APROXIMACIÓN MODAL A LA INFERENCIA DE NUEVAS TEORÍAS. Fernando Soler Toscazo & Ignacio Hernández Antón. Universidad de Sevilla

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1 APROXIMACIÓN MODAL A LA INFERENCIA DE NUEVAS TEORÍAS Fernando Soler Tosazo & Ignaio Hernández Antón Universidad de Sevilla <fsoler@us.es> & <iha@us.es> Introduión Los aeramientos lógios al razonamiento abdutivo proponen diversos modelos formales de lo que podemos llamar la inferenia de la mejor expliaión. En resumen, si Θ representa una teoría (que puede entenderse omo un onjunto de fórmulas de ierta lógia) y φ es una observaión (una fórmula) que no se sigue de Θ (no es onseuenia lógia), la mejor expliaión para φ en la teoría Θ será ierta fórmula α tal que φ sea onseuenia lógia de Θ { α}. Los tratamientos formales del razonamiento abdutivo (Aliseda, 2006) suelen imponer iertos requisitos para que α pueda onsiderarse una buena expliaión, o inluso la mejor expliaión. En ualquier aso, estos aeramientos interpretan el razonamiento abdutivo omo un aumento en el onjunto de fórmulas de la teoría. Ahora bien, la abduión lógia se queda orta si sólo puede dar uenta de pequeños añadidos a las teorías (generalmente, además, sólo funiona bien en lógia proposiional, insufiientemente expresiva para representar teorías de ierta omplejidad). De heho, los tratamientos lógios del razonamiento abdutivo reiben onstantemente la rítia de los filósofos de la ienia, por no ser apaz de modelar modifiaiones profundas en las teorías, omo las que suponen los ambios de paradigma. Hintikka (1998), en la tesis de omprensión, exige que el razonamiento abdutivo inluya todas las operaiones por las que se generan nuevas teorías. Por ello, en este trabajo proponemos un aeramiento formal al razonamiento abdutivo que permite no sólo la inferenia de nuevos hehos (abduión lógia tradiional) sino que puede expliar inluso modifiaiones en la lógia subyaente a iertas teorías. Pensemos en que uando un ierto heho φ no se sigue de la teoría Θ,

2 ello se debe a que en la lógia que estamos usando dentro de nuestra teoría (habitualmente lógia lásia) φ no es onseuenia de Θ. Solemos resolverlo añadiendo nuevas fórmulas a Θ pero, por qué no modifiar nuestra lógia? Hay iertos episodios bien onoidos por los historiadores de la ienia, omo el paso de la meánia lásia a la meánia uántia, donde sería erróneo afirmar que todo se redue a añadir nuevos postulados a la teoría, o abandonar algunos de los antiguos. Cambia toda una onepión de la realidad, que onlleva una nueva forma de razonar on ella. Modelos expliativos Para tratar formalmente este tipo de evoluión de teorías, realizamos un aeramiento basado en lógia modal, interpretando ada mundo omo una lógia posible, es deir, una teoría, entendida ahora no sólo omo un onjunto de postulados, sino que igualmente inluimos en ella las reglas que nos permitirán razonar on los datos, es deir, una relaión de onseuenia lógia propia para ada mundo. Definimos una relaión de aesibilidad R entre mundos que nos india uándo, desde una lógia, podemos pasar a otra (uándo desde una teoría podemos evoluionar a otra). Así, si desde una teoría resulta aesible otra teoría ', es deir R', entones la teoría podría evoluionar hasta ', modifiándose tal vez no sólo el onjunto de proposiiones que onforman la teoría, sino igualmente su lógia subyaente, inluso uestiones profundas omo el aráter lásio o no lásio de las inferenias. Téngase en uenta que las lógias que araterizan ada mundo podrán ser ompletamente diferentes. Esto signifia que las ondiiones para que ierta fórmula β sea onseuenia de un onjunto Γ de fórmulas dado, pueden diferir entre un mundo y otro. En un mundo podemos usar lógia lásia, en otro lógia no monótona, et. donde: Formalmente, un modelo expliativo es una tupla: M = L, W, Λ, R, π L es un lenguaje formal, que tomamos omo lenguaje base, omún a todos los mundos. El onjunto W de mundos es no vaío y enumerable.

3 Λ es un onjunto no vaío de lógias, es deir, de onjuntos de 2 L. R W W es la relaión de aesibilidad entre mundos. π :W Λ es una funión que asigna a ada mundo W ( ) una lógia π. El lenguaje L M del modelo expliativo funiona omo un metalenguaje que se onstruye sobre el lenguaje base L, tomando todas las fórmulas de L y errándolas bajo la onjunión α & β, negaión ~α y los operadores modales (referidos a la relaión de aesibilidad R, omo se verá) + α y α. Es posible definir una disyunión α β e impliaión α β en términos de la negaión y onjunión, así omo operadores modales duales + α y α definidos tal omo es habitual. Como es natural, ninguno de estos operadores de L M ourrirá en L. A ada fórmula ϕ L M asignamos un onjunto ϕ W de mundos que satisfaen ϕ. Esribimos, indistintamente, ϕ y M, =ϕ para indiar que el mundo (que representa una teoría uya lógia subyaente es π ( ) Λ) perteneiente al modelo expliativo M satisfae ϕ. El onjunto ϕ se define indutivamente: ϕ { : ϕ π( } = ), si ϕ L α & β = α β ~ α = W α + α =R 1 ( α ) α =R ( α ) + + Se puede observar que y son los operadores estándar modales interpretados en R, así 1 omo y son interpretados en R. Modalizaión del razonamiento abdutivo Ahora, un problema abdutivo surge uando en ierto mundo tenemos una fórmula φ

4 que no es verdadera (no es válida en la lógia de o no se sigue de los hehos observados). Formalmente un problema abdutivo es un par, φ tal que: 1. M, = + φ 2. M, = + ~ φ La primera ondiión expresa que, mientras que φ no neesariamente es verdadera en, existe una lógia aesible en la que sí lo es. La segunda ondiión india que φ no es verdadera en todas las posibles evoluiones de la teoría. La soluión abdutiva a diho problema viene dada por el paso a un mundo ' tal que R' y φ sea verdadera en ' (es deir, que sea válida o se siga de las observaiones). Qué diferenia la nueva teoría ' de la antigua? Se pueden haber añadido nuevos postulados (abduión lásia) o haberse ambiado el estilo de razonamiento (omo ourre en los ambios de paradigma). Por tanto, la fórmula α L será una soluión abdutiva a ierto problema abdutivo, φ si y sólo si: + 1. M, = ( α φ) 2. M, = + α + 3. M, = ( α & ~ φ ) La primera ondiión india que α, junto on la teoría atual (la lógia de ) explia φ. La segunda ondiión die que α es admisible en la teoría atual, y la última india que α, por sí sola, es insufiiente para expliar φ, por tanto neesita la teoría atual. Estos tres riterios se orresponden on la abduión onsistente expliativa que para Aliseda (2006) es la que posee mayor interés epistémio. Cada uno de los mundos ' a los que la segunda ondiión nos garantiza que podemos aeder es una teoría posible a la que podemos evoluionar desde para expliar φ. Caraterizaión de la abduión lásia

5 Veamos un ejemplo onreto de nuestro modelo que permite apturar el razonamiento abdutivo en lógia lásia tal omo ha sido estudiado en diversos formalismos. Sea L ' el lenguaje de la lógia lásia de primer orden y = la relaión de onseuenia lógia lásia. Podemos definir la relaión de onseuenia módulo Θ (Makinson, 2003), donde Θ L ' omo de forma que: Entones, definimos el modelo: Γ = Θ ϕ si y sólo si Γ, Θ = ϕ M = L', Λ, W, R, π W es el onjunto de todos los subonjuntos onsistentes de Λ= { L ', = W} π ( ) = L, = R= {, ' W 2 ' } Pues bien, M representa el onjunto de teorías lásias, y los problemas abdutivos en este modelo se orresponden on la noión de abduión en lógia lásia (Aliseda, 2006), pero expresada dentro de nuestro formalismo. Dado que la relaión de aesibilidad R es transitiva y reflexiva, se verifian los axiomas de S4, lo ual resulta de sumo interés para una araterizaión estrutural del razonamiento expliativo. L ' Conlusiones Como se observa en el ejemplo de M, nuestro aeramiento permite introduir dentro del ámbito formal araterizaiones del razonamiento abdutivo que de otra forma sólo eran posibles en el nivel de la metalógia. Igualmente, al estudiarse el ambio epistémio al nivel de L M, y no de L, queda abierta la puerta a estudios generales sobre la evoluión de las teorías más allá de los habituales tratamientos del razonamiento abdutivo entrados en una lógia partiular. Ahora, la

6 abduión ourre en el terreno de LM y la deduión en el de L. Ambos ámbitos tienen semántias definidas separadamente. Uno de los objetivos de Hintikka (1998) era independizar el razonamiento abdutivo del dedutivo. Queda abierta la pregunta de hasta qué punto puede ser esto logrado siguiendo esta propuesta. Referenias A. Aliseda, Abdutive Reasoning: Logial Investigations into Disovery and Explanation, volumen 330 de Synthese Library. Springer, J. Hintikka. What is abdution? The fundamental problem of ontemporary epistemology. Transations of the Charles S. Peire Soiety, 34(3): , D. Makinson, Bridges beteen lassial and nonmonotoni logi. Logi Journal of the IGPL, 11(1): 69 96, 2003.