Investiga. 2. Existe la raíz cuadrada de un número negativo? Por qué? Calcula mentalmente. 80 : 40 = 600 : 200 = 500: : 300 -

Transcripción

1 Potencias y raíces \ CURIOSIDADES MATEMATICAS AS POTENCIAS EN A HISTORIA os babilonios usaban la elevación a una potencia como operación auxiliar de la multiplicación, mientras que los griegos utilizaban los cuadrados. Diofanto, en el siglo 111 a.c., ideó la notación x, xx, xxx, xxxx... para expresar la primera, segunda, tercera, cuarta... potencia de x. Más tarde, Descartes introdujo en el siglo xv11 la notación de potencia que usamos actualmente. En la actualidad, hay calculadoras que permiten calcular potencias de una forma rápida. Investiga l. Busca información acerca de los primeros usos en la historia de la raíz cuadrada. Qué civilización la utilizó? Para qué lo hacia? 2. Existe la raíz cuadrada de un número negativo? Por qué? ""\ CACUO MENTA... Dividir un número natural entre decenas y centenas ; 20 e :10 : 2 Calcula mentalmente. 80 : 40 = 600 : 200 = 500: : : : 700 = '""\ "'\ "\ Calcular la fracción de un número 3 4 de20 _ : 4 Calcula mentalmente de 20 = - de40 = de42 = 2 3 de 12 = 49

2 1 Calcular una potencia de un número entero Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. El factor que se repite es la base de la potencia. El número de veces que se repite la base es el exponente de la potencia = Exponente (-4). (-4). (-4) = (- 4 )3 +- Exponente sase sase \ \... l. Escribe en forma de potencia. a) = e) = b) (-2) (-2) = f) (-8) ( - 8) ( - 8) (-8) (-8) = e) = g) = d) (-5) (-5) (-5) (-5) = h) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) = 2. Completa la tabla Producto (- 3) (- 3) (- 3) ( - 2) ( - 2) ( - 2) (-2) Potencia Base Exponente Valor - \.._, \_ \.,_ ( - 5) ( - 5) ( - 5) ( - 5) (- 5) ( - 100) ( - 100) ( - 100) 3. Piensa y escribe el signo de cada potencia. a) ( - 2) 2 d) ( - 3) 3 b) ( +4) 2 e) (-6) 4 e) (+3) 3 f) ( +9) 4 4. Escribe las potencias. a) Dos elevado a la cuarta.,. b) Tres elevado a la quinta.,. e) Seis elevado a la séptima.,. d) Nueve elevado al cubo.,. 50 g) (-7)5 h) (-9) 5 i) (-10) 7 e) Seis elevado al cubo.,. f) Siete elevado al cuadrado.,. g) Dos elevado a la quinta.,. h) Cinco elevado a la sexta.,. l. \... \.. l l. \. \... \.. \..

3 "' "' --.. Hallar la potencia de una fracción Para elevar una fracción a una potencia se eleva el numerador y el denominador a dicha potencia. r r ( ( ,. 3 == 3 3 =g 5 = = = 125 ',.._ 5. Escribe en forma de potencia a)- -= d) = b)-,- - = e)- -= r-""i c) = w w w= 6. Escribe en forma de producto y calcula.... _...,, a) (;)2 = e) ()2 = b) ()3 = f) ()3 = --- c) (!f = g) (!f =..., d) ()5 = h) (:r =.._ Calcula. a) ()2. i = e) (;)2.! = "'"""' ---- b) ()3. = f) (;)3. = e) Gf! = g>(;y! =... d) (!)5.! r = (1 1.._, h) 3 2 = 51

4 -, 3 Multiplicar y dividir potencias de la misma base \_ \..., \., Para multiplicar dos o más potencias con la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes. Para dividir dos potencias con la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes. \..- \..-' l..., = = : 42 = 45-2 = \._., 8. Escribe en forma de una sola potencia. a) = g) 23: 22 = \... \._ b) = h) 3 5 : 3 2 = \_.., c) = i) 10 7 : 10 4 = d) = j) 96:95= e) ()2. ()4 = (2f (2)6- (r. (r f) = 1) (;f:(;)4= 9. Escribe en forma de una sola potencia y calcula su valor. a) = e) 7 3 : 7 = k) 3 : 3 - b) = f) 2 5 : 2 2 = \... c) = g) 45: 43 = d) (r. (r = h) (r: (r = 10. Calcula el exponente que falta en cada potencia. - a) 7 2 7D = 7 5 f) 3 4 : 3D = 3 2 b) 8 5. s 0 = aª g) 4 3 : 4D = 4 c) = 510 h) 5 7 : 5D = 5 2 e e., d) )º ( )º ;( )4 = ( )2 \._, r -e r i) \_, \....,., \._, \.-, \.._, \_r \...,, \..., 52 e) (;r. (;)º. (;)2 = (;f j) ( )º : ( r = ( r,

5 4 Calcular la potencia de una potencia, de un producto y de un cociente a potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes. (32)4 = = 3s a potencia de un producto es igual al producto de las potencias de sus factores. (4. 3) 2 = a potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias de los términos. (5: 7) 2 = 5 2 : Calcula. a) (32)2 = e) (2 3) 3 = i) (6 : 4) 2 = b) (43)2 = f) (3. 5) 4 = j) (9: 5) 3 = el ((U)'= g> ((;) :(i)r = k) ( ( ; ) : ( ) )4 = d) (( YJ = h) ( (!): ( ) r = 1) (():(!)J= 12. Completa los exponentes que faltan. d) (3 5) 4 = c) ( (!Y)º = (! r f) e) (2 7) 3 = h) (7 : 3) 4 = 70 : 30 ( ( ). (!))º = ( Y.(! r i) ( ( ) : ( ) )º = ( ; )\ ( r 13. Completa para que las igualdades sean ciertas. c) ( (! )º)2 = (! r e) co. 0 >5 = ªº. go h) o : 0>4 = 50: 80 53

6 . \... 5 Calcular operaciones combinadas con potencias Para resolver operaciones combinadas con potencias sigue estos pasos: l.º Calcula las operaciones que están dentro de los paréntesis. 2.º Calcula las potencias. 3.º Calcula las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 4. Calcula las sumas y restas de izquierda a derecha. ( ) 2. ; = 7 2. ; = 49. ; = = = Calcula. a) (3 2-4) 2 : = b) 5. (45: 43) ; = \... 1 ( 1 ) 2 c) (22. 23)2 + (3. 2) = \_, 54 \_

7 6 Calcular la raíz cuadrada exacta y entera de un número a raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b tal que: 'l/a=b-+b 2 =a El número a es el radicando y bes la raíz cuadrada de a. a raíz cuadrada entera de un número a es el mayor número b cuyo cuadrado es menor que a. El resto de la raíz cuadrada entera es la diferencia entre el radicando a y el cuadrado de la raíz entera b. Resto= a - b 2 '. --., 15. Calcula y completa. a) 3 2 = V9 =... b) 4 2 = Y16 =... e) 6 2 = =... d) 8 2 = r. =... e) 9 2 = =... f) 10 2 = r. =... g) 12 2 = r. =... h) 14 2 = r. =... i) 20 2 = r. =... j) 402 = r. = Calcula el radicando de cada raíz. a) = 12 e) = 15 e) = 23 b) = 80 d) = 150 f) = Halla el valor de a en estas raíces cuadradas enteras. a).fa= 4, resto = 2. c).fa= 7, resto = l. b).fa= 10, resto = 5. d).fa= 25, resto = 12. ' 55

8 \..,..., 7 Obtener la raíz cuadrada de una fracción \.._, -' a raíz cuadrada de una fracción es igual a la raíz cuadrada del numerador entre la raíz cuadrada del denominador. lf ra _= v'b \..._.., \..,,_ \_, -' 18. Calcula. a) v1 = d) = g) = 49 l...,., \._, b) /Ji= e) = h) = \_, \..., \._, \..., c) j{f = f) f5!!o = i) = \..._,., \ Completa los términos que faltan. a) =! e).fj = e) =!_ 64 8 b>.féj= d)fü=º f) fü= º D D 10 D n D Calcula. \._., a) v1+ b) {fs 5 + P& 16 c) {Ifg + {ln- \.. \.._, -' \._,,., \..._.. \,_, \...,-.,- \._.,- 56

9 8 Calcular operaciones combinadas con potencias y raíces Para resolver operaciones combinadas con potencias y rafees sigue estos pasos: l.º Calcula las operaciones que están dentro de los paréntesis. 2.º Calcula las potencias y raíces de izquierda a derecha. 3. Calcula las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 4.º Calcula las sumas y restas de izquierda a derecha. (3 2 - V4J + v = (9-2) 2 + v = v = = =54-8= Calcula. b) 2 (4 + Y9J V = e) (20 - Y9)-( V36 + 5) = ' "\ d) ( v' ) + v' e) ( v'ioo V25J + (; ) = ' 57

10 \_ - 9 Resolver problemas con potencias y raíces -:::,,_ Un taller ha hecho tres piezas cuadradas de acero. Una de 5 cm de lado, otra de 15 cm de lado y la tercera de 20 cm de lado. Cuántos centímetros cuadrados de acero ha utilizado? 23. Una bacteria se reproduce de forma que cada hora hay dos veces más bacterias que en la hora anterior. Si partimos de una bacteria, cuántas habrá dentro de 2 horas? Y de 10 horas? \_. 24. Miguel ha comprado una parcela cuadrada de m 2 e ha puesto una valla alrededor y por cada metro de valla ha pagado 240. Cuánto le ha costado vallar la parcela? \... ' 25. En una cafetería hay cinco tipos de bocadillos, cinco de batidos y cinco de helados. Cuántos tipos de meriendas distintas se pueden tomar si elegimos un bocadillo, un batido y un helado? ' \ Pablo ha utilizado 121 monedas iguales para hacer un cuadrado. Cuántas monedas pone en cada fila? Y si usa 90 monedas? \. \. \ 58

11 27. aura ha hecho un mosaico cuadrado utilizando 225 azulejos cuadrados. Si el lado de cada azulejo mide 20 cm, cuántos centlmetros mide el lado del mosaico? Cuánto medirá su perímetro? 28. Ignacio ha llenado una caja con forma de cubo de 15 cm de arista con dados cúbicos de 1 cm de arista. Cuántos dados ha metido en la caja? 29. En la tienda de coleccionismo venden cajas cuadradas con huecos. Hay cajas de 3 huecos en cada lado, de 5 huecos y de 7 huecos. as cajas de 3 huecos cuestan 2 cada una; las de 5 huecos, 5, y las de 7 huecos, 8. a) Si queremos guardar 12 minerales gastando el menor dinero posible, qué tamaño de caja es el mejor? Cuántas cajas tendremos que comprar? Sobrará algún hueco? l "\ 1 '\ ' b) Si queremos guardar 28 minerales gastando lo menos posible, qué tamaño es el mejor? Cuántas cajas compraremos? Por cuánto dinero? e) Si queremos guardar 52 minerales de manera que sobre el menor número de huecos posible, qué tamaño es el mejor? Cuántas cajas compraremos? Por cuánto dinero? 59

12 - - REPASA O APRENDIDO - O Calcula. b) e) 3 5 : 3 2 e) f) h) i) 9 8 : 9 2 f) Calcula. a) (-2) (-3) (-4) e) (+5) (-4) (-2) b) (-4) (-5) : ( + 2) f) (-12): (-3) (+6) e) (-8) + (-6) - (-3) - (+5) g) (+9) - (-3) - (+ 6) + (-7) d) (-3) ( +8-2) + (-2) ( ) h) (-3) (-10): ( ) C, Ordena las fracciones de menor a mayor a) 5' 7' 4' To e) 3' 4 ' b) 10' 10' 10' To d) 2' 5 ' 6' 12 O Piensa y escribe. 1 3 a) Tres fracciones mayores que 3 y menores que b) Tres fracciones mayores que 5 y menores que 7. 60