LA MARAVILLOSA FUNCION Y ECUACION CUADRATICA. CAMPO ELÍAS GONZALEZ PINEDA.

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1 LA MARAVILLOSA FUNCION Y ECUACION CUADRATICA CAMPO ELÍAS GONZALEZ PINEDA. cegp@utp.edu.co Itroducció. E este artículo presetamos u estudio geeral de la fució cuadrática. Veremos lo importate de esta fució y ecuació e todo el ámbito de las ciecias. Esperamos mostrar al lector la importacia de ciertos coteidos matemáticos que a veces pasa desapercibidos por lo simple y su grado de complejidad. Si embargo, veremos como algo que parece ta simple e realidad o lo es. Coteido. De todas las fucioes poliómicas o lieales, quizá la más importate es la fució cuadrática dada por: f(x) = x (1) La ecuació la podemos multiplicar por a y sumarle u b. Es decir (1) se puede escribir e la forma: f(x) = ax + b, a 0 Cuya gráfica abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. Además, la gráfica está traslada b uidades. El caso más geeral viee dado por f(x) = ax + bx + c 1

2 Que se reduce al caso aterior, completado cuadrado f(x) = a (x + b a ) + c b a Vemos que el vértice tiee coordeadas ( b a ac b, ) a La fució cuadrática tiee muchas aplicacioes, por ejemplo lazamieto de proyectiles, crecimieto de poblacioes, igresos, etc. Por ahora cetramos la ateció e la ecuació cuadrática ax + bx + c = 0, a 0. Si pérdida de geeralidad podemos cosiderar la ecuació x + bx + c = 0 que por la fórmula cuadrática tiee como solució a x = b ± b c Como sabemos las raíces de la ecuació cuadrática puede ser: reales e iguales, reales distitas, o complejas cojugadas. La preguta que surge es qué importacia tiee esta ecuació (y fució) e las Matemáticas y su aplicació al mudo real? Esta preguta la cotestaremos e parte de aquí e adelate. Ates mostramos uas particularidades de los ceros de la ecuació cuadrática. Curiosidades de la ecuació cuadrática. Sea p > 0, q > 0 reales positivos. Estos úmeros geera cuatro ecuacioes cuadráticas especiales a saber x + px + q = 0 (a), x px + q = 0 (b) x + px q = 0 (c), x px q = 0 (d) Nótese que si r 1, r so las raíces de (a) etoces r 1, r so las raíces de (b) y viceversa. Esto es lógico porque ua ecuació se obtiee de la otra cambiado x por x. U resultado

3 similar se tiee para las ecuacioes (c) y (d). Por la formula cuadrática ecotramos para el caso (b) y (d) que las raíces viee dadas por: x b = p ± p q x d = p ± p + q Nótese que para el primer caso las raíces so reales y distitas si p > q y so complejas cojugadas si p < q. E ambos casos si p q o es u cuadrado perfecto, las raíces está e el cuerpo cuadrático Q( p q). Para el segudo caso las raíces siempre so reales distitas, y está e el cuerpo cuadrático Q( p + q) e el caso de que la catidad subradical o sea u cuadrado perfecto. De otro lado otemos que x b + k = p + k ± p q Números que so las raíces de la ecuació x (p + k)x + k + pk + q=0 Es iteresate otar que aparece la otra ecuació y que además (k + pk + q) = p + k. De maera similar So las raíces de la ecuació x a + k = p + k ± p q x ( p + k)x + k pk + q=0 Esto se obtiee cambiado p por p. De maera similar x d + k = p + k ± p + q Que so las raíces de la ecuació x (p + k)x + k + pk q=0 Similar al caso aterior aparece la otra ecuació y que además (k + pk q) = p + k. Ahora, cambiado p por p obteemos la ecuació x ( p + k)x + k pk q=0 3

4 Haciedo p = q teemos los siguietes casos particulares. x px p = 0 Ecotramos r = p ± p + p, Ahora si sumamos 1 a estas raíces teemos r + 1 = p + ± p + p, que so los ceros de la ecuació x (p + )x + 1 = 0 De maera similar para la ecuació Vemos que las raíces so Luego x + px p = 0, r = p ± p + p, r + 1 = p + ± p + p Que so las raíces de la ecuació x ( p + )x (p 1) = 0 Para la ecuació Teemos Sumado uo teemos x px + p = 0, r = p ± p p r + 1 = p + ± p p

5 Que so los ceros de la ecuació Para la ecuació Ecotramos x (p + )x + p + 1 = 0 x + px + p = 0, r = p ± p p r + 1 = p + ± p p Que so las raíces de la ecuació x ( p + )x + 1 = 0 Nótese la relació etre las raíces. Además, restado p a las raíces de ua se obtiee las de la otra. Cuerpos cuadráticos Sea K u cuerpo y supogamos que la ecuació x = m () o tiee solució e K. Costruyamos el cojuto K( m) = {a + b m a, b K} Si z = a + b m, w = c + d m so elemetos de K( m) defiimos, 1. z = w si y solo si a = c, b = d.. z + w = (a + c) + (b + d) m 3. z w = (ac + bdm) + (bc + ad) m No es difícil mostrar que (K( m), +, ) tiee estructura de cuerpo (llamado cuerpo cuadrático geerado por m asociado a K) y además: 1. La ecuació () tiee solució e K( m).. Si W es u cuerpo e el que () tiee solució etoces, 3. K K( m). K( m) K K ( es isomorfo.) K( m) W Es bueo aotar que e K( m) la solució de la ecuació () es x = ± m. 5

6 De otra parte si hacemos j = m teemos que z = a + bj. Al úmero a se le llama parte real de z y al úmero b parte imagiada de z. El cojugado de z se deota y defie z = a bj. Pero porqué hemos cetrado la razó e los cuerpos cuadráticos? pues precisamete porque so geerados por ua ecuació cuadrática. Ahora, sabemos que e los úmeros reales (R) la ecuació x = 1 o tiee solució, por lo que teemos el cuerpo cuadrático C = R( 1) llamado el cuerpo de los úmeros complejos. Además este resultado o da mucha iformació, por ejemplo, etre los úmeros reales y los úmeros complejos o hay cuerpos, mietras que etre los úmeros racioales y los reales hay ifiitos cuerpos. Existe ifiitos cuerpos etre los racioales y los complejos que o está coteidos e los reales. Ecuació diferecial ordiaria de orde dos co coeficietes costates. Del curso básico de ecuacioes difereciales ordiarias coeficietes costates se cooce la ecuació co ay + by + cy = 0 a 0 (3) Buscado solucioes de la forma y = e mx se ecuetra que m es u cero de la ecuació am + bm + c = 0 Llamada ecuació característica asociada a (3). Sabemos que la ecuació (3) modela muchos feómeos físicos: movimieto armóico simple, amortiguado, circuitos e serie, el pédulo etc. Solo por mecioar alguos. Ua cosecuecia importate, es la relació e este caso de la ecuació de segudo grado co la fució expoecial. Más adelate mecioaremos esto. Recuérdese que la ecuació ax y + bxy + cy = 0 Puede escribirse como ua ecuació de coeficietes costates de segudo orde. Método de Frobeius. Cuado se aplica el método de Frobeius a la ecuació y + P(x)y + Q(x)y = 0 la forma de las solucioes depede de ua ecuació cuadrática de la forma r + br + c = 0 llamada ecuació idicial. 6

7 La ecuació cuadrática y su derivada. Recordemos que si ax + bx + c = 0 etoces por la formula cuadrática, x = b ± b ac a = b ± h a Sea x 1 = b+h etoces, h = ax a 1 + b = f (x 1 ). Es decir, la raíz cuadrada del discrimiate de la ecuació, es la derivada de la fució cuadrática evaluada e el cero dado. Es decir, Δ = (f (x 1 )). Además ótese que el segudo cero es x = ax 1+b a La ecuació cuadrática y la sucesió de Fiboacci y Teoría de grupos. Cosideremos los siguietes casos particulares de la ecuació cuadrática: Caso I: Ecuació x = x + 1 (1) Los ceros de esta ecuació so el úmero áureo y su cojugado. r = 1± 5. Es de aotar que el úmero áureo aparece de maera atural e el uiverso. La ecuació aterior la podemos escribir e la forma x = x Es curioso que la expresió 1 sea la parte decimal de x. x Multiplicado por x 1 ecotramos Sumado desde 1 hasta obteemos x = x 1 + x x x 1 = x 7

8 Esto es x k = x + x De otro lado la sucesió. (x k x k 1 ) = x k x = x 1 + x es ua geeralizació de la sucesió de Fiboacci. No es difícil mostrar e la ecuació aterior(o de la ecuació (1)) que x = F x + F 1 dode F es el eésimo úmero de Fiboacci. Elistados los coeficietes queda F F 1 Vemos e este caso como la ecuació cuadrática está relacioada co la sucesió de Fiboacci y además sus raíces geera a su vez ua sucesió geeralizada de Fiboacci. Recordemos que la sucesió de Fiboacci se defie por la fórmula de recurrecia: Sumado ecotramos 8 f = f 1 + f, f 0 = 1, f 1 = 1 f k = (f k f k 1 ) = f f 0 = f 1 Observemos que para la ecuació (1) x = 1± 5 Cosideremos el caso geeral x b = x + 1. Haciedo No es difícil ver que x b+k 1 = x k + x k 1

9 x k = xb 1 x 1 (x 1) = x x 1 (x 1) La prueba es por iducció, claramete para = 1 el resultado se tiee. Supogámoslo para y veamos que se cumple para + 1. E efecto, +1 x k = x k + x +1 = x x 1 (x 1) + x +1 = x+1 x+x + x +1 = x x 1 x 1 (x+1 1) Nótese que simplemete el resultado es cosecuecia de la suma geométrica. Caso II: Ecuació x = x + 1 () Multiplicado por x k obteemos, x k = x k x k 1 ( ) Sumado teemos, x k = 1 x x 1 = 1 x x = (x + 1)(1 x ) De la ecuació (**) o de () ecotramos x = ( 1) +1 F x + ( 1) F 1 E este caso la solució de la ecuació es x = 1± 5 Resolvamos el ahora x b = 1 x x = x 1 b (1 x) De dode x k = x 1 b (x k 1 x k ) 9

10 Sumado x k = x 1 b (1 x ) = x(1 x ) x b Caso III Ecuació x = x 1 (3) De tres ecotramos que x +6t = x 5+6t = x 1 x +6t = x 7+6t = x x 6+6t = x 3+6t = 1 Para t 0. Es fácil ver que el cojuto T = {x, x 3, x, x 5, x 6, x 7 } = {x, x 3, x, x, x 3, x 5 } es u grupo abeliao co el producto de orde 6. Ahora, x = x 1 x = 1 x 1 Si multiplicamos por x k 1, es decir, x k = x k 1 x k etoces 10 x k = Teemos que 1. Si k = + 6t (o k = 5 + 6t) x k =. Si k = + 6t (o k = 7 + 6t) x k = 3. Si k = 6 + 6t (o k = 3 + 6t) Nótese que e este caso x 1 x 1 = x 1 x x x x 1 x x k = (o = x + 1 x ) (o = x 1 x 0 (o = x ) = x)

11 E térmios complejos: Cosidere el caso geeral x = 1 ± 3i x = e π 3 i o e π 3 i x b = x 1 Así, x k = x 1 b (x k x k 1 ) Sumado x k = x 1 b (x k x k 1 ) = x 1 b ( x 1) ( ) El lado derecho de la ecuació (*), se puede escribir de distitas maeras segú reemplazar x b, alguas de ellas so: 11 x b = 1 x 1, teemos x b = x 1 b x luego x k = x(x 1) x 1 x k = x 1 b ( x 1) = x +1 b x 1 b = x +1 b x b x x b = 1 luego x 1 x k = x 1 b ( x 1) = x +1 b x 1 b = x b x x 1 Caso IV. Ecuació x = x 1 () Multiplicado la ecuació () por x e iterado el proceso ecotramos que x = x 1, x 3 = 1, x = x, x 5 = x. Y así el cojuto T = {x, x 3, x } tiee estructura de grupo abeliao y es de orde 3. E geeral se tiee que

12 x +3t = x, x 3+3t = x 3 = 1, x +3t = x De la fórmula Ecotramos lo siguiete: 1. = + 3t, x = x luego x k. = 3t, x = x 3 luego x k 3. = + 3t, x = x luego x k = x(x 1) x 1 = x(x3 1) x 1 x k = E caso x = 1± 3i, es decir, x 1 = e πi 3, x = e πi 3 = x(x 1) x 1 = x3 x x 1 = 1. = x(x 1) x 1 x(1 1) x 1 = 0. = x. Relació etre el úmero áureo y pi y la ecuació cuadrática. La relació etre φ y π se deduce de la idetidad trigoométrica se(5θ) = 5se(θ) 0se 3 (θ) + 16se 5 (θ) Haciedo θ = π. Resulta ua ecuació cuadrática, de dode se obtiee 5 cos ( π 5 ) = φ, se ( π 5 ) = φ + 1 Sacado raíz cuadrada se obtiee el coseo y el seo (raíz positiva.) Nótese que φ + φ + 1 = 1 φ + φ = 3 El último resultado es de especial iterés y lo bautizamos. 1

13 Defiició: La ecuació de la creació viee dada por φ + φ = 3. El resultado aterior se puede geeralizar, recuérdese que φ es cero de la ecuació cuadrática x x 1 = 0 cuya solució está e el cuerpo Q( 5). Geeralizació: De igual forma podemos cosiderar los úmeros Φ = 1 + m, Φ = 1 m Que so solucioes de la ecuació x x m 1 = 0 válidas para todo m, pero os iteresa el caso e el que el úmero m sea u etero o cuadrado perfecto. Nótese que Si hacemos Ecotramos que Es decir, se (θ) = 1 ( Φ ) Φ + Φ = m + 1 cos(θ) = Φ = 15 m + (1 m) m 1 16 Φ + 7 m + Φ 8 = 1 Los valores permitidos para m so 0, 1,, 3,, 5, 6, 7, 8,9. Por último otemos que U caso especial. cos ( π 5 ) = 1 + 5, cos ( π ) = 5 = 7 m 8 + Φ Si hacemos Ecotramos x 1 = 1 + k + m, x = 1 + k m 13

14 y obteemos la ecuació x 1 + x = k + 1 x 1 x = k + k + 1 m x (k + 1)x + k + k + 1 m = 0 ( ) De igual forma si hacemos Ecotramos Obteemos la ecuació x 1 = 1 + k + m, x = x 1 + x = k 1 x 1 x = k k + 1 m 1 + k m x (k 1)x + k k + 1 m = 0 ( 1 ) Las ecuacioes ( 1 ) y ( ) tiee ua relació muy fuerte, y su forma es realmete similar. De maera aáloga si supoemos m < 0 y hacemos Obteemos la ecuació Si x 1 = x 1 = 1 + k + mi, x = x (k + 1)x + k + k m 1 + k + mi, x = 1 + k mi = k mi x (k 1)x + k k m = 0 Y vemos su relació co la ecuació aterior. Ecuació cuadrática y teoría de grupos. Recordemos que las solucioes de la ecuació x = x 1 () Geera el grupo T = {x, x 3, x } Co el producto, además este grupo es cíclico. Recordemos que x = x 1, x 3 = 1, x = x, x 5 = x. Tambié la ecuació 1

15 x = x 1 (3) geera el grupo T = {x, x 3, x, x 5, x 6, x 7 } Recordemos que: x +6t = x 5+6t = x 1 x +6t = x 7+6t = x x 6+6t = x 3+6t = 1 Para t 0. Alguas propiedades de comutatividad e grupo queda defiidas por ua ecuació cuadrática: 1. Sea (G, ) u grupo co idetidad e. Si para todo a G se tiee que a = e el grupo es abeliao.. Sea (G, ) u grupo, se cumple que (ab) = a b para todo los elemetos de G etoces, G es abeliao. Pero quizá la relació más importate de la ecuació cuadrática co los grupos aparezca e la teoría de cogruecias. La cual a su vez os dará ua relació co los úmeros primos, relació de por sí bie iteresate, ya que como veremos es u caso especial del teorema de Pitágoras. Ecuació cuadrática y teoría de cogruecias. Supogamos que se quiere resolver la ecuació cuadrática ax + bx + c 0 mod p equivale a resolver la ecuació u r mod p, u = ax + b, r = ac b (t ) co r, p primos relativos. Recuérdese el resultado importate de residuos cuadráticos: La ecuació x 1mod p tiee solució si y solo si p es u primo de la forma t + 1. Este resultado equivale a decir que existe eteros a, b de tal maera que 15 a + b = p

16 Como caso particular: 1 + = = = 17 La fució cuadrática y la geometría La fució cuadrática aparece co mucha frecuecia e la geometría, e particular e las áreas de las figuras geométricas. Por ejemplo, el área de u cuadrado es su lado al cuadrado, el área de u círculo es πr, etc. De hecho e uo de los orígees del úmero de oro cuado se hace la proporció Recuérdese que el área de ua esfera de radio r es A = πr y que su volume es V = 3 πr3 = πr 3 r = πr 1 3 r. 16

17 E geeral el área de la cara de u poliedro regular viee dada por A = kr dode r es la apotema y k es u úmero real. De maera similar se tiee para el úmero de diagoales de u polígoo regular. La fució cuadrática y la geometría aalítica E realidad la fució cuadrática aparece el Teorema de Pitágoras para la distacia etre putos. Recordemos que e todo triágulo rectágulo de catetos de medidas a, b y de hipoteusa de medida h se cumple que h = a + b que es ua fució cuadrática e dos variable. Este resultado se geeraliza a distacia etre putos del espacio -dimesioal. De este hecho se obtiee la logitud de ua curva, su curvatura etc. Geeralizado las superficies cuadráticas so casos particulares de la forma cuadrática e variables. Uo de los resultados importates es que la ecuació cuadrática permite demostrar la ortogoalidad etre la recta tagete e el puto de tagecia y ua esfera e R. La fució cuadrática y teoría de úmeros: La fució cuadrática y los úmeros perfectos Sabemos que 17

18 = ( + 1) Es decir, la fució cuadrática f(x) = x +x cotiee la suma de los primeros úmeros aturales. Lo iteresate es que si a = p 1 ( p 1) es u úmero perfecto, vemos que p 1 = p ( p 1) = p 1 ( p 1) Nótese que e este caso x = p 1 1. De otra parte si hacemos x = x + 1 e la fució f etoces se obtiee g(x) = x + 3x + 1. Esta fució cuadrática es especial porque evía los úmeros impares e úmeros pares y los eteros pares e eteros impares. De hecho si a es u úmero perfecto par, existe de tal maera que = a. Defiició. A la parábola f(x) = x + 3x + 1 la llamamos la parábola perfecta o de Elías. Si e f hacemos x = x obteemos la fució h(x) = x + x 18

19 Esta fució cuadrática evía úmeros pares e úmeros pares e impares e impares. Y curiosamete o existe u etero de tal maera que g() sea u úmero perfecto. La suma de los primeros úmeros impares (pares) viee dada por la fució cuadrática: E geeral la suma f() = (f() = + ). b + (b + d) + (b + d) + + (b + ( 1)d) = d + (b d) Nótese que e este caso f() = (d + b d) (b d) 8d = f() Si d = b = 1 se tiee f() = ( + 1) 1 8 Esto explica porque el cuadrado de u úmero impar o puede ser u úmero perfecto. Estudiemos u poco la parábola de Elías. E primer lugar los ceros de f(x) = x + 3x + 1 so -1 y -1/. Etoces, El vértice se ecuetra e x = 3, f ( 3 ) = 0.15 = 1 8. Área ecerrada por la parábola de Elías y el eje x. A = 1/ Área ecerrada por la parábola de Elías y el eje x etre -0.5 y 0 A = 5 Nótese que la suma de las dos áreas calculadas es 1. f(π) = π + 3π + 1 = f(e) = e + 3e + 1 = f(φ) = φ + 3φ + 1 = DE otro lado, si teemos f(a) = a + 3a + 1, f(b) = b + 3b + 1 etoces, 19

20 Calculado por separado vemos que: f(a) f(b) = (a b)(a + b + 3) π e = , (π + e) = π φ = , (π + φ) = e φ = , (e + φ) = Lo más iteresate es: π + e = e + π = π + φ = φ + π = e + φ = φ + e = π + 3e = e + 3π = φ + 3π = φ + π = De otro lado sabemos que x + 3x + 1 = (x + 1)(x + 1) Los úmeros termiados e1, 3,5 so los que os sirve para hallar úmeros perfectos. Recordemos que si ax + bx + c = 0 etoces por la formula cuadrática, x = b ± b ac a = b ± h a 0

21 Sea x 1 = b+h etoces, h = ax a 1 + b = f (x 1 ). Es decir, la raíz cuadrada del discrimiate de la ecuació, es la derivada de la fució cuadrática evaluada e el cero dado. Es decir, Δ = (f (x 1 )). Además ótese que el segudo cero es x = ax 1+b a. E especial si hacemos f(x) = x + 3x + 1 P = 0, f(x 1 ) = P e la parábola de Elías, ecotramos que x = 3+x 1. Aplicado la fórmula cuadrática vemos que x 1 = P P = (x 1 + 3) 1 8 = (f (x 1)) 1 8 Ua cosecuecia imediata es que los úmeros pares geerados por esta fució (e particular los perfectos) so divisibles al meos por. De otro lado alguos valores so: X1 X= 3+x 1 P 1-5/ 6 3-9/ / / / / / / De otro lado si hacemos, x 1 = l + 1 P = l [ l+1 + 7] + 6 x 1 = l 1 P = l ( l+1 1) x 1 = + 1 P = (*) Es decir, todo úmero perfecto par está e la parábola (*) Área e la parábola de Elías. 1

22 Sabemos que f(x) = x + 3x + 1, teemos, f(a) = a + 3a + 1, f(b) = b + 3b + 1. La pediete de la recta que pasa por los putos (a, f(a)), (b, f(b) viede dada por m = a + b + 3 Y ecuació y = (a + b + 3)x + 1 ab. Calculemos, b ydx = a b a (f(a) + f(b)) Nótese que la figura formada es u trapecio y la expresió que aparece es el área de dicho trapecio. Ahora, b (x + 3x + 1)dx = a b a (f(a) + f(b) + ab + 3a + 3b + ) 6 Restado las áreas ecotramos que el área ecerrada por la recta y la parábola viede dada por: (b a)3 A = 3 La fució cuadrática y la Cojetura de Goldbach. Comecemos co ua propiedad iteresate que cumple los úmeros eteros impares. Recordemos que si p es impar etoces p es de la forma k + 1 o v 1 pero o de ambas a la vez. Teorema. Sea p, q úmeros impares etoces p + q es par (impar) p q es impar (par)

23 Demostració E efecto cosideremos las siguietes posibilidades: 1. p = k + 1, q = l 1 etoces p + q = k l 1 = (k + l) p q = k + 1 l + 1 = (k l) + 1. p = k + 1, q = l + 1 etoces p + q = k l + 1 = (k + l) + 1 p q = k + 1 l 1 = (k l) 3. p = k 1, q = l 1 etoces p + q = k 1 + l 1 = (k + l) 1 p q = k + 1 l + 1 = (k l). p = k 1, q = l + 1 p + q = k 1 + l + 1 = (k + l) p q = k 1 l 1 = (k l) 1 Así cosiderado todas las posibilidades se tiee el resultado. Sea p, q úmeros impares, hagamos 3 U resultado simple M = p+q p q, I = Si supoemos M par etoces I es impar. Sea M = podemos escribir etoces p + q =, p q = I Sumado y restado ecotramos p= + I, q = I. Tambié teemos que p = I + q. Ahora el teorema de Dirichlet afirma si a, b so primos relativos etoces la sucesió p = a + b cotiee ifiitos úmeros primos, e particular si elegimos los úmeros co q primo dado y 3 q 1. Etoces la sucesió

24 p = m + q cotiee ifiitos úmeros primos. Elijamos m u impar I para el cual p es primo, es decir, Devolviedo los pasos vemos que p = I + q p I = q + I = l ya que la suma y resta de impares es par. Vemos tambié que p = l + I, q = l I, p + q = l De estas igualdades y las ateriores y otado que q es de la forma I vemos que se puede escoger l = y el resultado se tiee. U resultado similar se obtiee si M es impar. Se tiee etoces el siguiete resultado: Teorema Para cada existe u impar I < de tal maera que so úmeros primos p = + I, q = I Como cosecuecia se tiee el siguiete resultado. Goldbach-Elías Todo par se puede escribir como la suma de dos úmeros primos. Parábolas Sea p > q úmeros impares y cosideremos la parábola f(x) = x (p + q)x + pq

25 Notemos que los cortes co el eje x so x = p, x = q. Además, el vértice ocurre e y para tal caso x = b a = p+q = M Si M es par (impar) I es impar (par). f( p+q ) = (p q) = I, I = p q Alguos cálculos Calculemos el área A s ecerrada por el eje x y la parábola etre los putos x = p, x = q viee dada por p (p A s = ( x q)3 + (p + q)x pq) dx = = q 6 3 I3 El área del rectágulo A r de lados p q, I viee dada por A r = (p q)i = I 3 El área del triágulo A t de base p q y altura I viee dada por Area bajo la curva A t = (p q)i = (p q)3 8 = I 3 Teemos las siguietes relacioes q A s = (x (p + q)x + pq) dx = q (3p q) A r A s = 3 A r = 3 A s A r A t = A r = A t 5

26 A s A t = 3 A s = 3 A t Nótese que: p = + I, q = I Triágulos rectágulos y úmeros primos De otra parte ote que e el triágulo rectágulo de lados e I co úmeros primos p = + I, q =. I p + q =, p q = I Elevado al cuadrado teemos (p + q) = p + pq + q (p q) = p pq + q Sumado (p + q) + (p q) = 16 + I (p + q) + (p q) = + I Nótese que como ((, I)) = 1 etoces ((, I )) = 1 por lo que el úmero H = () + I 6

27 Puede ser u úmero primo o u primo al cuadrado. Ejemplo: 1+5=17, 1-5=7. Aquí =6, luego (36)+5=169=13 Tambié, 1+7=19, 1-7=5. Por lo que (36)+9= 1+9=193 que es primo. Sea p = + I, q = I úmeros primos. Etoces, h = + I puede ser u úmero primo. H = () l + I l, l 1 puede ser u úmero primo. Nótese que (p + q) l + (p q) l = () l + (I) l (p + q)l + (p q) l l = () l + I i La fució cuadrática y los úmeros metálicos. Recordemos que los úmeros metálicos fuero descubiertos por la matemática argetia Vera W. de Spiadel allá cerca del año 000. Estos resulta de resolver ua ecuació cuadrática. Cosideremos los úmeros x 1 = 1 + m Que coduce a la ecuació cuadrática Ahora, la expresió m 1 (t) se reduce a, x = 1 m, m Z + x x m 1 = 0 (t) es u etero si y solo si m = + 1, Z +, es decir, la ecuació x x = 0 (t ) co etero positivo. De igual forma los úmeros coduce a la ecuació x 1 = 1 + m i, x = 1 m i, m Z + 7

28 De maera similar 1+m x x m = 0 (f) es u etero si y solo si m = 1. Y la ecuació se reduce a x x + = 0 (f ) Co etero positivo. Lo iteresate de la discusió aterior muestra que las ecuació (t), (f) tiee solucioes e dode el radical es u úmero impar de la forma + 1 o de la forma 1 segú, el caso. Es decir, la mitad de los úmeros impares produce solucioes complejas y la otra mitad solucioes reales. Como sabemos u úmero primo es de esta forma. Nótese e la ecuació (t) se obtiee solucioes reales y distitas, si el úmero m o es cuadrado perfecto, la solucioes está e el cuerpo cuadrático Q( m). Cuado m es u úmero primo impar, se observa ua propiedad iteresate: El úmero primo caracteriza la ecuació y aparece e la solució. Nótese e la tabla de úmeros metálicos: Los úmeros impares o so solamete primos sio que so de la forma + 1, excepto por el úmero de la plata dode aparece el úmero dos que tambié es primo. Esto o quiere decir que todo el úmero impar bajo la catidad subradical tiee que ser primo. De otro lado los úmeros metálicos deber ser ceros de la ecuació x x = 0 y o ecesariamete de la ecuació x x 1 = 0 Como se muestra e la tabla. (t ) (t ) De otro lado se sabe que el úmero de oro es el más irracioal de los úmeros metálicos, si embargo vemos que: 8

29 1.6 < φ < 1.7 Por tato es posible que e las medidas dode aparece el úmero áureo, la aproximació esté etre estos dos valores. Supogamos que los úmeros x 1 = 1 + m, x = 1 m so úmeros eteros, etoces m tiee que ser u cuadrado perfecto, e particular, como m es impar su raíz tambié, digamos, m = k + 1 por lo que Que so las raíces de la ecuació x 1 = k + x 1 = k + 1 x = k x x k(k + 1) = 0 Vemos que = k(k + 1) por lo que m = + 1 = (k + 1) La fució cuadrática y los p-úmeros. E esta parte cosideramos los úmeros de la forma:ppppppppppp (t veces ), 1 p 9 Los cuales llamaremos p-úmeros. Como veremos esos úmeros so de especial importacia. Escribiremos p t para idicar el p-úmero. E particular si p es u dígito escribimos p 1. Es decir, ppppppppppp p t Si p es u etero de más de dos cifras que o es u p-úmero le hacemos correspoder el p-úmero a 1 1 dode a 1 0 es el digito de las uidades. Si a 1 = 0 asociamos al úmero etero el púmero a Tambié podríamos asociar a u etero cualquiera el digito de sus uidades. Esto obviamete defie ua relació de equivalecia e el cojuto de los úmeros eteros. Tambié podríamos defiir e el cojuto de los úmeros eteros la relació de sumar sus dígitos hasta que se obtega u digito, por ejemplo, si u etero la suma de sus dígitos da 1 le asociamos el úmero 7, si por ejemplo la suma de sus dígitos da 80 le asociamos el cero, o si la suma de sus dígitos es sumamos ua vez más da 5, sumado da 9 y este el úmero que le asociamos. A todo p-úmero le podemos asociar ua parábola, si p q podemos formar la parábola 9

30 x (p + q)x + pq La cual tiee su cojugada x + (p + q)x + pq E coclusió a cada etero le podemos asociar u p-úmero y a cada p-úmero ua parábola. La fució cuadrática y la física. La fució cuadrática tiee muchas aplicacioes e la física, quizá el ejemplo más simple es el lazamieto de proyectiles, sabemos que si u objeto es lazado co ua águlo de elevació β co ua velocidad iicial V 0 etoces, el movimieto e el eje y viee dado por la fórmula y = gt + V 0se(β)t. Además, como el movimieto e el eje horizotal es uiforme, x = V 0 cos (β)t elimiado el parámetro ecotramos que Que es ua fució cuadrática. gx y = V 0 cos + ta (β)x (β) De hecho muchas expresioes tales como E = mc, K = 1 mv So parábolas. Es comú tambié ecotrar expresioes muy importates e física e dode se divide por el cuadrado de algo. Por ejemplo, la ley de atracció de Newto para dos masas separadas por ua distacia d viee dada por: F = GMm dode G es la costate uiversal por el producto de las masas y d es la distacia al cuadrado de sus cetros. d BIBLIOGRAFÍA [1]. Jua A. Viedma. Itroducció a la Geometría Aalítica. Editorial Norma 196 []. Agustí Afossi. Geometría Aalítica. Editorial progreso. 199 [3]. Paul. R. Rider. Geometría Aalítica. Motaer y Simo

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