DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT

Transcripción

1 Capítulo 4 Estática del sólido rígido 4.1. Introducción La estática del sólido rígido es un tema central dentro del programa de la asignatura de Fundamentos Físicos de la Arquitectura Técnica. Empezaremos recordando qué conceptos de los que vamos a manejar han sido introducidos en capítulos anteriores. En el capítulo 2 admitíamos que las fuerzas se comportan como vectores. Enunciábamos las lees de Newton lascondiciones de equilibrio de un punto material libre. Introducíamos el concepto de ligadura elprincipio de liberación, que nos facilitaba el estudio del equilibrio de sistemas de puntos materiales sometidos a ligaduras. También allí aparecían por vez primera los conceptos de configuración grados de libertad de un sistema mecánico. En el capítulo 3 definíamos sólido rígido como es un sistema de puntos materiales en el que la distancia entre dos cualesquiera de ellos no cambia ante la acción de un sistema de fuerzas. Veíamos que las fuerzas aplicadas a sólidos rígidos se comportan como vectores deslizantes (principio de transmisibilidad). Mostrábamos que cualquier sistema de fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido siempre se puede reducir a una fuerza un par Equilibrio del sólido rígido libre Sólido rígido libre Un sólido rígido libre es aquél que no está sometido a ligaduras eternas, es decir, vínculos que lo liguen a otros cuerpos. Debe notarse que entre las partículas del sólido rígido sí eisten ligaduras (internas). sólido rígido libre 101

2 102 Estática del sólido rígido FIGURA 4.1: Sólido rígido inicialmente en reposo respecto a un sistema de referencia inercial sobre el que actúa un conjunto de n fuerzas eteriores F 1, F 2,..., F n (izda.). Algunas de las fuerzas que actúan sobre la partícula i del sólido rígido (dcha.). z F n F 1 F Condiciones necesarias suficientes de equilibrio F 2 Iniciaremos el estudio de la estática del sólido rígido discutiendo las condiciones que deben satisfacerse para garantizar el equilibrio del sólido rígido libre en el espacio. En el capítulo 2 decíamos que un punto material se encuentra en equilibrio si su posición respecto a un sistema de referencia inercial elegido permanece invariable a lo largo del tiempo. Para que así fuese, mostramos que es necesario suficiente con que: El punto material esté inicialmente en reposo respecto del sistema de referencia inercial elegido. La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el punto material sea nula. Basándonos en este hecho, introduciremos a continuación las condiciones que se requieren para mantener en equilibrio un sólido rígido. Condiciones necesarias de equilibrio Supongamos un sólido rígido que está inicialmente en reposo respecto a un sistema de referencia inercial sobre el que actúa un conjunto de n fuerzas eteriores F 1, F 2,..., F n (fig. 4.1 izda.). Consideremos las fuerzas que actúan sobre una cualquiera de las N partículas que forman ese sólido rígido, la partícula i. Sobre ésta actúan dos tipos de fuerzas (fig. 4.1 dcha.): Las fuerzas eternas, que son aquéllas debidas a la presencia de campos eternos (gravitatorio, eléctrico, magnético) o al contacto con cuerpos adacentes o con otras partículas que no forman parte del sólido rígido. Llamaremos F i alaresultantedelasfuerzas eternas que actúan sobre la partícula i. Las fuerzas internas, que son aquéllas que ejercen sobre una partícula del sólido rígido las restantes partículas que lo forman. En el caso de un sólido rígido las fuerzas internas son las que mantienen unidas a distancia invariable las partículas del sólido rígido. Denotaremos por f ij z j f ij i i

3 4.2 Equilibrio del sólido rígido libre 103 la fuerza que la j-ésima partícula ejerce sobre la i-ésima, por f i la resultante de todas las fuerzas internas sobre la partícula i, f i = N j=1 (j i) f ij. (4.1) Si la partícula i está en equilibrio, por la primera le de Newton, F i + f i = 0. (4.2) Al aplicar la primera le de Newton a las demás partículas obtendremos ecuaciones similares. Sumándolas todas ellas, obtendremos N N F i + f i = 0. (4.3) Además, por la tercera le de Newton sabemos que las fuerzas internas en el sólido rígido ocurren en pares de la misma magnitud de sentidos opuestos, es decir, f ij = f ji.portantolaresultantedelasfuerzas internas ha de ser el vector nulo, N f i = 0. (4.4) El sistema de fuerzas eternas que actúan sobre el sólido rígido es equivalente al formado por las resultantes F i de las fuerzas eternas que actúan sobre los N puntos materiales que forman el sólido rígido. Sin embargo, no es ésta la forma usual de describir un sistema de fuerzas eternas cuando se estudia un problema real de Estática del sólido rígido. Lo habitual es considerar que el sólido es un único objeto etenso sobre el que actúa un conjunto de fuerzas eternas, discretas continuas (que reducimos a discretas), las F j que introducíamos al principio, varias de las cuales podrían actuar sobre la misma partícula. Teniendo en cuenta que la suma etendida a todas las partículas de las fuerzas eternas que se ejercen sobre cada una de ellas no es más que la suma de las n fuerzas eternas que actúan sobre el sólido rígido, N F i = F j. (4.5) Por tanto, usando además las ecs. (4.3) (4.4), la primera condición que debe satisfacer un sólido rígido en equilibrio: j=1 F i = 0, (4.6) es decir, que la suma de las fuerzas eternas sea el vector nulo. tra condición necesaria para el equilibrio del sólido rígido es la que se deduce del siguiente razonamiento. Consideremos ahora los momentos de las fuerzas que actúan sobre la partícula i en un punto arbitrario. Utilizando la ec. (4.2) la propiedad distributiva del producto vectorial obtenemos: ( r i Fi + f ) i = r i F i + r i f i = 0. (4.7)

4 104 Estática del sólido rígido Podemos obtener ecuaciones análogas para las restantes partículas del sólido rígido. Sumándolas todas, tenemos: N r i F N i + r i f i = 0. (4.8) El segundo término es nulo puesto que las fuerzas internas ocurren en pares colineales, iguales en módulo pero de sentidos opuestos, el momento de cada uno de estos pares en el punto es nulo. De ahí que utilizando la notación M ( F i )= r i F i, (4.9) podemos escribir la ec. (4.8) como N M ( F i )= 0, (4.10) o, recordando que el sistema que forman las F j es equivalente al que forman las F i,como M ( F i )= 0, (4.11) es decir, que la suma de los momentos de las fuerzas eternas sea el vector nulo. Condiciones suficientes de equilibrio Hasta ahora, todo lo que hemos dicho es aplicable no sóloaunsólido rígido sino también a un sistema de puntos materiales que no formen un sólido rígido. Es decir, las ecs. (4.6) (4.11) son condiciones necesarias para el equilibrio, no sólo de un sólido rígido, sino también para el de cualquier sistema de puntos materiales. Ahora vamos a demostrar que las ecs. (4.6) (4.11) son condiciones suficientes para garantizar el equilibrio del sólido rígido (pero no de un sistema arbitrario de puntos materiales). Por reducción al absurdo. Supongamosque se verificanlas ecs. (4.6) (4.11) que el sólido rígido está inicialmente en reposo pero no en equilibrio. Aceptemos además que para conseguir que un sólido rígido que no está en equilibrio pase a estar en equilibrio basta con aplicar una fuerza F unmomento M adicionales. bsérvese que esta suposición no es válida en general para un sistema de puntos que no sea un sólido rígido, a que entonces las fuerzas aplicadas no se pueden representar por vectores deslizantes (sino por vectores ligados). Por el mismo razonamiento seguido antes, en el equilibrio se debe cumplir que: M + F + F i = 0, (4.12) M ( F i )= 0. (4.13) Pero si se han de cumplir estas dos ecuaciones se cumplían las ecs. (4.6) (4.11), ello quiere decir que: F = 0, (4.14) M = 0. (4.15)

5 4.2 Equilibrio del sólido rígido libre 105 Por tanto, si el sistema de fuerzas que habría que añadir es nulo, es que las condiciones (4.6) (4.11), por sí solas, garantizaban el equilibrio. Resumen Un sólido rígido libre estará en equilibrio siempre cuando: Todas las partículas del sólido estén inicialmente en reposo respecto del sistema de referencia inercial. La resultante de las fuerzas eternas que actúan sobre el sólido rígido sea nula. La suma de los momentos de todas las fuerzas eternas en un punto sea nula. Las ecs. (4.6) (4.11) son dos ecuaciones vectoriales que podemos escribir como 6 ecuaciones escalares. Por ejemplo, usando coordenadas cartesianas: F i =0, (4.16) F i =0, (4.17) F zi =0, (4.18) donde F i es la componente según la dirección de la fuerza eterna F i,etc., M ( F i )=0, (4.19) M ( F i )=0, (4.20) M z ( F i )=0, (4.21) donde M ( F i )eslacomponentesegún la dirección del momento de la fuerza eterna F i en el punto, M ( F i ), etc. Las ecs. (4.16) (4.18) garantizan que no se altera el equilibrio por movimientos de traslación, las ecs. (4.19) (4.21) que no lo hace por movimientos de rotación. tras elecciones de coordenadas conducirían a epresiones diferentes para las ecuaciones de equilibrio Equilibrio del sólido rígido en el plano Importancia del caso plano En este teto nos vamos a limitar al estudio del sólido rígido plano por su maor sencillez. Además, en muchos casos es posible estudiar la Estática de un sistema espacial analizando la estática de un sólido rígido plano sometido a un sistema de fuerzas contenido en ese mismo plano. Esto ocurre cuando el

6 106 Estática del sólido rígido sistema de fuerzas que actúa sobre un sólido rígido espacial puede reducirse a un sistema de fuerzas coplanario, por ejemplo: (a) Cuando todas las fuerzas que actúan sobre el sólido rígido están contenidasenunplano. (b) Cuando la disposición de fuerzas que actúan sobre el sólido rígido sea simétrica respecto de un plano. (c) Cuando la distribución de fuerzas que actúan sobre el sólido rígido tenga simetría traslacional. (d) Cuando se estudien las fuerzas del sólido sobre un plano dado 1. Numerosos problemas en Arquitectura Técnica caen en alguno de esos casos, de ahí que dediquemos especial atención al equilibrio de sólidos rígidos planos sometidos a sistemas de fuerzas contenidos en ese mismo plano. Por otro lado, el estudio de los sistemas planos también es útil en la medida que sirve de introducción al estudio de la estática de los sistemas espaciales. Condiciones necesarias suficientes de equilibrio del sólido rígido en el plano Las condiciones establecidas antes para el equilibrio de un sólido rígido se simplifican considerablemente en el caso de un plano. Eligiendo los ejes e en el plano del sólido, se tiene F zi =0, (4.22) M ( F i )=0, (4.23) M ( F i )=0, (4.24) para cada una de las fuerzas eteriores aplicadas al sólido. Nótese que las ecs. (4.23) (4.24) son ciertas siempre que el punto sea un punto del plano del sólido (mientras que en las ecs. (4.19) (4.20) eran ciertas en un punto arbitrario del espacio). Las 6 ecuaciones de equilibrio (4.16) (4.21) se reducen, por tanto, a 3 ecuaciones: F i =0, (4.25) F i =0, (4.26) M z ( F i )=0. (4.27) El punto es un punto arbitrario del plano del sólido. En resumen, las condiciones necesarias suficientes de equilibrio para un sólido rígido plano son: 1 En este último caso, las condiciones de equilibrio plano que se enunciarán a continuación para un sólido plano son necesarias pero no suficientes para garantizar el equilibrio del sólido espacial. En los tres casos anteriores son necesarias suficientes.

7 4.2 Equilibrio del sólido rígido libre 107 Que todas las partículas del sólido estén inicialmente en reposo respecto del sistema de referencia inercial. Que el sistema de fuerzas eteriores que actúan sobre él sea equivalente a un sistema nulo, esto es, que su resultante sea nula (que se verifiquen las ecs. (4.25) (4.26)) que su momento sea nulo (que se verifique la ec. (4.27)). Las ecs. (4.25) (4.26) dan las condiciones bajo las cuales el sólidonoeperimenta traslaciones según el eje ni según el eje, respectivamente. La ec. (4.27) da la condición bajo la cual el sólido no eperimenta rotaciones en el plano - en torno al punto. Se puede demostrar que en el caso del sólido rígido plano, las condiciones necesarias suficientes de equilibrio del sólido rígido pueden epresarse, alternativamente, eigiendo que la suma de los momentos en tres puntos del plano no alineados, A, B C, sea nula. Esto da lugar nuevamente a 3 ecuaciones independientes de equilibrio: M Az ( F i )=0, (4.28) Teorema de las tres fuerzas M Bz ( F i )=0, (4.29) M Cz ( F i )=0. (4.30) Presentaremos ahora un resultado que será de utilidad en numerosos problemas de Estática: Si un sólido rígido se encuentra en equilibrio, sometido a la acción de tres fuerzas coplanarias no paralelas, las rectas de acción de éstas se intersecanenunmismopunto. En efecto, supongamos que un sólido rígido se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas coplanarias, F 1, F 2 F 3, aplicadas, respectivamente, en los puntos A 1, A 2 A 3 (fig. 4.2). Calculemos los momentos de las tres fuerzas en el punto de intersección de las rectas de acción de dos de ellas, por ejemplo F 1 F 2. En ese punto, M ( F 1 )= M ( F 2 )= 0. Para que un sólido rígido esté en equilibrio la suma de todos los momentos debe ser el vector nulo, por tanto también debe de ocurrir que M ( F 3 )= 0. Por tanto, la recta de acción de F 3 también debe pasar por. Nota 1: La concurrencia de tres fuerzas en un mismo punto implica que la ecuación de equilibrio de los momentos se satisface en dicho punto. Sin embargo, no necesariamente ha de satisfacerse la ecuación de equilibrio de las fuerzas. Nota 2: Un sistema de fuerzas formado por 3 sistemas de fuerzas cada uno concurrente en un punto diferente puede reducirse a un sistema de tres fuerzas, cada una de ellas aplicada en uno de esos puntos. Nota 3: También puede haber equilibrio si las tres fuerzas son paralelas (intersecan en el infinito) puesto que en esa circunstancia sí podría verificarse la ecuación de momentos. F 1 A 1 A 3 A2 F 3 F 2 FIGURA 4.2: Sistema de tres fuerzas coplanarias que actúan sobre un sólido rígido.

8 108 Estática del sólido rígido FIGURA 4.3: Conocido un punto de un sólido rígido, un segundo punto está necesariamente sobre una esfera con centro en el primero (arriba). Conocidos dos puntos, un tercer punto está necesariamente sobre una circunferencia (abajo). Nota 4: El adjetivo coplanarias puede omitirse en las condiciones del teorema de las tres fuerzas a que, si un sistema de tres fuerzas está en equilibrio, estas fuerzas necesariamente han de ser coplanarias. En efecto, consideremos tres fuerzas F 1, F 2, F 3 no necesariamente coplanarias, tomemos un punto arbitrario P sobre la recta de acción de F 3.De la segunda condición de equilibrio (que la suma de los momentos en cualquier punto debe ser el vector nulo) es decir, obtendremos M P = M P ( F 1 )+ M P ( F 2 )= 0, (4.31) M P ( F 1 )= M P ( F 2 ). (4.32) Por tanto, los vectores M P ( F 1 ) M P ( F 2 ) han de estar sobre la misma recta tener sentidos opuestos. Recordando la definición de momento de una fuerza (como producto vectorialdel vector posición del punto de aplicación de la fuerza por el vector fuerza) se puede concluir que el plano subtendido por el vector F 1 el punto P debe coincidir con el plano subtendido por el vector F 2 el punto P. Por tanto, F 1, F 2 P están en el mismo plano. Como P es un punto arbitrario de la recta de acción de F 3, la misma demostración es válida para cualquier otro punto de la recta de acción de F 3. Por tanto, concluimos que F 1, F 2 F 3 están en el mismo plano Grados de libertad del sólido rígido libre Grados de libertad de un sólido rígido libre en el espacio Como vimos en el capítulo 2, el número de grados de libertad de un sistema es el número de coordenadas independientes necesarias para especificar completamente su configuración. Vamos a calcular cuántos grados de libertad tiene un sólido rígido libre en el espacio. Recordemos que un sólido rígido es un sistema formado por N partículas tal que la distancia entre dos cualesquiera de esas partículas permanece constante. Para ver cuántos grados de libertad tiene un sólido rígido podemos usar el siguiente razonamiento. Para determinar la posición de un punto A del sólido rígido son necesarias tres coordenadas. Conocida la posición de A, para determinar la posición de un segundo punto B del sólido rígido sólo hacen falta dos coordenadas adicionales, puesto que B está sobre una superficie: la esfera con centro en A radio la distancia entre A B, d AB,quesabemos que es constante (fig. 4.3 arriba). Finalmente, conocidas las posiciones de A B, para determinar la posición de un tercer punto C necesitamos sólo una nueva coordenada, puesto que C está sobre una curva: la circunferencia que se obtiene al intersecar la esfera con centro en A radiod AC con otra esfera con centro en B radiod BC (fig. 4.3 abajo). Si A, B C no están alineados, cualquier otro punto del sólido rígido quedará determinado por las distancias (fijas conocidas) entre él estos tres puntos 2. 2 El sistema de posicionamiento global (GPS) se basa precisamente en la unicidad de esta triangulación: las distancias del receptor de GPS a tres satélites emisores de señales de radio que están en posiciones conocidas permiten determinar la posición del primero.

9 4.4 Equilibrio del sólido rígido plano ligado 109 tro razonamiento equivalente es el siguiente: Cuando sólo haa un punto material, su número máimo de grados de libertad será tres. Al añadir un segundo punto, se podrían introducir otros tres grados de libertad, pero si se encuentra rígidamente unido al primero (separación constante) habrá una ecuación de vínculo que reducirá estos tres grados de libertad a dos. Así pues, un cuerpo rígido de dos puntos podrá tener como máimo cinco grados de libertad. Un tercer punto podría introducir tres más, pero si estuviera fijo respecto a los otros dos, las dos ecuaciones de vínculo reducirían estos tres a uno, dando un total de seis grados de libertad para el cuerpo rígido de tres puntos. Un cuarto punto fijo respecto a los tres primeros tendría tres ecuaciones de vínculo que epresaran este hecho, por lo que no introducirá nuevos grados de libertad. Un quinto punto tendría cuatro ecuaciones de vínculo, pero es posible demostrar que sólo tres de ellas son independientes, por tanto, tampoco introduciría nuevos grados de libertad. Análogamente sucedería al añadir los demás puntos materiales que componen el sólido rígido. En resumen, un sólido rígido libre en el espacio tiene seis grados de libertad. La elección de coordenadas independientes no es única. Puede ser, por ejemplo, las tres coordenadas cartesianas de uno de los puntos, tres ángulos que determinen la orientación del sólido en el espacio. Por otro lado, podemos interpretar los seis grados de libertad de un sólido rígido como, por ejemplo, la posibilidad de desplazamientos según los tres ejes coordenados rotaciones respecto de dichos ejes Grados de libertad de un sólido rígido libre en el plano Vamos a ver cuántos grados de libertad tiene un sólido rígido libre en el plano. Para especificar la configuración de un sólido rígido basta conocer la posición de dos puntos del sólido. Si se tratase de puntos libres en el plano, para especificar su configuración serían necesarias cuatro coordenadas. Como son puntos de un sólido rígido, su distancia es constante. Luego el número de coordenadas independientes necesario para especificar la configuración de un sólido rígido plano libre es tres. Tres son pues los grados de libertad del sólido rígido plano libre. Podemos, por ejemplo, elegir como coordenadas independientes las dos coordenadas cartesianas de un punto el ángulo que forma el segmento que une dos puntos del sólido con la horizontal. Los grados de libertad se pueden entender entonces como la posibilidad de desplazamientos según las direcciones de los dos ejes coordenados la rotación respecto a un eje perpendicular al plano que contiene al cuerpo Equilibrio del sólido rígido plano ligado Condiciones de equilibrio Un sólido rígido ligado es aquél que está sometido a ligaduras eternas. En el capítulo 2 introdujimos el principio de liberación según el cual cualquier ligadura podía sustituirse por un sistema de fuerzas. En el capítulo 3 vimos que un sistema de fuerzas siempre se puede reducir a otro equivalente formado por una fuerza un par. Por tanto, la acción de una ligadura puede sólido rígido ligado

10 110 Estática del sólido rígido El objetivo de esta sección es clasificar las ligaduras posibles de un sólido rígido plano, atendiendo a las limitaciones elementales de movimiento que producen. Se denominan coacciones a las limitaciones elementales de movimiento ori- ginadas por cada ligadura. Las coacciones son típicamente impedimentos de traslaciones /o giros. Una coacción, por consiguiente, equivale a la cancelación de un grado de libertad. Las fuerzas momentos de reacción vincular que sustituen a una ligadura introducen incógnitas de reacción vincular en el problema, en número igual al de coacciones. Según el número de coacciones que ejercen, las ligaduras las clasificamos en: coacciones representarse por una fuerza un momento, que llamaremos fuerza momento de reacción vincular. Supongamos un sólido sometido a m ligaduras. Las ecuaciones de equilibrio (4.6) (4.11) que obteníamos para el caso libre se convierten en: m F i + φ j = 0, (4.33) j=1 M ( F m i )+ M ( φ m j )+ µ j = 0, (4.34) j=1 donde, F i son las fuerzas eteriores, M ( F i ) sus momentos en un punto arbitrario fijo, φ j las fuerzas de reacción vincular, M ( φ j ) sus momentos en, µ j los momentos de reacción vincular (recuérdese que el momento de un par es independiente del punto de reducción). En el caso plano usando coordenadas cartesianas, las ecuaciones vectoriales (4.33) (4.34) dan lugar a las siguientes ecuaciones escalares: j=1 m F i + φ j =0, (4.35) j=1 m F i + φ j =0, (4.36) j=1 M z ( F m i )+ M z ( φ m j )+ µ zj =0. (4.37) j=1 Dependiendo del vínculo de que se trate podrán ser cero una o más de las 3incógnitas de reacción vincular φ j, φ j µ zj asociadas al vínculo j Tipos de ligaduras en el plano j=1 Clasificación atendiendo al número de coacciones Simples: son aquéllas que ejercen una única coacción. Las ha de dos tipos: Aquéllas que obligan a un punto del sólido rígido a permanecer sobre una curva dada o a que una curva del sólido rígido (por ejemplo su contorno) permanezca en contacto con un punto fijo. Estas ligaduras

11 4.4 Equilibrio del sólido rígido plano ligado 111 se sustituen por una única fuerza de reacción vincular de dirección conocida (perpendicular a la curva) módulo sentido desconocidos. Son ligaduras que introducen, por tanto, una sola incógnita de reacción vincular (que se suele identificar con el módulo sentido de la fuerza desconocida). Ejemplos de este tipo de ligaduras son el apoo simple, labiela elcable. Aquéllas que impiden la rotación del sólido rígido pero no las traslaciones. Estas ligaduras se sustituen por un par cuo momento de reacción vincular tiene dirección conocida (perpendicular al plano del sólido rígido) módulo sentido desconocidos. En este teto no veremos ejemplos de este tipo de ligaduras. Dobles: son aquéllas que ejercen dos coacciones. Las ha de dos tipos: Aquéllas que obligan a un punto del sólido rígido a permanecer fijo. Estas ligaduras se sustituen por una fuerza de reacción vincular con módulo, dirección sentido desconocidos. Son ligaduras que introducen, por tanto, dos incógnitas de reacción vincular (que se suele identificar con las dos componentes cartesianas de dicha fuerza). Ejemplodeestetipoeslaarticulación. Aquéllas que obligan a un punto del sólido rígido a permanecer sobre una curva e impiden además su rotación. Estas ligaduras se sustituen por una fuerza con dirección conocida pero módulo sentido desconocidos, un par cuo momento es de módulosentidodesconocidos. Introducen dos incógnitas de reacción vincular (que se suele identificar con los módulos sentidos de la fuerza el momento). Ejemplodeestetipoesladeslizadera rígida. Triples: son aquéllas que ejercen tres coacciones. Inmovilizan completamente el sólido rígido. Estas ligaduras se sustituen por una fuerza con módulo, dirección sentido desconocidos un par cuo momento es de módulo sentido desconocidos. Por tanto, introducen tres incógnitas de reacción vincular (las dos componentes de la fuerza el módulo sentido del momento). Ejemplo de este tipo de ligaduras es el empotramiento. Pasamos a estudiar en detalle algunas ligaduras. Apoo simple Un apoo simple (apoo sin rozamiento o apoo móvil) es un contacto puntual sin rozamiento, directo o mediante un dispositivo intermediario, del sólido rígido con una curva de apoo. Es una ligadura simple, a que ejerce una sola coacción sobre el sólido rígido al impedir su traslación en la dirección perpendicular a la de desplazamiento sobre la curva de apoo. Permite la traslación en la dirección de desplazamiento de la curva de apoo el giro alrededor del punto de apoo. Su acción se sustitue por una fuerza de dirección conocida módulo sentido desconocidos. La dirección de esta fuerza es la perpendicular a la tangente en el punto de apoo de la línea sobre la que se apoa o desliza. En el caso de que el punto de apoo no tenga tangente bien definida (por ejemplo, cuando tenemos un apoo simple sobre un escalón) la dirección será laperpendicularala tangente en el punto de apoo de la línea que describe el borde del sólido rígido.

12 112 Estática del sólido rígido FIGURA 4.4: Diversos modos en que un sólido rígido puede estar apoado fuerzas de reacción vincular correspondientes. FIGURA 4.5: Diversas maneras de construir apoos simples: (a) rodillo, (b) rueda, (c) soporte de rodillos, (d) balancín circular. En el caso de los apoos simples unilaterales el sentido de la fuerza de reacción vincular va del apoo al sólido apoado. En el caso de los apoos de doble efecto o bilaterales el sentido no se puede determinar a priori puesto que depende del sistema de fuerzas eternas que actúa sobre el sólido de la disposición del resto de los vínculos. En la fig. 4.4 se ilustran diversos modos en que un sólido rígido puede estar apoado directamente sobre distintas paredes se ilustran las direcciones sentidos de las correspondientes fuerzas de reacción vincular. Dispositivos también permiten implementar apoos simples son: Rodillo, fig. 4.5 (a). Rueda, fig. 4.5 (b). Soportederodillos, fig. 4.5 (c). Balancín, fig. 4.5 (d).

13 4.4 Equilibrio del sólido rígido plano ligado 113 Apoos simples bilaterales o de doble efecto son: El pasador en ranura lisa, fig. 4.6 (a). La deslizadera o collar sobre árbol liso, fig. 4.6 (b). Nótese que mientras que en las ligaduras de las figs un movimiento del sólido puede hacer que esa ligadura desaparezca (al perderse el contacto), tal cosa no puede suceder en un apoo simple de doble efecto. Comentario: tres apoos simples adecuadamente dispuestos inmovilizan completamente al sólido rígido plano (donde adecuadamente dispuestos quiere decir evitando las situaciones de ligadura impropia que describiremos más adelante). Biela Una biela consiste en un sólido rígido articulado en dos puntos sobre el que no actúa ninguna fuerza con componentes normales al eje de la biela. El eje de la biela es la recta que une las dos articulaciones. En particular, el peso de la biela debe ser despreciable frente a las fuerzas que actúan sobre el sólido rígido. La biela es una ligadura simple, a que ejerce una única coacción sobre el sólido rígido al impedir su traslación en la dirección del eje de la barra, permitiendo su traslación en la dirección perpendicular. Su acción se sustitue por una fuerza de reacción vincular cua dirección coincide con el eje de la biela, de módulo sentido desconocidos. Esta ligadura se ilustra en la fig Cable El cable (tenso) es un hilo inetensible de peso despreciable. Es una ligadura simple que se sustitue por una únicaalafuerzadereacción vincular de dirección conocida (la del cable) módulo desconocido. Esta fuerza de reacción vincular se llama tensión, pues coincide con la tensión del cable. Esta ligadura se ilustra en la fig El sentido de la fuerza de reacción vincular que sustitue a un cable tenso es siempre hacia fuera del sólido, mientras que en la biela puede tener ambos sentidos. Es importante saber distinguir cuando un cable aplicado a un sólido rígido actúa como una ligadura (cuando limita las posibles posiciones del sólido) cuando actúa como un transmisor de una fuerza activa. FIGURA 4.6: (a) Pasador en ranura lisa (b) deslizadera sobre árbol liso. FIGURA 4.7: Biela. FIGURA 4.8: Cable tenso.

14 114 Estática del sólido rígido FIGURA 4.9: Ligaduras dobles: (a) Articulación (b) deslizadera rígida. FIGURA 4.10: Empotramiento. Articulación Una articulación. (apoo fijo, apoo doble, perno liso o bisagra) impide las dos posibles traslaciones del sólido rígido le permite sólo girar alrededor del punto de articulación. Es una ligadura doble, ejerce dos coacciones sobre el sólido rígido. Su acción se sustitue por una fuerza de reacción vincular de módulo, dirección sentido desconocidos. Las dos incógnitas de reacción vincular son, por ejemplo, las dos componentes de esta fuerza según un sistema de ejes cualesquiera con origen en la articulación. Esta ligadura se ilustra en la fig. 4.9 (a). Deslizadera rígida La deslizadera rígida impide el giro la traslación en la dirección perpendicular al eje de deslizamiento de la deslizadera. Es una ligadura doble. La deslizadera rígida ejerce sobre el sólido un sistema de fuerzas distribuidas paralelas coplanarias (con el plano que contiene al sólido rígido). Dicho sistema puede ser reducido a una fuerza de reacción vincular R perpendicular el eje de deslizamiento a un par de momento M perpendicular al plano del sólido. Esta ligadura se ilustra en la fig. 4.9 (b). Una deslizadera rígida es equivalente a dos apoos simples cuas rectas de acción sean paralelas. Empotramiento soldadura El empotramiento (nudo rígido o apoo triple) impide cualquier movimiento del sólido rígido. Es una ligadura triple, ejerce tres coacciones sobre el sólido rígido. El empotramiento ejerce sobre el sólido un sistema de fuerzas distribuidas coplanarias (con el plano que contiene al sólido rígido). Dicho sistema puede ser reducido a una fuerza de reacción vincular R de dirección desconocida a un par de momento M perpendicular al plano del sólido.lastresincógnitas de reacción vincular son las magnitudes del momento M las dos componentes de R,según un sistema de ejes cualesquiera con origen en G. Esta ligadura se ilustra en la fig Cuando el empotramiento actúa como vínculo interno (entre sólidos de un sistema de sólidos) se le denomina epresamente nudo rígido los sistemas cuos vínculos internos son nudos rígidos, se les llama sistemas continuos.

15 4.4 Equilibrio del sólido rígido plano ligado 115 Una ligadura de características similares a las del empotramiento es la soldadura. Ligaduras propias ligaduras impropias Se define como ligadura propia a la que impide el movimiento del sistema coartando el movimiento para el que se establece. Se dice que un sistema está propia o correctamente ligado, cuando los ligaduras están dispuestos de tal modo que son capaces de impedir los movimientos para los que están pensados. En caso contrario diremos que la ligadura es impropia que el sistema está impropia o incorrectamente ligado. Un sistema plano puede estar impropiamente ligado en los siguientes casos: Si las rectas de acción de tres o más de las fuerzas de reacción vincular son paralelas, a que entonces (en ausencia de otras ligaduras) ha posibilidad de traslación a lo largo de una dirección perpendicular, fig (a). Si tres o más de las rectas de acción de las fuerzas de reacción vincular se cortan en un mismo punto, entonces (en ausencia de otras ligaduras) se puede producir un giro alrededor de, fig (b) Grados de libertad del sólido rígido plano ligado Sólidos isostáticos, hiperestáticos e inestables Un sistema mecánico estable es aquél que no se puede mover sea cual sea el sistema de fuerzas eternas que actúe sobre él. Equivalentemente, que no le quedan grados de libertad. Un sistema estable siempre está en equilibrio. Un sistema puede ser inestable estar en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas concreto. En esta sección vamos clasificar los sólidos rígidos atendiendo a su estabilidad. Esta clasificación se etenderáenelcapítulo 5 a los sistemas de varios sólidos rígidos. Al detenernos en la, relativamente sencilla, clasificación en el caso de un solo sólido rígido pretendemos que el estudiante se concentre en el concepto físico de FIGURA 4.11: Ligaduras impropias en un sólido rígido plano individual: (a) G = 1, puede trasladarse; (b) G =1, puede girar. sistema mecánico estable

16 116 Estática del sólido rígido FIGURA 4.12: Clasificación de los sólidos rígidos individuales atendiendo a su estabilidad: (a) isostático, (b) hiperestático, (c) mecanismo, (d) pseudoisostático. La estabilidad del sólido rígido no depende de qué sistema de fuerzas eternas aplique el monigote. Los apoos simples se suponen bilaterales. la estabilidad sin dejarse distraer por la etensa casuística que encontraremos en el capítulo 5. Para impedir cualquier movimiento posible del sólido rígido es preciso que las ligaduras eternas ejerzan al menos tantas coacciones como grados de libertad tenga el sistema. En el caso de un sólido rígido plano, las ligaduras estrictamente necesarias para impedir cualquier movimiento han de ejercer tres coacciones (adecuadamente dispuestas, véase lo dicho sobre ligaduras impropias). Cada una de ellas queda definida por un parámetro o incógnita de reacción vincular. Si eso sucede, ante cualquier sistema de fuerzas el sólido permanecerá en equilibrio, será estable;sino,seráinestable.sielnúmero de coacciones es eactamente el necesario para lograr la estabilidad entonces, conocido el sistema de fuerzas eternas, las ecuaciones de equilibrio permitirán determinar las incógnitas de reacción vincular. Si el número de coacciones es superior entonces las ecuaciones de la Estática no serán suficientes (salvo simetrías) para

17 4.4 Equilibrio del sólido rígido plano ligado 117 determinar todas las incógnitas de reacción vincular. Atendiendo a esta idea, los sistemas mecánicos formados por un sólido rígido ligado se clasifican en: Isostáticos. Hiperestáticos. Inestables o mecanismos. Los sistemas isostáticos son aquéllos en los que el número coacciones independientes (C) eseactamente igual al de grados de libertad del sistema libre (G l ), por tanto, el número de grados de libertad del sistema ligado (que se calcula como G = G l C) escero. Conocidoelsistemade fuerzas eternas que actúa, las ecuaciones de equilibrio por sí solas permiten resolver todas las incógnitas de reacción vincular, así se dice que los sistemas isostáticos están estáticamente determinados. Son estables, pero si se elimina una ligadura dejan de serlo. Se presenta un ejemplo en la fig (a). Los sistemas hiperestáticos son aquéllos en los que C es estrictamente maor que G l (se dice entonces que las incógnitas de reacción vincular son superabundantes). Se dice que tienen grado de hiperestaticidad o grado de indeterminación estática H = C G l ( G = 0). Las ecuaciones de equilibrio por sí solas no permiten resolver todas las incógnitas de reacción vincular, por ello se dice que los sistemas hiperestáticos están estáticamente indeterminados. Parasu determinación es preciso abandonar el modelo de sólido rígido, adoptar el modelo de sólido deformable aplicar, además de las ecuaciones de la Estática, métodos propios de la Elasticidad. Son estables pueden seguir siéndolo eliminando H incógnitas de reacción vincular independientes. Ha un ejemplo en la fig (b). Los sistemas inestables o mecanismos son aquéllos en los que C es estrictamente menor que G l,portantog es positivo. Basta con un subconjunto de las ecuaciones de equilibrio para resolver todas las incógnitas de reacción vincular. Las restantes G ecuaciones pueden usarse para averiguar los valores concretos de las G coordenadas generalizadas cuando el sólido se haa en equilibrio sometido a un sistema particular de fuerzas eternas conocidas, o para averiguar qué fuerzas eteriores son necesarias para que el sistema se encuentre en equilibrio en determinada configuración. Estos sólidos son inestables sólo se hacen estables si se añaden vínculos que introduzcan G (o más) incógnitas independientes de reacción vincular. Un ejemplo de este tipo aparece en la fig (c). Sólidos con ligaduras impropias En el caso de que entre las ligaduras a las que está sometidoelsólido aparezcan ligaduras impropias, el número aparente de grados de libertad, queeselqueseobtienealsustraerdelnúmero de grados de libertad del sistema libre el número de incógnitas de reacción vincular sin tener en cuenta si éstas son impropias (no independientes), no coincide con el número real de grados de libertad, que es el que se obtiene teniendo en cuenta qué grados de libertad eliminan realmente las ligaduras. Así, por ejemplo, tendremos sólidos en los que aparentemente el número de incógnitas de reacción vincular es igual al de grados de libertad del sistema libre, con lo cual el sistema es aparentemente isostático (o pseudo-isostático) aunque en realidad se trata de un mecanismo. Ha un ejemplo en la fig (d). sistemas isostáticos sistemas hiperestáticos sistemas inestables o mecanismos

18 118 Estática del sólido rígido PRBLEMA RESUELT 4.1: PRBLEMA RESUELT 4.1 Solución: A + A A A 0,6 m B El sólido rígido de la figura es de peso P =10kp, homogéneo con vástagos o brazos de grosor despreciable. Está sometido a la acción de tres fuerzas activas de módulos F 1 = 100 N, F 2 = 500 N F 3 = 500 N, está vinculado al eterior mediante una articulación en el punto A un apoo simple en el punto B. (a) Determina en qué punto del vástago horizontal habría que aplicar una fuerza única cuo efecto mecánico sea equivalente al de las tres fuerzas activas F 1, F 2, F 3. Qué valor tendrá dichafuerza? (b) Es posible aplicar una fuerza equivalente a las tres fuerzas en algún punto del vástago vertical? En caso afirmativo halla el punto el valor de la fuerza. (c) Determina los vectores fuerza de reacción vincular en los puntos A B en el equilibrio. A B 0,6 m 1,2 m 0,9 m F 3 F 1 F 2 B 1,49 m 2,22 m G Q' Q R 0,35 m 0,6 m 0,6 m (a) La fuerza equivalente al sistema de fuerzas activas F 1, F 2, F 3 será una fuerza única igual a la resultante R aplicada sobre un punto Q del sólido rígido, tal que su momento en un punto cualquiera sea el mismo que el momento total del sistema en dicho punto. Eligiendo los ejes horizontal vertical como ejes coordenados, tenemos: F1 = (100, 0) N; F2 =(0, 500) N; F3 = (500, 0) N. R = (100, 0) + (0, 500) + (500, 0) = (600, 500)N. Tomemos como centro de reducción la intersección de los brazos de la cruz; resulta: M = 0, , ,6 500 = 210 Nm; M = 210 k Nm Si Q está situado en el vástago horizontal sus coordenadas son (, 0), de donde: M = 210 k = Q R = (, 0) (600, 500) = 500 k, por tanto, =0,42 m. Aunque no lo piden, es útil saber que entonces el eje central es la recta paralela a la dirección de R 0,42 que contiene al punto Q(0,42, 0) m: 600 = ; = 0,83 +0,35 m. (b) Será posible aplicar la fuerza única equivalente sobre el vástago vertical si el eje central lo interseca en algún punto Q.Así, para =0obtenemos = 0,35 m < 0,6 m, luego sí es posible aplicar la fuerza R en el punto Q (0, 0,35) m. También podríamos obtener este punto repitiendo el cálculo del apartado (a) para el punto (0,). FIGURA P1a: Resolución del apartado (c).

19 4.4 Equilibrio del sólido rígido plano ligado 119 (c) Por comodidad de cálculo, en el diagrama de fuerzas que actúan sobre el sólido rígido (fig. P1a) sustituimos las tres fuerzas activas por su equivalente R previamente calculada (aplicada en Q, aunque sería indiferente considerarla aplicada en Q ), colocamos la cuarta fuerza activa que actúa sobre el sólido rígido, el peso, en el centro de masa G del sólido rígido. Completamos el diagrama con las fuerzas de reacción en los vínculos A (articulación) B (apoo simple). Fuerzas que actúan: φ A, φ B, R, P. Articulación en A: φ A =(φ A,φ A ). Apoo simple en B: φ B =(0,φ B ). Para conocer el punto de aplicación de la fuerza peso P =(0, 10) kp (0, 100)N, determinamos previamente la posición del centro de masa G del conjunto de ambos vástagos: Por simetría ser el sólido homogéneo, G se encuentra sobre el vástago horizontal, de modo que G = 0. Desde el etremo A calculamos la coordenada G.La posición del centro de masa de la barra horizontal es H = 2,7 2 m. En la barra vertical directamente observamos V =1,8 m. La posición del centro masa es la lhh+lv V del centroide por ser homogéneo: G = l H+l V =1,49 m. Entonces, finalmente, las ecuaciones de equilibrio son: F =0: de donde obtenemos: F =0: MA =0: φ A = 0, φ A + φ B = 0, (P1.1) (P1.2) 0,6 φ B 1, ,22 = 0, (P1.3) φ A = 600 N, φ B = 2098 N, φ A = 1498 N, (P1.4) (P1.5) (P1.6) donde el signo menos de φ A significa que el sentido se esa componente es contrario al que elegimos en el diagrama de fuerzas. Luego φ A =( 600, 1498)N φ B =(0, 2098) N. PRBLEMA RESUELT 4.2: El etremo A de la barra homogénea AB de la figura puede deslizar por un riel vertical. La superficie esférica sobre la que se apoa AB tiene 5 cm de radio. Calcula: (a) La longitud AB de la barra para que en su posición de equilibrio forme 60 con la vertical. Hacerlo anaĺıtica geométricamente.

20 120 Estática del sólido rígido PRBLEMA RESUELT 4.2 Solución: φ A A 60 o φ C 5m C 60 o P 5m G + FIGURA P2a: Resolución anaĺıtica del apartado (a). B 60 o A 5m C (b) Las fuerzas de reacción vincular en A enc si la masa de la barra es 30 kg. Nota: Desprecia los rozamientos en la deslizadera el apoo. (a) Que la barra esté en equilibrio en esa configuración significa que la suma de fuerzas sobre la barra la suma de sus momentos en cualquier punto deben ser nulas, teniendo en cuenta las fuerzas que aparecen en el siguiente diagrama de sólido libre con la configuración dada: Comenzamos resolviendo el apartado (a) de manera anaĺıtica (planteando las ecuaciones de equilibrio). Teniendo en cuenta los ejes coordenados elegidos en la fig. P2a, tomando momentos en el punto A, resultan las siguientes condiciones de equilibrio: F =0: φ A + φ C cos 60 =0, (P2.1) F =0: P + φ C sen 60 =0, (P2.2) MAz =0: ( ) AB P 2 sen 60 + φ C AC =0. (P2.3) Tenemos así 3 ecuaciones escalares con parece que cinco incógnitas: φ A,φ C,P,AB, AC, de las cuales nos interesa en este apartado la longitud AB de la barra. Pero volviendo a la fig. P2a, si observamos el triángulo AC vemos que tan 60 =5/AC AC = 5 3 2,89 m, el peso P lo vamos a considerar como un parámetro (el valor numérico de 30 kp es para el apartado (b)), de modo que realmente tenemos 3 ecuaciones con las tres incógnitas φ A, φ C AB. Resolviendo el sistema resulta: φ C = 2 P 1,15 P, (P2.4) 3 φ A = 1 3 P 0,58 P, B (P2.5)

21 4.4 Equilibrio del sólido rígido plano ligado 121 AB = 20 φ C 3 P = ,70 m. (P2.6) 9 Para terminar este apartado (a), debemos resolverlo de forma geométrica. Eso significa usar la trigonometría en el diagrama de fuerzas, tras haber aplicado en él la condición necesaria de equilibrio que proporciona el teorema de las tres fuerzas. Esto es así porque del diagrama P2a observamos que la barra tiene justamente aplicadas tres fuerzas (una activa el peso dos de reacción vincular), además suponemos que la barra está en equilibrio en la configuración dada; cumpliéndose entonces necesariamente la conclusión del teorema de las tres fuerzas: las tres fuerzas han de ser coplanarias, o bien concurrentes en un punto o bien paralelas. Así, construimos un nuevo diagrama de fuerzas en el que epĺıcitamente se ven concurrir en un punto I las ĺıneas de acción de las tres fuerzas (a coplanarias; de partida se ve que no pueden ser paralelas): De los triángulos rectángulos AIG, AIC AC vamos a deducir el valor AB que nos interesa, usando que AB es el doble de AG, que AG es la hipotenusa del primer triángulo: AIG: sen60 = AI/AG; AG = 2 3 AI; AIC: sen60 = AC/AI; AI = 2 3 AC; AC: tan 60 =5/AC; AC = 5 3 ; AC 2,89 m, de donde obtenemos AI = 10 3 como antes. 3,33 mag = AB =2AG = ,70 m, 9 3,85 m, finalmente: (P2.7) (b) Si m AB =30kg, entonces el peso de la barra es P =30kp, de forma que sustituendo en las soluciones (P2.4) (P2.5) obtenemos las fuerzas de reacción pedidas: φ C = 60 34,64 kp, (P2.8) 3 φ A = 30 17,32 kp, (P2.9) 3 donde el signo menos de φ A significa que esta reacción va a tener sentido contrario al que nosotros elegimos en el diagrama de fuerzas. Y finalmente epresamos las fuerzas de reacción en forma vectorial: φ C =( 30, 30) kp, (P2.10) 3 φ A =(0, 30 )kp, 3 (P2.11) donde hemos usado que φ C = φ C cos 60, φ C = φ C sen 60, que el signo menos de φ A cambiaría el sentido del vector en el diagrama P2a, quedando así en el sistema coordenado elegido con la componente horizontal negativa. A 5m 60 o I C 60 o 60 o G FIGURA P2b: Resolución geométrica del apartado (a). B

22 122 Estática del sólido rígido Guillaume Amontons (París, 1663; París, 1705): Estudió eperimentalmente el rozamiento supuso, por vez primera, la eistencia del cero absoluto de temperatura. Charles Augustin de Coulomb (Angoulême, 1736; París, 1806): Estudió elrozamientolatorsión descubrió la le de Coulomb de la electrostática (1795) Rozamiento Introducción Un sólido rígido en contacto con una superficie sufre un sistema de fuerzas S distribuido sobre la superficie de contacto. Ese sistema se puede reducir en un punto P a una fuerza deslizante con las mismas componentes que la resultante de S un par de momento igual al momento en P de S. En el caso de un sólido rígido plano, S es un sistema de fuerzas coplanario; por tanto, S siempre se puede reducir a una única fuerza deslizante, R,con las mismas componentes que la resultante de S aplicada en un punto del eje central de S. Como S es un sistema de fuerzas distribuido cuo sentido es siempre desde la superficie de apoo hacia el sólido rígido, el punto donde se ha de aplicar esta fuerza está comprendido entre los etremos que limitan la superficie de contacto. La fuerza resultante R tiene dos componentes: una perpendicular a la superficiedecontacto,quesellamafuerza normal serepresentapor N, una tangente a C, que se llama fuerza de rozamiento se denota por F R.Enun problema de rozamiento siempre suele haber tres incógnitas: el módulo de N, el módulo de F R el valor de la coordenada que indica el punto Q donde se ha de colocar R (o equivalentemente, donde se han de colocar N F R ). Como se ha señalado antes, este punto debe estar comprendido entre los etremos que limitan a la superficie de contacto. No obstante, ha de recordarse que una vez conocido Q, no hace falta colocar N F R eactamente sobre Q, aque N F R se describen mediante vectores deslizantes puesto que son fuerzas sobre un sólido rígido Lees de Amontons-Coulomb del rozamiento estático en deslizamiento Aún en nuestros días no eiste una teoría capaz de abarcar todos los aspectos de rozamiento. Para la maor parte de las aplicaciones en el ámbito de la Arquitectura basta con estudiar lo que se llama el rozamiento estático o rozamiento seco, que es el que eiste mientras ha equilibrio. Este equilibrio se puede romper bien por deslizamiento, bienporvuelco. Fuera del equilibrio se habla de rozamiento dinámico. El estudio eperimental del rozamiento estático del rozamiento dinámico en deslizamiento se debe a Amontons Coulomb. Una situación típica es la siguiente: Supongamos un sólido rígido plano, homogéneo de peso P de forma rectangular que se encuentra sobre una superficie horizontal. Sobre el vértice superior derecho de este cuerpo tira una fuerza horizontal F de módulo creciente (e inicialmente cero). Para un cierto rango de valores del módulo de F el sólido permanece en equilibrio. Cuando el módulo de F alcanza un cierto valor crítico, el sólido pierde el equilibrio empieza a deslizar hacia la derecha. Eperimentalmente se puede encontrar una relación entre F F R similar a la que se ilustra en la fig De ese estudio eperimental se deducen las siguientes lees aproimadas: 1. La fuerza de rozamiento es independiente del área de las superficies en contacto.

23 4.5 Rozamiento 123 Superficies en contacto µ e µ d acero sobre acero 0,74 0,57 aluminio sobre acero 0,61 0,47 cobre sobre acero 0,53 0,36 caucho sobre hormigón 1,0 0,8 madera sobre madera 0,25 0,5 0,2 vidrio sobre vidrio 0,94 0,4 madera encerada sobre nieve mojada 0,14 0,1 madera encerada sobre nieve seca 0,04 metal sobre metal (lubricado) 0,15 0,06 hielo sobre hielo 0,1 0,03 teflón sobre teflón 0,04 0,04 TABLA 4.1: Coeficientes de rozamiento estático µ e dinámico µ d. para diferentes superficies en contacto. Los valores dependen del grado de pulimento de las superficies de la temperatura. 2. Cuando el cuerpo está en reposo, el módulo de la fuerza de rozamiento está comprendido entre 0 un cierto valor máimo. Dicho valor máimo es directamente proporcional al módulo de la fuerza normal. Esta relación de proporcionalidad se epresa de la siguiente manera: F R ma = µ e N, (4.38) donde µ e es una constante adimensional que se llama coeficiente de rozamiento estático, cuo valor depende de la naturaleza de las superficies en contacto (véase la tabla 4.1). Cuando la fuerza de rozamiento alcanza su valor máimo se dice que el sólido se encuentra en estado de deslizamiento inminente. Mientrasqueelsólido permanece en reposo, la fuerza de rozamiento que eperimenta se llama fuerza de rozamiento estático. 3. Cuando el cuerpo está deslizando, la fuerza de rozamiento es prácticamente constante e independiente de la velocidad relativa de los cuerpos en contacto. Se llama entonces fuerza de rozamiento dinámico sedenota por F R d.sumódulo es proporcional al de la normal. Esta relación de proporcionalidad se epresa: F R d = µ d N, (4.39) donde µ d es una constante adimensional que se llama coeficiente de rozamiento dinámico o cinético, cuo valor depende de la naturaleza de las superficies de contacto (véase la tabla 4.1). Se cumple que o, equivalentemente, que F R ma F R d, (4.40) µ e µ d. (4.41) En adelante denotaremos simplemente por µ el coeficiente de rozamiento estático µ e. F R F R má F Rd FIGURA 4.13: Relación aproimada entre F F R. F