Trabajo Práctico N 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Ejercicio 1: Escriba los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en forma matricial:

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1 07 Trabajo Práctico N : SISTEMAS DE EUAIONES LINEALES Ejercicio : Escriba los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en forma matricial: a) Ejercicio : Indique si alguno de los siguientes pares ordenados son una solución de los sistemas propuestos Pares ordenados: a) (-5, -) (, -) c) (, 0) d) (-, -/) Sistemas: i) ii) 8 Ejercicio : Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales empleando cuando sea posible: i) Método matricial. ii) Regla de ramer. Interprete gráficamente.

2 07 Ejercicio : Determine, si es posible, el/los valores de λ para que los siguientes sistemas: i) ii) 0 Tengan solución única, infinidad de soluciones, o no tengan solución. 0 Ejercicio 5: Determine, en cada caso, si los sistemas de ecuaciones lineales dados son equivalentes: z b c 9 a) z 5c b a 0 z b a c c) 0 z z 5z 5 z 0 z z z Ejercicio 6: Dado el siguiente sistema de ecuaciones: z 6 z 0 a) Resuélvalo por el método de eliminación de Gauss Sabiendo que cada una de las ecuaciones del sistema representa un plano, qué significa geométricamente la solución del mismo? c) Qué relación deberá eistir entre los planos de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas para que el sistema sea incompatible? d) Y para que sea compatible indeterminado?

3 Ejercicio 7: Dados los siguientes S.E.L. a) Analice el sistema aplicando el teorema de Rouché-Frobenius. Resuelva el sistema por el método de eliminación de Gauss. c) Resuelva el sistema usando el método de Gauss-Jordan. Facultad Regional Mendoza. UTN z z 6 z Ejercicio 8: Determine, si es posible aplicando el método matricial, un vector tal que A = b si a) A ; b 0 - A ; b Ejercicio 9: Resuelva analice por Rouché-Frobenius los sistemas homogéneos asociados a los ejercicios 5 6 Ejercicio 0: lasifique los sistemas lineales con las matrices ampliadas siguientes como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible, en función de los parámetros a b. uando un caso no se pueda dar escriba nunca". uando un caso se de siempre, independientemente del valor de a b escriba siempre". Para los casos en los que obtengas varios valores de parámetros, únalos eplícitamente utilizando la conjugación pertinente " u o" (las comas no valen) a)

4 07 c) d) e) Ejercicio : Dado el siguiente sistema : z z a) Determine el conjunto solución. En cada uno de los siguientes casos responda proporcione un ejemplo cuando sea posible: Es posible agregar una ecuación al sistema dado de manera que el sistema resultante: b ) tenga única solución? b ) tenga infinitas soluciones? b ) no tenga solución?

5 07 Ejercicio : Encuentre los valores de λ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones calcule el conjunto solución. (A λi) X = 0 siendo A = Ejercicio : Dada la matriz A, plantear el sistema de ecuaciones que corresponda en cada caso para encontrar una matriz B tal que a) AB = O (Matriz nula) AB = I (Matriz identidad) Ejercicio : Argumente la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. a) Dado un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo que tiene solución única, es posible agregar otra ecuación para que el nuevo sistema no tenga solución. Para A X = B se puede encontrar una matriz B para que el sistema tenga solución única. c) Si el sistema A X = O tiene solución única, luego A es cuadrada. d) El sistema cuadrado A X = B, tiene solución única si A es equivalente por filas a la matriz identidad. e) ualquier sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene como máimo n soluciones. f) Si A B son equivalentes entonces los sistemas A X = O B X = O tienen el mismo conjunto solución. g) En el sistema A X = B ; X es solución X también lo es. Luego X + X es solución del sistema. h) En el sistema A X = O ; X es solución X también lo es. Luego X + X es solución del sistema. i) Un sistema homogéneo con matriz de coeficientes cuadrada puede tener infinitas soluciones. 5

6 07 j) Si en el sistema A X = O, X es solución, entonces k.x (k real) también es solución. k) Un sistema con más incógnitas que ecuaciones siempre es indeterminado. l) El rango de la matriz ampliada debe coincidir con el rango de la matriz de coeficientes para que el sistema A.X = B sea compatible. m) Si A es una matriz cuadrada el sistema A.X = 0 es compatible determinado, su solución es igual a la del sistema A t. X = 0. EJERIIOS RESUELTOS Ejercicio : Una fábrica de muebles se dedica a la construcción de sillas, mesas armarios. Para su construcción se utilizan madera de pino, clavos de 5mm de grosor cola de ebanista. Las cantidades de material de cada tipo para la construcción de una unidad de cada uno de los muebles es la siguiente: Silla Mesa Armario Tablones de pino aja de clavos Potes de cola Si la empresa dispone de 0 tablones de pino, 0 cajas de clavos 0 potes de cola, se quiere calcular cuántas sillas, mesas armarios puede construir ocupando todo el material: a) Escriba un sistema de ecuaciones que le permita resolver el problema Determine el conjunto solución del sistema, eiste solución al problema? c) Si su respuesta es afirmativa suponiendo que los precios de venta al público de sus productos fueran los siguientes: $00 una silla, $700 una mesa $00 un armario, determine el ingreso que tendría la fábrica si vendiera todo lo fabricado. d) Si los costos de los insumos son: $0 el tablón de pino, $0 la caja de clavos $ el pote cola, determine el beneficio obteniendo con la venta de la producción utilizando todos los recursos disponibles. Solución: a) Llamando : cantidad de sillas; : cantidad de mesas; z: cantidad de armarios tenemos: 6

7 07 z 0 z 0 z 0 Por lo tanto, si eiste solución al problema: = 8 = z = Esto es que la empresa puede construir, ocupando todo el material, 8 sillas, mesas armarios. c) Si la empresa vende todo lo fabricado, el ingreso que obtendría es: I = = $7 0 d) Para obtener el beneficio que se obtendría con la venta de la producción, se debe tener en cuenta el costo: = = $ 60 Luego, el beneficio sería: B = I B = $7 0 - $ 60 B = $

8 07 Ejercicio : Un agente financiero planea invertir pesos en bonos de tres tipos: A, B, bajo ciertas condiciones. Lo que invierte en bono B es / de lo invertido en bonos. Además, la mitad de lo invertido entre los tres tipos de bonos es igual a la suma del 60% de lo invertido en B, el 60% de el 0% de A. a) Escriba un sistema de ecuaciones lineales que le permita, en caso de ser posible, determinar cuántos pesos invertirá el agente en cada tipo de bono. Encuentre, en caso de eistir, el conjunto solución del sistema del problema. c) Suponga que además, el agente decide invertir $ más en bonos B que en A. Solución: Eiste solución a este nuevo sistema? a) B ( A B ) 0, 6B 0, 6 0, A Sustituendo la primera ecuación en la segunda resulta: A A 0. 0, 6. 0, 6 0, A 0 Luego, el sistema resultante es: B 0 A 0 0 8

9 07 9 Luego, la solución general es: 9 0 X Vemos entonces, que el problema no tiene solución pues la inversión en pesos en bonos del tipo A resultaría un valor negativo. c) El nuevo sistema planteado es: A A 0 0 B Resolviendo: Analizando el resultado obtenido a partir del nuevo sistema, concluimos que el mismo no representa solución al problema planteado.