Funciones lineales y cuadráticas

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1 Capítulo 4 Funciones lineales y cuadráticas 4.1. La función lineal Una función se llama lineal si tiene la forma (o puede ser llevada a la forma): y = f(x) = ax + b, con a 0, a, b R El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta. 94

2 Resumen de contenidos y b y = f(x) = ax + b b a x Su gráfico intersecta al eje X en el punto de abscisa x = b a ordenada y = b. y al eje Y en el punto de Cuando a > 0, la función lineal es creciente, es decir, su gráfico es una recta que sube de izquierda a derecha. Cuando a < 0, la función lineal es decreciente, es decir, su gráfico es una recta que baja de izquierda a derecha. El Dominio y Recorrido de una función lineal es R. Es biyectiva, por lo tanto, tiene inversa. Su inversa viene definida por f 1 (x) = 1 a x b a. Observación: El coeficiente a, que aparece en la fórmula de la función lineal, es justamente la pendiente de la recta correspondiente a su gráfico. Gráfico de y = 3x + 1 (a > 0) Gráfico de y = x 1 3 (inversa de y = 3x + 1) Gráfico de y = 3x + 1 (a < 0) Gráfico de y = 1 x 3 (inversa de y = 3x + 1) Instituto de Matemática y Física 95 Universidad de Talca

3 Resumen de contenidos La función constante La función constante tiene la forma y = f(x) = c, c R. El dominio es R y el recorrido es {c}. Su gráfica es una recta paralela (o coincidente) al eje X. y c y = f(x) = c x La función valor absoluto La función valor absoluto tiene la forma y = f(x) = x. Su dominio es R, el recorrido es R 0 y f(x) = x x Instituto de Matemática y Física 96 Universidad de Talca

4 Resumen de contenidos 4.. La función cuadrática Movimientos parabólicos Una función cuadrática tiene la forma y = f(x) = ax + bx + c, con a 0, a, b, c R y f(x) = ax + bx + c c V ( b a, f( b a )) x Intersecta al eje Y en el punto (0, c). Intersecta al eje X cuando = b 4ac 0. En tal caso, los puntos de intersección son las raíces de la ecuación ax + bx + c = 0. Instituto de Matemática y Física 97 Universidad de Talca

5 Resumen de contenidos Su gráfica es una parabóla con vértice V = La recta vertical x = b a ( b ( a, f b )) ( = b a a, ). 4a es una recta de simetría de su gráfico. Si a > 0 la parábola se abre hacia arriba, y si a < 0 se abre hacia abajo. La fórmula de la función cuadrática se puede presentar de varias maneras: 1. y = f(x) = ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ), donde x 1 y x son las raíces de la ecuación ax + bx + c = 0. (. y = f(x) = ax + bx + c = a x + b ) b 4ac a 4a Gráficos de la función cuadrática y = ax + bx + c a > 0, < 0 a > 0, = 0 a > 0, > 0 a < 0, < 0 a < 0, = 0 a < 0, > 0 Instituto de Matemática y Física 98 Universidad de Talca

6 Resumen de contenidos 4.3. Listado de funciones básicas En el trabajo con funciones hay algunas de frecuente aparición y cuyos gráficos es conveniente recordarlos para ahorrar tiempo. Ellas son: y = f(x) = x y = f(x) = x y = f(x) = x 3 y = f(x) = x y = f(x) = 1/x y = f(x) = x Instituto de Matemática y Física 99 Universidad de Talca

7 Resumen de contenidos 4.4. Gráficos provenientes de datos experimentales Cuando se realiza un experimento con el objetivo de estudiar un determinado fenómeno de la realidad, regularmente la persona que realiza el estudio, define y mide algunas variables, que según su parecer podrían estar relacionadas. Producto de este trabajo, se tienen tablas de valores de las variables medidas. Una manera adecuada de ordenar esta información, y analizar eventuales interdependencias entre las variables en estudio, es graficar los datos obtenidos. De esta manera se obtiene un gráfico con una serie de puntos (aislados). Luego, por inspección cuidadosa del gráfico, se analiza si la manera como se distribuyen los puntos graficados del experimento se parecen o no al gráfico de alguna función conocida. En caso que tal función exista, ella recibe el nombre de modelo del fenómeno estudiado. Una vez obtenido el modelo (función), se dispone de una función que permite, junto con tener una visión gráfica de la situación en estudio, conocer (aproximadamente) nuevos valores de las variables en estudio. Cuando el nuevo dato a calcular se escapa del rango de valores medidos, se habla de extrapolación; en caso contrario de interpolación. En el siguiente ejemplo, se ilustran estas ideas. 1. Definición del problema En un estudio sobre un tipo especial de langosta (Homarus gammarus), se establecieron 3 variables de interés: Instituto de Matemática y Física 100 Universidad de Talca

8 Resumen de contenidos t: Temperatura del medio ambiente (medida en C). R: Razón de consumo de oxígeno (medida en ml/h). C: Concentración de oxígeno (medida en ml/l) Como solamente se pueden graficar situaciones en dos variables, se debe fijar (dejar constante) una de ellas. En este caso, se hizo el estudio a una temperatura ambiental (controlada) de 15 C. Luego, la temperatura, al ser constante, deja de ser una variable. Con esta información el problema a resolver es: Determinar si existe una dependencia funcional entre la razón de consumo de oxígeno y la concentración de oxígeno.. Recopilación de datos Luego, se midieron algunos valores de las variables R y C. Los datos obtenidos, vienen dados en la siguiente tabla: R C 0,015 0,80 0,0190 1,30 0,075,00 0,0410,90 0,0530 4,00 0,0680 5,10 3. Gráfico de datos obtenidos Eligiendo como variable independiente a C, se tiene: Gráfico de los datos recopilados Instituto de Matemática y Física 101 Universidad de Talca

9 Resumen de contenidos 4. Buscar un modelo En este caso es claro que los datos graficados, presentan un comportamiento lineal. Determinemos la ecuación de esta función lineal. Para ello, se eligen dos puntos de la recta buscada. Elijamos, por ejemplo, los puntos (1, 30, 0,0190) y (5,10, 0,0680). Cálculo de la pendiente: 0,0190 0,0680 1,30 5,10 0,013 Ecuación de la recta buscada: R 0,0190 = 0,013(C 1,30), luego el fenómeno estudiado viene modelado por la ecuación cuyo gráfico es: R = 0,013C + 0,01 Gráfico de la función lineal que modela la situación 5. Interpolación Supongamos que ahora se desea calcular R para el valor de C =,5 (que no está en la tabla de valores calculados, pero si está entre el mínimo y máximo valor calculado): R = 0,013,5 + 0,001 0,035 es decir, se tiene que cuando la concentración de oxígeno es de,5ml/l, la razón de concentración del oxígeno es de 0,0035ml/h. Instituto de Matemática y Física 10 Universidad de Talca

10 Resumen de contenidos 6. Extrapolación Supongamos que ahora se desea calcular R para el valor de C = 7, (que no aparece en la tabla de valores calculados, está fuera del rango): R = 0,013 7, + 0,001 0,096 es decir, se tiene que cuando la concentración de oxígeno es de 7,ml/L, la razón de concentración del oxígeno es de 0,096ml/h. Instituto de Matemática y Física 103 Universidad de Talca

11 Ejemplos 4.5. Ejemplos 1. Sabiendo que una función lineal y = f(x) satisface que f( 1) = 7 y f(1)=3: a) Determinar la función lineal y = f(x). b) Encontrar las intersecciones del gráfico de esta función lineal con los ejes coordenados. c) Graficar la función lineal y = f(x). Solución: a) Como f es lineal tiene la forma f(x) = ax + b. Como f( 1) = 7: 7 = a ( 1) + b = a + b Como f(1) = 3: 3 = a (1) + b = a + b Resolviendo el sistema: a + b = 7 a + b = 3 se obtiene que: a = y b = 5. Por lo tanto, la función lineal buscada es y = f(x) = x + 5 b) Intersección eje Y (x = 0): y = = 5. Luego, el gráfico de la recta corta al eje Y en el punto (0, 5). Intersección eje X (y = 0): 0 = x + 5 = x = 5. Luego, el gráfico de la recta corta al eje X en el punto (5/, 0). c) El gráfico es: Gráfico de y = x + 5. Sea: f : R R tal que x y = f(x) = x 3 5 Notar que f(x) = 5 x 3 5, luego f es una función lineal. Instituto de Matemática y Física 104 Universidad de Talca

12 Ejemplos a) Encontrar el valor de f(0) + 5f(9) b) Calcular f(a + b) f(a) f(b) c) Determinar (en caso que exista) un elemento del dominio tal que su imagen sea 3 4 d) Graficar f e) Decidir si f es inyectiva f ) Establecer si f es sobre g) En caso que f sea biyectiva, encontrar f 1 h) Decidir si f es par o impar i) Establecer si f es creciente o decreciente Solución: a) f(0) + 5f(9) = b) Calcular f(a + b) f(a) f(b) = c) Sea x Dom(f) tal que f(x) = 3 4 : = = 7 5 (a + b) 3 5 a 3 5 b 3 5 = 3 5 f(x) = 3 = x ( Por lo tanto, f 3 ) = d) El gráfico de esta función lineal es: = 3 4 = x = 3 8 e) La función f es inyectiva, pues: f(n) = f(m) = n 3 9 = m 3 9 = n = m Instituto de Matemática y Física 105 Universidad de Talca

13 Ejemplos f ) La función f es sobreyectiva. En efecto: Sea y R (Codominio). Veamos si existe un x R (Dominio) que sea preimagen de y, es decir. f(x) = y o sea x 3 9 = y de donde x = 9y + 3 Por lo tanto, para cada y en el codominio, siempre existe un x en el dominio (igual a 9y+3 ) tal que f(x) = y ó x = f 1 (y). De donde se deduce que f es sobreyectiva. g) De (e) y (f), f es biyectiva. Además, como f 1 (y) = 9y+3 se tiene que f 1 (x) = 9x+3 es la fórmula para la función inversa de f. h) Para que f sea par, debe cumplirse que f(x) = f( x), para x R. Veamos si esta condición se cumple: f(x) = x 3 y f( x) = x 3 de donde, f(x) = f( x) 9 9 sólo cuando x = 0. Por lo tanto f no es par. Este resultado también se obtiene mirando. el gráfico de f, pues en general, cuando f es par, su gráfico es una curva simétrica respecto al eje Y, situación que no acontece en este caso. Análogamente se verifica que f tampoco es impar. i) Recordar que f es creciente en un conjunto A cuando x, y A x < y f(x) < f(y). En este caso f es creciente en todo R. En efecto, sean, x, y R con x < y, entonces: x < y = x < y = x 3 < y 3 = x 3 < y = f(x) < f(y) 3. Determinar el (o los) punto(s) donde la parábola x + y = 8 se intersecta con la recta x y = 5. Solución: Para encontrar los puntos pedidos se debe resolver el sistema de ecuaciones: x + y = 8 x y = 5 Despejando x en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera se tiene que: Instituto de Matemática y Física 106 Universidad de Talca

14 Ejemplos (y 5) + y = 8, de donde y = 6 o y = 7/ Sustituyendo estos valores en la expresión de x se obtiene que: si y = 6, entonces x = 1 y cuando y = 7/, x = 3/. Luego, los puntos de intersección son ( 3, 7 ) y (1, 6). 4. Determinar el valor de k de modo que la función y = f(x) = kx + x + k intersecte al eje X en un solo punto. Solución: Los puntos donde y = f(x) intersecta al eje X cumplen la condición y = 0, luego: kx + x + k = 0 esta ecuación debe tener una única solución, para ello su discriminante debe anularse: D = 1 4k = 0 Luego, los valores de k que satisfacen la condición son ± La suma de los n primeros enteros positivos es n(n + 1), es decir, n = n(n + 1) a) Verificar la fórmula propuesta, para n =, 3 y 4. b) Calcular c) Cuántos enteros consecutivos, empezando por el 1, se deben sumar para obtener 595?. Solución: a) Observemos la siguiente tabla: n n 1 + = = = 10 n(n + 1) ( + 1) = 3 3(3 + 1) = 6 4(4 + 1) = 10 Instituto de Matemática y Física 107 Universidad de Talca

15 Ejemplos b) = = c) Se debe determinar n de modo que: es decir n(n + 1) = 595 n + n 1190 = 0 Resolviendo esta ecuación cuadrática se obtiene que n = 35 o n = 34. Luego, n = El siguiente es una porción del gráfico de la función y = f(x) = x, para valores de x entre 5 y 5: Usando los gráficos de funciones relacionadas, obtener los gráficos de: a) y = x b) y = x + 10 c) y = (x ) d) y = (x + 4) 10 e) y = 3x d) y = y = (x ) 10 Solución: (a) (b) Instituto de Matemática y Física 108 Universidad de Talca

16 Ejemplos (c) (d) (e) (f) 7. Dentro de ciertos límites, la deformación de un resorte varía linealmente con la fuerza aplicada. Si un resorte, cuya longitud natural es de 15cm, se estira,0cm cuando se le aplica una fuerza de 3,0N. a) Hallar la ecuación que relaciona la longitud del resorte y la fuerza aplicada. b) En cuántos centímetros se estira el resorte si se aplica una fuerza de 3,45N?. c) Qué fuerza hay que aplicar para que el resorte se estire 4cm?. Solución: a) Se debe encontrar L = f(f ) = af + b, donde F es la fuerza aplicada (en N) y L su longitud (en cm). De acuerdo a la información entregada: f(0) = 15 y f(3) = 17. De f(0) = 15: b = 15 De f(3) = 17: 3a + 15 = 17. De donde, a = 0,67. Por lo tanto, la función lineal buscada es L = f(f ) = 0,67F + 15 b) L = 0,67 3, = 17. Por lo tanto, el resorte se estira cm, si se aplica una fuerza de 3,45N. Instituto de Matemática y Física 109 Universidad de Talca

17 Ejemplos c) 19 = 0,67F + 15, de donde F = 6,0. Por lo tanto, para que el resorte se estire 4cm hay que aplicar una fuerza de 6,0N. 8. Se deja caer una piedra en un estanque en calma y se forman ondas circulares concéntricas. El radio (en cm) de la onda exterior es r(t) = 0, 6t, siendo t el tiempo en segundos transcurrido desde la caída de la piedra. El área de un círculo es A(r) = πr. a) Calcular el área del circulo para t = 1,5seg b) Interpretar (A r)(t) c) En qué momento el área del circulo es de 7,5cm? Solución: a) En t = 1,5seg, r = 0,6 1,5 0,9. Luego, el área del circulo es π(0,9),5cm b) (A r)(t) = A(r(t)) = A(r(t)) = A(0, 6t) = π(0, 6t) 1,1t. Luego, (A r)(t) representa el área del circulo en el instante t. c) Si A = 7,5, se tiene 1,1t = 7,5. De aquí, t = ±5. Por lo tanto, 5 segundos después de la caída de la piedra, el área es 7,5cm. Gráficos de r = r(t) = 0,6t y A = A(t) = 1,1t 9. La capacidad calórica (en Joules por kilogramo) de un líquido orgánico está relacionada con la temperatura (en grados Celsius) mediante la ecuación lineal C p = ,73 T, considerando para la temperatura un rango de variación de 40 C a 10 C. a) Completar la siguiente tabla de valores: C p T 160 Instituto de Matemática y Física 110 Universidad de Talca

18 Ejemplos b) Dibujar la gráfica de la ecuación. c) Verificar gráficamente que esta ecuación no satisface los datos experimentales que estén por encima de 3000 Joules por kilogramo. Solución: a) Sustituyendo en la ecuación propuesta, se obtiene: C p T b) Una gráfica de la ecuación es: c) Observando el siguiente gráfico, se deduce que el rango de valores que recorre la capacidad calórica C p va desde 130,8 a 887,6. Luego, la ecuación propuesta no satisface datos experimentales que estén por encima de 3000 Joules por kilogramo. Rango de la función C p Instituto de Matemática y Física 111 Universidad de Talca

19 Ejemplos 10. La altura s (en metros y medida desde el suelo) de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, desde el centro de la cima de un edificio de 100 metros de altura, viene dada por s = s(t) = 16t + 96t donde t es el tiempo expresado en segundos. a) En qué instante el objeto está a 100m de la cima del edificio? b) Cuál es la máxima altura que alcanza el objeto?, en qué instante la alcanza? c) En qué intervalo de tiempo el objeto se mueve hacia arriba? y hacia abajo? d) Determinar la distancia total recorrida por el objeto. Solución: a) Para que el objeto esté a 100m de la cima del edificio, su distancia al suelo debe ser 00m, es decir s(t) = 00. Resolviendo esta ecuación se obtiene t 1,34 y t 4,66. Por lo tanto, el objeto está a 100m de la cima del edificio a los 1,34seg y 4,66seg después de haber sido lanzado. En el primer instante el objeto va subiendo y en el segundo, bajando. b) La máxima altura alcanzada por el objeto se encuentra en la ordenada del vértice de la parábola que describe su posición, s = s(t). Usando la fórmula del vértice se encuentra que éste es (3, 44). Luego, la máxima altura alcanzada (medida desde el suelo) es 44m. c) Como el vértice de la parábola es (3, 44) se tiene que en los primeros 3 segundos el objeto está subiendo. Para encontrar el tiempo que el objeto esta cayendo, veamos cuando (de nuevo) s(t) = 100. Resolviendo esta ecuación se obtiene t = 0 y t = 6. En t = 0 el objeto se lanza, luego el objeto vuelve a la cima a los 6seg. Por lo tanto, el objeto se mueve hacia abajo entre los 3 y 6 segundos. d) Como la máxima altura alcanzada por el objeto es de 44m, se tiene que la distancia total recorrida por el objeto es de 44m = 488m. 11. Cuando se lanza un proyectil desde el origen de coordenadas, con velocidad v 0 y en la dirección de la recta y = mx, la trayectoria que sigue su movimiento viene modelada por la siguiente función cuadrática y = mx g v 0 (1 + m )x ( ) donde y representa la altura del proyectil (en metros), x representa el desplazamiento horizontal del proyectil (en metros) y g la aceleración de gravedad (considerar g 10m/seg ). Si el proyectil se lanza con una velocidad de 40m/seg: Instituto de Matemática y Física 11 Universidad de Talca

20 Ejemplos a) Verificar que la ecuación de la trayectoria puede ser escrita en la forma: y = 1 + ( m 30 x x 30m ) 1 + m b) Si el proyectil se lanza en la dirección de la recta y = x: i) Determinar la ecuación de la trayectoria. ii) Calcular la máxima altura alcanzada por el proyectil c) Dibujar las trayectorias correspondientes a diversas rectas de lanzamiento. Solución: a) Sustituyendo los valores de g y v 0 = 40 en ( ): y = mx (1 + m )x = mx 1 30 (1 + m )x = 1 + m 30 x ( x 30m 1 + m b). i) En este caso m = 1, luego y = 1 + ( 1 30 x x 30 1 ) = 1 x(x 160) 160 ii) Calculando la ordenada del vértice de la parábola encontrada se obtiene que y = 40. Por lo tanto, la máxima altura alcanzada por este proyectil es de 40m. c) En el siguiente esquema se muestran los gráficos para m = 0,5, m = 1, m =, m = 3 y m = 4. ) Instituto de Matemática y Física 113 Universidad de Talca

21 Ejemplos 1. Al lanzar un proyectil verticalmente hacia arriba, se mide la altura del proyectil (en metros) en diferentes instantes (en segundos) después de lanzado, obteniendo la siguiente tabla de valores: t ,4 10 d a) Graficar los datos de la tabla de valores obtenidos. b) En base a la distribución de puntos obtenidos, qué tipo de función podría modelar razonablemente la situación planteada? c) Obtener una expresión de la función propuesta. d) Graficar la función encontrada, en el mismo sistema usado para (a). e) Interpolación: A que altura se encuentra el proyectil a los 9seg de ser lanzado? f ) Extrapolación: En qué momento el proyectil vuelve al suelo? Solución: a) Graficando los datos dados, se obtiene: b) La función que podría modelar razonablemente la situación planteada es una función cuadrática. c) La función cuadrática buscada es de la forma: d = f(t) = at + bt + c Para determinar los coeficientes a, b y c de esta función, elijamos 3 puntos de la tabla dada. Se trabaja con los puntos (0, 4), (5, 9) y (10, 3): Como f(0) = 4, se tiene que c = 4. Considerando que f(5) = 9 y f(10) = 3, se obtiene el siguientes sistema de ecuaciones. Instituto de Matemática y Física 114 Universidad de Talca

22 Ejemplos 5a + 5b = 5 100a + 10b = 1 Resolviendo este sistema se obtiene a = 0, y b =,1. Por lo tanto, la función cuadrática que modela la situación es: d) El gráfico que modela la situación es: d = f(t) = 0,t +,1t + 4 e) A los 9seg. de ser lanzado, el proyectil se encuentra a f(9) = 5,1m de altura. f ) El proyectil vuelve al suelo aproximadamente a los 11,seg. Instituto de Matemática y Física 115 Universidad de Talca

23 Ejercicios 4.6. Ejercicios 1. El perímetro de un campo de 50 m de anchura y l metros de longitud es p = l. Para qué valor de l es el perímetro igual a 450 m?. La resistencia eléctrica de cierto resistor se incrementa en 0,005Ω por cada incremento de 1 C. Dado que su resistencia es de, 000Ω a 0 C, hallar a) la ecuación que relaciona la resistencia (R) y la temperatura (t). b) la resistencia cuando la temperatura es de 50 C 3. Un artículo que cuesta $9 se vende en $5 y otro que cuesta $99 se vende en $14. Si la política general de precios viene dada por una función lineal. a) Encontrar una función que represente el precio, p, de venta en términos del costo c. b) Determinar el costo de un artículo que se vende en $80. c) Encontrar el precio de venta de un artículo que cuesta $ En pruebas de dietas experimentales para ciertos animales, se determinó que el peso promedio de ellos era una función lineal del número de días posteriores al inicio de la dieta; la dieta tuvo una duración máxima de 100 días. Si el peso de un animal al comienzo de la dieta (d = 0) era de 0Kg y después subió 6,6Kg cada 10 días. a) Determinar el peso P como función del número de días d posteriores al inicio de la dieta. b) Calcular el peso de un animal 50 días después de haber comenzado la dieta. c) Determinar el peso que registrará un animal al final del máximo período de dieta. 5. Dada la siguiente función cuadrática g(x) = x + 3x +, se pide determinar, responder o encontrar: a) Su dominio y codominio. b) Pre-imágenes del. c) Pre-imágenes del 4. d) Su recorrido. e) Sus intersecciones con el eje X. f ) Algebraicamente, los puntos de intersección de los gráficos de y = g(x) y la función y = h(x) = x + 1 Instituto de Matemática y Física 116 Universidad de Talca

24 Ejercicios g) Su gráfico. ( ) n(n + 1) 6. La suma de los cubos de los n primeros enteros positivos es, es decir, ( ) n(n + 1) n 3 = a) Verificar la fórmula propuesta, para n =, 3 y 4. b) Calcular c) Cuántos cubos de enteros consecutivos, empezando por el 1, se deben sumar para obtener 76176?. 7. Un cohete es disparado, desde la base de una colina, hacia lo alto de ella (ver figura). La colina que tiene una pendiente igual 1 (con respecto a la horizontal del suelo) y la 5 trayectoria del cohete viene dada por x e y en metros. y = 0,016x + 16x a) A qué distancia de la horizontal del suelo toca la colina el cohete? b) Cuál es la altura máxima que alcanza el cohete (sobre el suelo)? 8. El ozono se presenta en todos los niveles de la atmósfera terrestre y su densidad varía según la estación del año y la latitud. En cierta ciudad la densidad D en función de la altitud h (en km), viene dada por D = D(h) = 0,058h +,867h 4,39 determinar la altitud a la cual la densidad del ozono es máxima. Instituto de Matemática y Física 117 Universidad de Talca

25 Ejercicios 9. Al lanzar un objeto horizontalmente desde el techo de un edificio, dicho objeto describe una trayectoria parabólica según la ecuación: y = g v x donde g 10 m (aceleración de gravedad); v denota la velocidad de lanzamiento seg horizontal en m. Tanto x como y se suponen dados en metros. seg a) Si v = m y la altura del edificio es de 40m. a qué distancia del pie del edificio seg el objeto golpea al suelo?. b) Para el mismo edificio anterior se desea que el objeto golpee al suelo a 10m del pie del edificio, con qué velocidad debe ser lanzado? 10. Desde la ventana de su casa, Jorge arroja una piedra verticalmente hacia arriba. Sabemos, por lo aprendido en Física, que la función que describe la altura de la piedra (expresada en metros) en función del tiempo (expresado en segundos) es: y = h(t) = 5t + 10t + 8. El siguiente es un esquema de la situación, acompañado por un gráfico de la función y = h(t): a) Para qué valores de t es válida la función y = h(t), es decir, representa la altura de la piedra? b) A qué altura está la ventana desde donde se arroja la piedra?, Qué valor de t permite calcular la altura? c) Indicar en el gráfico los puntos correspondientes a las posiciones de la piedra marcadas del (1) al (4). Para cada una, indicar la altura y el tiempo que tardó, desde que fue arrojada, en llegar a esa altura. Instituto de Matemática y Física 118 Universidad de Talca

26 Ejercicios d) La velocidad de la piedra (expresada en m/seg) se puede determinar en cada instante por la función v = v(t) = 10 10t, donde t es el tiempo en segundos, desde que se la arrojó. Graficar esta función, para el intervalo de tiempo desde que se arroja la piedra hasta que llega al suelo. Tomar en cuenta el esquema anterior, y relacionar el signo de v y el sentido en que se mueve la piedra. A qué velocidad llega la piedra al suelo? 11. De entre todos los rectángulos de perímetro 8cm, determinar el que tiene área máxima. 1. Se dispone de una hoja triángular de cartulina como en la figura. De ella se quiere sacar un rectángulo, cortando como se indica en la siguiente figura. Determinar las longitudes del rectángulo de mayor área que se puede obtener de esta manera. 13. Al hacer un estudio entre dos variables x e y, se ha obtenido la siguiente tabla de valores: x 5 7, y ,5 a) Graficar los datos de la tabla de valores obtenidos. b) En base a la distribución de puntos obtenidos, qué tipo de función podría modelar razonablemente la situación planteada? c) Obtener una expresión de la función propuesta. d) Graficar la función encontrada, en el mismo sistema usado para (a). e) Interpolación: cuál es el valor de y cuando x = 4? f ) Extrapolación: cuál es el valor de y cuando x = 13? Instituto de Matemática y Física 119 Universidad de Talca

27 Ejercicios 4.7. Respuestas a los ejercicios 1. l = 175m. a) R = 0,005t +,000 b) R =,5Ω 3. a) p = c + 43 b) c = 37 c) p = a) P = 0,66d + 0 b) P = 53Kg c) P = 86Kg 5. a) Dom(g) = R, Rec(g) =], 5/8] c) El 4 no tiene preimagen e) ( 1/, 0) y (, 0) g) Gráfico: 6. b) 305 c) 3 7. a) 197,5m b) 4000m 8. 4,7km 9. a) 4 m b) 5 m/seg Gráfico de y = g(x) = x + 3x + Instituto de Matemática y Física 10 Universidad de Talca

28 Ejercicios 10. a) [0, /5] [0, 3,57] c) Punto (1): Altura = 3,6875m, tiempo = 0,75seg Punto (3): Altura = 14m, tiempo =,95seg 11. Cuadrado de lado 7cm. 1. Rectángulo de a) Grafico de los datos dados: b) La función que podría modelar razonablemente la situación planteada es una función lineal. c) Tomando de referencia los puntos (, ) y (11; 5, 5) la función lineal buscada es d) El gráfico que modela la situación es: y = f(x) = 0,39x + 1, e) y =,78 f ) y = 6,9 Instituto de Matemática y Física 11 Universidad de Talca