Notas de Clase 1 Mercado de Capitales 1/29. Notas de Clase 1 : Mercado de Capitales.

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1 1/29 Notas de Clase 1 :. De las distintas disciplinas que se ocupan del management de una empresa, la administración financiera es de las que mas a evolucionado en las últimas décadas. Un factor clave en el desarrollo de las cuestiones básicas de la disciplina, ha sido la evolución de la llamada Teoría de Carteras (Portfolio Theory) y su correlato el modelo de equilibrio para la valuación de activos de capital (CAPM). Harry Markowitz, William Sharpe, y Merton H.Miller fueron galardonados con el premio novel de economía en 1990 por sus desarrollos con relación a estos temas. En este grupo de clases sintetizaremos el pensamiento de estos tres profesores y sus avances para con la ciencia. Comenzaremos con un ejercicio que nos muestre la razón de ser de estas teorías lo que al fin y al cabo justifican y dan valor a su existencia. Un mundo con certeza Imaginemos un mundo en el que el futuro fuera perfectamente predecible, y existen solo tres empresas, representadas por los activos financieros A, B y C, en los cuales invertir nuestro dinero. El precio de las acciones de estas empresas, la utilidad neta por acción, y su rendimiento se muestran en la tabla a continuación. Proyecto/Empresa Precio de la Acción Utilidad Neta por de la empresa Acción Rendimiento A % B % C % En cual de ellos invertiríamos? Si el inversor decide racionalmente, invertiría todo su presupuesto de inversión en el activo B, que rinde un 20%. Pero si todos los inversores son racionales, el precio de este activo comenzaría a subir, con lo cual el rendimiento bajaría. El juego de la oferta y la demanda seguiría hasta que los tres títulos ofrezcan la misma tasa de rendimiento. Lo importante para nosotros, ahora, es comprender porque llegamos a esta conclusión.la teoría financiera nos demuestra que la conclusión anterior depende de nuestro miope supuesto de existencia de certeza. Obviamente, esto no es lo que ocurre en la realidad. Por un lado, es improbable que tengamos certeza de la utilidad que vaya a tener una empresa, y por otro nos encontramos con activos de distintos rendimientos.

2 2/29 La causa de esto es que el mundo real esta condimentado con incertidumbre, y la teoría financiera nos enseña que el riesgo es un factor determinante de la tasa de rendimiento de las inversiones. En consecuencia, los problemas de decisión acerca de esas inversiones son problemas de decisión en condiciones de riesgo o incertidumbre. Ahora que presentamos en importancia a quién nos acompañará en todo este viaje, El Riesgo, pasaremos a centrarnos en el objetivo del inversor y en algunas características especiales de los activos financieros que condicionan el abordaje teórico. La Inversión en activos financieros: En general, el inversor, a la hora de formar un portfolio de valores trata de combinar los diferentes activos individuales de tal modo que la cartera le garantice una "rentabilidad", "seguridad" y "liquidez" aceptables. El dilema que se le presenta es que estos objetivos suelen ser incompatibles entre sí: los valores más líquidos suelen ser relativamente poco rentables, los mas rentables suelen ser poco seguros, los mas seguros poco líquidos, etc. La inversión en valores mobiliarios es una típica inversión financiera. Al igual que en el caso de la inversión en activos reales, la inversión en activos financieros origina un desembolso inicial y luego produce una corriente de cobros y pagos, bien sea de la forma de dividendos o intereses, gastos derivados de la gestión de la cartera, e ingresos percibidos como consecuencia de la venta de la misma. Sin embargo, aparte de su diferente significación conceptual, desde el punto de vista técnico-analítico la inversión financiera presenta ciertas singularidades: 1. Fraccionabilidad: Mientras que la inversión productiva generalmente no es fraccionable, la inversión financiera suele considerarse en la práctica como perfectamente fraccionable. Los activos financieros suelen estar representados por títulos valores de reducido valor nominal, con el objeto de que puedan ser adquiridos por el mayor número posible de pequeños ahorradores. Esto influye en la posibilidad de trabajar con métodos continuos. 2. Liquidabilidad: Para la inversión financiera existen unos mercados secundarios bastante desarrollados, y en algunos casos muy desarrollados, como ocurre por ejemplo, con el mercado secundario bursátil. Ello determina que el tenedor de una cartera de valores pueda conocer en todo momento y con un elevado grado de objetividad el valor de realización de la misma. 3. Diversificabilidad: Como consecuencia de su carácter fraccionable el inversor que dispone de un cierto volumen de recursos financieros puede invertirlos en varios tipos diferentes de activos financieros y no necesariamente en uno solo. 4. Flexibilidad temporal: Debido a su liquidabilidad o elevado grado de liquidez, la inversión financiera es mas flexible que la real o productiva al poder realizarse en cualquier momento.

3 3/29 Estas particularidades de la inversión financiera hacen que el tratamiento analítico sea diferente para uno y otro tipo de inversiones. Como se mencionó, en las últimas décadas se desarrollo un cuerpo importante de teoría para analizar las inversiones financieras. Antes de meternos de lleno en estas teorías, definiremos que entendemos por rentabilidad y riesgo de activos financieros, y como podemos calcular estos. La Rentabilidad de los activos Financieros El adquirente de un determinado activo financiero, invierte dinero durante un cierto período de tiempo con la esperanza de obtener un cierto rendimiento final del mismo. No en vano se dice que el inversor financiero acude al mercado para comprar rentabilidad. Pero esa rentabilidad o rendimiento no puede conocerse con certeza hasta el final del período, cuando se liquida la inversión. Es por esto que también escuchamos que el inversor financiero acude al mercado para comprar/vender riesgo. Ex ante, cuando tiene que decidir en qué tipo de activos va a invertir, el inversor sólo puede conocer el valor de su rentabilidad en términos de probabilidad. De ahí que se diga también, y con razón, que el inversor financiero compra distribuciones de probabilidad a priori, ya sean estas de tipo normal, de Student, o cualesquiera otras. En economía, la renta es aquella parte de los ingresos percibidos por un agente económico que puede ser consumida sin disminuir su riqueza o patrimonio. Por su parte, el rendimiento es la renta generada por cualquier actividad o negocio expresada en términos relativos (tanto por uno o tanto por ciento). A efectos de la teoría de selección de carteras, la rentabilidad de un título se define del siguiente modo 1 : R = it (P it+1 P it ) Pit en donde, R it es la rentabilidad expresada en tanto por uno del valor i durante el período t,, P it+1 precio de mercado o valor de cotización de la acción i al final del período t, y P it valor de dicha acción al comienzo del período. Como se dijo, ex post, la rentabilidad es una magnitud conocida con certeza. Sin embargo, ex ante es una variable aleatoria, que tomará diferentes valores con sus correspondientes 1 En esta formula estamos realizando una simplificación con relación a los posibles cobros de dividendos o intereses que pueda dar derecho el título. Si bien valiéndonos de la teoría de los mercados eficientes, estos pagos están implícitos en el precio de los títulos, una ves realizado el pago esto se reflejaría en el cambio del precio de la acción. Generalmente se trabaja con series de precios ajustadas que tienen en cuenta este efecto.

4 4/29 probabilidades en el caso discreto, o se ajustará a alguna de las distribuciones de probabilidad teórica de tipo continuo. Es muy importante tener en claro que la rentabilidad es una variable aleatoria, y el porque le asignamos este carácter. Una vez comprendido esto, debemos preguntarnos que caracteriza a una variable aleatoria, y con que herramientas contamos para obtener información sobre ella. Es así como llegamos a que la esperanza matemática de dicha variable aleatoria nos proporciona una medida de la media o rendimiento esperado del correspondiente activo financiero, mientras que la varianza o la desviación standar nos proporciona una medida de la dispersión de los rendimientos con respecto a la media. Como vemos, en finanzas no hay certeza, hay incertidumbre que modelamos a partir de distribuciones de frecuencia. En este punto ya debemos tener la idea de que nuestro objetivo, como analistas financieros, es estimar como se comportará el rendimiento de un determinado título; es decir que camino seguirá? ; al fín y al cabo, cual será su distribución de frecuencia Es entonces, cuando pedimos ayuda a la estadística, quien nos dice que el rendimiento, tal como este a sido definido, se comportará siguiendo la misma ley de probabilidad que los cambios en los precios. Entonces. Cuál es la distribución de probabilidad que explica los cambios en los precios de los títulos? Durante bastante tiempo se ha creído que los cambios en los precios, y por tanto también de los rendimientos, se comportan normalmente. Esta hipótesis se fundamentaba en el teorema central del límite. Algunos autores, concretamente Mandelbrot 2 y Fama 3, han rechazado la hipótesis de normalidad. De todas maneras, a los tests de estos dos autores han seguido otros con resultados dispares, confirmando en algunos casos la hipótesis de normalidad, y proponiendo en otros la Pareto estable. No obstante, las desviaciones con respecto a la distribución normal fueron en general bastante pequeñas. Por esto y debido a las ventajas de orden práctico que presenta, la distribución normal es de uso común en la teoría de selección de porfolios y equilibrio en el mercado financiero. El Riesgo: Varianza y Desviación típica: 2 B. Mandelbrot. The Variation of Certain Speculative Prices. "Journal of Business". vol. 39. nº 41. octubre págs E. F. Fama. Mandelbrot and the stable Paretian Hypothesis. "Journal of Business". vol.36 nº 4. octubre de pags , y tambien del mismo autor, The Behavior of Stock-Market Prices. "Journal of Business". vol 38. n.º 1. enero págs

5 5/29 Una forma de definir la incertidumbre es decir que pueden suceder más cosas de las que en realidad ocurrirán. Todas aquellas actividades económicas que no garantizan un rendimiento seguro, entrañan riesgo. El riesgo de un activo puede expresarse completamente describiendo todos los resultados posibles y la probabilidad de cada uno. Para activos reales esto es generalmente engorroso y a menudo imposible. Por ello se usan parámetros que resumen la variabilidad de los posibles resultados. Las medidas más habituales de la variabilidad son la varianza y la desviación típica. Estos parámetros 4 de dispersión junto a la media, alcanzan para describir una distribución de frecuencias normal. Por esto y por la suposición de que, en general, los posibles resultados de una inversión se distribuyen normalmente se considera a la varianza y a la desviación típica como índices naturales de riesgo 5. La varianza de una variable aleatoria es el valor esperado del cuadrado de las desviaciones respecto a la rentabilidad esperada: 2 2 σ X =Ε( X i X ) En nuestro caso Xi sería la rentabilidad de un título o cartera. La desviación típica es simplemente la raiz cuadrada de la varianza: La desviación típica se denota usualmente σ y la varianza como σ 2. Como veremos posteriormente, en el modelo de selección de carteras formulado inicialmente por Markowitz, como en los posteriores desarrollos, se ha convenido en tomar como medida del riesgo de la inversión en un activo financiero en particular, o en un portfolio, la varianza o desviación estándar de sus rendimientos. Rendimiento y Riesgo de Títulos Individuales 6 De acuerdo a lo dicho hasta ahora, exponemos los siguientes conceptos: Rendimiento esperado: Este es el rendimiento que un individuo espera que gane una acción a lo largo del siguiente período. Desde luego, ya que esto es solo una expectativa, el rendimiento real puede ser más alto o más bajo. La expectativa de un individuo puede estar basada solo en el rendimiento promedio por período que un título haya ganado en el pasado. De manera alternativa, puede basarse en un análisis detallado de los prospectos de 4 Al ser prácticamente imposible disponer de los verdaderos parámetros poblacionales, se trabaja con estimaciones de los parámetros que se denominan estadísticos. 5 Cuando la función de densidad de probabilidad del rendimiento esperado es simétrica el uso de la varianza conduce en un principio a un resultado correcto. De lo contrario, los resultados obtenidos en base a la varianza pueden ser engañosos, y de ahí que se haya sugerido el uso de otras medidas del riesgo tales como la entropía. 6 Se sigue a E.Ross, capitulo 10, Finanzas Corporativas.

6 6/29 una empresa, en algún modelo basado en algoritmos resueltos por computadoras o en alguna información especial (o interna). Varianza y desviación estándar: Existen muchas maneras de evaluar la volatilidad del rendimiento de un título. Una de las más comunes es la varianza, que es una medida de las desviaciones del rendimiento de un título respecto de su rendimiento esperado elevadas al cuadrado. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. En alguna medida, cuanto mas alta es la varianza o la desviación estándar mayor es la probabilidad que nos alejemos, ex post, del rendimiento esperado ex ante. Teniendo en cuenta esto, plantearemos un ejemplo explicativo. Para esto supongamos un mundo en el que solo existen 2 activos en los cuales podemos invertir. Acciones de Ciclón y acciones de Parejas. Algunos analistas financieros consideran que existen cuatro etapas igualmente probables en la economía: depresión, recesión, épocas normales y períodos de auge. Se espera que los rendimientos de Ciclos Company se ajusten estrechamente a los ciclos económicos, mientras que no se espera lo mismo de los rendimientos de Parejas Company. Las predicciones de los rendimientos se proporcionan a continuación. Rendimientos de Ciclón R at Rendimientos de Parejas R bt Depresión -20% 5% Recesión 10% 20% Normal 30% -12% Auge 50% 9% A partir de estos valores, y asumiendo la misma probabilidad a los distintos escenarios, se puede calcular el rendimiento esperado y la varianza de este para cada uno de los títulos. 1. calculo de rendimiento esperado 7 : Ciclón: = =17.5% = R a 4 Parejas: = =5.5% = R b 4 2. Cálculo de la varianza del rendimiento: Var(R) = Valor esperado de (R-R) 2 7 En este ejemplo, los cuatro estados alternativos dan lugar a cuatro resultados posibles para cada acción. Si hubiéramos usado datos históricos, los resultados hubieran ocurrido en la realidad. En este caso el divisor correcto para la formula del rendimiento esperado es (N-1) debido a la perdida de 1 grado de libertad. En el mundo real, las muestras son generalmente tan grandes que el usar N o N-1 en el denominador no tiene virtualmente ningún efecto sobre el cálculo de la varianza.

7 Ciclón: = Parejas: = Calculo de la desviación estándar: Ciclón: =.2586 = 25.86% Parejas: = = 11.50% Notas de Clase 1 7/29 Un examen del cálculo utilizado para obtener la varianza pone en claro la razón por la cual ésta es una medida de la dispersión de la muestra de rendimientos. Debido a que la varianza esta expresada en unidades al cuadrado, es difícil interpretarla. La desviación estándar brinda un valor más fácil de interpretar. Rendimiento y Riesgo de un Portfolio Suponga que un inversionista tiene estimaciones de los rendimientos esperados, de las desviaciones estándar de ciertos títulos individuales, y de las correlaciones existentes entre ellos. Como elegirá entonces este inversionista la mejor combinación o portfolio de títulos que deberá mantener? Obviamente al inversionista le gustaría una cartera con un alto rendimiento esperado y una baja desviación estándar de los rendimientos. Por lo tanto, vale la pena considerar: 1. La relación entre el rendimiento esperado de valores individuales y el rendimiento esperado de una cartera formada con esos títulos. 2. La relación entre las desviaciones estándar de títulos individuales, las correlaciones entre estos títulos y la desviación estándar de una cartera formada por estos títulos. El Rendimiento esperado de una cartera: El rendimiento esperado de una cartera es simplemente un promedio ponderado de los rendimientos esperados de los títulos individuales. Ejemplo: Los rendimientos esperados de Ciclón y Parejas son 17,5% y 5,5% respectivamente. El rendimiento esperado de una cartera formada únicamente por estos dos valores puede escribirse como: Ε ( ) = X 17.5% + X 5,5% R cart a b

8 8/29 donde X a es el porcentaje de la cartera invertido en Ciclón y X b es el porcentaje de la cartera invertido en Parejas. Si un inversionista con 100 dólares invierte 60 en Ciclón y 40 en Parejas, el rendimiento esperado de la cartera puede expresarse como: Ε ( R cart ) = 0,6 17.5% + 0,4 5,5%=12,7% Varianza y desviación estándar de una cartera: Desviación estándar de una cartera la desviación estándar del rendimiento de la cartera es la raíz cuadrada de la varianza de la cartera: ( ) ( ) σ = Var R = X σ + 2 X X σ + X σ = p p a b a b ab a b Para calcular y comprender la Varianza de una cartera primero debemos entender que es la covarianza. Covarianza y Correlación La Varianza y la desviación estándar miden la variabilidad de las acciones individuales. Si deseamos medir la relación que existe entre el rendimiento de una acción y el rendimiento de otra, necesitamos una medida estadística de la relación que existe entre dos variables. Una medida de ello lo da la covarianza y la correlación. La covarianza y la correlación miden la forma en la cual se relacionan dos variables aleatorias. Explicaremos estos términos ampliando el ejemplo de Ciclón y Parejas. Para calcular la covarianza debemos, para cada estado de la economía, multiplicar en forma conjunta la desviación de Ciclón respecto de su rendimiento esperado y la desviación de Parejas respecto del suyo. Este procedimiento puede definirse algebraicamente como: σ ab = Cov( R a, R b ) = E((R a R a) (R b R b)) El numerador de la ecuación de la covarianza ilustra las bases intuitivas de la misma. Supongamos que el rendimiento de Ciclón se encuentra generalmente por arriba de su promedio cuando el rendimiento de Parejas se encuentra por arriba de este, y que el rendimiento de Ciclón se encuentra generalmente por abajo de su promedio cuando el rendimiento de Parejas se encuentra por debajo del mismo. Esto indica una dependencia positiva o una relación positiva entre los dos rendimientos. El numerador será positivo en cualquier estado en el que ambos rendimientos se encuentren por arriba de sus promedios, y también en el caso en el que ambos rendimientos se encuentren por debajo de sus promedios. De manera inversa, el numerador (y por ende la covarianza) será negativo en cualquier estado en el que un rendimiento se encuentre por arriba de su promedio mientras el otro se

9 9/29 encuentre por debajo. Si esto es lo que ocurre en los distintos estados, la covarianza indicaría una relación negativa entre los dos rendimientos. Finalmente supongamos que no existe ninguna relación entre los dos rendimientos. En este caso, saber si el rendimiento de Ciclón se encuentra por arriba o por debajo de su rendimiento esperado no nos dice nada acerca del rendimiento de Parejas. De este modo, en la formula de la covarianza no influirá ninguna tendencia para que los términos sean negativos o positivos, y en promedio, tenderán a compensarse y a cancelarse entre sí, lo cual hará que la covarianza sea estadísticamente igual a cero. De esta manera, si los dos rendimientos se encuentran positivamente relacionados entre sí, la covarianza será positiva, y si se encuentran negativamente relacionados la covarianza será negativa. Por ultimo, si no están correlacionados la covarianza será cero. La formula de la covarianza se puede escribir como: σ ab = Cov (R a, R b ) = E ((R a -R a ) x ((R b -R b )) = ((R a -R a ) x ((R b -R b )) / N-1 ( ) ( ) ( ) ( ) N ( Rai R a ) ( Rbi Rb ) i= 1 σ ab = Cov R a, R b = E R ai R a R bi R b = N 1 donde N es el número de observaciones, R a y R b son los rendimientos esperados de los dos valores, y R ai y R bi son los rendimientos observados o de cada escenario. El ordenamiento de las dos variables no es importante. Es decir, la covarianza de A con B es igual a la covarianza de B con A: Cob (R a, R b ) = Cov (R b, R a ) o bien σ ab = σ ba. La cuantía de la covarianza es difícil de interpretar ya que se expresa en unidades de desviación elevadas al cuadrado, y no será sino hasta que podamos ponerla en perspectiva cuando sabremos cómo interpretarla. Esto lo haremos calculando la correlación: r ab = Corr (R a, R b ) = Cov (R a, R b ) / (σ a x σ b ) Como sucede con la covarianza, el ordenamiento de las dos variables no es de importancia. Es decir, la correlación de A con B es igual a la correlación de B con A. Puesto que la desviación estándar es siempre positiva, el signo de la correlación será el mismo que el de la covarianza entre las dos variables. Si la correlación es positiva, decimos que las variables se encuentran positivamente correlacionadas; si es negativa, decimos que están negativamente correlacionadas; y si es de cero decimos que no están correlacionadas. Además, se puede demostrar que la correlación siempre se encuentra entre +1 y -1, lo que se debe al procedimiento de la estandarización de dividir entre las dos desviaciones estándar.

10 10/29 El cuadro 2 muestra el calculo del numerador de la covarianza para el caso de Parejas y Ciclón. Estado de la economía Tasa de rendimiento de Ciclón Rat (Rat-Ra) Tasa de rendimiento de Parejas Rbt (Bbt-Rb) Producto de las desviaciones (Rm-R Depresión ( ) = Recesión Normal Auge Sumando el producto de las desviaciones obtenemos el numerador de la formula de la Cov., ( ), dividiendolo por 4 8 obtenemos el valor esperado de las desviaciones, que es ( ). Este último valor es la covarianza. Para obtener el coeficiente de correlación entre los dos títulos: Cov( Ra, Rb) Corr ( R a, R b) = = = σ σ * a b ( ) Varianza La formula de la varianza de una cartera formada por dos títulos, Ay B, es : Var(p) = X a 2 σ a X a X b σ ab + X 2 2 b σ b Vemos que existen tres términos en la ecuación. El primero se relaciona con la varianza de A ;el segundo, involucra a la covarianza entre títulos (σ ab ), y el tercer término se relaciona con la varianza de B. Esta formula indica un punto muy importante. La varianza de una cartera depende tanto de las varianzas de los títulos individuales como de la covarianza entre los dos títulos. La varianza de un título mide la variabilidad del rendimiento de un título individual. La covarianza mide la relación entre los dos títulos. Para varianzas específicas de títulos individuales, si uno de los títulos tiende a subir cuando el otro baja, o viceversa, los dos títulos se compensarían mutuamente. Así se logrará lo que en el mundo de las finanzas se conoce como una cobertura, y el riesgo de la totalidad de su cartera disminuirá. La fórmula de la varianza para una cartera formada por 60 dólares invertidos en Ciclón y 40 dólares invertidos en Parejas es la siguiente: Var(portfolio) = X 2 ciclón σ 2 ciclón + 2 X ciclon X parejas σ stech, parejas + X 2 parejas σ 2 parejas 8 Como sucedía con la varianza, en el caso de trabajar con datos muestrales el denominador correcto sería (N-1) debido a la perdida de un grado de liberta.

11 2 p ( ( )) Notas de Clase 1 11/29 σ = = Dada esta ecuación, podemos determinar ahora la desviación estándar del rendimiento de la cartera. σ p = Var ( cartera ) = = = 15.44% La interpretación de la desviación estándar de la cartera es la misma que la interpretación de la desviación estándar de un título individual. El rendimiento esperado de nuestra cartera es de 12,7%. Un rendimiento de -2.74% (12.7% %) se encuentra a una desviación estándar por debajo de la media y un rendimiento de 28.14% (12.7% %) se encuentra a una desviación por arriba. Si el rendimiento de una cartera está distribuido en forma normal, tenemos un 68% de probabilidad que el rendimiento se encuentre entre un % y un 28.14%. Efecto de diversificación: Es de gran utilidad comparar la desviación estándar de una cartera con la desviación estándar de los títulos individuales. El promedio ponderado de las desviaciones estándar de los títulos individuales es: = (1) Uno de los resultados más importantes para entender los efectos de la diversificación se relaciona con la diferencia y En nuestro ejemplo, la desviación estándar de la cartera es inferior a un promedio ponderado de las desviaciones estándar de los títulos individuales. Anteriormente, señalamos que el rendimiento esperado de una cartera es un promedio ponderado de los rendimientos esperados de los títulos individuales que la forman. De tal modo, obtenemos un tipo diferente de resultado de la desviación estándar de una cartera del que obtenemos para el rendimiento esperado de una cartera. Por lo general, se argumenta que nuestro resultado de la desviación estándar de una cartera se debe a la diversificación. Por ejemplo, Ciclón y Parejas tienen una correlación ligeramente negativa ( r a,b = ). Es probable que el rendimiento de Ciclón sea un tanto inferior al promedio si el rendimiento de Parejas es inferior al mismo. De tal modo, la desviación estándar de una cartera compuesta por los dos valores es inferior a un promedio ponderado de las desviaciones estándar de los dos valores. El ejemplo anterior tiene una correlación negativa. Como resultado claro, se obtendrá un menor beneficio proveniente de la diversificación si los dos títulos muestran una correlación positiva. Cual debe ser la medida de la correlación positiva antes de que se desvanezcan todos los beneficios provenientes de la diversificación? Para entender a esta pregunta, volvamos a escribir la ecuación de la varianza de la cartera en términos de la correlación entre los dos títulos en lugar de la covarianza. La covarianza puede reescribirse como :

12 12/29 σ a,b = r a,b σ a * σ b Esta formula afirma que la covarianza entre dos títulos cualesquiera es simplemente la correlación entre los dos títulos multiplicada por las desviaciones estándar de cada uno de ellos. En otras palabras, la covarianza incorpora tanto (1) la correlación entre los dos activos, como (2) la variabilidad de cada uno de los dos títulos, tal como esta se mide con base a la desviación estándar. A partir de los cálculos expuestos anteriormente sabemos que la correlación entre los dos títulos es de De acuerdo con las varianzas calculadas para los títulos, vemos que la desviación estándar de Ciclón y Parejas son de y de respectivamente. De tal modo, la varianza de una cartera puede expresarse como: Varianza del rendimiento de una cartera: σ = X σ + 2 X X r, σ σ + X σ = σ p a b a b a b a b a b 2 p = ( ) = El termino intermedio que aparece del lado derecho de la ecuación se escribe ahora en términos de correlación, ρ (o r a, b ), y no de la covarianza. Supongamos que el coeficiente de correlación entre ciclón y parejas = 1, entonces podemos ver que la ecuación se reduce a un binomio compuesto ( X ) 2 a σ a + Xb σ b o al promedio ponderado de los desvios de los activos individuales. Para comprobarlo : ( ) 2 σ p = = ( 2) La desviación estándar es ( ) = = 20.12% Observe que (1) y (2) son iguales. Es decir, la desviación estándar del rendimiento de una cartera es igual al promedio ponderado de las desviaciones estándar de los rendimientos individuales cuando p = 1. La inspección de la ecuación (b) indica que la varianza y, por lo tanto, la desviación estándar de la cartera deben disminuir a medida que la correlación disminuya por debajo de 1. Esto conduce a lo siguiente: Mientras p < 1, la desviación estándar de una cartera formada por dos valores será inferior al promedio ponderado de las desviaciones estándar de los títulos individuales. En otras palabras, el efecto de la diversificación se aplica siempre que haya una correlación menos que perfecta (mientras p<1). De este modo, nuestro ejemplo de Ciclón y Parejas es un caso teórico. Hemos ilustrado la diversificación por medio de un ejemplo con correlación negativa. Podríamos haber ilustrado la diversificación a través de un ejemplo con una correlación positiva, siempre que no sea una correlación positiva perfecta.

13 13/29 Las bases ilustradas en el ejemplo anterior pueden ampliarse al caso de un número múltiple de activos. Es decir, siempre que las correlaciones entre los pares de títulos sean inferiores a 1, la desviación estándar de una cartera formada por muchos activos será inferior al promedio ponderado de las desviaciones estándar de los valores individuales. (El simulador que se encuentra en el blog de apoyo académico es de gran ayuda para conceptualizar esto)

14 14/29 El Conjunto Eficiente de dos Activos Nuestros Resultados acerca de los rendimientos esperados y de las desviaciones estándar se presentan en forma gráfica en la Figura 1. En esta figura se observa un punto denominado Parejas y otros denominado Ciclón. Cada uno representa tanto el rendimiento esperado como la desviación estándar de un título individual. Como se puede apreciar, Ciclón tiene un rendimiento esperado mas alto asi como una desviación estándar mas alta. El punto 3 que aparece en la gráfica representa una cartera con 60% invertido en Ciclón y 40% invertido en Parejas. La elección de 60% de Ciclón y de 40% de Parejas representa sólo uno de un número infinito de carteras que podrían crearse. El conjunto de carteras se esboza por medio de la línea curva que aparece en la figura 1. Consideremos la cartera 1. Esta se encuentra formada por 90% se Parejas y 10% de Ciclón. Toda vez que la cartera se encuentra fuertemente ponderada a favor de Parejas, aparece cerca del punto de Parejas en la grafica. La cartera 2 es mas alta sobre la curva porque se encuentra formada por 50% de Parejas y 50% de Ciclón. La cartera 4 se encuentra cerca del punto de Ciclón en la gráfica porque se encuentra formada por 90% de Ciclón y 10% de Parejas. Cuadro 1 : Rendimiento y Riesgo de distintos portafolios. PORTAFOLIOS INEFICIENTES PORTAFOLIOS EFICIENTES (suponemos que solo podemos invertir en parejas o en ciclón. Número de Participación Participación Rendimiento Desvio Portfolio Parejas Ciclón Esperado Portafolio 1 100% 0% 17,50% 1,32% 2 95% 5% 16,90% 1,16% 3 90% 10% 16,30% 1,05% 4 84% 17% 15,52% 0,97% 5 75% 25% 14,50% 0,98% 6 60% 40% 12,70% 1,31% 7 50% 50% 11,50% 1,76% 8 45% 55% 10,90% 2,05% 9 40% 60% 10,30% 2,39% 10 30% 70% 9,10% 3,19% 11 15% 85% 7,30% 4,74% 12 10% 90% 6,70% 5,34% 13 0% 100% 5,50% 6,69%

15 15/29 Ilustración 1 Conjunto de carteras formadas por las tenencias de Ciclón y Parejas. RENDIMIENTO Y RIESGO DE PORTAFOLIOS cuál es la parte eficiente de la curva? Rendimiento 20,00% 18,00% 16,00% 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% MV 4,00% 2,00% 0,00% 0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00% Ries go Existen algunos puntos de importancia en torno a esta gráfica. 1. Nosotros sostenemos que el efecto de diversificación ocurre siempre que la correlación entre los dos títulos sea inferior a 1. La correlación entre Ciclón y Parejas es de El efecto de diversificación puede ilustrarse por medio de una comparación con la línea recta que existe entre el punto de Ciclón y el de Parejas. Esta línea recta representa puntos que hubieran sido generados si el coeficiente de correlación entre los títulos hubiera sido 1. Ilustramos el efecto de diversificación en esta figura, puesto que la línea curva se encuentra siempre hacia la izquierda de la recta. Considere el punto A, el cual representaría una cartera formada por 90% de Parejas y 10% de Ciclón si la correlación entre los dos fuera exactamente 1. Sostenemos que no existe efecto de diversificación si p = 1. Sin embargo, el efecto de la diversificación se aplica a la línea curva, debido a que el punto 1 tiene el mismo rendimiento esperado que el punto 1' pero una desviación estándar mas baja. Debe quedar claro que si bien en la figura hemos representado tanto una línea recta como una línea curva, éstas no existen de manera simultánea en el mismo mundo. O bien p = y la curva existe o bien p = 1 y la línea recta es la que existe. 2. El punto MV representa la cartera que tiene una varianza mínima. Esta es la cartera que tiene la varianza más baja posible. Por definición, esta cartera debe tener también la desviación estándar mas baja posible.

16 16/29 3. Un individuo que contemple la posibilidad de realizar una inversión en una cartera de Parejas y Ciclón se enfrentará a un conjunto de posibilidades de oportunidades o a un conjunto factible representado por la línea curva de la figura Es decir, podrá alcanzar cualquier punto sobre la curva seleccionando una combinación apropiada entre los dos títulos. No podrá alcanzar ningún punto ni por arriba ni por debajo de la curva. Si el inversionista tuviera una tolerancia relativa hacia el riesgo, podría elegir la cartera 4 o invertir todo su dinero en Ciclón. Un inversionista que tuviera una menor tolerancia al riesgo podría elegir el punto 2. Por su parte, uno que deseara correr el menor riesgo posible optaría por MV. 4. La curva se encuentra pandeada hacia atrás entre el punto de Parejas y MV. Esto indica que para una cierta porción del conjunto factible, la desviación estándar realmente disminuye a medida que aumenta el rendimiento esperado. Una pregunta que generalmente el estudiante se hace es Como puede un incremento en la proporción de los títulos mas riesgosos, los de Ciclón, provocar una reducción en el riesgo de la cartera?" Este sorprendente descubrimiento se debe al efecto de la diversificación. Los rendimientos de los dos títulos se encuentran negativamente correlacionados entre sí. Un título tiende a subir cuando el otro baja y viceversa. De tal modo, una adición de una pequeña cantidad de títulos de Ciclón actúa como una cobertura o protección para una cartera formada únicamente por valores de Parejas. El riesgo de la cartera se reduce, lo cual implica un pandeo hacia atrás. En realidad, el pandeo hacia atrás siempre ocurre cuando p<_ 0. O bién puede ocurrir o no cuando p >0. Desde luego, la curva se pandea hacia atrás tan solo en una porción de su longitud. A medida que aumenta el porcentaje de títulos de Ciclón en la cartera, la alta desviación estándar de estos títulos ocasiona finalmente que la desviación estándar de estos títulos ocasiona finalmente que la desviación estándar de la cartera aumente. 5. Ningún inversionista estaría interesado en mantener una cartera con un rendimiento esperado inferior al de la cartera de varianza mínima. Por ejemplo, ningún inversionista elegiría la cartera 1, ya que esta tiene un rendimiento esperado inferior, y una mayor desviación estándar de la que tiene la cartera de varianza mínima. Decimos entonces que las carteras como la 1 se halla dominadas por la cartera de varianza mínima. Aunque la totalidad de la curva de Parejas y de Ciclón recibe el nombre de conjunto factible, los inversionistas solo consideran la curva que va desde MV hasta Ciclón. Por lo tanto, la curva desde MV hasta Ciclón recibe el nombre de conjunto eficiente o frontera eficiente. Téngase en cuenta que también se puede generar un conjunto eficiente cuando los dos activos individuales son carteras en si mismas. Por ejemplo si tenemos dos activos, uno de los cuales es una cartera diversificada de acciones domesticas y otro de los activos es una cartera diversificada de títulos extranjeros, y calculamos los rendimientos esperados de las 2 carteras, sus desviaciones, y la correlación entre estas. Entonces podríamos generar un conjunto eficiente para la combinación de estas dos carteras.

17 17/29 Por esto mismo los administradores de fondos de pensiones y de fondos mutuos de los Estados Unidos buscan oportunidades de inversión en el extranjero que ayuden a diversificar el riesgo de sus carteras. Como puede observarse, cuanto más baja sea la correlación, mas pandeada será la curva. Esto indica que el efecto de la diversificación aumenta a medida que p disminuye. El mayor pandeo ocurre cuando en el caso extremo en el que p = -1. El Conjunto Eficiente de un grán número de Títulos La exposición anterior se relacionó con dos pares de títulos. En ella comprobamos que una simple curva servía para esbozar todas las carteras eficientes. Pero dado que los inversionistas generalmente mantienen más de dos títulos, deberíamos observar la misma curva cuando existen más de dos títulos. El área sombreada de la figura 2 representa el conjunto de oportunidad o el conjunto factible cuando se considera un gran número de títulos. El área sombreada representa todas las combinaciones posibles de rendimientos esperados y de desviaciones estándar de una cartera. Por ejemplo, en un universo de 100 títulos, un punto interior podría representar una cartera de, digamos, 40 títulos. Otro de ellos podría representar una de 80 títulos, mientras que un punto de línea exterior de la figura un conjunto diferente de, por ejemplo, 80 títulos.

18 18/29 Figura 2: E p e c 0 σ 2 p Las combinaciones son virtualmente ilimitadas. Sin embargo, observe que todas las combinaciones posibles caen dentro de una región confinada en forma específica. Ningún título o combinación de títulos puede caer fuera de la región sombreada. Es decir, nadie puede elegir una cartera con un rendimiento esperado superior al que está dado por la región sombreada porque los rendimientos esperados sobre los títulos individuales no se pueden alterar. Además, nadie puede elegir una cartera con una desviación estándar inferior a la que se da en la región sombreada. Tal vez lo más sorprendente es que nadie puede elegir un rendimiento esperado inferior al que se da en la curva. En otras palabras, en realidad los mercados de capitales evitan la posibilidad de que una persona autodestructiva asuma una pérdida garantizada. Hasta este momento la grafica 2 es diferente a la anterior. Cuando solo se tienen dos títulos, todas las combinaciones yacen sobre una sola curva. Por lo contrario, cuando se manejan muchos títulos las combinaciones cubren la totalidad de un área. Sin embargo, observe que un individuo deseará encontrarse en algún punto sobre el límite superior entre MV y X. El límite superior, el cual indicamos en la figura 2 mediante una curva gruesa, recibe el nombre de conjunto eficiente. En el análisis final, la figura 2 es totalmente similar a la figura 1. El conjunto eficiente de la figura 1 va desde MV hasta Ciclón y contiene varias combinaciones de los títulos de Ciclón y de Parejas. El conjunto eficiente de la figura 2 va desde MV hasta X y contiene varias combinaciones de varios valores. El área sombreada de la figura 2 no reviste importancia ya que ningún inversionista elegiría ningún punto por debajo del conjunto eficiente de la figura 2. En el mundo real es fácil trazar un conjunto eficiente de dos títulos. La tarea se hace un poco más difícil cuando se incluyen títulos adicionales porque el número de observaciones aumenta. Por ejemplo, el uso de un análisis para estimar los rendimientos esperados y las desviaciones estándar para, digamos, 100 o 500 títulos puede muy bien convertirse en una tarea engorrosa, y las dificultades con las correlaciones pueden ser todavía mayores.

19 19/29 Existen casi 5000 correlaciones entre los pares de títulos pertenecientes a un universo de 100 valores. Aunque gran parte de las matemáticas necesarias para el cálculo de un conjunto eficiente se derivaron en la década de los años cincuenta 9, el alto costo del tiempo de computación restringía la aplicación de los principios. En años recientes, este costo se ha visto reducido de manera sustancial. Diversos paquetes de programación permiten calcular un conjunto eficiente de carteras de tamaño moderado. Varianza y desviación estándar de una cartera que incluye un gran número de activos Anteriormente calculamos las fórmulas de la varianza y de la desviación estándar en el caso de dos activos. La fórmula para calcular la varianza de una cartera que incluye un número importante de activos puede visualizarse como una extensión de la formula de la varianza de dos activos. Para desarrollar dicha formula emplearemos una matriz cuadrada. Suponiendo que existen N activos, escribimos los números 1 a N sobre el eje horizontal y 1 a N sobre el eje vertical. Esto crea una matriz de N N = N 2 cuadros. Considere, por ejemplo, el cuadro de la segunda hilera y de la tercera columna. El término que aparece en el cuadro es X 2 X 3 COV(R 2,R 3 ). X 2 y X 3 son los porcentajes de la totalidad de la cartera que se invierten en el segundo y tercer activos, respectivamente. Cov(R 3,R 2 ) es la covarianza entre los rendimientos del tercer activo y los rendimientos del segundo. A continuación observe el cuadro correspondiente a la tercera hilera y la segunda columna. El término de este cuadro es X 3 X 2 COV(R 3,R 2 ). Como Cov(R 3,R 2 ) = Cov(R 2,R 3 ), ambos cuadros tienen el mismo título. El segundo y el tercer título forman un par de acciones. De hecho, cada par de acciones aparece dos veces en la tabla, una vez en el lado izquierdo inferior y otra en el lado superior derecho. Ahora considere los cuadros sobre la diagonal. Por ejemplo, el término del primer cuadro sobre la diagonal es X 21 σ 21. Aquí σ 21 es la varianza del rendimiento del primer valor. Por consiguiente, los términos de la diagonal de la matriz contienen las varianzas de las diferentes acciones. Los términos situados fuera de la diagonal contienen las covarianzas de las diferentes acciones. Acción N 1 X 2 1σ 2 1 X 1 X 2 COV(R 1,R 2 ) X 1 X 3 COV(R 1,R 3 ) X 1 X n (COV(R 1,R n ) 2 X 2 X 1 COV(R 2,R 1 ) X 2 2σ 2 2 X 2 X 3 COV(R 2,R 3 ) X 2 X n COV(R 2,R n ) 3 X 3 X 1 COV(R 3,R 1 ) X 3 X 2 COV(R 3,R 2 ) X 2 3σ 2 3 X 3 X n COV(R 3,R n )... N X n X 1 COV(R n,r 1 ) X n X 2 COV(R n,r 2 ) X n X 3 COV(R n,r 3 ) X 2 nσ 2 n 9 El tratado clasico es el de Harry Markowitz, Portfolio Selection (New York: Jhon Wiley & Sons, 1959). En 1990 Markowitz ganó el premio nobel de economía por sus investigaciones sobre la teoría moderna de las carteras.

20 20/29 La varianza de la cartera será la suma de todos los cuadros de la matriz. El número de términos diagonales es siempre el mismo que el número de acciones de la cartera. El número de términos fuera de la diagonal (número de términos de covarianza) aumenta mucho más rápido que el número de términos diagonales. Por ejemplo, una cartera de 100 acciones tiene 9900 términos de covarianza. Debido a que la varianza de los rendimientos de una cartera es la suma de todos los cuadros, tenemos que: La varianza del rendimiento de una cartera que incluya muchos títulos depende más de las covarianzas entre los títulos individuales que de las varianzas de los títulos individuales. DIVERSIFICACION: Un Ejemplo: Se puede ilustrar el punto anterior modificando ligeramente la matriz del cuadro N realizando los siguientes supuestos: 1. Todos los títulos tienen la misma varianza, la cual escribimos como σ 2 i =var. 2. Todas las covarianzas entre los títulos son las mismas. Representemos esta covarianza uniforma como cov. En otras palabras, Cov(Ri,Rj) = cov para cada par de títulos. Se puede demostrar fácilmente que var > cov. 3. Todos los títulos se encuentran igualmente ponderados en la cartera. Debido a que existe N activos, el peso ponderado de cada activo en la cartera es de 1/N. En otras palabras, X i = 1/N para cada título i. Bajo estos 3 supuestos la matriz de los cuadros para el cálculo de la varianza de la cartera quedaría como se muestra en la figura N Acción N 1 (1/N) 2 var (1/N) 2 cov (1/N) 2 cov (1/N) 2 cov 2 (1/N) 2 cov X 2 2σ 2 2 (1/N) 2 cov (1/N) 2 cov 3 (1/N) 2 cov (1/N) 2 cov X 2 3σ 2 3 (1/N) 2 cov... N (1/N) 2 cov (1/N) 2 cov (1/N) 2 cov X 2 nσ 2 n El cuadro 3 es la matriz de las varianzas y de las covarianzas bajo estos tres supuestos simplificantes. Observe que todos los términos diagonales son idénticos. De manera similar, todos los términos situados fuera de la diagonal son idénticos. Como sucede en el cuadro N la varianza de la cartera es la suma de los términos en los cuadros que aparecen en el cuadro N+1. Sabemos que existen N términos diagonales que se relacionan con la varianza. De manera similar existen N* (N-1) términos fuera de la diagonal que se relacionan con la varianza. Al sumar a lo largo de todos los cuadros del cuadro XXX podemos expresar las varianzas de la cartera como:

21 21/29 Varianza de la cartera = N * (1/N 2 ) VAR + N * (N-1) * (1/N 2 ) COV Número de términos diagonales = (1/N) VAR + ((N2-N)/N2) COV = (1/N) VAR + (1-1/N) COV Cada término diagonal Número de términos fuera de la diagonal principal Cada término fuera de la diagonal principal La ecuación anterior expresa la varianza de nuestra cartera especial como una suma ponderada del promedio de la varianza de los títulos y del promedio de la covarianza 10. La intuición de este enfoque queda confirmada cuando incrementamos el número de títulos en la cartera sin límite alguno. Entonces, la varianza de la cartera se convierte en: 2 lim σ = cov x 0 P Esto ocurre porque (1) el peso del término de la varianza, 1/N, tiende a 0 cuando N tiene al infinito, y (2) el peso del término de la covarianza, 1-1/N, tiende a 1 cuando N tiende a infinito. La formula anterior proporciona un resultado muy interesante y muy importante. En nuestra cartera especial, las varianzas de los títulos individuales se desvanecen completamente a medida que el número de títulos aumenta. Sin embargo, los términos de la covarianza persisten. De hecho, la varianza de la cartera se convierte en el promedio de la covarianza, cov. Frecuentemente se hace hincapié en la importancia de diversificarse. El efecto que tiene la diversificación sobre el riesgo de una cartera puede ilustrarse en este ejemplo. Las varianzas de los títulos individuales son susceptibles de diversificarse, pero los términos de la covarianza no se pueden diversificar. Resumiendo, podemos decir que en nuestro ejemplo, la varianza de una cartera que incluye un solo título es var, porque la varianza de una cartera que incluye un solo título es igual a la varianza de ese título. La varianza de la cartera disminuye a medida que se agregan mas títulos, lo cual es una evidencia del efecto de diversificación. Esta diversificación tiene un límite y esta dado por Cov, que es el promedio ponderado de la covarianza. Anteriormente se menciono que var debe ser mayor que cov. Por consiguiente, la varianza del rendimiento de un título puede descomponerse de la siguiente manera: Riesgo total de un título =Riesgo de cartera o +Riesgo diversificable o individual Sistemático riesgo sistemático (var) (cov) (Var - Cov) El riesgo total, el cual es igual a var en nuestro ejemplo, es aquel riesgo que se corre cuando se mantiene únicamente un solo título. El riesgo de cartera es el riesgo que aún se sigue corriendo después de lograr una diversificación total, y éste es de cov en nuestro ejemplo. El riesgo de cartera recibe también frecuentemente el nombre de riesgo sistemático o riesgo de mercado. El riesgo diversificable, único, o no sistemático, es aquel 10 Esto por cuanto los términos 1/N y (1-1/N) que son los ponderadores, suman 1.

22 22/29 que puede ser diversificado en una cartera de gran tamaño, el cual debe ser igual a (var - cov) por definición. El efecto de la diversificación, y los distintos tipos de riesgo, pueden verse en la grafica NN la cual ilustra el ejemplo planteado. Varianza del rendimiento de la cartera Var Riesgo diversificable, o riesgo no sistemático Cov Riesgo de cartera, riesgo de mercado, o riesgo sistemático Número 10 de Títulos Esta gráfica supone que: Todos los títulos tienen una varianza constante, Var Todos los títulos tienen una covarianza constante, cov. Todos los títulos están igualmente ponderados en la cartera. La varianza de una cartera disminuye a medida que se le añaden más títulos. Sin embargo, no disminuye hasta llegar a cero. Más bién, cov sirve como un límite mínimo. Debe quedar en claro entonces, que en el caso de un individuo que seleccione una cartera diversificada, el riesgo total de un valor individual no es importante. Cuando se considera la posibilidad de añadir un valor a una cartera diversificada, el inversionista se interesa en aquellas porciones del riesgo de un título que no se pueden diversificar. De manera alternativa, este riesgo puede visualizarse como la contribución de un título al riesgo de la totalidad de una cartera. Más adelante hablaremos del caso en el que los títulos hacen diferentes contribuciones al riesgo de la totalidad de una cartera. Sin embargo, no tenemos que olvidarnos que en el mundo real existe un costo para la diversificación. Generalmente, las comisiones por dólar invertido disminuyen a medida que se hacen compras más cuantiosas de una sola acción. Desafortunadamente, se debe comprar un número menor de acciones de cada valor cuando se compran más y más valores distintos. Un estudio realizado por Meir Statman sostiene que, despues de comparar los costos y los beneficios de la diversificación, se necesita una cartera de aproximadamente 30 títulos para lograr una diversificación óptima Meir Statman, "How Many Stocks Make a Diversified Portfolio?", Journal of Financial and Quantitative Analysis (Septiembre de 1987).