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1 . DEFINICIÓN: Es una desigualdad. INECUACIONES. DESIGUALDAD: Es una relación que nos indica que una cantidad o epresión es mayor o menor que otra. Estos se establecen solo en el campo de los números reales. Signos: (Sirven para designar a las desigualdades) También: diferente a mayor que menor que mayor o igual que menor o igual que Menores de cero (-) Mayores de cero (+) Si a es (+) a 0 Si a es (-) a 0. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES. Sea: a b Si se le suma o resta: c a c b c (NO VARIA). Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por la misma cantidad, el sentido de la desigualdad NO VARIA. Si: a b ac bc a b y c 0 c c. Si a b c 0 Cumple: ac a c bc b c se invierte 4. Si a b b c a b c a c

2 5. Si a b c > d Se cumple: a + c b + d 6. Si a b c d Se cumple: a c c - d 7. Si a b c d b 0 d 0 Se cumple: ac bd Consecuencias: Si a b siendo b 0 n a n a b n n b 8. Si: a b c d siendo b 0 c 0 Se cumple: c a b d 4. CLASES DE DESIGUALDADES:. Desigualdad condicional o inecuaciones: Son aquellos que verifican solo para determinados valores o sistemas de valores atribuido a sus incógnitas y para los cuales están definidos sus miembros. 5. Desigualdad Incondicional: Toman cualquier valor o sistemas de valores. a a toma cualquier valor real. Solución: a -5 Pero como a a -5 es OBVIO 5. CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES DE ACUERDO A SUS SOLUCIONES:. Inecuación Posible: a. Inecuación determinada: Sea: ( ) ( 4)

3 Porque 4 (ya está determinada) b. Inecuación Indeterminada: Sea ( ) + 0, cuando satisface para cualquier valor de.. Inecuación Imposible o absurda: Cuando carece de soluciones: X - (es imposible) a. Inecuación equivalente: Cuando tiene las mismas soluciones.} ( + ) INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Una inecuación de primer grado con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma: a + b 0 ó a + b 0 Si: a + b 0 b a Si: a + b 0 b a Si a = 0, la inecuación se reduce a: b 0 Para todo valor de ; es positivo, lo cual se denomina ecuación indeterminada. Resolver la inecuación: 5 6 Solución: MCM (5, 6,, ) = 0 Multiplicando por 0: Graficando:

4 ó -, -7 INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Toda inecuación de do grado puede reducirse siempre a: a + b + c 0 ; a 0 El conjunto solución: { R / a + b + c 0} y dependerá de la naturaleza del discriminante. = b 4ac Luego: Caso : Si = b 4ac 0 = a + b + c, tiene dos raíces reales diferentes, por ejemplo,, con entonces. a + b + c = ( ) ( ).) a + b + c 0 a ( - X ) ( ) 0 a) Si a 0 -, U, b) Si a 0,.) A + b + c 0 a ( ) ( ) 0 a) Si a 0, b) Si a 0 a ( ) ( ) 0 Caso : Si = b 4ac = 0 a + b + c, tiene dos raíces iguales, es decir: =, luego: Sea: a + b + c = a( ). a + b + c 0 a ( ) 0 a) Si a 0 R { } b) Si a 0. A + b + c 0. a ( ) 0 a) Si a 0 b) Si a 0 R { } Caso : Si = b -4ac 0 a + b +c, no tiene raíces reales:.. Si a 0 a +b + c 0, R.. Si a 0 a + b + c 0, R

5 Sea: ( - 6) ( - ) 0 -, U 6, INECUACIONES FRACCIONARIAS Es aquella inecuación donde por lo menos una incógnita se encuentra en el denominador: Tiene la forma: A( ) A( ) 0 o 0 B( ) B( ) Donde: B(X) 0; donde A(X) y B(X) son polinomios. Ejemplo. + < 0 Solución: La epresión estará bien definida si 0 es decir R - 0 Operando 6-0 Como es mayor que cero entonces multiplicamos a ambos miembros por esta epresión; quedando: (6-) < 0 0 CS: < 0; / /6 Hallar el conjunto solución de: ( - 6) 0; 0 Solución: Factorizando: - 6 = (-) (+) Luego: (-) (+) 0; CS: -;0 > U ;+ > - 0

6 ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN I. RESOLVER LAS SIGUIENTES INECUACIONES < < X < ( 5) ( ) 5 ( ) ( )( ) 0. ( 6) ( ) 0. ( )( 5)

7 ( ) ( ) II. RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS

8 ( ( ) ) ( 5 ) ( ) MODELO MATEMÁTICO El aplicar las matemáticas a los problemas de la vida real comprende tres etapas. Primero se traduce el problema a términos matemáticos, entonces decimos que tenemos un modelo matemático. Después se obtiene la solución del problema matemático. Por último, se interpreta esta respuesta matemática en términos del problema original. La facultad para describir las relaciones funcionales que aparecen en un problema es una habilidad matemática que importa desarrollar. Por esta razón mostraremos algunos ejemplos. Ejemplo : Si conocemos que la oferta de un determinado mineral mensual es lineal, y que cuando su precio es de US$ 6 la onza no hay unidades ofrecidas, pero cuando el precio es US$ 8 la onza, se ofrecen 56 unidades de este producto. Se desea formular la oferta del determinado mineral. Solución: Tenemos: y

9 Entonces, mediante la ecuación lineal, es decir: Cuando =6, entonces: Cuando =8, entonces: Resolviendo el sistema, tenemos: Luego: Ejemplo : y En un sondeo de opiniones, se les preguntó a los proveedores de un determinado producto de construcción sobre las cantidades que están dispuestos a ofrecer en relación a distintos precios. Los datos obtenidos se volcaron en la tabla siguiente: Calcular la ecuación de la oferta. Precio () Cantidad ofrecida (y) Solución: Entonces, mediante la ecuación de segundo grado, es decir: Se tiene: Resolviendo el sistema se tiene: Luego:

10 Ejemplo : Un fabricante de clavos quiere obtener una tonelada de un determinado tipo, para venderlo a US$ 0, por Kg. Para obtenerlo va a mezclar dos tipos de material de los que ya dispone y que cuestan a US$ 0,4 el kg y US$ 0,6 el kg respectivamente. ) Calcula la cantidad que debe entrar al menos en la mezcla del material más barato para no perder dinero. ) Cuáles deben ser las cantidades de cada tipo en la mezcla si quiere ganar al menos US$ 0,0 el kg? Solución: Tenemos: : nº kg del tipo barato 000 : nº de kg del tipo caro Planteamiento: Costo de la mezcla: 0,6+0,4(000-) Para no perder dinero debe cumplir: Para ganar al menos US$ 0,0 kg dede ser: 0,6+0,4(000-) 0,(000) Luego: 0,6+0,4(000-) 0,8(000) a) -0,08-0 0/0,08 75 kg b) -0, /0, kg EJERCICIOS APLICATIVOS 50. Una empresa dedicada a la fabricación de acabados de interiores sondeó a los posibles compradores de un modelo de lamparas sobre los precios que estarían dispuestos a pagar. Así se obtuvo una función cuadrática de Demanda. Los datos de campo se muestran en la siguiente tabla: Precio () Cantidad ofrecida (y) A partir de los datos recolectados calcular la ecuación de la demanda. 5. Las fábricas A y B elaboran ladrillos, que sus representantes venden a las empresas constructoras. Un representante de la fábrica A cobra US$ 500 más US$ 4,00 por millar de ladrillo que vende, mientras que uno de la fábrica B cobra

11 US$ 400 más US$ 6,00 por millar de ladrillos que vende. Para qué cantidad de ventas cobra más un representante de la fábrica B? 5. Tres amigos, Ale, José y Jimena, deciden asociarse para montar una empresa, necesitando para ello un capital de US$ Como no todos disponen del mismo dinero deciden invertir de la siguiente manera: Ale aporta el triple de lo que ponen José y Jimena juntos, y por cada US$ 0,00 que aporta Jimena, José aporta US$ 0. Cuánto aporto cada uno? 5. El dueño de un bar ha comprado gaseosa, cerveza y vino por importe de S/.500 (sin impuestos). El valor del vino es S/.60 menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que las gaseosas deben pagar un IGV del 6%, por la cerveza del % y por El vino del 0%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de S/.59,4 calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida. 54. Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones: mina A mina B mina C Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%) 5 7 Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 8 de cobre y 6 de hierro? 55. Una empresa tiene un ingreso mensual de S/.0 por unidad vendida de un cierto producto, por otra parte el costo fijo mensual es de S/ y el costo variable de S/. por unidad. Cuántas unidades será necesario vender por mes para que el ingreso sea igual al costo total?. PAR ORDENADO RELACIONES Definición: un par ordenado es un elemento formado por otros dos, dados en un cierto orden. Un par ordenado se anota así: (a;b). a se llama la primera componente. b se llama la segunda componente. Una aclaración importante: en todo par ordenado, las componentes son inseparables.. IGUALDAD DE PARES ORDENADOS Definición: dos pares ordenados (a;b) y (c;d) son iguales si y sólo si son iguales las primeras componentes entre sí y las segundas componentes entre sí. En símbolos: ( a ; b) ( c; d) a b c d

12 De esta definición se concluye que un par ordenado no es conmutativo, es decir que: ( a ; b) ( b; a) Se eceptúa de esta regla el caso muy particular en que a = b.. PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS Definición: dados dos conjuntos, A y B, se llama Producto Cartesiano AB a un tercer conjunto que tiene por elementos a todos los pares ordenados diferentes que se pueden formar y que tienen por primera componente a un elemento de A y por segunda componente a un elemento de B. En símbolos: AB {( a; b) / a A b B} sean los conjuntos: A {,5,7,9} y B { 4,, }. Resulta por definición de Producto Cartesiano: AB {(; (7; 4),(; 4),(7; ),(; ),(7; ),(5; ),(9; 4),(5; 4),(9; ),(5; ),(9; ), )} Obsérvese que al anotar los pares ordenados de un producto cartesiano es necesario usar un símbolo separador que resulte claro, a fin de evitar interpretaciones incorrectas. Así, para separar la primera de la segunda componentes se usa generalmente ;. En cambio, para separar pares ordenados entre sí, se acostumbra usar, 4. NO CONMUTATIVIDAD DEL PRODUCTO CARTESIANO De las definiciones de igualdad de pares ordenados y de Producto Cartesiano resulta que el Producto Cartesiano de dos conjuntos no goza de propiedad conmutativa. En símbolos: AB BA En efecto: AB {( a; b) / a A b B} En cambio: BA {( b; a) / b B a A}. Y, como: ( a ; b) ( b; a) Resulta que: AB BA Como se pretende demostrar con este razonamiento. 5. EL PRODUCTO CARTESIANO Sea el conjunto de los números reales. Es de gran interés y utilidad matemática el producto cartesiano, esto es, el conjunto de todos los pares ordenados que tienen como primera componente un número real, y como segunda componente también un número real.

13 {( ; y) / y Walter Orlando Gonzales Caicedo Como tiene infinitos elementos, resulta que está compuesto por pares ordenados de números reales. La representación geométrica más usual para este conjunto tan especial es el plano resultante de considerar un sistema de ejes coordenados ortogonales (perpendiculares), como el de la figura: y } Los ejes representan a sendos conjuntos y cada uno de los infinitos puntos de este plano representa a cada uno de los infinitos pares ordenados del conjunto. También se lo reconoce con otros nombres: plano y, plano real, plano cartesiano (en memoria a su creador, el filósofo y matemático francés Renato Descartes, o Cartesius). El símbolo se designa también con. Por ello, el plano real también es conocido como plano. = Algunos conceptos importantes relacionados con el plano real, son los siguientes: El punto de intersección de ambos ejes coordenados representa al par (0;0). Es llamado el origen del sistema. Algunos conceptos importantes relacionados con el plano real, son los siguientes: El punto de intersección de ambos ejes coordenados representa al par (0;0). Es llamado el origen del sistema. El eje horizontal se conoce con los nombres de eje, o eje de las abscisas. El eje vertical se conoce con los nombres de eje y, o eje de las ordenadas. Los puntos situados en el eje de las abscisas tienen segunda componente nula. Responden al modelo (a;0), donde a es cualquier número real. Los puntos situados en el eje de las ordenadas tienen primera componente nula. Responden al modelo (0;b), donde b es cualquier número real. Los pares ordenados (a;b), con a > 0 y b > 0, se ubican en el ángulo recto superior derecho, llamado el primer cuadrante. Los pares ordenados (a;b), con a < 0 y b > 0, se ubican en el ángulo recto superior izquierdo, llamado el segundo cuadrante. Los pares ordenados (a;b), con a < 0 y b < 0, se ubican en el ángulo recto inferior izquierdo, llamado el tercer cuadrante. Los pares ordenados (a;b), con a > 0 y b < 0, se ubican en el ángulo recto inferior derecho, llamado el cuarto cuadrante.

14 y y (a;0) (0;b) (0;0) (a;b) (a;b) b b a a>0 a<0 b>0 b>0 a 6. RELACIONES BINARIAS Definición: una relación entre dos conjuntos A y B, es cualquier subconjunto del producto cartesiano AB. En símbolos: R es una relación de A en B R AB Las relaciones entre dos conjuntos se denominan también relaciones binarias. Como el producto cartesiano es un conjunto de pares ordenados, resulta que toda relación entre dos conjuntos es un conjunto de pares ordenados. Para simbolizar una relación R entre dos conjuntos A y B se denota por: R : A Y se lee relación R, de A en B. B Sean dos conjunto: A {;} y B {5;7;9 } Su producto cartesiano es: AB {(;5),(;7),(;9),(;5),(;7),(;9)} El conjunto: R {(;5),(;7)}

15 Es una relación de A en B: R : Pues satisface la definición dada al cumplirse que: A B R AB 7. RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO Sea R una relación en A; donde R relaciones. A A. Se tiene los siguientes tipos de. Relación Refleiva: R : A A es refleiva (, ) R ; A. También: R : A A es Refleiva D(A) R Sea R: A A, A=,,5 y R = (,y) A / y, entonces: R = (,);(,);(,5);(,);(,5);( 5,5), se cumple D(A) relación refleiva. R, por lo tanto R es una. Relación Simétrica: R: A A es Simétrica (, y) R (y, ) R, (, y) R R: A A es Simétrica R = R * R = (,);(,);(,5);(,);(,5);( 5,);(5,), es fácil ver que cada elemento tiene su simétrico por lo cual afirmamos que es una relación simétrica.. Relación Transitiva: R: A A es transitiva [ (, y) R (y, z) R] (, z) R. También: R: A A es transitiva (R 0 R) R. Ejemplos:. Dada la relación R = (,6);(,9);(,);(6,9);(6,);(9,) Se tiene: (,6), (6,9) R (,9) R (,6), (6,) R (,) R (,9), (9,) R (,) R (6,9), (9,) R (6,) R Por lo tanto R es transitiva.. Sea R = (,6) Utilizando la otra definición de transitividad se tiene: RoR = R, por lo tanto R es transitiva.

16 4. Relación de Equivalencia: Una relación R en A es una Relación de Equivalencia si es Refleiva, simétrica y Transitiva. Sea: A =,,,4 y la relación R = (,);(,);(,);(,);(4,);(,);(,4);(4,4), se tiene que R es una relación de equivalencia, puesto que: R es refleiva: D(A) R R es simétrica. R es transitiva: (,), (,) R (,) R (,), (,) R (,) R (,), (,) R (,) R (,), (,) R (,) R (,), (,4) R (,4) R (4,), (,) R (4,) R (4,), (,4) R (4,4) R (,), (,) R (,) R (,), (,) R (,) R (,4), (4,) R (4,4) R (,4), (4,4) R (,4) R (4,4), (4,) R (4,) R 5. Relación Antisimétrica: R: A A es antisimétrica [(, y) R (y, ) R ] = y R: A A es antisimétrica [Si (, y) R (y, ) R ], para y R = (,);(,);(,);(,4);(4,4), R es una relación antisimétrica. Nota: Para que una relación sea antisimétrica, ningún par con componentes diferentes debe tener su simétrico. 6. Relación de Orden: Una relación R en A es una Relación de Orden si es Refleiva, Antisimétrica y Transitiva. Sea A =,,,4 y la relación en A: R = (,);(,);(,);(,);(4,4), R es una relación de orden. Observaciones: Una relación estrictamente Refleiva, cumple con todos los tipos de relaciones. Es decir; es Refleiva, Simétrica, Transitiva, Equivalencia, Antisimétrica y de Orden. La relación Nula o vacía, también cumple con todos los tipos de relaciones. Sea A = {a, b, c}, se define la siguiente relación R = {(a,a), (b,b), (c,c)} es una relación estrictamente Refleiva. Por lo tanto; cumple con todas las relaciones mencionadas.

17 8. DOMINIO Y CODOMINIO Sea R una relación entre dos conjuntos A y B. Si (;y) es un par ordenado de R ( (;y) R ), y recibe el nombre de imagen de según R; asimismo, es llamada una preimagen de y según R. Definición: el conjunto formado por todos los elementos de A que tienen imagen en B, se llama Dominio de R. Es decir: Dom ( R) { A/( ; y) R} Definición: el conjunto formado por todos los elementos de B que tienen una preimagen en A, se llama Codominio de R (Rango de R). Es decir: 9. RELACION INVERSA Ran( R) Codom( R) { y B /( ; y) R} Dada una relación R : A B cualquiera, siempre es posible definir una relación asociada a ella, llamada la relación inversa de R que se simboliza con R, de modo que: R {( ; y) /( y; ) R} Los pares ordenados (;y) e (y;) se identifican entre sí como recíprocos. Diremos entonces que toda relación inversa R -, está formada por los pares recíprocos de los de la relación R. Resulta: Sea R {(;),(4;5),( ; ),( ; )} 5 R {(;),(5;4),( ; ),( ; 5 )} Si la relación R está definida por comprensión, por una ecuación en y del tipo y=r(), la ecuación que permite definir a R - se obtiene con relativa simpleza, siguiendo los dos pasos algebraicos que se indican: En y=r(), permutar las variables e y entre sí. En la ecuación obtenida, despejar y, obteniéndose una ecuación de la forma y= R - (), que es la relación inversa buscada. Sea R {(, y) / y }

18 Una tabla de pares ordenados representativa de esa relación es: y Si aplicamos las dos transformaciones - 9 sugeridas en la descripción anterior, se - 4 obtiene: y= permutando e y entre sí: =y y despejando y, 4 y, ecuación que define precisamente 9 a R - es decir, al conjunto de todos los pares ordenados recíprocos de los de R. 0. RELACIONES EN Hemos visto que el conjunto de todos los pares ordenados de números reales es En general, estudiaremos el comportamiento de relaciones que son subconjuntos de, como una introducción al estudio de las funciones en y al estudio de modelos matemáticos sencillos. El primero de ellos, que analizaremos seguidamente, es R {(, y) / y} y se conoce con el nombre de primera bisectriz. Una tabla de pares ordenados representativa de esta relación es: y y y su gráfico de ejes cartesianos es: - - y= Entiéndase que su nombre se debe a que es una recta que contiene a las bisectrices del ero. y del er. cuadrantes.. GRAFICOS CARTESIANOS DE R Y DE R -

19 Si se grafican en un mismo sistema de ejes cartesianos a una relación cualquiera R, y a su respectiva relación inversa R, se puede observar que la recta y= es eje de simetría de la figura que las dos trazas representadas forman. Grafiquemos las relaciones: R {, y / y } y R {(, y) / y } En un mismo sistema de ejes cartesianos, juntamente con la primera bisectriz: Para R: Para R - : y y y su gráfico en ejes cartesianos es: y y= y y= ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN I. RESOLVER LAS SIGUIENTES EJERCICIOS:. Sean: A = {-, 0, } y R una relación de A en A dada por: R = {(p,q) A /0 = p + q} Determinar por etensión el dominio de R.. Dado: R = {(,), (,y), (,), (,y), (,), (,y)} representar por el diagrama de flechas, cartesiano,del árbol y tabla de doble entrada.. Hallar el dominio, el rango y graficar cada una de las siguientes relaciones: a) R = {(,y) R / 5 y + 0 = 0} f) R = {(,y) R / + y = 5} b) R = {(,y) R / ( ) = -4 (y )} g) R = {(,y) R / + y 49} c) R = {(,y) R / + y < 49} h) y 6 ; y 4 ; y d) y 0 y 0 i) e) R {(, y) R / 8 6 y 5 y 6 0 y 4. Dadas las siguientes relaciones en U {,,,4,5 } R {(, y)/ y 6} S {( y) / y } Analizar si cumplen la propiedad: a) Refleiva b) Simétrica c) Transitiva d) Antisimétrica y y 8 9 0}

20 5. Dados los conjuntos A {,,0,} y B {,0, } Se define la relación R de A en B mediante R {(, y) AB / y y 0}, entonces el dominio y el rango de R. 6. Se considera N {0,,,...}. Dado el conjunto A { N / es divisor de } y la relación R = {(,y) A A / y es múltiplo de }. Determinar Dom R Ran R Describir R - por etensión. 7. Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto cuando el precio es de $. por unidad, y 5 unidades cuando el precio es de $ 8 cada una. Encontrar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal, y el precio por unidad cuando 0 unidades son requeridas. 8. Hallar la ecuación para cada una de las relaciones cuyas gráficas aparecen descritas en: a. Una línea paralela al eje que pasa por el punto (-,4) b. Una línea perpendicular al eje que pasa por el punto (-,4) c. Una recta que pasa por los puntos (0,) y (,5) d. Una recta con pendiente, que intersecta con el eje y en y = 5 9. Sean A = {,, } y B = {0,,, }. Haz una lista de los elementos de A B. Representa gráficamente al subconjunto R = {(a, b) A B / a + b } 0. Sea A = {,,, 4}. i) Represente gráficamente las relaciones (b) y (d) en forma cartesiana y del árbol. ii) Determine las propiedades que satisfacen las siguientes relaciones en A y verifíquelas (demuéstrelas) a) R = {(,);(,);(,)}. b) R = {(,);(,);(,);(4,4);(,); (,4); (,);(,);(4,)}. c) R = {(,); (,);(,);(4,4)}. d) R = {(,);(,);(,);(,);(,);(,)}. e) R = {(,); (,); (,4); (,);(4,)}.. Sea A = {,,, 4}. Construya tres relaciones binarias en A con las siguientes propiedades: a) Refleiva, simétrica y no transitiva b) Refleiva, no simétrica y transitiva c) No refleiva, simétrica y transitiva. Para pensar: Considere la relación en R, definida por:. Qué tipo de relación es?. Dados A = {,, 4, 5} y B = {4, 6, 9}, siendo, la relación tal que + y 8, determine: Conjunto Solución, Dominio, Rango, Diagrama de Venn- Euler y Diagrama de coordenadas. 4. Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(, y) / + y 4 + 6y + 9 = 0} 5. Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(, y) / + y + 8 y + = 0}

21 6. Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(, y) / y = 4 } 7. Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(, y) / = -y } 8. Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(, y) / y + 4 0} 9. Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(, y) / + y 4 + 6y - < 0}