APUNTES DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD A TRAVÉS DE SUS AUTORES EN LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES DE 2º BACHILLERATO

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1 APUNTES DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD A TRAVÉS DE SUS AUTORES EN LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES DE º BACHILLERATO 1-. INTRODUCCIÓN Agustín Zajara González Licenciado en Matemáticas y en Ciencias y Técnicas Estadísticas Profesor del Cuerpo de Secundaria. Badajoz Con este artículo se persigue dar una visión general de la teoría de la probabilidad y de sus creadores para los lectores interesados en el tema y en especial para el profesorado y alumnado de la asignatura de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales de º Bachillerato en el Bloque en el que se trata La Estadística y Probabilidad y dentro de él, los temas que tratan de la Probabilidad. Es un bloque que le resulta muy interesante y ameno al alumno. El azar es algo que despierta un especial interés en ellos y del que ya tienen una idea intuitiva, aunque en algunos casos no sea la acertada. Por otro lado permite conectar su realidad cotidiana con las matemáticas y la resolución de problemas que a ellos le interesan. No hay nada para los alumnos, como comprobar por sí mismos la certeza ó errores en sus ideas previas de su realidad cotidiana. En segundo curso de Bachillerato y a través de ésta temática se ve la luz al final del largo túnel que son los cursos anteriores y se da respuesta a la pregunta del que esto para que sirve. Se conectan entre sí los conocimientos adquiridos antes, formando un todo y dando significado a aprendizajes que antes no lo tenían. Los ajenos a la materia se preguntarán: Qué es esto de la teoría de la probabilidad?. La palabra teoría nos sugiere algún problema de fondo y que se intenta explicar con algo. El término probabilidad lo asociamos a posibilidad, frecuencia incertidumbre. Si no existieran fenómenos impredecibles (aleatorios),que pueden o no suceder, no existiría la teoría de la probabilidad. Hay hechos ó sucesos más predecibles que otros. Podríamos cuantificar de alguna manera la ocurrencia de un hecho?. La respuesta a esta pregunta no es fácil. Es posible en algunos casos y debido a la aportación a lo largo de la historia de diversos estudiosos del tema. Cómo cuantificamos si mañana tendré un buen día, si ganará mi equipo?. Los fenómenos del azar están inmersos en nuestra vida diaria, los ingleses utilizan expresiones para indicar con la frecuencia que realizan determinadas acciones: always = siempre (100% de las veces), usually 80%,often 60%, etc. Por ejemplo, para decir cuantas veces comen carne a la semana, intuitivamente realizan un cálculo porcentual. Si son 4 días a la semana, dividido entre 7 este porcentaje está más cerca del often, que del usually. Efectivamente 4/7 = 0,57 = 57%. Está intuición se basa en unos indicios, en una información previa. 6

2 La teoría de la probabilidad surge de una necesidad: dar solución práctica a problemas relacionados con todas las ramas del saber (física, medicina, biología, astronomía, economía, sociología, psicología, etc).si a eso le añadimos que con pocos conceptos y sin recurrir a cálculos complicados, podemos dar solución a muy variados problemas, lo hace un tema muy interesante y valorado. Podemos afirmar además que la teoría es asequible a todos. He creído conveniente tratar este tema desde la aportación realizada por sus autores por orden cronológico en el tiempo y en reconocimiento al trabajo realizado por ellos, para no desvincular el autor de su vida y obra. Éste gran edificio que se ha creado con la aportación de unos y otros y con el trabajo conjunto de ellos. Sin más prolegómenos empecemos con el tema que nos ocupa. -. AUTORES Y DESARROLLO HISTÓRICO DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Pierre de Fermat ( ) nació en Francia y tuvo una buena educación ya que su padre disponía de medios económicos. Estudió leyes e hizo aportaciones al desarrollo inicial del Cálculo de Probabilidades. En 1654 Fermat (a pesar de que era conocido por que no le gustaba revelar sus resultados, bien por timidez o porque disfrutaba fastidiando a sus colegas) inicia una relación por correspondencia con Blaise Pascal, el cual escribe a Fermat para consultarle acerca de ideas de probabilidad. Tuvieron una corta correspondencia (cinco cartas) pero muchos los consideran como los fundadores del inicio de la teoría de probabilidades. Blaise Pascal ( ) fue filósofo, matemático y físico francés. Fue un alumno precoz (con 1 años empieza a trabajar por su cuenta en Geometría), que destacó pronto en matemáticas debido a las enseñanzas de su padre. Blaise tenía un amigo, el Caballero de Meré, que fue jugador profesional, filósofo y escritor en el reinado de Luis XIV y que le planteó dos preguntas sobre juegos de dados. La primera era porque al apostar sobre obtener al menos un seis en cuatro tiradas, el jugador contaba con ventaja de ganar sobre el contrario. La segunda cuestión era porque al lanzar dos dados veinticuatro veces y apostar por obtener al menos un seis doble, el jugador tenía más posibilidades de perder que de ganar. Por otro lado Blaise estableció correspondencia con Pierre de Fermat para tratar el problema de los dados, que plantea cuántas veces deben lanzarse un par de dados antes de que se espere que salga el seis doble, mientras que el problema de los puntos plantea cómo dividir las apuestas si una partida de dados no se termina. Resolvieron el problema de los puntos para una partida de dos jugadores, pero no desarrollaron métodos matemáticos lo bastante buenos como para resolverlo en caso de que hubiera tres o más jugadores. Pascal vivió la mayor parte de su vida adulta dentro de un gran sufrimiento, tuvo frecuentes migrañas en su juventud. En 1658 termina un trabajo filosófico llamado Pensamientos, en el que utiliza razonamientos probabilísticos para afirmar: 63

3 Si Dios no existe, uno no pierde nada creyendo en él, mientras que si existe, uno lo pierde todo no creyendo, con lo que estamos obligados a jugar. Juan Caramuel Lobkowitz ( ) Nació en Madrid, de inteligencia superdotada a los doce años componía tablas astronómicas. Estudió Humanidades y Filosofía en la Universidad de Alcalá de Henares. También estudió Teología. Llegó a hablar 0 lenguas distintas. Llegó a relacionarse con los eruditos más célebres de la época: René Descartes, Pierre Gassendi y muchos otros. Llegaron a llamarle el Leibniz español. Su obra titulada Mathesis bíceps representa el segundo tratado sobre el moderno Cálculo de Probabilidades de la historia después del de Huygens. Christiaan Huygens ( ) Matemático y físico se esperaba de él que fuese diplomático, sin embargo fue un excelente científico, haciendo grandes contribuciones a las matemáticas, física y astronomía. Estudió en la Universidad de Leiden en el College of Orange en Breda. Pasó 14 años en París en la Académie des Sciences. Escribió su primer libro de probabilidad en una revista y lo tradujeron al Inglés como The Value of all Chances in Games of Fortune. El se basó en las ideas de Pascal y Fermat, las cuales, el había estudiado cuando estaba en París. En este libro desarrolla 14 proposiciones o enunciados y propone 5 problemas. Dos de los problemas fueron propuestos por Fermat a Huygens y uno de ellos se lo propuso Pascal a Fermat y éste último a Huygens. Huygens utilizó para resolver algunos de sus problemas el Teorema de la Suma y de la Multiplicación. Jacob Bernoulli ( ) fue obligado por sus padres a estudiar Teología y Filosofía, no obstante él por su cuenta se dedicó a estudiar matemáticas. Estudió con los mejores matemáticos y físicos de la época. A su hermano Johann su padre lo obligó a estudiar medicina, pero le pidió a Jacob que le enseñase matemáticas. Este momento cambió la vida de los dos hermanos, al principio colaboraron trabajando juntos en los mismos problemas, más tarde esto se convirtió en una fuerte rivalidad, que les llevó a la disputa de quien obtenía mayores reconocimientos. Jacob obtiene un gran resultado para la teoría de la probabilidad La ley de los grandes números de gran transcendencia. Este resultado lo conocen los alumnos de º Bachillerato que cursan Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales y su interpretación es muy sencilla. Merece la pena hacer un punto y aparte para explicarlo. Repitamos un experimento un número de veces. Con experimento nos referimos a una experiencia en general, por ejemplo jugar un partido de fútbol, una partida de poker, unas elecciones, lanzar un dado, etc. En esta experiencia podemos obtener un resultado, por ejemplo ganar el partido, perder la partida, ganar las elecciones, obtener un cuatro en el dado, etc. Para que sea válida ésta ley tienen que darse unas determinadas condiciones en las que no entraremos en detalle. 64

4 Una de ellas es que el experimento se dé en condiciones similares cada vez que se realice. No sería válido que hubiese un condicionante externo al experimento, como por ejemplo que los mejores futbolistas de un equipo estuviesen enfermos en un partido, que se cambie el sistema de elección en un momento dado, etc. Nuestro propósito es saber con que probabilidad o certeza puede ocurrir un determinado resultado del experimento. Si utilizamos un símil electoral sería que posibilidad tiene de ser elegido el partido X. Para ello observaríamos que ha ocurrido en las n últimas elecciones. Contaríamos en cuantas a ganado el partido X y el cociente de este número y el número total n de elecciones sería la frecuencia relativa. Este cociente tendría valores comprendidos entre 0 y 1, multiplicándolo por 100 nos daría el porcentaje con el que se da ese resultado. La ley de los grandes números nos dice que al repetir muchas veces el experimento, la frecuencia relativa se acerca ó es igual a la probabilidad de que ocurra dicho resultado. Recordemos que la probabilidad de un hecho - suceso resultado es la cuantificación de la certeza de que ocurra. Expliquémoslo con una experiencia, observemos el color de pelo de los hijos de cinco parejas donde todos los padres tienen el pelo negro y todas las madres el pelo rubio. El resultado nos da que tres de los hijos tienen el pelo negro. La frecuencia relativa de obtener el pelo negro sería 3/5. El resultado de Jacob Bernouilli nos dice que si podemos hacerlo con 100 parejas y de ellas 75 de sus hijos tienen el pelo negro, la frecuencia 75/100 está más próxima a la probabilidad de tener un hijo con el pelo negro que la frecuencia 3/5, y cuanto más veces realicemos el experimento mejor. Este resultado probabilístico es muy útil para demostrar leyes y teorías. En el ejemplo anterior podríamos comprobar si es cierta la ª Ley de Mendel. El hecho de que aparezcan 75/100 hijos con el pelo negro contrasta con el hecho de la herencia de los alelos de la madre y el padre. Si llamamos N al carácter tener el pelo negro dominante y R al carácter tener el pelo rubio recesivo, al combinarlos nos dará como resultado de pelo negro si aparece el alelo N y como resultado de pelo rubio únicamente si los dos alelos son el R. NN: significa homocigoto dominante, RR: significa homocigoto recesivo, NR: significa heterocigoto. Por lo tanto si hacemos un cuadro estudiando los posibles casos nos daría. Materno N R N NN NR Paterno R NR RR Vemos que en 3 de los 4 resultados posibles la descendencia tendría el pelo negro (NN,NR,NR) y en uno de ellos RR la descendencia tendría el pelo rubio. Esto se corresponde con nuestros datos del recuento 75/100 = 3/4 de posibilidades de tener un hijo con el pelo negro. La ley de los grandes números desde el punto de vista de su aplicabilidad tiene varios inconvenientes, uno de ellos es el de repetir la experiencia en 65

5 las mismas condiciones, porque a veces no es posible. Todos sabemos que hay múltiples factores cambiantes que no hacen posible repetir el experimento en las mismas condiciones. Otro inconveniente es que hay experiencias las cuales son difíciles de repetir o replicarlas muchas veces y hay que calcular la probabilidad por otros métodos. Por ejemplo si queremos hacer un estudio genético de los hijos de una pareja, tendremos muy pocos datos aún en el mejor de los casos y este método no sería válido. Jacob Bernoulli dedujo que la probabilidad de que ocurra A ó B ó simultáneamente A y B, lo que se llama matemáticamente la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades de A y B cuando A y B son incompatibles, es decir cuando no pueden ocurrir a la vez. Pero se dio cuenta de que para sucesos compatibles la suma de la unión no era igual a la suma de sus probabilidades y no supo explicar porque. Por ejemplo la probabilidad de tener un hijo rubio ó moreno es la probabilidad de obtener un hijo rubio más la probabilidad de obtener uno moreno, ya que estos sucesos son excluyentes ó incompatibles, no pueden ocurrir los dos a la vez. Hay otros ejemplos donde esto no ocurre, por ejemplo para calcular la probabilidad de tener un hijo alto ó rubio, no es la suma de sus probabilidades porque estos sucesos son compatibles, es decir que no son excluyentes, podemos tener un hijo alto y rubio a la vez. Más adelante veremos una fórmula que nos permitirá calcular la probabilidad de la unión para sucesos compatibles e incompatibles. Abraham de Moivre ( ) nació en Francia y murió en Londres. Recibió clases privadas de Matemáticas y en 1685 emigra a Londres donde aspiraba a convertirse en Catedrático, pero no lo consigue. De Moivre publica la obra The Doctrine of Chance en 1718, donde aparece la definición de independencia estadística, junto a problemas relacionados con dados y otros juegos del azar. El concepto de independencia es fundamental en la Teoría de la probabilidad y se utiliza para resolver muchos problemas. Dos sucesos son independientes, si uno no depende del otro. En algunos casos es muy complicado saber si dos sucesos son independientes. Por ejemplo, el sueldo que gana una persona, depende de su preparación?.unos dirán que sí y otros que no. La riqueza de una región depende de la gestión de sus políticos ó es independiente de ella?. Hay ejemplos claros de independencia como el conseguir un premio en la lotería, el que te haya tocado antes no condiciona que te pueda tocar otra vez. La independencia es volver otra vez a la misma situación inicial. Otro ejemplo es el sexo del hijo, que es independiente del sexo de los anteriores. Lo que sí ocurre es que si una pareja ha tenido por ejemplo tres varones tiene la esperanza de que el cuarto hijo sea hembra, pero no tiene porque ocurrir. El concepto de esperanza es el mismo que el de la media. Se espera que si lanzas una moneda seis veces, más o menos salgan alrededor de 3 caras y 3 cruces, porque es su esperanza ó media y es lo más frecuente y lo mismo ocurre con la descendencia, uno espera un reparto equilibrado entre sexos. 66

6 De Moivre sabía calcular probabilidades para dos sucesos que no eran independientes (es decir dependientes). Utilizó el Teorema de la multiplicación que más tarde se generalizó para n sucesos. El Teorema es el siguiente: La probabilidad de que ocurra A y B es el producto de la probabilidad de A y de que ocurra B sabiendo que ya ha ocurrido A. P(A y B) = P(A) P(B/A) También obtiene la fórmula para tres sucesos: P(A y B y C) = P(A) P(B/A) P(C/(B y A)) De Moivre hizo referencia a la clásica definición para calcular probabilidades de Laplace en las dos primeras páginas de su célebre libro The Doctrine of Chance, aunque el mérito se le atribuye a este último. Tomas Bayes ( ) nació en Londres y recibió una educación privada, parece que uno de sus profesores pudo ser De Moivre. Bayes fue clérigo hasta que se retira de esta tarea en 175. Propone su teoría de la probabilidad en un trabajo titulado Essay towards solving a problema in the doctrine of chances. Este trabajo fue publicado después de su muerte. En vida no apareció ningún trabajo publicado a su nombre. El crea una técnica muy útil para calcular probabilidades de sucesos a partir de probabilidades condicionadas y probabilidades a priori. Su técnica es llamada Teorema de la probabilidad Total. Para poder aplicar este teorema tenemos que tener una conjunto de sucesos que contemplen y completen todas las posibilidades de resultados y que sean incompatibles entre sí (no pueden suceder dos de estos sucesos a la vez) y que puedan ocurrir, es decir que su probabilidad no sea cero. Este conjunto de sucesos los llamaremos A 1, A,,A n. Imaginemos que queremos calcular la probabilidad de tener una colisión en una ciudad. Para ello nos centramos en tres avenidas que son las que más tráfico tienen. Una de ellas es la avenida 1, otra es la avenida y la última es la avenida 3. Las probabilidades a priori de circular por estas avenidas son de 5%,10%,15% respectivamente. Las probabilidades anteriores se calcularían contabilizando los coches que circulan por estas avenidas del total de la ciudad. Las probabilidades condicionadas de tener una colisión, circulando por una de estas avenidas (probabilidad de tener colisión sabiendo que circulamos por éstas calles) es de 1%,3%,% respectivamente. En el primer caso significaría que uno de cada cien coches que circula por la Avenida 1 tiene una colisión. La probabilidad de tener un accidente depende de la calle por la que circulemos, de sus condiciones. En una de peor firme o más circulación habrá más posibilidades de tener una colisión. Probabilidades a priori: A 1 =suceso circular por la avenida 1 A =suceso circular por la avenida A 3 =suceso circular por la avenida 3. 67

7 B = suceso sufrir una colisión. Probabilidades condicionadas: El símbolo / significa sabiendo. B/ A 1 = suceso sufrir colisión sabiendo que circulas por la avenida 1 B/ A = suceso sufrir colisión sabiendo que circulas por la avenida B/ A 3 = suceso sufrir colisión sabiendo que circulas por la avenida 3. Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(B/ A 1 ) P(A 1 )+ P(B/ A ) P(A )+ P(B/ A 3 ) P(A 3 ) = = 0,05 0,01+0,1 0,03+0,15 0,0 = 0,0065 El resultado sería que en esta ciudad hay una probabilidad de que se produzcan 65 colisiones por cada vehículos. Antes de seguir adelante se hace necesario explicar como se calcula la probabilidad de que ocurra un suceso y otro a la vez. Por ejemplo un suceso podría ser que a una persona le guste el jamón y otro suceso que una persona sea de nacionalidad española. En primer lugar habría que preguntarse si son independientes el uno del otro. No son independientes, el motivo es que en España se produce mucho jamón y es más probable que en España una persona afirme que le guste el jamón que una persona en Madagascar, que nunca lo ha probado. Habría que hacer otra observación no es lo mismo el suceso que te guste el jamón y ser español, que te guste el jamón sabiendo que eres español. La probabilidad del primer suceso es menor que la del segundo. Es más difícil encontrar una persona española y que le guste el jamón, que una persona que sabiendo que es española le guste el jamón. Aunque puede parecer lo mismo, no lo es, el motivo es que hay muchas personas de otros países y no es fácil encontrar personas en el mundo que cumplan las dos condiciones. Si la población mundial fuese en su totalidad española, sería lo mismo una cosa que la otra. Existe una relación entre la probabilidad condicionada y la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez, que es conocida como el Teorema de Bayes, que es muy útil para resolver múltiples problemas y para calcular probabilidades condicionadas. Abraham de Moivre ya conocía este resultado como Teorema de la Multiplicación, el mérito de Bayes fue expresar la probabilidad condicionada como un cociente. Su enunciado es el siguiente: La probabilidad de que ocurra A condicionado a B (ó sabiendo B, ó dentro de B) es igual que la probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente dividido por la probabilidad de B. (*) P(A/B) = P(A y B) / P(B) En nuestro ejemplo anterior el suceso A es que le guste el jamón y el suceso B ser español. De la fórmula anterior (*) se deduce que para que P(A/B) = P(Ay B) tiene que ocurrir que P(B) =1=100% y en nuestro ejemplo para que ocurriese eso toda la población mundial tendría que ser española, cosa que no ocurre. Cuando hablamos del concepto de independencia dijimos que dos sucesos eran independientes, si uno de ellos no condicionaba el otro. Es decir que para que sean independientes nos da igual lo que ocurra con el primer suceso porque la probabilidad del segundo suceso no depende del primero. Al lanzar a la vez una 68

8 moneda y un dado, el resultado del dado no condiciona el de la moneda y viceversa. Sería deseable que algunas situaciones fuesen lo más independientes posibles, pero en muchos casos esto no ocurre. La teoría del caos cuya metáfora mediática es muy conocida: el aleteo de una mariposa en Pekín puede producir, un mes después, un huracán en Texas. En la realidad hay desórdenes e inestabilidades momentáneas, pero todo retorna luego a su cauce determinista. Los sistemas son predecibles, pero de repente, sin que nadie sepa muy bien porqué, empiezan a desordenarse y caotizarse (período donde se tornarían imposibles las predicciones), pudiendo luego retornar a una nueva estabilidad. Porqué en el ritmo cardíaco normal se filtra el caos y se produce un paro?; porqué es imposible predecir el clima más allá de unos pocos días?; porqué hay variaciones imprevistas de los precios?.según esta teoría hay sucesos que en un momento dado dependen uno del otro aunque el sentido común nos diga que el aleteo de una mariposa y que se produzca un huracán son sucesos independientes. Cuando dos sucesos son independientes traduciendo su definición a simbología matemática nos dice que P(A/B) = P(A) (*) porque da igual que ocurra B, como que no ocurra, no condiciona la probabilidad del suceso A. De la fórmula de Bayes P(A/B) = P(A y B) / P(B) y de la definición de independencia (*) sustituyendo obtenemos que P(A) = P(A y B) / P(B) y pasando la probabilidad de B al primer término P(A) P(B) = P(A y B). La conclusión es la siguiente: Si dos sucesos son independientes, la probabilidad de que ocurran a la vez es el producto de sus probabilidades. En el caso de la moneda y el dado lanzados a la vez, la probabilidad de sacar cara en la moneda y el número seis en el dado, sería el producto de sus probabilidades. Tomas Bayes da la primera definición rigurosa de cómo calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos, válida tanto para sucesos incompatibles (que ya había descubierto Jacob Bernoulli) como para sucesos compatibles. Este resultado es conocido por el Teorema de la Suma. La definición sería la siguiente: La probabilidad de que ocurra un suceso A ó B ó A y B simultáneamente es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de que ocurran A y B a la vez. P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) Notas: A partir de ahora P(A y B) = P(A B) A B = que ocurra un suceso A ó B ó A y B simultáneamente. Calculemos la probabilidad de obtener un seis ó un dos ó un seis y un dos simultáneamente en una ficha de dominó. Sabemos que hay 8 fichas de dominó. Una ficha tiene dos partes. En cada parte de la ficha puede aparecer un número del uno al seis ó en blanco. El número de fichas en las que aparece un seis son siete y el número de fichas en las que aparece un dos también son siete. Pero hay una ficha que tiene el siete y el dos a la vez. La pieza en la que aparece el siete y el dos si no la descontamos una vez, la estaríamos contando dos veces, una para cuando aparece con el seis y otra cuando aparece con el dos. Sólo podemos contarla una vez. La probabilidad de la unión es 7/8 +7/8 1/8 =13/8. 69

9 Pierre Simon LAPLACE ( ) nació en Francia, provenía de antepasados muy humildes, su padre poseía una granja y no pudo darle unos buenos estudios, pero cuando demostró tener un talento extraordinario para las matemáticas, algunos de sus parientes y vecinos le ayudaron a emprender los estudios Universitarios. En 1767 lo recomiendan para una academia militar donde tiene como discípulo a Napoleón. Creó la obra Theorie Analytique des Probabilités que fue publicada en 181 y que dedica a Napoleón el Grande, esta dedicatoria fue suprimida en posteriores ediciones. En ella aparece la por casi todos conocida definición de probabilidad de Laplace, que es la siguiente. Si las posibilidades de resultados elementales en un experimento son igual de probables e incompatibles (incompatibles = no pueden suceder dos resultados elementales a la vez), la probabilidad de que ocurra un suceso compuesto es el numero de casos favorables dividido por todos los casos posibles. Hemos definido que dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir a la vez, es decir que es imposible que ocurran a la vez. No puede ocurrir que estés volando y a la misma vez haciendo submarinismo, son dos sucesos incompatibles. Cuando se dice que dos personas son incompatibles significa que no tienen ningún carácter en común, absolutamente nada, el vacío. En probabilidad el conjunto vacío ó suceso imposible, son lo mismo. Expliquemos el concepto de probabilidad de Laplace con un ejemplo. Supongamos que tenemos una baraja española de 40 naipes, como están clasificadas en 4 palos (oro, espadas, bastos y copas) vamos a calcular la probabilidad de obtener una carta de espadas al sacarla al azar de la baraja. Los sucesos elementales son los 40 naipes, son equiprobables (igual de probables) porque si la baraja está bien mezclada puede salir cualquier carta con la misma posibilidad y son incompatibles porque no hay dos cartas iguales. Cuántos casos elementales y favorables hay de que salga espada? Diez, y cuántos casos elementales son posibles? Cuarenta. Por lo tanto la probabilidad de obtener espadas al sacar una carta es 10/40 = 1/4 =5%. El mayor inconveniente que tiene calcular probabilidades de esta forma es que en muchos casos el recuento de los casos favorables es complicado y requiere conocimientos de cálculos con variaciones, combinaciones y permutaciones para poder resolver el problema. Pruebe a calcular la probabilidad de obtener un poker, un full, etc. Otros inconvenientes para aplicar la regla de Laplace son las hipótesis que deben cumplirse (sucesos elementales equiprobables e incompatibles) y que a veces no se cumplen. En algunas ocasiones creemos que dos ó varios sucesos son igual de probables (equiprobables) cuando no lo son. Por ejemplo al lanzar una chincheta al aire la probabilidad de que la punta de la chincheta quede hacia arriba no es la misma a que quede con la punta hacia abajo. Esto se puede comprobar lanzándola varias veces y anotando las que quedan con la punta boca arriba y las que no. Cuantas más veces se lanzen mejor, pero si lanzamos una moneda si son equiprobables los sucesos salir cara ó cruz. Otro ejemplo donde no se podría aplicar la regla de Laplace es para calcular la probabilidad de que la suma de las caras de dos dados al lanzarlos sea un número 70

10 determinado. Es más probable obtener como suma de sus caras al lanzar los dos dados el cuatro que el dos. La suma sería dos cuando se obtiene un uno en ambos dados y la suma sería cuatro con varias posibilidades como un dos y un dos, un uno y un tres, un tres y un uno. Por lo tanto la probabilidad de obtener como suma un dos no es la misma que obtener como suma un cuatro. Para resolver el problema anterior y calcular la probabilidad de la suma si podemos considerar como sucesos elementales incompatibles y equiprobables el par de números que salen en la cara superior de los dados. Darían 6 6=36 parejas de números. La probabilidad de obtener como suma un dos sería 1/36 por que sólo hay una pareja que suma dos que es la (1,1). La probabilidad de obtener como suma un cuatro como hay tres posibilidades (1,3),(3,1),(,) sería de 3/36 =1/1. KOLMOGOROV, A. Nikolaevich ( ) nació en Rusia. Su madre murió en el parto y su padre estuvo exiliado y regresó después de la Revolución, pero murió pronto, cuando Kolmogorov tenía dieciséis años. La hermana de su madre se hace cargo de él y al abandonar la escuela trabajó de conductor de tren. En 190 ingresó en la Universidad Estatal de Moscú, pero no se dedica a las Matemáticas. Tuvo la influencia de grandes matemáticos de la época y en 19 obtiene resultados de importancia internacional. En un trabajo de 1933, construye la teoría de las probabilidades de forma rigurosa, a partir de unos axiomas (reglas). El mérito de Kolmogorov fue que a partir de tres axiomas, llega a todos los resultados existentes hasta la época y los formaliza. Construyó todo el edificio existente a partir de tres postulados (los axiomas). Los axiomas son los siguientes: 1. La probabilidad de un suceso es mayor o igual que cero.. La probabilidad del suceso total es igual a uno. 3. La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es la suma de sus probabilidades. Un resultado que demuestra a partir de sus tres axiomas es que la probabilidad del suceso complementario (a veces se le llama contrario) es uno menos la probabilidad del suceso. El complementario de los números impares son los números pares. El complementario de ser rubio es no ser rubio, donde entrarían muchas posibilidades castaño, moreno, pelirrojo y todos los colores posibles. Lo hace de la siguiente manera. La probabilidad del suceso total según su segundo axioma es 1, la probabilidad de que ocurra dos sucesos incompatibles (que ocurra uno ó el otro) es la suma de sus sucesos, según su tercer axioma, como un suceso y su contrario son incompatibles (no pueden ocurrir a la vez) y por otro lado un suceso y su contrario forman el total, despejando se deduce el resultado. 3-. PROBLEMAS DE PROBABILIDAD LOS PROBLEMAS DE BLAISE PASCAL Y PIERRE DE FERMAT Cuál es la probabilidad de obtener al menos un seis en un dado al lanzarlo cuatro veces? Calculemos la probabilidad del suceso contrario que sería no obtener ningún seis al lanzar el dado cuatro veces. Los resultados de los lanzamientos de dados son 71

11 independientes uno de otros. La probabilidad de no obtener un seis (llamaremos A a este suceso) según la regla de Laplace es 5/6. Como queremos que esto no ocurra en los cuatro lanzamientos la probabilidad que hay que calcular es P(A y A y A y A) = P(A) P(A) P(A) P(A) = 5/6 5/6 5/6 5/6 = 65/196. La probabilidad de obtener al menos un seis sería 1- Probabilidad de no obtenerlo =1 (65/196) = 671/196. Por lo tanto hay más probabilidades de ganar apostando que nos saldrá al menos un seis en cuatro lanzamientos de dados en contra de que no saldrá ninguno. Cuántas veces habrá que lanzar dos dados para que la probabilidad de obtener al menos dos seis simultáneamente sea la misma que de no obtenerlos?.es decir cuántas veces hay que lanzar los dos dados para que la probabilidad de ganar sea la misma que la de perder al jugar a obtener un seis doble?. Llamamos n al número de lanzamientos. Llamemos q a la probabilidad de no obtener un seis doble. Para n lanzamientos por analogía con el problema anterior la probabilidad de no obtener un seis doble sería q n. Para que la probabilidad de ganar sea la misma que de perder dicha probabilidad debe ser 50%=50/100 = 1/. q n = 1/ ; Tomando logaritmos log q n = log 1/ ; n log q = log 1/ ; despejando: n = (log 1/)/(log q) (*) Los resultados posibles al lanzar dos dados son 6 6 =36.Como en nuestro caso q = 35/36 ya que en un solo caso de 36 se obtiene el seis doble, de la fórmula (*) se obtiene el valor de n = 4,6. Para n = 4 y n = 5 lanzamientos, la probabilidad de ganar y perder es aproximadamente la misma. El Caballero de Meré ya sabía a través de la práctica que esto era así. Calcularemos para n = 4 la probabilidad de obtener al menos un seis doble. Llamamos A = no sacar un seis doble en una tirada. La probabilidad de no sacar un seis doble en 4 lanzamientos sería: (El suceso A repetido 4 veces) P(A y A y A y y A) = (35/36) 4 = El obtener al menos un seis doble en veinticuatro lanzamientos sería el contrario del suceso anterior, su probabilidad es: P(Obtener al menos un seis doble en 4 lanzamientos) = = En el caso de 5 lanzamientos el cálculo sería igual que el realizado para veinticuatro: P(A y A y A y y A) = (35/36) 5 = P(Obtener al menos un seis doble en 5 lanzamientos) = = PROBLEMAS DE HUYGENS Este problema fue propuesto por Fermat en carta a Huygens en junio de 1656; la respuesta sin prueba está en la carta a Carcavi del 6 de julio de

12 A apuesta a B que de un mazo de 40 cartas, entre las cuales hay 10 de cada color, extraerá 4 de distinto color. Cuál es la probabilidad de que gane el jugador A?. La primera carta puede salir del color que quiera. La segunda carta tiene que salir de distinto color que el de la primera. La probabilidad de que salga una del mismo color es 9/39, que salga de distinto color es 30/39. La probabilidad de que salga una carta del mismo color que las dos anteriores es 18/38, para que salga distinta la probabilidad es 0/38. La última carta para que salga igual que las tres anteriores sería 3 9 =7 cartas del mismo color. La probabilidad de que salga del mismo color es 7/37. La probabilidad del contrario es 10/37. La probabilidad de que salgan las cuatro de distinto color, es el producto de las probabilidades calculadas antes, es decir: (30/39) (0/38) (10/37) = (6000/54834) = (1000/9139) En este juego los jugadores tienen 1 fichas de las cuales cuatro son blancas y ocho negras; A apuesta a B que escogiendo siete fichas sin mirar, obtendrá al menos tres blancas. Qué probabilidad tiene A de ganar?. Este problema fue resuelto por Huygens en Definiciones previas: n! = n (n-1) (n-) 1 ; 4! = =4 n n! El número combinatorio = contabiliza de cuantas maneras se pueden i i! ( n i)! ordenar i fichas de un color y n-i fichas de otro color. 3 3! Ejemplo: = = = = 3!1! 1 1 El símbolo indica sumas desde el índice inferior al superior recorriendo todos los valores intermedios Ejemplos: i = ; = + + i= 3 i= 1 i 1 3 El suceso contrario de obtener al menos tres blancas es obtener menos de tres blancas, es decir obtener blancas, 1 blanca ó 0 blancas. La probabilidad de obtener 0 blancas es lo mismo que obtener todas negras. Esa probabilidad es (8/1) (7/11) (6/10) (5/9) (4/8) (3/7) (/6) La probabilidad de obtener 1 blanca es: 7 (4/1) (8/11) (7/10) (6/9) (5/8) (4/7) (3/6) 1 7 El número combinatorio = 7 son las formas de sacar la ficha blanca. 1 73

13 Puede salir en primer lugar, en segundo, etc. El 4/1 es la probabilidad de sacar una ficha blanca entre doce. La probabilidad de sacar bolas blancas es: 7 (4/1) (3/11) (7/10) (6/9) (5/8) (4/7) (3/6) El número combinatorio blancas. 7 = (7 6)/ = 1 son las formas de sacar las dos fichas Si sumamos esas tres probabilidades y sacamos factor común sale: ( ) = (114) = = La probabilidad de ganar el jugador A es 1 = A y B juegan uno contra el otro, con dos dados, bajo la condición de que A gana si obtiene 6 puntos sumando sus caras, y B gana si obtiene 7 puntos sumando sus caras. Le corresponde la primera tirada a A, las dos siguientes a B, las otros dos siguientes a A, y así sucesivamente, hasta que gane alguno de los dos jugadores. Este problema fue propuesto por Fermat en carta a Huygens en junio de 1656, y resuelto por Huygens en carta a Carcavi el 6 de julio de Nosotros vamos a resolver un problema parecido porque el problema anterior no está indicado para alumnos de ºBachillerato y su resolución es compleja. Es el siguiente: A y B juegan uno contra el otro con un dado, bajo la condición de que A gana si obtiene un número determinado del dado, y B gana si obtiene otro número determinado del dado. Le corresponde el primer lanzamiento a A, el siguiente a B, el siguiente a A, y así sucesivamente, hasta que gane alguno de los dos jugadores. Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores? Resultado previo: (1-x) n i x = 1 x n+1 n i 1 x ; despejando i= 0 n x = i= 0 1 x El símbolo infinito indica un número muy alto. Si x<1 cuando n es muy grande x n+1 = 0 por lo tanto i=0 =0 i n i x es al valor al que se aproxima la suma i= 0 x i + 1 i x = 1 1 x cuando n tiene un valor muy alto. 74

14 P(Gane el jugador A) =P(Gane el 1er lanzamiento ó gane el 3er lanzamiento perdiendo los dos lanzamientos anteriores los dos jugadores ó gane en el 5 lanzamiento perdiendo los cuatro lanzamientos anteriores los dos jugadores ó ) = = = ( 5/36) 1 + = Sacando factor común = = / = 1 = i= i 1 = (5/6) = P(Gane el jugador B) =P(Gane el º lanzamiento perdiendo el jugador A el primer lanzamiento ó gane el 4º lanzamiento perdiendo los dos jugadores los lanzamientos anteriores ó gane en el 6º lanzamiento ó ) = =Sacando factor común= = = 36 11/ i= i 5 1 = (5/6) 5 = = 6 1 ( 5/36) Como se puede ver, el primer jugador A tiene más posibilidad de ganar por empezar el primero. EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS El juego consiste en lo siguiente: Lanzamos una moneda en cada partida, si sale cara gana el jugador A y si sale cruz gana el jugador B. Se lleva todo el dinero el que gane más partidas en un número de partidas que determinen los jugadores antes de empezar el juego. Supongamos que después de tres partidas deciden acabar el juego y el jugador A ha ganado dos partidas y el jugador B una partida. Supongamos que cada jugador al principio del juego apostó 3 Euros. Si deciden acabar el juego en este momento: Cómo se deben repartir el dinero?. En la próxima partida el jugador A puede ganar ó perder. Si el juego acabara en la próxima partida el jugador A podría quedarse con 64 Euros con probabilidad 1/ en caso de salir cara (ya que ganaría tres partidas y el B sólo una) ó perder la partida con probabilidad 1/ si saliese cruz, pero en el cómputo total de las cuatro partidas jugadas, serían dos partidas ganadas por cada uno, por lo que quedarían empate en el juego y el jugador A se quedaría como estaba con sus 3 Euros. Para calcular lo que podría ganar A, si deciden acabar el juego antes de jugar, sería el riesgo ó probabilidad de ganar o empatar el juego por el dinero que se quedaría. Para el jugador A en este caso sería: Dinero que obtendría el jugador A = (1/) 64 + (1/) 3 = 3+16 = 48 Euros. Dinero que obtendría el jugador B = = 16 Euros. Este reparto es lógico ya que el jugador A tiene la ventaja de dos partidas ganadas y puede ganar todo el dinero de los dos jugadores ó quedarse con el dinero que tenía cuando empezó el juego. El jugador B se puede quedar con el dinero que tenía cuando empezó el juego (en caso de empate, en el número total de partidas) ó perderlo todo en caso de que gane el jugador A. = 75

15 Generalicemos el problema. El número total de partidas puede ser par ó impar. En nuestro ejemplo anterior el número de partidas eran cuatro. Ya se habían jugado tres partidas. Cuando el número total de partidas es par, puede haber empates pero en caso contrario si es impar gana uno de los dos participantes el juego. El tratamiento de este juego se puede hacer a través del jugador A ó del B, si sabemos las partidas ganadas y perdidas por A sabremos los resultados de B. Pondremos un ejemplo para el caso en el que el total de partidas sean cuatro y se hallan jugado dos partidas que ha ganado el jugador A. El esquema sería el siguiente: PARTIDA DONDE DECIDEN DEJAR EL JUEGO GG POSIBILIDADES HASTA QUE ACABA EL JUEGO Partiendo de la situación inicial dos partidas ganadas por el jugador A, sólo le hace falta ganar una partida, para ganar el juego. Si pierde las dos partidas siguientes conseguiría un empate. Si hubiesen comenzado el juego los dos jugadores con 8 Euros, tendrían entre los dos 56 Euros. El jugador A se llevaría: (1/) (1/) 56 +(1/) (1/) 56 +(1/) (1/) 56 +(1/) (1/) (1/) 56 = = = 49 Euros. GGG GGP GGGG GGGP GGPG GGPP Los tres primeros sumandos son debidos a que el jugador A gana el juego total y el último sumando es porque empatan y se llevan cada uno la mitad del dinero total. El producto (1/) (1/) es la probabilidad de llegar de la situación inicial al final del recorrido.(por ejemplo de llegar de GG a GGPG). 76

16 Cada recorrido que hacemos de una partida a otra se consigue con probabilidad 1/ que es la probabilidad de obtener cara o cruz (por ejemplo de pasar de GGP a GGPP). Partamos ahora de que el jugador A ha ganado dos partidas y perdido una y que juegan un total de cinco partidas, veamos el esquema: PARTIDA DONDE DECIDEN DEJAR EL JUEGO GGP GGPG GGPP GGPGG GGPGP GGPPG GGPPP POSIBILIDADES HASTA QUE ACABA EL JUEGO Como en este caso el número total de partidas es impar, no hay empates y el juego lo gana ó el jugador A ó el B. El jugador A partiendo de la situación inicial, sólo le hace falta ganar una partida para ganar el juego. Si el dinero apostado entre los dos es de 64 Euros, lo que ganaría el jugador A sería: (1/) (1/) 64 +(1/) (1/) 64+(1/) (1/) 64 +(1/) (1/) 0 = 3 (1/4) 64 = 48 Euros. Los tres primeros sumandos son en los que el jugador gana el juego y el cuarto sumando sería la posibilidad de que el jugador A pierda el juego, dos partidas ganadas y tres perdidas. Generalizaremos el problema. Llamaremos N número de partidas jugadas en total desde el comienzo del juego hasta que queramos que finalice. Llamaremos i = número de partidas que le faltan al jugador A para ganar y n al número de partidas que faltan para acabar el juego. Si N es par: La fórmula que nos dá la cantidad que gana el jugador A sería: n 1 n n i 1 i i + (1) x Dinero total apostado entre los dos jugadores. n Si N es impar: La fórmula que nos dá la cantidad que gana el jugador A sería: 77

17 n n i i () n x Dinero total apostado entre los dos jugadores. En el primer ejemplo que vimos N = 4, n =, i =1 y aplicando la fórmula (1) tenemos i= 1 i = = ; = 49 Euros En el segundo ejemplo que vimos N = 5, n =, i = 1 y aplicando la fórmula () i= 1 i Tenemos = + 1 = ; 4 3 x 64= 48 Euros. PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA TRES JUGADORES Un problema similar resolvió Juan Caramuel (1657) pero de forma errónea. Supongamos que al primer jugador le falta una partida para ganar, al segundo una partida para ganar y al tercero dos partidas para ganar. Esto lo representaremos con la siguiente terna de números (1,1,). Si se jugase una partida adicional, podrían llegarse a tres situaciones. Si gana el primer jugador la partida, tendríamos la terna (0,1,) y el jugador ganaría el juego total. Para el segundo jugador si ganase tendríamos la terna (1,0,) y también ganaría el juego total. Para el tercer jugador si ganase quedaría la terna (1,1,1) y los tres jugadores empatarían en el juego global, a todos les quedaría una partida para ganar el juego total. En esta última posibilidad se tendrían que repartir a partes iguales todo el dinero. Cada una de estas situaciones a las que se puede llegar se produce con probabilidad 1/3, cada jugador puede ganar la próxima partida con la misma probabilidad. El primer jugador se llevaría la siguiente proporción del dinero (1/3) 1+(1/3) 0+(1/3) (1/3) = 4/9. El primer término se multiplica por 1 porque corresponde a la posibilidad de que el primer jugador gane todo, el segundo término corresponde a cuando gana el segundo jugador y por lo tanto el primer jugador no se llevaría nada, el último término corresponde a la posibilidad de empatar los tres jugadores con lo que se llevaría la tercera parte del dinero. Para el segundo jugador la proporción del dinero que se lleva es la misma que la del primero. Para el tercer jugador como tiene dos posibilidades de perder la partida y una de repartirlo entre todos, le corresponde la proporción (1/3) 0+(1/3) 0+(1/3) (1/3) = 1/9. Se comprueba en el juego que los jugadores que parten con situación de ventaja, les corresponde más dinero si deciden no seguir con el juego. UN PROBLEMA DE OPOSITORES 78

18 Hay muchas personas que se presentan a oposiciones y que se plantean estudiar parte de los temas y no todos en su totalidad y quieren saber la probabilidad de que le toque uno de los estudiados. Vamos a resolver este problema. Llamaremos: N = Número total de temas que componen la oposición. n = número de temas estudiados por el opositor. x = números de temas entre los que hay que elegir para desarrollarlos en la oposición. El sistema es el siguiente, se sacan x temas al azar de los N que hay en total. Para suspender tendría que ocurrir que no hay ningún tema entre los x seleccionados de los que yo he estudiado. La probabilidad de que el primer tema no sea uno de los que he estudiado es (N-n)/N, que el segundo tampoco fuese de lo que he estudiado es (N-n-1)/(N-1) ya que habría un tema menos y uno menos de los que no sabemos y así sucesivamente hasta (N-n-(x-1)/(N-(x-1)). Por tanto la probabilidad de suspender sería: (3) ((N-n)/N) ((N-n-1)/(N-1)) ((N-n-)/(N-)) ((N-n-(x-1)/(N-(x-1))) En algunas oposiciones hay temarios de 50 temas y se sacan 5 temas al azar. Cuál es la probabilidad de suspender si estudiamos 5 temas?.aplicamos la fórmula (3) y obtenemos. BIBLIOGRAFÍA N=50 ; n=5 ; x = 5 (5/50) (4/49) (3/48) (/47) (1/46) = 0,05 =,5 % La probabilidad de aprobar sería del 97,5 %. A.H.E.P.E. (00): «Historia de la Probabilidad y de la Estadística». Madrid. AC. BERNOULLI, J. (1713): «Ars Conjectandi». Basilea. Thurnisius. BERNOULLI, N. (1709): «De Usu Artis Conjectandi in Jure». Basilea. Johannis Conradi è Mechel. CARAMUEL, J. (1670): «Kybeia, quae Combinatoriae Genus est, de Alea et Ludis Fortunae serio Disputans» en Mathesis biceps(vetus et nova).campania. CARAMUEL, J. (1657): «Theologia Moralis Fundamentalis». Lyon. 3a edición aumentada y corregida. CARAMUEL, J. (1663): «Apologema pro antiquisima et universalissima doctrina de probabilitate». Lyon. COOKE, ROGER, T (1997)The History of Mathematics. A Brief Course, John Wiley & Sons Inc. Enciclopedia Wikipedia en Español. Mayo 001 GNEDENKO, BORIS (1997), Theory of Probability, Gordon & Breach Science Publications. HALD, A. (1990): «A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750». New York. Wiley. HUYGENS, C. (1989): «De Ratiociniis in Ludo Aleae». La traducción castellana 79

19 utilizada es la realizada por MORA CHARLES, M. S.: Los Inicios de la Teoría de la Probabilidad. Siglos XVI y XVII. KATZ, VICTOR, (1998) A History of Mathematics. An Introduction, Addison Wesley. MEUSNIER, N. (199): «Christian Huygens et Jacques Bernoulli: la Première Partie de l Ars Conjectandi ( )». Paris. MEUSNIER, N. (1993): «Huygens-de Witt: un Modèle Mathématique de Calcul de la Valeur des Événements Incertaines». Paris. OSCAR SHEYNIN (009)Theory of Probability.A Historical Essay. Berlin. TODHUNTER, ISAAC (1965), History of the Theory of Probability, Chelsea Publishing Company. VICENTE NOVO SANJURJO (004).Estadística Teórica y Aplicada. Madrid.Ed. Sanz y Torres. 80