ANÁLISIS Y DISEÑO DE ALGORITMOS

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1 ANÁLISIS Y DISEÑO DE ALGORITMOS CURSO 2005/2006 BOLETÍN DE PROBLEMAS: ALGORITMOS VORACES Ejercicio 1 Sean n personas, representadas por los Enteros : 1..n, puestas en círculo, y m, un Entero no negativo cualquiera, comenzando por la persona 1, seleccionamos a la persona que esté m puestos a la derecha de aquélla, eliminándola del círculo. El proceso se repite con la siguiente a la eliminada, hasta que sólo quede una persona, la cual debe devolver el algoritmo. Haga un diseño voraz del algoritmo que solucione el problema. Ejercicio 2 Se puede demostrar que un grafo no dirigido y conexo (existe al menos un camino entre cualquier par de vértices), contiene al menos un árbol de recubrimiento (o de extensión), es decir, puede encontrarse un conjunto de aristas de manera que forman un subgrafo conexo y acíclico, conteniendo a todos los Vértices del grafo original: Grafo Árbol1 Árbol2 Si el grafo es ponderado (tienen un peso sus aristas), puede obtenerse de los árboles de recubrimiento el de peso total mínimo (suma de los pesos de todas sus aristas). Escribir un algoritmo voraz (algoritmo de Kruskal), que nos permite obtener un árbol de recubrimiento mínimo, de manera que en cada paso se escoja una arista A del conjunto de aristas restantes (que inicialmente incluye a todas las aristas del grafo), mediante los siguientes criterios: (a) A es la de menor peso. (b) Si llamamos componentes conexas a los grupos de vértices que están conectados por aristas ya seleccionadas (inicialmente, cada vértice formaría una componente conexa diferente), la arista A debe unir dos vértices pertenecientes a dos componentes conexas diferentes, lo que equivale a que no se formen ciclos. Tenga en cuenta que la solución se alcanza cuando el número de aristas seleccionadas es el número de vértices del grafo de partida menos 1. Ejercicio 3 Escriba un algoritmo voraz (algoritmo de Prim), que nos permite obtener un árbol de recubrimiento mínimo, de manera que en cada paso se escoja una Arista A del conjunto de

2 aristas restantes (que inicialmente incluye a todas las aristas del grafo), mediante los siguientes criterios: (a) A es la de menor peso (b) A es incidente en uno y sólo uno de los vértices incluidos en la solución obtenida hasta el paso anterior (correspondiente a las aristas ya seleccionadas). Comience por un vértice cualquiera del grafo. Tenga en cuenta que la solución se alcanza cuando el número de aristas seleccionadas es el número de vértices del grafo de partida menos 1. Ejercicio 4 Se necesita realizar N tareas independientes en una máquina multiprocesador, con M procesadores pudiendo trabajar en paralelo (supóngase N > M). Siendo t i el tiempo de ejecución de la i-ésima tarea en cualquier procesador, el problema consiste en determinar en qué procesador hay que ejecutar cada uno de los trabajos, de forma que el tiempo final de la ejecución de todos los trabajos (tiempo de ejecución del procesador más cargado) sea mínimo. Supóngase que no hay restricciones acerca de cuándo puede comenzar la ejecución de cada trabajo. SE PIDE codificar un algoritmo voraz, tal que escoja para la tarea i-ésima el procesador más ocioso (menos cargado) después de asignar procesador a las tareas anteriores. Ejercicio 5 Implementar un algoritmo voraz para colorear un grafo no dirigido (asignar un color a cada nodo tal que dos conectados entre sí no tengan el mismo color), con el menor número de colores diferentes, con los siguientes criterios: (a) Los colores se representan por enteros consecutivos comenzando en 1. (b) Se seleccionará en cada paso aquel nodo al cual puedan asignarse menos colores, y en caso de igualdad, uno de los que tengan el mayor número de vecinos sin colorear. (c) Para el nodo seleccionado se asignará el menor color de entre los posibles. Notas: El grafo viene definido por el array g[1..n,1..n] de Logico, siendo N el número (5) (3) de nodos del grafo, e indicando g[i,j] la (2) (1) (6) existencia de una arista que une a los nodos i y j. (4) La solución sol es un array[1..n] de Entero, correspondiente a los colores de cada nodo. La figura muestra un ejemplo de la aplicación del algoritmo. Entre paréntesis aparece el número de orden de los primeros nodos coloreados. Deben usarse las variables: nodosnocoloreados: array[1..n] de Lógico (indica si ha sido coloreado cada nodo) numvecinos: array[1..n] de Entero (número de vecinos no coloreados de cada nodo) coloresposibles: array[1..n,1..n] de Lógico (coloresposibles[i,j] indica si el color j puede asignarse al nodo i) numcoloresposibles: array[1..n] de Entero (número de colores posibles de cada nodo)

3 Ejercicio 6 Se dispone de n archivos con sus datos ordenados, y se requiere un algoritmo eficiente que los mezcle en un único archivo ordenado, utilizando un algoritmo de intercalación entre dos ficheros (cuyo tiempo de ejecución es proporcional a las suma de los tamaños de los ficheros). Así, si n = 2 se resuelve el problema con el algoritmo de intercalación, del cual sabemos que es T(n)=c(n 1 + n 2 ), con n i el tamaño del archivo i (i = 1, 2). Cuando n = 3 tendremos 3 posibles intercalaciones (que representamos simbólicamente con el operador ): (n 1 n 2 ) n 3, (n 1 n 3 ) n 2 y (n 2 n 3 ) n 1, que tienen distintas constantes multiplicativas ya que, por ejemplo, en el primer caso los datos de los archivos 1 y 2 intervendrán dos veces en el algoritmo de intercalación, por lo tanto cuando los tamaños de los archivos son grandes y muy diferentes, podremos observar cambios apreciables en los tiempos de ejecución. Si n es suficientemente grande, este efecto se verá aumentado debido al gran número de posibilidades de intercalación. Una solución óptima se consigue mediante un algoritmo voraz. (a) Qué criterio de selección del mejor candidato es el más óptimo? Justifique la respuesta. (b) Escriba el algoritmo voraz que mezcle los n archivos. Ejercicio 7 (*) Se tiene un conjunto de m reparaciones cuyas duraciones son respectivamente t 1, t 2,..., t m y n fontaneros de tal forma que m > n. Diseñar un algoritmo que tenga complejidad polinómica que asigne cada reparación a un fontanero de tal forma que el tiempo medio de espera de los clientes sea mínimo. Demuestre, si dispone de un algoritmo que obtiene el mínimo, que esta solución no es una solución aproximada. Ejercicio 8 (*) Obtener un algoritmo voraz para resolver el problema de la asignación que aplique la heurística que se describe a continuación. En el problema de la asignación se trata de, dados n agentes y n tareas, y un coste c[i, j] asociado a la asignación de cada agente i a cada tarea j, escoger aquella asignación total (a cada agente le corresponde una tarea diferente) que minimice el coste total asociado. El criterio para escoger la siguiente asignación es el siguiente: para cada fila i no escogida aún en las asignaciones previas se evalúa la diferencia DF i entre los dos valores más pequeños que aún pueden ser tomados para la asignación; lo propio se realiza para cada una de las columnas j, obteniéndose las cantidades DC j. Se selecciona aquella fila (o columna) para la cual DF i (o DC j ) sea la máxima de entre todas las DF i y DC j calculadas. En el ejemplo (a) de la figura el valor máximo de todas las DF i y DC j es 6, correspondiente a la fila i = 3. La asignación que se seleccionará será el valor mínimo de esa fila, 11. En el caso (b), el valor máximo de todas las DF i y DC j es 6, correspondiente a la columna j = 4, seleccionándose DF DF DF DC DC DC 0 1 (a) (b) (c)

4 entonces el valor mínimo de esa columna, 22. Una vez realizada la selección de una asignación, los demás valores de la misma fila y los de la misma columna quedarán descartados (tachados en la figura). Las asignaciones realizadas anteriormente aparecen sobre fondo negro en la figura. Ejercicio 9 (*) Una línea de fabricación de coches tiene diez puestos para ensamblar coches con tres diferentes opciones de acabado, de acuerdo con las siguientes restricciones: 1. No puede haber más de dos coches de la opción 1, más de tres de la opción 2 y más de cuatro de la opción 3 en la línea de ensamblado. 2. No puede haber dos coches con la misma opción juntos. 3. La entrada y salida a la línea de ensamblaje se hace de uno en uno. Se pide, suponiendo que se quieren fabricar N1 coches de la opción 1, N2 coches de la opción 2 y N3 coches de la 3: (a) Diseñar un algoritmo voraz que optimice el tiempo de fabricación. El criterio de selección consiste en escoger en cada paso la primera opción con mayor número de coches pendientes por ensamblar, y que cumpla las restricciones 1 a 3. En caso de que no sea posible introducir en la línea de ensamblado ningún coche que cumpla las restricciones se introduce un hueco (un cero en la secuencia). En caso de que haya más de un tipo de opción con el mismo número de coches por ensamblar, se escogería una opción cualquiera. El prototipo del algoritmo es proc ensamblar(n1,n2,n3:entero) dev (s: Lista de Entero) (b) Discutir si este algoritmo encuentra realmente el óptimo o un valor aproximado. Ejemplo: Si se desean fabricar 6 coches de la opción 1, 10 coches de la opción 2 y 5 de la opción 3 la solución sería: Ejercicio 10 s = {2,1,2,1,2,3,0,3,0,3,2,1,2,1,2,3,0,3,0,0,2,1,2,1,2,0,0,0,0,0,2,0,...} Dado un presupuesto de P euros para comprar diferentes libros para una biblioteca, sabiendo que: No se pueden comprar más de 5 ejemplares de un mismo libro Los precios de los libros están recogidos en un array de N enteros denominado precios, que contiene los diferentes precios de cada libro en céntimos de euro. Suponiendo que se desea maximizar el número de libros comprados para ese presupuesto P, escribir un algoritmo voraz que intente resolver el problema. Es posible garantizar el óptimo?

5 Ejercicio 11 Dado un array M de N objetos, que son registros cada uno con un campo volumen y un campo precio, se desea rellenar una mochila de volumen W tal que el precio de los objetos que caben en ella sea máximo. Desarrollar un algoritmo voraz que obtenga una solución al problema de la forma más óptima posible. Justifique si la solución que ha encontrado es óptima o no. Nota: Los objetos no pueden fraccionarse. Ejercicio 12 Los residentes de una urbanización desean pavimentar las calles, y para ahorrarse dinero, en vez de pavimentar todas las calles, deciden pavimentar únicamente aquellas suficientes que permitan ir a cualquier intersección de la urbanización, gastándose el menor dinero posible. Diseñar un algoritmo voraz donde dado el grafo de los costos de cada calle obtenga qué calles hay que pavimentar para poder llegar a cualquier intersección con pavimento. NOTA: En cada paso, seleccionar para ser pavimentada aquella calle, de las que aún no han sido seleccionadas, que tenga costo mínimo y no una a dos intersecciones ya unidas directa o indirectamente por calles ya seleccionadas por el algoritmo. Ejercicio 13 Diseñar un algoritmo voraz cuyo objetivo sea maximizar el valor de una mochila de peso máximo pmax, en la que se pueden introducir objetos de N tipos distintos que vienen representados por objetos: array [1..N] de Registro (no ordenado), cuyos campos son peso, valor y cantidad, que indican respectivamente el peso del objeto, su valor económico y el número de ejemplares que hay de cada uno. Ejercicio 14 Se tiene un laberinto bidimensional, representado por una matriz lab[1..m,1..n] de enteros, de forma que en cada casilla puede haber un obstáculo (valor 1), un objeto de valor v > 0, o no haber nada (valor 0). La entrada al laberinto se produce por la casilla (1,1) (esquina superior izquierda), y la salida por la casilla (M,N). Para atravesar el laberinto, los únicos movimientos posibles son realizar un paso hacia la derecha o hacia abajo en la matriz, sin pasar dos veces por la misma casilla y sin pasar por los obstáculos. Se desea obtener un recorrido que intente maximizar el valor total de los objetos de las casillas por las que se pasa. (a) Codificar un algoritmo voraz que sólo considere en cada paso la información de las casillas adyacentes.

6 (b) Codificar otro algoritmo voraz que sólo considere en cada paso la información correspondiente a las casillas situadas hasta una distancia 2 respecto de la casilla actual (distancia((a, b), (c, d)) = a c + c d ). (c) Discutir razonadamente si los algoritmos anteriores producen una solución óptima. Ejercicio 15 Un canal de televisión quiere obtener el máximo rendimiento (en euros) de la secuencia de anuncios que aparecerá en la cadena después de las campanadas de fin de año. Dicho canal ha calculado que la primera secuencia de anuncios del año durará 70 segundos como máximo, antes que empiece la presentación del programa de fin de año. Para cubrir dicha secuencia de anuncios el canal ha recibido las siguientes ofertas: El precio final del anuncio (pfa) dependerá de la posición que éste ocupe dentro de la secuencia, su cálculo se realizará utilizando la siguiente fórmula: donde pos es el segundo en que comienza el anuncio. SE PIDE: Diseñar un algoritmo voraz que obtenga el máximo rendimiento. Notas: El criterio para seleccionar el siguiente candidato será seleccionar el candidato cuya ratio pfa (oferta, pos) / tiempo sea menor. Debido a que existen empresas que compiten con productos similares, se han establecido las siguientes restricciones en las cláusulas de los contratos: o Si aparece el Anuncio 1 no puede aparecer con Anuncio 4 en la secuencia o Si aparece el Anuncio 3 no puede aparecer con el Anuncio 6 en la secuencia.