Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas.

Transcripción

1 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Indica si son verdaderas (V) o falsas (F) cada una de las siguientes afirmaciones, justificando con ejemplos tus respuestas: a) El cero es un número entero. b) Los números negativos no tienen valor absoluto. c) La suma de un número y su opuesto siempre es cero. d) Calcular el valor absoluto de un número consiste en cambiar a éste de signo. a) V. Es el entero comprendido entre - y. b) F. Todos los números tienen valor absoluto. Por ejemplo -. c) V. Por ejemplo - + = 0. d) F. Por ejemplo,. La siguiente tabla muestra las temperaturas máximas y mínimas de varias ciudades a lo largo de un día de Febrero. París Ciudad Máxima Mínima Roma 6º º º -º Buenos Aires º º Madrid º 0º Moscú - -7 a) Representa las temperaturas máximas en la recta numérica y ordénalas de menor a mayor. b) Repite el apartado anterior para las temperaturas mínimas. c) Cuál es la diferencia entre las temperaturas máxima y mínima en cada ciudad? En qué ciudad se ha producido mayor variación en las temperaturas? a) b) c) La diferencia entre la máxima y la mínima es: En Roma º En París 9º En Buenos Aires º En Madrid º En Moscú º La ciudad en la que se ha producido una mayor variación es Buenos Aires. amigos deciden una tarde ir a un cine en el que la entrada cuesta euros. A Roberto le faltan euros; Sonia tiene el dinero justo; a Berta le sobran euros y a Rubén le falta un euro. a) Ordena de menor a mayor el dinero que tiene cada uno. b) Podrían entrar todos al cine haciendo fondo común?

2 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) Roberto tiene euros; Sonia tiene ; Berta 9 y Rubén : < < < 9 b) Haciendo fondo tendrían: = euros y las entradas les costarían: = 0, luego, sí tendrían suficiente. Un edificio tiene plantas además de la planta baja (B) y los dos sótanos (S y S). Alicia sube desde la planta baja al séptimo piso; a continuación Berta sube desde el segundo sótano al sexto piso y después sube Carlos desde el quinto piso al último. Representa en la recta real el movimiento que ha realizado cada uno. Quién ha subido más pisos? Alicia sube 7 pisos. Berta sube 6 - (-) = 8 pisos. Carlos sube - = 6 pisos. Berta es la que más sube. Sustituye el signo? por un número adecuado: a) - <? < b)? < - <? c) - <? <? d)? <? < Por ejemplo: a) - < 0 < b) - < - < 0 c) - < - < d) - < 0 < 6 La diferencia entre un número y su opuesto es. De qué número se trata? Representándolo en la recta real se ve claramente que el número es Representa y escribe: a) Los números negativos mayores que. b) Los números positivos menores que. c) Todos los números enteros que verifican x < 6. d) Todos los números enteros que verifica x = 6. a),,, b),,, c),,,,, 0,,,,, d) 6 y 6 8 Escribe los números enteros comprendidos entre y. Escribe también los opuestos de estos números. Entre qué números enteros están comprendidos estos opuestos?,, 0, 9, 8, 7, 6,,,,,, 0,,,, 0, 9, 8, 7, 6,,,,,, 0,, Entre el y el, los opuestos de los iniciales. 9 Indica si son verdaderas (V) o falsas (F) cada una de las siguientes afirmaciones,

3 justificando con ejemplos tus respuestas: Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) Todos los números enteros son negativos. b) Todos los números negativos son enteros. c) El valor absoluto de un número positivo es el mismo número. d) El opuesto de un número negativo es el mismo número. a) F. Por ejemplo es entero y no es negativo. b) F. Por ejemplo, no es entero. c) V. Por ejemplo. d) F. El opuesto siempre tiene signo contrario. Por ejemplo el opuesto de es. 0 La siguiente tabla corresponde a la evolución de la temperatura de una ciudad a lo largo de un día. Completa las casillas que faltan. Hora Temperatura Variación Hora Temperatura Variación Escribe todos los números enteros que cumplan las siguientes condiciones: a) Su valor absoluto es menor que dos. b) Coincide con su valor absoluto y es menor que. c) Coincide con su opuesto. d) Su valor absoluto es mayor que y menor que. a), 0, b) 0,, c) 0 d),,, Completa las siguientes series:

4 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) 8,,,...,... b),,,...,... a) 8,,, -, - b) -, -, -,, Ordena de menor a mayor: a),,,, b),,,, Qué relación tienen los números de a) con los de b)? Qué conclusión sacas de su ordenación? a) < < < < b) < < < < Son los opuestos. Una sucesión de números negativos se ordena de forma contraria a las sucesiones de números positivos. Sabemos que x es un número entero negativo. Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? a) x < b) x > 0 c) x < d) x < 0 e) x > 0 La b), porque los números negativos son menores que 0, no mayores. Completa con los números enteros que faltan en esta sucesión:, 9,...,..., 0,,...,...,,..., 9, 6,, 0,, 6, 9,, 6 Ordena los siguientes números de menor a mayor:, 7, +, 6, 0, 8, Como + = y 8 = 8, ordenados son 6,,, 0,, 7, 8 7 Éstas son las notas de matemáticas de 6 alumnos en las dos primeras evaluaciones: Jorge Beatriz Sonia David Laura Pedro ª Evaluación º Evaluación Variación a) Completa la tabla escribiendo la variación de una evaluación a otra de cada alumno. b) Qué alumnos han mejorado? Quiénes han empeorado? c) Quién es el que más ha progresado? Quién el que menos?

5 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) Jorge Beatriz Sonia David Laura Pedro ª Evaluación º Evaluación Variación 0 b) Han mejorado aquellos en que la variación es positiva, que son: Jorge, Sonia y David. Han empeorado Beatriz y Laura. c) El que más ha progresado es David y la que menos Laura. 8 Completa con un número entero en cada caso: a) () +... = 0 b) (+8) +... = 0 c) (7) +... = 0 d)... + (+) = 0 Qué relación tienen un número con el otro en cada apartado? a) + b) 8 c) +7 d) Son opuestos. 9 Indica, de una manera razonada, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) El producto de dos números opuestos es negativo. b) El producto de tres números negativos es positivo. c) Si el cociente de dos números es positivo, entonces los dos números son positivos. d) Si el cociente de dos números es negativo, entonces los números son de distinto signo. a) Verdadero. Ya que son de distinto signo, excepto en el caso del 0, que es su propio opuesto. b) Falso. Es negativo, por ejemplo: (-) (-) (-) = (-) = - c) Falso. Pueden ser también los dos negativos. d) Verdadero. Si fueran los dos positivos o los dos negativos, el cociente sería positivo. 0 María ha hecho una consulta a su cuenta a través del cajero automático, obteniendo el siguiente recibo: Fecha Concepto Importe (euros) Abono de haberes Compra con tarjeta Abono de intereses s/f Pago recibo comunidad Pago caj. autom Pago recibo luz - SALDO AL a) Qué pérdidas o ganancias ha tenido durante los días correspondientes al recibo? b) Cuál era el saldo el día 9..06, antes de producirse el abono de haberes? c) Cuál era el saldo el día ?

6 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) = 679 ha tenido unas ganancias de 679 euros. b) Si después de ganar 679 euros tiene 69, antes tendría = 6 euros. c) El día tenía = euros. Ángel ha ascendido un desnivel de 60 metros hasta llegar a la cumbre de un pico y a continuación ha bajado a una cueva descendiendo en total 780 metros. Si se encuentra a metros bajo el nivel del mar. A qué altura estaba antes de subir la montaña? Cuál es la altura del pico? = -0 Luego está 0 m más abajo de dónde empezó. Como está a - m y = 7, cuando empezó estaba a 7 m sobre el nivel del mar. La altura del pico es de = 7 m. Escribe cada uno de los siguientes números como producto y como cociente de dos números enteros: -, 0, 8, -6. Por ejemplo: - = - ; - = - : 0 = 0 ; 0 = 00 : 8 = (-) (-) ; 8 = : -6 = - ; -6 = : (-) A Enrique le pagan sus padres lo mismo todas las semanas. Aunque debía a su amigo Rafa euros y se ha gastado 0 euros cada semana, ha conseguido ahorrar euros en estas últimas semanas. Cuál es su paga semanal? Ha gastado - -0 = -6 euros y tiene. Luego, en semanas le han pagado + 6 =0 euros. Es decir, 0: = euros a la semana. Calcula: a) (-) = b) (-) (-) (-) (-) = c) (-) (-) (-) = d) 8 (-) (-) = a) (-) = -0 b) (-) (-) (-) (-) = c) (-) (-) (-) = -0 d) 8 (-) (-) = 8 Calcula: a) (- ) : (-6) = b) (- : ) = c) - (-0 : ) = d) (- : ) (-0 : ) =

7 a) (- ) : (-6) = (-) : (-6) = b) (- : ) = - = -0 c) - (-0 : ) = - (-) = d) (- : ) (-0 : ) = (-) (-) = 0 6 Completa: Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Números Suma Resta ordenación 7, < < 7 < 0 -, -,......, -6 -,... - Números Suma Resta ordenación 7, < < 7 < 0 -, < - < - < -, - 7 < < < 7 -, < -6 < - < -, < - < - < 7 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tus respuestas con ejemplos. a) La resta de dos números enteros siempre es menor que uno de ellos. b) La suma de dos números enteros siempre es mayor que cualquiera de ellos. c) La suma de dos números negativos siempre es un número negativo. d) La resta de dos números negativos siempre es un número negativo. a) Falso. Por ejemplo: - (-) = ; > - y > b) Falso. Por ejemplo: (-) + (-) = - ; - < - y - < - c) Verdad. Es un número negativo cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos de dichos números. Por ejemplo: - + (-) = -. d) Falso. Por ejemplo: - - (-) = 8 Completa: Números, -, Signo del producto Producto -, 6, , -, - -0, -,

8 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Números Signo del producto Producto, -, , 6, , -, , -, Calcula: a) - ( + - ) = b) -7 + [ - (-)] + (-) = c) -( - - ) + (- - ) = a) - ( + - ) = - 7 = - b) -7 + [ - (-)] + (-) = = - c) -( - - ) + (- - ) = -(-) + (-) = - = - 0 Al restar a un número su opuesto obtenemos 6. De qué número se trata?? - (-?) = 6 ;? +? = 6 ;? = 6 El número es. Antonio, Beatriz, César y David están jugando a las cartas. Cada vez que gana uno de ellos, cada uno de los otros le tiene que dar euros. Al principio todos tienen euros y el resultado de las 6 primeras partidas es el siguiente: ª ª ª ª ª 6ª A D A B A B donde cada letra indica la inicial del ganador. a) Ayudándote de la siguiente tabla averigua cuánto tiene cada uno al finalizar las 6 partidas. ª ª ª ª ª 6ª Antonio Beatriz César David b) Cuánto ha ganado o perdido cada uno? a)

9 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Antonio Beatriz César David ª ª 9 9 ª ª - ª 9-6ª Al finalizar tienen: Antonio 7 euros; Beatriz 9; Cesar debe 7 y David tiene. b) Como al principio tenían todos euros, Antonio ha ganado euros; Beatriz ; Cesar ha perdido y David ha perdido. Sustituye cada signo? por los números que corresponda de modo que el resultado de cada operación sea igual a cero: a)? + - b) - + (- + ) +? c) - (? + ) d)? -(- + ) + a) b) - + (- + ) + c) - (- + ) d) - - (- + ) + Contesta a las siguientes preguntas: a) El dividendo y el divisor en una división son, respectivamente, y. El cociente puede ser un número negativo? Razona tu respuesta. b) Al dividir a entre b hemos obtenido de cociente el número -a. Qué puedes decir de b? a) No puede ser negativo porque, al ser una división exacta, el resto es cero, y por tanto, dividendo = divisor cociente. b) El signo de b debe ser negativo, por el motivo anterior. Además, como el dividendo coincide con el cociente en valor absoluto, el divisor debe ser, con lo cual b = -. Resuelve las siguientes operaciones: a) -6 + (- - + ) (-) + [-9 : (-) ] = b) -0 : (0-6 : - ) - [- - (-) ] = a) -6 + (- - + ) (-) + [-9 : (-) ] = -6 + (-) (-) + = = b) -0 : (0-6 : - ) - [- - (-) ] = -0 : (0 - - ) - (- + 0) = -0 : 6-6 = = - Un señor inicia su negocio con 000 euros. En los siete primeros meses sus ingresos mensuales fueron de 000 euros y sus gastos de 900 euros. En el octavo mes tiene una ganancia de 00 euros. Cuál es su capital al cabo de los ocho meses? ( ) + 00 = = = 00 euros. 6 El triple de la suma de dos enteros es -6. Uno de ellos es el doble del otro. Cuáles son los enteros?

10 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. La suma será -6 : = -. Como uno es el doble del otro,? +? = - ;? = - Uno es - y el otro es Al enchufar a la corriente un arcón congelador, la temperatura desciende º C cada 8 minutos. En el momento de enchufarlo, el interior del arcón está a 6º C. a) Cuánto tiempo tardará en alcanzar -º C? b) A qué temperatura se encontrará al cabo de dos horas de tenerlo enchufado? a) La temperatura que ha descendido el arcón es = -0º C, por tanto pasan -0 : (-) 8 = 60 minutos. b) 0 : 8 (-) = -0º C descenderá en horas, por tanto se encontrará a 6-0 = -º C. 8 Calcula: a) -9 + [0 : (- - ) - ] + (-) = b) [- (8 - - ) + (-9 - ) : ] (-) = a) -9 + [0 : (- - ) - ] + (-) = -9 + (- - ) - = - b) [- (8 - - ) + (-9 - ) : ] (-) = [- (-) + (-) ] (-) = (-) = - 9 Calcula: 0 - ( - : - 9) - [-0 : ( + )] = 0 - ( - : - 9) - [-0 : ( + )] = 0 - ( ) - (-0 : ) = (-) = = 8 0 Simplifica y calcula: a) - [-(7 - ) + ] - : = b) - [- -(6 - ) - ] + 6 = c) (0 - ) : (-) - [- - (9 + - ) + ] - 8 : (-) = a) - [- + ] - = - [- + ] - = - (-) - = + - = b) - [- - - ] + 6 = - (-0) + 6 = = 9 c) 8 : (-) - [- - + ] + = - - (-) + = = Efectúa: { [(-) (-9)] - 0} {[ - ] : 6} = { (+7) - 0} {[8 - ] : 6} = { - 0} {6 : 6} = = Patricia comenzó el año con una deuda de 700 euros. A lo largo del año tuvo unos gastos de 9870 euros. Si al final del año tenía 0 euros y el único dinero que percibió fue el de su sueldo, cuánto gana al mes?

11 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Si gana? al año: ? = ? = 0? = = 00 Luego, al mes ganará 00 : = 08 euros. Celia ha comprado una revista de euros, CDs, todos del mismo precio, y cintas, cada una de las cuales cuesta la mitad que un CD. En total se ha gastado euros. Cuánto cuesta cada cinta? Y cada CD? Si una cinta cuesta? euros, un CD cuesta? euros. Entre todas las cintas y los CDs cuestan? +? =? Este precio ha de ser - =, ya que también se ha gastado euros en la revista.? =, cada cinta cuesta : = euros y cada CD = 8 euros. Halla el valor de P dado por la expresión P = [x y - z (x - y)] : x, siendo x = -, y = 6, z = -. P = [- 6 - (-) (- - 6)] : (-) = = [- + (- - )] : (-) = = [- + (-6)] : (-) = = [- - 9] : (-) = = -6 : (-) = = -08 (-) = En un depósito hay 00 litros de agua. Por un tubo entran en el depósito 0 litros por minuto y por un grifo salen 0 litros por minuto. a) Cuánta agua habrá en el depósito después de estar minutos funcionando el tubo y el grifo? b) Cuánto tiempo tardará en vaciarse este depósito? a) 00 + (0-0) = 00 + (-0) = 00-0 = 0 litros. b) Como en un minuto se pierden 0-0 = -0 litros, entonces, para conseguir perder 00 litros, necesitaremos 00 : (-0) = 0 minutos. 6 Este año no es bisiesto y dentro de 0 semanas habrán pasado los mismos días desde que comenzó el año que los que faltan para terminarlo. Qué día es hoy? 6 : = 8, ; luego, el día central del año es el que ocupa el número = ; por tanto, hoy es el día que ocupa el lugar. Como = , estamos a de Abril. 7 Escribe: a) Un polinomio aritmético con cuatro números naturales cuya suma sea cero. b) Un polinomio aritmético con seis números naturales cuya suma sea tres. c) Una suma de dos números enteros que dé cero. d) El mayor número entero negativo y el menor entero positivo.

12 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) b) c) + (-) d) - y 8 Efectúa: a) (-) : (-) + (-8) : (-) (-) : - (+6) (-) = b) -6 : (+) - : (-7) (-) - (-9) : = a) -8 : (-) + (-) + 6 = = 0 b) - (+) + 6 (-) + = = - 9 Sustituye cada signo? por el número que corresponda. a) (-) (-)? (-) = (-) 8 b) 7 6 : 7? = 7 c) [(-) ] = (-)? d) ( )? = 6 a) (-) (-) (-) = (-) 8 b) 7 6 : 7 = 7 c) [(-) ] = (-) 8 d) ( ) = 6 0 Cuántos árboles hay en un bosque que tiene filas de árboles cada una? Hay = 0 6 árboles. Un jardín consta de 6 macizos, cada uno de los cuales tiene 6 filas de 6 plantas cada una. Halla el total de las plantas del jardín expresándolo previamente en forma de potencia. Hay 6 = 6 plantas. Completa la siguiente tabla: Producto Base Exponente Resultado (-) 9 (-) (-) Producto Base Exponente Resultado

13 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. (-) 9 (-) - 8 (-) (-) (-) (-) (-) - - (-) (-) (-) (-) (-) (-) -6 Completa la siguiente tabla: Producto Potencia Base Exponente Valor - (-) 8 - (-8) Producto Potencia Base Exponente Valor (-) (-) (-) (-) - - (-) (-) (-8) (-) Un virus ha destruido kilobytes del disco duro de un ordenador. a) Cuántos bytes ha destruido? b) Si el ordenador tenía una capacidad de megabytes, cuántos kilobytes quedan? ( kilobyte = 0 bytes; megabyte = 0 kilobytes) a) 0 = bytes = 6 8 bytes. b) 0 - = - = = 8 76 kilobytes. Realiza: a) (-) b) - c) (-) d) - Qué conclusiones puedes sacar?

14 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) b) - c) -8 d) -8 El signo se ve afectado por el exponente sólo si se encuentra entre paréntesis, formando parte de la base. 6 Escribe cada número como una potencia: 9, -8,, =, -8 = (-), =, -6 = (-) 7 Marta decidió salir todos los domingos a montar en bicicleta. La primera semana recorrió km y se propuso recorrer cada domingo el triple de kilómetros que el domingo anterior. Si esta semana ha recorrido 8 km, cuántos domingos lleva montando en bicicleta? El primer domingo recorrió km, el segundo =, el tercero y el cuarto = 8. Por lo que ha salido domingos. 8 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) ó falsas (F), justificando tu respuesta. a) Si el exponente de una potencia es impar, ésta es negativa. b) Si el exponente de una potencia es par, ésta es positiva. c) El cuadrado de un número es igual al cuadrado de su opuesto. d) El cubo de un número es igual al cubo de su opuesto. a) Falso. Sólo es cierto si la base es negativa. Por ejemplo: = 8. b) Verdad. Esto es cierto, tanto si la base es positiva como si es negativa. Por ejemplo: (-) = 6. c) Verdad. En ambos casos el resultado es positivo. Por ejemplo: = (-) = 9. d) Falso. El cubo de un número negativo es negativo, mientras que el del opuesto a éste será positivo. Por ejemplo: (-) = -8, = 8. 9 Daniel, que tiene años, tiene la quinta parte de la quinta parte de la edad de su abuelo. Cuántos años tiene su abuelo? = 7 años. 60 Halla las siguientes sumas en forma de potencias de igual base y mismo exponente: a) + - b) + c) - a) ( + - ) = = b) + ( ) = + = ( + ) = = 0 c) - = ( - ) = 7 (-) = 7 6 Escribe el enunciado de un problema cuyo resultado sea.

15 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Por ejemplo: Mi cocina tiene forma de cuadrado y la quiero embaldosar. He comprobado que caben baldosas en cada lado. Cuántas baldosas necesito comprar? 6 Cuántos números de cifras se pueden formar, utilizando sólo las cifras:, y? Hay posibilidades para la primera cifra. Por cada una de ellas hay otras tres para la segunda y así sucesivamente. Se pueden formar, por tanto, = 8 números. 6 Cuánto tiene que valer x para que se cumplan las siguientes igualdades? a) x + x = 8 b) + x + x = 6 c) 7-7 x + x = 9 d) 9-9 x + x = 9 a) 7 x + x es lo que le falta a 9 para llegar a 8, es decir,. Por tanto, x =. b) x + x es lo que le falta a para llegar a 6, es decir,. Por tanto, x =. c) - 7 x + x es lo que le falta a 9 para llegar a 9, es decir, -0. Por tanto, x =. d) - 9 x + x es lo que le falta a 8 para llegar a 9, es decir, -. Por tanto, x =. 6 Escribe como una única potencia: a) [(-) ] : b) (-) [(-) ] c) 9 : [(-) (-) ] d) (0 0 00) : 000 a) [(-) ] : = (-) 9 : (-) = (-) 7 b) (-) [(-) ] = (-) (-) (-) 8 = (-) c) 9 : [(-) (-) ] = [(-) ] : (-) = (-) : (-) = - d) (0 0 00) : 000 = (0 0 0 ) : (0 ) = 0 : 0 9 = 0 6 Calcula el valor de las letras en cada una de las igualdades siguientes: a) (x - ) = 6 b) ( x - 6) = 8 c) (8 - x) = 6 a) Como 6 = 8, x debe ser. b) Como 8 = 9, entonces x - 6 debe ser 9, con lo que x =. c) Como 6 = 6, entonces x =. 66 Sustituye cada signo? por el número que corresponda. a) (-) [(-)? ] = (-) 0 b) (? ) : = 6 c) [(-) ] : (-)? = (-) d)? ( ) = 8

16 a) (-) [(-) ] = (-) 0 b) ( ) : = 6 c) [(-) ] : (-) 6 = (-) d) 9 ( ) = 8 Colegio Portocarrero. Curso Cien baldosas están dispuestas formando un cuadrado, y alrededor de éste, hay una cenefa que tiene dos filas de baldosas por cada lado. Cuántas baldosas hay en la cenefa? Las baldosas centrales forman un cuadrado de lado 0, ya que 0 = 00. El cuadrado total (incluyendo la cenefa) tendrá de lado = baldosas, por lo que en total utilizaremos = 96 baldosas. Es decir, la cenefa está formada por = 96 baldosas. 68 Escribe en forma de potencia: a) 8 (-7) b) (-8) : 6 c) (-) (-) d) 9 : [(-7) ] a) 8 (-7) = (-) (-) = (-) 7 b) (-8) : 6 = [(-) ] : (-) = (-) c) (-) (-) = [(-) ] (-) (-) = (-) d) 9 : [(-7) ] = [(-7) ] : (-7) 6 = (-7) = 7 69 Completa la siguiente tabla: Fracciones 7 0, Productos cruzados Cocientes Equivalentes?, 0 0 = Sí 6, 9, 6 0,7 0,76 Fracciones Productos cruzados Cocientes Equivalentes? 7 0, 0 0,7 0,6 No, 0 0 = 0, = 0, Sí

17 Colegio Portocarrero. Curso , 9 = 6 9 0,7 Si, 6 6 0,7 0,76 No 70 En las últimas elecciones de un país se abstuvieron de cada 7 personas con derecho a voto. Si se votaron personas, cuántos habitantes con derecho a voto tiene el país? Las siguientes fracciones tienen que ser equivalentes: , luego total habitantes con derecho a voto. 7 total 7 a) Qué fracción de hora son 0 minutos? b) Qué fracción de litro son dos litros y cuarto? c) Qué fracción de kilogramo son 00 gramos? d) Qué fracción de día son 0 horas? a) b) c) d) 0 7 Completa. (Hay más de una solución). a) b) c) d) 7 6 6

18 6 a) Por ejemplo 9 b) Por ejemplo 0 c) Por ejemplo d) Por ejemplo Colegio Portocarrero. Curso Para cada fracción escribe equivalentes: dos cuyo denominador sea menor y otras dos en las que sea mayor al dado. 0 8, 7,, 0 Por ejemplo: ; ; ; Tres amigos son aficionados a la natación. Susana va a la piscina dos días a la semana, Andrés 0 días al mes y Mariano 00 días al año. Suponiendo meses de 0 días y años de 6 días, quién acude con más frecuencia a la piscina? Quién con menos frecuencia? Susana acude el 0,86 de los días. 7 0 Andrés el 0, Mariano el 0,7. 6 Luego quien acude con más frecuencia es Andrés y el que nada menos es Mariano. 7 Por cada pasos de Ramón, Fermín tiene que dar para recorrer el mismo espacio. Si Ramón ha dado 00 pasos y Fermín 70, quién ha avanzado más? Considerando como unidad el espacio recorrido por los pasos de Ramón ó los de Fermín, se trata de comparar las siguientes fracciones: y.

19 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Reduciéndolas a común denominador , así que ha avanzado más Fermín. 76 En clase de Lengua, los alumnos de º B han hecho un trabajo en grupos que han aprobado 6 de los 8 grupos. En Matemáticas también se han puesto en grupos para hacer un trabajo y han aprobado de los 6 grupos. a) En qué asignatura han suspendido más alumnos? b) Si en Lengua han suspendido 6 alumnos, cuántos alumnos hay en º B? a), luego han suspendido más en Lengua. 8 6 b) Como han suspendido que son 6 alumnos, habrá 6 = alumnos Halla una fracción equivalente a tienen 0 como M.C.D. 0 sabiendo que sus dos términos Descomponiendo en factores, observamos que el M.C.D.(,0) = 8, con lo que, 60 una fracción equivalente con M.C.D. = 0 es Se llama fracción decimal a aquella que tiene como denominador una potencia de 0 elevada a un exponente natural. De las siguientes fracciones, separa las que sean decimales: 6,,,,, La ª, la ª y la 6ª. 79 x x Si la fracción es irreducible, lo es también? y y Sí, porque si M.C.D.(x,y) =, también ocurrirá que M.C.D.(x, y ) =, dado que no tienen tampoco ningún factor en común. 80 Escribe tres fracciones mayores que y menores que.

20 Colegio Portocarrero. Curso Reduciendo a común denominador tenemos las fracciones y, así que las fracciones pueden, por ejemplo ser,,. 8 Podrías escribir una fracción equivalente a múltiplo de? Y si no lo fuera? con denominador a, sabiendo que a es Sí, a = b, la fracción es por lo que es imposible. b a. Si a no es múltiplo de, no podemos conseguir b como antes, 8 Escribe una fracción mayor que y menor que. Dos fracciones equivalentes a éstas son y respectivamente, de donde una fracción intermedia, puede ser 6 6 por ejemplo. 6 8 Cuántas fracciones hay equivalentes a una dada y de términos menores que los suyos? Tantas como divisores tenga el M.C.D. del numerador y del denominador (sin contar el ). Por ejemplo: tendrá fracciones equivalentes de términos menores a y 6 respectivamente, 6 dado que M.C.D.(,6) = y tiene 6 divisores (,,,, 6, ). 6 8 Las fracciones son:,,,, x x k Son equivalentes las fracciones y? Puedes deducir de este y y k ejercicio alguna regla?

21 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Sí, porque multiplicando en cruz queda: x y k = y x k. Deducimos que se pueden obtener fracciones equivalentes a una dada multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor. 8 x x Son equivalentes las fracciones y? Puedes deducir de este ejercicio y y alguna regla? Sí, porque multiplicando en cruz queda: x (-y) = y (-x). Deducimos que se pueden obtener fracciones equivalentes a una dada cambiando de signo del numerador y del denominador. 86 El M.C.D. de los dos términos de una fracción es 60. Cuántas fracciones equivalentes a ésta y con término menores puedes encontrar? Se pueden obtener tantas como divisores tiene el M.C.D. del numerador y del denominador (sin contar el ), es decir, como 60 tiene por divisores distintos del :,,,, 6, 0,,, 0, 0, 60, podemos obtener fracciones equivalentes con términos menores. 87 Se llama fracción decimal a aquella que tiene como denominador una potencia de 0 x elevada a un exponente natural. La fracción es irreducible y decimal. Qué puedes decir y de los números x e y? Sabemos que y es una potencia natural de 0 y x no es múltiplo ni de ni de. 88 Completa Dividendo Divisor Inversa del divisor Cociente

22 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Dividendo Divisor Inversa del divisor Cociente Cuánto cuesta la mitad de los de un terreno que mide 6 m a 80 euros el m? 7 Son 6 = 7m ; euros 90 Encuentra una fracción para cada frase: a) El doble de tres quintos. b) La cuarta parte de cinco medios. c) El triple de la mitad de cuatro tercios. d) Los tres cuartos de la sexta parte de dos quintos. 6 a) b) c) d) Un cuadrado de 9 m de área se divide en 6 cuadrados iguales. Cuánto mide el lado de cada uno de ellos? El área de cada uno es m. El lado mide entonces m. 9 Calcula y expresa el resultado en forma de fracción irreducible: 7 a) b) 8 6 0

23 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) b) Calcula: : 0 a) b) c) : : a) : b) : c) Calcula las siguientes raíces cuadradas con una aproximación de una décima: 69 0 a) b) c) d) 0 00 a), b),, c), d),, 0 9 La leche contiene los de su peso en calcio. Cuánta leche se necesita 00 para obtener gramos de calcio? Buscamos un número que multiplicado por 00 dé, es decir, la solución es 800 : gramos. 96 Un ciclista recorre en los primeros 0 minutos los del recorrido, un cuarto de hora 7 después los del total, y le informan de que aún le quedan km. a) Qué fracción de recorrido le queda? b) Cuántos kilómetros tenía la etapa?

24 Colegio Portocarrero. Curso a), luego le quedan. 7 6 b) Las fracciones son equivalentes, luego la etapa tenía = 70 km. total 97 Calcula, expresando el resultado en forma de fracción irreducible: a) 6 8 b) 7 a) b) Completa:?? 9? 6? a) b) c) d)??? 6? a) b) c) d) Timoteo, un experto jugador de cartas, está jugando con su primo a un juego en el que, partiendo los dos de la misma cantidad de dinero, cada vez que uno pierde debe pagar al otro de tal forma que éste llegue a tener los del dinero que tenía en ese momento. Timoteo se sabe un truco con el que consigue ganar siempre. a) En cuántas partidas le sacará Timoteo el dinero a su primo? b) Si en un principio tenían 6 euros cada uno, cuántos tendrán al acabar? a) Si los dos parten del mismo dinero, cuando terminen, Timoteo no podrá tener más del doble de lo que tenía al principio. Se trata de calcular las sucesivas potencias de hasta que el resultado sea mayor que.

25 Colegio Portocarrero. Curso ,,, Luego jugarán veces, ya que a la cuarta su primo no podría pagar. 000 b) Timoteo tendrá 6 =, euros y su primo 6, = 0,7 euros Calcula: a) El cubo de +. b) Una fracción cuyo cuadrado es. 9 c) Los de los de los. d) El cuadrado del doble de a) b) c) d) Camino y Santi se conocieron en el Camino de Santiago, cuando les faltaban 80 km para terminar su viaje. Salieron de diferentes lugares, y Camino ya llevaba andados los 7 de su recorrido y Santi los del suyo cuando se conocieron. 6 Cuántos kilómetros anduvo en total cada uno? A Camino le faltaba, que son 80 km, luego anduvo en total 80 6 = 80 km. 6 A Santi le quedaban que son 80 km, luego en total anduvo 0 = 0 km. 0 Duplicando un lado de un rectángulo y triplicando el otro, obtenemos un cuadrado de de área. Qué dimensiones tenía el rectángulo? 6 m

26 Colegio Portocarrero. Curso El lado del cuadrado es, : m medía un lado, el otro : m. 0 0 Calcula: a) b) c) d) a) b) c) d) Los de los habitantes de una localidad tienen más de 6 años, la tercera parte tienen 9 entre 0 y 6 años y la cuarta parte entre y 0. Si hay habitantes mayores de 0 años: a) Cuántos habitantes hay en la localidad? b) Cuántos son menores de años? a) Los mayores de 0 años son que son 6 000, por lo que en la localidad habrá: habitantes b), los de 8800 que son 600 menores de años A un instituto acuden diariamente 70 personas. Una de cada 0 personas es profesor o profesora, de cada 0, 9 son alumnos y el resto es personal no docente. a) Qué fracción representan estos últimos? b) Cuántos alumnos, profesores y personal no docente hay? a) entre profesores y alumnos, representan el personal no docente b) profesores, alumnos y el resto Al triplicar el cuadrado de un número y restar al resultado se obtiene. De qué número se trata?

27 Colegio Portocarrero. Curso El triple del cuadrado será, el cuadrado será entonces :, por tanto el número 9 6 es Un estudiante, el primer día de sus vacaciones hace dos quintos de los ejercicios que le han mandado y el segundo día la tercera parte de los que le quedan. a) Qué fracción del total le queda por hacer todavía? b) Si el primer día hizo ejercicios, cuántos le mandaron? a) le quedan después del primer día, la tercera parte de éstos es, que son los que hizo el segundo día. Por tanto, le quedan por hacer del total. b) son ejercicios, serán entonces la tercera parte, es decir ejercicios, luego le mandaron = 0 ejerci 0 8 Calcula: a) 6 b) a) b) Entre Silvia y Sergio han cogido setas. Si Sergio ha cogido las tres cuartas partes de las que ha cogido Silvia, cuántas ha cogido cada uno?

28 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Si dividimos las que ha cogido Silvia en partes, ella habría cogido y Sergio, luego de 7 partes, Silvia ha cogido los y Sergio, los. 7 7 Silvia ha cogido entonces setas y Sergio Si se produjera un incendio en un edificio, sus habitantes tardarían en desalojarlo una hora si utilizasen todos el ascensor, mientras que si utilizasen todos la escalera tardarían minutos. Qué fracción de sus habitantes podrían salvarse en un cuarto de hora utilizando ambas cosas a la vez? Con el ascensor se salvan cada minuto de los habitantes, por la escalera, 60 7 por los dos sitios a la vez: En minutos se salvarán Un viaje se desarrolla de la siguiente manera: En la primera parte se recorren los, que son 90 km, y el resto se realiza en dos partes iguales. De cuántos kilómetros consta cada una de estas partes? Cada una de las partes será de :. 90 Como son 90 km, serán 0 km. Calcula: a) : b) 0

29 Colegio Portocarrero. Curso a) : b) Se saca la tercera parte del vino de un tonel y a lo que queda se añaden 0 litros de otra clase de vino para obtener litros de mezcla. Cuántos litros había inicialmente? 0 = litros son de lo que había, litros serán, por tanto, había = 6 litros. Calcula: a) b) 0 a) b) He colocado los de mi dinero al 6%, y el resto al %. Si mi capital son 00 euros, qué interés cobraré al año? de 00 = 700 euros colocados al 6%, por tanto, darán de intereses 6% de 700 = 0 eu El resto son = 000 euros colocados al %, que darán de intereses el % de 000 = 0 eu 00 Al año cobraré en total = 700 euros de intereses. 6 Calcula:

30 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) 6 b) : a) b) : No había transcurrido ni una hora cuando se marcharon la cuarta parte de los invitados a una fiesta, al poco rato se fueron la tercera de las personas que se acababan de ir y cuando después se fueron otras 8 personas, ya sólo quedaron la mitad de los que eran al principio. Cuántos invitados fueron a la fiesta? Los 8 que se fueron representan 6 del total, luego acudieron en total 6 8 = 8 personas. 8 7 Un grifo da de litro por minuto, otro de litro por minuto, y un tercero de 6 6 litro por minuto. Cuántos litros por minuto dan los tres juntos? Cuál es el tiempo empleado en llenar un depósito de 6 60 litros? Los tres juntos dan litros por minuto : 008 minutos, que son 008 : 60 = 6 horas y 8 minutos. 9 9 Una liebre se halla a 0 saltos suyos de distancia de un galgo cuado éste sale en su persecución. Sabiendo que la distancia que cubren saltos del galgo equivale a la distancia de saltos de liebre, y que en el tiempo que tarda el galgo en dar saltos, la liebre da, se desea averiguar, cuando la liebre haya dado saltos desde que el galgo se lanzó en su persecución, a qué distancia de la liebre estará el galgo, expresado en saltos de éste.

31 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. x Como saltos de la liebre equivalen a de galgo, entonces los saltos que da la liebre equivalen a, por lo que x 9 saltos de galgo. x Por otro lado, los 0 saltos de liebre iniciales de distancia se traducen en, es decir, 0 0 x 6 saltos de galgo de distancia. x En el tiempo que la liebre da sus saltos, el galgo da, es decir, x 0 saltos. Finalmente, la distancia, medida en saltos de galgo a la que se encontrará la liebre respecto de la posición inicial del será = saltos de galgo, y como el galgo ha recorrido 0 saltos, se encontrarán a una distancia de 0 = de galgo. 0 Calcula: : : Calcula: 7 : 6

32 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. : 6 : Calcula: 7 : : : 8 : : : Multiplica los siguientes monomios y halla el grado del resultado: a) x yx b) xy z y x c) x (-x y ) d) h j hjk a) x y b) x y z c) -x y d) -h j k Realiza las siguientes divisiones e indica el grado del monomio resultante: a) a c : ac b) mw k : (-mwk) c) 8 x y z : 6x yz

33 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) ac b) -w c) xyz 7 a) Completa la siguiente tabla sabiendo que la madre de Hugo hace años tenía el triple de la edad de su hijo: Antes Ahora Edad de la madre Edad del hijo x b) Si Hugo tiene 0 años Cuántos tiene su madre? a) Antes Ahora Edad de la madre (x - ) (x - ) + = x - 8 Edad del hijo x- x b) 0-8 = 6 Encuentra una expresión algebraica para cada uno de los siguientes enunciados, simplificándola cuando sea posible: a) Un número impar. b) La mitad del producto de dos números. c) En una caja hay b bolas blancas y el triple de bolas negras. Cuántas hay en total? d) Si p es el precio de unos pantalones y al pagarlos me descuentan el 0%, cuánto pago por ellos? a) n + b) xy c) b + b = b 0p 80p p d) p Una barra de pan cuesta x euros. Si compro tres barras y pago con euros: a) Cuánto me devuelven? b) Si con lo que me han devuelto puedo comprar litros de leche y aún me sobra

34 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. un euro, cuánto cuesta cada litro? a) - x b) x x 8 Escribe un monomio que verifique: a) Su coeficiente es - y la parte literal es w xz. b) Su coeficiente es y es semejante a xz. c) Tiene grado 8 y es opuesto a -x y z. a) -w xz b) xz c) x y z 9 Realiza las siguientes divisiones e indica el grado del monomio resultante: a) 8x y z 8 k : x y k b) w x y : w x y c) 8 7 x y z : xy z a) 8x z 8 b) y c) xyz 0 0 Al preguntarle Diego a Diana por el dinero que tenía, ésta respondió: Me falta el triple del dinero que tienes tú para llegar a tener 0 euros. Si Diego tiene x euros: a) Cuántos tiene Diana? b) Cuánto tienen entre los dos? c) Si hacen un fondo común juntando lo que tienen y se gastan la tercera parte de éste en el cine, cuánto les queda? d) Cuánto les costó cada entrada si Diego tenía en un principio euros? a) 0 - x b) x x = 0 - x c) 0 x 00 x 0 x 0 6 d) Las dos entradas cuestan euros; como x =, 8 euros cuesta cada una.

35 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Escribe mediante una expresión algebraica cada una de las siguientes frases: a) Sumar al cuadrado de un número. b) En una clase hay x chicos y chicas por cada uno de ellos. Cuántas personas hay en total? c) El triple de la suma de dos números consecutivos. d) El lado de un hexágono regular cuyo perímetro es p. a) x + b) x + x = x c) (x + x + ) = 6x + d) p 6 En casa de Arturo hay tres armarios de distintos tamaños. En el pequeño tiene la mitad de perchas que en el mediano, y al grande le faltan tres perchas para tener tantas como en los otros dos juntos. Si en el pequeño tiene x perchas: a) Cuántas tiene en cada uno de los otros? b) Si pasa la mitad de las perchas del armario pequeño al grande, cuántas tendrá en cada armario? c) Si quisiera tener en todos el mismo número de perchas, cuántas tendría que tener en cada armario? a) En el mediano x y en el grande x -. x x 7x b) En el pequeño, en el mediano x y en el grande x + = 6 x c) En total tiene x + x + x = 6x, luego tendría que tener en cada uno x Escribe, si es posible, un monomio que verifique: a) Su coeficiente es y es opuesto a -xy. b) Su coeficiente es - y es opuesto a z. c) Tiene grado y es semejante a x yz. d) Su parte literal es w zh y es opuesto a w z. a) No es posible. b) -z c) No es posible. d) No es posible. Completa la siguiente tabla sabiendo que el padre de Ignacio dentro de 0 años tendrá el doble de la edad de su hijo: Edad actual Edad dentro de 0 años Padre x

36 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Hijo Padre Hijo Edad actual x x 0 x 0 0 Edad dentro de 0 años x 0 x 0 De un test de x preguntas, los 7 valen dos puntos y el resto un punto. a) Cuál es la puntuación máxima que se puede obtener? b) Una persona responde correctamente la mitad de preguntas de dos puntos que de uno. Si ha respondido bien y preguntas de dos puntos, cuál será su puntuación? Cuántas preguntas falló? c) Si el test constaba de preguntas y respondió correctamente 8 preguntas de dos puntos, cuál era la puntuación máxima que se podía obtener? Qué puntuación obtuvo? 0 a) x x x b) y + y = y puntos obtuvo, falló x - y - y = x -y preguntas. c) Calculando el valor numérico de las expresiones anteriores, se tiene que como mucho podían obtenerse 0 0 puntos, y él obtuvo 8 = 6 puntos. 7 6 Raquel y Leticia participaron en una carrera popular de x kilómetros. Raquel recorría km cada minutos y Leticia, que iba algo más lenta, en el mismo tiempo hacía dos kilómetros. a) Cuánto tardó cada una? b) Cuando Leticia entró en meta, cuánto tiempo había pasado desde que entró Raquel? c) Cuando Raquel entró en meta, cuántos kilómetros le faltaban a Leticia para llegar? d) Si la prueba constaba de kilómetros, cuánto tardó cada una? Cuántos kilómetros le faltaban a Leticia cuando entró Raquel?

37 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) Raquel tarda minutos en recorrer km, en x km tardará x minutos, mientras que Leticia tardará del ti de Raquel, es decir, x minutos. x x b) x minutos. x x c) Leticia recorre cada minuto km, x minutos habrá recorrido x km, luego le quedan km. d) Se trata de calcular el valor numérico en las expresiones anteriores. Raquel tarda = 60 minutos = hora, Leticia tarda 90 minutos = una hora y media. A Leticia le faltaban km. 7 Opera y simplifica al máximo posible: a) 6x - x x - x y y - (-x y : x) - xy + xy (y xy + xy 6 ) b) -z w -(-z w) + (8z w h : z h w ) a) 6x - x - x y 7 + xy - xy + x y 7 + 0x y 7 = x + x y 7 + xy - xy b) -z w + 0z w + z w = z w 8 Realiza las operaciones con monomios y calcula el valor numérico del resultado si x =, y = -, z = : a) x yz : x y - xz : b) x z : xz - x (-x) + c) x z z - (xz) a) xz xz = xz = xz. Su valor numérico es. b) x + 8x + = 0x +. Su valor numérico es. c) x z - x z + 8. Su valor numérico es =. 9 Encuentra los valores de x para los que el valor numérico de las siguientes expresiones es igual a cero: a) (x + ) b) (x - ) (x + 6) c) x (x + ) d) (x - 9) (x + ) a) - b) y - c) 0 y - d), -y - 0 Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios:

38 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) 8z z z z b) (y + y - y + ) - (y + 8y - y + ) c) b b b b 7 a) z z b) y - y - y + c) 9 b b8 Dados P(x) = x - x + x - y Q(x) = x + x, a) Señala el grado de P(x) Q(x) y calcúlalo comprobando el resultado. b) Calcula P(x) - Q(x) y señala su grado y su término independiente. c) Cuál es el opuesto de P(x) - Q(x)? Tiene alguna relación con Q(x) - P(x)? a) Tendrá grado 6. P(x) Q(x) = (x - x + x - ) (x + x) = 6x 6 + x - x - 0x + 9x + 6x - 9x - 6x = = 6x 6 + x - 9x - 0x - 9x - 6x b) P(x) - Q(x) = (x - x + x - ) - (x + x) = x - 8x + x - x -. Grado y término independiente -. c) -(P(x) - Q(x)) = -x + 8x - x + x +. Sí, es Q(x) - P(x). Dados los polinomios P(x) = x + x + x -, Q(x) = x - x +, R(x) = x - x + x, opera: a) P(x) + Q(x) + R(x) b) P(x) - Q(x) - R(x) c) P(x) Q(x) + R(x) d) P(x) - Q(x) + R(x) a) x - x + x + 6x - b) x + x + x - - (x - x + ) - (x - x + x) = x + x + x - - x + 8x - - x + x - x = = x + 8x + x - x -x -. c) (x + x + x - ) (x - x + ) + x - x + x = x 7-6x 9 + x + x - x 7 + x + x - x + x - x + x - + x - -x + x = -6x 9-8x 7 + x + x + x - x + 6x -. d) 6x + x + x - - x + 8x - + x - x + x = 6x + 8x + x - x + 9x -. En Semana Santa, Matilde se propuso cada día un ejercicio de matemáticas más de los que había hecho el día anterior. a) Si el primer día hizo x ejercicios, cuántos hizo la primera semana? b) Si durante esta primera semana se hubiese querido repartir los ejercicios de tal manera que todos los días hiciese la misma cantidad, cuántos tendría que hacer al día? a) x + (x +) + (x + ) + (x + ) + (x + ) + (x + ) + (x + 6) = 7x +

39 Colegio Portocarrero. Curso x b) = x + 7 Simplifica las siguientes expresiones: a) (a - b ) - a(b + 6) + b b) (x - y) (x + y) + y(x + y) c) ( - x) (x - y) + (x - y) (x - y) d) (a - b)a - (a - b) (a - b) a) 6a - b - ab - 6a + b = b - ab b) x - y + xy + y = x + xy c) x - y - x + xy + x + y - xy = y + x - y d) a - 6ab - a - b + 6ab = -b Efectúa las siguientes operaciones y reduce después términos semejantes: a) (a + ) (a + ) - a(a + ) + (a + ) (a - ) b) b(a + b) + (a - b) (a - b) -(a - b) (b - ) c) (x - y) (x - y) + y(x - y) - x a) a a - a - a + a - = a + b) a b + b + a + b - ab - a b + a + b - b = a b + b + a - ab - b c) x + y - xy + xy - y - x = y - x 6 El precio de un kilogramo de melocotones viene dado por el polinomio P(x) = x +, y el número de kilogramos que se venden diariamente, por K(x) = x - 8. Calcula el polinomio que corresponde al precio total de los melocotones vendidos en un día. El polinomio que corresponde al precio total será el producto del precio por kilogramo y el número de kilogramos, luego: (x + ) (x - 8) = x + 6x - 8x - = x - x - 7 Una caja vacía pesa kilos y llena de naranjas x kg. a) Cuántos kilos de naranjas hay en diez cajas iguales? b) Si las naranjas están metidas en bolsas de kg cada una y cada bolsa cuesta y euros, cuánto cuestan todas las naranjas? a) 0 (x - ) x 0 b) Hay x bolsas a y euros cada una, y (x ) euros. 8 Los gastos de una empresa vienen dados por el polinomio G(x) = x + x -, y los ingresos por I(x) = x + x -. Cuál será el polinomio que corresponde a los beneficios? Los beneficios serán los ingresos menos los gastos, luego: I(x) - G(x) = x - x -. Escribe en forma de polinomio en una variable y opera:

40 Colegio Portocarrero. Curso a) El cuadrado de un número, menos su doble, más su triple, menos cuatro b) El cuadrado del cubo de un número, menos el número elevado a 6, más. c) El área de un cuadrado de lado x, menos el área de un triángulo de altura x y base x. a) x - x + x - = x + x - b) (x ) - x 6 + = x x c) x 0 Encuentra una expresión algebraica para el área de la siguiente figura: x + x x + x x La base mayor de este trapecio mide: x + x + x = x + x El área es entonces: x x x x x x x x x x x Escribe tres polinomios que verifiquen: a) De grado 8, en una variable, sin término independiente, con el término de grado de coeficiente - y que esté reducido. b) De grado, en dos variables, con término independiente -, cuyo término de grado tenga por coeficiente -, que no tenga término de grado y no esté reducido. a) P(x) = x 8 - x. Q(x) = x 8 + x 7 - x. R(x) = 8x 8 - x + x b) P(x, y) = x y + x y - xy -. Q(x, y) = x y -xy + y + 6y -. P(x, y) = 9x y - xy - +. Habían transcurrido ya la tercera parte de los días de vacaciones de Vanesa cuando se fue de viaje. Estuvo una semana en Ámsterdam, después se fue a París, donde estuvo x días, y por último viajó a Barcelona, donde estuvo la mitad de los días que había estado en París. a) Cuántos días estuvo de vacaciones? b) Qué fracción de ellos estuvo en el extranjero? c) Si estuvo 6 días en París, cuántos días duraron sus vacaciones?

41 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. x 9 a) Como estuvo de viaje los de sus vacaciones, éstas duraron x 7 x días. x 7 x 7 x 8 b) 9 9 x 9 x x 9 c) 6 días. Encuentra una expresión algebraica para el perímetro y otra para el área de la siguiente figura: x x y Perímetro: + x + y + ( + x) + (y - x) = 0 + x + y Área: ( + x)y - x = y + xy - x Reduce las siguientes expresiones a otras más sencillas: a) x x b) x yx y x x y y c) a a aa d) m m a) x x x b) x y xy x xy y y xy y c) a a a a a a d) m m m Se dice que un número es raíz de un polinomio si el valor numérico de ese polinomio para ese número es cero. Comprueba que x = es raíz de x - x + 6. Podrías encontrar otra raíz? = 0, por lo que sí es raíz. Otra raíz es x =.

42 Colegio Portocarrero. Curso Expresa el área de los siguientes polígonos con un polinomio y calcula su valor numérico para x =. Interpreta el resultado del valor numérico en cada caso. Área del rectángulo: (x + ) (x + ) = x + 7x + 0. Valor numérico: 0. Interpretación: El área de un rectángulo de lados + = 8 y + = es 0 unidades cuadradas. Área del triángulo: x x : = x. Valor numérico: 9. Interpretación: El área de un triángulo de base = 6 y altura es 9 unidades cuadradas. Área de la cruz: (x + x) x - x = x + 6x - x = x + x. Valor numérico: = 99. Interpretación: El área de una cruz de dimensiones y 9 es 99 unidades cuadradas. 7 Utiliza las identidades notables para desarrollar las expresiones siguientes: a) (x )(x ) (x ) 6 b) x x (x ) c) (x ) (x )(x ) x 9 x 6 x 9 x 8 x 6 x 9 x 6 x 9 x x a) x x 6 x 6 x 7 x 6 x b) ( x x ) c) x x x x x x x x 8 Desarrolla y opera: a) (x + ) - (x - ) b) (x + y) - (x - y) c) (x + ) - (x + ) (x - ) d) (x - ) (x - ) + (x - ) a) (x + x + ) - (x - x + ) = x + x + - x + x - = 8x

43 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. b) (6x + 8xy + y ) - (6x - 8xy + y ) = 6x + 8xy + y - 6x + 8xy - y = 6xy c) (x + ) - (x - ) = x + - x + = -x + x + 7 d) x - 6x - x + + x - x + = x - 0x + 9 Expresa en forma reducida los siguientes desarrollos de identidades notables: a) x + x + b) x - x + 9 c) x + 6x + 9 d) x - 9 e) x - x + a) (x + ) b) (x -) c) (x + ) d) (x - ) (x + ) e) (x - ) 6 0 Desarrolla las siguientes identidades notables: a) (0x y - y ) x b) x y x y c) y y d) (-6 + x ) a) 00x 0 y 60x y + 9y 6 6 x x 9 b) 6 xy c) y d) 6 x + x 6 Completa la expresión para conseguir el desarrollo de identidades notables de la forma (a + b) ó (a b) : a) x b) x c) x + x +... d) x - x +... e) x + 8x +... f) x - 8x +... a) x + 6x + 9 = (x + ) b) x - 6x + 9 = (x - ) c) x + x + 6 = (x + 6) d) x - x + 6 = (x - 6)

44 e) x + 8x + 8 = (x + 9) f) x - 8x + 8 = (x - 9) Colegio Portocarrero. Curso Completa para que las siguientes expresiones sean desarrollos de identidades notables e indica cuál es la identidad en cada caso: a) x 8 b) x y a 6 c) 6a 0-8a +... d) z... + z 6 a) 9 + 8x + 9x 8 = ( + x ) b) x y - 0xy a + 6a 6 = (xy - a ) c) 6a 0-8a + 9 = (8a - ) d) z 8 + z 6 = (0 + z 8 ) 6 Desarrolla y reduce las siguientes expresiones algebraicas: a) (x - ) + (x - ) x x b) x c) x y x y a) (x - 6x + 9) + (x - x + 9) = x - x x - x + 9 = 6x - x x x x x x x x x x x x x x x b) x 6 x c) x y x y 6 Halla una expresión para el área de estos triángulos:

45 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) b) x x 6 x 9 x 7 x 70 x9 6 Expresa en forma de identidad notable: a) x - 6x + 9 b) x y + xy + c) x 6 - d) a + ab + b a) (x - ) b) (xy + ) c) (x - ) (x + ) d) (a + b) 6 6 Desarrolla y reduce las siguientes expresiones algebraicas: a) x x x b) (a - b) (a - b) - (0a + 0b ) (0a - 0b ) y y y c) x x x a) x x x x x x x x b) (a - b) (a - b) - (0a + 0b ) (0a - 0b ) = (a - 0ab + b ) (a - 0ab + b ) -(00a - 00b ) = = 00a - 00ab + 6a b - 80a - 00ab - 00 y y y c) x x x 6 7 Obtén el desarrollo de las siguientes expresiones algebraicas y redúcelas: a) [( + x ) + (x - ) ] (x + ) b) x x c) x y x y

46 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) [+ 6x + 9x 6 + x - x + 9] (x + x + ) = (9x 6 + x + 6x - x + 0) (x + x + ) = = 9x 8 + 8x 7 + x 6 + x + x - 8x - x + 0x + 0 b) x x x x x x x c) x xy y x xy x x y 7 x y xy y y Expresa el área sombreada ayudándote de las identidades notables: xy xy x y x xy y x y 6 9 Completa la expresión para conseguir el desarrollo de identidades notables de la forma (a + b) ó (a - b) : a) x + x +... b) x - x +... c) x d) x + e) x a) x + x + x b) x x + x c) x - x + 6 = (x - 6)

47 Colegio Portocarrero. Curso x x d) + 6x + = x x e) x Halla una expresión para el área de estos polígonos: a) x 6 x x x 9 x 9 b) (x - 7) (x + 7) = x Sabiendo que x y =, calcula el valor de (x + y) - (x - y) (x + y) - (x - y) = x + x y + y - (x - x y + y ) = x + x y + y - x + x y - y = 8x y. Como x y =, entonces (x + y) - (x - y) = 8x y = x y = = 6. 7 Es el siguiente triángulo rectángulo? Veamos si (0x + ) es igual a (8x + ) + (6x + 9) : (0x + ) = 00x + 00x + (8x + ) + (6x + 9) = 6x + 9x + + 6x + 08x + 8 = 00x + 00x + por lo que el triángulo sí es rectángulo. 7 Obtén el desarrollo de las siguientes expresiones algebraicas y redúcelas: a) x y

48 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. b) [(a + ) (a - ) - (a + ) (a - )] x x c) a) x y (x y) + x + y + x + xy + y b) [(a - 9) - (a - )] = (a - 8) = 76a 8-88a + 6 c) 8 x x x x x x Resuelve las siguientes ecuaciones: x x x a) 7 x 6 x b) 7 7 c) x x x 9 a) x 8 x x ; x 8x x = 60 ; 7x= 60 ; x= b) x x 60 ; x + 6x = ; 77x = 60 ; x= 77 7 c) 90 x08 6 x 6 x6 9 ; 90x 6x 6x = 08 6 ; 9x = 9 ; x= Resuelve las siguientes ecuaciones: 6x a) x b) x 0 x 6 6x x x c) d) 7 x x a) - 6x + = x - b) 6 - x x = 6-6x c) x - = 6x + 0 d) 7 - x + = - 6x + = x x = 0 -x =

49 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. x = x = x = 0 x =- - x= 7 6 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + x + = 0 b) x +x + = 0 c) -x + x - = 0 d) x + x - 6 = 0 b b ac Aplicando en todos los apartados la fórmula: x se tiene: a 0 a) x 8 b) x c) x No tiene solución 6 d) x 7 7 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x + ) = 8x - b) x -x + 0 c) x - x + 0 = 0 a) x + 8x + 6 = 8x x + 0 = 0 No tiene solución x x 0 b) x x + = x= c) x=. No tiene solución. 7 Resuelve las siguientes ecuaciones:

50 Colegio Portocarrero. Curso x a) (x+) b) (x - ) ( - x) - (x + ) = -0 c) -x + x - = 0 a) x + x + x x x x + x = 0 x x= b) x x + x x x = 0 x + = 0 x = 6 x= 6 c) x=. No tiene solución. 7 9 Resuelve las siguientes ecuaciones: x x x a) 7 x x b) x 6 x x x x c), 9 x x 6 7 x 9 a) ; 9x x + 7x = 6 9 ; x = 8 ; x = x x 9 9 x 6 b) ; x x + 9x = 9 6 ; 6x = 6 ; x = x0 x x0 x0 c) ; 0x x x + 0x = 0 0 ; x = ; x = Resuelve las siguientes ecuaciones:

51 a) x x 0 b) x :7 c) x x x 6 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) x x ; x 9x = ; 7x = ; x= b) x 8 9 ; x = + 8 ; x = 9 ; x = 7 7 c) x x x 7 ; x x x = + ; x = ; x= Resuelve las siguientes ecuaciones: 6x x a) x 6 x x b) c) 6 x 0 x 7 90 x8 x x 6 a) ; 90x 8x x = 6 ; 70x = ; x= x 0 x 0 b) ; x + x = ; 9x = 8 ; x = 0 0 c) 6x x = ; 6x + 6x = 60 + ; x = 6 ; x = 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x - = (x - ) b) (x + ) = x + c) x = (6 - x) a) x - = x - x + x - 6x + = x= b) x + x + = x + x - x - = 0

52 8 7 x = Colegio Portocarrero. Curso 0-0. c) x = 6 - x + x x - x + 6 = x = 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x - ) -(x - ) = 6(x - ) b) x x x 7x 6 c) -(x - ) + x = (x - ) - x a) x - 0-6x + = 6x - 6 b) x + x - x = x + c) -x + + x = x x -7x = -8-0x = -x = - 8 x x=- - x= Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 0 x 8 c) x x x b) x x x x d) x

53 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. b b ac Simplificando y aplicando la fórmula: x en cada apartado, se tiene: a 6 a) x x 0 ; x b) 8x 6x 0 ; x c) x x 0 ; x. No tiene solución 6 6 d) x x 0 ; x 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: x 6 x a) x b) x x x 7 x 7 c) x 6 9 a) (x - ) - (6 - x) = 7 b) 0 - (x - ) = 0x + c) 9(x - ) + 08x - 6(x + 7) = (x + 7) x x = x + = 0x + 9x x - 6x - = 6x x = 99 7 = x 9x = 7 x = x= x= Resuelve las siguientes ecuaciones: x x x 9 a) 0 b) x x x x c) x x x a) (x - ) - (x + ) = (x - 9) + 0 b) 6x - + x - 8 = -x + x - d) -( + x -x + ) = x

54 Colegio Portocarrero. Curso x - - x - = 6x x - x = x + 6x - 6 = x -x = 9 -x = - -x = 8 x=- x = 8 x=- 8 7 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 6x + x - = 0 b) x x c) x- x 0 d) x - x = - x b b ac Simplificando y utilizando la fórmula: x= se tiene: a a) x 8 c) x = y x = b) x + x = 0 ; x 8 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: x x x a) x 6 x x x b) x 0 a) (x - ) - (x - ) = x + 0(x - ) - 0 9x - - x + = x + 0x x = x - 0 -x = -0 0 x = 7 b) 0(x + ) - (x + ) + 0 = x -0(x - ) 0x x = x - 0x + 0 6x + = x + 0

55 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. x = - 7 x = Resuelve las siguientes ecuaciones: 7x 6 a) x x b) x x 6 x c) x x x x x d) x 8 b b ac Simplificando y utilizando luego la fórmula: x en cada apartado, se tiene: a 6 96 a) x x 6 0 ; x b) x 6x 9 0 ; x 8 c) x x 0 ; x d) x x 8x 8 ; x. Sin solución Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x x b) x x x x c) x 6 d) x x

56 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. a) 9x - = (x + ) b) x - = x - c) - (x - ) = x + - 6x d) x = 6x - 6 9x - = x + 0 -x = - x + = -x + = x x = x=- x =- x = x= x =- 9 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x (x + ) + = - x b) x + x = c) x + x = - d) (x - ) (x + ) = 0 b b ac Aplicando la fórmula: x después de simplificar cuando sea necesario se tiene: a d) x = y x = a) x + x + = 0 ; x b) x + x = 0 ; x c) x + x + = 0 ; x. No tiene solución 9 Resuelve las siguientes ecuaciones: x x a) x b) x x c) x x d) x x x a) x - x = 0 b) 9x - - x = c) x - - 0x = x + d) x = x - - x + x = 0 7x = -x =

57 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. x = 0 x x = - x = Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución: x y 0 x y x y x x x y x x y 9 Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción: x y 7 7x 8y 6 x8 y 6 x 7 x8 y x 6 7 y 9 Resuelve por reducción: x y x y 7 x y 0 x y y x y 7 x y 7 y x y 9 6 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de sustitución: x y 0 x y 0

58 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. x y ; (y ) y 0 ; y 0 y 0 ; y 0 ; y 0; x 0 ; x 9 7 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de sustitución: a b a b 7 b b a b 7 ; b b ; b ; ( ) b ; a 9 8 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de sustitución: x t 7 x t x t ; (t ) t 7 ; t t ; x 9 9 Resuelve el siguiente sistema por el método que te parezca más adecuado: x y 6x y Un posible método de solución: y x 6 x ( x) 6 x x 0 x 6 x y x y x 0 0 Resuelve el siguiente sistema por el método que te parezca más adecuado: x y 0 x y 0

59 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Un posible método de solución: x y 0 x (0 x) 0 x 0 x x x y 0 0 x 7 0 y Resuelve por reducción: 9x y 0 x 0y 9 x y 0 y 9 x 0 y 0( ) y 0 y x Resuelve por reducción: x y 6 x y 7 9 x y 8 87 x 0 x y 9 6 x 6 ( ) 9 x 87 y 0 Resuelve el siguiente sistema por el método que te parezca más adecuado: x y 80 x y 0

60 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Un posible método de solución: x y x x x x 8x x 80 y 0 y 0 Resuelve el siguiente sistema por el método que te parezca más adecuado: 9x y 6 0 7x y 8 Un posible método de solución: 9 x y 6 0 y 8 7 x 7 x y 8 x y x (8 7 x) 6 6 x 00 7 x x 0 0 Resuelve el siguiente sistema por el método que te parezca más adecuado: x y 0 6x y 8 Un posible método de solución: x y 0 y x 6 Imposible! 6 x y 8 y 6 x Sistema incompatible. 0 6 Resuelve el siguiente sistema por el método que te parezca más adecuado: x y,9 x 7y,

61 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Un posible método de solución:,9 x y,9 x x, 0, x x 7 7, 9 x x, 7 y 7 7, x 0,7 9,9 0,7 y 0, 0 7 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de sustitución: x y 6 8x y y x ; 6 8 x (x ) 6 ; 8 x x 7 ; 9 x 7 9 x 9 9 ; y 6 6 ; 6 y 0 8 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de sustitución: x y 8 x y 6 x y ; x 6 x ( ) ; x 6 x ; x 0 x ; 6 0 y 0 9 Resuelve:

62 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. x y x y y x 0 y x y y x Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de sustitución:,x,y 8,8,x 0,y,7, x,7 x,7 x,7 7, x 7, x,7 y ;, x,( ) 8,8 ; 8,8 0, 9,, (0,),7 6,8 x,7 6,; 6,8 x 9, x 0,; y y,6 6,8 0, Resuelve: x y x y 0 x y y 0 x y 6 ( 9 y x y ) ( ) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de sustitución:

63 Colegio Portocarrero. Curso 0-0.,x y 7,x y 8, y, x 7, x (, x) 8, ; 7, x 8 7 x 8, ; 0, x 0, x ; y, 0, Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de sustitución: a b 0 a b b a 9 b ; 9 ( 9 b ) 9 b 0; 9 b b 9 b b 0; 9 b 0 b ( ) 9 6 b b ; a a Pablo reparte su paga semanal de la siguiente forma: la tercera parte la gasta en el cine, con la sexta parte se compra refrescos y chucherías, reserva la cuarta parte para otros gastos y ahorra euros. Cuánto le pagan a la semana? Llamando x a su paga semanal: x x x x 6 x + x + x + 8 = x 8 = x x = 6 euros le pagan a la semana. Un billete de metro vale 0, menos que un billete de autobús, el billete de autobús vale el doble que el de metro. Averigua el precio de cada billete. Supongamos x = billete de metro, y = billete de autobús. x y0, ; x x 0,; 0, x x x ; y 0, 0,6 y x El billete de metro vale 0, y el de autobús 0,6.

64 Colegio Portocarrero. Curso Halla el valor de cada uno de los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que, de sus ángulos agudos, uno mide los del otro. Como entre los dos agudos deben sumar 90: x x 90 ; x + x = 60 ; 9x = 60 ; x = Por tanto los ángulos miden: 90, 0 y 0. 7 Gorka tiene monedas en ambos bolsillos de su pantalón. Si pasase dos del derecho al izquierdo, habría el mismo número de monedas en cada bolsillo. Si pasase tres del izquierdo al derecho, tendría en éste el doble que en el otro. Cuántas monedas tiene Gorka en cada bolsillo? Sea x el número de monedas del bolsillo derecho e y el del izquierdo. Veamos qué ocurre al mover de un bolsillo a otro: instante bolsillo derecho bolsillo izquierdo inicio x y er paso x - y + º paso x + y - De esta tabla, aplicando las otras condiciones, obtenemos: x y x y y y y 9 x (y ) x y 9 x y 7 Gorka tiene 7 monedas en el bolsillo derecho y en el izquierdo. 8 A Ernesto sus padres le ofrecen como premio cierta cantidad por cada sobresaliente y tres euros menos por cada notable. Al terminar el curso obtuvo sobresalientes y notables, siendo el premio de 60 euros. Cuánto le dieron por cada sobresaliente? Llamando x a la cantidad que le dieron por cada sobresaliente: x + (x - ) = 60 x + x - = 60 6x = 7 7 x euros por cada sobresaliente. 6 9 El cociente de la división de dos números naturales es 8, el resto 66. Podrás calcularlos si además te digo que su diferencia es 70? D = d C + R, donde R es el resto. Si x es el primer número e y es el segundo, tenemos:

65 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. x 8 y 66 x y 70 x 8 y 66 0 x y 70 y y 0 x 70 y Un padre tiene años y su hijo 7. Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo sea la tercera parte de la del padre? Si x son los años que han de pasar: + x = (7 + x) ; + x = + x ; 0 = x ; x = 0 años tienen que pasar. Una persona ha leído un libro de 00 páginas en días. El primer día leyó 0 páginas más que el segundo y el tercer día el triple de las que había leído el día anterior. Cuántas páginas leyó cada día? Llamando x a la que lee el º día: El primer día lee 0 + x. El segundo día lee x. El tercer día x. 0 + x + x + x = 00 ; x = 80 ; x = 6 el º día; 6 el º y 8 el º. Akira aceptó un trabajo con las siguientes condiciones: 70,6 por día trabajado con una penalización de,8 por los días que no asista (por supuesto, esos días no cobra). Después de trabajar durante 8 días, finaliza el trabajo y percibe 0,08. Calcula los días que trabajó y los que no. Días que trabaja = x, días que no va = y. En total 8 días, luego: xy 8 70,6 x,8(8 x) 0,08 0,8 x 080, 70,6 x,8 y 0,08 080, x 8 0,8 y 8 x En total trabajó 8 días y no asistió 0 días. Si al doble del dinero que tiene Alba le restamos el quíntuple de lo que tiene Bea, el resultado es. Si triplicamos lo que tiene cada una y lo sumamos, el resultado es 7. Quién tiene más dinero? Sea x el dinero de Alba e y el dinero de Bea. 6 x y 7 0 x y x 0 x y x y 7 7 x 7 0 x 0 y La que tiene más dinero es Alba, y Bea debe.

66 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Para enmarcar una ventana rectangular necesito 8 m de perfil de aluminio. El precio del perfil horizontal es /m, el perfil vertical es 0 y el precio total del marco es 0. Qué medidas tiene la ventana? Si x es la dimensión horizontal e y la dimensión vertical: x y 8 8 x ; y x ; 0 x 0( x) 0; (x) (y) x 80 0 x 0; 0 0 x; x ; y Las dimensiones son m horizontal y m vertical. Si pesamos a Xaro y a su gata, Ruth, pesan 60 kg. Si lo que hacemos es pesar a su hermana Lúa con Ruth, el peso es 6 kg. Xaro y Lúa juntas pesan 0 kg. Calcula el peso de cada una. Llamamos x a lo que pesa Xaro, y a lo que pesa Lúa y z a lo que pesa la gata Ruth. 06 x kg x z 60 x z 60 x y 0 y z 6 y z 6 x y y x 9kg x y 0 x y x 06 z 60 x 60 7kg Luego, Xaro pesa kg, Lúa 9 kg y Ruth 7 kg. 6 Hace diecinueve años, la edad de Emma era el doble que la de su hermana, y dentro de once años la edad de la hermana será siete novenas partes de la de Emma. Calcula sus edades. Planteamos el problema con los datos que tenemos: Emma hermana hoy x y hace 9 años x -9 y -9 dentro de años x + y + Presentemos ahora el sistema, a la vista de estos datos: 7 x y x 9 (y 9) x y 9 7 x 9 y 7 y (x ) 7 x 9 y y 9 y x y 9 9 Emma tiene años y su hermana. 7 Se quieren mezclar dos clases de café de 7 y 9 euros el kilo respectivamente para obtener una mezcla de 8, euros el kilo. Qué cantidad tiene que haber de cada clase para obtener 8 kg de mezcla? Si x son los kilos de café de 7 euros, del de 9 euros habrá 8 x. Igualando el precio:

67 Colegio Portocarrero. Curso x + 9(8 - x) = 8 8, 7x + - 9x = 08 = x x = Habrá entonces kilos del de 7 euros y 8 - = 6 kg del de 9 euros. 8 Araceli ha comprado varios cuadernos iguales por 0 euros. Si le hubieran descontado un euro en cada uno habría podido comprar dos más. Cuántos cuadernos ha comprado? 0 0 Si ha comprado x, por cada uno ha pagado, con el descuento habría pagado por cada uno de los x + x x podría comprar, luego: 0 x 0 ; 0 x x 0 x ; 0 x 80 x x 0 x ; x x 80 0 x 0 8 x 8 0 De las dos, la solución negativa no tiene sentido, luego ha comprado 8 cuadernos. 9 En un año no bisiesto, la tercera parte de lo que queda de año es igual al doble de lo que habrá transcurrido dentro de días. Qué día es? Si x son los días transcurridos, quedan 6 - x. 6 x (x ) 6 x = 6x = 7x x = Han transcurrido días, luego es 0 de febrero. 0 Cuando Teresa le preguntó a su madre en el tren por los kilómetros que faltaban para llegar, ésta respondió: El doble de los que faltan para llegar a la próxima parada, pero cuando llevemos otros 8 km ya sólo faltará el triple. Cuántos kilómetros faltaban para llegar? Llamando x a los kilómetros que faltan para la próxima parada, faltan x para llegar. Cuando hayan recorrido otros 8 km, faltaran x - 8 para la próxima parada y x - 8 para llegar, luego : x - 8 = (x - 8) - 8 = x x = 6 6 km faltan para la próxima parada y para llegar faltan. Una madre, para animar a su hijo a estudiar matemáticas le hace la siguiente proposición: Por cada ejercicio que hagas bien te daré un euro y por cada uno que hagas mal tú me darás medio euro. Si después de hacer ejercicios el hijo tiene euros, cuántos ejercicios hizo bien? Si x son los ejercicios que hizo bien, los que hizo mal son - x.

68 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. x x x x 6 x x 7 Luego hizo 7 ejercicios bien. En un principio todos los alumnos de º A iban a ir de excursión pagando entre todos el autobús, cuyo precio era de 6 euros, pero a última hora dos de ellos no pudieron ir, por lo que cada uno tuvo que pagar medio euro más. Cuántos alumnos son en º A? 6 Si en º A hay x alumnos, fueron de excursión x y cada uno pagó euros, luego: x 6 x x 6 ; 6 6 ; 6 x x 0 ; x x x Como la solución negativa no tiene sentido en este problema, en º A son 6 alumnos. Una piscina rectangular de metros de larga y de ancha, está rodeada por un pasillo de césped de anchura uniforme. Si el área de éste es de m, cuál es su anchura? x El rectángulo exterior mide + x metros de largo y + x de ancho. El área del césped es la diferencia de las áreas de los rectángulos exterior e interior, por tanto: x x ; 7 0 x 0 x x 7 0 ; x 80 x 0 80 x La solución negativa no es válida en este problema, luego la anchura del pasillo es de, metros. Interpreta esta representación del número de libros que leen al año los españoles.

69 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. % libros La gráfica se explica por sí misma, la inmensa mayoría no lee ni un libro al año. A la vista de este pictograma, qué puedes afirmar del número de reparaciones que realizaron cada uno de estos talleres durante el año pasado? Garaje Lolo Talleres Pepa Auto-reparadores unidos Sólo podemos afirmar que Talleres Pepa fue el taller que más reparaciones efectuó, seguido de Auto-reparadores unidos y que en último lugar se situó Garaje Lolo. 6 A la vista de esta tabla, realiza una interpretación gráfica: precipitaciones días (0-0cc) 6 (0-0cc) (0-00cc) (00-00cc) (00-00cc) Un posible gráfico: días

70 Colegio Portocarrero. Curso Interpreta estos datos con un gráfico: nº hermanos alumnos 0 0 Una representación sería: Nº hermanos 8 Los sueldos de un grupo de personas son los que aparecen en la tabla adjunta: < > Realiza un pictograma que explique estos datos. Una posible representación, sería: Sueldos

71 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. euros 9 Realiza una tabla de frecuencias con los siguientes datos, incluyendo los porcentajes: x f % 0 7, 0 8,8 0 9, 0 0 7, 60 9, 70 8,8 0 Agrupa los siguientes datos en seis clases: 7, 760, 77, 77, 78, 79, 7, 7, 76, 799, 77, 76, 76, 760, 77, 778, 78, 780, 79, 76, 76, 790. clase f [70, 70) [70, 760) [760, 770) 6 [770, 780) [780, 790) [790, 800) El siguiente es el gráfico de las temperaturas de un enfermo en las últimas horas. Si se considera que con una temperatura igual o mayor a 7,º se tiene fiebre y por debajo de º hipotermia, ha sufrido hipotermia en algún momento? Cuántas veces tenía fiebre cuando le tomaron la temperatura?

72 Colegio Portocarrero. Curso Nunca ha estado por debajo de º, luego no ha tenido hipotermia. Tenía fiebre tres veces, a la ª, 9ª y 0ª horas. Mis notas en los últimos ejercicios de Matemáticas han sido los siguientes:, 6,,,, 7, 9, 6,,, 6, 6, 8 Realiza un gráfico en el que aparezcan mis notas e interpreta el resultado. Nota Día A la vista del gráfico, parece que mi trayectoria es un poco irregular, aunque la tónica es obtener más de cinco, hay días en los que no trabajo lo suficiente. Agrupa estos datos de una encuesta de edades de lectores de una revista en intervalos de medida 0: 68, 9, 6, 6, 8, 77, 6, 6,,, 77, 9, 60, 9, 6, 8,, 69, 6, 6, 0, 7, 9, 6, 0, 6,, 70, 67, 0, 7, 0, 6, 6, 6,, 7, 7, 68, 6, 6, 6, 0,,, 6,, 0, 60, 68, 9, 7,, 8,, 6, 66. edad lectores [0-0) 7 [0-0) [0-0) [0-60) 0 [60-70) 9 [70-80) En un ejercicio de Matemáticas, los resultados podían ser Muy Bien (MB), Bien (B), Regular (R) y Mal (M). Recuéntalos y represéntalos en un diagrama de sectores.

73 Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Son los siguientes: B, B, B, B, M, R, B, B, MB, R, M, MB, B, B, R, M, MB, B, B, B, B, R, M, MB, B, R, R, MB, B, B, B, M Ordenamos los datos: M; M; M; M; M; R; R; R; R; R; R; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; MB; MB; MB; MB; MB. Tenemos, para un total de alumnos: resultado alumnos % M / =,6% R 6 6/ = 8,7% B 6 6/ = 0% MB / =,6% Resultado de Matemáticas Los siguientes datos se corresponden a la temperatura durante un mes de verano en determinada ciudad. Organízalos en intervalos y haz una representación de los mismos. 0,, 9,, 0,,,, 6,, 0, 9,,, 8, 9, 6, 0, 9, 8,, 6,, 9, 6, 0, 9,,,. Ordenamos los valores: 9; 0; ; ; ; ; ; ; 6; 6; 6; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 0; 0; 0; 0; ; ; ; ; ; ; ; ; 6; 8 Puesto que la temperatura menor es 9 y la mayor 8, creamos las siguientes clases: Clases días [º-0º) [0º-º) [º-0º) [0º-º) 9 [º-0º) Una posible representación: días

74 Colegio Portocarrero. Curso A la vista de este gráfico, deduce qué emisora de TV tiene mayor audiencia. Si hoy están viendo la tele de personas, cuántas estarán viendo el programa de menos audiencia? Audiencia Evidentemente, Canal Digital tiene la mayor audiencia, con un 0,8%. El canal de menos audiencia es AutoTV, con un,8%, que representa:, Audiencia = 000 personas El siguiente gráfico representa las cantidades depositadas en una oficina bancaria por diferentes familias. Da una estimación de a cuánto asciende el total de los depósitos [0-000 ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) Tomando como referencia el punto medio de cada clase, podemos estimar que habrá: D = = Los siguientes datos se corresponden con el dinero que llevan en el bolsillo 0 personas que pasaban por la calle, a las que les hemos preguntado. Agrupa los datos en intervalos y haz una representación de los mismos. 8,; 0,0; 9,9;,9; 69,9; 8,7;,0; 8,;,; 70,;,;,9; 7,; 8,0; 0,9;,89; 7,; 68,9; 96,;,6. Ordenamos los datos de menor a mayor: 9,9; 0,0; 8,; 8,;,0;,9;,;,; 8,7;,89; 7,;,9; 7,; 68,9; 69,9; 70,; 8,0; 96,; 0,9;,6. Hay 0 elementos; el menor es 9,9; el mayor,6. Creamos las siguientes clases: Dinero ( ) personas

75 [-0) 9 [0-) [-80) [80-0) [0-0) La representación será: Colegio Portocarrero. Curso 0-0. Cuánto dinero lleva? 9 A la vista de la siguiente representación de las horas que dedicamos a las Ciencias Naturales cada día, calcula la media aritmética, la moda y la mediana. Alumnos Horas dedicadas a las Ciencias Naturales Horas Hagamos una tabla con los datos: tiempo(h) Alumnos x i f i Fi xi fi N= 6