Modelo estocástico. Un modelo estocástico para asignar el precio de bonos

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1 Introducción Puede el hombre conocer con certeza?. Según Carneades, el hombre por ser imperfecto no puede conocer todo con certeza, sino que sólo existen grados de certeza en el conocimiento asociándoles a estos una probabilidad. En general, desde Carneades hasta nuestros tiempos, el hombre a tratado de manejar todo lo que lo rodea, incluso aquellas situaciones que caen en manos del azar. El azar, entonces, forma parte de los fenómenos naturales, y a pasado a ser objeto de estudio de la ciencia a lo largo de la historia. El presente trabajo tratará justamente de lo que se trata el azar y la incertidumbre y como estos intervienen en materia de economía y finanzas, dando para ello algunos ejemplos de aplicación del azar y sus modelos en dichas áreas. 1

2 Qué es el azar? Según la definición que nos brinda el diccionario, el azar es una desgracia inesperada o casualidad, caso fortuito. Dentro de lo que se entiende por azar encontramos: Ocurrencia de algo inesperado(sin plan deliberado). Ignorancia completa o relativa acerca de las condiciones de realización de un suceso. Un hecho de azar aparece como una interacción de dos series causales independientes. Un hecho es de azar si en un contexto dado de investigación, el enunciado que afirma su realización no deriva de ningún otro. Incertidumbre (no sabemos los resultados con certeza). Probabilidad( posibilidad de ocurrencia de un suceso). Suerte, caos, etc... En general, el azar expresa interacción o conexiones entre distintos fenómenos, está sujeto a leyes y su campo es muy amplio como para encontrar alguna respuesta definitiva acerca de qué es el azar. Antiguos modelos han sido reemplazados por otros y estos seguirán siendo reemplazados por otros mejores y más completos. Esta es la evolución de la ciencia que implica un avance. Como podemos ver, el mundo está lleno de situaciones que ocurren sin que nosotros podamos dominar su desarrollo, a veces incluso esperamos la ocurrencia de un suceso y éste no ocurre, y cuando menos lo esperamos, éste sucede. Sin embargo, el hombre ha intentado estudiar el azar, quizás con el afán de explicar todo de una manera racional y no dejar las cosas al destino. Es por ello que nacen la ciencia, las probabilidades y estadísticas, entre otras, considerando que vivimos en un mundo donde las cosas son inciertas y no se conocen exactamente. Nacen los modelos. Cuando los modelos trabajan con datos ciertos, se habla de un modelo determinístico, y cuando las relaciones entre variables incluyen incertidumbre y se modelan con una distribución de probabilidad, se habla de un modelo estocástico. En este trabajo me concentraré en este último modelo. 2

3 Modelo estocástico La palabra estocástico proviene del griego stokhos que significa centro del blanco, aludiendo a la posibilidad de error cuando se lanzan dardos a un tablero. El hecho de que un modelo sea estocástico implica dos cosas: una sucesión ordenada y una función de probabilidad que genera la sucesión. Por lo tanto, los modelos estocásticos( a diferencia de los determinados), no producen simples resultados únicos, pues debido a la función de probabilidad, las aplicaciones sucesivas del mismo modelo pueden producir resultados completamente diferentes. Existen procesos para hacer los modelos. El más simple de todos estos procesos estocásticos es el de Bernoulli, que consiste en un experimento que sólo tiene dos sucesos o resultados posibles, donde cada experimento o ensayo es independiente de los anteriores y la probabilidad de cada suerte o resultado permanece constante a lo largo de todos los ensayos. Como ejemplo de un ensayo de Bernoulli, se puede citar el lanzamiento de una moneda al aire, con sus dos respectivos resultados: cara o sello, cada uno con probabilidades constantes al repetirlo. A continuación analizaré una aplicación de un modelo estocástico en la valoración de los bonos. Un modelo estocástico para asignar el precio de bonos Este modelo general para determinar los precios de los bonos forma parte de un proyecto de investigación realizado por el profesor Rolando Rebolledo. Antes de analizarlo, definiré primero lo que es un bono y los elementos que lo componen. Un bono es un instrumento financiero que implica una deuda contraída por una empresa con el comprador del bono. Ofrece una tasa de acuerdo al riesgo de la compañía. Generalmente un bono se valoriza a valor presente, descontado a la tasa de mercado. En un bono se pueden distinguir los siguientes elementos: 1. Capital, principal o valor nominal de un bono(k): es el monto sobre el cual se calculan los intereses de emisión. Es el monto inicial de la deuda. 2. Tasa de emisión o de carátula(i): es la tasa que se le aplica al saldo insoluto del capital para calcular los intereses correspondientes al cupón. 3

4 3. Cupón: es el pago realizado a lo largo de la vida del bono. 4. Amortización: pago de la parte del capital realizados a lo largo de la vida del bono. 5. Plazo: vida del bono = T años. 6. Valor par: es el saldo del capital que aún no ha sido amortizado( saldo insoluto del capital). Al momento de la emisión, el valor par es igual al capital. 7. Tasa de descuento: r, correspondiente el riesgo, es una tasa base(prc, tasa de un activo libre de riesgo) más un spread de riesgo( x puntos bases, que depende de la compañía). Se considera como la rentabilidad esperada. Para explicar como funciona un bono utilizaré el siguiente ejemplo: Supongamos que un bono paga cupones de $100 en 4 períodos correspondientes a la vida del bono, con una tasa de carátula del 6%, y una tasa de descuento del 8%. Entonces, podemos calcular el valor par en cada período como el valor presente de un anualidad utilizando la tasa de emisión, y el precio del bono( como porcentaje de su valor par) como el valor presente de una anualidad pero utilizando la tasa de descuento(rentabilidad esperada). Entonces: V.Par 0 =100/0,06(1-1/(1,06) 4 )=346,5 Precio Bono 0 =100/0.08(1-1/(1.08) 4 )=331,21=95,6% V.Par 1 =100/0,06(1-1/(1,06) 3 )=267,3 Precio Bono 1 =100/0.08(1-1/(1.08) 3 )=96,4% V.Par 2 =100/0,06(1-1/(1,06) 2 )=183,3 Precio Bono 2 =100/0.08(1-1/(1.08) 2 )=97,3% V.Par 3 =100/0,06(1-1/(1,06) 1 )=94,3 Precio Bono 3 =100/0.08(1-1/(1.08) 1 )=98,2% A medida que se acerca la madurez del bono, se acercan los flujos lo que significa que el valor del bono se aproxima al 100%(1) porque la diferencia entre i y r se hace menos relevante. Ahora desarrollaré en forma muy general el modelo propuesto por el profesor, el cual está basado en seis supuestos básicos. Se define P(T)=(P t (T);0 t T) como el proceso estocástico que nos da el precio de un bono cuya madurez se alcanza en el tiempo T, en el cual el precio alcanza el valor final 1. P(T) está definido sobre en espacio de probabilidad(ω,f,ip). Para describir su evolución introduce la tasa de retorno esperado µ(t)=( µ t (T);0 t Τ), y la volatilidad debida al mercado σ(τ)=(σ t (T); 0 t Τ). Como se ve, tanto µ(t) como σ(τ) son estocásticas( no deterministas), superando con ello a otros modelos de valoración, junto al hecho de que considera que la varianza del precio del bono debe anularse al llegar a la madurez. 4

5 Los supuestos básicos en la modelación del precio del bono son: 1. La tasa de retorno esperado y la volatilidad son procesos estocásticos. 2. El precio del bono es estrictamente positivo y aproxima su valor al llegar a la madurez. 3. La varianza del precio se hace cero cuando se llega a la madurez. 4. El retorno asociado a un bono que llega a la madurez es igual al retorno esperado de una cuenta de ahorro que paga continuamente la tasa de interés instantáneo. 5. Un precio de bono realista debiera considerar una medida de los cambios que puedan sobrevenir en el riesgo. 6. Al descontar por un bono un activo cuya tasa de retorno esperado sea igual a la tasa de interés, debiera obtenerse un proceso con crecimiento esperado nulo. De los primeros supuestos se establece la llamada ecuación fundamental que describe la dinámica de los precios: P( T ) T T = 1 µ s( T ) Ps( T ) σs( T ) Ps( T ) ξ s s= t s= t Al considerar que la tasa de retorno esperado y la volatilidad sean procesos estocásticos implica que ambos pueden tomar distintos valores asociados a distintos sucesos con sus respectivas funciones de probabilidad, es decir, no son valores únicos sino que dependen del contexto en que se realizan. Nuevamente incluimos entonces el azar en este modelo de valoración de bonos. Existen diversas circunstancias que afectan las infinitas variables que participan en cualquier mercado. De hecho, no sólo en el mercado de los bonos, sino también se podría considerar el mercado de las acciones, donde la variabilidad de los flujos dependiendo del estado de la naturaleza, determina el riesgo de la inversión y con ello su rentabilidad esperada. Los inversionistas en general se forman expectativas acerca del rendimiento de sus fondos, saben que viven en un ambiente de incertidumbre y de riesgo,en que el azar juega un papel muy importante y decisivo en el destino de su riqueza. Muchos juegan con el azar como por ejemplo los especuladores quienes compran porque esperan vender más caro en el futuro, pero lo que ellos esperan no necesariamente será lo realizado. Por otro lado se pueden considerar el precio de otros activos e incluso el precio del dólar. El solo hecho que el Banco Central anunciara una modificación de la tasa de interés o la noticia de alguna posible guerra en un país vecino, o en posible crisis en una economía grande, o que una 5

6 empresa se fusionará con otra, etc... modifican también las expectativas de todos los inversionistas los que cambian sus decisiones afectando el precio de los activos. En general existen muchas fuentes de riesgo empresarial: mercados, precios, tipos de interés, tipos de cambio, productividad y reacción de los competidores, todo lo cual hace muy complicado el análisis de cada proyecto, dado que hay que considerar la interacción de varias variables estocásticas. Otros ejemplos Keynes en su Teoría General y en sus escritos posteriores presentó una visión del comportamiento inversor como dirigido por temores y esperanzas volátiles. El análisis de las decisiones de inversión sólo podía ser parcial porque las fuerzas de la incertidumbre, en tanto que distintas del riesgo, no eran susceptibles de análisis cuantitativo. Los agentes se ven obligados a actuar caprichosamente porque no existe una base racional para el juicio exacto. El problema con este argumento es que la falta de premisas racionales para las actuaciones puede justificar también la importancia del convencionalismo-lo opuesto al capricho-en la toma de decisiones humanas. Y no parece haber base suficiente para juzgar cuál de esos resultados-convencionalismo o capricho-será el que predomine en cada momento. Keynes insistía en la noción de capricho cuando quería destacar la volatilidad-y, por ello, la autonomía -de la inversión. Pero el convencionalismo también era importante para explicar, por ejemplo, las expectativas de la tasa de interés, o como una base para entender las burbujas especulativas de los mercados bursátiles. Una interpretación de la distinción entre riesgo(medible) e incertidumbre(no medible) como se utiliza en economía, se puede encontrar en Knight(1971) y Keynes(1973). Si se pudiera calcular la distribución de probabilidades de los rendimientos futuros, el análisis del riesgo podría permitir alguna forma de cálculo basada en los rendimientos esperados. Pero en el caso de ciertos acontecimientos es posible que no exista base para calcular la distribución de probabilidades. 6

7 Conclusión El azar se encuentra presente en todas las cosas del diario vivir y por supuesto en los distintos mercados financieros, como por ejemplo, en el mercado de los bonos. Generalmente en economía y finanzas, el azar ofrece una gama a veces infinita de posibles resultados dependiendo de que valor tomen las infinitas variables, por lo que convierte a esta ciencia en una donde sus predicciones tienen un relativo nivel de confianza, donde se supone que todos los individuos actúan racionalmente y que todo tiende al equilibrio, incluso en dicho proceso está presente el azar. El retorno esperado cambiará junto al riesgo determinado por la volatilidad o varianza de algún activo que proviene de lo inesperado. En fin, toda esta incertidumbre y presencia de riesgo, lleva a la postulación y realización de diversos modelos(estocásticos), los que brindarán una especie de ayuda para tomar alguna decisión, peo recordando que nunca el modelo dará la respuesta última y cierta de lo que acontecerá en el futuro, sólo logrará un aproximación. 7

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