Derivación y aplicaciones

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1 Derivación y aplicaciones Tema 2 2. Definición y cálculo de la función derivada La derivada de una función es una herramienta muy potente del cálculo, y admite una interpretación tanto física como geométrica. En una fábrica de coches se mide el nivel de ruido (en decibelios) respecto a la velocidad de un cierto modelo de coche, obteniendo la siguiente tabla: Velocidad(km/h) Ruido(decibelios) 59, 4 64, 70, 2 72, 3 Entonces, nos podríamos hacer la siguiente pregunta: Cuál es la variación media del ruido al pasar de 80 km/h a 20 km/h? La tasa de variación media se obtiene dividiendo la tasa de variación entre el intervalo de tiempo considerado. Así, en este caso, la tasa de variación media en el intervalo [80,20] es Dada una función y = f (x), tenemos Incremento de la variación x: x := h. 72,3 64, = 8,2 40 = 0,205. Incremento de la función f (x): y := f (x + h) f (x). Definición 36 (Tasa de Variación Media) Se define la tasa de variación media, t m, de la función f (x) en el intervalo [x,x + h] como t m := y x f (x + h) f (x) =. h Observación 4 Notemos que la tasa de variación media de una función puede ser negativa, nula o positiva, dependiendo del valor f (x + h) f (x). 35

2 Definición y cálculo de la función derivada La tasa de variación media de una función da una primera idea de la rapidez con la que crece o decrece en un intervalo. Este concepto permite estudiar, en un intervalo [a, b], pendientes, velocidades medias, etc. Pero es muy interesante conocer el comportamiento de estas magnitudes en un punto determinado x, esto es, la tasa de variación instantánea. Para ello, tenemos que considerar intervalos [x,x + h] cada vez más pequeños, es decir, haciendo h tender a cero. Así, dicho concepto sólo puede ser entendido como un paso al límite. Es decir, consideremos ahora un coche moviéndose a lo largo de una carretera, si medimos el espacio recorrido por el vehículo en un tiempo h pequeño, y lo dividimos entre h, el resultado será próximo a nuestra idea de velocidad instantánea. Y será más próximo cuanto más pequeño sea h. Así pues, la velocidad en un instante t no es otra cosa que el límite: e(t + h) e(t) v(t) h 0 h donde e(t) es el espacio recorrido en el tiempo t. Dicho límite es la derivada de e con respecto a t. Pasamos ahora a dar la definición de derivada. Definición 37 (Derivada) Sea I R un intervalo abierto, a I y f : I R una función. La derivada de f en a es el límite, si existe, dado por f f (a + h) f (a) (a) (2.) h 0 h Si dicho límite existe, se dice que f es derivable en a. La función f se dirá derivable si lo es en todo punto de su dominio I. Observación 5 Nótese que: La tasa de variación instantánea se llama derivada. La derivada de una función en un punto es un número real. La derivada en un punto puede ser negativa, nula o positiva. EJEMPLO de Tasa de variación media e instantánea Un estudio de medio ambiente de una comunidad suburbana concluye que, dentro de t años, el nivel medio de monóxido de carbono en el aire será de q(t) = 0,05t 2 + 0,t + 3,4 partes por millón.. Hallar la tasa de variación del monóxido de carbono con respecto al tiempo dentro de un año. 2. Hallar la tasa de variación instantánea del monóxido de carbono en el segundo año. a) La tasa de variación media viene dada por t m := b) La tasa de variación instantánea viene dada por q() q(0) 0 q (2) = 0,3. = 0,5.

3 Tema 2 37 También pueden definirse las llamadas derivadas laterales: Definición 38 (Derivadas laterales) Se define la derivada por la derecha de f en a es un número real dado por el límite (si existe): Análogamente, f (a) h 0 f +(a) h 0 + f (a + h) f (a) h f (a+h) f (a) h es la derivada por la izquierda de f en a. 2.. Otra forma de escribir la derivada en un punto Si escribimos x = a +h, entonces h = x a, y por lo tanto, si h 0 entonces x a. Sustituyendo en (2.), nos queda la expresión f f (x) f (a) (a). (2.2) x a x a 2.2 Interpretación geométrica f (a + h) f (a) Adoptemos ahora un punto de vista geométrico. En general, el cociente es la pendiente de la recta que corta a la gráfica de f en los puntos (a, f (a)), (a + h, f (a + h)). Recordemos que h la pendiente de una recta es la tangente del ángulo α que forma con el eje OX. Es decir, en la Figura 2., se tiene que: f (a + h) f (a) tanα =. h Figura 2.: Interpretación geométrica Cuando h tiende a cero, dicha recta se va aproximando a la recta tangente a la curva en el punto a (ver Figura 2.2). Así pues, la derivada de f en un punto a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en a. Por tanto, la derivada es igual a tanβ, donde β es el ángulo mostrado en la Figura 2.2.

4 Primeras consecuencias Figura 2.2: Paso al límite de la Figura 2. (h 0) 2.2. Cálculo de la recta tangente Ya hemos visto que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto. Y si tenemos la pendiente de una recta y un punto por el que pasa, ya podemos calcular su ecuación fácilmente: Sea f : I R una función derivable en a I. Entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto a viene dada por: y = f (a) + f (a)(x a) EJEMPLO de recta tangente Queremos hallar los puntos en los que la tangente a la curva de ecuación y = x 4 2x + es paralela a la recta 2x y 3 = 0. La recta tangente a la gráfica de f (x) en un punto (a, f (a)) viene dada por r(x) := f (a) + f (a)(x a). Por tanto, tenemos que calcular los valores de la variable independiente x = a tales que f (a) = 2 4a 3 2 = 2 a 3 =, es decir, el punto donde la recta tangente es paralela a la recta y = 2x 3 es (,0). 2.3 Primeras consecuencias Como primera consecuencia de la propia definición de la derivada en un punto y de la definición de límite, tenemos:

5 Tema 2 39 Teorema Sea I R, a I y f : I R. Entonces f es derivable en a si y sólo si existen f (a), f +(a) y son iguales: f (a) = f +(a). En tal caso, f (a) = f (a) = f +(a). El siguiente resultado nos relaciona la derivabilidad con la continuidad: La derivabilidad es una propiedad más restrictiva que la de continuidad. El hecho de que una función sea continua en un punto no nos garantiza la derivabilidad en dicho punto. La implicación de que una función derivable es continua la vemos en el siguiente: Teorema Sea f : I R una función derivable en a I. Entonces, f es continua en dicho punto a. Es fácil comprobar el anterior resultado usando la definición de continuidad y la ecuación (2.2), ya que: ( f (x) f (a) lím f (x) f (a) (x a) x a x a (x a) x a esto es, lím f (x) = f (a). x a ) f (x) f (a) ( ) lím x a (x a) = f (a) 0 = 0, x a Presentamos a continuación un par de ejemplos de funciones que no son derivables en 0 (aunque sí son continuas). Figura 2.3: Ejemplos de funciones continuas no derivables en 0 EJEMPLOS de funciones continuas pero no derivables Ejemplo : La función valor absoluto f (x) = x. En este caso, es fácil calcular las derivadas laterales en 0: f (0) f (h) f (0) h h 0 h h 0 h = h 0 f +(0) f (h) f (0) h h 0 + h h 0 + h = h 0 + Por el teorema 2.3, esta función no es derivable en 0. En general, una función cuya gráfica tenga algún pico no será derivable en el punto correspondiente.

6 Función derivada. Cálculo de derivadas Ejemplo 2 : La función es f : R R, f (x) = 3 x. El límite que define la derivada queda: f (h) f (0) lím h 0 h h 0 3 h h h 0 3 h 2 = + En este caso, la pendiente de la recta tangente en 0 se hace +, lo cual hace que la función no sea derivable en Función derivada. Cálculo de derivadas Hasta este momento nos hemos centrado en el cálculo de la derivada de una función en un punto x = a, pero si una función f : I R es derivable, le podemos asociar una función que determine a cada número real del dominio la derivada es dicho punto, esto es, la función derivada. Definición 39 (Derivada de una función) Sea f : I R una función derivable. Entonces se define la función derivada como la función que a cada x I le hace corresponder la derivada de f en x. Se escribe f : I R, x f (x). Una función f : I R es derivable en un intervalo abierto I =]a,b[ si lo es en cada punto del intervalo. Decimos que es derivable en un intervalo cerrado I = [a, b] si es derivable en cada punto del intervalo abierto (a,b) y derivable por la derecha en a y por la izquierda en b. Como ejemplo, calculamos la función derivada de un par de funciones. EJEMPLOS de derivadas de funciones Ejemplo : Usaremos la definición para calcular la derivada de f (x) = x 2, x R. f (x + h) f (x) (x + h) 2 x 2 2xh + h 2 lím 2x + h = 2x. h 0 h h 0 h h 0 h h 0 Por tanto, f (x) = 2x. Ejemplo 2 : Ahora, calcularemos mediante la definición la derivada de f (x) = x, x R +. f (x + h) f (x) x + h x ( x + h x)( x + h + x) lím h 0 h h 0 h h 0 h( x + h + x) (x + h) (x) h 0 h( x + h + x) h h 0 h( x + h + x) h 0 ( x + h + x) = 2 x. Por tanto, f (x) = 2 x.

7 Tema 2 4 Igualmente, si f resulta ser derivable, se puede calcular a su vez su función derivada, llamada derivada segunda de f. Así sucesivamente, se pueden definir la derivada tercera, cuarta, etc. Observación 6 Notación: Nosotros estamos denotando la derivada de una función como f (x). Es también muy habitual escribir d f dx, que se lee: derivada de f respecto de x. Este símbolo hay que considerarlo como inseparable, y denota la derivada de una función. Es decir, d f y dx no son numerador y denominador de una fracción que pueda simplificarse. Antes hemos calculado la función derivada de f (x) = x 2 mediante su fórmula. Sin embargo, en lo que sigue, usaremos ciertas reglas de derivación que hacen nuestros cálculos mucho más fáciles. En la página siguiente vienen descritas las derivadas de ciertas funciones básicas. A partir de dichas derivadas, se puede calcular la derivada de una gran cantidad de funciones teniendo en cuenta la siguiente proposición: Resultado (Reglas de derivación) Sean f, g funciones derivables, c R. Entonces:. c f es derivable y (c f ) (x) = c f (x). 2. f + g es derivable y 3. f g es derivable y ( f + g) (x) = f (x) + g (x). ( f g) (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x). 4. f g es derivable en su dominio y ( ) f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) g g(x) Regla de la cadena: La función composición ( f g)(x) = f (g(x)) es derivable y su derivada es: ( f g) (x) = f (g(x))g (x) EJEMPLO del uso de las reglas de derivación Calculemos la derivada de la función f (x) = sen 3 (x) + xln(x). f (x) = 3sen 2 (x)cos(x) + e x ( ) ln(x) + x x e x xln(x)e x x 2 (e x ) 2 = 3sen 2 (x)cos(x) + (ln(x) + )e x + ln(x)e x x e 2 x = 3sen 2 (x)cos(x) + + ln(x) + ln(x) x e x

8 Función derivada. Cálculo de derivadas DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Función Derivada Función Derivada C 0 f (x) + g(x) f (x) + g (x) x c f (x) c f (x) x x 2 f (x) f (x) f (x) 2 x 2 x f (x) f (x) 2 f (x) x n nx n ( f (x)) n n( f (x)) n f (x) e x e x e f (x) e f (x) f (x) a x a x lna a f (x) lna a f (x) f (x) lnx x ln f (x) f (x) f (x) senx cosx sen( f (x)) cos( f (x)) f (x) cosx senx cos( f (x)) sen( f (x)) f (x) tgx cos 2 x arcsenx x 2 tg( f (x)) arcsen( f (x)) f (x) cos 2 ( f (x)) f (x) f (x) 2 arccosx x 2 arccos( f (x)) f (x) f (x) 2 arctgx +x 2 arctg( f (x)) f (x) + f (x) 2 f (x) g(x) f (x) g(x) + f (x) g (x) [ ] f (x) g(x) g (x)ln f (x) + g(x) f (x) f (x) g(x) f (x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g (x) (g(x)) 2

9 Tema 2 43 EJEMPLO (La ley del enfriamiento de Newton). Supongamos que tenemos un cuerpo a temperatura T en un ambiente a temperatura T a. Obviamente, el cuerpo va adquiriendo poco a poco la temperatura del ambiente. La ley de Newton dice que la velocidad de cambio de temperatura del cuerpo es proporcional a (T (s) T a ), donde T (s) es la temperatura del cuerpo en el tiempo s (medido en horas, por ejemplo). Dicho de otro modo, T (s) = λ(t (s) T a ). Nuevamente estamos ante una ecuación diferencial. Verificar que la función T (s) = T a + (T T a )e λs verifica la ecuación diferencial. Ésta es, por tanto, la función del cambio de temperatura. Si, en un caso concreto, T a = 0, T = 37, λ = 0,05, cuánto tiempo transcurrirá hasta que la temperatura del cuerpo sea 30? Tenemos T (s) = T a + (T T a )e λs, entonces T (s) = λ(t T a )e λs = λt a λt a λ(t T a )e λs = λt a λt(s) = λ(t (s) T a ). Con los datos T a = 0, T = 37 y λ = 0,05, la función temperatura viene dada por T (s) = 37e 0,05s, entonces, el tiempo que transcurrirá hasta que la temperatura sea 30 grados vendrá dado por la ecuación 30 = 37e 0,05s, de donde s = ( ) 30 0,05 ln = 4,9horas Teoremas relacionados con la derivación Aquí veremos algunos resultados clásicos relacionados con la derivación. Teorema de Rolle Sea f : [a,b] R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b), y supongamos que f (a) = f (b). Entonces existe c (a,b) de tal manera que f (c) = 0. Desde un punto de visto geométrico, el teorema de Rolle nos da la existencia de un punto c (a,b) tal que la recta tangente a la gráfica en el punto (c, f (c)) es paralela al eje OX. Este teorema se suele usar de forma recíproca, es decir, si tenemos la garantía de que la derivada no puede valer cero, entonces f tiene que ser inyectiva, o lo que es lo mismo, no existen a,b diferentes tales que f (a) = f (b) = 0. EJEMPLO de aplicación del teorema de Rolle Demostraremos que la ecuación cosx = 2x tiene una única solución. Definimos f (x) = cos(x) 2x, que es una función continua y derivable en R y, por tanto, lo será en cualquier intervalo. Puesto que f (0) = cos0 2 0 = 0 = > 0, f () = cos() 2 < 0, por el

10 Teoremas relacionados con la derivación teorema de Bolzano (ver tema 4) se tiene la existencia de al menos un punto c (0,) tal que f (c) = 0, es decir, cos c = 2c. Supongamos que hubiera otra solución c : es decir, f (c ) = 0. Entonces, f (c) = f (c ), y por el teorema de Rolle, debería existir un número d entre c y c de manera que f (d) = 0. Pero la derivada tiene la expresión f (x) = senx 2 que es siempre negativa. Por tanto, llegamos a una contradicción, lo cual significa que no existe otra solución c. El siguiente teorema es una generalización del teorema de Rolle: Teorema del valor medio Sea f : [a,b] R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c (a,b) de tal manera que f f (b) f (a) (c) = b a Figura 2.4: El teorema del valor medio La interpretación del teorema del valor medio es la siguiente: Tenemos la existencia de un punto c (a,b) donde f f (b) f (a) (c) =. b a El miembro de la derecha es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función que pasa por el punto (c, f (c)), y el de la derecha es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). Luego, el teorema del valor medio nos da la existencia de un punto en el interior del intervalo donde la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los extremos del intervalo. EJEMPLO de aplicación del teorema del valor medio Sea f (x) = 2x 2, encontrar un punto donde la tangente a la gráfica sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0,0) y (3,8). Lo que tenemos que hacer es aplicar el teorema del valor medio al intervalo [0,3]. De esta manera obtenemos: f (3) f (0) = f (c)(3 0), de donde, usando f (x) = 6x, tenemos Por tanto, el punto pedido es (, f ()) = (,2). 8 = 8c c =.

11 Tema Aplicaciones de la derivación 2.6. La regla de L Hôpital En el Capítulo dedicado a límites de funciones vimos como resolver algunos tipos de indeterminaciones. Aquí veremos como utilizar la derivación como herramienta para resolver este tipo de indeterminaciones. Concretamente, la regla de L Hôpital es una aplicación de la derivación que nos permite resolver límites en los que nos aparecen expresiones indeterminadas. Recordemos primero los tipos de indeterminaciones que nos aparecían: Racionales = Exponenciales = Así, cuando tenemos funciones derivables calculando dichas indeterminaciones, el teorema de L Hôpital es una herramienta potente en la resolución de estos límites. Teorema (Regla de L Hôpital) Sean f,g : I R dos funciones derivables y a I. Supongamos que lím x a f (x) x a g(x) = 0, siendo g(x) 0 en un entorno de a. Supongamos además que: Entonces, se tiene que: f (x) f (x) lím x a g = l R (respectivamente, lím (x) x a g (x) = ± ) f (x) f (x) lím = l R (respectivamente, lím x a g(x) x a g(x) = ± ) Supongamos que lím x a f (x) x a g(x) =. Supongamos además que: Entonces, se tiene que: f (x) f (x) lím x a g = l R (respectivamente, lím (x) x a g (x) = ± ) f (x) f (x) lím = l R (respectivamente, lím x a g(x) x a g(x) = ± ) Observación 7 Nótese que el teorema anterior también es cierto para límites laterales. EJEMPLO de aplicación de la regla de L Hôpital Calculemos lím x 0 senx x.

12 Aplicaciones de la derivación Aplicamos la regla de L Hôpital: cosx senx lím = cos(0) = lím = x 0 x 0 x Hemos enunciado el teorema anterior para límites cuando x tiende a a I. Igualmente se puede hacer para límites en infinito, y también cuando tenemos una indeterminada del tipo. Es decir, se puede aplicar la regla de L Hôpital en cualquiera de los casos: Límite Indeterminaciones x a 0 0 x a +, x a 0 0 x ± 0 0 A la hora de aplicar la regla de L Hôpital, es importante comprobar que el límite que estamos tratando es del tipo 0 0,. x+ Por ejemplo, claramente lím x x = 2, pero si derivamos numerador y denominador, nos queda lím x = 2. Otra observación importante es la siguiente: Si el límite lím f (x) f (x) g (x) no existiera, eso no significa que el límite original, lím g(x) no exista. De hecho, eso no significa nada. La regla de L Hôpital sólo aporta información si el límite existe. Por ejemplo, si aplicamos la regla de L Hôpital al límite lím x x+senx x + cosx lím + cosx x x (que es del tipo ), queda: el cual no existe. En cambio, el límite original sí que existe, y puede ser calculado fácilmente: x + senx lím + senx = x x x x Como hemos visto antes, la regla de L Hôpital sólo puede ser usada para estudiar límites del tipo 0 0,. Así pues, si queremos calcular un límite de otro tipo, intentaremos transformarlo, de algún modo, para tener una indeterminación de la forma 0 0,. EJEMPLO de indeterminación del tipo 0 Calculemos lím x 0 xlnx, que es un límite del tipo 0. Podemos reescribir: lnx lím xlnx x 0 x 0 x y este último límite es del tipo, por lo cual podemos aplicar la regla de L Hôpital: x lím x 0 x 2 x 0 x 2 x x 0 x = 0

13 Tema 2 47 Luego, lím x 0 xlnx = 0. Obsérvese que, en principio, también hubiéramos podido escribir nuestro límite de la forma: lím xlnx x 0 x 0 Sin embargo, si aplicamos la regla de L Hôpital no obtenemos un límite que conozcamos. Si aplicamos L Hôpital sucesivamente, nuestro límite se va complicando cada vez más. x lnx EJEMPLO de indeterminación del tipo : ( ) Calculemos lím x 0 x. Este límite es del tipo. ln( + x) Este tipo de indeterminación se reduce a uno de los anteriores transformado adecuadamente las expresiones. Vamos a transformar dicha expresión a otra en la que podamos aplicar el teorema de L Hôpital: ( ) lím x 0 x ln( + x) x = L Hôpital lím ln( + x) x 0 xln( + x) x 0 +x ln( + x) + x +x x x 0 x + ( + x)ln( + x) =L Hôpital lím x ln( + x) = 2. EJEMPLO de indeterminación del tipo exponencial: Calculemos lím x 0 + x x. En este caso, el tipo de indeterminación que nos aparece es 0 0. En este caso, lo que hacemos es tomar logaritmos y así caer en uno de los casos anteriores. Es decir, sea L x a f (x) g(x), entonces, tomando logaritmos neperianos a ambos lados de la igualdad tenemos lnl x a (g(x) ln f (x)), y por tanto lím f x a (x)g(x) = e lnl. Luego, como hemos visto anteriormente, procedemos tomando logaritmos neperianos a ambos lados y obtenemos: L x 0 + xx lnl x 0 + x lnx. Este límite es del tipo 0 como vimos en el caso anterior, siendo su límite Luego, lím x lnx = 0. x 0 + L = e 0 =.

14 Aplicaciones de la derivación Monotonía de funciones Consideremos la gráfica de la función f (x) = e x (Figura 2.5), en este caso podemos observar que los valores que toma la función f (x) crecen a medida que aumentan los valores de la variable x, es decir, intuitivamente, si caminásemos por la gráfica de la función de izquierda a derecha estaríamos subiendo a lo largo de la gráfica. Si, en cambio, consideramos la función f (x) = (Figura 2.6), podemos observar que a medida que x2 aumentamos los valores de la variable x, los valores que toma la función f (x) decrecen. Intuitivamente, si caminásemos por la gráfica de la función de izquierda a derecha estaríamos bajando a lo largo de la gráfica. Figura 2.5: Función creciente Figura 2.6: Función decreciente Definición 40 (Función creciente o decreciente) Se dice que una función f : I R es creciente (o también, monótonamente creciente) si para cualesquiera x, y I, x < y, se tiene que f (x) f (y). En cambio, se dice que es decreciente (o también, monótonamente decreciente) si para cualesquiera x, y I, x < y, se tiene que f (x) f (y). Además, una función se denomina estrictamente creciente si para cualesquiera x, y I, x < y, se tiene que f (x) < f (y). También se define una función estrictamente decreciente si para cualesquiera x, y I, x < y, se tiene que f (x) > f (y). Así definidos, estos conceptos no dependen del concepto de derivación. Sin embargo, veremos como podemos relacionarlos con el concepto de tasa de variación media, y por tanto, al de derivada: Sean x, x + h I dos puntos del intervalo I donde la función f : I R es creciente, entonces se verifica: y por lo tanto x < x + h f (x) f (x + h), x = h > 0 y y = f (x + h) f (x) 0, de donde tenemos y f (x + h) f (x) = 0. x h Análogamente, lo podríamos hacer para funciones decrecientes en un intervalo. A partir de la relación entre el crecimiento (respectivamente decrecimiento) con la tasa de variación media, tomando límites, es más evidente la relación entre crecimiento (respectivamente decrecimiento) y derivación. Dicha relación la hacemos explícita en la siguiente:

15 Tema 2 49 Resultado Sea I un intervalo abierto y f : I R una función derivable en I. Entonces:. Si f (x) > 0 para todo x I, entonces f es estrictamente creciente en I. 2. Si f (x) 0 para todo x I, entonces f es monótonamente creciente en I. 3. Si f (x) < 0 para todo x I, entonces f es estrictamente decreciente en I. 4. Si f (x) 0 para todo x I, entonces f es monótonamente decreciente en I. En la siguiente gráfica se representan una función y su derivada. Se ve aquí que a la izquierda de a, f es positiva y f es creciente. Entre a y b, f es negativa y por tanto f es decreciente. Por último, a la derecha de b, f vuelve a ser positiva y por tanto f vuelve a ser creciente. Figura 2.7: Una función y su derivada EJEMPLO de monotonía de una función Calcularemos los intervalos de monotonía de la función f (x) = x 3 2x. Lo primero que hacemos es calcular la derivada de la función, siendo en este caso f (x) = 3x 2 2. Ahora, vemos donde la función derivada es positiva o negativa. Así, según el signo de f (x) se obtienen los intervalos de monotonía siguientes: f (x) es creciente en los intervalos (, 2 2 f (x) es decreciente en el intervalos ( 3, 3 ). 2 En los puntos 3 y 2 3 ) y ( 2 3,+ ). 2 3, la derivada, f (x), se anula Extremos relativos En general, la funciones que consideramos no son todas creciente o decreciente en todo su intervalo de definición. Así, es útil estudiar cuales son los intervalos donde la función es creciente o decreciente, así como los puntos donde pasa de creciente a decreciente, esto es, los extremos relativos de la función.

16 Aplicaciones de la derivación Definición 4 (Extremo relativo) Dada una función f : I R (donde, como siempre, I es un intervalo abierto), y un punto a I, se dice que f tiene un máximo relativo en a si existe un intervalo (a ε,a + ε) de manera que f : (a ε,a + ε) R tiene un máximo en a. Es decir, para cualquier x (a ε,a + ε) se tiene que f (x) f (a). De la misma forma, se dice que f tiene un mínimo relativo en a si existe un intervalo (a ε,a + ε) de manera que f : (a ε,a + ε) R tiene un mínimo en a. Tanto a los máximos como a los mínimos relativos se les llama también extremos relativos. Nuevamente, la derivación se muestra una herramienta poderosa a la hora de estudiar extremos relativos: Teorema (Principio de Fermat) Sea f : I R una función derivable en a I. Si f tiene un extremo relativo en a entonces f (a) = 0. Esto nos lleva a la siguiente Definición 42 (Punto crítico) A los puntos donde la derivada vale cero se les llama puntos críticos. Geométricamente, el anterior teorema es fácil de visualizar. Supongamos que a I es un máximo relativo de una función derivable f : I R. Entonces a la derecha de a, la función f es creciente y por tanto f (x) > 0 para todo x (a ε,a). A la izquierda de a, la función f comienza a decrecer y por lo tanto f (x) < 0 para todo x (a,a + ε). Luego, f (a) = 0. Lo que nos dice este resultado es que la recta tangente a la gráfica de la función en un punto a I donde hay un extremo relativo es paralela al eje de abscisas, ya que la pendiente de la recta tangente es 0. En la práctica, se usará frecuentemente el siguiente criterio: Resultado (Criterio de la derivada primera) Sea f : I R una función derivable en a I, y supongamos que f (a) = 0. Entonces:. Si f (x) es positiva a la izquierda de a y negativa a la derecha, entonces f tiene un máximo relativo en a. 2. Si f (x) es negativa a la izquierda de a y positiva a la derecha, entonces f tiene un mínimo relativo en a. Así pues, en el ejemplo de la Figura 2.7, se tiene que f tiene un máximo relativo en a y un mínimo relativo en b. Esto puede ser deducido tanto a partir de la gráfica de f (x) como de la gráfica de f (x). EJEMPLO de intervalos de crecimiento y decrecimiento Estudiaremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f : R R, f (x) = 2arctan(x ) x. Si derivamos y estudiamos el signo de la derivada, nos queda: f (x) = 2 2x x2 = + (x ) 2 + (x ) 2 La expresión anterior vale 0 si y sólo si x = 0, x = 2. Así pues, éstos son los puntos críticos de la función, los cuales podrán ser extremos relativos.

17 Tema 2 5 Ahora, estudiando el signo de la derivada, deducimos que f (x) < 0 para x (,0) (2,+ ) y f (x) > 0 para x (0,2). Así pues, f es decreciente en (,0) (2,+ ) y creciente en (0,2). Por último, f tiene un mínimo relativo en 0 y un máximo relativo en Derivada segunda En la sección anterior hemos visto cómo el estudio de la primera derivada de una función nos puede ayudar a saber cómo se comporta su gráfica. Ahora pretendemos obtener información a partir de la derivada segunda. Definición 43 (Función convexa o cóncava, punto de inflexión) Una función f : I R derivable se dice que es convexa si las rectas tangentes en cada punto quedan por debajo de la gráfica de f. Si en cambio las rectas tangentes quedan por encima de la gráfica, se dice que f es cóncava. Sea a I, se dice que a es un punto de inflexión de f si f pasa de cóncava a convexa en a, o viceversa. Un punto de inflexión se caracteriza también porque la recta tangente a la curva que pasa por él atraviesa la gráfica. EJEMPLO Si f (x) es una función positiva y convexa, demuéstrese que g(x) = f (x) 2 es también convexa. Aplicando la regla de la cadena tenemos g (x) = 2( f (x) 2 + f (x) f (x)) > 0, ya que f (x) es positiva y convexa, esto es, f (x) > 0. Resultado Sea I un intervalo abierto, a I y f : I R una función dos veces derivable en I. Entonces:. Si f (x) > 0 para todo x I, entonces f es convexa. 2. Si f (x) < 0 para todo x I, entonces f es cóncava. 3. Si f (a) = 0 y la derivada segunda es positiva a la izquierda de a y negativa a la derecha (o viceversa), entonces a es un punto de inflexión de f. A partir de la proposición precedente, se puede establecer el siguiente criterio para el estudio de extremos relativos: Resultado (Criterio de la derivada segunda) Sea I un intervalo abierto, a I y f : I R una función dos veces derivable en I. Entonces:. Si f (a) = 0 y f (a) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en a. 2. Si f (a) = 0 y f (a) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en a.

18 Representación gráfica de funciones Veremos ahora como podemos entender el resultado anterior. Haremos el caso f (a) < 0. En dicho caso, al ser f (a) < 0, la función f (x) es estrictamente decreciente en un entorno de a, y como f (a) = 0, tenemos que la función derivada es positiva a la izquierda de a y negativa a la derecha de a, esto es, f (x) < 0 para x (a ε,a) y f (x) > 0 para x (a,a + ε). Por tanto, la función f (x) es creciente a la izquierda de a y decreciente a la derecha de a. Luego, a es un máximo relativo. EJEMPLO de cálculo de extremos relativos Calculemos los extremos de la función f : R R, f (x) = 2arctan(x ) x. Como vimos antes, su derivada primera vale: 2x x 2 +(x ) 2, la cual se anula en x = 0 y en x = 2. Calculamos ahora su derivada segunda: f (x) = (2 2x)(x2 2x + 2) (2x x 2 )(2x 2) 4( x) ( + (x ) 2 ) 2 = ( + (x ) 2 ) 2 La expresión anterior vale 0 si y sólo si x =. Además, f (x) < 0 cuando x (,+ ) y f (x) > 0 para x (,). Así pues, f es cóncava en (,+ ) y convexa en (,), y tiene un punto de inflexión en x =. Ya sabíamos, gracias al criterio de la derivada primera, que f tenía un mínimo en 0 y un máximo en 2. Veamos que también se podría deducir mediante el criterio de la derivada segunda. Efectivamente, f (0) = 4 = > 0 y f (2) = 4 = < 0. (+ 2 ) 2 (+ 2 ) Representación gráfica de funciones Hasta ahora hemos ido estudiando distintos aspectos del comportamiento de una función. Ahora pretendemos usar todos ellos para llegar a describir dicha función mediante su representación gráfica. A la hora de llevar a cabo una representación gráfica, se deben seguir los siguientes pasos:. Dominio de f, D( f ): Si nos viene dado, no tendremos nada que hacer, pero si la función sólo viene dada por su expresión, habrá que calcular su dominio natural. x D( f ) existe y tal que y = f (x). 2. Imagen de f, I( f ): Recordemos que la imagen de una función es el conjunto de números reales que toma y = f (x). y I( f ) existe x tal que y = f (x). 3. Corte con los ejes: Si estos puntos pueden ser calculados, nos ayudarán a situar la gráfica en los ejes cartesianos. Corte con el eje OX: Son los x tales que verifican f (x) = 0. Corte con el eje OY : Si 0 D( f ), entonces es el punto (0, f (0)). Si cero no esta en el dominio de la función, no hay corte con el eje OY.

19 Tema Simetrías: Estudiar si la función es par o impar, o ninguna de las dos cosas. Esta información nos puede ayudar a la hora de pintar la gráfica. Función par (eje de simetría OY ): f ( x) = f (x). Función impar (centro de simetría el origen): f ( x) = f (x). 5. Cálculo de la derivada: Incluye el estudio de la monotonía de la función (es decir, intervalos de crecimiento y decrecimiento) así como el estudio de los extremos mediante el criterio de la derivada primera. Intervalos de crecimiento: f > 0. Intervalos de decrecimiento: f < 0. Puntos críticos: Mínimo: f (a) = 0 y f (a) > 0. Máximo: f (a) = 0 y f (a) < Cálculo de la derivada segunda: Incluye el estudio de la concavidad y convexidad de la función, así como sus puntos de inflexión. Intervalos de convexidad: f > 0. Intervalos de concavidad: f < 0. Puntos críticos: Cóncavo-Convexa: f (a) = 0 y f (a) > 0. Convexa-Cóncava: f (a) = 0 y f (a) < Asíntotas: Verticales, horizontales y oblicuas. Verticales x = a: Si lím x a f (x) =. Horizontales y = b: Si lím x ± = b. Oblicuas y = mx+n: Si m x ± f (x) x y n x ± ( f (x) mx), con m,n R y m 0. A continuación, empezaremos representando los puntos que hemos ido obteniendo (puntos de corte con los ejes, puntos de mínimo y máximo, puntos de inflexión, etc.). Luego, comenzamos la gráfica teniendo en cuenta toda la información anterior. EJEMPLO de representación gráfica Representaremos gráficamente la función f (x) = x 3 2x 2 x + 2 (véase Figura 2.8). Dominio e Imagen de f : En este caso, D( f ) = R e I( f ) = R, por ser un polinomio de grado impar. Corte con los ejes: Vamos a calcular primero el corte con el eje OX. Para ello, tenemos que calcular los x R tales que f (x) = 0. Al ser x 3 2x 2 x + 2 = (x + )(x )(x 2), los puntos donde f (x) = 0 son x =, x = y x = 2. Así, los puntos de corte con el eje OX son (,0), (,0) y (2,0). Como 0 D( f ), el punto de corte con el eje OY es (0,2), al ser f (0) = 2.

20 Representación gráfica de funciones Simetrías: Calculamos f ( x) = x 3 2x 2 + x + 2. Pero f ( x) f (x) ni f ( x) = f ( x). Esto es, f (x) NO tiene ni simetría de eje OY ni centro de simetría en el origen. Cálculo de la derivada: Calculamos la derivada de la función f (x) = 3x 2 4x. Primero, obtenemos los puntos críticos, es decir, los puntos donde f (x) = 0. Éstos son luego, los puntos críticos son x = 4 ± = 4 ± 28, 6 x = , x 2 = Entonces, los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: Creciente: (,x ) y (x 2, ) Decreciente: (x,x 2 ), y los extremos x es un máximo relativo, x 2 es un mínimo relativo. La función no tiene máximos o mínimos absolutos ya que lím x f (x) = y lím x + f (x) = +. Cálculo de la derivada segunda: La derivada segunda viene dada por f (x) = 6x 4. Primero calculamos los puntos de inflexión, los puntos donde f (x) = 0. En este caso, x 3 = 2/3. Luego, los intervalos de concavidad-convexidad son Concavidad: (,x 3 ). Convexidad: (x 3,+ ). En el punto x 3, la función tiene un punto de inflexión. Asíntotas: No tiene asíntotas verticales ya que no tiene puntos de discontinuidad. Tampoco tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.

21 Tema 2 55 Figura 2.8: f (x) = x 3 2x 2 x Optimización Supongamos que tenemos f : [a,b] R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Gracias al teorema de Weierstrass (ver tema 4), sabemos que f debe alcanzar un máximo y un mínimo absolutos. Si el máximo se alcanza en un punto de (a,b), entonces deberá ser también un máximo relativo, y por tanto un punto crítico. Pero también podría ocurrir que f alcanzase su máximo en a o bien en b. Así pues, para hallar el máximo absoluto de una función en un intervalo se procede como sigue:. Se calculan los puntos críticos en (a, b), y distinguimos aquéllos que corresponden a máximos relativos. 2. Se calcula la imagen de dichos puntos, y también las imágenes de los extremos a, b. La imagen mayor corresponderá al máximo, y se alcanzará en el punto que le corresponda. Para calcular el mínimo absoluto de una función se razonará de forma análoga. EJEMPLOS de optimización Ejemplo : Calcularemos el máximo y mínimo absolutos de la función f : [0,3π] R, f (x) = 2sen(x) x. Calculamos su derivada y la igualamos a cero: f (x) = 2cos(x) = 0 cos(x) = 2 x = { π/3 + 2kπ, k Z 5π/3 + 2kπ, k Z Ahora bien, puesto que estamos trabajando en el intervalo [0, 3π], las únicas soluciones posibles son π/3, 5π/3, 7π/3. Además, estudiando el signo de f (x), puede verse que f es creciente en (0,π/3) (5π/3,7π/3) y decreciente en (π/3,5π/3) (7π/3,3π). Así pues, f tiene alcanza un máximo relativo

22 Optimización en π/3 y otro en 7π/3, y en cambio tiene un mínimo relativo en 5π/3. Ahora basta con evaluar f en los puntos anteriores y también en 0, 3π. f (0) = 2sen0 0 = 0 f ( π 3 ) = 2sen( π 3 ) π 3 = 3 π 3 f (5 π 3 ) = 2sen(5 π 3 ) 5 π 3 = 3 5 π 3 f (7 π 3 ) = 2sen(7 π 3 ) 7 π 3 = 3 7 π 3 f (3π) = 2sen(3π) 3π = 3π Es fácil deducir entonces que el máximo absoluto vale 3 π/3 y se alcanza en el punto x = π/3, mientras que el mínimo absoluto vale 3π y se alcanza en el punto x = 3π (véase Figura 2.9). Ejemplo 2 : Una persona desea cortar un pedazo de alambre de m. de largo en dos trozos. Uno de ellos se va a doblar en forma de circunferencia, y el otro en forma de cuadrado. Cómo se debe cortar el alambre para que la suma de áreas sea mínima? Y máxima? Sea x la longitud de un lado del cuadrado y R el radio de la circunferencia. El perímetro del cuadrado y la circunferencia vienen dados por P cuad = 4x y P circ = 2πR respectivamente. Además, el área que encierra el cuadrado y la circunferencia son A cuad = x 2 y A circ = πr 2, por tanto, el área de amabas viene dada por A = x 2 + πr 2. Como dato tenemos que el alambre mide m, esto es, = 4x + 2πR, o equivalentemente R = 4x 2π. Luego, sustituyendo en la expresión de A, la función que debemos minimizar (maximizar) es: A(x) = x 2 + ( 4x)2. 4π Esta función tiene un mínimo en ( 4+π,( 4(4+π) ) y no tiene máximo. Luego, para que el área sea mínima, el alambre hay que cortarlo 4 4+π m para el cuadrado y el resto para la circunferencia. Y para maximizar, dejar todo el alambre para la circunferencia. Ejemplo 3 : Una fábrica de plásticos recibe del Ayuntamiento de la ciudad un pedido de 8,000 tablas flotadoras para el programa de natación del verano. La fábrica posee 0 máquinas, cada una de las cuales produce 50 tablas por hora. El coste de preparar las máquinas para hacer el trabajo es de 800 EUROS por máquina. Una vez que las máquinas están preparadas, la operación es automática y puede ser supervisada por una sola persona, que gana 35 EUROS/hora. a) Cuántas máquinas hay que usar para minimizar el coste de producción? b) Si se usa el número óptimo de máquinas, cuánto ganará el supervisor durante el proceso?. Sea x el número de máquina empleado y t en tiempo (en horas). Primero, para construir 8000 tablas, necesitamos 8000 = 50xt, ya que cada máquina es capaz de fabrica 50 tablas a la hora. El coste viene dado por C = 800x + 35t, ya que cuesta poner en marcha 800 euros cada máquina, y el supervisor cuesta 35 euros cada hora, una vez que éstas están funcionando. Por lo tanto, de la primera ecuación podemos

23 Tema 2 57 despejar el tiempo, y quedarnos con una función de coste que sólo depende del número de máquinas x, esto es, C(x) = 800x x Esta función tiene un mínimo en x = 7 2,64, entonces el coste mínimo será para x = 2 o x = 3 máquina. Al ser C(2) > C(3), tenemos que el coste mínimos se realiza con 2 máquinas. Sabemos que 8000 = 50xt, y que el número de máquina usado es x = 2, por lo tanto, el número de horas es t = 80 horas. Por tanto, el supervisor ganará = 2800 euros. Figura 2.9: Ejemplo de optimización