Edición digital para la Biblioteca Digital del ILCE. Título original: On algebras whose factor algebras are Boolean

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2 Ediión digital para la Bibliotea Digital del ILCE Título original: On algebras whose fator algebras are Boolean De la traduión: Emilio Méndez Pinto Publiado originalmente en Paifi Journal of Mathematis, Volumen 2, Número 3 (952), Traduido y publiado on el permiso de Paifi J. Math. Prohibida su reproduión por ualquier medio meánio o elétrio sin la autorizaión por esrito de los oeditores. 2

3 . Introduión. Consideramos un sistema algebraio onstituido por un onjunto arbitrario A y una operaión binaria +. Se asume que el onjunto A está errado bajo +, y que ontiene un elemento ero (determinado de forma únia), esto es, un elemento 0 tal que x + 0 = 0 + x = x para ada x en A. Nos referiremos a tal sistema simplemente omo un álgebra. Por un subálgebra B de entendemos un subonjunto arbitrario de A que está errado bajo + y ontiene 0 omo un elemento. Para dos subálgebras B y C, una funión f, uyo dominio inluye (pero no neesariamente oinide on) B y que mapea B sobre un subonjunto de C de tal manera que f ( b + b ) = f ( b ) + f ( b ) 2 2 para todo b, b 2 en B, es llamada, omo de ostumbre, un homomorfismo- ( B, C ) ; si, además, f es biunívoa sobre B, y mapea B sobre todo C, es llamada un isomorfismo- ( B, C ). Una relaión R que se sostiene entre iertos pares de elementos de A es llamada una relaión de ongruenia sobre Una disusión detallada de todas las noiones y resultados ontenidos en la Introduión se enuentra en [8] (véase, en partiular, el apéndie A y B) y [4] (véase, en partiular, y 2). 3

4 si (i) R es una relaión de equivalenia uyo ampo es A, y (ii) ( a + b) R( a + b ) siempre que ara y brb ; aquí hemos expresado simbóliamente, por Rd, la delaraión de que R se sostiene entre los elementos y d. Supóngase que R es una relaión de ongruenia sobre Para ada elemento a de A, el oonjunto de a bajo R, en símbolos a / R, será definido omo el onjunto de todo b en A para el ual arb. Es fáil ver que ualesquiera dos oonjuntos son o bien idéntios o bien no tienen ningún elemento en omún, y que la unión de teoría de onjuntos de todos los oonjuntos es simplemente A. Si a / R y b / R son ualesquiera dos oonjuntos, denotamos por a / R + b / R al oonjunto ( a + b) / R. Por la ondiión (ii) de la definiión de una relaión de ongruenia, esto determina una operaión + sobre pares de oonjuntos. El álgebra onsistiendo en la familia de todos los oonjuntos de elementos de A bajo R, on la operaión binaria +, es llamada el álgebra oonjunto (de bajo R) y es denotada por 2 Dado un subálgebra B de por el entro de B en símbolos, B nos referimos al onjunto de todo en B satisfaiendo las siguientes ondiiones: (i) hay un elemento d en B on + d = 0 ; (ii) la fórmula onmutativa-asoiativa ( b + b ) + = b + ( b + ) = ( b + ) + b Esta definiión de un álgebra oonjunto se ofree en [8], p. 79 y p. 75. Para una introduión a relaiones de equivalenia y relaiones de ongruenia véase [3], pp

5 vale para ualquier b, b 2 en B. 3 Claramente 0 pertenee al entro de todas las subálgebras. No es difíil ver que b + = + b siempre que b B y b + = b2 + implia b = b2 para todo b, b 2 en B y en B (ley onmutativa); y que B (ley de anelaión). Se sigue que para ualquier subálgebra B, el sistema B, + es un grupo abeliano. Un subálgebra B en el ual B = {0}, esto es, Similarmente, un álgebra B onsiste úniamente en 0, es llamada sin entro. en el ual A = {0} es llamada sin entro. Un subálgebra D es llamada el produto direto de subálgebras B y C si (i) ada elemento d en D puede representarse unívoamente en la forma d = b +, donde b B y C ; (ii) tenemos b + D para ada b en B y en C; (iii) la fórmula ( b + ) + ( b + ) = ( b + b ) + ( + ) vale para b, b 2 arbitrarios en B, y, 2 en C. El subálgebra D on estas propiedades (si es que existe) está, desde luego, unívoamente determinada por B y C, y será denotada por B C. Es laro que si B C existe, y B y C son subálgebras inluidas respetivamente en B y C, entones B C existe. Puede mostrarse sin ninguna difiultad que la operaión sobre pares de subálgebras satisfae las leyes onmutativa y asoiativa. Dos subálgebras B y C de son llamadas fatores omplementarios si B C = A, y un subálgebra B que tiene al menos un fator omplementario es referida omo un fator de 3 Esta definiión de entro se ofree en [5]. Puede mostrarse fáilmente que es equivalente a la definiión ofreida en [4], p. 24, uando la última es apliada a álgebras on una operaión binaria. 5

6 Para fatores omplementarios B y C de se sigue, a partir de la definiión de produto direto, que b + = + b siempre que b B y C ; y a + ( a2 + a3 ) = ( a + a2) + a3 siempre que dos de los elementos a, a2, a 3 pertenezan a uno del par B y C, mientras que el elemento restante perteneza al otro; también se sigue que existen un homomorfismo- ( A, B ) f y un homomorfismo- ( A, C ) g tales que a = f ( a) + g( a) para ada a en A. La noión de produto direto puede extenderse de una manera obvia a ualquier número finito de subálgebras. Con el fin de disutir desomposiiones diretas del álgebra esto es, las representaiones de A omo un produto direto de subálgebras, es importante estudiar propiedades algebraias de la familia de todos los fatores de En partiular, resulta onveniente onsiderar el llamado álgebra fator de es deir, el sistema algebraio formado por la familia y la operaión. (Este es laramente un sistema en el que no se sostiene la propiedad de lausura.) Un aso espeialmente simple es aquel en el que el sistema 6

7 es lo que se llama un álgebra booleana disyuntiva, esto es, en donde la operaión tiene todas las propiedades de adiión algebraia-booleana (operaión unión) restringida a parejas de elementos disjuntos. 4 En lugar del término álgebra booleana disyuntiva, emplearemos el término más simple de álgebra booleana. De entre las onseuenias que se siguen de la asunión de que el álgebra fator es booleana, menionamos las siguientes: (i) el álgebra fator de tiene la llamada propiedad de refinamiento; (ii) A tiene, aparte de orden, a lo muho una representaión omo un produto direto de los llamados subálgebras indesomponibles, y (iii) tiene solamente una representaión así si es finito. Se sabe de varias ondiiones que son neesarias y sufiientes para que el álgebra fator sea booleana. 5 Una de tales ondiiones es que sea un álgebra booleana en el sentido habitual bajo inlusión de teoría de onjuntos. Otra ondiión, que en realidad será utilizada más adelante, es la ley distributiva para el álgebra fator en la siguiente forma: Si B, C y C 2 son fatores de y si C C2 existe y es también un fator de 4 Véase [8], p. 205 y ss. 5 Véase [8], p. 272 y ss. 7

8 entones B ( C C ) = ( B C ) ( B C ) 2 2 (donde B C denota, omo de ostumbre, la interseión de los onjuntos B y C). El prinipal propósito de este artíulo es estableer dos ondiiones neesarias y sufiientes más del mismo tipo; se ofreerán en 2, en el teorema 3, y en el orolario 4. En partiular, desde el teorema 3 veremos que una ondiión neesaria y sufiiente para que el álgebra fator sea booleana es que para ada fator B exista exatamente un fator omplementario a B. En 3 veremos ómo, al apliar los resultados de 2, puede mostrarse que varias lases simples e interesantes de sistemas algebraios tienen álgebras fator booleanas. Finalmente, en 4, se disutirá brevemente una extensión de los resultados obtenidos a sistemas algebraios on muhas operaiones. 2. Resultados prinipales. Comenzamos on dos teoremas auxiliares. TEOREMA. Sea A = B C, y sea D un subálgebra de Con el fin de que A = B D, es neesario y sufiiente que haya un homomorfismo- ( C, B ) f tal que D onsista en todos los elementos de la forma + f ( ) on en C. Prueba. Parte I (prueba de neesidad). 6 Asúmase Ya que por hipótesis () A = B D. 6 La prueba de la parte neesaria de nuestro Teorema está esenialmente ontenida en la prueba del Teorema 2.7, p. 32 de [4]. También si, en lugar de onsiderar álgebras arbitrarias, nos restringimos a los llamados bules, entones la parte neesaria de nuestro Teorema puede derivarse fáilmente del Corolario 2, p. 69 de []. Por otra parte, al analizar la prueba del Teorema, podemos ver que el orolario reién menionado se extiende de bules a álgebras arbitrarias. 8

9 (2) A = B C, hay (véase la Introduión) un homomorfismo- ( A, B ) g y un homomorfismo- ( A, C ) h tales que (3) a = g( a) + h( a) para ada a en A. Obviamente h es también un homomorfismo- ( D, C ). Con la ayuda de () y (2) inluso podemos mostrar que (4) h es un isomorfismo- ( D, C ). 7 Por lo tanto, al denotar on k a la inversa de la funión biunívoa obtenida al restringir el dominio de h a D, podemos poner, para ada en C, Evidentemente Por (3) y (5), Desde esto y desde (4) deduimos que (5) f ( ) = g[ k( )]. (6) f es un homomorfismo- ( C, B ). k( ) = + f ( ) para todo en C. (7) D onsiste en todos los elementos de la forma + f ( ) on en C. Fijemos un elemento de C. Por (6) y (7), (8) f ( ) B y + f ( ) D. Por (), hay elementos b de B y d de D tales que = d + b. Pero d tiene la forma + f ( ), on en C. Conseuentemente, por la ley asoiativa para elementos de fatores omplementarios (estableida en la Introduión), 7 Véase [4], p. 32, la prueba del Teorema

10 = [ + f ( )] + b = + [ f ( ) + b], de donde se sigue, por la ondiión de representaión únia en la definiión de produto direto, que = y f ( ) + b = 0, y por tanto Sea b, b2 (9) f ( ) + b = 0. B. Al apliar de nuevo la ley asoiativa así omo la onmutativa para fatores omplementarios, desde (), (2), y (8) obtenemos: así que finalmente { b + [ b2 + f ( )] } + = b + {[ b2 + f ( )] + } = + { + [ + ( )]} = { + [ + ( )]} + = { b + f + } + b = b + f + + b = {[ b + f ( )] + b } +, b b f b f b 2 2 [ ( )] [ ( )] ( ) { } { } b + [ b + f ( )] + = [ b + f ( )] + b Por lo tanto, al observar que b + [ b2 + f ( )] y [ b + f ( )] + b2 están en B, mientras que C, desde (2) onluimos que (0) b + b2 + f = b + f + b2 [ ( )] [ ( )]. Similarmente, b + [ b + f ( )] = ( b + b ) + f ( ). () 2 2 De auerdo on la definiión de B, (9), (0), y () nos aseguran que f ( ) B siempre que C. Por onsiguiente, por (6), (2) f es un homomorfismo- ( C, B ). Por (7) y (2), la prueba de neesidad está ompleta. 0

11 Parte II (prueba de sufiienia). Asúmanse una funión f y un onjunto D que satisfaen (7) y (2). Sea a A. Podemos esribir a = + b, donde b B y C. Ya que f ( ) B, hay un b en B tal que f ( ) + b = 0. Por lo tanto, apliando las propiedades asoiativas de elementos en el entro y en fatores omplementarios, obtenemos: { } a = + [ f ( ) + b ] + b = + [ f ( ) + ( b + b)] = [ + f ( )] + ( b + b), donde desde luego + f ( ) D y b + b B. Así, ada elemento a de A es de la forma (3) a = d + b, donde d D y b B. Supóngase que d + b = d + b, donde d, d D y b, b B. Por hipótesis, d y d son respetivamente de las formas + f ( ) y + f ( ), donde, C. Por lo tanto + [ f ( ) + b] = [ + f ( )] + b = [ + f ( )] + b = + [ f ( ) + b ]. De esto se sigue =, por tanto d = d ; también que f ( ) + b = f ( ) + b. Por lo tanto, f ( ) estando en anelaión para elementos en el entro, b = b. Entones: B, obtenemos, utilizando la ley onmutativa y la ley de (4) La representaión (3) de un a arbitrario en A es únia. Además es obvio que (5) d + b A para ada d en D y b en B. Por último, supóngase que d, d D y que b, b B. Como de ostumbre, d = + f ( ) y d = + f ( ), donde, C. Entones, apliando varias propiedades del entro y del produto direto que ya fueron utilizadas en esta prueba, obtenemos

12 { } { + + f + f } + b + b + + { f + f + b + b } + + { f + b + f + b ]} { + f + b } + { + f + b } { + f + b} + { + f + b } ( d + d ) + ( b + b ) = [ + f ( )] + [ + f ( )] + ( b + b ) = ( ) [ ( ) ( )] ( ) =( ) [ ( ) ( )] ( ) =( ) [ ( ) ] [ ( ) = [ ( ) ] [ ( ) ] = [ ( )] [ ( )], así que finalmente (6) ( d + d ) + ( b + b ) = ( d + b) + ( d + b ) para b, b en B y d, d en D. Desde (3), (4), (5), y (6) onluimos que y la prueba de sufiienia está ompleta. A = B D, COROLARIO 2. Sea A = B C. Para que C sea el únio fator omplementario de B, es neesario y sufiiente que el únio homomorfismo- ( C, B ) (on dominio restringido a C) sea la funión onstante f, on f ( ) = 0 para ada en C. Prueba. La sufiienia se sigue inmediatamente del Teorema. Para probar la neesidad, asúmase que C es el únio omplemento de B, y que g es un homomorfismo- ( C, B ). Para ualquier dado en C, tenemos por el Teorema que + g( ) C, y desde luego también [ + g( )] + 0 = + g( ). Por lo tanto, por la hipótesis del teorema y la definiión de produto direto, tenemos g( ) = 0. TEOREMA 3. Para que el álgebra fator de un álgebra sea booleana, es neesario y sufiiente que ada fator de 2

13 tenga exatamente un fator omplementario. 8 Prueba. La neesidad se sigue de las bien onoidas propiedades de las álgebras booleanas. Para probar la sufiienia, asúmase que ada fator de tiene un únio fator omplementario. Considérense tres subálgebras B, C, C 2 de tales que () B, C, C 2 y C C2 son fatores de Entones, para algunas subálgebras D y C 3, tenemos A = B D = ( C C ) C, (2) 2 3 y se sabe que la fórmula (2) implia (3) { } B [( D B) C ] [( D B) C ] [( D B) C ] En vista de (2), hay un homomorfismo- ( A, C ) g, un homomorfismo- ( A, C 2) g 2, y un homomorfismo- ( A, C 3) g 3 tales que (4) 2 3 a = [ g ( a) + g ( a)] + g ( a) para todo a en A (véase la Introduión). Por (3), se sigue entones que 8 Este teorema paree estar relaionado on un resultado en [2], de auerdo on el ual un retíulo poseyendo omplementos (relativos) es un álgebra booleana si y sólo si todos los omplementos son únios. Sin embargo, no vemos ninguna manera de apliar el resultado reién menionado en la prueba del Teorema 3. 9 Véase [4], p. 2, Teorema

14 (5) g( b) D B, g2 ( b) D B, y ( ) g3 b D B para todo b en B. f 2 tales que Similarmente, por (2), hay un homomorfismo- ( A, B) f y un homomorfismo- ( A, D) (6) a = f( a) + f2( a) para todo a en A. Claramente, f2g es un homomorfismo- ( A, D ), y por tanto también un homomorfismo- ( B, D ). Además, si b B, por (6) tenemos que g ( b) = f g ( b) + f g ( b), donde f g ( b) B y f g ( b) D. 2 (7) 2 Al omparar (5) y (7), fáilmente vemos que ( ) f2g b D, así que f2g prueba ser un homomorfismo- ( B, D ). Pero, por hipótesis, B es el únio fator omplementario a D. Por lo tanto, por el Corolario 2, f ( ) 0; 2g b = entones, por (7), (8) g ( b) Por razones ompletamente análogas, (9) g ( b) 2 B para todo b en B. B para todo b en B. Evidentemente ( B C ) ( B C2) existe. Mediante el uso de (4), (8), y (9) obtenemos B ( C C ) ( B C ) ( B C ). 2 2 Pero es laro que ( B C ) ( B C2) B ( C C2). Conseuentemente B ( C C ) = ( B C ) ( B C ). (0) 2 2 Hemos mostrado ahora que, siempre que B, C, C 2, y C C2 sean fatores de 4

15 se sostiene la relaión (0). Tal omo se señaló en la Introduión, esta es una ondiión sufiiente para que el álgebra fator de sea booleana. COROLARIO 4. Para que el álgebra fator de un álgebra sea booleana, es neesario y sufiiente que, para ada par B y C de fatores omplementarios de el únio homomorfismo- ( C, B ) (on dominio restringido a C) sea la funión onstante f tal que f ( ) = 0 siempre que C. Prueba. Se sigue del Corolario 2 y del Teorema 3. Nos gustaría onluir esta seión on algunas observaiones que están relaionadas on el Teorema 3, si bien no están onetadas on el tema prinipal de este artíulo. Por el Teorema 3, en ada álgebra uya álgebra fator no es booleana, podemos enontrar dos fatores distintos B y C que tienen un omplemento omún D. Por onsiguiente, paree natural onsiderar la relaión que se sostiene entre ualesquiera dos fatores B y C si y sólo si B D = C D = A para algún fator D. A menudo, esta relaión está involurada en la disusión de desomposiiones diretas de álgebras, y en la literatura pueden enontrarse algunas de sus propiedades; se sabe, por ejemplo, que ualesquiera dos fatores entre los uales se sostiene esta relaión son isomorfos (e inluso lo que se llama isomorfo-entrales). 0 En esta 0 Véase [4], p. 32, Teorema 2.7, y [], p. 69, Corolario 2. 5

16 onexión, puede resultar interesante observar que la relaión en uestión, en ontraposiión a la del isomorfismo, no es transitiva, y por tanto no es una relaión de equivalenia. Para demostrar este heho, tomamos por un ontraejemplo al grupo aditivo de números omplejos a + bi, donde a y b son enteros. Si p es un elemento de A, denotaremos por [ p ] al subgrupo de generado por el elemento p. Ahora sean B = [ i], B = [3 + 2 i], C = [], C = [ + i], C = [7 + 5 i]. Es fáil verifiar que () A = B C = B C = B C = B C Sea la relaión que se sostiene entre fatores B y C si y sólo si B D = C D = A para algún D. Entones, por (), (2) C C2 y C2 C3. Ahora, supóngase que C C3. Entones hay un fator D de tal que A = D C = D C3. Empleando (), observamos que D B ; por lo tanto D B, y D es un grupo ílio infinito. Sea a, b un par de enteros tal que D = [ a + bi]. A fin de que D C = A, es neesario que de donde se sigue b = ±. Similarmente, a fin de que D C3 = A, es neesario que 6

17 esto, ombinado on b = ±, da 5a ± 7 = ±, una imposibilidad. Conseuentemente (3) no es ierto que C C3. Ahora, (2) y (3) implian de una vez que no es transitiva. 3. Apliaiones. Ahora apliaremos los resultados de la seión anterior a varias lases espeiales de sistemas algebraios. Aunque muhos de los resultados que formularemos en esta seión no son esenialmente nuevos, puede resultar interesante ver que ahora todos ellos pueden estableerse por medio de un método simple y uniforme. A pesar de que asi toda nuestra disusión estará basada diretamente en el Corolario 4, omenzaremos on un aso simple de una apliaión direta del Teorema 3. TEOREMA 5. El álgebra fator de un grupo ílio arbitrario es booleana. Prueba. Sea un grupo ílio de orden finito n. Como es bien sabido, tiene a lo muho un subgrupo de ualquier orden dado. Si B es un fator de Para este resultado, en realidad, para el resultado más general itado abajo sobre retíulos de subgrupos, véase [7], p El ejemplo de un grupo abeliano indesomponible que no es un grupo ílio generalizado, también ofreido abajo, está íntimamente relaionado on los ontraejemplos proporionados por B. Jónsson, On Unique Fatorization Problem for Torsionfree Abelian Groups, Abstrat, Bull. Amer. Math. So. 5 (945),

18 de orden m, entones un fator omplementario de B debe tener exatamente n / m elementos, y por tanto está determinado de forma únia. Por onsiguiente, por el Teorema 3, la onlusión se sigue inmediatamente. El teorema aplia trivialmente a grupos ílios infinitos, ya que se sabe que son indesomponibles. El Teorema 5 puede fortaleerse onsiderablemente si introduimos la noión de un grupo ílio generalizado. Un grupo ílio generalizado es un grupo uyos ualesquiera dos de sus elementos son miembros del grupo ílio generado por algún terer elemento de Todos los grupos ílios generalizados son abelianos, y los grupos ílios generalizados finitos son ílios. Ahora, es un resultado onoido que el retíulo de todos los subgrupos de un grupo es distributivo si y sólo si es un grupo ílio generalizado. De esto se sigue que el álgebra fator de un grupo ílio generalizado arbitrario es booleana. El último heho también se sigue fáilmente de nuestro Corolario 4. Ya que el resultado arriba menionado sobre retíulos de subgrupos vale en ambas direiones, uno podría preguntarse si la delaraión sobre álgebras fator de grupos ílios generalizados admite o no una inversa. En realidad, uno puede mostrar fáilmente, desde la bien onoida estrutura de grupos abelianos finitos, que un grupo abeliano finito uya álgebra fator es booleana debe ser ílio. Pero para grupos abelianos infinitos, no se onoe ninguna araterizaión on álgebras fator booleanas. De heho, hay grupos 8

19 abelianos que no son grupos ílios generalizados y que son indesomponibles (sus álgebras fator siendo, de este modo, trivialmente booleanas). Tal, por ejemplo, es el grupo n n aditivo de todos los pares de números de la forma 3 i + m / 2, 5 j + m / 2, donde i, j, m, y n son enteros. TEOREMA 6. Si, en un álgebra el únio homomorfismo- ( A, A ) (on dominio restringido a A) es la funión onstante f on f ( a ) = 0 para todo a en A, entones el álgebra fator de es booleana. 2 Prueba. Sea A = B C, y sea k un homomorfismo- ( C, B ). Como sabemos, hay un homomorfismo- ( A, B) g y un homomorfismo- ( A, C) h tales que a = g( a) + h( a) para todo a en A. Entones kh es un homomorfismo- ( A, B ). Ya que se sabe que B está inluido 3 en A, kh también es un homomorfismo- (, ) A A, y por lo tanto, por hipótesis, kh( a ) = 0 para todo a en A. Si en partiular a C, vemos que a = h( a), y por tanto k( a ) = 0. Ahora, al apliar el Corolario 4, obtenemos la onlusión. Empleando la noión de un álgebra sin entro, tal omo fue definida en la Introduión, obtenemos, omo onseuenias inmediatas del Teorema 6, COROLARIO 7. El álgebra fator de un álgebra sin entro es booleana. COROLARIO 8. Si 2 Los resultados ontenidos en el Teorema 6 y sus varias apliaiones menionadas abajo (a álgebras sin entro, retíulos on un elemento ero, grupos sin entro, y grupos que oiniden on sus subgrupos onmutadores) están estableidos en [4], pp ; las referenias a resultados anteriores relaionados (por ejemplo, de G. Birkhoff y A. Speiser) también pueden enontrarse ahí. 3 Véase [4], p. 26, Teorema 2.. 9

20 es o (i) un grupo sin entro, o (ii) un álgebra en la que, para ualquier a, b en A, a + b = 0 implia a = b = 0 (en partiular, si es un retíulo 4 on ero), entones el álgebra fator de es booleana. Además de las álgebras sin entro, hay otra lase bastante omprehensiva de sistemas algebraios que satisfaen la hipótesis del Teorema 6, a los que nos referiremos omo álgebras ero-equivalentes. Llegamos a estas álgebras de la siguiente manera: 5 Dada un álgebra definimos reursivamente la equivalenia en orden n entre dos elementos a, b en A, esta relaión siendo expresada simbóliamente on a b : n (i) a b si bien a = + d y b = d + para algún y d en A, o bien a = + ( d + e) y 0 b = ( + d) + e para algún, d, y e en A; (ii) a b si bien a y b para algún en A, o bien n+ A, o finalmente a = + e y b = d + e y n n d para algún, d, y e en A. n Los elementos a y b son llamados equivalentes en símbolos, a a + b + para algún en n b si son equivalentes en algún orden n. Reordando ahora la definiión de un semigrupo 4 Aquí, un retíulo es onsiderado omo un sistema on una operaión + (operaión unión); véase [8], p. 200 y ss. 5 Para una onstruión relaionada véase [9], 2. 20

21 onmutativo omo un álgebra en la que valen la ley onmutativa, la ley asoiativa, y la ley de anelaión, obtenemos el siguiente teorema: TEOREMA 9. La relaión es una relaión de ongruenia sobre y el álgebra oonjunto es un semigrupo onmutativo. De heho, es la relaión de ongruenia R más pequeña para la ual es un semigrupo onmutativo. Prueba. Se muestra fáilmente que la relaión es reflexiva, simétria, y transitiva; y que, si ualesquiera dos de las tres fórmulas a b, d, a + b + d se sostienen, entones la terera también se sostiene. En partiular, la relaión es una relaión de ongruenia sobre y podemos onstruir el álgebra oonjunto Desde la definiión de y se sigue que a + b b + a y a + ( b + ) ( a + b) + para todo 0 a, b, y en A. Esto establee las leyes onmutativa y asoiativa para 2

22 Además, a partir de a + b a + se sigue, por la primera oraión en esta prueba, que b ; esto prueba la ley de anelaión. es, por tanto, un semigrupo onmutativo. Para probar el último enuniado del teorema, es sufiiente on mostrar que si R es una relaión de ongruenia sobre para la ual es un semigrupo onmutativo, y a y b son miembros de A para los que a tenemos arb (esto es, a, b R ). Pero desde a b se sigue n b, entones a b para algún entero no negativo n. Si n = 0, la onlusión arb se sigue inmediatamente de la definiión de las propiedades de y 0 El paso de n a n + se lleva a abo de una manera similar. El álgebra es llamada ero-equivalente si a b para todo a y b en A o, lo que viene a ser lo mismo, si a 0 para todo a en A. La siguiente ondiión neesaria y sufiiente para eroequivalenia es una onseuenia fáil del Teorema 9. COROLARIO 0. El álgebra 22

23 es ero-equivalente si y sólo si no puede mapearse homomórfiamente sobre ningún semigrupo onmutativo on más de un elemento. Podemos dar uenta de muhos ejemplos distintos de álgebras ero-equivalentes. Por ejemplo, omo se ve fáilmente, un álgebra A, + es ero-equivalente si para ada elemento a en A hay un elemento b tal que a + b = b (o b + a = b ). En partiular, esta ondiión estará satisfeha si, además del elemento ero 0, el álgebra tiene un elemento infinito tal que + a = (o a + = ) para todo a en A. La desripión de la última lase de álgebras asume una forma más familiar si uno utiliza la notaión multipliativa; las álgebras a las que nos referimos son entones sistemas que tienen un elemento unidad on a = a = a, y un elemento ero 0 on a 0 = 0 (o 0 a = 0 ) para ada a en A. De nuevo, un álgebra A, + satisfae la ondiión anterior para ero-equivalenia si ada elemento es idempotente, esto es, a + a = a para todo a en A. Otro ejemplo interesante de una lase de álgebras ero-equivalentes lo proporionan los grupos que oiniden on sus grupos onmutadores; de heho, omo se ve por el Corolario 0, un grupo es ero-equivalente si y sólo si oinide on su grupo onmutador. TEOREMA. El álgebra fator de un álgebra ero-equivalente es booleana. Prueba. Supóngase que el álgebra es ero-equivalente. Sea f un homomorfismo- ( A, A ). En la Introduión se señaló que A, + es un grupo abeliano; onseuentemente, ualquier subálgebra de A, en partiular el subálgebra sobre la que f mapea A, es un semigrupo onmutativo. Por lo tanto, por el Corolario 0, f ( a ) = 0 para todo a en A. La onlusión se sigue ahora por la apliaión del Teorema 6. 23

24 Como una onseuenia inmediata de este teorema y las observaiones que le preeden, obtenemos: COROLARIO 2. Si es o bien (i) un álgebra on elemento infinito tal que + a = (o a + = ) para ualquier a en A, o (ii) un álgebra en la que a + a = a para todo a en A, o (iii) un grupo idéntio a su grupo onmutador, entones el álgebra fator de es booleana. Nótese que Corolario 2 (ii) inluye, omo lo hae Corolario 8 (ii), el aso de retíulos on elemento ero. Para onluir esta seión, nos gustaría dar uenta de una apliaión bastante interesante del Teorema, y espeífiamente del Corolario 2. Hasta ahora, nos hemos oupado de álgebras teniendo la únia propiedad de omplemento, en el sentido de que ada fator B de tiene exatamente un fator omplementario. Hemos visto, en el Teorema 3, que estas álgebras oiniden on aquellas uyas álgebras fator son booleanas. Ahora pasamos a álgebras que tienen la únia propiedad de omplemento en un sentido distinto; en realidad, a aquellas álgebras 24

25 para las uales el onjunto A tiene solamente un fator omplementario on respeto a ada álgebra en la que está inrustada omo un subálgebra y de la que A es un fator. Al deir que el álgebra está inrustada omo un subálgebra en el álgebra queremos deir que A es un subálgebra de en el sentido de la Introduión, y que las operaiones + y + oiniden uando son apliadas a parejas de elementos en A; aquí asumimos que la operaión + no está definida para ningunas otras parejas. Se ha estableido que para que un álgebra tenga la únia propiedad de omplemento en el nuevo sentido, es neesario y sufiiente que 25

26 sea sin entro. 6 La prueba de esta delaraión puede llevarse a abo fáilmente por medio del Teorema y del Corolario 2. De heho, la sufiienia de la ondiión se sigue asi diretamente del Corolario 2. Para estableer su neesidad, onsideramos un álgebra arbitraria Podemos fáilmente inrustar omo un subálgebra en una nueva álgebra en la que B = A C, C siendo un subálgebra de isomorfa a A. Sea f una funión que mapea C isomórfiamente y por tanto también homomórfiamente sobre donde C, es laramente un subálgebra de A. Entones D, definida omo el onjunto de todo f ( ) +, y tenemos, por el Teorema, que B = A D. Ahora, si no es sin entro, A ontiene un elemento no ero; por lo tanto, f ( ) 0 para algún en C. Por onsiguiente, C D, y A tiene dos omplementos distintos en 6 Véase [4], p. 55. La prueba de esta delaraión no ha sido publiada previamente. 26

27 Esto ompleta la prueba. En onseuenia, la lase de álgebras teniendo la únia propiedad de omplemento en el nuevo sentido está inluida en, pero de ninguna manera es idéntia a, la lase de aquellas álgebras uyas álgebras fator son booleanas. 4. Álgebras on muhas operaiones. 7 Hasta ahora hemos onsiderado úniamente álgebras on una operaión binaria. En esta última seión estableeremos los resultados orrespondientes para una gran lase de sistemas algebraios on muhas operaiones. Nos referiremos a un sistema omo un álgebra multioperaional si está onstituida por un onjunto A, una operaión binaria +, y una seuenia finita o transfinita de operaiones O0, O,..., O ξ,... Se asume que el onjunto A está errado bajo todas estas operaiones, y que ontiene un elemento 0 que es el elemento ero para + y es idempotente para ada una de las operaiones restantes O ξ ; esto es, O ξ (0,0,...,0) = 0. Nos restringimos al aso donde todas las operaiones O ξ son finitarias, 8 es deir, ada una de ellas está definida exlusivamente para seuenias finitas de longitud definida n ξ (el número n ξ es llamado el rango de O ξ, y varía on ξ ). Por un subálgebra de entendemos un subonjunto B de A que ontiene 0 y está errado bajo todas las operaiones +, O, O,...,,... Si B y C son subálgebras de 0 O ξ 7 Véase [4], y 2, para la mayoría de las definiiones ofreidas en esta seión. 8 Con pequeños ambios, la teoría también aplia a álgebras on operaiones infinitarias. 27

28 la definiión de un homomorfismo- ( B, C ) o isomorfismo- ( B, C ) es una extensión obvia del aso anterior. Las definiiones de una relaión de ongruenia R sobre y del álgebra oonjunto también son fáilmente generalizadas desde el aso anterior. La definiión de entro para álgebras multioperaionales está algo involurada. Dada un álgebra y un subálgebra B de por el entro B de B entendemos la unión de todas las subálgebras C de que están inluidas en B y satisfaen las siguientes ondiiones: (i) para ada elemento en C hay un elemento d en C on + d = 0 ; (ii) la fórmula onmutativa-asoiativa ( b + b ) + = b + ( b + ) = ( b + ) + b vale para ualquier b, b 2 en B y ualquier en C; (iii) la fórmula 28

29 vale siempre que sea una operaión de on esté en C, b0, b,..., bp sean elementos de B, y q sea un entero no negativo menor que p. 9 De esta definiión se sigue que B es ella misma un subálgebra de Como antes, un subálgebra B de o la propia álgebra es llamada sin entro si B = {0} o A = {0}, respetivamente. Si es un álgebra en el nuevo sentido, la noión del produto direto D de dos subálgebras B y C de 9 La definiión de entro reién ofreida es equivalente a la Definiión 2.0 de [4], p. 24, si la última es apliada a álgebras sin operaiones infinitarias. 29

30 está definida tal omo lo fue en la Introduión para álgebras on una operaión, exepto que a las ondiiones (i), (ii), (iii) se añade una uarta ondiión, a saber: (iv) la fórmula vale siempre que sea una operaión de on b0, b,..., bp sean elementos en B, y 0,,..., p sean elementos en C. Los oneptos de un fator de de fatores omplementarios, y del álgebra fator de están definidos en términos del produto direto preisamente omo lo fueron en el aso de una operaión. 30

31 Los oneptos de equivalenia y ero-equivalenia también tienen una extensión natural al aso de álgebras on muhas operaiones. La obtenemos al modifiar la definiión de equivalenia de orden n (omo está dada en 3 después del Corolario 8) omo sigue: (i) a b si bien 0 ) vale una de las dos alternativas en la definiión de o en 3, 0 y para alguna operaión y algunos elementos 0,..., p, d0,..., d p en A (donde (ii) a b si bien n+ ) vale ualquiera de las tres alternativas en la definiión de en 3, n+ o y i n d ( i = 0,,..., p ) para algún i 3

32 y algunos elementos 0,..., p, d0,..., d p en A (donde Como antes, a y b son llamados equivalentes en símbolos, a equivalentes de algún orden n. Se die, omo antes, que el álgebra b si son es ero-equivalente si a 0 para ada a en A. Correspondiente a la noión de un semigrupo onmutativo, que apareió en el tratamiento de equivalenia para álgebras de una operaión, aquí neesitamos la noión de un semigrupo onmutativo on operadores, definida omo sigue: es un semigrupo onmutativo on operadores si (i) A, + es un semigrupo onmutativo, y (ii) la relaión vale para todo y todos los elementos a0,..., a p, b0,..., bp de A (donde 32

33 Habiendo extendido las noiones básias, uno puede llevar a abo, para álgebras multioperaionales, un desarrollo similar al ofreido en 2 y 3 para álgebras on una operaión. Entones uno obtiene: TEOREMA 3. Los teoremas y orolarios, 2, 3, 4, 6, 7 y siguen siendo válidos para álgebras multioperaionales. El Teorema 9 y el Corolario 0 valen para álgebras multioperaionales si en ellas reemplazamos semigrupo onmutativo por semigrupo onmutativo on operadores. Obsérvese que en la definiión de álgebras multioperaionales la primera operaión + desempeña un papel espeial. Por otro lado, puede sueder que un álgebra ontenga una operaión binaria que tiene un elemento ero que es idempotente on respeto a todas las operaiones restantes (inluida +). Al permutar, entones, las operaiones +, O0, O,..., O ξ,... de modo que O ξ reemplae a +, obtenemos una nueva álgebra que es formalmente distinta de Sin embargo, resulta que si el álgebra fator de 33

34 es booleana, lo mismo vale para También resulta que si el álgebra fator de es booleana, lo mismo aplia para ada álgebra obtenida desde al añadir nuevas operaiones. Estos dos hehos están ombinados en el siguiente teorema: TEOREMA 4. Supóngase que y son dos álgebras multioperaionales (teniendo el mismo onjunto A), y que la familia {, O 0, O,..., O η,...} + de operaiones de ontiene la familia {, O0, O,..., O ξ,...} + de operaiones de 34

35 Si el álgebra fator de es booleana, entones la de también es booleana. 20 las álgebras Prueba. Los símbolos y se referirán a la operaión de multipliaión direta en y respetivamente. Sean 0 y 0 los elementos ero de + y +, respetivamente. Definimos una operaión * sobre los fatores de omo sigue: Sea B ualquier fator de y sea C algún fator omplementario de B (en 20 Este teorema es un simple orolario de algunos resultados más generales obtenidos por B. Jónsson y A. Tarski, aunque aún no publiados, relativos a sistemas algebraios que no neesariamente tienen un elemento ero. 35

36 Sean 0 B y 0 C respetivamente elementos de B y C tales que 0 = Entones define omo el onjunto de todos los elementos de la forma B C b + 0 C on b en B. * B se Nótese que, en aso de que haya varios fatores omplementarios de B en la definiión de * B es independiente de uál se elija omo C. Ahora fijamos dos fatores omplementarios B y C en Mostraremos que * B y * C son fatores omplementarios en Como antes, sean 0 B y 0 C respetivamente elementos de B y C tales que Obsérvese primeramente que 0 = B C () * * 0 B C. Sea P ualquiera de las operaiones en de rango p; por las hipótesis del teorema, P también es una operaión en Desde la idempotenia de 0 on respeto a P y las propiedades bien onoidas del produto direto (que en el futuro utilizaremos sin menión), deduimos que (2) P (0 B,0 B,...,0 B) = 0B 36

37 y (3) P (0 C,0 C,...,0 C ) = 0 C. Además, si b0,..., bp B, desde (3) obtenemos el resultado de que (4) P b0 + C bp + C = P b0 b p + C ( 0,..., 0 ) (,..., ) 0 ; similarmente, si 0,..., p C, tenemos (5) P 0 + B p + B = P 0 p + B ( 0,..., 0 ) (,..., ) 0. Ahora (), (4), y (5) dan que (6) * B y * C son subálgebras de Desde el heho de que 0 es el elemento ero de + en A, no es difíil mostrar que 0 B y 0 C son los elementos ero de + en B y C, respetivamente; esto es, y Empleando (7) y (8) enontramos que (7) b + 0 = 0 + b = b para todo b en B B B (8) + 0 = 0 + = para todo en C. C C (9) ( b + 0 ) + ( + 0 ) = b + siempre que b B, C, de donde se sigue que C B (0) ada elemento de A puede esribirse de manera únia en la forma b +, on * * * b en * B y * en * C. Además, si P es ualquier operaión de 37

38 de rango p, y si b,..., b B;,..., C, 0 p 0 p entones, por apliaión repetida de (9), (4), y (5), obtenemos () {[( C ) + ( )],..., B ( p + 0 C ) + ( p + 0 B ) } P b b = P[ b + 0,..., b + 0 ] + P[ + 0,..., + 0 ]. 0 C p C 0 B p B Ahora (6), (0), y () dan Así, hemos mostrado que * B y * * B C = A. * C son fatores omplementarios en siempre que B y C sean fatores omplementarios en Ahora sean B, C, y C 2 subálgebras de tales que (2) B C = B C2 = A. Por nuestro último resultado, tenemos (3) B C B C A * * * * = 2 =. Pero, omo por hipótesis el álgebra fator de es booleana, (3) ombinado on el Teorema 3 (véase el Teorema 3) da 38

39 (4) C * = C *. 2 Ahora, empleando el Teorema (véase el Teorema 3), sea g el homomorfismo- ( C, B ) on respeto a ( B siendo el entro de B en + tal que C 2 es el onjunto de elementos de la forma + g( ) on en C. Sean 0 B y 0 B aquellos elementos de B para los uales, para algún 0 C en C y 0 C+ en C 2, = = Entones (4), junto on (2), nos asegura que B C B C + (5) + 0 B = + [ g( ) + 0 B ] para todo en C. En partiular, estableiendo = 0 en (5), enontramos + 0 = 0 ; por lo tanto (5) asume la forma (6) 0 B = g( ) + 0B para todo en C. Pero por la definiión de g, tenemos g( ) B para ada en C ; onseuentemente B B b + [ b + g( )] = ( b + b ) + [0 + g( )] siempre que b, b2 B y C. (7) 2 2 Estableiendo b 2 = 0 B y b = 0 en (7), on la ayuda de (6) y (7) onluimos que (8) 0 + g( ) = 0 para ada en C. 39

40 Por otro lado, al estableer b = 0 B y b 2 = 0 en (7), on la ayuda de (8) y (7) obtenemos el resultado de que g( ) = 0 para todo en C. Conseuentemente, por la definiión de g, tenemos C = C. 2 Ahora hemos mostrado que si B, C, y C 2 son subálgebras de para las uales vale (2), entones C = C2. Pero, por el Teorema 3, esto implia que el álgebra fator de es booleana. Terminaremos esta seión on una apliaión de la teoría general a anillos. TEOREMA 5. El álgebra fator de un anillo on elemento unidad es booleana. 2 Podemos probar este teorema on tres métodos distintos, apliando el Corolario 7, el Teorema, o el Teorema 4. Primera prueba. Sea un anillo on el elemento unidad (y desde luego on el elemento ero 0). Sea la definiión de entro, debemos tener A. Por 2 Este resultado está expuesto de una forma distinta en [4], p. 55, donde puede enontrarse una referenia a un resultado anterior de Jaobson. La extensión de este resultado a anillos sin entro, que será disutida abajo, se enuentra en [6]; también se sigue inmediatamente de las observaiones en [4], p. 25 (Ejemplo III) y p

41 ( a + ) b = a b para todo a, b en A. Estableiendo a = 0, b =, obtenemos = 0. Así, es sin entro, y al apliar el Corolario 7 (véase el Teorema 3) obtenemos el resultado deseado. Segunda prueba. Sea un anillo on elemento unidad. Por la definiión de equivalenia de orden 0, tenemos ( a + ) ( b + d) a b + d para todo a, b,, d en A. Estableiendo b = = 0 y d =, obtenemos a 0 para todo a en A. es, por lo tanto, ero-equivalente, y el resultado deseado se sigue del Teorema (véase el Teorema 3). Terera prueba. De nuevo, sea un anillo on unidad. Sea Por el Corolario 2 (y una observaión que sigue al Corolario 0), el álgebra fator de es booleana. Por lo tanto, por el Teorema 4, el álgebra fator de 4

42 es booleana. Puede notarse que, al apliar los primeros dos métodos de prueba, podemos extender el Teorema 5 a lases de anillos más amplias. De heho, el primer método de prueba nos permite extenderlo a todos los anillos sin entro, 22 mientras que por el segundo método de prueba aplia a todos los anillos ero-equivalentes. Fáilmente se ve que un anillo es sin entro si y sólo si no tiene un aniquilador distinto de 0, esto es, ningún elemento a 0 tal que a b = b a = 0 para todos los elementos b del anillo. Por otro lado, un anillo resulta ser ero-equivalente si y sólo si ada elemento a del anillo es de la forma a = b + b b, 0 0 n n donde n es un entero positivo y b0, 0, b,,..., bn, n son elementos del anillo. Cualquiera de estas lases inluye a todos los anillos on unidad y también a muhos otros anillos. Puede notarse que ninguna de estas dos lases de anillos inluye a la otra. Ciertamente, el anillo de enteros pares es sin entro pero no ero-equivalente. Para obtener un anillo que sea ero-equivalente pero no sin entro, onsidérese la familia R de todos los onjuntos finitos de números reales x para los que 0 < x. Si A, B R, denotamos por A + B la diferenia simétria de A y B, es deir, el onjunto de números perteneiendo a A o a B pero no a ambos; y denotamos por A B al onjunto de todos los números x para los uales (i) 0 < x y (ii) el número de elementos y de A tal que x y B es impar. Puede mostrarse que el sistema es un anillo que es ero-equivalente pero no sin entro. En realidad, 22 Cabe haer notar que nuestra definiión del entro de un anillo, obtenida al espeializar a anillos la definiión general del entro de un álgebra on muhas operaiones, difiere del signifiado habitual de tal término. 42

43 tiene las propiedades adiionales de que es onmutativo y de que ada elemento en él es de orden 2. Es fáil obtener ejemplos de anillos uyas álgebras fator no son booleanas. Sea un grupo abeliano on elemento ero 0, y establézase a b = 0 para todo a, b en A. Entones es un anillo uyos fatores son idéntios a aquellos de Así, si el álgebra fator de no es booleana (por ejemplo, si es el grupo de uatro, esto es, el produto direto de dos grupos de orden 2), entones el álgebra fator de también es no booleana. REFERENCIAS. R. Baer, Diret deompositions, Trans. Amer. Math. So. 62 (947), G. Bergman, Zur Axiomatik der Geometrie, Monatsh. Phys. 36 (929),

44 3. G. Birkhoff y S. MaLane, A survey of modern algebra, Mamillan, B. Jónsson y A. Tarski, Diret deompositions of finite algebrai systems, Notre Dame Mathematial Letures, N. 5, , On diret produts of algebras, Abstrat 49, Bull. Amer. Math. So. 5 (945), A. Kurosh, Izomorfizmy pryamyh razlozenii, Izvestiya Akad. Nauk S. S. S. R. Ser. Mat. 7 (943), O. Ore, Strutures and group theory, II, Duke Math. J., 4 (938), A. Tarski, Cardinal algebras, on un apéndie de B. Jónsson y A. Tarski, Cardinal produts of isomorphism types, Nueva York, A. Tarski, Algebraishe Fassung des Massproblems, Fund. Math., 3 (938), UNIVERSIDAD DE CALIFORNIA, BERKELEY 44