Historias. Historias de al-khwārizmī (7ª entrega). Figuras y demostraciones. emostración ingenua (con figuras), demostración geométrica (euclídea)

Transcripción

1 , pp Historias de al-khwārizmī (7ª entrega). Figuras y demostraiones Historias D emostraión ingenua (on figuras), demostraión geométria (eulídea) En la entrega anterior de estas historias, El álulo on la osa, aabé examinando ómo al-khwārizmī demuestra unos álulos on radiales utilizando para ello la representaión de las magnitudes on las que hay que alular mediante segmentos, y ómo otros álulos hehos on espeies die que no puede demostrarlos de la misma manera, porque a un álulo de ese estilo no le onviene ninguna figura, y los demuestra por la expresión o en palabras. Además, dije que las demostraiones que al-khwārizmī hae on figuras son demostraiones uya garantía de verdad se sustenta en lo que se ve, y que no son, por tanto, demostraiones uya garantía de verdad sea del estilo que los griegos estableieron y que puede enontrarse en prátia en los Elementos de Eulides. En aras de la onisión, hemos llamado ingenuas a las demostraiones que al-khwārizmī hae on figuras (Puig, 008; Infante y Puig, 011a, 011b), queriendo indiar on ese alifiativo de ingenuas preisamente que la garantía de verdad está en lo que se ve, y que, por tanto, ni quien presenta una demostraión heha de esta manera ni quien la lee o la esuha pone en duda lo que se ve, lo que se muestra. Y hemos llamado geométrias a las demostraiones eulídeas, en las que la garantía de verdad ya no está en lo que se ve, en lo que se muestra, sino en el entramado de noiones omunes, postulados y definiiones, y en los razonamientos que se haen sobre las figuras. Por otro lado, la demostraión que al- Khwārizmī hae on palabras, aunque sea porque en ese aso no puede haer una figura que es lo que probablemente le hubiera gustado haer para poder mostrar en la figura la verdad de lo que va sólo a deir on palabras, podemos alifiarla de demostraión algebraia, al menos en germen. En el libro de álgebra de al-khwārizmī podemos enontrar pues, en este sentido, demostraiones ingenuas (hehas usando figuras geométrias) y demostraiones algebraias en germen (hehas úniamente on palabras, por la expresión ), pero no demostraiones geométrias (hehas a la manera eulídea, que usa también figuras geométrias). El heho de que en al-khwārizmī no hay demostraiones eulídeas ya lo señaló hae asi setenta y ino años el historiador austríao Solomon Gandz al omparar las demostraiones de al-khwārizmī de las formas anónias ompuestas, Luis Puig Universitat de Valènia Estudi General historias@revistasuma.es 93

2 on las proposiiones del libro segundo de Eulides que han querido verse omo álgebra tratada en términos geométrios. Gandz rebate la idea de que lo que Eulides está haiendo en el libro segundo de los Elementos sea álgebra en el mismo sentido que adquiere el álgebra en el libro de al-khwārizmī, y alifia lo que hae Eulides en ese libro, de forma ontundente, omo muy antiguo, si se mira omo álgebra. Pero es igual de ontundente a la hora de alifiar el aráter de las demostraiones de al-khwārizmī: Algebraiamente, al-khwārizmī está 1000 años por delante de Eulides; geométriamente, está 1000 años detrás. Sus demostraiones se basan ompletamente en la intuiión. No tiene ninguna otra osa en que basarlas. En su geometría, los axiomas, definiiones, teoremas y proposiiones de Eulides se ignoran por ompleto (Gandz, 1937, p. 519). Pero no hae falta reurrir a un historiador de las matemátias naido en el siglo XIX: el que las demostraiones de al- Khwārizmī no siguen el patrón eulídeo ya lo onstataron sus inmediatos seguidores. La mejor prueba de que el asunto se veía así la tenemos en un opúsulo publiado por Thābit Ibn Qurra ( ), que había naido en Harran (Turquía) y se instaló a trabajar en Bagdad omo ya había heho años atrás el propio al-khwārizmī. El opúsulo de Thābit Ibn Qurra es muy breve, dos páginas y media en la ediión de Lukey (1941), y lleva un título que no puede ser más explíito: La retifiaión de los problemas del álgebra mediante demostraiones geométrias. Las demostraiones que ha presentado al-khwārizmī en su libro no las ve pues Thābit Ibn Qurra omo demostraiones geométrias, y lo que hae en este opúsulo es estableer de nuevo los algoritmos que resuelven las formas anónias ompuestas demostrándolos a partir de las proposiiones 5 y 6 del libro segundo de los Elementos de Eulides 1. Thābit Ibn Qurra ya no aepta omo garantía de verdad lo que se ve en las figuras que al-khwārizmī muestra, sino que preisa una garantía de verdad de otro tipo: la que da el entramado eulídeo. En esta entrega de las historias de al-khwārizmī examinaremos el aspeto que tienen esas demostraiones no eulideas que hae al-khwārizmī y qué hae al-khwārizmī on las figuras que usa en ellas, y veremos un ejemplo de ómo es la retifiaión de Thābit Ibn Qurra y qué nuevo papel desempeñan las figuras en ella. Pero antes diré un par de osas sobre la demostraión eulídea. Mostrar, demostrar La demostraión matemátia se onstituye por primera vez en la Greia lásia, y se onstituye preisamente separándose de una manera previa de demostrar uyo fundamento estaba en mostrar que se ve que lo que se quiere demostrar es así. En Puig (1994) señalé que Árpád Szabó argumenta en su libro Les débuts des mathématiques greques (Szabó, 1977) que la geometría griega era primitivamente una espeie de historía, una indagaión empíria sobre las propiedades de las figuras geométrias, basada en la vista, e indiqué que, por eso, uando, omo hae Eulides, los objetos de la geometría se definen desprendiéndose de las propiedades sensibles de las figuras geométrias trazadas en la tierra, omo medios de organizaión de éstas ( Un punto es lo que no tiene partes. Una línea es una longitud sin anhura. ), esas definiiones han de aompañarse del postulado de las ondiiones mismas del disurso en el que ha de dialogar el letor (Puig, 1994a, p. 6). La transformaión de la demostraión basada en la vista en la demostraión eulídea tiene ese omponente ontológio (los objetos de los que trata la geometría no son las figuras trazadas en la tierra, sino los oneptos que organizan los fenómenos del ontorno), y, omo onseuenia de ello, tiene también un omponente pragmátio: omo la demostraión depende de un maro disursivo, los nuevos objetos exigen un maro disursivo nuevo, ya no basta omo garantía de verdad mostrar que algo se ve que es así. Más aún, omo subraya el mismo Szabó en su libro L aube des mathématiques greques (Szabó, 000), en el que repasa y amplía años después sus tesis expuestas en (Szabó, 1977), en una demostraión por reduión al absurdo, el gran invento griego, lo esenial del razonamiento no se puede presentar a la vista, no hay que prestar atenión a los segmentos que se dibujan, sino sólo a las definiiones (Szabó, 000, p. 54). Las figuras dibujadas pueden ser un apoyo para los razonamientos, los razonamientos pueden desarrollarse haiendo referenia a figuras que están dibujadas, pero lo que se ve en éstas ya no puede ser la garantía de la verdad de lo que se afirma. Esa garantía hay que busarla en otro sitio. El verbo griego deíkmyni, del que deriva la expresión on la que Eulides termina las demostraiones de todos los teoremas, que traduimos orrientemente por omo queríamos demostrar, signifiaba en la lengua lásia griega, nos uenta Szabó (1997, p. 0) tanto haer ver, mostrar, indiar omo haer onoer mediante la palabra, expliar o demostrar. El signifiado más primitivo paree ser el de mostrar, y, así, arguye Szabó, se puede ver en aión en el famoso pasaje del diálogo Menón de Platón en el que Sórates le enseña al eslavo ómo onstruir un uadrado de área doble de un uadrado dado. Sórates le muestra al eslavo la figura y le hae ver que si dobla el lado, el uadrado obtenido no es el doble sino el uádruple. Todo el peso de la demostraión se soporta en la vista, en lo que Sórates hae ver al eslavo en las figuras dibujadas en la tierra. Sin embargo, las osas ya no son así en los Elementos de Eulides, y uando en éstos se die que algo se ha demostrado, lo que se ha heho no ha sido mostrar la figura onstruida para que se vea que es así. 94

3 En el Menón, Sórates sólo le pregunta al dueño del eslavo Es griego y habla griego?. Ése es todo el maro disursivo que Sórates neesita ompartir on el eslavo para poder enseñarle, para poder mostrarle la verdad de una proposiión matemátia. El eslavo aeptará lo que se le muestra omo prueba, porque mostrar es demostrar en ese maro disursivo. La demostraión que hae Sórates es, omo las que hae al-khwārizmī, una demostraión de las que hemos llamado ingenuas. Luis Vega, en su libro La trama de la demostraión, que subtituló Los griegos y la razón tejedora de pruebas (Vega, 1990), señala omo aepiones del verbo griego deíkmyni tanto mostrar algo, omo probar que algo es el aso; y éste probar que algo es el aso puede ser según él probar de modo vago o genério, signifiado que le atribuye a la apariión de ese verbo en la indiaión que Sórates le da al eslavo uando le die Y si no quieres haer álulos, muéstrala en un dibujo, refiriéndose a la diagonal del uadrado que resuelve el problema de enontrar el uadrado de área doble (Vega, 1990, p. 0). Los álulos no serían según esto una prueba vaga o genéria, sino una demostraión onluyente, un argumento on poder de onviión en el maro disursivo eulídeo, el signifiado que deíkmyni aaba teniendo. Al subrayar, omo lo estoy haiendo, el papel del maro disursivo en la araterizaión de a qué se onsidera una demostraión, lo que estoy queriendo deir, omo lo die Vega (1990) es que un argumento es una demostraión por razones pragmátias. Es deir, una demostraión se arateriza por ser una argumentaión que en un determinado maro disursivo se reonoe por quien la realiza y quien la esuha omo demostraión. Pero no estoy diiendo que se trate de un auerdo que se establee entre dos personas en el urso de un diálogo, el maro disursivo es un onjunto de reglas pragmátias soialmente estableidas, en un momento histório onreto, por una omunidad, en el aso que nos oupa, por una omunidad matemátia. Cuando se abandona el mostrar on el dedo omo forma de presentar una prueba, y la vista omo garantía de verdad, es deir, uando este maro disursivo que sustenta las demostraiones que hemos llamado ingenuas deja de regir, y la argumentaión, la manera de dar uenta y razón, toma la forma de una deduión lógia, resulta preiso estableer un nuevo maro disursivo en el que se auerde qué osas son las que no va a ser preiso deduir de otras. Esos primeros prinipios adoptan en el texto eulídeo dos formas: las noiones omunes y los postulados. En el maro disursivo que onstituye los Elementos el diálogo es posible, la realizaión de demostraiones es posible, porque aeptamos que hay osas que no hay que demostrar, y esto por dos motivos: el primero, porque estamos de auerdo en que son verdaderas, ésas son las noiones omunes; y el segundo, porque aeptamos que son verdaderas para que el diálogo pueda omenzar, ésos son los postulados. Szabó (1977) afirma que la palabra que usa Eulides y que traduimos por postulado, aitēmata, designa en la dialétia una petiión a la que el interloutor no asiente de inmediato, sino ante la que tiene reservas. Por eso Eulides esribe en los postulados en imperativo: Postúlese el trazar una línea reta desde un punto ualquiera hasta un punto ualquiera. Y de ahí la historia en partiular del quinto postulado, que, puesto en duda reiteradamente, aabó abriendo otros maros disursivos para la geometría. Las demostraiones eulídeas, las que hemos llamado geométrias, son las que se desarrollan en ese maro disursivo ompuesto por definiiones, noiones omunes, postulados y deduiones lógias. Nada de esto está presente en las demostraiones de al-khwārizmī de los algoritmos de las formas anónias ompuestas. Un esquema para desribir las demostraiones ingenuas de al-khwārizmī En varias oasiones he mostrado en detalle ómo hae al- Khwārizmī la demostraión del algoritmo de soluión de la quinta forma anónia (segunda forma anónia ompuesta) tesoro y números igual a raíes. Lo esboé por primera ver en las 7 as JAEM, que se elebraron en Madrid en 1995 (Puig, 1995), una expliaión más minuiosa apareió en Méxio omo apítulo de un libro (Puig, 1998) y puede desargarse de mi web en una versión ligeramente retoada en 003 ( y, finalmente, una versión inglesa en la que además hablo de los proedimientos de ortar y pegar en el álgebra babilónia tal y omo la reinterpreta Høyrup (00) y de mi uso de ese tipo de proedimientos para entender algunas proposiiones del De Numeris Datis de Jordanus de Nemore, ha apareido omo un apítulo del libro Reent Developments on Introduing a Historial Dimension in Mathematis Eduation, publiado por la Mathematial Assoiation of Ameria (Puig 011). Aquí voy a mostrar un esquema de lo que hae al-khwārizmī en este aso. La quinta forma anónia es el aso más difíil, lo que ha heho que en álgebras posteriores se presentara en último lugar, en vez de en el quinto. Lo que lo hae más difíil es el heho de que abe que la euaión tenga una soluión, dos soluiones o ninguna soluión, osa que no suede en las otras dos formas anónias ompuestas, y que, por tanto, haya que disutir la existenia de esas posibilidades. Al- Khwārizmī enunia el algoritmo de soluión de esta forma anónia usando omo aso genério un tesoro y veintiún dirhams igual a diez raíes, es deir, el equivalente a nuestra la euaión x + 1 = 10x. Si esribimos esa euaión genéria en general x + = 10b, las instruiones del algoritmo las 95

4 podemos representar por la siguiente seuenia de operaiones: b b b b b b ± En la seuenia hemos señalado onjuntamente las dos opiones finales, que al-khwārizmī enunia por separado. números, es deir, de los objetos del álgebra, mediante figuras, y representaión de la euaión Un tesoro se representa on un uadrado 1.. Representaión difereniada de la raíz del tesoro y de la raíz de la superfiie, que permite expresar la euaión omo una adiión de áreas.. Justifiaión paso a paso del algoritmo..1. Primeros pasos que preparan el uso del método akadio... Operaiones de ortar, mover y pegar en las que se busa un gnomon equivalente a un retángulo (el método akadio)..3. Pasos finales de reorrido del algoritmo en la figura. Me paree importante señalar que, en la primera parte, al- Khwārizmī justifia ómo está representando las espeies de números mediante figuras. Un tesoro no es un uadrado, sino que se representa mediante un uadrado. En la entrega anterior de estas historias vimos que al-khwārizmī no podía representar un trinomio mediante una figura y que deía que a un trinomio no le onviene ninguna figura porque está ompuesta por tres espeies diferentes, tesoros, raíes y números, y no hay on ellas lo que les sea igual, para que pueda ser representado en una figura (Rashed, 007, pp ; Hughes, 1986, pp ). Figura1. Página del manusrito del libro de álgebra de la bibliotea Bodleyan de Oxford en que aparee la demostraión de la quinta forma anónia En la figura 1, está reproduida la página del manusrito del libro de al-khwārizmī onservado en la bibliotea Bodleyan de Oxford en la que al-khwārizmī presenta la demostraión de este algoritmo. En ella puede verse que hay una figura. De heho, la figura está oloada al final de la demostraión, preedida de la expresión ésta es la figura. Todo el texto que preede a la frase que muestra, india, la figura lo que hae es onstruir progresivamente la figura y manipularla mostrando que determinadas partes de ella son iguales a otras, sin más argumento que el heho de que así se ve en la onstruión. En el anexo presento el texto de la demostraión en detalle, aompañado de unas figuras expliativas, que no están en el texto de al-khwārizmī, y que van siguiendo la onstruión de la figura que presenta al-khwārizmī y las manipulaiones que hae on ella (de heho, mi figura es la de al-khwārizmī girada 180º). Indio también la relaión entre el texto de al- Khwārizmī y los pasos del algoritmo. Aquí presentaré el esquema de la demostraión y sus rasgos fundamentales. El esquema de la demostraión puede desribirse así: 1. Justifiaión de la representaión de las espeies de Es deir, al-khwārizmī die que para poder haer una figura neesita que haya una euaión. Esto es así porque el modo que tiene al-khwārizmī de representar las tres espeies de números permite ombinar las tres espeies en las dos dimensiones de las figuras planas que utiliza para representarlas. Para que las tres espeies se puedan representar en las dos dimensiones, lo que al-khwārizmī hae es lo siguiente. El tesoro, que siempre es uno porque las formas anónias están enuniadas para un tesoro 3, se representa mediante un uadrado. Las raíes, en plural, se representan mediante un retángulo. Para ello, al-khwārizmī reurre a un artifiio que explia minuiosamente en la parte 1. de nuestro esquema. La raíz del tesoro es lineal y se representa mediante un segmento, en onreto, el lado del uadrado que representa al tesoro, pero la raíz de la superfiie, la raíz del retángulo, es un retángulo de largo la raíz del tesoro (el lado del uadrado) y de anho una unidad. Es una línea anha, omo las llama Høyrup (1995), que traza su uso desde el álgebra babilónia. Así, las raíes, en plural, puede ser un retángulo que se obtiene reiterando la raíz de la superfiie tantas vees omo sea neesario (omo diga el número de raíes que haya). Finalmente, los simples números se representan también omo un retángulo, uya área mide ese número: esto es lo que permite que se onstruya la euaión, el heho de que finalmente todas las espeies apareen representadas omo superfiies retangulares. 96

5 En la segunda parte de la demostraión, la parte ruial es la apliaión del método akadio, un método propio del álgebra babilónia que ortando, moviendo y pegando partes de un retángulo, lo onvierten en un gnomon de igual área, lo que permite ompletar un uadrado. Eso es lo que está mostrado en la parte. de nuestro esquema. El resto de la demostraión, antes y después de., reorre los pasos del algoritmo en la figura. Figuras que perduran: al-khwārizmī, Eulides, Babilonia He diho que la parte ruial de la demostraión de al- Khwārizmī es la apliaión del método akadio, un método que maneja las figuras de forma onreta ortándolas, moviéndolas y pegándolas, sin tener duda alguna sobre que, al haer esas manipulaiones, las figuras que se obtienen son las que apareen a la vista. Se ve que lo que resulta es un uadrado, o que es un retángulo, y se muestra: ésta es la figura, omo die al-khwārizmī. que lo que se ve es efetivamente el aso, on lo que no hae álgebra, sino geometría. El otro, inorpora el método akadio sin rítia alguna en el maro disursivo del álgebra que él ha onstituido. Parafraseando a Gandz (1937), su forma de demostrar está (más de) mil años atrás de Eulides, aunque su álgebra esté mil años por delante de Eulides. Pero omo el sustrato es el mismo, las figuras que usan al-khwārizmī y Eulides pueden verse omo ligeras variantes de una figura primaria: la que explia el método akadio. El fragmento más antiguo que se onserva de los Elementos de Eulides es un papiro que los historiadores dataron iniialmente alrededor del año 300 de nuestra era, y que más reientemente ha sido datado por Eri Turner aún más atrás, entre el 75 y el 15 de nuestra era. En ese fragmento, reproduido en la figura, aparee preisamente la figura que aompaña la proposiión 5 del libro segundo, una de las proposiiones en que Eulides más explíitamente está retifiando el método akadio. La figura 3 muestra la reonstruión de Høyrup (00) del método akadio apliado al problema de enontrar el largo y el anho de un retángulo uando se onoen el área y la suma del largo y el anho. Figura 3 Figura. El fragmento más antiguo de los Elementos de Eulides que se onserva Como señala Høyrup (00), el libro segundo de los Elementos de Eulides se puede interpretar omo la rítia de esos proedimientos de ortar y pegar babilónios. Interpretado así, Eulides está retifiando la ingenuidad de esos proedimientos, el heho de que su garantía de verdad sea lo que se ve. Eulides usa una figura, pero lo esenial de la demostraión ya no está en ella sino en el heho de que todas las afirmaiones que se haen sobre ella están fundadas en noiones omunes, postulados y definiiones, y on los argumentos propios del nuevo maro disursivo. Las osas no son así porque se ven en la figura, sino que lo que se ve se pone en duda hasta que se demuestra que es así. Eulides y al-khwārizmī están usando de forma distinta un mismo sustrato babilónio. Uno inorpora el método akadio al nuevo maro disursivo en que la garantía de verdad no está en lo visible, sometiéndolo a rítia, para lo que demuestra las propiedades geométrias que son pertinentes para estableer Figura 4 Figura 5 La proposiión II.5 de Eulides die en la traduión de María Luisa Puertas: Si se orta una línea reta en (segmentos) iguales y desiguales, el retángulo omprendido por los segmentos desiguales de la (reta) entera junto on el uadrado de la (reta que está) entre los puntos de la seión, es igual al uadrado de la mitad (Eulides, 1991, p. 7). En la demostraión de Eulides el momento ruial es uando establee que los retángulos sombreados en la figura 4 son iguales. En la demostraión de al-khwārizmī de la quinta forma anónia, el momento ruial, omo ya hemos señalado es uando establee la igualdad de los retángulos sombreados en la figura 5. Eulides y al-khwārizmī no haen lo mismo, ni en los detalles ni en la intenión, ni en el maro dis- 97

6 ursivo de referenia de sus demostraiones, pero todo está preparado para retifiar la demostraión ingenua de al- Khwārizmī on la demostraión geométria de Eulides. Thābit ibn Qurra retifia a al-khwārizmī Lo que hae Thābit ibn Qurra para retifiar las demostraiones de al-khwārizmī sigue un esquema muy distinto del que organiza las demostraiones de éste, y, además, las figuras que apareen desempeñan un papel bien diferente. El momento ruial de la demostraión no va a ser ninguna operaión realizada on la figura, sino la identifiaión del problema que se quiere resolver (la soluión de la forma anónia) on un problema que ya está resuelto en los Elementos de Eulides. Y la figura por tanto no va a ser objeto de transformaiones de ortar, mover y pegar, sino que, una vez onstruida de manera que represente la euaión que se trata de resolver, ya no es más que una referenia para el disurso demostrativo, que se fundamenta en el edifiio eulídeo y no en lo que se ve. En su opúsulo La retifiaión de los problemas del álgebra mediante demostraiones geométrias, Thābit Ibn Qurra resuelve las tres formas anónias ompuestas. Aquí examinaremos ómo lo hae utilizando omo ejemplo la primera de ellas, es deir, la uarta forma anónia. Para que sirva de referenia, en el anexo 1, presento el algoritmo de soluión tal y omo lo plantea al-khwārizmī en su libro de álgebra, y una expliaión de su demostraión. Como en el aso de mi análisis de la quinta forma anónia que hemos examinado antes, la figura que al-khwārizmī sólo presenta al final de la demostraión tras la frase ésta es la figura, la onstruyo yo siguiendo los pasos de la demostraión. Lo primero que distingue a Thābit ibn Qurra de al-khwārizmī es que lo que hae es resolver la forma anónia tomada omo un problema enuniado en términos generales. Thābit ibn Qurra no enunia un aso onreto numério, para usarlo omo aso genério, a la manera de al-khwārizmī, sino que se plantea resolver el problema en la expresión general que es la forma anónia, en el aso de la uarta, tesoro más raíes igual a números. La demostraión reorre esquemátiamente los siguientes pasos: 1. Anunio.. Justifiaión de la representaión de las espeies de números (los objetos del álgebra) mediante figuras, y representaión de la euaión, en términos generales. 3. Reduión a un problema onoido. 4. Reurso a una proposiión de los Elementos, en este aso la proposiión II, Paralelismo on el algoritmo. Obsérvese que Thābit ibn Qurra no parte del algoritmo, sino que se plantea resolver el problema, no demostrar el algoritmo. Sólo al final, verá que la soluión que él ha enontrado se orresponde on el proedimiento de los algebristas, es deir, on el algoritmo. Veamos en parte ómo transurre la demostraión Anunio. Thābit ibn Qurra omienza anuniando explíitamente que la manera de resolver esto se basa en Eulides II, 6.. Justifiaión de la representaión de las espeies de números (los objetos del álgebra) mediante figuras, y representaión de la euaión, en términos generales. Pongamos el tesoro omo un uadrado ABGD y pongamos en BH tantas vees la unidad on la que se miden las líneas omo la antidad dada de raíes, y ompletemos la superfiie DH. Así la raíz es AB, porque el tesoro es el uadrado ABGD, y esto es en el ampo de los números y el álulo omo el produto de AB por la unidad on la que se miden las líneas. Pero en BH hay tantas vees la unidad omo la antidad dada de raíes, así que el produto de AB por BH es también igual a las raíes del problema, en el ampo de número y álulo. Y el produto de AB por BH es la superfiie DH, porque AB es igual a BD. Entones la superfiie DH también es igual a las raíes del problema. Por tanto, la superfiie total GH es igual al tesoro on las raíes añadidas. 3. Reduión a un problema onoido. Pero el tesoro on las raíes es igual a un número onoido. Así que la superfiie GH es onoida, y es igual al produto AH por AB, porque AB es igual a AG. Por tanto, el produto HA por AB es onoido y la línea BH es onoida, porque el número de sus unidades es onoido. Y así el asunto resulta ser un problema geométrio onoido: La línea BH es onoida, y AB se le añade, y el produto de HA por AB es onoido. 4. Reurso a una proposiión de los Elementos, en este aso la proposiión II, 6. Ahora bien, se ha demostrado en la proposiión sexta del segundo libro de Eulides que, uando la línea BH se orta en dos mitades en el punto W, el produto de HA por AB on el uadrado en BW es igual al uadrado en AW. Pero el produto HA por AB es onoido y el uadrado en BW es onoido. Así que el uadrado en AW es onoido y AW también es 98

7 onoido, y substrayendo de él BW, que es onoido, resulta AB onoido, que es la raíz. Y multipliado por sí mismo, el uadrado ABGD es onoido, es deir, el tesoro. Y esto es lo que queríamos demostrar. 5. Paralelismo on el algoritmo. Este proedimiento se orresponde on el proedimiento de los algebristas para resolver estos problemas. Cuando ellos dividen por dos el número de raíes, es omo uando nosotros dividimos en dos la línea BH [ ] y uando la multiplian [la raíz] por sí misma y onoen así el tesoro, es omo uando nosotros hemos onoido a partir de AB su uadrado, que es el tesoro. (Lukey, 1941, pp y ; Rashed, 007, 33-34) Thābit ibn Qurra obtiene pues el proedimiento para resolver la uarta forma anónia, que él ve omo un problema, de manera independiente del algoritmo de al-khwārizmī, y luego muestra que su proedimiento de soluión, que está demostrado a la manera eulídea, se orresponde on el proedimiento de los algebristas, que no está demostrado a la manera eulídea. No busa la garantía de la verdad del algoritmo de los algebristas en el maro disursivo de éstos, sino en un maro disursivo distinto: el de la demostraión geométria en prátia en los Elementos de Eulides. Para ello, Thābit ibn Qurra se plantea la soluión de la uarta forma anónia omo un problema. Y, a diferenia de al- Khwārizmī, lo plantea en términos generales: se trata de demostrar que si el tesoro on las raíes es igual a un número onoido, entones tanto la raíz omo el tesoro también son onoidos. Es deir, Thābit ibn Qurra se plantea un teorema, un problema de demostrar, del mismo estilo que los que Eulides se plantea en su libro Data, y del mismo estilo de los problemas, en ese aso aritmétio-algebraios, que Jordanus de Nemore de planteó en el siglo XIII en su libro De Numeris Datis, que analié en Puig (1994b). De heho, usa la proposiión II, 6 de los Elementos, porque el problema geométrio al que tradue el problema algebraio de resolver la uarta forma anónia es Data, 59, o, por permaneer en los Elementos, una generalizaión de la proposiión VI, 9. Como expliqué en Puig (1994b), un enuniado omo el problema de demostrar, el teorema, que se plantea Thābit ibn Qurra, es un teorema sobre la posibilidad de resolver una lase de problemas, en este aso, todos los que se reduen a la uarta forma anónia. Lo que Thābit ibn Qurra hae es traduir ese problema, que está enuniado en los términos del álgebra, y, por tanto, es un problema algebraio, a un problema geométrio que está en la aja de herramientas para el análisis que son las proposiiones ya demostradas de los libros de Eulides. Eso es lo que hae en la parte 3 en que he dividido su demostraión, que es analítia, es deir, sigue el método de análisis y síntesis, al ir de lo que se quiere demostrar a algo onoido. En la parte 4, el argumento sigue también el método de análisis y síntesis desarrollando una argumentaión que busa ahora derivar onoido de onoido, graias a la proposiión II, 5 de los Elementos. La palabra onoido se repite una y otra vez a lo largo de la demostraión. Por otro lado, la figura que Thābit ibn Qurra onstruye en la parte de la demostraión, no se manipula una vez onstruida, lo que se ha heho para representar la uarta forma anónia y poder realizar la traduión a un problema geométrio. La argumentaión analítia la usa sólo omo referenia para desplegar lo que es importante, que no es lo que se ve en la figura, sino lo que dien las proposiiones de la aja de herramientas para el análisis que son las proposiiones de los libros de Eulides. Coda. Nuevas figuras Algunos siglos después de esta parte de la historia del álgebra que he presentado, en el Oidente árabe medieval, es deir, en al-andalus y el Magreb, se desarrolla una forma de representar las espeies de números mediante abreviaturas que usan la primera letra de las palabras árabes número, raíz, tesoro, ubo, y ombinaiones de esas letras, oloadas enima de los números esritos on las ifras hindúes que al- Khwārizmī introdujo en el mundo árabe, así omo la última letra de la palabra árabe igual, y on ello se esriben de forma abreviada polinomios y euaiones. En la figura 8, tomada de Requena (008) pueden verse en rojo abreviaturas de ese estilo de dos euaiones en un texto del matemátio al-qalasadī, naido en Baza en 141, en el reino nazarí de Granada, y muerto en Béja (atualmente en Túnez) en 1486, a donde emigró por la inestabilidad que imperaba en los últimos años del reino de Granada. Figura 8 En textos omo el de al-qalasadī, las demostraiones ya no se haen mediante figuras a la manera ingenua de al- Khwārizmī, ni tampoo usando figuras en una demostraión geométria eulídea omo Thābit ibn Qurra. No hay reurso de ningún tipo a figuras geométrias, pero, en esos textos, esas abreviaturas también se llaman figuras, el disurso argumentativo se refiere a ellas, y esas nuevas figuras se manipulan: las demostraiones son algebraias. Pero ésa es otra historia. HISTORIAS 99

8 Anexo 1. La uarta forma anónia Pero tesoro y raíes iguales a un número es omo si dies: tesoro y diez raíes son iguales a treinta y nueve dirhams. Cuyo signifiado es: qué tesoro al que se le añaden diez de sus raíes, el total que se agrega es treinta y nueve? Cuya regla es que divides por dos las raíes, lo que en este problema resulta ino. Luego multiplíalo por sí mismo, y resulta veintiino. Añádele treinta y nueve, y son sesenta y uatro. Cuya raíz extraes, que es oho. Entones réstale la mitad de las raíes, que es ino. Queda pues tres, que es la raíz del tesoro, y el tesoro es nueve. (Hughes, 1986, p. 34; Rashed, 007, pp ) La euaión usada omo aso genério es x + 10x = 39, o, en general, x + bx =, y el algoritmo de soluión lo podemos representar on la seuenia de aiones siguiente: b b b b b b La demostraión transurre omo sigue: La ausa es la siguiente. Un tesoro y diez raíes son iguales a treinta y nueve dirhams. Haz pues para ello una superfiie uadrada de lados desonoidos, que es el tesoro que queremos onoer, así omo su raíz. Sea la superfiie AB. Pero ada uno de sus lados es su raíz, y ada uno de sus lados, si se multiplia por un número ualquiera, entones el número que se añade por ello es el número de raíes, ada una de las uales es omo la raíz de esta superfiie. Así, ya que se había diho que había diez raíes on el tesoro, tomemos un uarto de diez, que es dos y medio, y hagamos on ada uarto una superfiie on uno de los lados de la superfiie. Se haen así on la primera superfiie, que es la superfiie AB, uatro superfiies iguales uyas longitudes son iguales ada una a la raíz de AB y uya anhura es dos y medio, que son las superfiies G, H, T, K. Se engendra pues una superfiie de lados iguales y desonoidos a la que le falta lo que se le ha quitado en los uatro ángulos, a saber, en ada uno de los ángulos falta el produto de dos y medios por dos y medio. Lo que es neesario pues en números para ompletar la uadratura de la superfiie es uatro vees el produto de dos y medio por dos y medio. Y la suma de todo ello es veintiino. Sin embargo, nosotros dividimos por dos las diez raíes, y multipliamos eso por sí mismo, y le añadimos el número, que es treinta y nueve, para que se nos omplete la uadratura de la figura mayor on lo que falta en los uatro ángulos. En efeto, si se multiplia un uarto de ualquier número por sí mismo, y luego lo que resulta, por uatro, es igual que lo que resulta del produto de su mitad por sí misma. Nos basta pues on el produto de la mitad de la raíz por sí misma, en vez de uatro vees el produto de la uarta parte por sí misma. Y ésta es la figura. (Hughes, 1986, pp ; Rashed, 007, pp ) Como lo que ha demostrado on la figura no ha sido el algoritmo que había presentado al prinipio sino otro y ha tenido que ompletar la demostraión mediante la figura de otro algoritmo, on una demostraión on palabras de que los algoritmos son equivalentes, al-khwārizmī hae en este aso una segunda demostraión que ésa sí que sigue los pasos del algoritmo de soluión. Esa segunda demostraión transurre omo sigue: Hay otra figura que ondue a lo mismo: que es la superfiie AB, que es el tesoro. Queremos añadirle diez de sus raíes. Dividimos entones diez en dos mitades y resulta ino. Y haemos de ella dos superfiies en las dos partes de AB, que son las superfiies G y D, uya longitud es igual a los lados de la superfiie AB, y uya anhura es ino, que es la mitad de diez. Nos queda por tanto sobre la superfiie AB un uadrado que es de ino por ino, que es la mitad de diez raíes que habíamos añadido en las partes de la primera superfiie. Sabemos que la primera superfiie es el tesoro y que las dos superfiies que están sobre sus dos partes son diez de sus raíes, y que todo es treinta y nueve, y que falta para ompletar la figura más grande el uadrado de ino por ino. Éste es veintiino, que añadimos a treinta y nueve para ompletar la superfiie más grande, que es la superfiie NH. Se obtiene de todo esto sesenta y uatro. Tomamos su raíz, que es un lado de la superfiie más grande, que es oho. Si le quitamos lo mismo que le habíamos añadido, que es ino, queda tres, que es el lado de la superfiie AB, que es el tesoro, y por tanto es su raíz, y el tesoro es nueve. (Rashed, 007, pp ; Hughes, 1986, p. 38) Ahora bien, sabemos que la primera superfiie es el tesoro, y las uatro superfiies que la rodean, que son diez raíes, son treinta y nueve en números. Entones, si les añadimos veintiino, que son los uatro uadrados que están en los ángulos de la superfiie AB, ompletamos la uadratura de la superfiie mayor que es la superfiie DE. Pero sabemos que todo esto es sesenta y uatro. Uno pues de sus lados es su raíz, que es oho. Restemos por tanto lo que es igual a dos vees un uarto de diez de los dos extremos de la superfiie mayor, que es la superfiie DE, y queda de su lado tres, que es el lado de la primera superfiie, que es AB, y es la raíz de ese tesoro. Como puede observarse, la figura que al-khwārizmī onstruye no sigue exatamente el algoritmo que quiere demostrar, sino el algoritmo siguiente: b b b b b b b 4 Esta inongruenia la resuelve al-khwārizmī estableiendo on palabras una identidad algebraia, la que muestra que lo obtenido al final es igual a lo que se quería obtener: 100

9 Anexo. La quinta forma anónia La euaión usada omo aso genério es x + 1 = 10x, o, en general, x + = bx, y el algoritmo de soluión lo podemos representar on la seuenia de aiones siguiente: b b b b b b ± La demostraión transurre omo sigue: 1. Justifiaión de la representaión de las espeies de números, es deir, de los objetos del álgebra, mediante figuras, y representaión de la euaión Un tesoro se representa on un uadrado Cuando un tesoro y veintiún dirhams son iguales a diez raíes, representamos el tesoro por un uadrado uyo lado no onoemos A éste unimos un paralelogramo, la superfiie HB, uyo anho, el lado HN, es igual a uno de los lados de la superfiie AD. La longitud de las dos superfiies juntas es igual a la línea HC. Sabemos que esta longitud es diez en números, ya que un uadrado tiene los lados y los ángulos iguales, y, 1.. Representaión difereniada de la raíz del tesoro y de la raíz de la superfiie, que permite expresar la euaión omo una adiión de áreas. Y ésta es la que se obtiene de la multipliaión de la mitad de las raíes por sí misma, lo que es ino por ino, y esto es veintiino... Operaiones de ortar, mover y pegar en las que se busa un gnomon equivalente a un retángulo (el método akadio). Sabemos que la superfiie HB es los veintiuno que fueron añadidos al tesoro. De ella separamos una parte por la línea KT, que es uno de los lados de la superfiie MT, de manera que sólo queda la superfiie TA. Ahora quitamos de la línea KM la línea KL, que es igual a GK. Sabemos que la línea TG es igual a ML, y la línea LK, que ha sido separada de KM, es igual a KG. Así que la superfiie MR es igual a la superfiie TA. b Sabemos que la superfiie HT aumentada on la superfiie MR es igual a la superfiie HB, que es veintiuno. si uno de sus lados se multiplia por uno, es la raíz de la superfiie, y por dos, dos de sus raíes. Como se ha diho que un tesoro y veintiún dirhams es igual a diez raíes, onluimos que la longitud del lado HC es igual a diez, ya que el lado CD es la raíz del tesoro.. Justifiaión paso a paso del algoritmo..1. Primeros pasos que preparan el uso del método akadio. Por tanto dividimos el lado CH en dos mitades en el punto G y levantemos sobre él la línea GT. Se ve entones que la línea GC es igual a la línea HG. Y también es evidente para nosotros que la línea GT es igual a la línea CD. Ahora le añadimos a la línea GT algo igual a lo que supera la línea CG a la línea GT, para uadrar la superfiie, es deir la línea GK. Se hae así la línea TK igual a KM, ya que GH es igual a TN, resulta una superfiie uadrada, la superfiie MT. b.3. Pasos finales de reorrido del algoritmo en la figura Ya vimos nosotros que la superfiie MT es veintiino. Por tanto, si substraemos de la superfiie MT la superfiie HT y la superfiie MR, que son veintiuno, nos queda una superfiie pequeña que es la superfiie RK. Y ésta es lo que sobra entre veintiuno y veintiino. Y esto es uatro, uya raíz es RG, que es igual a GA, y es dos. Pero CG es la mitad de las raíes, que es ino. Si substraemos de ella GA, que es dos, queda tres que es la línea AC, que es la raíz del tesoro. Y el tesoro es nueve. Pero si la añades a la línea GC, que es la mitad de las raíes, entones la suma b b + es siete, o la línea RC, que es la raíz de un tesoro más grande. Si añades veintiuno a este tesoro, entones la suma será también igual a diez de sus raíes. Y esto es lo que queríamos demostrar. Ésta es la figura. b (Rosen, 1831, pp de la versión inglesa, y del árabe; Hughes, 1998, pp ; Rashed, 007, pp ) b b b 101

10 NOTAS 1 El historiador egipio Roshdi Rashed paree que no puede admitir que al- Khwārizmī no siguiera el estilo eulídeo. En la introduión a su reiente ediión del álgebra de al-khwārizmī (Rashed, 007) hae equilibrios para afirmar que aunque al-khwārizmī no pareza seguir a Eulides, en realidad lo que hae está inspirado en Eulides. Así, esribe que una identidad algebraia sin estar formalmente enuniada por al-khwārizmī, sin embargo fundamenta su forma de atuar, on lo que se puede suponer que al-khwārizmī se había inspirado en la forma de atuar de Eulides (Rashed, 007, p. 39). O también que el estilo geométrio que observa al- Khwārizmī [ ] inluso si no asa exatamente on el de Eulides [ ] le está emparentado. Se puede suponer, inspirado, emparentado, todo expresado de forma vaga y sin espeifiar uáles son las araterístias difereniales de los razonamientos demostrativos de los Elementos de Eulides y los que presenta al-khwārizmī en su libro. Por supuesto que entre el libro segundo de los Elementos de Eulides y esas demostraiones de al-khwārizmī hay relaiones, lo que hae posible entre otras osas que Thābit ibn Qurra use esas proposiiones de Eulides para retifiar las demostraiones de al-khwārizmī, pero lo que tienen en omún no es de ningún modo lo que tiene que ver on el estilo de la demostraión y lo que onstituye la garantía de verdad, sino un heho que Rashed paree ignorar por ompleto: que tanto Eulides omo al-khwārizmī están trabajando, de forma distinta y on objetivos distintos, sobre un substrato omún: el álgebra babilónia (véase Høyrup, 00, para más detalles). El manusrito Hunt. 1, fol. 1v-54r, de 134. La ilustraión la hemos tomado de la ediión árabe de Masharrafa and Ahmad (1939). 3 Esto afirmaión preisaría una expliaión que no voy a dar aquí en detalle. En varias ediiones del texto de al-khwārizmī las formas anónias apareen enuniadas on tesoros, en plural, y así aparee en el texto árabe del manusrito que se onserva en la Bodleyan. Sin embargo, los algoritmos están enuniados para un tesoro, y en los problemas siempre se transforma la euaión obtenida mediante dos operaiones espeífias del álulo uya funión es reduir o ompletar los tesoros o las partes de tesoro para que haya un tesoro. Además, en la traduión latina de Cremona, las formas anónias apareen enuniadas on ensus (la traduión latina de tesoro) en singular. 4 He usado para presentar mi versión española del texto de Thābit ibn Qurra, la ediión de Lukey (1941) del texto árabe, on traduión al alemán, y la traduión franesa prátiamente ompleta que Rashed (007) presenta en la introduión de su ediión del álgebra de al-khwārizmī. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Eulides (1991). Elementos. Libros I-IV. Traduión de María Luisa Puertas. Madrid: Gredos. Gandz, S. (1937). 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