UNIDAD: GEOMETRÍA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS

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1 u r s o : Matemática Material N 12 UNI: GOMTÍ GUÍ TÓIO ÁTI Nº 10 ONGUNI TIÁNGULOS Y LMNTOS SUNIOS ONGUNI TIÁNGULOS INIIÓN os triángulos son congruentes si y sólo si eiste una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. Q Q Q Q Q JMLOS 1. Los triángulos Q y TNM de la figura 1, son escalenos. Si Q TNM, entonces cuál de las siguientes proposiciones es falsa? M ) Q TN ) TM ) Q NM ) Q NMT ) Q TMN Q ig. 1 T 2. n la figura 2, con, //, = 80º y = 40º, cuál es la medida del? ) 40º ) 60º ) 80º ) 90º ig. 2 ) No se puede determinar N

2 OSTULOS ONGUNI TIÁNGULOS L : os triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado. c β c β LL: os triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. b c b c β LLL : os triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales. b a b a c c LL > : os triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales. γ b b γ b < c c c JMLOS 1. n la figura 1, y. Si, entonces el triángulo es congruente con el triángulo en su orden ) ) ) ) ) ig l triángulo de la figura 2, es isósceles de base, y =. ntonces, cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) congruentes? I) con II) con III) con ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y II ) I, II y III ig. 2 2

3 LMNTOS SUNIOS L TIÁNGULO LTU s la perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. H H = OTONTO (punto de intersección de las alturas) ISTIZ s el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes γ γ I I = INNTO (punto de intersección de las bisectrices) β β TNSVSL GV s el trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. G G = NTO GV (punto de intersección de las transversales de gravedad) OSVIÓN: Si rectángulo en, entonces. = = SIMTL s la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo. O O = IUNNTO (punto de intersección de las simetrales) MIN s el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del triángulo. OSVIÓN: // // // 3

4 JMLOS 1. n la figura 1, el es equilátero y el es rectángulo isósceles. Si es altura, entonces + β + γ = ) 105º ) 120º ) 135º ) 150º ) 165º β γ fig n la figura 2, es bisectriz del. uál es la medida del? ) 10º 60º fig. 2 70º ) 20º ) 50º ) 60º ) 110º 3. n el de la figura 3, es transversal de gravedad y =. La medida del es ) 40º ) 70º ) 80º ) 90º ) no se puede calcular 70º fig n la figura 4, S es simetral de y // S. uál es la medida del? ) 139º ) 90º ) 51º ) 49º ) 41º 49º S fig. 4 49º 5. n el triángulo Q de la figura 5, Q = 80º y es mediana. uánto mide el? ) 35º ) 45º ) 50º ) 55º ) 60º 4 55º Q fig. 5

5 LGUNOS TOMS NTS UN TIÁNGULO ISÓSLS Y/O QUILÁTO n todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado distinto. = h c = t c = b y = s c = n todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a cualquier lado. demás, coinciden los puntos singulares G JMLOS 1. l triángulo de la figura 1 es isósceles de base. es punto medio de y = 50º. uánto mide el ángulo? ) 25º ) 30º ) 40º ) 50º ) 80º fig n el triángulo equilátero de la figura 2, es punto medio de y es bisectriz del ángulo. uánto es el suplemento de + y? ) 150º ) 120º ) 90º ) 60º ) 30º y fig. 2 5

6 JIIOS 1. n el triángulo de la figura 1, es bisectriz del. Si = 70º y = 50º, entonces cuánto mide el ángulo? ) 30º ) 50º ) 60º ) 70º ) 100º fig Si en el triángulo de la figura 2, MN es mediana, entonces el ángulo NM mide ) 40º ) 100º ) 120º ) 130º ) 140º M fig. 2 N 40º 3. n el triángulo ST de la figura 3, TH es altura, = 110º y β = 140º. uál es la medida del ángulo? ) 20º ) 30º ) 50º ) 60º ) 70º S T H β fig n el triángulo de la figura 4, = =. uál es la medida del? ) 35º ) 40º ) 60º ) 70º ) 110º 35º fig. 4 6

7 5. n la figura 5, los puntos, y son colineales,, = 36º y = 20º, cuánto mide el? ) 20º ) 36º ) 64º ) 108º ) 116º fig n el triángulo rectángulo en de la figura 6, es altura. uál es la medida del ángulo? ) 140º ) 135º ) 125º ) 115º ) 100º 25º fig. 6 40º 7. Qué pareja(s) de triángulo(s) es(son) congruente(s)? I) II) III) º 10º 150º º 20º º º 30º 12 65º 150º ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo I y III ) Sólo II y III ) I, II y III 8. uánto mide el en el de la figura 7, si es mediana? ) 90º ) 72º ) 60º 2 fig º

8 ) 48º ) 42º 9. n la figura 8, Q. Si Q, cuánto mide el ángulo eterior H? ) 62º ) 64º ) 74º ) 106º ) 116º Q 58º fig. 8 H 10. Las siguientes figuras están formadas por dos triángulos equiláteros. n cuál(es) de ellas se puede asegurar que los triángulos son congruentes? I) II) III) ) Sólo en I ) Sólo en II ) Sólo en III ) Sólo en II y III ) n ninguna de ellas 11. Los triángulos de la figura 9, son congruentes según el criterio ) LL fig. 9 70º 4 70º ) LL ) L 7 ) LLL 3 ) 60º 50º 12. L os triángulos Q y STU de la figura 10, son congruentes. Si Q = Q = 5 cm, VU = 3 cm y TV es transversal de gravedad, cuánto mide? ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 V U fig Q S T

9 ) n la figura 11, rectángulo en y isósceles de base. uál es la medida del? ) 40º ) 35º ) 30º ) 20º ) 15º 30º fig n la figura 12, si el es rectángulo en y es altura, cuáles de las afirmaciones siguientes nos permiten asegurar que los triángulos y son congruentes? I) isósceles. II) III) punto medio de. fig. 12 ) Sólo I y II ) Sólo I y III ) Sólo II y III ) I, II y III ) Ninguna de ellas 15. n el triángulo de la figura 13, es transversal de gravedad y =. Si = 60º, entonces el ángulo mide fig. 13 ) 20º ) 25º ) 30º ) 40º ) 5º 16. n la figura 14, NMT. Si = 40º y NMT = 80º, entonces es falso que ) NMT ) el NTM mide 60º ) el MNT es escaleno ) NT ) el TNM mide 80º T fig M N

10 17. n qué triángulo al trazar cualquier bisectriz se forman dos triángulos congruentes? ) ectángulo isósceles ) Isósceles acutángulo ) ectángulo escaleno ) quilátero ) n ninguno 18. n el (fig. 15), es transversal gravedad y =. ntonces, la medida del ángulo es ) 110º ) 100º ) 90º ) 80º ) 60º fig Los ángulos eteriores de un triángulo están en la razón 3 : 2 : 3, luego el triángulo es ) escaleno obtusángulo ) escaleno rectángulo ) isósceles obtusángulo ) isósceles rectángulo ) isósceles acutángulo 20. n cuál de las alternativas se encuentra el dato que falta para afirmar que los triángulos y de la figura 16, son congruentes? ) ) 60º ) // 40º ) ) No se requiere dato adicional 80º 80º fig

11 21. l de la figura 17, es equilátero. uál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) = 120º II) Si punto medio de, entonces. III) Si, entonces es punto medio de. ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y III ) Sólo II y III ) I, II y III fig uál de las siguientes afirmaciones es verdadera? ) os triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente, son congruentes. ) Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes. ) Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes, son congruentes. ) Si dos triángulos rectángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, son congruentes. ) Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo respectivamente congruentes, son congruentes. 23. Los triángulos y de la figura 18, son congruentes por el(los) criterio(s): I) LL II) L III) LLL 10 7 fig. 18 ) Sólo III ) Sólo I y II ) Sólo I y III ) Sólo II y III ) I, II y III

12 24. n los triángulos y de la figura 19, se sabe que //, //, =, G = G y =. uál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si G G, entonces G G. II) uadrilátero uadrilátero. III) G = 2G ) Sólo I ) Sólo II fig. 19 ) Sólo I y II ) Sólo I y III ) I, II y III G 25. n el de la figura 20, cuál de las siguientes afirmaciones permite demostrar que es bisectriz del? ) y fig. 20 ) y ) y ) y ) y 26. n el Q de la figura 21, S es altura y S = SQ. l Q es equilátero si: (1) S QS (2) S = 60º fig. 21 ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) 12 S Q

13 ) Se requiere información adicional 27. n el MN de la figura 22, se puede afirmar que los triángulos ON y O son congruentes si: (1) punto medio de N. (2) MO equilátero. fig. 22 ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional M O N 28. n la figura 23, Q ST y T pertenece a Q. Se puede determinar la medida del ángulo T si: (1) QS = 50º (2) ST = 65º T fig. 23 ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) Q ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional S 29. Los triángulos y son congruentes (fig. 24). Se puede determinar la medida del si: (1) = 40º (2) fig. 24 ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional 13

14 30. (fig.25). l es equilátero si: (1) = 30º (2) = 120º fig. 25 ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional SUSTS jemplos ágs LVS ÁG SIM12 uedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 14