Nota de Clase 2 Sistemas de Ecuaciones: Estimación

Transcripción

1 Nota d Clas Sstmas d Ecacons: Estmacón ntrodccón La stmacón d n sstma d cacons s l procso mdant l cal s posbl obtnr stmadors consstnts fcnts d los parámtros strctrals d las cacons q conforman l sstma Psto d sta manra, l problma d stmacón conllva a q l nvstador ralc na sr d prntas prvas a los procsos nradors d datos q caractrzan al sstma La prmra prnta q s db hacr l nvstador stá rfrda a la dntfcacón dl sstma Solo n l caso d sstmas xactamnt dntfcados o sobr-dntfcados srá posbl rcprar los parámtros d ntrés Caso, contraro l nvstador solo podrá stmar las formas rdcdas dl sstma, procdmnto q s bn pd sr útl para prdcr las varabls ndónas o stablcr rlacons d stas con las xónas dl sstma rslta nfrctoso para obtnr na adcada caractrzacón d la strctra conómca bajo análss Como rsolvr sta prnta a f dsctdo n la nota d clas La snda prnta sr na vz q s ha lorado dntfcar al sstma tn q vr con rsolvr los potncals problmas d stmacón Así, l nvstador stará ntrsado n valar la xstnca o no d varabls ndónas n l sstma cov la corrlacón ntr los rrors d las dfrnts cacons E, j x La prsnca d tals condcons n l sstma son las q arán la lccón dl nvstador ntr los métodos d stmacón a sr dsctdos n sta nota clas Ha q notar d la dscsón prva q n procdmnto q rsltaría atractvo para l nvstador no famlarzado con las técncas d stmacón d los sstmas d cacons s stmar las formas rdcdas n sstma dntfcados mdant MCO lo rsolvr las fncons f para hallar los parámtros strctrals Sn mbaro, st procdmnto pd rsltar norroso por lo q las técncas d stmacón q s prsntan n sta nota d clas prmtn vtar l so d papl lápz al stmar drctamnt los parámtros strctrals Más aún, s s q s prtnd hacr nfrnca sobr los parámtros sar papl lápz no sría l procdmnto más adcado toda vz q las fncons f no solo dbrán tlzars para ncontrar los parámtros strctrals sno admás las dsvacons stándar d cada no d llos, procdmnto doblmnt norroso Asmsmo, como s mnconó prvamnt, cando los rrors d las cacons strctrals s ncntran corrlaconados mplar MCO n las formas rdcdas pd rsltar n n procdmnto mnos fcnt q tlzar técncas d stmacón smltana En pocas palabras, conocr las técncas d stmacón asocadas a los sstmas d cacons prmt amplar l abanco d posbldads d stmacón dl q s dspon con l objtvo d mjorar posblmnt la consstnca fcnca d los stmados Al rspcto, xstn múltpls métodos d stmacón q han sdo dsarrollados por la

2 ltratra vr Grn, 3 Wooldrd, para na dscsón ampla d todas llas En sta nota d clas nos cntrarmos n catro métodos q son los más sados n las aplcacons mpírcas: MCO cacón por cacón, MCE mínmos cadrados n dos tapas, MC3E mínmos cadrados n trs tapas MCG/SUR mínmos cadrados nralzados para cacons aparntmnt no rlaconadas Asmsmo, s prov na dscsón d cómo lr ntr cada no d llos Dfncons prvas Consdérs n sstma d cacons como x x x x x x x k k k k x k x k dond los parámtros s normalzan a - Es dcr, los parámtros d la varabl n la cacón Asmsmo, s dfn como l vctor d varabls xplcatvas xónas n la cacón como l vctor d varabls xplcatvas ndónas n la cacón Con stas dos condcons fnals s staría spcfcando n sstma más nral q los antrors dond los rrsors ncldos n cada na d las cacons pd dfrr D st modo, l sstma pd sr xprsado como q n térmnos matrcals toma la forma Nóts l cambo n l ordn d las matrcs para prsntarlo n forma vctoral Estos cambos no altran las conclsons a las q s llaron n la nota d clas son ralzados smplmnt para facltar las opracons d albra matrcal Nóts q s han ntrodcdo las matrcs q hacn rfrnca a aqllas matrcs q acompañan a las ndónas ncldas n cada cacón Dcho d otro modo, son matrcs d parámtros strctrals rsltants lo d normalzar los parámtros ornals dspjar las varabls ndónas por sr xplcadas n cada cacón

3 o dl msmo modo 3, U 3 x x x x x x S s ralza l análss sólo para la cacón o para la cacón d modo nral, s tn q x x x k Asmndo q n sta cacón partclar dl sstma s han ncldo - rrsors ndónos k rrsors xónos Nvamnt n forma matrcal s tn q k 4 nx nx x nxk kx nx dond n rprsnta al númro d obsrvacons tlzadas n la stmacón Lo, s dfnn las matrcs W [ nx k] [ k x] la cacón qda dfnda d la snt manra W 5 dond la matrz d parámtros strctrals s la q s ntnta stmar, la cal contn +k parámtros strctrals 4 Ralzar la stmacón para la matrz 3 Nóts q cando las matrcs tnn l sbíndc, los armntos d cada na d llas son scalars Mntras tanto, cando no stá st sbíndc los armntos son sb-matrcs En otras palabras l sstma nral sn sbíndc stá xprsado n térmnos d matrcs partconadas l sstma ndvdal con sbíndc n térmnos d matrcs normals 4 Nóts q s s q l númro d rrsors ndónos xónos ncldos n cada na d las cacons s l msmo, l númro d parámtros strctrals por stmar s +k- Es dcr, l númro al q s lló n la nota d clas

4 prmtrá obtnr los parámtros strctrals d forma drcta sn rcrrr a stmacons d la forma rdcda tlzar lo papl lápz Nóts admás q la stmacón d sta matrz ndpndntmnt d la técnca tlzada tndrá na matrz d varanza covaranza asocada por lo q las dsvacons stándars d los stmadors podrán tambén sr dntfcados S s q s dfn la rlacón 5 para cada na d las cacons dl sstma s obtndrá W U 6 x x x x o lo q s lo msmo W W W Parallamnt, dfnmos q cada rror d cada na d las cacons tn s propa matrz d varanza-covaranza Lo pd dfnrs Var cov, cov, cov, Var cov, Var U 5 cov, cov, Var, dond n la daonal prncpal s obsrvan las matrcs varanza-covaranza d los rrors d cada cacón n las tranlars las covaranzas ntr los rrors d dstntas cacons 3 Estmadors típcos d sstmas d cacons En bas a las dfncons d la sccón antror, srn los snts casos d stmacón a Caso : MCO cacón por cacón Sa cov, ; Var ; W j ; por lo q n n sstma como st no ha corrlacón ntr los rrors d dfrnts cacons no ha varabls ndónas n l sstma D st modo, no xst nnna fnt d smltandad ntr las cacons dl sstma por sr stmado Admás, la varanza dl rror d cada cacón s homocdástco Así, la matrz toma la snt forma

5 nxn nxn nxn U Var l sstma por stmar s Cada na d las cacons d st sstma cmpln las condcons dl modlo lnal nral Sn mbaro, xst htrocdastcdad rpal Por llo, l método d stmacón por dsarrollar dbrá corrr st problma por lo q s planta na stmacón d MCG En forma matrcal x x x x U Lo s dfn l stmador x x x x x x x Para l caso n q =

6 MCO MCO,, S dmstra q bajo stas crcnstancas s posbl stmar por MCO cada na d las cacons dl sstma por sparado als stmadors ofrcrán rsltados consstnts fcnts vr Grn, 3 b Caso : MCG cacón por cacón Sa j W Var ; ;, cov ; por lo q n n sstma como st no ha corrlacón ntr los rrors d dfrnts cacons no ha varabls ndónas n l sstma D st modo, no xst nnna fnt d smltandad ntr las cacons dl sstma por sr stmado Sn mbaro, dfr dl caso antror n la mdda q los rrors d las cacons ndvdals prsntan htrocdastcdad La matrz toma la snt forma nxn nxn nxn U Var l sstma por stmar s Nóts q n st caso xst tanto htrocdastcdad rpal como ndvdal El método d stmacón por dsarrollar dbrá corrr ambos problmas Para llo, s planta n stmador d MCG smlar al dl caso antror En forma dcr, x x x x x x x Para l caso n q =

7 MCG MCG,, S dmstra q bajo stas crcnstancas s posbl stmar por MCG cada na d las cacons dl sstma por sparado En térmnos práctcos, l procdmnto stándar s stmar los parámtros con MCO corréndolos por htrocdastcdad por jmplo, tlzando l procdmnto d Wht/Hbr s s q n plantamnto ornal s dmstra la xstnca d sta prtrbacón no sférca por jmplo, mdant l dsarrollo d prbas d hpótss sobr la constanca d la varanza dl rror 5 La matrz d corrccón q tlza st procdmnto s m smlar al caso stándar d MCG factbls D st modo, la stmacón d Wht/Hbr no s otra cosa q la matrz d rrors cadrátcos q s obtn d la stmacón MCO n Los stmadors rsltants lo d aplcar MCG factbls srán consstnts fcnts vr Grn, 3 A partr dl caso caso a s pd nsaar na conclsón: cando no haa rlacons d smltandad ntr las cacons no s ncsaro ralzar na stmacón dl sstma; basta con stmar tlzando MCO cacón por cacón o por MCG factbls cando haa q corrr por htrocdastcdad ndvdal para obtnr stmadors consstnts fcnts c Caso 3: MCE 5 Por jmplo, alnas prbas d hpótss dsponbls son l LR tst, la prba d Sparman, la prba d Goldfld Qandt, la prba d Gljsr, la prba d Park, la prba d Harv, l tst d Wht, la prba d rsch-paan El lctor no famlarzado con stas prbas pd rvsar Castro Rvas-Losa 3

8 Sa cov, ; Var ; W j ; por lo q n n sstma como st no ha corrlacón ntr los rrors d dfrnts cacons los rrors d cada cacón ndvdal son homocdástcos Sn mbaro, xst na fnt d smltandad ntr las cacons al xstr varabls ndónas al lado drcho d la cacón La matrz toma la snt forma Var U nxn nxn nxn Conocmos q l modlo toma la forma o n térmnos matrcals U x x x x x x d st modo para la cacón, s pd dmostrar q nx nx x nxk kx nx Sn mbaro, dado q xstn rrsors stocástcos al lado drcho d la cacón, rsltará útl xprsarlo n térmnos d s forma rdcda Para llo, convn rcprar l modlo ornal ants d la normalzacón x U x x x x x xprsarlo n s forma rdcda V x x x x q para la cacón, toma la forma

9 v nx nxk kx nx La forma rdcda a pd sr stmada mdant MCO para hallar los parámtros d modo q Lo s procd a hallar las proccons Est procdmnto s pd rptr para cada na d las varabls constr la matrz Así, rmplazando n la cacón ornal d modo q s nx nx x nxk kx nx sta xprsón a staría n térmnos d varabls xónas por lo q s procd a constrr W [ nx k] [ k x] la cacón qda dfnda d la snt manra W rplcando st procdmnto para cada na d las cacons dl sstma, s pd hallar W U x x x x D st modo, l stmador MCE qda dfndo como MCE W W W Para l caso n q =, MCE W W W, MCE

10 , E MC, E MC Por xtnsón, E MC D st modo E MC E MC E MC,, El stmador d MCE rsltará aql fcnt consstnt bajo las condcons ncals dl modlo xpsto vr Grn, 3 En rsmn, l stmador MCE toma s nombr dbdo a q s cálclo rslta d ralzar dos tapas n l procso d stmacón En la prmra tapa, s nstrmntalzan las varabls ndónas dl modlo Esta nstrmntalzacón s m smlar al procdmnto d varabls nstrmntals V para modlos ncaconals Para llo, l modlo mlt-caconal db prsntars n forma rdcda; s dcr, las varabls ndónas dbn prsntars n térmnos d las varabls xónas D st modo, cada na d las ndónas dl sstma stará xprsada n térmnos d ODAS las xónas Es mportant notar n st paso q ornalmnt NO ODAS las varabls xónas dl sstma habían sdo ncldas n las cacons strctrals ndvdals Por llo, la forma rdcda prmtrá q s cmplan las condcons d sobrdntfcacón, ncsaras para la stmacón d V 6 Dadas stas condcons d sobrdntfcacón, s podrá stmar por MCO la forma rdcda obtnr las proccons d las varabls ndónas A cada na d stas proccons s ls conoc como varabls ndónas xonzadas En la snda tapa los rrsors stocástcos d las cacons strctrals son rmplazados por las nvas varabls xonzadas Dado q ahora todo l sstma stá n térmno d rsors no stocástcos, pd aplcars nvamnt MCO para hallar lstmador fnal La stmacón conjnta d la tapa s lo q s conoc como los stmadors MCO/V o n st contsto l MCE Al al q n l caso d MCO/V, n la aplcacón d MCE dbn cmplrs los spstos d rlvanca xondad d nstrmntos Es dcr, s dbn ralzar las 6 Por jmplo, las varabls xónas ncldas n la cacón pro omtdas n la cacón actarán como los nstrmntos dl procdmnto stándar

11 prbas d hpótss prvas ncsaras para comprobar la valdz dl procdmnto En l prmr caso, s rcomnda l so d la rl of thmb d Stock Watson 3 n l sndo caso na prba d sobrdntfcacón a lo Saran o l tst J Una xplcacón dtallada d cómo ralzar stas prbas s xplca n Stock Watson 3 Asmsmo, como s xplca n Grn 3 tlzar la prba d Hassman para vrfcar la xondad d las varabls s smpr n procdmnto útl Una propdad ntrsant d st stmador s q pd sr stmado para na cacón sn tomar n cnta q scd con l rsto d cacons Gjarat, Por jmplo, s s q s posbl xprsar na d la cacons n fncón d ss ndónas xónas s contnn sfcnts nstrmntos para nstrmntalzar las ndónas prsnts n l sstma la aplcacón d st stmador d V srá consstnt fcnt para los parámtros d la cacón d ntrés Sn mbaro, los parámtros strctrals dl rsto d cacons no podrían sr stmados Fnalmnt, s útl notar q ant la prsnca d htrocdastcdad n las cacons ndvdals s posbl ralzar na corrccón por MCG sn altrar l procdmnto dscrto antrormnt La altrnatva a la mano s corrr las matrcs d varanza covaranza mdant l stmador robsto d Wht/Hbr d Caso 4: SUR, rrsons aparntmnt no corrlaconadas Sa cov, ; Var ; W j j En st sstma los rrors d cada na d las cacons ndvdals son homocdástcos Asmsmo, anq no xstn varabls ndónas como xplcatvas, como fnt d smltandad s dntfca na corrlacón ntr los rrors d las cacons strctrals Jstamnt por sta razón s q l stmador s llama SUR rrsón aparntmnt no corrlaconada, por ss slas n nlés: la fnt d smltandad no s tan vdnt como n l caso antror La matrz toma la snt forma Var U Lo, l sstma por stmar toma la snt forma

12 Cada na d las cacons d st sstma cmpln las condcons dl modlo lnal nral al al q n l caso, xst htrocdastcdad rpal Por llo, d modo smlar a st caso s planta na stmacón por MCG como strata para sprar st problma En forma matrcal l sstma s U x x x x Lo s dfn l stmador SUR x x x x x x Sn mbaro, n la práctca la matrz s dsconocda por lo q s rqr stmar El procdmnto tlzado n l contxto SUR s m smlar a la corrccón por Wht/Hbr a dsctda n l caso Así, s planta la snt matrz / n / n / n / n / n / n / n / n / n q hac rfrnca a la matrz d varanzas covaranzas d los rrors d stmados d cada na d las cacons ndvdals Por llo, n bas a sta caractrístca s q normalmnt l stmador SUR tambén s dfn como n stmador n dos tapas En la prmra, s stman cada na d las cacons ndvdals por MCO nóts q l procdmnto s posbl a q no ha rrsors stocástcos En bas a stos rsltados s compta la matrz Así, para l sstma s tn q, MCO, MCO, MCO, MCO dond, lo q prmt constrr En la snda tapa s calcla n stmador d MCG ncorporando la matrz Al ralzar d manra conjnta ambas tapas prmt obtnr stmador SUR x x x x x x SUR

13 Sn mbaro, cándo s ncsaro ralzar na stmacón SUR? La rspsta s bastant obva: cando s dmstr la xstnca d corrlacón ntr los rrors Para llar a sa conclsón, s dspon d la snt prba d hpótss rsch Paan n j r j ~ dond r j j s l cofcnt d corrlacón nt los rrors stmados por MCO d las cacons j Lo, sndo H o H jj : s daonal : no s daonal S prtnd vrfcar SUR MCO Solo al rchazar la Ho o vrfcar q la matrz s daonal s aplca l stmador SUR q rslta consstnt fcnt vr Grn, 3 Es mportant notar trs caractrístcas d st procdmnto Prmro, s s q no xst corrlacón ntr los rrors, l stmador colapsa a n stmador MCO cacón por cacón Sndo, s s q las varabls xónas ncldas n cada na d las cacons ndvdals son las msmas, los stmadors SUR MCO son déntcos nclso n valor por lo q la stmacón SUR tambén pd sr rmplazada por la stmacón MCO cacón por cacón n st caso rcro, s s q los rrors d las cacons ndvdals son htrocdástcos, l stmador SUR db xtndrs para ncorporar na stmacón por MCG n la prmra tapa n lar d MCO Est nvo stmador MCG/SUR srá aqél fcnt consstnt vr Wooldrd, Grn, 3 para las dmostracons d stos armntos Val la pna amplar q s lo q ocrr n st últmo caso Ahora las caractrístcas cov, ; Var ; W dl modlo son La matrz toma la snt forma j j

14 U Var En st caso, l stmador tomará na forma bastant smlar / x x x x x x SUR MCG las dfrncas provnn al momnto d stmar n n n n n n n n n / / / / / / / / / dond n q s la matrz q s tlzó para corrr por htrocdastcdad n l caso Caso 5: MC3E Sa j j W Var ; ;, cov En st sstma los rrors d cada na d las cacons ndvdals son homocdástcos Asmsmo, xstn dos fnts d smltandad: prsnca d varabls ndónas como xplcatvas corrlacón ntr los rrors d las cacons strctrals El stmador d MC3E propon na mtodoloía para corrr por ambas fnts d manra conjnta Como s nt, st stmador combnará los procdmntos dl MCE dl modlo SUR Jstamnt, sta s la natralza d las tapas q dfnn al procdmnto: las dos prmras smlars al MCE la trcra smlar al SUR La matrz toma la snt forma

15 Var U Conocmos q l modlo toma la forma Lo, hacndo las msmas transformacons q n l caso 3, s obtn la forma strctral dl sstma x U x x x x x q n s forma rdcda s V x x x x para la cacón, toma la forma v nx nxk kx nx Así, la prmra tapa d la stmacón consst n stmar mdant MCO los parámtros d modo q s procd a hallar las proccons procdmnto q s rpt para cada na d las varabls la matrz d modo q s constr En la snda tapa, s rmplazan las xprsons por las n la cacón ornal s obtn

16 nx nx x nxk kx nx sta xprsón a staría n térmnos d varabls xónas por lo q s procd a constrr W [ nx k] [ k x] la cacón qda dfnda d la snt manra W rplcando st procdmnto para cada na d las cacons dl sstma, s pd hallar W U x x x x En bas a st modlo l stmador MCE qda dfndo como MCE W W W Nóts q stas dos prmras tapas son jstamnt las q s sron para hallar l stmador MCE Fnalmnt, para dsarrollar la trcra tapa, db ntndrs q l stmador objtvo tomará la forma W W W MC3E dbdo a la corrlacón ntr los rrors d las dfrnts cacons ndvdals Así, l objtvo s obtnr la matrz q n st caso s dfn como, MCE, MCE, MCE / n / n / n, MCE, MCE, MCE / n / n / n, MCE, MCE, MCE / n / n / n q hac rfrnca a la matrz d varanzas covaranzas d los rrors d stmados d cada na d las cacons ndvdals Sn mbaro, n st caso la stmacón no s ha ralzado por MCO sno por MCE Así,

17 W W W, MCE, MCE, MCE, MCE, MCE, MCE dond MCE W W W, lo q prmt constrr Un vz q s obtn la matrz s posbl ahora s constrr l stmador d ntrés MC3E x x x x x x Est stmador srá consstnt fcnt d acrdo con las condcons ncals dl modlo Grn, 3 Admás, dbrán tomars n cnta todas las consdracons prvamnt dsctdas n l rsto d modlos Prmro, q s cmplan las condcons d dntfcacón, rlvanca d nstrmntos xondad d los msmos al momnto d aplcar l stmador d MCE Sndo, q fctvamnt xsta corrlacón ntr los rrors, para lo cal s pd tlzar la msma prba d hpótss q s xplcó n l caso 4 rcro, s almnt posbl xtndr st stmador para l caso n q los rrors d las cacons ndvdals san htrocdástco sndo n procdmnto smlar al xplcado n l caso 4 4 Prba d hpótss Las prbas d hpótss sobr los parámtros tnn la msma strctra q n l caso ncaconal Así, pd dfnrs por jmplo H o H : 3 : a l na no s cmpl n térmnos matrcals stas rstrccons toman la forma R 3 4 r d forma nral s dfnn las rstrccons como R qxk r kx qx

18 dond R s la matrz d rstrccons, s la matrz d parámtros, r s la matrz d constants, q l númro d rstrccons q s mponnt o hpótss q s ntntan tstar k l númro d rrsors n la stmacón En bas a stas dfncons, la prba d hpótss n térmnos matrcals toma la forma para n sstma d cacons tomará la forma F R r [ R q R ] R r ~ F [ q, nk ] smplmnt bastaría con hacr la stmacón, rcprar las varanzas covaranzas d los stmadors ralzar la snt comparacón F F F F [ q, nk ] [ q, nk ] no acpto H no rchazo H o o La tldad d xprsar la prba d hpótss d st modo q pd obsrvars q la stmacón d cacons smltanas prmtn ralzar prbas sobr parámtros n dfrnts cacons Ello s s sma tldad n la mdda q n mchas aplcacons conómcas s d ntrés ralzar nfrncas sobr dos cacons strctrals dntro d n msmo sstma Nóts q la matrz s la q prmt dntfcar na matrz d varanzas covaranzas para todo l st d rrsors n dfrnts cacons, por lo q srá posbl ralzar las prbas d hpótss