VECTORES 1 AGRADECIMIENTOS. Patiño Nepomuceno

Transcripción

1 VECTORES 1 GRDECIMIENTOS

2 VECTORES 2 Deseamos agradecer ampliamente a todos lo que han contribuido para la realización del presente material. En primer lugar agradecemos al Colegio de Ciencias y Humanidades y al programa Iniciativa para Fortalecer la Carrera cadémica del Bachillerato de la UNM (INFOCB), por crear las condiciones necesarias para que los profesores puedan aportar toda su experiencia y creatividad en la elaboración de materiales que beneficien a los estudiantes en su proceso de aprendizaje. En segundo lugar, al ingeniero Miguel Ángel Rodríguez Chávez, director del Plantel Oriente del Colegio de Ciencias y Humanidades, por el apoyo proporcionado en los trámites de los recursos asignados por INFOCB, para la realización del proyecto: ELBORCIÓN DE MTERIL DE POYO PR LOS CURSOS DE FÍSIC DE I IV. Nos sentimos en deuda con el licenciado en comunicación Urbano Mateos Cruz por sus aportes en la revisión y correcciones en relación al contenido del material escrito. sí mismo, hacemos patente nuestro agradecimiento al ingeniero químico metalúrgico Ignacio Piña Millán por las sugerencias en el terreno de la didáctica y la pedagogía, así como en la orientación del contenido del material elaborado. TENTMENTE Tomás Nepomuceno Serrano Felipe de J. Patiño Santander 2005

3 VECTORES 3 Índice Presentación 1 Las cantidades físicas 1 Definición de magnitud vectorial 2 Definición de magnitud escalar 2 Concepto de magnitud 2 Concepto de dirección 2 Representación de vectores 3 Ejemplos de vectores y escalares 4 Magnitudes vectoriales 4 Magnitudes escalares 5 lgunas propiedades del álgebra de vectores 5 Igualdad de vectores 6 La adición de vectores 6 Método del triángulo 6 Método del paralelogramo 7 Método del polígono 8 El vector negativo 8 Sustracción de vectores 9 El vector cero 9

4 VECTORES 4 Multiplicación de un escalar por un vector 9 Leyes del álgebra de vectores 10 El vector unitario 11 Los vectores unitarios ortogonales i j k 12 Componentes de un vector 13 Componentes de un vector en dos dimensiones 13 Ejercicios de aplicación 16 Método del triángulo 16 Método del paralelogramo 20 Método de composición y descomposición de vectores 24 ctividades de aprendizaje 33 Problemas propuestos 35 Bibliografía 39

5 VECTORES 5 VECTORES Y SUS PLICCIONES PRESENTCIÓN La finalidad de la lectura es presentar los conceptos elementales sobre el tema de vectores y sus aplicaciones; la forma de abordar el tema es pensando que el contenido del material debe enfocarse para estudiantes que cursan la materia de Física a nivel bachillerato, el material se inicia definiendo qué es un vector y qué es un escalar. Una vez definido el concepto de vector, se discuten los conceptos de magnitud, dirección y sentido, con la intención de que la definición vector quede clara. Desde un principio se deja establecido cómo se representa analítica y gráficamente los vectores, lo que resulta útil para el desarrollo del tema. Sin ninguna profundidad excesiva, se plantea algo sobre el álgebra de vectores, y se muestra como se crea una estructura axiomática con los mismos, de una manera similar como se procede con el conjunto de los números reales, lo que indudablemente, conocen y manejan los estudiantes. Se recurre al concepto de vector unitario, para darle cierta formalidad al desarrollo del tema y pensando que los estudiantes continuaran carreras de Ingeniería o Física, en las que se requiere tener como antecedentes este concepto. Por lo anterior, se define el concepto de vector unitario, se discute su representación y se toma como base para introducir los vectores unitarios ortogonales i, j, k. Para concluir se plantean ejercicios resueltos, que tienen como propósito mostrar como se aplica lo desarrollado en el material, además, para ampliar o profundizar lo expuesto se formulan preguntas y problemas; finalmente se sugiere la bibliografía relacionada con el tema. LS CNTIDDES FÍSICS Las cantidades o magnitudes físicas son los elementos de construcción de la física y por medio de éstas se expresan las leyes de la misma. Las cantidades físicas, además de otras clasificaciones se pueden dividir en magnitudes físicas vectoriales y en magnitudes físicas escalares.

6 VECTORES 6 DEFINICIÓN DE MGNITUD VECTORIL Toda cantidad física que tenga magnitud (o módulo), dirección y sentido, se llama magnitud vectorial o simplemente VECTOR. DEFINICIÓN DE MGNITUD ESCLR Toda cantidad física que tenga solamente magnitud (o módulo), se llama magnitud escalar o simplemente ESCLR. CONCEPTO DE MGNITUD La magnitud, desde el punto de vista físico, se considera como tamaño, por ejemplo, es común decir: el tamaño o magnitud de un cuerpo. Desde el punto de vista matemático, la magnitud es considerada como cantidad o número, razón por la cual es frecuente usar indistintamente los términos magnitud o cantidad. En física, los términos magnitud, cantidad, módulo o intensidad se utilizan indistintamente. CONCEPTO DE DIRECCIÓN Usualmente en el lenguaje común y corriente, los términos dirección y sentido se toman como sinónimos, pero desde el punto de vista físico existe una diferencia. Para aclarar la situación, tómese por ejemplo, un caso sencillo; una de las avenidas más conocidas de la zona oriente de la Ciudad de México, es la calzada Ignacio Zaragoza. La calzada tiene o define una dirección y ésta tiene dos sentidos uno hacia el centro de la Ciudad (Zócalo) y el otro hacia Puebla. De acuerdo al ejemplo anterior, se puede implicar que dada cualquier dirección, ésta tiene dos sentidos. Es habitual que los alumnos en sus cursos de matemáticas recurran frecuentemente al uso de sistemas de coordenadas, si el sistema es unidimensional, elige una línea recta horizontal, sobre ésta fijan un punto arbitrario como origen y le asignan el cero. partir del origen o cero se tiene la posibilidad de moverse en dos sentidos sobre la recta, uno hacia la derecha y el otro hacia la izquierda, en otras palabras, en sentido positivo (+) o en sentido negativo ( - ), esta idea está ilustrada en la figura 1.

7 VECTORES 7 SENTIDO ( - ) SENTIDO(+) IZQUIERD ( - ) ( + ) DERECH (+) Figura 1. Cualquier línea recta define una dirección, en este caso se tiene la dirección horizontal y ésta tiene dos sentidos En el caso de un sistema de dos dimensiones, por ejemplo, el sistema coordenado rectangular, la dirección de una línea recta cualquiera está dada por el ángulo que forma dicha línea con el sentido positivo del eje X, es decir, el ángulo se mide de la dirección de referencia, el eje X, a la línea dada, como se muestra en la figura 2. Figura 2. En un sistema de coordenadas rectangulares, el ángulo θ da la dirección de la línea recta L. Se puede observar, en la figura 2, que el ángulo θ da la dirección de la línea recta L. La línea tiene dos sentidos, lo que se puede enunciar: uno "hacia arriba" y el otro "hacia abajo". REPRESENTCIÓN DE VECTORES Los vectores se representan analítica y gráficamente; usualmente en la primera se emplean letras mayúsculas o minúsculas del tipo negritas, tal como o a, también se emplea letras con una fecha colocada en la parte superior, de la siguiente manera: La representación gráfica de un vector consiste en emplear un segmento de recta dirigido, en

8 VECTORES 8 donde la longitud del segmento es la longitud del vector, la dirección es el ángulo que forma el segmento con una dirección de referencia (por ejemplo, con la horizontal), el sentido del vector se indica por medio de una cabeza de flecha, además, todo vector tiene un punto inicial y punto final, como se ilustra en la figura 3. Figura 3. Representación gráfica y analítica de un vector. EJEMPLOS DE VECTORES Y ESCLRES MGNITUDES VECTORILES DESPLZMIENTO. Una persona partiendo de su casa se desplaza una distancia de 10 km en la dirección NORTE-SUR, con sentido hacia el NORTE., el desplazamiento no es igual a la distancia, puesto que ésta sólo tiene magnitud. El desplazamiento es un vector, puesto que tiene magnitud, dirección y sentido, el desplazamiento es una distancia orientada, es decir, con dirección y sentido. b) VELOCIDD. Un automóvil se mueve con una velocidad cuya magnitud (rapidez) es de 90 km/h, con una dirección que corresponde a la línea recta que une al D. F. con Puebla y con un sentido que va del D. F. a la ciudad de Puebla.

9 VECTORES 9 c) FUERZ. Suponer que sobre un cuerpo actúa la fuerza F, que tiene una magnitud de 10 N y cuya dirección es el ángulo de 45 que forma con la horizontal, su sentido está indicado por la cabeza de flecha, como se muestra en la figura 4. Figura 4. La fuerza es un vector, puesto que posee magnitud, dirección y sentido. MGNITUDES ESCLRES a) MS. La masa de un cuerpo es un escalar, puesto que para especificarla completamente sólo se proporciona su magnitud, la masa no requiere asociarle dirección y sentido. b) VOLUMEN. El volumen de un cuerpo es un escalar, puesto que para especificarlo completamente sólo se requiere dar su magnitud. c) DENSIDD. La densidad de un cuerpo es un escalar, puesto que para su completa especificación sólamente se requiere dar su magnitud. LGUNS PROPIEDDES DEL LGEBR DE VECTORES En esta parte se trabaja con vectores deslizantes, en los cuales se toma y respetan sus magnitudes, direcciones y sentidos, pero no sus puntos iniciales y finales.

10 VECTORES 10 L IGULDD DE VECTORES Dados los vectores y B, representados gráficamente en la figura 5, se dice que los vectores son iguales, = B, si tiene la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido. Figura 5. Los vectores y B, son iguales, = B, si tienen la misma magnitud, dirección y sentido. L DICIÓN DE VECTORES Dados los vectores y B, la suma + B se define como el vector C, tal que + B = C, donde y B son los sumandos, el vector C es la suma o resultante y la operación + B = C, es la adición. Para obtener la suma o resultante de dos vectores se emplean usualmente los métodos del triángulo y del paralelogramo, en los casos que se tengan más de dos vectores, la suma se determina por medio del método del polígono. MÉTODO DEL TRIÁNGULO El método del triángulo, para la suma de vectores consiste en una regla muy sencilla, la cual se puede resumir de la siguiente manera: Dadas los vectores y B, como se muestran en la figura 6, la suma o resultante se consigue trazando el vector y en su punto final se coloca el punto inicial de B y se traza, después se une el punto inicial de con el punto final de B, obteniéndose el triángulo, tal que + B = C. B + B = C B Figura 6. El método del triángulo para obtener la suma de vectores.

11 VECTORES 11 MÉTODO DEL PRLELOGRMO El método del paralelogramo para la suma de vectores consiste también en una regla sencilla en la que, si se tiene los vectores y B, como los que se muestran en la figura 7, la suma o resultante se obtiene: trazando los vectores dados, haciéndolos coincidir en sus puntos iniciales y de los puntos finales se trazan líneas paralelas a los mismos, lo que permite obtener el punto P, para finalizar se unen los puntos iniciales con el punto P (punto que resulta del cruce de las paralelas), de esta manera se determina la suma o resultante C, que es igual la diágonal del paralelogramo, así que + B = C. Es fácil demostrar que los métodos del triángulo y del paralelogramo son equivalentes, para esto simplemente se tomarán los vectores arbitrarios y B, y se suman empleando ambos métodos, como se muestra en la figura 8. B B + B = C Figura 7. El método del paralelogramo para obtener la suma o resultante de dos vectores. B + B = C B B + B = C Figura 8. Los métodos del triángulo y del paralelogramo son equivalentes.

12 VECTORES 12 MÉTODO DEL POLIGONO Para obtener la suma o resultante de dos o más vectores se emplea el método del polígono, el cual consiste en trazar el primer vector y en su punto final se coloca el punto inicial del segundo vector y se traza; en seguida se hace lo mismo con el tercer vector y luego se hace lo mismo con el que sigue, hasta el último. Para finalizar se une el punto inicial del primer vector con el punto final del último, obteniendose de esta manera la suma o resultante. En la figura 9, se dan los vectores, B, C y D, y se muestra la suma o resultante de los vectores. B B C C D D Figura 9. El método del polígono para la suma o resultante de más de dos vectores. EL VECTOR NEGTIVO Dado cualquier vector, se tiene que siempre existe su negativo, el cual se denota por - y se define como aquel vector que tiene la misma magnitud, la misma dirección, pero sentido contrario, en la figura 10, se muestra el vector y su vector negativo -. - Figura 10. El vector y su vector negativo -.

13 VECTORES 13 SUSTRCCIÓN DE VECTORES La diferencia de los vectores y B se representa analíticamente por - B y es igual al vector D, tal que sumado con el vector B, se obtiene el vector. Para que la operación sustracción de vectores resulte clara se recurre a la suma de vectores, la que permite formular la sustracción de la siguiente manera: para restar el vector B del vector es decir, para obtener - B, se suma al vector el vector negativo del vector B, o sea - B, obteniéndose + ( - B ) = - B = D B -B -B + (-B ) = - B Figura 11. Sustracción de vectores. En la figura 11 se muestran los vectores y B, para obtener la diferencia - B, se determina el vector negativo de B y se suma al vector, esto se muestra en la figura. Se debe señalar que diferencia es un caso particular de la suma EL VECTOR CERO Se tiene que dado cualquier vector, siempre es posible obtener su negativo -. Si al vector se le resta su negativo resulta el vector 0, es decir, + ( - ) = - = 0, el vector 0 se llama vector nulo o cero. El vector cero 0, es un vector que tiene magnitud cero y su dirección no está especificada. MULTIPLICCIÓN DE UN ESCLR POR UN VECTOR La multiplicación de un escalar m por un vector, es otro vector, m = B, que tiene la misma dirección que, pero una magnitud m veces la de y un sentido igual u opuesto al de, según sea el escalar m positivo o negativo. Si el escalar m es igual a cero, m = 0, entonces, 0 = 0, es decir, se obtiene el vector cero.

14 VECTORES 14 Para ilustrar el producto de un escalar por un vector, se toma, el cual se muestra en la figura 12, si se multiplica el vector por el escalar 2, se obtiene el vector 2 = B, donde B es un vector que tiene la misma dirección que, el mismo sentido, pero una magnitud igual al doble de. Si ahora se multiplica el vector por el escalar - 2, se obtiene - 2 = C, donde C es un vector que tiene la misma dirección que, una magnitud que es el doble, pero de sentido opuesto al de. Si se multiplica el vector por 1/2, se obtiene 1/2 = D, el vector D tiene la misma dirección, su magnitud se reduce a la mitad y su sentido es el mismo. Si el vector se multiplica por - 1/4 se obtiene - 1/4 = E, siendo E un vector con la misma dirección que, su magnitud se reduce a la cuarta parte y su sentido es opuesto al vector. Finalmente, si se multiplica el vector por el número 0 se obtiene 0 = 0, en otras palabras, el producto del número cero por el vector resulta el vector cero 0. 2 = B 1 2 = D -2 = C 1-4 =E 0 = 0 Figura 12. El producto de un escalar m por un vector, resulta siempre un vector. LEYES DEL LGEBR DE VECTORES Suponer que se tienen los vectores, B y C, y los escalares m y n, entonces, se puede demostrar que se verifican las siguientes propiedades. 1. Propiedad conmutativa de la adición 2. Propiedad asociativa de la adición

15 VECTORES Propiedad conmutativa del producto por un escalar 4. Propiedad asociativa del producto por un escalar 5. Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto de la suma de vectores. 6. Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de vectores. EL VECTOR UNITRIO El vector unitario se define como aquel que tiene magnitud igual a la unidad, es decir, si â es un vector unitario, entonces, magnitud de â = â = 1 Si es un vector que tiene una magnitud diferente de cero, 0 (o también Ä 0 ), resulta que: --- = ậ, también se puede expresar ---- Despejando el vector y expresandolo en función de â a se obtiene que: = ậ, lo que también se puede expresar, = ậ

16 VECTORES 16 b c B a B C C Figura 13. El vector unitario Resumiendo, cualquier vector se puede expresar como el producto del vector unitario ậ por la magnitud de, es decir, = ậ. Se observa que el vector unitario ậ le da dirección y sentido a la magnitud, generando el vector. En la figura 13 se dan algunos ejemplos para ilustrar el concepto de vector unitario. LOS VECTORES UNITRIOS ORTOGONLES i j k Existe un sistema de vectores unitarios muy importantes, que son mutuamente ortogonales o perpendiculares y que son denotados por i, j y k. El vector unitario i está asociado con el eje X y siempre apunta en la dirección positiva de dicho eje. El vector unitario j está asociado con el eje Y y vector unitario k con el eje Z y apuntan siempre en las direcciones positivas de los ejes Y y Z respectivamente. Figura 14. Sistema coordenado rectangular en tres dimensiones. En la figura 14 se muestran los vectores i, j y k colocados sobre un sistema de coordenadas rectangulares, llamado sitema dextrorsum o a derechas, la

17 VECTORES 17 denominación se deriva del hecho de que si se coloca en el origen del sistema un tornillo con rosca a derechas y se gira de OX a OY, el tornillo avanza en el sentido positivo de OZ. COMPONENTES DE UN VECTOR De acuerdo con lo expuesto, se tiene que cualquier vector en tres dimensiones se puede representar en un sistema de coordenadas rectangulares, colocando el punto inicial del mismo coincidiendo con el origen del sistema, como se muestra en la figura 15. El punto final del vector, es el punto cuyas coordenadas son (x, y, z). Los escalares o números x, y y z se llaman compomentes rectangulares o simplemente componentes del vector. Z ( X, Y, Z ) Y Figura 15. Componentes rectangulares de un vector X COMPONENTES DE UN VECTOR EN DOS DIMENSIONES Como la mayoría de las situaciones que se abordan en un curso de Física a nivel bachillerato, se tratan haciendo uso de un sistema en dos dimensiones, entonces, se descartará el eje Z y el vector unitario k. En la figura 16, se ilustra un sistema coordenado rectangular en dos dimensiones señalando los ejes X y Y y sus vectores unitarios i y j asociados.

18 VECTORES 18 Y j i X Figura 16. Sistema coordenado rectangular en dos dimensiones. Dado un sistema de coordenadas es posible localizar cualquier vector, así como determinar sus componentes rectangulares. Suponer que se tiene el vector, cuyo punto inicial coincide con el origen del sistema, como se muestra en la figura 17. Para encontrar las componentes del vector se trazan a partir del punto final del vector líneas perpendiculares a cada uno de los ejes. Se puede observar, la proyección del vector sobre el eje X es vector x, que resulta igual a i x, x = i x. La proyección del vector sobre el eje Y es y, y es igual a j y, es decir, y = j y. Y Figura 17. Las compo nentes rectangulares e s c a l a r e s d e l vector son x y y Y j X i X Resumiendo, dado cualquier vector en un sistema de coordenadas rectangulares, se puede descomponer en sus componentes vectoriales x y y, los cuales se pueden expresar en términos de sus componentes escalares y los vectores unitarios i y j, es decir, x = i x y y = j y, de tal manera que el vector se expresa como: = x + y = i x + j y. Para ilustrar lo anterior se plantea el siguiente ejercicio: localizar en un sistema de coordenadas rectangulares los siguientes vectores = 3i + 4j, B = 7i + 2j y determinar la suma analítica y gráficamente.

19 VECTORES 19 Y 6 j C 4 j 2 j B 3 i 7 i 10 i X Fig. 18 Representación de la suma de los vectores Solución: En este caso si se tiene que = 3i + 4j y B = 7i + 2j, la suma se obtiene de la siguiente manera: + B = 3i + 4j + 7i + 2j = 10i + 8j C = + B = 10i + 8j Para obtener la suma de y B, se hace uso de un sistema de coordenadas como se muestra en la figura 18. = 3i + 4j y B = 7i + 2j EJERCICIOS DE PLICCIÓN Con el propósito de ilustrar la aplicación de lo desarrollado en la lectura sobre el tema de vectores, a continuación se presentan las siguientes ejercicios, primero se plantearán ejemplos para mostrar el empleo del método del triángulo, después se proponen problemas en donde se emplea el método del paralelogramo y finalmente ejemplos en donde se usa la composición y descomposición de vectores.

20 VECTORES 20 MÉTODO DEL TRIÁNGULO Ejercicio1. Suponer que una persona sale de su casa y se dirige hacia el Este, desplazandose una distancia de 3 km, después se dirige al Norte, recorriendo 4 km. Determinar el desplazamiento resultante D. N D Solución: En la figura 19 se muestra el desplazamiento d 1 = 3 km hacia el Este, dibujado a partir del origen del sistema de coordenadas (casa del caminante), en el punto final del desplazamiento d 1, se coloca el punto inicial del desplazamiento d 2, en el que d 2 = 4 km hacia el Norte. Para obtener el desplazamiento resultante se emplea el método del triángulo, por lo que se une el punto inicial de d 1 con el punto final de d 2. O D d Θ d E Figura 19. El desplazamiento resultante D es igual a la suma de d 1 y d 2, D = d 1 + d 2. S De la figura, se observa que se forma un triángulo rectángulo, por esta razón, para determinar la magnitud del desplazamiento se aplica el teorema de Pitágoras, obteniéndose: D 2 = d d 2 2, entonces, D = d d 2 2, sustituyendo: D = (3 km)² + (4 km)² = 9 km km² = 25 km². Por lo tanto D = 5 km.

21 VECTORES 21 Para obtener la dirección θ del desplazamiento resultante D, se puede emplear la función tangente, así que aplicandola al triángulo de la figura 19 resulta: 4 km 4 tan θ = = --- = km 3 despejando el ángulo θ se obtiene: θ = arc tan(1.3333) = tan -1 (1.3333) = 53 10' Por lo tanto, la magnitud del desplazamiento resultante es D = 5 km y su dirección es θ = 53 10' Ejercicio 2. Suponer ahora, que las misma persona del ejemplo 1, partiendo de su casa se desplaza 5 km hacia el Este, después se dirige a Noreste recorriendo 6 km. Determinar la magnitud y dirección del desplazamiento resultante D. Solución: N Como en el ejercicio anterior, una vez trazado el sistema de coordenadas, se dibujan los desplazamientos d 1 y d 2 y empleando el método del triángulo se determina el desplazamiento resultante D, como se ilustra en la figura 20, en este caso se tiene que el triángulo es oblicuángulo. quí no se puede emplear el teorema de Pitágoras, porque el triángulo no es rectángulo, así que en este caso se recurre a la ley o teorema de los cosenos para calcular la magnitud del desplazamiento resultante: Figura 20. La suma de los desplazamientos d 1 y d 2 es igual a D, en donde se tiene que D = d 1 + d 2 α D θ D d 2 45 E d 1 S

22 VECTORES 22 D² = d 1 ² + d 2 ² - 2d 1 d 2 cos θ, se tiene que d 1 = 5 km, d 2 sustituyendo estos valores se obtiene que: = 6 km y θ = 135, D² = (5 km)² + (6 km)² - 2(5 km)(6 km) cos 135 D 2 = 25 km km 2-60 km 2 ( ) D 2 = 61 km km 2 = km 2 D = km 2 = km. Para determinar α, la dirección del desplazamiento resultante se emplea la ley de los senos, obteniéndose: sen α sen θ = , despejando a sen α d 2 D y sustituyendo se obtiene: sen θ sen sen α = d 2 = (6 km) = D km sen α = , así que despajando el ángulo α resulta que: α = arc sen(0.4175) = sen -1 (0.4175) = 24 40' Por lo tanto, la magnitud del desplazamiento resultante es D = km y su dirección es θ = 24 40' Ejercicio 3. Suponer que el mismo caminante de los ejercicios 1 y 2, partiendo una vez más de su casa, primero se desplaza hacia el Este una distancia d 1 = 6 km y luego se dirige hacia Noroeste una distancia de d 2 = 4 km. Determinar el desplazamiento resultante D en magnitud y dirección. Solución:

23 VECTORES 23 En la figura 21 se muestran los vectores d 1 y d 2, así como el desplazamiento resultante D. En este caso se tiene que d 1 = 6 km, d 2 = 4 km, α= 45, así que para determinar la magnitud del desplazamiento resultante se emplea el teorema de los cosenos, sustituyendo los datos se tiene que: N D 2 = d d 2 2-2d 1 d 2 cos α D D 2 = (6km) 2 +(4km) 2-2(6km)(4km)cos 45 D 2 = 36 km km 2-48 km 2 (0.7017) D β d 2 D 2 = 52 km km 2 = Km 2 D = 4.24 km. O S θ d 1 α E Figura 21. Empleando el método del triángulo se tiene que D = d 1 + d 2. Para determinar la dirección del vector desplazamiento resultante se calcula el ángulo θ, para lo que se emplea la ley de los senos, la cual establece: sen θ sen α = , despejando a sen θ d 2 D y sustituyendo se tiene: sen senθ = (4km) = (4) = km 4.24 entonces θ = arcsen(0.6670) = sen -1 (0.6670) = 41 50' Por lo tanto, la magnitud del desplazamiento es 4.24 km y su dirección es θ = 41 50' MÉTODO DEL PRLELOGRMO Ejercicio 4. Una fuerza horizontal de 600 N y una vertical de 400 N, actúan simultáneamente sobre el mismo cuerpo. Cuál es la magnitud de la fuerza resultante y su dirección con la horizontal?

24 VECTORES 24 Solución: Haciendo uso de un sistema de coordenadas se dibujan los vectores como se ilustra en la figura 22, en la que se han colocado las fuerzas coincidiendo en sus puntos iniciales y luego se trazan líneas paralelas a los mismas a partir de los puntos finales, para terminar se unen los puntos iniciales con el punto que obtuvo con el cruce de las líneas paralelas. Y 400 N R R Θ 600 N X Figura 22. La suma o resultante se obtiene empleando el método del paralelogramo. La figura que se forma es un triángulo rectángulo, así que aplicando el teorema de Pitágoras y sustituyendo se tiene que: R 2 = (600 N) 2 + (400 N) 2 = N N 2 R 2 = N 2, entonces, calculando la raíz se tiene: R = N 2 = N. Para obtener la dirección de la fuerza resultante se pueden emplear las funciones, seno, coseno y tangente, si se usa la tangente se obtiene: 400 N 4 tan θ = = ---- = N 6 despejando el ángulo θ θ = arctan(0.6666)= tan -1 (0.6666)= 33 40'

25 VECTORES 25 Por lo tanto, en este caso la magnitud de la fuerza resultante es N y su dirección es 33 40' Ejercicio 5. Un bote es remolcado a lo largo de un canal por medio de dos cables, uno en cada orilla, como se muestra en la figura 23. Si las fuerzas aplicadas son de 1000 N y 2000 N, respectivamente y el ángulo entre los cables es de 60, determinar la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma ésta con la fuerza de 2000 N. Solución: En este problema se emplea el método del paralelogramo porque la disposición de los vectores sugiere que es lo más apropiado. En la figura 23 se muestra la situación con toda claridad, puesto que se dan las magnitudes de las fuerzas y el ángulo que se forma entre ellas. Para obtener la suma o resultante de las fuerzas que actúan sobre el bote se emplea el método del paralelogramo. Se tiene que F 1 = 1000 N y F 2 = 2000 N, α = 60, además α + β = 180, así que β = 120, empleando la ley de los cosenos se obtiene: CNL F 1 bote 60 θ R β R 60 F 2 Figura 23. Para obtener la suma o resultante de las fuerzas que actúan sobre el bote se emplea el método del paralelogramo.

26 VECTORES 26 R 2 = F F 2 2-2F 1 F 2 cosβ R 2 = (10 3 N) 2 + (2 x 10 3 ) 2-2(10 3 N)(2 x 10 3 N)cos 120 R 2 = 10 6 N + 4 x 10 6 N - 4 x 10 6 N(- 0.5) R = 5 x 10 6 N x 10 6 N 2 = 7 x 10 6 N 2 R = 7 x 10 6 N 2 = N Para determinar el ángulo θ, es decir, la dirección, se emplea la ley de los senos y se recurre a la figura 23, de lo que se obtiene: sen θ sen β = , despejando al sen θ F 1 R Sustituyendo se obtiene: sen β sen 120 sen θ = F 1 = (1000 N) R N sen θ = ( 1000 ) sen θ = , entonces despejando al ángulo θ se tiene que: θ =arc sen (0.3273) = sen -1 (0.3273) = 19 10' Por lo tanto, la magnitud de la fuerza resultante es N y su dirección es 19 10'. Ejercicio 6. Dos fuerzas de 500 N y 800 N actúan sobre el mismo cuerpo. Si el ángulo entre ellas es de 120, calcular la magnitud de la resultante y su dirección con respecto a la fuerza de 500 N. Solución:

27 VECTORES 27 En este tipo de problemas se puede omitir el sistema de coordenadas y dibujar simplemente los vectores dados con sus magnitudes correspondientes y señalando el ángulo que forman entre sí, como semuestra en la figura 24. Se tiene que F 1 = 500 N, F 2 = 800 N y α = 120, de la figura se obtiene que α + β = 180, así que β = 60, sustituyendo está información en la ley de los cosenos resulta: F 2 R R θ β 120 Figura 24. plicación del método del paralelogramo, para determinar la resultante de las fuerzas F 1 y F 2. R 2 = F F 2 2-2F 1 F 2 cos β F 1 R 2 = (5 x 10 2 N) 2 +(8 x 10 2 N) 2-2(5 x 10 2 N) (8 x 10 2 N) cos60 R 2 = 25x10 4 N 2 +64x10 4 N 2-80x10 4 N 2 (0.5) R 2 = 89 x10 4 N 2-40x10 4 N 2 = 49 x 10 4 N 2 R = 49 x 10 4 N 2 = 7 x 10 2 N = 700 N. Para determinar la dirección, se calcula el ángulo, el cual se indica en la figura 24 y se obtiene empleando la ley de los senos: sen θ sen β = , despejando sen θ F 2 R Sustituyendo se obtiene: sen β sen sen θ = F 2 = (800 N ) = ( 800 ) R 700 N 700

28 VECTORES 28 sen θ = , entonces, despejando al ángulo θ se tiene θ = arc sen (0.9897) = sen -1 (0.9897) = 81 40', por lo tanto, la magnitud de la fuerza resultante es 700 N y su dirección es de 81 40'. MÉTODO DE COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES Ejercicio 7. Suponer que dos fuerzas actúan sobre un cuerpo que se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas, las magnitudes de las fuerzas son F 1 = 100 N y F 2 = 400 N, las direcciones de cada una de ellas están indicadas en la figura 25. Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza resultante Solución: Para emplear este método es imprescindible el uso de un sistema de coordenadas, así que el primer paso es trazar un sistema de coordenadas y luego dibujar los vectores dados con sus puntos iniciales coincidiendo en el origen del sistema, señalando las magnitudes y las direcciones de los vectores como se muestran en la figura 25. Y F 2 SEN 30 F2 = 400 N Figura 25. Dados los vectores F 1 Y F 2, se descomponen en sus componentes con respecto al eje X y Y. SEN F F 1 = 100 N 30 COS 60 1 X F 2 COS 30 Se puede observar de la figura, que para la descomposición de los vectores se procede de la siguiente manera: Del punto final de cada uno de los vectores dados se trazan líneas perpendiculares a cada un de los ejes de coordenadas. En la figura se advierte que sobre el eje X se encuentran colocadas las componentes F 1 cos60 y F 2 cos30 ; sobre el eje Y se encuentran las componentes F 1 sen60 y F 2 sen30. Después de descomponer cada uno de los vectores con respecto a cada uno de los ejes de coordenadas, se suman las componentes con respecto a cada

29 VECTORES 29 dirección, es decir, se determina la suma de las componentes en la dirección horizontal (en la dirección del eje X), la cual usualmente se denota por ΣF x; en seguida se determina la suma de las componentes en la dirección vertical (en la dirección del eje Y), la se denota por ΣFy, para obtener las sumas tanto en una dirección como en la otra se establece que, como las componentes de las fuerzas se encuentran en la parte positiva de los ejes, son positivas, así que de acuerdo con la figura 25 resulta: ΣF x = F 1 cos60 + F 2 cos30 ( X.1 ) ΣF y = F 1 sen60 + F 2 sen30 ( X.2 ) Es conveniente interpretar cada una de las ecuaciones anteriores, por ejemplo, para obtener a ΣF x, se suman los términos F 1 cos60 y F 2 cos30, la representación se hace eligiendo un sistema de coordenadas en el cual colocamos primero en la dirección horizontal a F 1 cos60 en el origen del sistema apuntando hacia la derecha, en seguida, en el punto final de F 1 cos60 se coloca el punto inicial de F 2 cos30 horizontalmente y apuntando también hacia la derecha, para terminar se une el punto inicial de F 1 cos60 con el final de F 2 cos30, lo que permite determinar a ΣF x. Σ F y F 2 SEN 30 F 1 SEN 60 Y θ R F 1 COS 60 F 2 COS 30 Σ F x Figura 26. La suma de las componentes en la dirección X es ΣF x y la suma de las componentes en la dirección Y es ΣF y R X Para la suma de componentes en la dirección Y, es decir, para ΣF y, la situación es similar, puesto que primero se coloca en el origen del sistema de coordenadas a F 1 sen60 verticalmente y apuntando hacia arriba (dirección positiva del eje Y), después se coloca en su punto final el punto inicial de F 2 sen30 y se une el punto inicial de F 1 sen60 con el punto final de F 2 sen30, obteniéndose a ΣF y, como se ilustra en la figura 26. Recurriendo a la figura 26, se puede obtener la suma o resultante, para lo cual se trazan desde los puntos finales de ΣF x y ΣF y líneas paralelas a los ejes de coordenadas (método del paralelogramo), consiguiendo un punto en en cruce de las paralelas.

30 VECTORES 30 Para determinar la resultantese unen los puntos iniciales de ΣF x y ΣF y con el punto determinado anteriormente (cruce de las líneas paralelas), de esta manera se obtiene la suma o resultante. Como el triángulo que se formó es un triángulo rectángulo, se puede aplicar el teorema de Pitágoras: R 2 = ( ΣF x ) 2 + ( ΣF y ) 2, despejando a R resulta que: R = ( ΣF x ) 2 + ( ΣF y ) 2 ( X.3 ) esta expresión permite calcular la magnitud de la resultante Para obtener la dirección de la resultante, se pueden emplear las funciones seno, coseno y tangente, de éstas la más usual es la función tangente, así que: ΣF y tan θ = , despejando al ángulo θ ΣF x se obtiene que: ΣF y ΣF y θ = arc tan ( ) = tan -1 ( ) ΣF x ΣF x En la expresióm anterior se emplea el valor absoluto. Regresando al problema, la información que se tiene es F 1 = 100 N, θ 1 = 60 y F 2 = 400 N, θ 2 = 30, así que primero se calculará a ΣF x y a ΣF y empleando las ecuaciones ( X.1 ) y ( X.2 ) ΣF x = 100 N cos N cos 30 ΣF x = 100 N (0.5) N (0.8660) = 50 N N ΣF x = N. ΣF y = 100 N sen N sen30 ΣF y = 100 N (0.8660) N (0.5) = N N

31 VECTORES 31 ΣF y = N Para determinar la magnitud de la resultante se emplea la ecuación ( X.3 ), así que sustituyendo se tiene: R = ( N) 2 + ( N) 2 R = N N 2 = R = N 2 R = N El ángulo θ se determina empleando la ecuación ( X.4 ): N θ = arc tan ( ) = arc tan ( ) N θ = arctan(0.7229) = tan -1 (0.7229)= 35 50' Por lo tanto, la magnitud de la fuerza resultante es: R = N y su dirección es θ = 35 50'. Ejercicio 8. Suponer que tres fuerzas actúan sobre un cuerpo que está colocado en el origen de un sistema de coordenadas, las magnitudes y las direcciones se indican en la figura 27 y son: F 1 = 400 N, θ 1 = 30 ; F 2 = 300 N, θ 2 = 60 ; F 3 = 500 N, θ 3 = 45. Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. Solución: El primer paso es realizar la descomposición de cada Y una de las fuerzas dadas con respecto a X y Y. En la figura 27, se muestra con toda claridad la situación. Figura 27. Descomposición de las fuerzas F 1, F 2 y F 3 con respecto a los ejes de coordenadas X y Y X ( - ) F 3 F 3 SEN Θ 3 F F 2 SENΘ 2 2 F F 1 SEN Θ 1 1 Θ 2 Θ 3 Θ 1 F 3 COS Θ F 3 2 COS Θ 2 F 1 COS Θ 1 X ( + )

32 VECTORES 32 En seguida se suman las componentes de las fuerzsa colocadas en la dirección X, estableciendo la convención de que los vectores que apuntan hacia la derecha son positivos y los que apuntan hacia la izquierda son negativos, por lo que resulta: ΣF x = F 1 cosθ 1 + F 2 cosθ 2 + F 3 cosθ 3, sustituyendo se tiene ΣF x = 400 N cos N cos N cos45 ΣF x = 400 N(0.8660) N(0.5) N(0.7071) ΣF x = N N N = N. Para obtener la suma con respecto Y, en está dirección la convención que se establece es que los vectores que apuntan hacia arriba son positivos y aquellos que apuntan hacia abajo son negativos, de acuerdo con ésto se tiene que: ΣF Y = F 1senθ 1 + F 2 senθ 2 + F 3 senθ 3, sustituyendo se tiene ΣF y = 400 N sen N sen N sen45 ΣF y = 400 N (0.5) N (0.8660) N (0.7071) ΣF y = 200 N N N = N Una vez calculadas ΣF x = N y ΣF y = N, se determina la magnitud de la fuerza resultante empleando el teorema de Pitágoras, así que: R = (ΣF x ) 2 + (ΣF y ) 2 = ( N) 2 + ( N) 2 R = ( N) 2 + ( N) 2 R = N N 2 = R = N 2 R = N. La dirección se determina empleando la función tangente, así que: ΣF x N tan θ = = = = ΣF y N

33 VECTORES 33 Despejando el ángulo θ se tiene que: θ = arc tan (5.6937) = tan -1 (5.6937) = 80 Por lo tanto, el valor de la magnitud de la fuerza resultante es R = N y la dirección es θ = 80. Ejercicio 9. En este problema suponer que los vectores dados se encuentran colocados sobre los ejes de coordenadas como se muestra en la figura 28. Determinar las magnitudes de las compomentes de los vectores en las direcciones X y Y. Solución: Se tiene que las componentes de cualquier vector F en las direcciones X y Y son respectivamente F x = Fcosθ y F y = Fsenθ, supónga que la magnitud del vector F es F y su dirección se indica en la figura 28. a) Como F x = F cosθ, sustituyendo el valor del ángulo θ = 0, se obtiene: F x = F cos0 = F(1) = F, así que: F x = F. Como F y = F senθ, sustituyendo el valor del ángulo θ = 0, se obtiene: F y = F sen 0 = F(0) = 0, así que F y = 0. Por lo tanto, un vector F paralelo o colocado sobre el eje X, tiene una componente horizontal F x igual en magnitud al vector F y una componente vertical F y igual a cero, es decir: F x = F y F y = 0. Y Y F F Θ = 0 F F X Θ = 90 X a) b) Figura 28. a) El vector F tiene una magnitud igual a F y su dirección es θ = 0. b) El vector F tiene magnitud igual a F y su dirección es igual a θ = 90.

34 VECTORES 34 b) Como F x = F cosθ, sustituyendo el valor del ángulo θ = 90, se obtiene: F x = F cos90 = F(0) = 0, así que: F x = 0. Como F y = F senθ, sustituyendo el valor del ángulo θ = 90, se obtiene: F y = F sen90 = F(1) = F, así que: F y = F. Por lo tanto, para el caso de un vector paralelo o colocado sobre el eje Y, es decir, cuya dirección es θ = 90, resulta que: F x = 0 y F y = F. Ejercicio10. Suponer ahora que se tienen cuatro fuerzas actúando sobre un cuerpo que se encuentra colocado en el origen de un sistema de coordenadas, las magnitudes y direcciones de las fuerzas son: F 1 = 200 N, θ 1 = 30 ; F 2 = 300 N, θ 2 = 45 ; F 3 = 400 N, θ 3 = 30 y F 4 = 500 N, θ 4 = 60, las cuales están representadas en la figura 29. Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. Solución: Como ya fue señalado en los ejercicios anteriores, en este tipo de problemas el primer paso es descomponer cada uno de los vectores dados con respecto a los ejes X y Y. En la figura 29, se muestran los vectores y sus componentes en las direcciones del los ejes X y Y. Una vez realizada la descomposición de los vectores dados, en seguida se obtiene la suma de las componentes con respecto a X y Y. ΣF x = F 1 cosθ 1 + F 4 cosθ 4 F 2 cosθ 2 F 3 cosθ 3, sustituyendo los datos se obtiene: ΣF x =200Ncos Ncos60-300Ncos45-400Ncos30 ΣF x = {200(0.8660)+500(0.5)+300(0.7071)+400(0.8660)} N ΣF x = ( ) N ΣF x = N.

35 VECTORES 35 ΣF y = F 1 senθ 1 + F 2 senθ 2 F 3 senθ 3 F 4 senθ 4, sustituyendo los datos se obtiene: ΣF y =200 N sen N sen N sen N sen60 Y ( + ) Figura 29. Descomposición de los vectores F 1, F 2, F 3 y F 4 con respecto a los ejes de coordenadas. X( - ) F 2 F 2 SENΘ 2 F 1 SENΘ 1 F 2COSΘ 2 Θ 2 Θ 1 F Θ Θ 3 COSΘ F 1 F 1 COSΘ 1 F 4 COSΘ 4 X ( + ) F 3 F 3 SENΘ 3 F 4 SEN Θ 4 F 4 Y ( - ) ΣF y =200N(0.5) + 300N(0.7071) - 400N(0.5) - 500N (0.8660) ΣFy = 100 N N N N ; ΣFy = N. Para determinar la magnitud de la resultante se tiene: R = (ΣF x ) 2 + (ΣF y ) 2 R= ( N) 2 + ( N) 2 R = N N 2 R = N 2 ; R = N. Para obtener la dirección se emplea la función tangente: ΣFy N tan θ = = = = ΣF x N

36 VECTORES 36 tan θ = Despejando el ángulo θ se tiene: θ = arctan(2.3708) = tan ) = 67 5' Por lo tanto, la magnitud de la fuerza resultante es R = N y la dirección es θ = 67 5'. PREGUNTS 1. Qué es magnitud desde el punto de vista físico? 2. Qué es una magnitud vectorial? 2. Qué es una magnitud escalar? 3. Dar tres ejemplos de cantidades vectoriales. 5. Dar tres ejemplos de cantidades escalares. 6. Expresar las diferencias entre la suma de desplazamientos y la suma de distancias.

37 VECTORES Enunciar de una manera breve en qué consiste el método del triángulo. 8. Enunciar de una manera breve en qué consiste el método del paralelogramo. 9. Cuando se suman tres o más vectores, qué método gráfico de adición de vectores escogería usted?. Muestrar cómo se prodría usar el método del paralelogramo para sumar tres o más vectores. 10. Cómo se procede para descomponer un vector en un sistema de coordenadas? 11. Cómo deben estar orientados dos vectores para que el módulo del vector suma sea el mayor posible? Y para que sea el menor posible? 12. Puede un vector resultante ser menor que sus componentes X y Y? Expliacar. 13. Pueden dos vectores desiguales dar un vector resultante cero? 14. Es posible que la suma de dos vectores de módulos 6 y 4 respectivamente sea un vector de módulo? 15. Es posible que la suma de dos vectores de módulos 4 y 3 respectivamente sea un vector de módulo 8?

38 VECTORES a) Localicar en un sistema de coordenadas los siguientes vectores: = 2i - 3j ; B = - 2i + 3j ; C = 5i + 3j, D = 7i + 4j. b) Determinar gráfica y analíticamente: + B y C - D. 2. Dos fuerzas de 200 N y 300 N, actúan sobre el mismo cuerpo formando un ángulo recto una con la otra. Determinar la magnitud y dirección de la fuerza resultante. 3. Un bote en un canal es remolcado por dos autos, mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de 45. Si las magnitudes de las fuerzas son 500 N y 800 N, respectivamente, cuál es la magnitud y dirección (con respecto a la fuerza de 800 N) de la fuerza resultante? 4 Un aeroplano vuela al Suroeste 200 km, luego vira hacia el Este 300 km, cuando es forzado a aterrizar. qué distancia y en qué dirección está el avión de su base?

39 VECTORES Toño, paseando en su bicicleta a 8 km/h, va hacia el Sur durante 2 h, luego da vuelta y se dirige al Este durante 1.5 h. Determinar la magnitud y dirección de su desplazamiento resultante. 6. Determinar en un diagrama la resultante de un desplazamiento de 3 km hacia el Norte, seguido de un desplazamiento B de 5 km hacia el Este. Repetir el procedimiento, suponiendo que el primer desplazamiento fue B, seguido del desplazamiento. Comparar las magnitudes, las direcciones y los sentidos de los dos resultados, y obtener una conclusión. 7. Si una fuerza que tiene una magnitud de 150 N forma un ángulo de 35 con la horizontal, cuánto valen sus componentes en la dirección horizontal y vertical respectivamente. 35 F 8. Un cable arrastra un carro de mina con una fuerza de 120 N en una dirección de 37 sobre la horizontal. Encontrar las componentes horizontal y vertical de esta fuerza.

40 VECTORES Las componentes rectangulares, V x y V y, de un vector V, valen V x = 6 cm y V y = 8 cm. a) Cuál es la magnitud del vector V. b) Cuál es el ángulo que V forma con eje X?. 10. Un avión a una cierta altura, partiendo de un punto, se desplaza a 4 km, hasta el punto B, manteniendose en la misma altitud. En seguida, todavía manteniéndose a la misma altura, se desplaza 3 km, en ángulo recto con la dirección B, hasta el punto C. partir de C sube verticalmente, recorriendo una distancia de 5 km, llegando al punto D. a) Esbozar el dibujo de los desplazamientos del avión. b) Cuál es la magnitud del vector desplazamiento resultante D del avión?. 11. Para cada uno de los casos de la figura de este problema, calcular la magnitud de las componentes del vector D en las direcciones de X y Y. Suponer que la magnitud de D es D = D = 100 km. Y Y Y D D Θ = 45 X D Θ = 0 D X D D Θ = 90 X Calcular mediante el método de descomposicion rectangular la resultante (magnitud y direccion) de los siguientes sistemas de fuerzas. 12. Si F 1 = 300 N, θ 1 = 45 F 2 = 500 N, θ 2 = 60 F 2 Y ( + ) F 1 Θ 2 Θ 1 X( - ) X ( + ) Y ( - )

41 VECTORES 41 Y ( + ) 13. Si F 1 = 400 N, θ 1 = 60 F 2 = 200 N, θ 2 = 45 F 3 = 500 N, θ 3 = 30 F 2 F 1 Θ 2 Θ 1 X( - ) X ( + ) Θ 3 Y ( - ) F Si F 1 = 200 N, θ 1 = 45 F 2 = 300 N, θ 2 F 3 = 500 N, θ 3 = 30 F 4 = 200 N, θ 4 Y ( + ) F 1 F 2 Θ 1 X( - ) X ( + ) Θ 3 F 3 F 4 Y ( - ) 15. Dos hombres y un muchacho desean arrastrar un cajón en la dirección señalada con X en la figura. Los dos hombres jalan con fuerzas F 1 y F 2, cuyas direcciones y magnitudes están indicadas en la misma figura. Determinar la dirección y la magnitud de la fuerza mínima que debe ejercer el muchacho. F 1 = 500 N, θ 1 = 60 F 2 = 400 N, θ 2 = 30 F X F 2

42 VECTORES 42 BIBLIOGRFí BÁSIC. 1. Murriay R. Spiegel. nálisis Vectorial. Mc Graw Hill. México, Louis Brand. nálisis Vectorial. Compañía Editorial Continental, S.. México Harry Lass. nálisis Vectorial y Tensorial. Compañía Editorial Continental, S. México, Bueche F. Fundamentos de Física.5ª edición, Mc Graw Hill. México, Hecht E. Física1. Álgebra y Trigonometría. International Thomson Editores. México, Lea S., Física: La naturaleza de las cosas International Thompson Editores. rgentina, lvarenga G., Beatriz y Ribeiro Da Luz., Máximo. Física General con Experimentos Sencillos; Harla, México Tippens E. Paul.; Física Conceptos y plicaciones. Mc Graw-Hill., México, Cetto na María, Dominguez Héctor, Lozano Juan Manuel, Tambutti Romilio y Valladares riel. El Mundo de la Física. Trillas, México, Estrada., Félix., De Oyarzabal O., Juan., Velasco H., Mario. Lecciones de Física.; Compañia Editorial Continental. S.., México, lonso Marcelo y Rojo Onofre. Física Mecánica y Termodinámica. Fondo Educativo Interamericano, S.. México, 1979.