Sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 Sistemas de ecuaciones lineales ANTES DE COMENZAR RECUERDA resuelve estos sistemas. a) + 4 b) a) b) 4, Escribe tres ecuaciones equivalentes a estas. a) 7 b) c) 4 6 a) Respuesta abierta. Por ejemplo: b) Respuesta abierta. Por ejemplo: c) Respuesta abierta. Por ejemplo: Escribe dos sistemas equivalentes a estos. a) + b) + 5 a) Respuesta abierta. Por ejemplo: b) Aunque el sistema es incompatible, podemos considerar sistemas equivalentes. Los siguientes sistemas se han obtenido multiplicando las ecuaciones por una constante: ACTIVIDADES Escribe una ecuación con tres incógnitas de coeficientes 4,, respectivamente, con término independiente. calcula tres soluciones de esta ecuación. La ecuación es 4 +, tres soluciones son:, 6,,

2 Solucionario Determina una solución de este sistema: + Respuesta abierta. Por ejemplo:,, clasifica estos sistemas según su número de soluciones. a) + b) + 4 c) + 4 a) Tiene infinitas soluciones. El sistema es compatible indeterminado. b) No tiene solución. El sistema es incompatible. c) + 4 Tiene solución única. El sistema es compatible determinado. 4 convierte este sistema en un sistema escalonado resuélvelo resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales utiliando el método de Gauss. a) + b) a) b) λ con λ R λ

3 Sistemas de ecuaciones lineales 6 resuelve aplicando el método de Gauss. a) b) + + t 4 t + t + 4t 4 a) b) t + 4t t 4 t 6 t Discute estos sistemas de ecuaciones lineales utiliando el método de Gauss. a) + + b) + 7 a) Sistema compatible indeterminado b) Sistema incompatible

4 Solucionario 8 Discute utiliando el método de Gauss t t t t Sistema incompatible 9 Escribe mediante ecuaciones este sistema, resuélvelo aplicando el método de Gauss Determina la epresión matricial de este sistema, resuélvelo como si fuera una ecuación matricial A X B AX B X A B A A X 5 5 7

5 Sistemas de ecuaciones lineales utilia el teorema de rouchéfröbenius para discutir este sistema, resuélvelo por el método de Gauss. A 4 A 5 Rango ( ) Rango ( A*) A* 4 Rango (A) Rango (A*) < n. o de incógnitas Sistema compatible indeterminado λ λ 5 λ con λ R Discute este sistema utiliando el teorema de rouchéfröbenius, resuélvelo utiliando el método de Gauss. A A* 7 Rango( A) 8 Rango( A*) 7 Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible 4

6 Solucionario resuelve este sistema utiliando la regla de cramer, si es posible El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. 7 Se puede aplicar la regla decramer. A A 7 A A A 4 A A A 7 A 4 resuelve este sistema de ecuaciones utiliando la regla de cramer, si es posible Se puede aplicar la regla de Cramer resuelve este sistema: Rango (A) Rango (A*) n. o de incógnitas Sistema compatible determinado La solución es:,, 5

7 Sistemas de ecuaciones lineales 6 Escribe un sistema de ecuaciones lineales homogéneo de cuatro ecuaciones que tenga: a) Solución única. b) infinitas soluciones. a) Respuesta abierta. Por ejemplo: t + t t b) Respuesta abierta. Por ejemplo: t + t t 7 Discute este sistema en función de los valores de m m + m 4 4 m 4m Si m Rango (A) Rango (A*) n. o de incógnitas Sistema compatible determinado Si m 4 Rango( A) Rango( A*) Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible 8 Discute el sistema según los valores de a. + a 5 + 6

8 Solucionario El sistema es homogéneo Rango (A) Rango (A*) Sistema compatible a 5 7a+ 6 Si a 9 Rango (A) n. o de incógnitas Sistema compatible determinado Si a 9 9 Rango (A) < n. o de incógnitas Sistema compatible indeterminado 9 resuelve este sistema en función de los valores de m m + m 4 Si m 4m Se puede aplicar la regla de Cramer. m m + 6m 4 ( m)( m) 4 m 4 m 4 m 4 m 4 ( m + m7) m m m ( )( ) 4 m + m A m m m m + ( 7) m m m 4 m 5m m resuelve el sistema según los valores de a. + a 5 + 7

9 Sistemas de ecuaciones lineales Si a 9 7a + 6 Como el sistema es homogéneo, la solución es:,, Si a 9 9 Consideramos el sistema: λ La solución es:,, λ, con λ R Plantea un sistema para el siguiente problema: «Juan, Pepe Javier quieren reunir 6 para comprar un regalo. Han decidido que Juan ha de poner el doble que Pepe Javier debe poner dos terceras partes de lo que ponga Juan. cuánto debe poner cada uno?». Sean,, las cantidades que deben poner Juan, Pepe Javier, respectivamente En una fábrica trabajan personas entre obreros, oficinistas directivos. El doble del número de oficinistas más el triple del número de directivos, es igual al doble del número de obreros. Es posible saber con estos datos el número de obreros que ha? Sean,, los obreros, los oficinistas los directivos que trabajan en la fábrica, respectivamente El número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, por lo que el sistema no puede ser compatible determinado. No se puede determinar el número de obreros con estos datos. 8

10 Solucionario El precio de la estancia diaria en un hotel es de por persona. a los niños se les cobra el 5 % a los jubilados el 7 % de ese precio. Determina el número de niños de jubilados que había cierto día en el hotel, si se sabe que: había personas, el número de jubilados era igual al 5 % del número de niños se recaudaron 4.6 por la estancia de todos. Sean,, el número de personas que no son niños ni jubilados, el número de niños el número de jubilados, respectivamente , 5, , Ha 8 niños, jubilados personas que no son niños ni jubilados. 4 El presupuesto para muebles de un instituto es cinco veces la suma del de libros más el de material de oficina. El presupuesto para libros es el triple del de material de oficina. la suma de lo presupuestado para muebles material de oficina es 7 veces lo destinado a libros. a) Se puede saber con estos datos el dinero destinado a cada compra? b) Determina las cantidades si para libros ha.8. a) Sean,, los presupuestos para muebles, libros material de oficina, respectivamente. 5( + ) El rango delamatri delos coeficientes es. El sistema es compatible indeterminado. No podemos saber cuánto se ha destinado a cada compra con estos datos. b) Si Para muebles se destinan., para material de oficina, 6. 9

11 Sistemas de ecuaciones lineales 5 resuelve aplicando el método de Gauss. a) d) b) + + e) c) f) p+ q r + p+ q + r p 6q+ 4r 5 g) h) a4b c 7 a+ b c 4 ab 8c a) b) c) d) e)

12 Solucionario f) Sistema incompatible g) h) λ 5 7λ 5 λ con λ R Discute los siguientes sistemas de ecuaciones. a) b) + c) d) a + b + c a + b + c b + c e) f) 4p + q 8 6p q 5 g) h) i) a + b c a + b + c 5 b + 4c 9 j) a+ ( bc) 9 c a+ 5( b ) b 4 7 ( b c) 5 c a) 9 S 4 6 istemacompatibleindeterminado b) 5 Sistemacompatibledeterminado 4

13 Sistemas de ecuaciones lineales c) d) Sistema compatible indeterminado Sistema compatible determinado e) Sistema compatible indeterminado f) Sistemaincompatible 5 7 g) Sistemacompatibledeterminado h) i) Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado j) a + b c 9 a + 4b 6 4b c Sistema incompatible 4

14 Solucionario 7 obtén todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales: (C. Valenciana. Septiembre 7. Ejercicio B. Problema ) λ λ λ con λ R 8 Discute por el método de Gauss el sistema: Sistema compatible determinado 9 9 resuelva clasifique el sistema de ecuaciones: (Andalucía. Año 7. Modelo 4. Opción A. Ejercicio ) λ + λ con λ R resolver el sistema: Transformarlo, si es que es posible, en compatible indeterminado cambiando solamente un signo. (Cantabria. Junio 7. Ejercicio. Opción B) 4

15 Sistemas de ecuaciones lineales Sistema compatible determinado + + Respuesta abierta. Por ejemplo: Sistema compatible indeterminado Sean las matrices A, B ( m), C 5, D 9, E + m + m + 5. a) Si (AB)(C D) E, plantea un sistema de dos ecuaciones dos incógnitas (representadas por, ) en función de m. b) Para qué valores de m el sistema tiene solución? cuándo es única? resuelve el sistema si m 4. (Asturias. Junio 6. Bloque ) a) ( AB)( C D) E ( m) m+ m + 5 m m m m m m + + m m m + m + + m + + m m m m + 5 b) m m Si m Rango (A) 4 9 Rango ( A*) Rango ( A) Sistema incompatible Si m Rango (A) Rango (A*) n.º de incógnitas Sistema compatible determinado El sistema tiene una solución única. + 4 Si m

16 Solucionario Escribe mediante ecuaciones estos sistemas. a) 5 a) b) 5 a b b) a+ 4b a+ b 4 a+ 5b 6a+ 7b 5 Escribe en forma matricial estos sistemas de ecuaciones. a) b) p+ q+ r s p q+ r + s 5 q+ r 5s c) + + t v + 6v d) a) 5 c) 6 8 t v b) p q r 5 5 s d) Sea la matri de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales 5 la matri de sus términos independientes. Se pide: a) Escribir las tres ecuaciones que forman el sistema. b) obtener todas las soluciones del sistema. (C. Valenciana. Junio 5. Ejercicio B. Problema ) a) b) λ λ con λ R 45

17 46 Sistemas de ecuaciones lineales 5 Escribe en forma matricial luego resuelve empleando la matri inversa. a) b) a) AX B X A B A A 4 X b) AX B X A B A A X Dado el sistema: + + eprésalo matricialmente, AX B, calcula la matri inversa de A resuélvelo. (Galicia. Septiembre. Bloque. Ejercicio )

18 Solucionario Definimos: A B AX B X A B A X 7 Dada la siguiente ecuación matricial: + 6 obtener de forma raonada los valores de,,. (C. Valenciana. Junio. Ejercicio B. Problema ) Discute los sistemas de ecuaciones lineales utiliando el teorema de rouchéfröbenius. a) d) a+ b 6c + d a b+ c d a b 6c + d b) c) a+ b 6c + d 7 a b+ c d 6 7a+ b 6c + d e) ( + ) + 5 ( + ) ( + + ) + f) a+ 5b+ c 7 a+ b+ c a+ b+ c 4b+ c 4 47

19 Sistemas de ecuaciones lineales a) A 6 5 A* A 4 9 Rango( A) Rango( A*) Rango (A) Rango (A*) < n. o de incógnitas Sistema compatible indeterminado b) A A* 5 A 4 Rango (A) Rango (A*) n. o de incógnitas Sistema compatible determinado 6 c) A A* Rango ( A) Rango ( A *) < n. ºdeincógnitas Sistema compatible indeterminado d) A A* Rango( A*) Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible 48

20 Solucionario e) A 4 9 Rango ( A) 4 Rango (A) Rango (A*) < n. o de incógnitas Sistema compatible indeterminado 5 A* 4, f) A 5 7 A* Rango( A) Rango (A*) Rango (A) Rango (A*) < n. o de incógnitas Sistema compatible indeterminado Rango ( A*) 9 resuelve, aplicando la regla de cramer, estos sistemas compatibles determinados. a) + c) a+ b+ c a+ b+ c b+ c b) a b 6 d) a+ 5b a) Se puede aplicar la regla de Cramer

21 Sistemas de ecuaciones lineales b) 7 Se puede aplicar la regla de Cramer. 5 a b a b a b c) Se puede aplicar la regladecramer. a b 5 c a b c a b 5 c d) 6 Se puede aplicar la regladecramer resuelve, aplicando la regla de cramer, estos sistemas compatibles indeterminados. a) b) c) d) t t + t e) a bc a b c a b+ c f) p q+ r 4pq + 7r 5p+ q+ r 6p 6q+ 5r 4 a) Consideramos la ecuación: La solución es: λ, λ, con λ R 5

22 Solucionario b) 7 Consideramos el sistema: λ 5 λ La solución es:,, λ, con λ R 7 7 c) A d) La solución es: 5λ 5 λ,, λ, con λ R t + t 4 t t 4 t t 4 t t t t 4 t + t + t t La solución es: λ + λ λ,,, t λ, con λ R 5

23 Sistemas de ecuaciones lineales e) 9 a b a b c a c b c c c 6 a c b c a b λ λ La solución es: a, b, c λ,con λ R f) p λ p q r 4 4 4p 7r q λ con λ R r λ 4 resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utiliando el método de cramer (C. Valenciana. Junio 6. Ejercicio B. Problema )

24 Solucionario 4 Discute resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales. a) + + d) a+ b + c + b c + + a+ b+ c 5 b) + + e) a+ b + c + b c a+ b c 5 c) f) + t t t g) a b+ c 7 a+ b c h) a) A A* Rango( A) Rango ( A*) n.º deincógnitas Sistemacompatibledeterminado 4 4 b) A A* 7 7 Rango( A) Rango( A*) Rango (A) Rango (A*) < n. o de incógnitas Sistema compatible indeterminado Consideramos el sistema: + 5

25 Sistemas de ecuaciones lineales 4 A A 4 4 La solución es: λ λ,, λ, con λ R 5 4 c) A A* Rango( A) o Rango( A*) n. deincógnitas Sistemacompatibledeterminado d) A A* 5 o Rango( A) Rango ( A*) n. deincógnitas Sistema compatible determinado a b 5 c a b 5 c a b c 54

26 Solucionario e) A A* 5 5 Rango( A) Rango( A*) Rango ( A) Sistema incompatible f) A 4 A* Rango ( ) Rango ( *) < n. o A A de incógn i tas Sistema compatible indeterminado t Consideramos el sistema: + + 4t t + 6t + 4t + λ 6µ 5 t + 4t + 7t + λ 7µ 5 La solución es: + λ 6µ + λ 7µ,, 5 5 λ, t µ, con λ, µ R 55

27 Sistemas de ecuaciones lineales g) A A 7 * 7 Rango( ) Rango ( *) n. o A A < de incóg nitas Sistema compatible indeterminado a b 7 c Consideramos el sistema: a+ b + c 7 c a + c 5 7 c + c a 5 b 7c 9 a b λ 9 La solución es: a, b, c λ, con λ R h) A A* Rango ( A) 7 4 Rango( A*) 6 4 b 7c 9 Rango (A) Rango (A*) < n. o de incógnitas Sistema compatible indeterminado Consideramos el sistema: λ 9 La solución es: 8 + λ, λ, 9, con λ R 56

28 Solucionario 4 Dadas las ecuaciones: añadir una ecuación lineal de modo que el sistema resultante sea: a) compatible determinado resolverlo. b) compatible indeterminado dar su solución. c) incompatible justificarlo. (Navarra. Septiembre 7. Ejercicio. Opción A) a) Respuesta abierta. Por ejemplo: b) Respuesta abierta. Por ejemplo: λ 4 4λ con λ R λ c) Respuesta abierta. Por ejemplo: Sistema incompatible clasifique resuelva el sistema formado por las tres ecuaciones siguientes: (Andalucía. Año 7. Modelo. Opción B. Ejercicio ) Al ser un sistema homogéneo, es siempre compatible. A 8 Rango (A) Rango (A*) n.º de incógnitas Sistema compatible determinado La solución es: 45 El siguiente sistema de ecuaciones depende de un parámetro p. + + p p + + p p + p p Discute este sistema de ecuaciones lineales en función de los distintos valores del parámetro p. 57

29 Sistemas de ecuaciones lineales A p p p A* p p p p p p p p Si p Rango (A) Rango (A*) n. o de incógnitas Sistema compatible determinado Si p Rango (A) Rango (A*) < n. o de incógnitas Sistema compatible indeterminado 46 Discute el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro a a a A 5 4 a A 5 4 a a A* 5 4 a a 5 a a 5 Si a R {, } Rango (A) Rango (A*) n. o de incógnitas Sistema compatible determinado Si a Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible Si a Rango (A) Rango (A*) < n. o de incógnitas Sistema compatible indeterminado 47 Dado el sistema de ecuaciones lineales: + + b + 4 con b un parámetro real, calcular: a) El rango de la matri de los coeficientes del sistema según los valores del parámetro b. b) los valores del parámetro b para los que el sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado hallar la solución del sistema para los valores de b calculados. 58

30 Solucionario c) los valores del parámetro b para los que el sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado hallar las soluciones del sistema para los valores de b calculados. (Aragón. Septiembre. Opción A. Cuestión ) a) A b 4 b b + 4 Si b Rango (A) Si b Rango (A) b) Al ser un sistema homogéneo, es compatible determinado si el rango de la matri de los coeficientes es igual que el número de incógnitas, es decir, si b. En este caso, la solución es: c) El sistema es compatible indeterminado si el rango de la matri de los coeficientes es menor que el número de incógnitas, es decir, si b. Consideramos el sistema: La solución es: 5λ, λ, λ, con λ R 48 Discuta en función del parámetro a el siguiente sistema: + + a a + a (Cataluña. Septiembre 6. Cuestión ) A 5 a 5 4a a A* 5 a Si a Rango (A) Rango (A*) n.º de incógnitas Sistema compatible determinado Si a Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible 59

31 Sistemas de ecuaciones lineales 49 Discute este sistema de ecuaciones lineales 4 + para los distintos valores del parámetro k. 5 4 k 4 A A* k 5 Rango ( A) k 5k 65 Si k Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible Si k Rango (A) Rango (A*) n.º de incógnitas Sistema compatible determinado 5 Estudiar para los diferentes valores del parámetro a, la eistencia de soluciones del sistema: + a + a a + a + a a + a + a resolverlo cuando sea compatible indeterminado. (Murcia. Septiembre 6. Bloque. Cuestión ) A a a a a + a a a A* a a a a a a a a + a a a a Si a R {, } Rango (A) Rango (A*) n.º de incógnitas Sistema compatible determinado Si a Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible Si a Rango (A) Rango (A*) < n.º de incógnitas Sistema compatible indeterminado + En este caso, consideramos elsistema: + + La solución es: λ,, λ, con λ R 6

32 Solucionario 5 Discutir según los valores de m el sistema de ecuaciones: m + + Justificar la respuesta. + (Etremadura. Septiembre 7. Opción B. Problema ) m A m 5m + 5 m A* 5 Si m Rango (A) Rango (A*) n.º de incógnitas Sistema compatible determinado Si m Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible 5 Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los distintos valores del parámetro p. p + ( p+ ) p p + p p + p p p p+ p p+ p A p A* p p p p p p p+ p p p p( p ) p p p( p p) p ( p ) p p Si p R {,, } Rango (A) Rango (A*) n. o de incógnitas Sistema compatible determinado Si p, como Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible Si p A A* Rango (A) Rango (A*) < n. o de incógnitas Sistema compatible indeterminado Si p A A* Rango (A) Rango (A*) < n. o de incógnitas Sistema compatible indeterminado 6

33 Sistemas de ecuaciones lineales 5 Se considera el sistema: + ( a ) 5 + ( a ) 4 + ( a ) a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro a. b) Halla todas las soluciones para a. (Castilla León. Septiembre 7. Bloque B. Pregunta ) a) A 5 a 5 a 5 a A* 5 4 a 5 4 Si a Rango (A) Rango (A*) n.º de incógnitas Sistema compatible determinado Si a Rango (A) Rango (A*) < n.º de incógnitas Sistema compatible indeterminado b) Si a Sistema compatible determinado Qué valores debe tomar a en el siguiente sistema de ecuaciones lineales para que este sea incompatible? Y para que sea compatible? a A a a a A * a a + ( a ) + a + ( a a + a a a a a a Rango (A) Rango (A*) < n. o de incógnitas para cualquier valor de a Sistema compatible indeterminado para cualquier valor de a 6

34 Solucionario 55 Discuta en función del parámetro p el sistema de ecuaciones lineales de matri ampliada: 8 p p (Cataluña. Junio 6. Cuestión ) A p+ 5 7 p p p 7 7 ( p+ 5)( p ) 8 A* p p p 5p + 5 Si p R {5Rango, } (A) Rango (A*) n.º de incógnitas Sistema compatible determinado Si p Rango (A) Rango (A*) < n.º de incógnitas Sistema compatible indeterminado Si p 5 Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible 56 clasifica el siguiente sistema para los distintos valores del parámetro p. a+ pb c pb + c a+ b c resuélvelo en los casos en que sea posible. Al ser un sistema homogéneo sabemos que es compatible para cualquier valor de p. p A p p p 8p 5 Si p 4 Rango (A) Rango (A*) n.o de incógnitas Sistema compatible determinado Si p 4 Rango (A) Rango (A*) < n.o de incógnitas Sistema compatible indeterminado 6

35 Sistemas de ecuaciones lineales 57 Toma el sistema de ecuaciones: ( a+ ) + + aa ( + ) + ( a+ ) + a ( a+ ) + + ( a + ) a ( a + ) a) Para qué valores del parámetro es incompatible este sistema de ecuaciones? b) Qué valor debe tomar a para que sea compatible indeterminado? c) resuelve el sistema en los casos en que sea compatible. a + A a + a + a+ a( a + ) A* a+ a ( a + ) a+ a ( a + ) a + a + a + ( a+ ) + ( a+ ) a + a a ( a+ ) a+ a( a + ) a+ a ( a + ) a ( a+ ) a + aa ( + ) a+ a a aa ( + )( a ( a+ ) a a( a + )) a ( a+ )( a + a a ) Si a R {, } Rango (A) Rango (A*) n. o de incógnitas Sistema compatible determinado Si a Rango (A) Rango (A*) Sistema compatible indeterminado Si a A Rango (A) Rango (A*) < n. o de incógnitas Sistema compatible indeterminado A* Luego no ha ningún valor de a para el que el sistema sea incompatible. Los valores para los que es compatible indeterminado son. Si a R {, } a ( a + ) aa ( + ) a ( a + ) a + a ( a + )( a ) a ( a + ) a + a ( a )( a ) + a ( a + ) ( a ) 64

36 Solucionario a + a( a + ) a ( a + ) a ( a + )( a ) a ( a + ) a + a ( a + )( a ) a a ( a + ) a + a( a + ) a + a ( a + ) a ( a + ) a ( a + )( a + a a ) a ( a + )( a + a a ) a + a a ( a + ) Si a, consideramos la ecuación: + + La solución es: λ µ, λ, µ, con λ, µ R Si a, consideramos el sistema: + La solución es: λ, λ, λ, con λ R a 58 Discute este sistema resuélvelo cuando m m + + m + m m A A* m m m m 7 m m m Si m 7 Rango (A) Rango (A*) n. o de incógnitas Sistema compatible determinado Si m 7 Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible Si m 6 A

37 Sistemas de ecuaciones lineales 59 Discute resuelve (si son compatibles) los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. a) b) (La Rioja. Septiembre. Parte B. Problema ) a) 5 A A* Rango ( A) Rango ( A*) n.º deincógnitas Sistema compatible determinado b) A A* 4 6 Rango ( A) 4 47 Rango ( A*) Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible 6 Discute el sistema resuélvelo en el caso de que sea compatible indeterminado. a a 4 + a + a a 4 A a a 4 A* a a 66

38 Solucionario a 4 a 4 a a + a a a a a + a a Si a R {, } Rango (A) Rango (A*) Sistema compatible determinado Si a Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible Si a Rango (A) Rango (A*) Sistema compatible indeterminado Para a consideramos el sistema: La solución es: λ λ λ,,, con λ R 6 a) Discuta el siguiente sistema en función de los valores del parámetro a. + ( a+ ) a + b) resuélvalo para el valor de a que lo hace indeterminado. (Cataluña. Junio 7. Cuestión ) a + a) A a a + A * a a + a a a a a + a a a a Si a R {, } Rango (A) Rango (A*) n.º de incógnitas Sistema compatible determinado Si a Rango (A) Rango (A*) < n.º de incógnitas Sistema compatible indeterminado Si a Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible b) Si a, consideramos la ecuación: La solución es: + λ, λ, con λ R 67

39 Sistemas de ecuaciones lineales 6 Discute el siguiente sistema de ecuaciones, resuélvelo en los casos en que sea posible. a + a + a a a + a a + a + a a A a a a a a A* a a a a a a + a aa ( ) a a Si a R {, } Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible Si a o a Rango (A) Rango (A*) Sistema compatible indeterminado Para a consideramos el sistema: λ + λ λ Para a consideramos el sistema: + La solución es: λ, + λ, λ, con λ R con λ R 6 Dada la matri A, calcular dos números reales e tales que se verifique A + A + I, siendo I la matri unidad de orden la matri nula de orden. (Murcia. Septiembre 7. Bloque. Cuestión ) A+ A+ I

40 Solucionario 64 Dado el sistema de ecuaciones lineales: α a) Demuestra que, para cualquier valor del parámetro real α, el sistema tiene solución única. b) Halla la solución del sistema en función de α. c) Determina el valor de α para el que la solución (,, ) del sistema satisfaga que a) A A* 4 6 α Rango ( A) Rango ( A*) n. o de incógnitas Sistema compatible determinado para cualquier valor de α 5 α 5 b) 4 6 α 5 α 5 5 α α + 6 α α 5 α α 4 α 4 5α α 5 5 α α 4 α c) Si α

41 Sistemas de ecuaciones lineales 65 resuelve este sistema cuando sea posible. a + a a a A a a a a + a Si a R {, } Rango (A) Rango (A*) n. o de incógnitas Sistema compatible determinado a a a + a 5 a + a a + a a + a + a a 5 a a 4 a + a 4 4 a + a a a a 5 a a a + a a + 66 Discutir el sistema resolverlo para los valores del parámetro que lo hagan compatible determinado. m m + + m + m m A m m m m m 4 m m A* m m m m m 6m+ 4 m Si m ± Rango (A) Rango (A*) n. o de incógnitas Sistema compatible determinado Si m Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible Si m Rango (A) Rango (A*) Sistema compatible indeterminado 7

42 Solucionario Para m ± m m m m 4 m + 6m m + 6m m 4 m + m + m m m + 6m4 m + 6m 4 m 4 m + m + m m m m m 4m 4m + 6 m 4m 4m+ 6 m 4 m 4 Para m consideramos el sistema: La solución es: λ, λ,, con λ R 67 Se venden huevos de categorías XL, L M. averigua el precio de una docena de cada tipo sabiendo que: carmen pagó 4,9 por una docena de cada tipo. Jesús pagó 9,6 por docenas XL 4 docenas M. Esther se llevó docenas L M pagó 9,. Sean,, los precios de cada docena de huevos de categorías XL, L M, respectivamente , , , , +, + 8,, 6, + 9, +, 4 6 5, Así, la docena de huevos XL cuesta,8, la de categoría L vale,6 la de categoría M cuesta,5. 7

43 Sistemas de ecuaciones lineales 68 El administrador de la comunidad de vecinos está tratando de descubrir cuánto cobran a la hora un electricista, un fontanero un albañil. Sabe que: En el 4. o a el electricista estuvo hora el albañil horas tuvieron que pagar 78 de mano de obra. En el. o D pagaron 85 por las horas que estuvo el fontanero la hora que estuvo el albañil. En mi casa estuvieron hora el fontanero, hora el electricista horas el albañil nos cobraron. cuánto cobra por hora cada profesional? Sean,, los precios por hora de trabajo del electricista, el fontanero el albañil, respectivamente El electricista cobra 8, el fontanero el albañil Se están preparando dosis con dos tipos de complementos para los astronautas de la nave Enterprise. cada gramo del complemento A contiene unidades de riboflavina, de hierro de carbohidratos. cada gramo del complemento B contiene unidades de riboflavina, de hierro 4 de carbohidratos. cuántos gramos de cada complemento son necesarios para producir eactamente una dosis con unidades de riboflavina, 6 de hierro 4 de carbohidratos? (C. Valenciana. Septiembre 7. Ejercicio A. Problema ) Sean e los gramos de cada tipo de complemento Son necesarios 5 gramos del complemento A gramo del complemento B. 7 un grupo de personas se reúne para ir de ecursión, juntándose un total de entre hombres, mujeres niños. contando hombres mujeres juntos, su número resulta ser el triple que el número de niños. además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres niños han ido de ecursión. b) resolver el problema. (Murcia. Junio 8. Bloque. Cuestión ) 7

44 Solucionario a) Sean,, los hombres, las mujeres los niños que se han reunido, respectivamente. b) En un monedero tengo monedas por un valor total de 9,5. Ha cuatro veces más monedas de que de. También ha monedas de 5 céntimos. cuántas monedas ha en total? Sean,, las monedas de, 5 céntimos que tengo ahorradas, respectivamente , 5 95, Ha monedas de, monedas de 5 monedas de 5 céntimos. 7 una oveja, una cabra una ternera cuestan juntas 87. Por el precio de una ternera pueden comprarse 4 ovejas. además, sabemos que 5 ovejas una cabra cuestan 6. calcula el precio de cada animal eplica los resultados. Sean,, los precios de una oveja, una cabra una ternera, respectivamente El sistema es incompatible. No se pueden calcular los precios de los animales con estos datos. 7

45 Sistemas de ecuaciones lineales 7 Tres trabajadores A, B C, al acabar un determinado mes, presentan en su empresa la siguiente plantilla de seguimiento, correspondiente a las horas de trabajo, dietas de manutención kilómetros de desplaamiento que hicieron cada uno de ellos. Horas de trabajo Dietas Kilómetros A 4 5 B C 6 Sabiendo que la empresa paga lo mismo a cada trabajador: euros por hora trabajada, euros por cada dieta euros por kilómetro de desplaamiento que paga ese mes un total de 94 al trabajador A,.9 a B 646 a C, calcular,,. (Galicia. Junio 4. Bloque. Ejercicio ) , Pilar compra acciones de la empresa A, 5 de B de C paga., mientras que Juan gasta.75 por la compra de 5 acciones de A, de B 4 de C. con estos datos, es posible saber el precio de cada acción? Y si cada acción tiene un precio entero comprendido entre, ambos incluidos? Sean,, los precios de las acciones de las empresas A, B C, respectivamente Los rangos de la matri de los coeficientes de la matri ampliada son iguales a, como el sistema tiene tres incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. Es decir, el sistema tiene infinitas soluciones de la forma:

46 Solucionario 6λ λ λ con λ R Con los datos no es posible determinar los precios de las acciones. Si las acciones tienen un precio entero, el valor de la acción de la empresa C solo puede ser de 9, así las acciones de la empresa A valen las de B valen. 75 la suma de las edades de un padre sus dos hijos es 48. El hijo maor le lleva años al menor. Y sabemos que dentro de años la edad del padre doblará la edad del hijo maor. cuáles son sus edades respectivas? Sean la edad del padre, la del hijo maor la del hijo menor ( + ) La solución no tiene sentido, a que el hijo menor no puede tener una edad negativa. 76 Mai vende ropa en una tienda. además de un sueldo fijo cobra una comisión de por cada camisa vendida;,5 por cada pantalón por cada chaqueta. aer, por vender el doble de pantalones que de chaquetas 5 pantalones más que camisas, ganó 4,5. cuántas prendas vendió? Sean,, los precios de una camisa, un pantalón una chaqueta, respectivamente , + 45, , La solución no tiene sentido, pues no pueden venderse 6,5 chaquetas. 77 Tenemos el triple de peras que de naranjas. Si decidimos dar 5 naranjas 8 peras a cada uno de los chicos de un grupo, nos sobrarán solamente peras. cuántas naranjas peras tenemos? cuántos chicos ha en el grupo? (País Vasco. Julio 6. Apartado A. Ejercicio ) 75

47 Sistemas de ecuaciones lineales Sean el número de peras, el de naranjas el de chicos que ha en el grupo Tenemos 45 peras 5 naranjas. En el grupo ha chicos. 78 una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plaas de garaje en tres urbaniaciones diferentes. las ganancias obtenidas por la venta de una plaa de garaje en la urbaniación A son de., 4. por una en la urbaniación B 6. por una en la urbaniación C. Se sabe que se han vendido un 5 % más de plaas en la urbaniación A que en la urbaniación C. calcula el número de plaas de garaje vendidas en cada urbaniación sabiendo que el beneficio obtenido por las vendidas en la urbaniación C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbaniaciones A B. (C. Valenciana. Junio 8. Ejercicio A. Problema ) Sean,, el número de plaas de garaje vendidas en cada urbaniación, respectivamente , Se han vendido plaas de garaje en la urbaniación A, 5 en B en C. 79 Julia Pedro están hablando por teléfono para comprobar que los sistemas que han resuelto les dan los resultados. Solo ha uno donde los resultados son diferentes. Para Julia las soluciones de ese sistema son λ + 8 λ + 8,, λ, 7 7 mientras que para Pedro son µ + 7µ 8, µ,. Después de cerciorarse de que ambos han escrito el enunciado del problema de la misma manera, empiean a pensar que quiás sean dos maneras diferentes de resolverlo. Decídelo tú. λ λ λ 76

48 Solucionario µ + + µ 7µ Si formamos un sistema con las tres ecuaciones: comprobamos que ambas soluciones son correctas. 8 El encargado de un almacén desea saber lo que pesan un frigorífico una lavadora. como no tiene báscula solicita ciertas informaciones a otros empleados: Sr. Moreno: un frigorífico una lavadora juntos pesan kg. Sr. arce: el otro día llevé en el camión frigoríficos 4 lavadoras. la camioneta vacía pesa.5 kg con la carga pesaba.55 kg. Sr. Puente: o llevé 4 frigoríficos 5 lavadoras todo pesaba 48 kg. realia los cálculos para determinar los pesos. Qué sucede? Busca alguna eplicación de esos resultados. Sea el peso de un frigorífico sea el peso de una lavadora Rango ( A) 6 Rango ( A*) Rango ( A) Sistema incompatible El sistema no tiene solución; por tanto, los datos recogidos no pueden ser correctos. 8 los 76 niños de una población rural están distribuidos en tres colegios: A, B C. los matriculados en C suponen la cuarta parte de los matriculados en A, la diferencia entre el número de alumnos de A el de alumnos de B es inferior en una unidad al doble de matriculados en C. averiguar cuántos niños recibe cada uno de los colegios. (País Vasco. Julio 5. Apartado A. Ejercicio ) 77

49 Sistemas de ecuaciones lineales Sean,, el número de niños matriculados en cada colegio, respectivamente En el colegio A ha alumnos, 5 en B 5 en C. 8 El propietario de un bar ha comprado refrescos, cervea vino, por un importe total de. (sin impuestos), siendo el valor de los refrescos igual al valor conjunto de la cervea el vino. Tras añadir los impuestos, la factura asciende a.6. Hallar el valor inicial de cada una de las bebidas, sabiendo que los impuestos sobre los refrescos, la cervea el vino eran el 6 %, el % el 4 %, respectivamente. (País Vasco. Junio 7. Apartado A. Ejercicio ) Sean,, el valor de los refrescos, la cervea el vino, respectivamente , +, + 4, Los valores iniciales eran de.5 de refrescos,. de cervea 5 de vino. 8 Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones que permita encontrar la solución del siguiente problema: «En un eamen de Matemáticas que constaba de tres problemas, un alumno obtuvo una calificación total de 7,. la puntuación del primer problema fue un 4 % más que la del segundo, la del tercero fue el doble de la suma de las puntuaciones del primero el segundo. cuál fue la puntuación de cada problema?». (Andalucía. Año 6. Modelo 6. Opción A. Ejercicio ) Sean,, el valor de las puntuaciones de cada uno de los tres problemas , 4, ( + ) 84 En un hotel ha un total de 4 turistas ingleses, alemanes franceses. Si los franceses son la tercera parte de la suma de alemanes e ingleses el % de los ingleses igualan a la suma de alemanes franceses: a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar cuántos turistas de cada nacionalidad ha en el hotel. (Canarias. Junio 8. Prueba A. Pregunta 5) 78

50 Solucionario a) Sean el número de turistas ingleses que ha en el hotel, el número de alemanes el número de franceses b) Ha 8 turistas ingleses, alemanes 6 franceses. 85 Julia, clara Miguel reparten hojas de propaganda. clara reparte siempre el % del total, Miguel reparte hojas más que Julia. Entre clara Julia reparten 85 hojas. Plantea un sistema de ecuaciones que permita saber cuántas hojas reparte cada uno. Sabiendo que la empresa paga céntimo por cada hoja repartida, calcula el dinero que ha recibido cada uno de los tres. (Castilla León. Junio 7. Bloque. Ejercicio A) Sean,, el número de hojas de propaganda que reparte cada uno., ( + + ) Julia reparte 55 hojas; por tanto recibe 55 cent 5,5. Clara reparte hojas recibe cent. Miguel reparte 65 hojas, por lo que recibe 65 cent 6,5. 86 una empresa ha invertido 7. en la compra de ordenadores portátiles de tres clases A, B C, cuos costes por unidad son de.4,.., respectivamente. Sabiendo que, en total, ha adquirido 55 ordenadores que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma que la invertida en los de tipo B, averiguar cuántos aparatos ha comprado de cada clase. (País Vasco. Julio 4. Apartado A. Ejercicio ) Sean,, el número de ordenadores de cada tipo que se han comprado La empresa ha comprado ordenadores de clase A, de clase B 5 de clase C. 79

51 Sistemas de ecuaciones lineales 87 El cajero de un banco solo dispone de billetes de, 5. Hemos sacado 9 del banco el cajero nos ha entregado eactamente 8 billetes. El número de billetes de que nos ha dado es el doble del de. Plantee resuelva el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obtener el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero. (Andalucía. Año 6. Modelo. Opción B. Ejercicio ) Sean,, el número de billetes de, 5, respectivamente Hemos sacado billetes de, billete de 5 billetes de un individuo realia fotografías con una cámara digital. Sabe que cada fotografía de calidad normal ocupa siempre, megabtes de memoria. cada fotografía de calidad óptima ocupa siempre una cantidad A de megabtes, pero el individuo no la conoce. Esta semana ha llevado a revelar 4 fotografías que le han ocupado un total de 9, megabtes de memoria. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de A) donde las incógnitas sean el número de fotos de cada clase que ha realiado. Estudia la compatibilidad del sistema. b) Ha alguna cantidad de megabtes que es imposible que ocupe cada foto de calidad óptima? c) la semana pasada también hio 4 fotos ocupó 9, megabtes de memoria en total. Es posible que el número de fotos de cada tipo fuera diferente al de esta semana? (Asturias. Junio 4. Bloque ) a), + A 4 B, + A 9,, A, A 4 B*, A 9, 4 A, 44,, 9, Si A, Rango (B) Rango (B*) n. o incógnitas Sistema compatible determinado Si A, Rango (B) Rango (B*) Sistema incompatible b) Por el conteto del problema, no puede ser una cantidad negativa, para que eista solución tiene que ser distinta de,. c) Al ser un sistema compatible determinado, salvo para A,, el número de fotos de cada tipo para un valor de A es único, por lo que no podría ser otro número de fotos. 8

52 Solucionario 89 un museo tiene tres salas de eposiciones: A, B C. los precios de las entradas son, respectivamente,, 4 7. un determinado día entraron a las tres salas un total de personas, siendo la recaudación conjunta igual a la séptima parte de los visitantes de la sala B. Determinar el número de visitantes de cada sala. Justificar la respuesta. (Canarias. Junio. Prueba A. Pregunta 5) Sean,, el número de visitantes de cada sala El sistema tiene dos ecuaciones tres incógnitas, por lo que no puede ser compatible determinado. No ha suficientes datos para poder determinar los visitantes de cada sala. 9 a primera hora de la mañana en un cajero automático se desea que haa 8 billetes (de, 5 ) con un valor total de 6.. Sabiendo que por cada billetes de 5 son necesarios 4 de, plantee un sistema de ecuaciones lineales para averiguar cuántos billetes de cada cantidad ha de haber resuélvalo por el método de Gauss. (Aragón. Septiembre 7. Opción A. Cuestión ) Sean,, el número de billetes de, 5, respectivamente Ha 45 billetes de, billetes de 5 billetes de

53 Sistemas de ecuaciones lineales 9 un tren transporta 7 viajeros la recaudación del importe de sus billetes asciende a 999. calcule cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 7, cuántos han pagado el % del billete cuántos el 5 %, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el % es el doble del número de viajeros que pagan el billete entero. (Cantabria. Septiembre 6. Bloque. Opción A) Sean,, el número de viajeros que han pagado el importe total, el % del billete el 5 % del billete, respectivamente , 7 + 5, Los viajeros que pagaron el importe total han sido, los que pagaron el % han sido 4 los que pagaron el 5 % han sido. prepara TU SElECTIVIDAD En una fábrica de artículos deportivos se dispone de cajas de diferente tamaño: Grandes, Medianas Pequeñas para envasar las camisetas de atletismo producidas, con capacidad para 5, 5 camisetas, respectivamente. Si una caja grande fuera mediana, entonces habría el mismo número de grandes de medianas. En total se envasan 9 camisetas. Determina el número de cajas que ha de cada clase. (CastillaLa Mancha. Junio 8. Bloque. Ejercicio B) Sean,, el número de cajas para camisetas grandes, medianas pequeñas, respectivamente Ha 5 cajas de camisetas grandes, de medianas de pequeñas. Discute, en función del parámetro a, la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales. resuélvelo cuando sea posible. (La Rioja. Junio 8. Parte B. Problema ) a a 8

54 Solucionario 4 A 5 a 4 A* 5 a a 4 a 5 a a a Si a Rango (A) Rango (A*) n.º de incógnitas Sistema compatible determinado ( a ) + ( a ) a a + ( a ) a ( a ) ( a ) 5 6 (a a ) Si a Rango (A) Rango (A*) < n.º de incógnitas Sistema compatible indeterminado Consideramos el sistema: La solución es: 6 9λ 5 λ con λ R λ 8

55 Sistemas de ecuaciones lineales considera el siguiente sistema de ecuaciones: a a) Halle los valores de a para los cuales el sistema no es compatible determinado. b) Halle el valor de a para el cual el valor de. Determine también los valores de de en ese caso. (Cataluña. Año 8. Serie. Cuestión 4) a) A a 4 5 A* a 4 4 a a Si a 7 Rango (A) Rango (A*) n.º de incógnitas Sistema compatible determinado Si a 7 Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible b) Si : a a a+ + 4 a a a 4 Discuta resuelva el siguiente sistema 4 + a (( a + para todos los valores del parámetro a. 4 + a (( a + a (utilice el método de Gauss para 4 + a + ( a + ) 6 a su resolución.) (Aragón. Junio 6. Opción B. Cuestión ) 4 a A a a + 4 a a a + a + 8 a + a 4 a + a + 8 a 4 a A* a a+ 6 a 84

56 Solucionario Si a R, Rango ( A) Rango ( A* 4 ) n.º deincógnitas Sistema compatible determinado 4 a a a a 4 a a 4 4a a+ 6 a a+ 6 a a+ 7 a Si a 4: 4 4 A a + a a + ( a 4) + ( 4a ) a 4a 5 ( a+ ) 7 a a + 7 a a A* 4 Rango (A) Rango (A*) < n.º de incógnitas Sistema compatible indeterminado Consideramos el sistema: La solución es: λ, λ,, con λ R 7 4 Si a : 4 A 4 A* Rango (A) Rango (A*) Sistema incompatible 85

57 Sistemas de ecuaciones lineales 5 El sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: 5+ 5u+ v + u+ v se puede epresar en la forma AX B, donde A, X B son matrices cuadradas. Encontrar dicha epresión resolver el sistema matricialmente. (País Vasco. Junio 6. Apartado A. Ejercicio ) 5 u v AX B X A B 5 A 5 X Dadas las matrices: A B C determinar los valores de,, que hacen posible la igualdad matricial AB A + C. Justificar la respuesta. (Etremadura. Junio 6. Opción B. Problema )

58 Solucionario 7 Para la compra de un artículo de precio,7 se utilian monedas de, de 5 céntimos de euro de céntimos de euro. El número total de monedas ecede en una unidad al triple de monedas de. El % de la suma del número de monedas de con el doble del número de monedas de 5 céntimos coincide con el número de monedas de céntimos. Halla el número de monedas que se utilian de cada clase. (CastillaLa Mancha. Septiembre 6. Bloque. Ejercicio B) Sean,, el número de monedas de, de 5 céntimos de céntimos, respectivamente. + 5, +,, , + 5, + + +, ( + ) Se utilian 6 monedas de, 7 monedas de 5 céntimos 6 monedas de céntimos. 87