teoremas de convergencia monótona y convergencia dominada y los aplicarán a sucesiones y series de funciones medibles concretas; - Conocer y aplicarán las técnicas de cálculo de integrales de Lebesgue múltiples: Teorema de Fubini, cambios de variables y diferenciación de integrales paramétricas. 1. Medida Abstracta. 2. Medida exterior y medibilidad. La integral de Lebesgue. 3. El teorema de extensión. Los teoremas de Egoroff e Lusin. 5. Integración. 6. Relación entre las integrales de Lebesgue y de Riemann propia e impropia. 7. Teoremas de Convergencia. 8. Medida Producto. El teorema de Fubini. 9. Medidas com signo y medidas complejas. 10. Continuidad absoluta. 11. Teoremas de Decomposiçión. 12. El teorema de Radon-Nikodym. 13. El teorema de Diferenciación de Lebesgue. El Teorema Fundamental del Cálculo para la Integral de Lebesgue. 1. Los espacios Lp. 15. El dual de los espaços Lp, p mayor o igual a 1 y p menor que mas infinito. 16. El teorema de representación de Riesz (el dual de Co(X)). 17. Series trigonométricas. Convergencia en L2 de las series de Fourier. 18. Transformada de Fourier. Producto de Convolución. Aplicación a las Ecuaciones Diferenciales Parciales. Página 3 de

4 Página de UNIDADES DETALLADAS Unidad No. 1 Subtemas No. de semanas que se le dedicarán a esta unidad 1. Medida Abstracta. 2. Medida exterior y medibilidad. La integral de Lebesgue. 3. El teorema de extensión. Los teoremas de Egoroff e Lusin. Folland, G. B., REAL ANALYSIS, J. Wiley and Sons 198 Unidad No. 2 Subtemas No. de semanas 5. Integración. 6. Relación entre las integrales de Lebesgue y de Riemann propia e impropia. 7. Teoremas de Convergencia. 8. Medida Producto. El teorema de Fubini. 3

5 Página 5 de Folland, G. B., REAL ANALYSIS, J. Wiley and Sons 198 Unidad No. 3 Subtemas 9. Medidas com signo y medidas complejas. 10. Continuidad absoluta. 11. Teoremas de Decomposiçión. 12. El teorema de Radon-Nikodym. 13. El teorema de Diferenciación de Lebesgue. El Teorema Fundamental del Cálculo para la Integral de Lebesgue. No. de semanas 3

6 Folland, G. B., REAL ANALYSIS, J. Wiley and Sons 198 Página 6 de Unidad No. Subtemas Poder y dominación 13. El teorema de Diferenciación de Lebesgue. El Teorema Fundamental del Cálculo para la Integral de Lebesgue. 1. Los espacios Lp. 15. El dual de los espaços Lp, p mayor o igual a 1 y p menor que mas infinito. 16. El teorema de representación de Riesz (el dual de Co(X)). No. de semanas 3 Folland, G. B., REAL ANALYSIS, J. Wiley and Sons 198

7 Unidad No. 5 Página 7 de Subtemas No. de semanas 17. Series trigonométricas. Convergencia en L2 de las series de Fourier. 18. Transformada de Fourier. Producto de Convolución. Aplicación a las Ecuaciones Diferenciales Parciales. 3 Folland, G. B., REAL ANALYSIS, J. Wiley and Sons 198 METODOLOGÍA : Conferencia magistral. Seminarios por parte de los estudiantes. Asignación de Tareas a los estudiantes. EVALUACIÓN

8 Página 8 de Actividad Porcentaje Fecha (día, mes, año) Exámenes Trabajos Exposiciones Actividades de asistencia obligatoria: Todas.