Muestras longitudinales con correlación serial Paneles autorregresivos. Paneles dinámicos. Gabriel Montes-Rojas

Transcripción

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2 Dos modelos que dan lugar a paneles dinámicos: (1) Muestra longitudinal y it = x it β + µ i + δ t + ν it o AR(1) : MA(1) : ν it = αν it 1 + ɛ it ν it = ɛ it + αɛ it i = 1, 2,..., N; t = 1, 2,..., T ; α < 1 (2) : y it = αy it 1 + x it β + µ i + δ t + ν it i = 1, 2,..., N; t = 1, 2,..., T ; α < 1 En el caso (1) nos interesa estimar la estructura de varianzas y covarianzas. En el (2) eliminar el sesgo dinámico.

3 Dos fuentes de persistencia: 1 Autocorrelación, persistencia dinámica, state dependence: α Ej: costos de ajustes, costos hundidos, shocks económicos (terremotos, guerras). 2 Efectos individuales, individual heterogeneity: µ Ej: abilidad, tecnología, instituciones. 3 Ver Bera, Sosa-Escudero y Yoon (2001), Zincenko, Sosa-Escudero, y Montes-Rojas (2014). - Comparación con VAR (Vector Autoregressive). Los paneles dinámicos son más parsimoniosos. - Ventajas cuando T fija y se explota la variación en N.

4 Corto plazo vs. largo plazo La estructura dinámica permite distinguir corto de largo plazo. β es el efecto contemporáneo corto plazo de x en y en t; sin embargo el efecto en t tendrá un efecto en t + 1, t + 2, etc. por el rezago de la variable dependiente; el efecto de largo plazo se calcula como β 1 α (asumiendo α < 1) La ventaja de los paneles dinámicos es que permite tener un modelo de la dinámica de ajuste.

5 Muestras longitudinales con correlación serial

6 Los errores estándar están mal calculados... Por qué es importante controlar por correlación serial? - Bertrand, M., Duflo, E., and Mullainathan, S. (2004). How much should we trust differences-in-differences estimates?, Quarterly Journal of Economics 119(1), Cameron, C., and Miller, D.L. (2015). A practicioner s guide to cluster-robust inference, Journal of Human Resources 50(2),

7 Identificación (Arellano, 2002, pp.58-60) Supongamos un panel corto con T = 2 pero N grande: {(y i1, y i2 )} N i=1. Modelo de efectos aleatorios one-way (heterogeneidad pura) con error y it = µ i + ν it tendría la siguiente estructura de varianzas y covarianzas: var(y i1 ) = var(y i2 ) = σ 2 µ + σ 2 ν cov(y i1, y i2 ) = σ 2 µ. Modelo homogéneo con correlación serial y it = η + ν it donde ν it = αν it 1 + ɛ it, η constante, ɛ iid(0, σ 2 ɛ ), ν i1 iid(0, σ 2 ν ) con σ 2 ν = σ 2 ɛ /(1 α 2 ) tendría la siguiente estructura de varianzas y covarianzas: var(y i1 ) = var(y i2 ) = σ 2 ν cov(y i1, y i2 ) = ασ 2 ν.

8 Identificación (Arellano, 2002, pp.58-60) T = 2 cont. En los dos modelos la autocorrelación puede distinguir uno de otro. cov(y i1,y i2 ) es constante... no se var(yi1 )var(y i2 ) Un modelo combinado con heterogeneidad y correlación serial: var(y i1 ) = var(y i2 ) = σ 2 µ + σ 2 ν cov(y i1, y i2 ) = σ 2 µ + ασ 2 ν.

9 Identificación (Arellano, 2002, pp.58-60) Supongamos un panel corto con T = 3 pero N grande: {(y i1, y i2, y i3 )} N i=1. Modelo de efectos aleatorios one-way (heterogeneidad pura) con error y it = µ i + ν it tendría la siguiente estructura de varianzas y covarianzas: var(y i1 ) = var(y i2 ) = var(y i3 ) = σ 2 µ + σ 2 ν cov(y i1, y i2 ) = cov(y i1, y i3 ) = cov(y i2, y i3 ) = σ 2 µ. Este modelo lo podemos llamar de equicorrelación, donde la correlación intra-cluster IC = σ 2 µ/(σ 2 µ + σ 2 ν ). Modelo homogéneo con correlación serial y it = η + ν it donde ν it = αν it 1 + ɛ it, η constante, ɛ iid(0, σ 2 ɛ ), ν i1 iid(0, σ 2 ν ) con σ 2 ν = σ 2 ɛ /(1 α 2 ) tendría la siguiente estructura de varianzas y covarianzas: var(y i1 ) = var(y i2 ) = σ 2 ν cov(y i1, y i2 ) = ασ 2 ν, cov(y i1, y i3 ) = α 2 σ 2 ν

10 Identificación (Arellano, 2002, pp.58-60) T = 3 cont. Un modelo combinado con heterogeneidad y correlación serial: var(y i1 ) = var(y i2 ) = var(y i3 ) = σ 2 µ + σ 2 ν cov(y i1, y i2 ) = cov(y i2, y i3 ) = σ 2 µ + ασ 2 ν pero cov(y i1, y i3 ) = σ 2 µ + α 2 σ 2 ν Este modelo está exactamente identificado y por lo tanto podemos distinguir uno de otro.

11 Identificación (Arellano, 2002, pp.58-60) generelización En general, persistencia medida a través de la autocorrelación combina dos fuentes diferentes: donde λ = σ 2 µ/σ 2 ν. ρ = σ2 µ + ασ 2 ν σ 2 µ + σ 2 ν = α + (1 α)σ2 µ σ 2 µ + σ 2 ν = α + (1 α)λ 1 + λ,

12 Si usamos efectos aleatorios o fijos... El modelo de efectos aleatorios es un caso particular de las posibles correlaciones intra-cluster. Este modelo es en realidad uno de equicorrelación, donde la correlación entre observaciones del mismo individuo a lo largo del tiempo es constante. - Montes-Rojas, G. (2016). An equicorrelation Moulton factor in the presence of arbitrary intra-cluster correlation, Economics Letters 145,

13 Si usamos efectos aleatorios o fijos... Supongamos el siguiente modelo de ejemplo: y it = x it β + ν it, ν it = ɛ it + αɛ it 1, 0 < α < 1, ɛ i0 = 0, i = 1, 2,..., N, t = 1, 2,..., T. Esto es una estructura MA(1) con ɛ i.i.d.(0, σɛ 2 ).

14 Si usamos efectos aleatorios o fijos... Definamos λ 2 ν = σ 2 ν (1 ρ ν ), λ 2 µ = σ 2 ν ρ ν = 2/T ασ 2 ɛ, ρ ν = 2/T α 1+α 2 (note el factor 1/T ), y λ 2 µ + λ 2 ν = σ 2 ν = (1 + α 2 )σ 2 ɛ. Definamos la correlación intra-cluster IC = ρ ν = λ2 µ λ 2 µ + λ 2 = 2/T α ν (1 + α 2 ) Nuestro objetivo es calcular la varianza del estimadore de OLS, V ( ˆβ x): ˆβ = N i=1 T t=1 y it x it N i=1 T t=1 x 2 it

15 Si usamos efectos aleatorios o fijos... V 0 := V 0 ( ˆβ x) es la varianza OLS estándar: V 0 = (1 + α2 )σɛ 2 N i=1 T t=1 xit 2 ( ) 2 = (λ2 µ + λ 2 ν) N i=1 T t=1 xit 2 ( ) 2. N i=1 T t=1 xit 2 N i=1 T t=1 xit 2 V 1 := V 1 ( ˆβ x) es la varianza correcta: V 1 = (1 + α2 )σɛ 2 N i=1 T t=1 xit 2 + 2ασ2 ɛ N i=1 T t=2 x it x it 1 ( ) 2 N i=1 T t=1 xit 2 = (λ2 µ + λ 2 ν) N i=1 T t=1 xit 2 + λ2 µt N i=1 T t=2 x it x it 1 ( ) 2. N i=1 T t=1 xit 2 V 2 := V 2 ( ˆβ x) es la varianza de un modelo de equicorrelación: V 2 = (λ2 µ + λ 2 ν) N i=1 T t=1 xit 2 + 2λ2 µ N i=1 T t=1 1 T j=t+1 x itx ij ( ) 2. N i=1 T t=1 xit 2

16 Si usamos efectos aleatorios o fijos... Definamos ρ (1) x = 1 N(T 1) N i=1 T t=2 x it x it 1 y ρ (T ) x = 2 NT (T 1) N i=1 T 1 t=1 T j=t+1 x itx ij. El factor de Moulton (1986,1987,1990) es (usar OLS cuando hay correlación entre errores) V 1 V 0 = 1 + IC (T 1)ρ (1) x. Si asumimos que IC > 0 y ρ x (1) > 0 entonces OLS subestima la varianza (resultado esperado), o sea, V 1 V 0. Ahora si comparamos V IC (T 1)ρ(1) x = V IC (T 1)ρ x (T ). Si asumimos que IC > 0 y ρ x (1) > ρ x (T ) entonces RE subestima la varianza, o sea, V 1 V 2.

17 Contrastes para efectos aleatorios vs. correlación serial - Baltagi, B. H., and Li, Q. (1991). A joint test for serial correlation and random individual effects. Statistics and Probability Letters 11, Baltagi, B. H., and Li, Q. (1995). Testing AR(l) against MA(l) disturbances in an error component model. Journal of Econometrics 68, Bera, A., Sosa-Escudero, W., and Yoon, M. (2001). Tests for the error component model in the presence of local misspecification. Journal of Econometrics 101, Bera, A., and Sosa-Escudero, W. (2008). Tests for unbalanced error-components models under local misspecification. STATA Journal 8(1), http: // www. stata-journal. com/ sjpdf. html? articlenum= sg164_ 1

18 Estimación Muestras longitudinales con correlación serial (Baltagi, 2008, cap.5, pp.92-94, Baltagi y Wu, 1999) Consideremos un modelo y it = x it β + µ i + δ t + ν it, AR(1) : ν it = αν it 1 + ɛ it, ɛ i.i.d.(0, σ 2 ɛ ), µ i.i.d.(0, σ 2 µ), ν i0 iid(0, σ 2 ν ), σ 2 ν = σ 2 ɛ /(1 α 2 ), i = 1, 2,..., N; t = 1, 2,..., T ; α < 1 La estrategia es: (1) obtener un estimador del parámetro de AR(1); (2) transformar los residuos para que queden sin correlación; (3) estimar la varianza.

19 Estimación Muestras longitudinales con correlación serial (Baltagi, 2008, cap.5, pp.92-94, Baltagi y Wu, 1999) 1 Construir los residuos de un modelo simple de FE, { ν} it. 2 Estimar α = NT N(T 1) N i=1 T t=2 ν it ν it 1 N i=1 T. t=1 ν2 it 3 Eliminar AR(1) aplicando la transformación C α a los residuos: Equivalente a ã ijt = (1 α 2 ) 1/ α C α = α α 1 (1 α 2 ) 1/2 [ ( 1 1 α 2 ) 1/2 aijt 4 Construir decomposición espectral (no tan fácil). (1 α 2 ) 1/2 a ijt if t = 1 ( ) ] α 2 1/2 1 α 2 aijt 1 if t > 1.

20 Estimación Muestras longitudinales con correlación serial Podemos entonces resumir las siguientes estrategias para obtener errores estándar correctos: Los errores estándar de OLS son incorrectos porque no toman en cuenta la correlación intra-cluster. Los errores estándar de RE son incorrectos porque asumen que la correlación es constante intra-cluster (equicorrelación). Habría entonces que identificar la estructura correcta de la matriz correlaciones de los errores. 1 Una posibilidad es estimar la autocorrelación (AR o MA), luego los efectos aleatorios. 2 Otra alternativa es usar clusters y errores robustos. Angrist y Pischke (2009, ch.8) The clustered variance estimator [...] is consistent as the number of groups gets large under any within-group correlation structure. (p.313) Wooldridge (2010) recomienda implementar estimador RE, que es probable que sea más eficiente que OLS, pero to make the variance estimator of the random effects robust to arbitrary heteroskedasticity and within-group correlation (p.867).

21 Estimación Muestras longitudinales con correlación serial 1 En STATA ver xtregar: 2 En STATA ver opción cluster y/o robust después de cualquier estimador.

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23 (caracterización general de Arellano, cap.6) Supongamos un modelo donde {(y i0, y i1,..., y it, µ i ), i = 1, 2,..., N} es una muestra aleatoria con segundos momentos finitos, tal que Supuesto B1: y it = αy it 1 + µ i + ν it, t = 1, 2,..., T, α < 1. E (ν it y t 1 i, µ i ) = 0 donde yi t 1 = (y i0, y i1,..., y i(t 1) ) y E (µ i ) = 0, var(µ i ) = σµ. 2 Este supuesto implica que E (ν it ν i(t j) yi t 1, µ i ) = 0, j > 0 con lo que los errores no están autocorrelacionados. Supuesto B2: Homoscedasticidad condicional: E (ν 2 it t 1 yi, µ i ) = σt 2 Supuesto B3: Homoscedasticidad de series de tiempo (no conditional): E (ν 2 it ) = σ2 ν

24 (caracterización general de Arellano, cap.6) Supuesto B4: (estacionariedad en la media) E (y i0 µ i ) = µ i 1 α en cuyo caso E (y it µ i ) = E (y i0 µ i ) (media de steady state) para todo t. Supuesto B5: (estacionariedad en la media) var(y i0 µ i ) = σ2 ν 1 α Calcular las covarianzas cov(y it, y i(t j) µ i ) = α 2t j var(y i0 µ i ) + α j ( t j 1 s=0 α 2s )σ 2 ν, j 0.

25 Sesgo de paneles dinámicos, OLS Para obtener el sesgo del estimador OLS ˆα OLS = N i=1 T t=1 y i,t y i,t 1 N i=1 T t=1 y 2 i,t 1 = α + N i=1 T t=1(µ i + ν it )y i,t 1 N i=1 T t=1 y 2 i,t 1

26 Sesgo de paneles dinámicos, OLS Calculamos el ĺımite en probabilidad de numerador y denominador (Hsiao, 2003, p.74) = 1 T = 1 T plim N 1 NT N T (µ i + ν it )y i,t 1 i=1 t=1 1 α T 1 α Cov(µ i, y i0 ) + 1 σµ 2 T (1 α) 2 [(T 1) T α + αt ] 1 α 2T (1 α 2 ) + 1 T plim N 1 NT N i=1 y i N T N T i=1 t=1 y 2 i,t 1 σµ 2 1 αt [T 2 (1 α) 2 1 α + 1 α2t 1 α 2 ] 2 (1 α) [ 1 αt 1 α 1 α2t 1 α 2 ]Cov(µ i, y i0 ) + 1 T σ 2 ν (1 α) 2 [(T 1) T α2 + α 2T ]

27 Sesgo de paneles dinámicos, OLS - En general ˆα OLS α, OLS sobrestima el valor real, bajo muchos supuestos. En particular asumiendo que Cov(µ i, y i0 ) > 0. - El resultado se mantiene con otras variables de control. - No es tan claro con otro orden de rezagos.

28 Sesgo de paneles dinámicos, Nickell (1981) El estimador de efectos fijos producirá la transformación within de todas las variables. En particular, ỹ i,t 1 = y i,t 1 ȳ i, 1 donde ȳ i, 1 = T t=1 y i,t 1 /T El principal problema es que ỹ i,t 1 estará correlacionado con (u i,t 1 ū i ) aún si u it no tiene correlación serial. Nickel, S. (1981) Biases in Dynamic Models with Fixed Effects, Econometrica, 49, El estimador de efectos fijos (within) es sesgado de orden O(1/T ), o sea, el sesgo desaparece solo cuando T. Entonces habrá un gran sesgo para T chico (incluso cuando N sea grande). Este problema también se aplica a los modelos de primeras diferencias. La razón es que y i,t 1 = y i,t 1 y i,t 2 está correlacionado con u i,t = u i,t u i,t 1.

29 Sesgo de paneles dinámicos, Nickell (1981) Para obtener el sesgo del estimador de efectos fijos debemos usar ˆα FE = N i=1 y i, 1 Q µy i N i=1 y i, 1 Q µy i, 1 donde y i, 1 = {y it 1, y it 2,..., y i0 }, FE:within-group=efectos fijos. Para cualquier i E ( y i, 1 Q µy i ) = αe ( y i, 1 Q µ y i, 1 ) + E ( y i, 1 Q µ ν i ) = αe ( y i, 1 Q µy i, 1 ) + E ( T [y it 1 (ν it ν i )] t=1 )

30 Sesgo de paneles dinámicos, Nickell (1981) El sesgo aparece porque ( T ) E [y it 1 (ν it ν i )] t=1 Notemos que = E ( T [y it 1 ν i ] t=1 ) = 0 y it 1 = αy it 2 + µ i + ν it 1 = α 2 y it 3 + (1 + α)µ i + ν it 1 + αν it 2 También, t 2 = ( α j t 2 )µ i + α j ν it 1 j + α t 1 y i0 j=0 j=0 ν i = 1 T T ν it = 1 t=1 T (ν it + ν it ν it 1 + ν it ν i1 ) E [y it 1 ν i ] = 1 T σ2 ν (1 + α α t 2 )

31 Sesgo de paneles dinámicos, Nickell (1981) Nickell (1981) encuentra que [ donde h T (α) = 1 α 1 1 T 1 Entonces, E ( y i, 1 Qν ) i = σ 2 ν h T (α) )]. Además, ( 1 α T 1 α E ( y i, 1 Qy ) σ 2 i, 1 = ν (T 1) (1 α 2 ) plim N (ˆα FE α) = (1 α2 )h T (α) (T 1) Cuando T = 2, plim N (ˆα FE α) = 1+α 2 ( ( 1 2αh T (α) (T 1) 1 2αh T (α) (T 1) ) ) 1 = O(1/T )

32 Sesgo de paneles dinámicos, Nickell (1981) Consideremos ahora el estimador FD (primeras diferencias): y it = α y it 1 + ν it, α < 1. Notemos que y it 1 = α y it 2 + ν it 1. Además, plim N ˆα FD = E ( y it 1 y it ) E ( y it 1 ) 2. E ( y it 1 y it ) = αe [ ( y it 1 ) 2] + E ( ν it 1 ν it ) = αe [ ( y it 1 ) 2] σ 2 ν (usando E ( y it 2 ν it ) = 0) [ E ( y it 1 ) 2] [ = α 2 E ( y it 2 ) 2] + 2αE ( y it 2 ν it 1 ) + E [( ν it 1 ) 2] [ Entonces, asumiendo estacionariedad (ej. E ( y it 1 ) 2] [ = E ( y it 2 ) 2] ) [ E ( y it 1 ) 2] = 2σ2 ν (1 α) 1 α 2 = 2σ2 ν 1 + α Entonces, plim N (ˆα FD α) = (1+α) 2. Notar que no depende de T.

33 Magnitud del sesgo dinámico para estimadores de efectos fijos y it = αy it 1 + µ i + ν it, α < 1. α T

34 Sesgo asintótico de paneles dinámicos Aún cuando T, puede haber un sesgo si también N Si N/T 0 entonces no hay sesgo de paneles dinámicos. La intuición es que para cada i se puede correr una regresión individual. (Alvarez and Arellano, 2003) Pero para N/T k < y N/T 3 0, d NT [ˆαFE (α 1/T (1 + α))] N(0, (1 α 2 )) Nickel (1981) propone usar el factor de ajuste 1/T (1 + α) para T grande.

35 Anderson y Hsiao (1981) Anderson, T.W. and Hsiao, C. (1981) Estimation of Dynamic Models with Error Components, Journal of the American Statistical Association, 76, Notar que tanto los estimadores FE como FD no son consistentes para T finito. Anderson y Hsiao (1981) proponen usar un estimador VI (variales instrumentales) para obtener estimadores consistentes. Su principal idea se resume en: 1 Usar primeras diferencias FD del modelo para cancelar µ i. Sin embargo, este estimador es inconsistente... 2 Entonces usar y i,t 2 o y i,t 2 como variable instrumental para y i,t 1. 3 Por qué? 1. E [y i,t 2 ν i,t ] = E [y i,t 2 (ν i,t ν i,t 1 )] = 0 2. ( E [y i,t 2 y i,t 1 ] = E [y i,t 2 (y i,t 1 y i,t 2 )] = σν 2 (1 α) 1 α 2(t 1) = 0 [Probar que funciona para y i,t 2.] 1 α 2 )

36 Cómo funciona IV? (revisión) Consideremos el modelo y = X β + u donde cov(x, u) = 0, o sea endogeneidad. plim ˆβ OLS = E [X X ] 1 E [X y] = E [X X ] 1 E [X (X β + u)] = β + E [X X ] 1 E [X u] = β E [X X ] 1 E [X u] es el sesgo asintótico de OLS con endogeneidad. Supongamos que Z es una variable instrumental. Tiene que satisfacer dos condiciones: 1 E [Z u] = 0, exogeneidad. 2 E [Z X ] = 0, correlación con la variable endógena. Entonces plim ˆβ IV = E [Z X ] 1 E [Z y] = E [Z X ] 1 (E [Z X ]β + E [Z u]) = β.

37 Anderson and Hsiao (1981) En el modelo simple, y it = αy it 1 + µ i + ν it, α < 1, usando y i,t 2 como IV, de donde plim ˆα IV = E (y it 2 y it ) E (y it 2 y it 1 ) E (y it 2 y it ) = αe (y it 2 y it 1 ) + E (y it 2 ν it ) La clave está en que está correlacionado con y i,t 1 pero no con u i,t. 1 E [y i,t 2 ν i,t ] = E [(αy i,t 3 + ν i,t 3 )(ν i,t ν i,t 1 )] = 0 (asumiendo que no hay correlación serial en los errores); 2 E [y i,t 2 y i,t 1 ] = E [y i,t 2 (y i,t 1 y i,t 2 )] = 0.

38 Arellano, M. and Bond, S. (1991) Some tests of specification for panel data: Monte Carlo evidence and an application to employment equations, Review of Economic Studies, 58, Blundell, R. and Bond, S. (1998) Initial conditions and moment restrictions in dynamic panel data models, Journal of Econometrics, 87,

39 Arellano and Bond (1991) Consideremos el modelo en primeras diferencias y it = α y it 1 + ν it = y it y it 1 = α(y it 1 y it 2 ) + (ν it ν it 1 ) Para t=2, y i2 y i1 = α(y i1 y i0 ) + (ν i2 ν i1 ). Notemos que y i0 es un instrumento válido ya que está correlacionado con (y i2 y i1 ) pero no con (ν i2 ν i1 ) (siempre que los errores no estén autocorrelacionados). Para t=3, y i3 y i2 = α(y i2 y i1 ) + (ν i3 ν i2 ). Notemos que y i1 y y i0 son instrumentos válidos para (y i2 y i1 ) (no están correlacionados con (ν i3 ν i2 )). Podemos continuar de esta manera construyendo instrumentos adicionales para cada periodo, tal que para T, el conjunto de instrumentos es (y i0, y i1,..., y it 2 ). Entonces tenemos t 2 condiciones de momento a explotar para cada t. En total, bajo el supuesto B1 de Arellano (2002) tenemos T (T 1)/2 restricciones de momentos a explotar. Más condiciones de momento implica que IV simple (Anderson-Hsiao) es ineficiente, se puede construir un estimador GMM mejor.

40 Estimadores GMM (ver notas optativas sobre estimadores M) GMM (Generalized Method of Moments) es un método para generar estimadores a partir de condiciones de momento. Supongamos que g(z, θ) es una condición de momento tal que para θ 0 satisface E [g(z, θ)] = 0 si y solo si θ = θ 0, para variables aleatorias Z (por ejemplo Z = (X, Y )). ] [ ] ˆθ GMM = argmin θ [n 1 N i=1 g(z i, θ) Ω n 1 N i=1 g(z i, θ) para una matriz Ω definida positiva. La matriz Ω determina la eficiencia del estimador. La óptima es Ω = E [g(z, θ 0 )g(z, θ 0 ) ] 1.

41 Arellano and Bond (1991) Construyamos Z como el conjunto de IV. Z y = Z ( y 1 )α + Z ν [y i0 ] [y i0, y i1 ] 0 Z i = [y i0,..., y i,t 2 ] ˆα = [( y 1 ) Z ΩZ ( y 1 )] 1 [( y 1 ) Z ΩZ ( y)]

42 Arellano and Bond (1991) Estimador GLS en una etapa (one-step estimator): ˆΩ = N i=1 Z i GZ i para una matriz G tal que E ( ν i ν i ] = σ2 ν G. En particular se usa N ˆΩ = Z i DD Z i i= donde D = es la matriz (T 1) T de operador en primeras diferencias. Estimadore GMM en dos etapas (two-step estimator): ˆΩ = N i=1 Z i ( ˆν i )( ˆν i ) Z i para una estimación preliminar (ej. one-step) de ˆν.

43 Arellano and Bond (1991) El modelo también admite otras variables exógenas x que pueden estar relacionadas con µ i, entonces xs son instrumentos válidos. Las variables explicativas exógenas se pueden separar en dos tipos: Las variables predeterminadas (weakly exogeneous) donde E [x it ν is ] = 0 para s < t pero E [x it ν is ] = 0 para s t. Entonces [x i0, x i1,..., x i(s 1) ] son instrumentos válidos para la ecuación en diferencias en el periodo s. Por ejemplo, x i0 y x i1 son instrumentos válidos para y i3 y i2 = α(y i2 y i1 ) + (x i3 x i2 )β + (ν i3 ν i2 ). Tenemos entonces, la matriz de instrumentos Z. Z y = Z ( y 1 )α + Z ( X )β + Z ν Z i = [y i0, x i,0, x i,1 ] [y i0, y i1, x i,0, x i,1, x i,2 ] [y i0,..., y i,t 2, x i,0,..., x i,t 1 ] Las variables estrictamente exógenas se pueden usar [x i0, x i1,..., x it ] como un elemento más de la diagonal de Z i. La metodología de Arellano-Bond se puede usar para la presencia de otras variables endógenas. Es decir, la estructura de rezagos en paneles dinámicos sirve para resolver casos de endogeneidad general.

44 Arellano and Bond (1991) El estimador de Arellano-Bond depende de la ausencia de correlación serial de segundo orden en los errores de la ecuación en diferencias. O sea, E [ ν it ν it 2 ] = 0. AB proponen un contraste para eso que debe ser chequado. Bajo la hipótesis nula los errores no tienen autocorrelación AR(2) (o mayor) o siguen un paseo aletorio. Qué hacer si este supuesto se rechaza? Arellano-Bond también proponen un contraste de Sargan-Hansen (overidentifying restrictions): m = ˆν N Z [ Z i ( ˆν i )( ( ˆν i )) Z i ]Z ˆν χ 2 #rest #par i=1

45 Contraste para la validez de los instrumentos Contraste de Sargan-Hansen Un supuesto crucial de GMM es que los instrumentos son válidos si no están correlacionados con los residuos. Supongamos que queremos armar un contraste para la validez de los instrumentos. Requerimiento importante: Necesitamos más variables instrumentales que variables endógenas. Tomemos el modelo y 1 = β 0 + β 1 y 2 + β 2 z 1 + β 3 z 2 + u donde y 2 es (potencialmente) endógena; z 1 and z 2 son variables explicativas exógenas; z 3 and z 4 son IV. 1 Supongamos que en el modelo anterior usamos 2SLS con z 3 como la única variable instrumental. 2 Computar û 3 = y 1 ˆβ 0 ˆβ 1 y 2 ˆβ 2 z 1 ˆβ 3 z 2. 3 Correr la regresión auxiliar û 3 = δ 0 + ˆδ 1 z 1 + ˆδ 2 z 2 + δ 4 z 4. 4 Chequer la significancia de z 4. 5 Esto nos da un contraste válido para la validez de z 4 como IV. Pero tenemos que asumir que z 3 es una IV válida.

46 Contraste para la validez de los instrumentos Contraste de Sargan-Hansen 1 Si tenemos más IVs que variables endógenas, entonces el modelo esta sobre-identificado (over-identified). 2 Consideremos H 0 : todas las IVs son exgógenas. Si rechazamos entonces alguna de las IVs es endgógena. 3 Estimar el modelo con todos las IVs usando 2SLS. Obtener los residuos û. 4 Correr la regresión de û en TODAS las variables exógenas (IVs, X exógenas, constante). 5 Computar NR 2 u a χ 2 L K, donde R2 u es el de la última regresión.

47 Contraste para la validez de los instrumentos Contraste de Sargan-Hansen Supongamos que ê son los residuos del modelo de 2SLS. Si el modelo está sobreidentificado entonces Z ê no es exáctamente 0, y 1 N Z ê d N(0, V Z e ). Entonces podemos armar 1 N Z êv 1 Z e 1 n Z ê, donde V Z e es la varianza de Z e. Los contrastes de Sargan y Hansen difieren en como V Ze es estimada. Contraste de Sargan: asume homoscedasticidad. Usa estimadores one-step: V Ze = Z Z. Contraste de Hansen: permite heteroscedasticidad, usa two-step.

48 Ahn and Schmidt (1995) Ahn y Schmidt (1995) muestran que con supuestos no muy fuertes hay condiciones adicionales que se pueden usar. Arellano-Bond usan T (T 1)/2 condiciones de momento usando E (y is ν it ) = 0, t = 2, 3,..., T, s = 0,..., t 2. Sin embargo también están disponibles las condiciones E (ν it ν it ) = 0, t = 2,..., T 1 usando el supuesto de varianza constante E (νit 2 ) = σ2 i, t = 1, 2,..., T Hay entonces un conjunto de T (T 1)/2 + (T 1) condiciones de momento.

49 Blundell and Bond (1998) Blundell y Bond (1998) encuentran que el estimador de Anderson-Hsiao cumple con la siguiente propiedad. Supongamos que T = 2 tal que α está exactamente identificado de E (y i0 ν i2 ) = 0. En este caso la primera etapa de 2SLS se obtiene de una regresión de y i1 en y i0 : y i1 = (α 1)y i0 + µ i + ν i1 (asumiendo E (ν i0 = 0)). Entonces, c plim(ˆα 1) = (α 1) c + σµ/σ 2 ν 2, donde c = (1 α)/(1 + α). El estimador es sesgado hacia abajo (cuanto más grande es σ 2 µ/σ 2 ν ). También el contraste F se vuelve F = (σ2 ν c) 2 σµ+σ 2 ν 2 0 cuando α 1. c ( ) E [y i,t 2 y i,t 1 ] = E [y i,t 2 (y i,t 1 y i,t 2 )] = σν 2 (1 α) 1 α 2(t 1) = 1 α 2 0 Blundell-Bond entonces buscan usar condiciones adicionales: rezagos en diferencias para la ecuación en niveles. El supuesto necesario es que: tal que y converge a su media E [(y i0 µ i 1 α )µ i ] = 0 µ i 1 α para cada individuo a partir de t = 1.

50 Blundell and Bond (1998) Con el supuesto adicional E [ ν it µ i ] = 0 tenemos T 2 restricciones adicionales E [ y it (µ i + ν it )] = 0, t = 2, 3,..., T. Particularidad: y i,t 1 se usan como instrumentos en niveles. Blundell-Bond desarrollan un estimador GMM que toma las condiciones de Arellano-Bond junto con las T 2 condiciones adicionales. El estimador se llama System GMM: estima simultáneamente dos ecuaciones, una en niveles y otra en diferencias, usando diferentes instrumentos para cada una. Gana eficiencia para T chico.

51 Motivación: Roodman (2009,p136)

52 Proliferación de instrumentos: muchos instrumentos Arellano-Bond usan T (T 1)/2 condiciones de momento usando E (y is ν it ) = 0, t = 2, 3,..., T, s = 0,..., t 2. Alvarez y Arellano (2003) muestran que a menos que lim(t /N) = 0, el estimador tendrá un sesgo de orden O(1/N). Hay dos problemas principales con muchos instrumentos: 1 Sobreestimación (overfitting) 2 Mala estimación de la matriz de pesos Ω.

53 Proliferación de instrumentos: muchos instrumentos Cuando el nro de IV crece, entonces sobreestima (overfits) la variable endógena. Ejemplo: Si #IV = NT (tantas observaciones como IV), entonces en la primera etapa de 2SLS R 2 = 1, y por construcción OLS = 2SLS. Arellano (2003) muestra que el sesgo de overfitting es O(j/N), j es el nro de instrumentos para variables pre-determinadas, y O(jT /N) para variables endógenas.

54 Proliferación de instrumentos: muchos instrumentos Cuando el nro de IV crece, la matriz de pesos Ω se estima de forma imprecisa. La matriz óptima Ω depende de var(z ν). Esta es cuadrática en el nro de IV, lo que significa cuártica en T, o sea O(T 4 ). Se requieren momentos segundos de Z ν, que implica momentos cuartos de las distribuciones subyacentes (Hayashi, 2000, p.215). 1 La matriz estimada puede ser singular. 2 Sesgo hacia abajo en los errores estándar: muestra más significancia de la que verdaderamente hay. El problema es que no se toma en cuenta que Ω es estimada. 3 El contraste de Sargan-Hansen (para validez de IV) es no creíble. En general, un alto p-valor del contraste se usa como validez de los IV. Pero el paper de Bowsher (2000) muestra que muchos IV vuelve el test de Sargan-Hansen poco creíble. A few calculations were made by the author on the order of magnitude of the errors involved in this approximation. They were found to be proportional to the number of instrumental variables, so that, if the asymptotic approximations are to be used, this number must be small. (Sargan, 1958)

55 Proliferación de instrumentos: muchos instrumentos Soluciones propuestas: 1 Regla: El nro de IV no debería ser mayor que N. Es decir, mantener el nro. de IV cercano al nro de individuos. [Nota: Roodman (2009) en realidad dice que esto no tiene nungún valedero estadístico.] 2 Probar diferentes especificaciones de IV. El problema de IV no afecta la consistencia de GMM, entonces en muestras chicas es importante analizar su comportamiento. Si el modelo funciona debería dar resultados similares con distintos IV. Probar cortar los rezagos en 1 o 2, que es equivalente a poner 0 en la matriz Z. 3 Colapsar/combinar instrumentos. Ventaja que toda la información se usa (todos los IVs). Es equivalente a imponer que ciertos conjuntos de parámetros tienen el mismo coeficiente. Busca minimizar t y i,t l ν it para cada l en vez de y i,t l ν it para cada t, l. Z i = y i0 0 0 y i1 y i0 0 y i2 y i1 y i

56 Simulation: Roodman (2009,p150)

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60 How to do it in STATA? First, you need to set-up STATA to identify that you have a panel data structure. For that, you need a numerical variable, say ID, that identifies individuals, regions, etc. Then, type iis ID Alternatively, if you have both a cross-sectional and a time-series structure (say given by TIME) Organise your data IND TIME YVAR XVAR 1 1 y 11 x y 12 x y 13 x y 21 x y 22 x y 23 x 23 It is very important that there are no repeated values, i.e. you cannot have twice individual=1 and time=2 Type tsset IND TIME this recognizes the variable IND as i, the individual indicator and TIME as t, the time indicator

61 How to do it in STATA? Now you are ready to estimate panel data models: xtreg y x1 x2 x3, fe (FE model) xi: reg y x1 x2 x3 i.idvar (same, but including dummies by idvar) xtreg y x1 x2 x3, re (RE model)

62 How to do it in STATA? Hausman test xtreg y x1 x2 x3, fe (FE model) est store fe (keep info about FE model) xtreg y x1 x2 x3, re (RE model) est store re (keep info about RE model) hausman fe re (Hausman test)

63 How to do it in STATA? First-differences model tsset idvar timevar (to get differences, lags, etc. you need the tsset) reg D.y D.x1 D.x2 D.x3 (to run in FD) reg y L.y x1 x2 x3 (OLS with lag of the dependent variable) xtreg y L.y x1 x2 x3, fe (FE with lag of the dependent variable)

64 Arellano-Bond estimator There are 3 different alternative commands for Arellano-Bond and System-GMM: 1 By default, xtabond 2 xtabond2 as given by Roodman (2009). You need to install it: ssc install xtabond2, all replace 3 Another alternative