Diseño de Experimentos Experimentos Factoriales Fraccionarios. Lic. En Estadística-Año 2015

Transcripción

1 Diseño de Experimentos Experimentos Factoriales Fraccionarios Lic. En Estadística-Año 2015

2 Conceptos introductorios En un Diseño Factorial, se ensayan TODAS las combinaciones posibles entre niveles o variantes de los factores (tratamientos) Posiblemente en las primeras fases de la experimentación aparezcan numerosos efectos potenciales de interés Si el número de factores a estudiar no es reducido, un plan factorial equilibrado (aún un plan 2 k ) exige un número elevado de pruebas Por ejemplo: para estudiar 11 factores a dos niveles con un diseño 2 k sin replicaciones se necesitan 2 11 =2048 ensayos

3 Conceptos introductorios Un plan 2 k permite estudiar un número elevado de efectos posibles. Por ejemplo, si k=6 se requieren 64 pruebas y se pueden estudiar: 6 efectos simples 15 interacciones dobles 20 triples 15 cuádruples 6 quíntuples 1 séxtuple

4 Conceptos introductorios Cada efecto se estimaría con alta precisión, a través de la diferencia de las medias de dos conjuntos de 32 observaciones cada uno La mayor parte de estos efectos serán inexistentes Además la precisión obtenida podría ser innecesariamente alta

5 Estudiando 4 factores en 8 pruebas Se puede reducir el tamaño del experimento sacrificando algo de precisión y la posibilidad de estudiar algunas interacciones de orden elevado Un plan completo para estudiar 4 factores a dos niveles requiere al menos 16 pruebas Si se desea reducir ese número cuáles elegir? Parece razonable que en las pruebas a realizar todos los factores se ensayen por partes iguales en ambos niveles (-) y (+). Eso reduce las 16 pruebas a 8. Cuáles 8? Presentemos un plan completo 2 4 y algunas reducciones posibles a 8 pruebas

6 Prueba A B C D Prueba A B C D

7 Críticas a las dos propuestas En la primera opción, se eliminaron todas las pruebas con D a nivel (-) no se podría estudiar el efecto principal del factor D. Esta opción no cumple con el equilibrio requerido entre (+) y (-) (en D) En la segunda opción, se da el equilibrio pero quedan los factores A y B ensayados en los mismos niveles, al mismo tiempo la estimación del efecto de A coincidiría con la de B. Están CONFUNDIDOS Más aún, si ambos efectos fueran importantes, de orden de magnitud parecida y de signos contrarios en el experimento NO se detectaría efecto alguno El segundo diseño NO es ortogonal

8 Una reducción adecuada Prueba A B C D Todos los efectos simples son ortogonales entre sí Todos los efectos simples son ortogonales a las interacciones dobles

9 Estimación de los efectos en la fracción factorial Para estimar el efecto del factor A deberíamos hacer la diferencia entre el promedio de las pruebas en que A está al nivel (+) y el de las que está a nivel (-): Efecto de A = (4)+(6)+(10)+(16) - (1)+(7)+(11)+(13) 4 4 Notemos que en c/u de esas 4 pruebas, B, C, D, B*C, B*D, C*D, A*B, etc. están dos veces a nivel (+) y dos veces a nivel (-) no inciden sobre el efecto A El Plan es ortogonal

10 Qué pérdida produjo la fracción? Prueba A B C D ABCD En las pruebas elegidas la interacción ABCD está siempre a nivel (+) En esas pruebas el factor D está en los mismos niveles que ABC Como ABC = D, sus efectos están confundidos Pero...hay más efectos confundidos

11 En general... Una fracción factorial permitirá estudiar el efecto de k factores con un número menor de pruebas que un factorial completo A cambio de tal reducción NO se podrán estudiar ciertos efectos. (En el ejemplo, la interacción ABCD que es llamada generador ) La reducción también producirá confusión entre algunos efectos. Se tratará de confundir efectos potencialmente importantes, con otros que casi seguro no lo sean

12 Propiedades de una buena fracción factorial No debe confundir nunca efectos principales entre sí Debería procurar no confundir efectos simples con interacciones dobles De ser posible, tampoco debería confundir interacciones dobles entre sí El grado en que puedan conseguirse estos objetivos depende del nivel de fraccionamiento del diseño

13 Generador de una fracción Se denomina GENERADOR al efecto utilizado para construir la fracción. Este efecto tiene el mismo signo en todas las pruebas y NO PUEDE ESTUDIARSE Si se eligen los signos positivos, puede expresarse I= generador : relación de definición En un diseño de fracción ½, la fracción obtenida por medio de I= generador se denomina fracción principal. La I=- generador : fracción alterna. En un plan 2 k-1 (fracción 1/2) hay un solo generador: la interacción de orden más elevado Un plan 2 k-p, tiene varios generadores

14 Resolución de un diseño Un diseño es de resolución R si ningún efecto de p factores es alias de otro efecto que tenga menos de R-p factores. La resolución de un diseño es el número de letras del generador más corto

15 Esquemas de confusión o estructura de alias En una fracción factorial cada efecto está confundido con otros. Con quien está confundido cada efecto? La estructura de confusión puede encontrarse multiplicando las letras del generador con las del efecto en cuestión (tachando los cuadrados) Por ejemplo, en la fracción anterior 2 4-1, el generador fue la interacción ABCD, entonces A está confundido con A x ABCD=A 2 BCD=BCD B está confundido con B x ABCD=AB 2 CD=ACD AB está confundido con AB x ABCD=CD, etc. Si A está confundido con AB: qué se estima en realidad cuando se calcula el efecto de A?

16 Nivel de confusión según Resolución de la fracción factorial Resolución III : los efectos principales no están confundidos entre ellos pero si lo están con las interacciones dobles Resolución IV: los efectos principales no estarán confundidos con interacciones dobles, pero las interacciones dobles están confundidas entre sí Resolución V: las interacciones dobles no estarán confundidas entre sí, ni tampoco los efectos simples con interacciones dobles. (Los efectos simples están confundidos con interacciones triples)

17 Construcción de una fracción factorial 2 k-1 Permiten estudiar el efecto de k factores a dos niveles haciendo la mitad de las pruebas de un plan completo 2 k Un método para elaborar el plan es construir el plan completo y seleccionar sólo las pruebas que correspondan a igual signo en la interacción de mayor orden Otra forma (más cómoda) es elaborar el plan completo para (k-1) factores y luego asociar el factor k a la interacción entre los (k-1) primeros

18 Ejemplo de construcción de un Plan Prueba A B C D=ABC ABCD Verificamos que ABCD es el generador de la fracción

19 Ejemplo de fracción factorial Se trata de un ensayo para estudiar el efecto de 4 factores en la estabilidad de un producto Los factores son: A: Concentración ácida: (-)=20% y (+)=30% B: Concentración catalizador: (-)=1% y (+)=2% C: Temperatura (en grados): (-)=100 y (+)=150 D:Concentración d/monómetros:(-)=25 y (+)=50.

20 Prueba Factores A B C D Estabilidad

21 Estudio de efectos en el ejemplo Cada efecto simple está confundido con la interacción triple entre los otros tres factores Cada interacción doble está confundida con la doble de los otros dos factores Efecto simple de A= (confundido con BCD) Efecto simple de B= (confundido con ACD) Efecto simple de C= (confundido con ABD) Efecto simple de D= 0.75 (confundido con ABC) La SC de cada efecto = (N/4)*Efecto 2

22 Más efectos... Se podrían estimar los efectos de las interacciones dobles, aunque si hay alguno significativo no se podrá identificar cuál es Interacción AB=CD=0.25 Interacción AC=BD=0.75 Interacción AD=BC=-0.25 Si se estiman todos estos efectos no quedan grados de libertad residuales para estimar el error...pero se podría hacer un plot de Daniel...

23 Percent Gráfico de Daniel con todos lo efectos A Normal Probability Plot of the Effects (response is estabilidad, Alpha =,05) Effect Type Not Significant Significant F actor A B C D Name concentración ácida catalizador temperatura monomeros Effect Lenth's PSE = 1,125

24 Term Gráfico de Pareto con la importancia relativa de los efectos Pareto Chart of the Effects (response is estabilidad, Alpha =,05) 4,235 A B F actor A B C D Name concentración ácida catalizador temperatura monomeros C D AC AD AB Effect Lenth's PSE = 1,125

25 ANOVA (usando interacciones para estimar variancia residual) Analysis of Variance for estabilidad(coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 4 98,500 98,500 24,625 53,73 0,004 Residual Error 3 1,375 1,375 0,4583 Total 7 99,875

26 Significatividad de los efectos Estimated Effects and Coefficients for estabilidad (coded units) Term Effect Coef SE Coef T P Constant 14,625 0, ,10 0,000 concentración ácida -5,750-2,875 0, ,01 0,001 catalizador -3,750-1,875 0,2394-7,83 0,004 temperatura -1,250-0,625 0,2394-2,61 0,080 monomeros 0,750 0,375 0,2394 1,57 0,215 S = 0, R-Sq = 98,62% R-Sq(adj) = 96,79%

27 Estimación de efectos en unidades no codificadas de los factores Estimated Coefficients for estabilidad using data in uncoded units Term Coef Constant 36,6250 concentración ácida -0, catalizador -3,75000 temperatura -0, monomeros 0,

28 Percent Plot de Daniel para los efectos incluidos en el modelo Normal Probability Plot of the Standardized Effects (response is estabilidad, Alpha =,05) Effect Type Not Significant Significant catalizador concentración ácida Standardized Effect 0 2 4

29 Term Gráfico de Pareto para los efectos incluidos en el modelo Pareto Chart of the Standardized Effects (response is estabilidad, Alpha =,05) 3,18 concentración ácida catalizador temperatura monomeros Standardized Effect 10 12

30 Frequency Standardized Residual Percent Standardized Residual Estudio de residuales Residual Plots for estabilidad 99 Normal Probability Plot of the Residuals 1 Residuals Versus the Fitted Values Standardized Residual 2 10,0 12,5 15,0 Fitted Value 17,5 20,0 4 Histogram of the Residuals 1 Residuals Versus the Order of the Data ,5-1,0-0,5 0,0 0,5 Standardized Residual 1, Observation Order 7 8

31 Otro ejemplo con más factores Se considera un problema en el que se estudia la producción de piezas de polipropileno de gran dimensión, por inyección (son piezas utilizadas en guardabarros de autos) Por la dimensión de las piezas y el sistema de llenado de los moldes, suelen quedar piezas incompletas...que hay que tirar Cuando se modifican las condiciones del proceso de inyección (material más líquido) se producen rebabas que hay que eliminar...encareciendo el proceso

32 Ejemplo: fabricante de sopas instantáneas Se desea producir paquetes con mezclas de sopas frescas con una variación mínima en el peso de los paquetes Se identifican 5 factores que pueden influir en la variación del peso de llenado Se realizó un experimento con la relación de definición I=-ABCDE

33 Factores y niveles A) número de puertos en las mezcladoras donde se agrega aceite vegetal: 1 y 3 B) temperatura que rodea la mezcladora: enfriado y temperatura ambiente C) tiempo de mezclado: 60 y 80 segundos D) peso del lote: 1500 y 2000 lb E) días de retraso entre mezclar y empacar: 1 y 7

34 Para comentar y resolver Cuál es la resolución de este diseño? Cómo se determinaron los signos + y para el factor E? Cuál es la estructura de alias? Efectos principales e interacciones dobles? Construir una fracción ¼ a partir de este diseño

35 Fracciones factoriales 2 k-p Cuando hay un número considerable de factores, es posible usar planes más fraccionados, sin perder la posibilidad de estudiar efectos importantes Para construir un 2 k-p, se escribe el plan completo para los primeros (k-p) factores y luego se asignan los p restantes a interacciones entre los primero (k-p) Deben seleccionarse estas interacciones de modo que no se confundan entre sí factores importantes Ver tabla de Box, Hunter y Hunter

36 Estructura de confusiones y generadores Por ejemplo, consideremos k=6 y p=2 Construimos un factorial completo para A,B,C y D Se asigna el factor E a la interacción ABC ABCE es un generador Se asigna el factor F a la interacción BCD BCDF es un generador El producto de generadores (tachando cuadrados) también es generador: ABCE x BCDF = ADEF El diseño será de Resolución IV. Con qué estará confundido el efecto de A? Y la interacción AB?

37 Un ejemplo de Plan Se plantea como objetivo mejorar la resistencia de un adhesivo de resina y sacarosa Se estudian seis parámetros del proceso: Sacarosa en gr., Paraformol en gr., Sosa en gr., Agua en gr., Temperatura máxima en ºC, Tiempo a 7ºC En la Tabla 3 están las mediciones de resistencia para niveles codificados de las variables, en un diseño donde se asignó el factor 5 a la interacción123 y el factor 6 a la interacción 234

38 Orthogonal Array Genichi Taguchi elaboró un conjunto de tablas y gráficos con la intención de facilitar el uso del Diseño de Experimentos, por personal no especializado, como una herramienta de trabajo Sus tablas, conocidas como Orthogonal Array Li contienen planes factoriales altamente fraccionados, siendo i el número de pruebas El nombre es porque con ellos (como con toda fracción factorial), los efectos simples de los factores son ortogonales

39 Más sobre los diseños Li En particular, los arreglos L8 y L16, que corresponden a diseños con 8 y 16 pruebas para factores a 2 niveles, son las fracciones factoriales y Las tablas están dispuestas de modo que los factores asignados a las primeras columnas tengan que cambiarse de nivel pocas veces en el experimento (por supuesto debería seguirse el orden indicado) Se utilizan símbolos 1 y 2 en lugar de y +

40 Asignación de factores en un Li El número de factores a ensayar con un Li puede ser igual a la cantidad de columnas del Plan o menor Si hay menos factores que columnas, se pueden aprovechar grados de libertad para estudiar algunas interacciones dobles de interés, evitando que estén confundidas entre sí o con factores simples Para ello se buscan las columnas a las que asignar los factores, de modo que dichas interacciones resulten asociadas a columnas que quedan libres Para facilitar, se acompañan de tablas que especifican con qué columna se confunde c/interacción doble

41 Diseño de Plakett-Burman (1946) Es un L12, con el que se podrían estudiar los efectos de 11 factores en sólo 12 pruebas (de este modo sería un diseño completamente saturado, sin grados de libertad para el error) Para estudiar 11 factores a dos niveles serían necesarias 2048 pruebas en un factorial completo Si se añadieran otras 12 pruebas en las que se intercambiaran los 1 y 2, se obtendría un Plan de Resolución IV y sería posible agregar el estudio de un factor más que estuviera al nivel 1 en las 12 primeras pruebas y a nivel 2 en las 12 últimas

42 Diseños factoriales a 3 niveles En variadas situaciones es necesario estudiar algunos factores a más de dos niveles, en particular, cuando alguno de ellos es cuantitativo y se desea precisar la naturaleza de la función de respuesta En estos casos, si se necesita investigar la existencia de posibles curvaturas que permitan obtener los niveles óptimos de los factores es imprescindible experimentar al menos en tres niveles

43 Fracciones factoriales a 3 niveles Los planes factoriales completos con factores a tres niveles exigen muchas pruebas, por ejemplo: C/ 4 factores 81 pruebas (sólo 16 a 2 niveles) C/ 5 factores 243 pruebas (sólo 32 a 2 niveles) C/ 6 factores 729 pruebas (sólo 64 a 2 niveles) En estos casos, es muy útil utilizar fracciones factoriales. Fueron propuestas hace muchos años, pero Taguchi, las popularizó impulsando su uso en Ingeniería de Calidad y Diseño robusto Tres de ellos, muy usados son L9, L18 y L27

44 Fracción factorial L9 Corresponde a un cuadrado grecolatino 3x3 del diseño clásico. Es completamente saturado ya que los 8 grados de libertad son para 4 factores con 2 grados de libertad cada uno Si en lugar de 4. Hay 3 factores cuantitativos, conviene asignarlos a las columnas 2,3 y 4 porque así los efectos de primer orden (lineal) no están confundidos con los efectos de segundo orden (cuadráticos o interacciones lineal x lineal) diseño de Resolución IV generalizado

45 Diseño L9 Gráfico lineal: 3, Prueba Nº Columnas

46 Fracción factorial L18 Estudiando 4 factores a tres niveles, el L18 resulta un diseño de Resolución IV si se los asigna a las columnas , o De las tres alternativas la es mejor porque los efectos cuadráticos de 3 y 7 no están confundidos con efectos de segundo orden y la estructura de confusiones de las componentes lineal x lineal son más sencillas Para 5 o más factores, ya no se encuentran alternativas de Resolución IV

47 Estudios posibles con el L18 En las 18 pruebas, se pueden ensayar un factor a 2 niveles y hasta 7 factores a 3 niveles (un plan equilibrado exigiría 3 7 *2 = 4374 pruebas) Es posible adaptarlo a otras situaciones (por ejemplo si hubiera dos factores a dos niveles) sin perder la ortogonalidad del diseño

48 Diseño L18 Prueba

49 Fracción factorial L27 El L27 fue ideado por Fisher en 1942 Pueden probarse 13 factores a 3 niveles en 27 pruebas (un plan equilibrado exigiría 3 13 = ) Para 13 factores es un diseño completamente saturado Es posible estudiar alguna interacción sacrificando ciertas columnas. Su elección está facilitada por la Tabla de interacciones y los Grafos lineales que acompañan al diseño.

50 Estudios posibles con el L27 Si se estudian 9 factores a 3 niveles las 27 pruebas constituyen un diseño de Resolución IV. Para ello habría que elegir las columnas y 13 Hay varios subconjuntos de 4 columnas, entre estas 9, con la propiedad de que los efectos cuadráticos están también incorrelacionados con las componentes lineal x lineal de las interacciones dobles. Uno posible es el

51 Manejo de los Orthogonal Arrays Hay situaciones prácticas que no se adaptan exactamente a un OA, pero se pueden acomodar manteniendo la ortogonalidad de los efectos estudiados En una columna para un factor a 3 niveles, se puede acomodar uno a 2 niveles, haciendo equivalentes 2 de los 3 primitivos En cualquier diseño con factores a 2 niveles, es posible acomodar uno con 4, usando 2 columnas cualquiera y la de su interacción En un diseño con factores a 2 niveles es posible acomodar uno con 3, haciendo el juego anterior y luego haciendo equivalentes 2 de los 4 resultantes

52 Método del nivel ficticio Con este método es posible asignar un factor a alguna columna que fue prevista para más niveles Se convierten en equivalentes los dos o más niveles sobrantes del factor previsto por el OA Por ejemplo, partimos de un L9 originalmente previsto para 4 factores a tres niveles, y queremos acomodar en esas 9 pruebas un factor a 2 niveles y tres factores a 3 niveles En la columna 1 (por ej) se asigna el factor a dos niveles haciendo el doble de pruebas a nivel 2

53 Ortogonalidad lograda con el Método del nivel ficticio El método enunciado garantiza que no se pierda la otogonalidad de los efectos de cada factor Esto significa que al estimar el efecto del factor con el nivel ficticio, los niveles de los otros factores estarán repartidos equilibradamente y por lo tanto en el cálculo de las medias influirán por igual y se anulará su efecto Análogamente,este factor con nivel ficticio aparece equilibradamente en cada nivel de los otros factores por lo cual no incide en la estimación de sus efectos

54 Método de fusión de columnas Si al contrario de la situación anterior, se debe experimentar con un factor a más niveles de aquellos para los que están previstos los OA, se pueden usar dos columnas y la de su interacción, fusionadas en una sola Por ejemplo ubiquemos en un L8 un factor a 4 niveles. Se fusionan las columnas 1, 2 y la 3 (interacción), asignando un nivel a cada combinación de los niveles originales El nuevo diseño es también ortogonal

55 Otros ejemplos de fusión de columnas En un L27 se podría asignar un factor a 9 niveles construyendo una nueva columna a partir de las 1,2,3 y 4 En un L18 se podría asignar un factor a 6 niveles utilizando las columnas 1 y 2 (en este caso la interacción entre ambas no está confundida con las otras columnas)