por Claudia Nerina Botteon

Transcripción

1 CUÁNDO Y CUÁNTO: OPTIMIZANDO LAS DECISIONES DE INVERSIÓN EN CONTEXTOS DE CERTIDUMBRE por Claudia Neria Botteo Uiversidad Nacioal de Cuyo Agosto 2005

2 CUÁNDO Y CUÁNTO: OPTIMIZANDO LAS DECISIONES DE INVERSIÓN EN CONTEXTOS DE CERTIDUMBRE A. Itroducció Por Claudia Neria Botteo Al evaluar u proyecto de iversió se hace alusió permaete a la palabra optimizació. El armado del flujo de beeficios y costos que permite decidir respecto de su coveiecia, resulta de efectuar la diferecia etre los flujos de caja correspodietes a las situacioes co y si proyecto optimizadas. La optimizació de la situació si proyecto implica que para cada factor productivo, se debe computar los igresos y egresos efectivos que correspode al mejor curso de acció a seguir co él fuera del proyecto. Así, queda automáticamete icorporado su costo de oportuidad. El proceso de optimizar la situació co proyecto permite seguir el curso de acció más coveiete para cada factor productivo si éste se ejecuta. La optimizació a la que se hace referecia e este trabajo se diferecia de lo ya cosiderado e el setido que, e el marco de u proyecto cuyo flujo ya fue optimizado, se aaliza si el mometo de iicio propuesto es el más coveiete, si el tamaño de la iversió elegido es el más adecuado, si es el mometo de liquidació cosiderado es el más apropiado, etc. Es por ello que se desarrolla los siguietes coceptos: Mometo óptimo de iicio. Tamaño óptimo o ivel óptimo de iversió iicial. Mometo óptimo de liquidació de ua iversió y ciclo óptimo de iversió y/o producció. E cada uo de estos temas se idica y se explica coceptualmete los criterios que debe utilizarse para llegar a la correcta decisió. Dada la complejidad de esta temática, sólo se aborda e u cotexto de certidumbre. B. Mometo óptimo de iicio Los idicadores que se calcula a partir del flujo de beeficios y costos de u proyecto de iversió permite determiar si su ejecució es coveiete. Si embargo, e alguas decisioes de iversió es ecesario profudizar ese aálisis para determiar si el mometo elegido para iiciarla es el más adecuado. Puede ocurrir que, siedo coveiete ejecutar u proyecto hoy, sea mejor postergar su iicio por uo o más períodos. Tambié puede suceder que u proyecto o sea coveiete hoy y sí lo sea detro de alguos períodos. Hay ciertos elemetos que advierte al evaluador respecto de la ecesidad de aalizar cuádo se debe iiciar u proyecto de iversió, como por ejemplo: Las variacioes e el costo de la iversió, segú el mometo de su ejecució. La evolució futura de los beeficios y costos del proyecto. Los cambios esperados e la tasa de descueto pertiete. Para determiar si es coveiete o o postergar el iicio de u proyecto se debe comparar los beeficios co los costos que implica esa posposició. E efecto, si el valor actual de esos beeficios es mayor que el valor actual de esos costos, etoces coviee postergar el iicio. E primer térmio, se aaliza alguos casos e los cuales se cosidera que los beeficios etos so crecietes e el tiempo. Este crecimieto puede depeder del tiempo caledario y/o del mometo e que se iicia el proyecto. E todos se supoe que la tasa de descueto se matiee costate a lo largo del período de evaluació. 1

3 E segudo térmio, se cosidera u proyecto que preseta beeficios etos costates a lo largo del tiempo, pero se aaliza la situació e que la tasa de descueto es variable. 1. Los beeficios etos crece sólo como fució del tiempo caledario Se trata de proyectos e los que los beeficios etos crece sólo e fució del tiempo caledario. Esto puede ocurrir por ejemplo e los siguietes tipos de proyectos: Proyecto de costrucció de ua escuela: e efecto, sus beeficios etos o depede del mometo e que se ejecuta el proyecto, porque la existecia de ua escuela o iduce a quiees o se hubiera educado a que se eduque. Los beeficios etos depede del úmero de persoas que desea educarse, y éstas va aumetado co el tiempo. Proyecto de provisió de agua potable: dode el úmero de usuarios crece e fució del tiempo y, como cosecuecia, los beeficios etos tambié va icremetádose. 1 Proyectos viales y de ifraestructura de trasporte: dode los beeficios etos depede de la dismiució e los costos de viaje (costituido, e térmios geerales, por el valor del tiempo de las persoas y por el costo de operació y de mateimieto de los vehículos), siedo el úmero de viajes creciete e el tiempo. 2 Para facilitar la explicació del tema, e primer térmio se expoe u caso secillo dode la iversió tiee ua duració de ifiitos períodos y cuyo costo o es fució del mometo de iicio. Posteriormete, sobre la base de este mismo caso, se va aalizado otras variates. Caso 1: La iversió dura ifiitos años 3 y o depede del mometo de iicio del proyecto Supógase que se está evaluado u proyecto de recostrucció de ua ruta cuya calzada muestra cierto grado de deterioro. La iversió total requerida es de $ , la fase de iversió es istatáea (se ejecuta toda e u mismo mometo) y dura ifiitos años. El moto de iversió es idepediete del mometo e que se comiece a ejecutar el proyecto. A los efectos de simplificar, se cosidera que o existe costos de mateimieto. Los beeficios etos vecidos correspodietes al primer año caledario so de $ E efecto, como cosecuecia de la recostrucció, se observa ua dismiució e los costos de los viajes de esa ruta (debidos a la liberació de tiempo de quiees la usa y a la dismiució de los gastos de operació y mateimieto de los vehículos que trasita por ella). Se estima que los beeficios etos aumetará a razó de u 2% aual debido al crecimieto vehicular esperado y que so idepedietes del mometo e que se ejecute la iversió. Si la tasa de descueto es del 10% aual, cuál es el curso de acció más coveiete? El VAN de iiciar hoy la recostrucció es igual a $ , lo que implica que es coveiete. Dado que los beeficios etos asociados al proyecto so crecietes e el tiempo, resta ahora cosiderar si iiciarlo hoy es lo más coveiete. Es decir, aú cuado el VAN haya resultado positivo, es ecesario profudizar el aálisis respecto del mometo óptimo de iicio. 4 1 E el caso de proyectos de provisió de agua potable, los beeficios etos tambié puede depeder del mometo e que se ejecuta el proyecto. Esto ocurre cuado o todos los usuarios se coecta imediatamete al sistema. Más adelate, se cosidera este aspecto. 2 Luego se cosidera otros aspectos relativos al crecimieto de los beeficios de este tipo de proyectos. 3 Este supuesto es u poco fuerte ya que las iversioes, auque dure u úmero de períodos grade, o tiee ua vida útil ifiita. Coloma Ferrá e Cosideracioes acerca del mometo óptimo de iiciar ua iversió, muestra cómo el cosiderar ifiitos períodos e proyectos cuya duració es de u úmero grade de períodos, puede coducir a errores respecto del mometo óptimo de iicio. 4 Se puede comprobar que si los beeficios etos so costates a través del tiempo, la decisió se circuscribe sólo a ejecutar el proyecto ahora o o ejecutarlo uca. E efecto, si el proyecto resulta coveiete, lo mejor es ejecutarlo hoy. De todas formas, más adelate se muestra que esta coclusió es válida sólo si se cosidera que la tasa de descueto se matiee costate o crece e el tiempo. 2

4 Ua de las formas de optimizar el mometo de iicio es maximizar el VAN, criterio adecuado para comparar alterativas mutuamete excluyetes etre sí y que dura ifiitos períodos. Para el cálculo de los VAN es ecesario platear previamete los flujos auales de beeficios y costos correspodietes a cada ua de las alterativas de proyecto, las cuales respode a distitos mometos de iicio. Por ejemplo, e el siguiete cuadro se platea alguos de ellos: Alterativa de proyecto Iicio mometo ,88... Iicio mometo ,88... E el siguiete gráfico se icorpora los VAN de las alterativas de proyectos 5, segú sea su mometo de iicio. Está expresados a valores del mometo 0, lo que los hace comparables: VAN ($ del mometo cero) Mometo de iicio El mometo óptimo de iicio es el fial del quito año y el VAN de esta opció es $ ,97. Hay ua forma alterativa y simple de llegar al mismo resultado. Esta cosiste e ir comparado lo que se gaa co lo que se pierde por postergar el iicio del proyecto durate u período, de maera de ir evaluado las posposicioes de iicio e forma gradual. E primer lugar, se determia cuáto se gaa y cuáto se pierde por postergar el iicio desde el mometo 0 al mometo 1 del flujo aual. Debido a esa posposició, ocurre: U beeficio de $ e cocepto de itereses auales geerados por la postergació de la iversió, expresado al mometo 1 del flujo aual. U costo de $ debido a la pérdida del beeficio eto correspodiete al primer año (beeficio eto del mometo 1). Como ambos está expresados e u mismo istate, se puede sumar algebraicamete. Por postergar el iicio desde 0 a 1, se obtiee u beeficio eto positivo e igual a $ del mometo 1. Si ese beeficio se expresa e el mometo 0, resulta igual a $ 9.090,91 y coicide co la diferecia etre los VAN de las opcioes de iiciar e 1 y 0 respectivamete. Por iiciar detro de dos años e lugar de hacerlo detro de uo, ocurre: U beeficio de $ e térmios de itereses, expresado al mometo 2. U costo de $ debido a la pérdida del beeficio eto del mometo 2. Nuevamete se cocluye respecto de la coveiecia de esa postergació. Sobre la base de los supuestos del caso, el beeficio de postergar es costate ($ ) y el costo de hacerlo es creciete. Esto implica que e algú mometo futuro dejará de coveir 5 Los VAN se calcula co la fórmula de valor actual de u pla de cuotas crecietes a ua tasa dada. 3

5 postergar el iicio del proyecto. A los efectos de simplificar la presetació o se icluye las tres siguietes postergacioes auales, ya que e todas ellas se cocluye respecto de la coveiecia de iiciar el proyecto u año después. Es decir, se determia que iiciar al fial del quito año es mejor que e cualquier otro mometo precedete. El iiciar e el mometo 6, e lugar de hacerlo e el mometo 5, da lugar a: U beeficio de $ e térmios de itereses, expresado al mometo 6. U costo de $ ,89 debido a la pérdida del beeficio eto del sexto año (mometo 6). Ambos coceptos está expresados e el mometo 6, por lo que se cocluye respecto de la o coveiecia de la postergació. Esto implica que el mometo óptimo de iicio es el 5. E este cotexto de beeficios crecietes, aú cuado el VAN de iiciar hoy resulte egativo, es ecesario evaluar si coviee iiciar el proyecto e el futuro. Si e el caso aalizado, la iversió iicial es de $ (e lugar de $ ), el VAN correspodiete a la alterativa de proyecto de iiciar e el mometo 0 resulta egativo. No por ello hay que abadoar defiitivamete el proyecto. Los VAN correspodietes a iiciar e los mometos 1, 2 y 3 tambié so egativos, a partir del mometo 4 de iicio comieza a ser positivo y el VAN máximo ($ ,26) se alcaza si se ejecuta detro de 15 años (mometo 15). 6 El procedimieto seguido compara beeficios co costos relevates de pasar de u mometo de iicio a otro. Coviee postergar el iicio del proyecto siempre y cuado los beeficios de hacerlo supere a los costos que esto implica. Cuado estos coceptos se iguala, e pricipio 7, sigifica que se ha alcazado el VAN máximo, y por lo tato, que se ha determiado el mometo de iicio óptimo. Este criterio, e térmios matemáticos, se cooce como la codició de primer orde para la maximizació de ua variable depediete (e este caso: VAN) e fució de ua idepediete (e este caso: mometo de iicio). Es tambié posible se puede coformar ua fució que reúa ambos coceptos. E este caso, el mometo óptimo de iicio es aquel para el cual se cumple la siguiete ecuació 8 : j 1 BN = 0, (1,02) 0 ( j 1) j =, dode, se cosidera la postergació del iicio desde el mometo (j-1) a j. Tal como ha sido coformada la fórmula, el mometo óptimo de iicio está compredido etre (j-1) y j resultates (4,394 y 5,394 respectivamete). El úico úmero etero que se ecuetra ubicado e ese rago es el 5, por lo que éste costituye el mometo óptimo de iicio. Si embargo, este resultado es isuficiete para corroborar que se haya alcazado u VAN máximo. Ua vez que se obtiee, se debe calcular el VAN correspodiete a la opció elegida y los VAN de las alterativas de proyecto cuyos mometos de iicio sea los imediatamete iferior y superior al determiado. Si previamete o se hubiese calculado los VAN, sería ecesario determiar el VAN de las alterativas de iiciar el proyecto e los mometos 4, 5 y 6. De esta forma se asegura que se haya ecotrado la opció que maximice el VAN. Fase de iversió que abarca más de u período Es iteresate aalizar el mometo óptimo de iicio cuado el proyecto tiee ua fase de iversió que abarca más de u período. Cosidérese el Caso 1 co las siguietes diferecias: La fase de iversió es de dos años (e lugar de iversió istatáea). La iversió a ejecutar es de $ al comiezo del primer año y de $ al comiezo del segudo año (e lugar de $ e el mometo 0). Alguos de los flujos de beeficios y costos correspodietes a alterativas de iicio so: 6 Como la iversió es costate a través del tiempo y dura para siempre y los beeficios so crecietes, e algú mometo el proyecto comezará a ser coveiete. 7 Co ello, sólo se asegura que se cumple la codició de primer orde para la maximizació del VAN. 8 El desarrollo de esta ecuació se preseta e el Apédice matemático: fórmula (2). 4

6 Alterativa de proyecto Iicio mometo ,88... Iicio mometo ,88... Nótese que el primer beeficio de la alterativa de iiciar hoy es de $ , lo que refleja que el beeficio del primer año caledario ($ ) o puede ser logrado por este proyecto. Los VAN resultates, expresados a valores del mometo 0, se expoe e el siguiete gráfico: VAN ($ del mometo cero) Mometo de iicio El mometo óptimo para iiciar el proyecto es el 7 y su VAN es igual a $ ,71. Por pospoer el iicio desde el mometo 0 al mometo 1 ocurre: U beeficio de $ debido a los itereses auales origiados e la postergació de la primera etapa de iversió, expresado al mometo 1 del flujo aual. U beeficio de $ debido a los itereses auales origiados e la postergació de la seguda etapa de iversió, expresado al mometo 2 del flujo aual. U costo de $ debido a la pérdida del beeficio eto correspodiete al primer año de operació (beeficio eto del mometo 2). Si todos ellos se expresa e el mometo 2, el beeficio eto atribuible a la postergació es positivo ($ ). Se cocluye que coviee postergar el iicio del proyecto durate ese año. De seguir aplicado este proceso se llega a la misma coclusió obteida co el VAN máximo. E este caso, la ecuació que permite aproximar el mometo óptimo de iicio es: j 1 BN = (0, ) (1,10) + (0, ) (1,02) 0, ( j 1) j = dode el j resultate es 7,653, lo que implica que el mometo óptimo de iicio es el 7. Si o se coociese los VAN, sería ecesario calcularlo para los mometos de iicio 6, 7 y 8. Caso 2: La iversió dura ifiitos años y es fució del mometo e que se iicia Supógase la misma iformació del Caso 1 de págia 2 co la úica diferecia de que la iversió requerida es de $ , si se iicia hoy, y aumeta a razó del 0,5% por año. Los flujos auales correspodietes a alguas de las alterativas de iicio del proyecto so: Alterativa de proyecto Iicio mometo ,88... Iicio mometo ,88... Iicio mometo ,

7 Los VAN de las alterativas de proyectos, expresados a valores del mometo 0, so: Alterativa de proyecto VAN(10%) Iicio e el mometo ,00 Iicio e el mometo ,36 Iicio e el mometo ,04 Iicio e el mometo ,10 Iicio e el mometo ,31 Esto permite determiar que el mometo 3 es el óptimo para iiciar el proyecto. Como puede apreciarse este mometo es meor que el resultate e el Caso 1. Esto se debe a que e este caso la postergació del iicio colleva asociado u aumeto e el costo de iversió. Cabe otar que si los costos de iversió fuese decrecietes, el cambio e su valor actúa como u beeficio de la postergació. E efecto, hay ua razó más para postergar el iicio. Se aaliza e lo que sigue cuáto se gaa y se pierde por postergar el iicio u año. Por postergar el iicio desde el mometo 0 al mometo 1, ocurre: U beeficio de $ debido a los itereses auales geerados por el diero o ivertido e el mometo 0 ($ ), expresados e el mometo 1 del flujo aual. U costo de $ debido a la pérdida del beeficio eto del mometo 1. U costo de $ debido al icremeto del costo de la iversió a ejecutar e el mometo 1 co relació al correspodiete al mometo 0 ($ $ ). Dado que el beeficio eto de postergar resultate es positivo, se cocluye respecto de la coveiecia de la postergació del iicio del proyecto durate ese año. El iiciar e el mometo 2 e lugar de hacerlo e el mometo 1, da lugar a: U beeficio de $ e cocepto de itereses auales geerados por el diero o ivertido e el mometo 1 ($ ), expresado al mometo 2. U costo de $ debido a la pérdida del beeficio eto del mometo 2. U costo de $ debido al icremeto del costo de la iversió a ejecutar e el mometo 2 co relació al correspodiete al mometo 1 ($ $ ). Nuevamete se cocluye respecto de la coveiecia de la postergació. De seguir co este proceso se llega a la coclusió de que el mometo óptimo es el 3. E este caso, el mometo óptimo de iicio es aquel para el cual se cumple la siguiete ecuació 9 : j 1 j j 1 [(1,005) (1,005) ] 0 BN( j 1) j = 0, (1,005) (1,02) = dode el j resultate es 3,411. Nuevamete es ecesario calcular los VAN de las alterativas de iiciar e los mometos 2, 3 y 4, de maera de determiar exactamete el mometo óptimo. Caso 3: La iversió dura u úmero fiito de años y o depede del mometo de iicio Supógase que se está evaluado el proyecto del Caso 1, siedo la úica diferecia que la iversió dura sólo 30 años. Por simplicidad, se cosidera que su valor residual es cero. Para optimizar el mometo de iicio sigue siedo correcto maximizar el VAN. Si embargo, para que los VAN sea los adecuados para la comparació de alterativas mutuamete excluyetes etre sí y co iversió repetible, es ecesario cosiderar u horizote de evaluació de ifiitos años. Así queda automáticamete icluidas las reiversioes futuras. E el siguiete cuadro se platea los 31 primeros años correspodietes a los flujos a ifiito de las alterativas de iiciar hoy y detro de u año el proyecto: 9 El desarrollo de esta expresió se preseta e el Apédice matemático: fórmula (1). j 1, 6

8 Alterativa de proyecto Iicio mometo 0 Iversió ,00 0,00 Beeficios etos , ,77 Iicio mometo 1 Iversió , ,00 Beeficios etos , ,77 A cotiuació se grafica los VAN, expresados al mometo 0, de las alterativas de iicio: VAN ($ del mometo cero) Mometo de iicio E este caso, el mometo 8 es el óptimo para iiciar el proyecto y su VAN es de $ ,13. Por postergar el iicio desde el mometo 0 al mometo 1 del flujo aual, ocurre: U beeficio de $ debido a los itereses obteidos sobre las iversioes o realizadas e los mometos 0, 30, etc.; los cuales está expresados respectivamete e los mometos 1, 31, etc. del flujo aual. U costo de $ debido a la pérdida del beeficio eto correspodiete al primer año. Para la correcta comparació es ecesario expresar todos estos coceptos e u mismo mometo e el tiempo. Como el valor del cojuto de itereses, al mometo 1, es igual a $ ,10 10, el beeficio eto de postergar el iicio durate ese año es positivo. De seguir co este procedimieto se llega a la coclusió ya obteida. E este caso, la ecuació que permite calcular el mometo óptimo de iicio es 11 : 0, j 1 BN( j 1) j = (17,4494) (1,02) = 0, 16,4494 dode 16,4494 (o 1.644,94%) es la tasa de 30 años (equivalete a la tasa del 10% aual). El j resultate es 8,374 y se puede verificar que el mometo óptimo exacto es el Los beeficios etos crece e fució del mometo e que se iicia el proyecto Se trata de proyectos e los que los beeficios etos so completamete depedietes del mometo de iicio del proyecto, es decir, so fució de la edad del proyecto. Esto puede ocurrir por ejemplo e los siguietes casos: 10 Este resultado se obtiee aplicado la fórmula de valor actual de u cojuto de cuotas perpetuas costates, e la cual la tasa a utilizar es la correspodiete a u período de 30 años. 11 El desarrollo de esta expresió se preseta e el Apédice matemático: fórmula (3). 7

9 Proyectos para exteder redes eléctricas e zoas rurales: e efecto, al proveer coexioes eléctricas a hogares que o las tiee se puede prever beeficios etos crecietes e el tiempo, ya que a medida que pasa los años los cosumos por hogares aumeta. Estos aumetos se origia e que las familias comieza a adquirir aparatos eléctricos e forma paulatia. Normalmete, e zoas margiales, las familias e el año de coexió sólo utiliza la eergía para ilumiarse. E los años siguietes va adquiriedo alguos electrodomésticos como la heladera y el televisor. Co el correr del tiempo va completado este tipo de equipamieto. Las familias o comieza a equiparse hasta que o se iicia el proyecto. Dado que la compra de equipos depede del año de coexió, la postergació del proyecto, provocará ua posposició del crecimieto de los beeficios. Proyectos viales y de ifraestructura de trasporte: como se idicó precedetemete, los beeficios etos atribuibles a estos proyectos depede de la dismiució e los costos de viaje y del úmero de los vehículos que crece co el tiempo. Si embargo, puede suceder que el proyecto geere alguos beeficios etos que depeda del mometo e que se iicie el proyecto, como el cambio e el valor de las tierras e la zoa de ifluecia. Para facilitar la explicació se muestra ejemplos dode la iversió es istatáea, dura ifiitos períodos y que o es fució del mometo de iicio. Co relació a los beeficios etos se cotempla tres tipos de proyectos: Aquellos e que los beeficios etos crece sólo e fució del mometo e que se iicia. Aquellos que preseta alguos beeficios etos que crece e fució del tiempo caledario y otros que aumeta atediedo al mometo e que se iicia el proyecto. Aquellos cuyos beeficios depede del mometo e que se iicia y del tiempo caledario. Caso 4: Los beeficios etos crece sólo e fució del mometo de iicio del proyecto Supógase que se está evaluado u proyecto de electrificació de ua zoa rural. La iversió total requerida por el proyecto es de $ , la fase de iversió es istatáea y dura ifiitos años. Este moto es idepediete del mometo e que se iicie el proyecto. Co relació a los beeficios etos auales se cosidera lo siguiete: El beeficio eto aual vecido por familia correspodiete al primer año que se coecta al sistema eléctrico es de $ 300. Este beeficio crece a razó de u 2% aual, debido a la icorporació gradual de artefactos eléctricos por parte de las familias beeficiadas. El úmero de familias beeficiadas por el proyecto es 100 (costate a lo largo del tiempo). Si la tasa de descueto es del 10% aual, cuál es el curso de acció más coveiete? Como el úmero de familias se matiee costate, los beeficios etos se icremeta sólo e fució del mometo e que se ejecute la iversió. El VAN de iiciar hoy el proyecto es igual a $ , lo que implica que es coveiete. Si se platea los flujos correspodietes a los distitos mometos de iicio, se ve que su estructura es idética pero se ecuetra desplazados u año. Esto implica que, si el proyecto es coveiete, lo óptimo es ejecutarlo hoy. Si o lo es, lo mejor es o ejecutarlo uca. 12 Caso 5: Alguos beeficios etos crece e fució del tiempo caledario y otros del mometo e que se iicia el proyecto Supógase que se está evaluado la pavimetació de u camio que hoy está eripiado. La iversió total requerida por el proyecto es de $ , la fase de iversió es istatáea y dura ifiitos años. Este moto a ivertir es idepediete del mometo e que se comiece a ejecutar el proyecto. Por simplicidad, se cosidera que o existe costos de mateimieto. 12 Esta afirmació es fuerte, e el setido que supoe que las situacioes futuras se matedrá como e la actualidad. Lo coveiete es revisar este proyecto e el futuro. 8

10 Los beeficios etos vecidos del proyecto se divide como sigue: Aquellos que crece e fució del tiempo caledario, debido a la dismiució e los costos de viaje de los vehículos, cuyo úmero crece co el tiempo a razó del 2% aual. Los beeficios etos vecidos correspodietes al primer año caledario so de $ Aquellos que crece e fució del mometo e que se ejecute la iversió a razó del 0,5% aual, debido al aumeto e el valor de las produccioes de la zoa 13. Los beeficios etos vecidos correspodietes al primer año de ejecució so de $ Si la tasa de descueto es del 10% aual, cuál es el curso de acció más coveiete? Los flujos de las alterativas de iiciar hoy y de iiciar detro de u año el proyecto so: Alterativa de proyecto Iicio mometo 0 Iversió ,00 Beeficios dismiució costos viaje ,00 Beeficios aumeto valor producció ,13 Iicio mometo 1 Iversió ,00 Beeficios dismiució costos viaje ,00 Beeficios aumeto valor producció ,00 A cotiuació se preseta los VAN, expresados al mometo 0: Alterativa de proyecto VAN(10%) Iicio e el mometo ,58 Iicio e el mometo ,80 Iicio e el mometo ,36 Iicio e el mometo ,38 Iicio e el mometo ,06 El mometo 3 es el óptimo para iiciar el proyecto. La existecia del segudo tipo de beeficios actúa como u costo de postergar el iicio del proyecto. Por postergar el iicio durate el primer año de evaluació (desde el mometo 0 al 1), ocurre: U beeficio de $ debido a los itereses obteidos sobre la iversió o realizada. U costo de $ debido a la pérdida del beeficio eto correspodiete al primer año. U costo de $ 5.263,16, al mometo 1, el cual refleja la pérdida de la postergació por u año del flujo de beeficios etos asociados al aumeto del valor de la producció. Este es igual a los itereses calculados sobre el valor actual de esos beeficios (0,1 52,631,58). j 1 ( j 1) j =. La ecuació relevate es: BN = 0, (1,02) 5.263,16 0 Caso 6: Los beeficios etos crece e fució del tiempo y del mometo de iicio Supógase que se está evaluado el mismo proyecto de electrificació de ua zoa rural del Caso 4 de págia 8. Las diferecias so las siguietes: El beeficio eto aual vecido por familia correspodiete al primer año que se coecta al sistema eléctrico es de $ 190 (e vez de $ 300). Se sigue supoiedo que este beeficio crece a razó de u 2% aual, debido a la icorporació gradual de artefactos eléctricos. 13 Estos beeficios suele crecer a medida que se icorpore las tierras icultas de la zoa del proyecto e el circuito productivo. Si embargo, seguramete e algú mometo este crecimieto se detedrá (porque todas las tierras aledañas ha sido cultivadas). Por simplicidad se supoe que uca se detiee. 14 Si estos beeficios o existiese, esta situació se reduce a la del Caso 1 de págia 2. 9

11 El úmero de familias que el proyecto beeficia es 100, si se iicia hoy, y aumeta a razó del 1% aual (e lugar de permaecer costate). Como puede apreciarse, e este caso, los beeficios aumeta por dos motivos: debido a que el beeficio por familia crece e fució del mometo de iicio y al aumeto de las familias. A cotiuació se preseta el flujo de beeficios y costos de la alterativa de iiciar hoy: Cocepto Iversió Beeficios de 100 familias iiciales , ,95 Beeficios de las familias que se icorpora e el segudo año ,8 197,68 Beeficios de las familias que se icorpora e el tercer año. 191,9 195,74 El VAN de este flujo es igual a $ , El flujo de beeficios y costos de la alterativa de iiciar detro de u año: Cocepto Iversió Beeficios de 101 familias iiciales , ,28 Beeficios de las familias que se icorpora e el segudo año. 191,9 195,74 Beeficios de las familias que se icorpora e el tercer año. 193,82 Si el proyecto se iicia e 1, el úmero iicial de familias es de 101 (100 familias origiales más el icremeto del 1%). El VAN de este flujo, expresado e 0, es igual a $ , El siguiete gráfico resume los VAN, expresados a valores del mometo VAN ($ del mometo cero) Mometo de iicio El mometo 6 es el óptimo para iiciar el proyecto (VAN = $ ,86, al mometo 0) La fórmula (5) del Apédice matemático es la que permite obteer este resultado. 16 La fórmula (7) del Apédice matemático es la que permite obteer este resultado. 17 E este caso particular es más complicado llegar al resultado aalizado cuáto se gaa y cuáto se pierde por postergar el iicio. Lo mismo sucede al querer platear ua ecuació que permita aproximar el mometo óptimo de iicio. E el Apédice matemático se deriva esta ecuació: fórmula (8). 10

12 3. Los beeficios etos so costates a través del tiempo, pero la tasa de descueto es decreciete A los efectos de aislar la ifluecia de la tasa de descueto, se cosidera que los beeficios del proyecto so costates a través del tiempo. 18 Caso 7: La tasa de descueto es decreciete Cosidérese u proyecto que cosiste e el mejoramieto de u camio, e ua zoa etamete rural, que hoy está eripiado. La iversió total requerida por el proyecto es de $ hoy y dura ifiitos años. Este moto es idepediete del mometo e que se iicie el proyecto. Por simplicidad, se cosidera que o existe costos de mateimieto. Los beeficios etos vecidos so costates e iguales a $ por año. Estos se debe básicamete al aumeto del valor de las produccioes de la zoa y a la dismiució e los costos de viajes realizados por él. Que estos beeficios sea costates a través del tiempo implica supoer que el úmero de vehículos que trasitará por él o aumetará (hoy so los dueños de las tierras los que lo recorre y será los que seguirá haciédolo e el futuro) y que las tierras actuales está totalmete cultivadas (es decir, o existe e la zoa hectáreas icultas que pueda irse icorporado a la producció agrícola a raíz del proyecto). Las tasas de descueto auales relevates so decrecietes y se estima e el orde del 18%, 16%, 14%, 12% y 10% para los primeros cico años respectivamete. A partir del sexto año se matiee al ivel del 10% aual. Cuál es el curso de acció más coveiete? Los flujos de beeficios y costos correspodietes a las alterativas de proyecto co distitos mometos de iicio so idéticos, pero se ecuetra desplazados u período: Alterativa de proyecto Iicio mometo Iicio mometo Para el cálculo de los VAN, es ecesario cosiderar la variabilidad de la tasa de descueto: Alterativa de proyecto VAN(10%) Iicio e el mometo ,93 Iicio e el mometo ,70 Iicio e el mometo ,94 Iicio e el mometo ,92 Esto permite determiar que el mometo óptimo para iiciar el proyecto es el 2. Es iteresate cosiderar cuáto se gaa y cuáto se pierde por postergar el iicio del proyecto u año. Este aálisis se preseta e forma resumida e el siguiete cuadro: Postergació desde: Se gaa Se pierde E $ del mometo Mometo 0 al Mometo 1 al Mometo 2 al Nótese que los beeficios asociados a la postergació va decreciedo a medida que se pospoe el iicio. Estos beeficios respode a los itereses geerados por la postergació de la iversió, cuyo cálculo cosidera tasas decrecietes. Por ejemplo, postergar el iicio desde 0 18 E este caso, si la tasa de descueto o varía, uca coviee postergar el iicio de u proyecto que resultó coveiete. Tampoco lo será si se espera que la tasa de descueto crezca a través del tiempo. 11

13 al 1, implica u beeficio del 18% aual sobre los $ de iversió; e cambio, la postergació desde 1 al 2 geera u beeficio sólo del 16% aual sobre el mismo moto. C. Tamaño óptimo Cuado e evaluació de proyectos de iversió se habla de tamaño óptimo, ormalmete se está haciedo referecia al ivel óptimo de la iversió iicial. Las alterativas de tamaño suele estar restrigidas por la tecología, los recursos aturales, el tamaño de mercado, etc. Estas restriccioes se va reflejado e el flujo del proyecto que se está evaluado. La optimizació de tamaño sólo tiee setido si existe ua relació directa etre el ivel de iversió y el valor actual de los beeficios etos asociados a la misma. Esto es, sólo es relevate estudiar el ivel de iversió óptimo, si u tamaño mayor da lugar a beeficios etos mayores. No ecesariamete tiee que ocurrir que los beeficios etos aumete co el tamaño para todos los años, pero e térmios de valores actuales sí debe ser mayores a los correspodietes al tamaño iferior. E térmios geerales se defie como óptimo a aquel tamaño de la iversió que permite maximizar el VAN del flujo de beeficios y costos de u proyecto. Es por ello que uo de los camios a seguir para determiar cuál es el tamaño óptimo de u proyecto es calcular el VAN correspodiete a cada ivel de iversió posible y elegir el mayor. Si embargo, tambié se preseta otros idicadores que suele utilizarse a fi de simplificar los cálculos. E primer térmio se aaliza dos casos cuyos beeficios etos so costates e el tiempo: Por razoes de simplicidad e las explicacioes, se aaliza la pertiecia de utilizar ciertos idicadores para determiar el tamaño, aplicádolos a u caso de u período de duració. Luego se extiede el aálisis a u proyecto cuyos beeficios tiee u horizote mayor. Fialmete, se cosidera u proyecto que preseta beeficios etos crecietes a lo largo del tiempo y cuya iversió puede ejecutarse por tramos. 1. Optimizació de tamaño co beeficios etos costates E este apartado, para poder cetrar el aálisis sólo e el tema de tamaño óptimo, se cosidera proyectos cuyos beeficios etos so costates a través del tiempo. Caso 8: Proyecto de u año de duració Cosidérese que u empresario está estudiado la coveiecia de dedicarse a u proyecto durate el próximo año. Los flujos de beeficios etos auales correspodietes a cada alterativa de tamaño de iversió técicamete posible, so: Alterativa de proyecto 0 1 A B C D E Si la tasa de descueto es del 5% aual, le coviee al empresario ejecutar el proyecto? Si el proyecto le resulta coveiete, cuál es el ivel óptimo de iversió? Para explicar los diferetes camios que puede seguirse a los efectos de determiar si el proyecto es coveiete y el ivel óptimo de iversió a ejecutar, se preseta el siguiete cuadro e el que se reúe ua serie de idicadores asociados a cada tamaño. La explicació de cómo se obtiee cada uo de ellos se icluye a medida que se avaza e el aálisis. 12

14 Alterativa de proyecto VAN(5%) TIR aual TIR margial aual A 86,67 55,56% B 115,24 36,84% C 134,29 29,31% D 134,29 23,08% E 129,52 18,88% 20,0% 15,0% 5,0% 2,5% Uso del VAN para optimizar tamaño de iversió Cuado existe diferetes tamaños de la iversió iicial posibles, el VAN es u idicador adecuado para decidir respecto de cuál de ellos es el óptimo, debido a que las alterativas que se compara so mutuamete excluyetes y de igual duració. De la maximizació del VAN, se cocluye que los tamaños óptimos so los correspodietes a las alterativas C o D. Coceptualmete, y e forma similar a lo presetado e el tema de optimizació de mometo de iicio de u proyecto, puede demostrarse la validez de este proceso de selecció cosiderado lo gaa y lo pierde el empresario por elegir u tamaño e lugar de otro. E primer lugar, partiedo de la alterativa de proyecto A, se cosidera la opció de ampliar la iversió al ivel de la cosiderada e la alterativa de proyecto B. Pasar de A a B le ocasioa al empresario: U costo de $ 200 e el mometo 0, e térmios de icremeto de iversió. U beeficio eto al cabo de u año (mometo 1 del flujo aual) de $ 240. Para determiar si este aumeto de tamaño es coveiete, estos coceptos debe expresarse e u mismo mometo e el tiempo. La alterativa de proyecto B es preferible a la A e $ 30 del mometo 1 o e $ 28,57 del mometo 0. Este último valor coicide co la diferecia etre los VAN de las alterativas B y A que aparece el cuadro. E segudo lugar, partiedo de la alterativa B, se aaliza si coviee ampliar uevamete la iversió al tamaño previsto e C. El empresario por pasar de B a C observa: U costo de $ 200 e el mometo 0 debido al icremeto de iversió. U beeficio eto de $ 230 al cabo de u año. Como el beeficio eto de ampliar la iversió es positivo, se cocluye que C es mejor que B. Siguiedo co este proceso, se cocluye que los tamaños de iversió de C o D so óptimos. E defiitiva, el tamaño óptimo de iversió es aquel para el cual el valor actual de la iversió adicioal (costo) es igual al valor actual de los beeficios adicioales que ella implica. 19 Uso de la TIR para optimizar tamaño de iversió La TIR correspodiete a cada alterativa de iversió es aquella tasa que aula el valor actual de su flujo de beeficios y costos. Estas alterativas tiee la vetaja de teer ua sola TIR 20. Si embargo, como se debe elegir etre opcioes mutuamete excluyetes, este idicador puede coducir a u ordeamieto erróeo. Particularmete esto ocurre cuado los proyectos tiee distita iversió iicial. E el ejemplo aalizado puede apreciarse que la mayor TIR aual correspode a la alterativa A. Si embargo su uso para ordear las alterativas es egañoso. Si bie es verdad que e A el diero ride el 55,56% aual, hay que teer e cueta que esta retabilidad se obtiee sólo 19 Esta es la codició de primer orde para la maximizació del VAN. 20 Al ser flujos covecioales (co u solo cambio de sigo, de egativo a positivo), tiee ua sola TIR. 13

15 sobre ua iversió de $ 180. Si se desea comparar A co C, por ejemplo, es ecesario cosiderar que e esta última alterativa cada uo de los $ 580 ivertidos ride el 29,31%. Para efectuar la comparació correcta, es ecesario corregir la TIR de la siguiete forma: Se debe idetificar la iversió, etre las correspodietes a las alterativas a comparar, que sea mayor. E el caso aalizado, esa iversió correspode a la E y es de $ 980. Se calcula la retabilidad correspodiete a la totalidad de esos fodos (de los $ 980) para el empresario, segú sea la alterativa de proyecto que ejecute. Por ejemplo, si ejecuta A, la retabilidad total de los $ 980 está dada por $ 180 ivertidos al 55,56% aual y de $ 800 depositados al 5% aual, lo que hace u promedio poderado del 14,29% al año. Alterativa de proyecto TIR aual Retabilidad total aual A 55,56% 14,29% B 36,84% 17,35% C 29,31% 19,39% D 23,08% 19,39% E 18,88% 18,88% Se seleccioa como la alterativa más coveiete a aquella que permita alcazar la mayor tasa de retabilidad total de los $ 980. E este caso, C y D so las que resulta elegidas. Co este procedimieto, se obtiee los mismos resultados que co el criterio VAN máximo. 21 Uso de la TIR margial para optimizar tamaño de iversió La TIR margial es la tasa de descueto que aula el valor actual de la diferecia de los flujos de beeficios y costos correspodietes a dos alterativas del proyecto. E térmios geerales, matemáticamete la TIR margial es la tasa ρ que cumple la siguiete codició 22 : BNt VAN = t t= 0 (1 + ρ' ) = 0 dode VAN es el cambio e el valor actual de pasar de ua alterativa de proyecto a otra y BN es el cambio e beeficio eto correspodiete al período t. t Para calcular la TIR margial es ecesario platear la diferecia de flujos aludida. Por ejemplo, para calcular la correspodiete a pasar de A a B, el flujo diferecia es: Flujo aual de beeficios y costos correspodiete a la: 0 1 Alterativa de proyecto B Alterativa de proyecto A Diferecia (Alterativa B Alterativa A) La tasa que aula el VAN de este flujo diferecia es del 20% aual. De esta forma se calcula las restates TIR margiales que aparece e el cuadro de idicadores de retabilidad. Para la correcta iterpretació coceptual de la TIR margial es importate teer e cueta el orige de la distició etre las alterativas de proyecto cosideradas para su cálculo. E este caso, las alterativas respode a tamaños de iversió distitos. Por lo tato, e pricipio, la TIR margial pretede reflejar la tasa de redimieto promedio de cada uo de los pesos 21 E este ejemplo es secillo calcular la retabilidad total. E proyectos cuya duració es superior a u año, este cálculo es u poco más complicado. Por lo tato, es u criterio que carece de practicidad. 22 E alguas ocasioes, cuado se habla de TIR margial, a la TIR del proyecto se la empieza a deomiar TIR media. E este trabajo, se ha optado por cotiuar deomiádola TIR. 14

16 adicioales ivertidos e el proyecto 23. Por ejemplo, la TIR margial de pasar de la alterativa B a la C, refleja que cada uo de los $ 200 adicioales ivertidos ride e promedio el 15% aual. Sobre la base de este cocepto, se puede afirmar que si la TIR margial es igual a la tasa de descueto, el ivel de iversió de las alterativas cosideradas es óptimo. Esto es así debido a que el valor actual de los cambios e los beeficios etos que ocurre desde el mometo 1 calculados co la tasa de descueto es igual al cambio e la iversió iicial. E el ejemplo, la TIR margial que coicide co la tasa de descueto del 5% aual es la que se calcula a partir del flujo diferecia etre los correspodietes a las alterativas D y C, lo que idica que sus iversioes so las óptimas. 24 La coicidecia etre la TIR margial y la tasa de descueto sólo garatiza que el VAN alcace u valor extremo (máximo o míimo). Dado que los beeficios etos observados a partir del mometo 1 so positivos, para que el VAN sea u máximo, es ecesario agregar ua codició: que la TIR margial dismiuya a medida que aumete el tamaño de la iversió 25. Se puede verificar que e este ejemplo, esto se cumple. Coceptualmete, este criterio compara el redimieto de los pesos adicioales puestos e el proyecto (TIR margial) co el que obtiee e la mejor opció fuera de él (tasa de descueto): Si se compara ejecutar la alterativa de proyecto A, cuya iversió es de $ 180, co la opció de o ejecutarla, se determia que cada uo de los $ 180 puestos e el proyecto ride el 55,56% aual (TIR de la alterativa A), mietras que su costo de oportuidad es del 5% aual. Esto implica que es más coveiete ivertirlos e el proyecto que fuera de él. Si se cosidera ejecutar la alterativa de proyecto A versus la B, se determia que ésta última requiere de ua iversió adicioal de $ 200. Si esos $ 200 se coloca e el proyecto ride el 20% aual (TIR margial del flujo diferecia etre B y A), mietras que fuera de él el 5% aual. Esto implica que es más coveiete ivertirlos e el proyecto que fuera de él, es decir, aumetar el tamaño de iversió e $ 200. Se puede seguir co este procedimieto gradual. Si se saltea la opció de pasar de B a C y se cosidera ejecutar la alterativa de proyecto C versus la D, se cocluye que el diero adicioal que implica el icremeto de iversió ride lo mismo puesto e el proyecto que fuera de él. Esto implica que el iversor se ecuetra idiferete etre aumetar el tamaño de la iversió e $ 200 o colocar ese diero e la mejor opció fuera de él. De la comparació de D co E, se cocluye que ampliar la iversió o es coveiete. Es iteresate cosiderar ua tasa de costo de oportuidad de los fodos diferete para mostrar cómo puede aplicarse el criterio de igualdad etre TIR margial y tasa de descueto cuado etre ellas o hay coicidecia exacta. Supógase que la tasa de costo de oportuidad de los fodos del empresario es del 16% aual (e lugar del 5%). Ua forma de determiar el ivel de iversió óptima es recalcular todos los VAN. Otra, es comparar el redimieto de los pesos e el proyecto co el de la mejor opció fuera de él: Si se compara ejecutar la alterativa de proyecto A co o ejecutarla, se determia que cada uo de los $ 180 puestos e el proyecto ride el 55,56% aual, mietras que su costo de oportuidad es del 16% aual. Esto implica que es más coveiete ivertirlos e el proyecto que fuera de él. Si se evalúa ejecutar la alterativa de proyecto A versus la B, dado que la TIR margial del flujo diferecia etre B y A es del 20% aual, mayor que la tasa de descueto aual del 16%, se cocluye que es coveiete aumetar el tamaño de iversió e $ E el ejemplo usado, al tratarse de flujos de u período, esta defiició es correcta. Si embargo, se puede demostrar que o siempre este es el verdadero sigificado de la TIR margial. 24 Es la misma coclusió obteida al maximizar el VAN. Esto es lógico ya que cuado la TIR margial coicide co la tasa de descueto se cumple la codició de primer orde de la maximizació del VAN. 25 La demostració de esta afirmació se expoe e el Apédice matemático. 15

17 Si se cosidera ejecutar B versus la C, se cocluye que el diero adicioal que implica el icremeto de iversió ride meos e el proyecto (15% aual) que fuera de él (16% aual). Esto implica el tamaño óptimo de iversió es el B. Caso 9: Proyecto de más de u año de duració. Icorporació de técicas de aislamieto a la costrucció tradicioal Cosidérese u proyecto que cosiste e icorporar a la costrucció tradicioal de ua vivieda ciertos elemetos que la haría más aislada de la temperatura exterior (más caliete e iviero y más fresca e verao). El aislamieto de la casa que se estudia cosiste e la aplicació de técicas e las paredes. E realidad, a medida que aumeta el espesor del aislamieto (mayor es la iversió), dismiuye los gastos de calefacció e iviero y de refrigeració e verao. A los efectos de los cálculos se cosidera que la vida útil de la iversió e aislamieto es de 20 años y que su valor residual es ulo. E el siguiete cuadro se expoe los flujos de beeficios etos auales del proyecto correspodiete a cada alterativa de tamaño de iversió e la técica: Alterativa de proyecto 0 1 a 20 A B C Si la tasa de descueto es del 5% aual, le coviee al propietario de la casa aplicar la técica de aislamieto de paredes? Cuál es el tamaño de iversió más coveiete? Los idicadores que permite determiar la coveiecia del proyecto y su tamaño so: Alterativa de proyecto VAN(5%) TIR margial aual A 217,58 B 229,44 C 191,45 5,69% 2,64% Tomado e cosideració el VAN, la iversió óptima e la técica de aislamieto es la correspodiete a la alterativa de proyecto B, ya que es la opció que lo maximiza. Por pasar de la alterativa A a la B, ocurre: U costo de $ 200 e el mometo 0, debido a la mayor iversió. U beeficio aual de $ 17 vecidos durate 20 años, siedo su valor actual de $ 211,86. Co ello puede afirmarse que la alterativa de proyecto B es preferible a la A e $ 11,86 del mometo 0. Este último valor coicide co la diferecia etre los VAN de las alterativas B y A. Por pasar de B a C, el propietario observa: U costo de $ 200 e el mometo 0. U beeficio aual de $ 13 durate los próximos 20 años, cuyo valor actual es de $ 162,01. Esto implica que o le coviee aumetar la iversió, por lo que B es la alterativa óptima. Alterativamete se puede llegar a la misma coclusió utilizado el criterio TIR margial igual a la tasa de descueto. La tasa de descueto del 5% aual se puede ubicar etre las dos TIR margiales que aparece e ese cuadro. Si se procede a la comparació de las alterativas B y C, se cocluye que el diero adicioal que implica aumetar el espesor del aislamieto, detro del proyecto tiee u redimieto del 2,64% aual frete al 5% por año que obtiee fuera de él. Esto permite cocluir que o coviee icurrir e ese aumeto de iversió. 16

18 Alguos cometarios adicioales respecto de la TIR margial Si bie se ha idicado que la TIR margial es u criterio que permite llegar al mismo resultado que el obteido a través del proceso de maximizació del VAN, es coveiete teer e cueta que la TIR margial preseta las mismas limitacioes que la TIR. E térmios geerales, sólo puede usarse si el flujo diferecia a partir del cual se calcula tiee ua sola TIR margial. Es importate otar que la probabilidad de que se obtega TIR margiales múltiples es mayor que para la TIR. Es decir, aú cuado los flujos correspodietes a las alterativas de proyecto sea covecioales, el poliomio correspodiete al flujo diferecia puede o serlo. Relació etre tamaño óptimo y la tasa de descueto E el Caso 8 y e el Caso 9, a medida que aumeta la iversió, todos los beeficios se icremeta. Si es así, la relació etre tasa de descueto y tamaño óptimo es iversa. Si embargo, puede ocurrir otras situacioes e las cuales esta relació o sea iversa. Por ejemplo, supógase las dos siguietes alterativas de u proyecto, para las cuales se expoe el flujo aual de beeficios y costos y el VAN calculado a las tasas del 5% y 10% aual. Alterativa de proyecto VAN(5%) VAN(10%) A ,04 243,09 B ,08 245,53 Al pasar la tasa de 5% a 10% aual, resulta mejor la opció de mayor tamaño de iversió Optimizació de tamaño co beeficios etos crecietes El problema de tamaño óptimo, cuado los beeficios etos crece a través del tiempo, o es secillo de resolver debido a que depede de las ecoomías de escala presetes. Por ejemplo, esta situació puede ocurrir e u proyecto de ampliació de ua ruta, e el cual el úmero de vehículos que la utiliza crece a través del tiempo. E este caso, las ecoomías de escala se preseta e la iversió ya que el costo por kilómetro pavimetado dismiuye a medida que la superficie a pavimetar aumeta 27. Co el objetivo de aprovechar estas ecoomías de escala, ormalmete suele aalizarse la coveiecia de u proyecto cuya iversió iicial permita ampliar todo el sector de la ruta que preseta problemas de cogestió. Si embargo, este aálisis es icompleto, ya que es probable que o todo ese trayecto se ecuetre cogestioado de la misma forma. Si se cotempla todos esos aspectos, puede ocurrir que e ciertas ocasioes lo óptimo sea ejecutar la iversió e etapas, es decir, pavimetar hoy ciertos tramos y e el futuro otros. Esto implica la ecesidad de otro proceso de optimizació, el cual se refiere a la distribució de la iversió e el tiempo segú los beeficios asociados a cada uo de los tramos e los que se pueda o covega dividir el sector de ruta a ampliar. Si bie el problema es complejo de resolver, lo más importate o es precisar hoy el úmero de etapas de ampliació, i el ivel de iversió correspodiete a cada ua de ellas, sio idetificar el tamaño óptimo iicial. Esto es así ya que las ampliacioes futuras debe ser reevaluadas e el mometo e que surja la ecesidad de su ejecució coforme a las uevas codicioes imperates, que puede o o diferir de las cotempladas e el proyecto origial. 26 Se puede comprobar que para tasas meores que el 7,58% aual la alterativa A resulta más coveiete, y para tasas que supere ese ivel, la mejor opció es B. Esta afirmació es válida para el rago de tasas para el cual el VAN de ambas alterativas es positivo. La tasa del 7,58% aual es ua de las TIR del flujo diferecia etre los flujos de B y de A, la otra TIR es del 190,78% aual. Esto implica que, estrictamete, el VAN de B es mayor que el de A para tasas compredidas etre el 7,58% y 190,78%, 27 Icluso, si la evaluació se lleva a cabo desde el puto de vista socioecoómico, ocurre tambié ecoomías de escala co relació a los costos de cogestió ocasioados e la etapa de iversió. 17

19 Caso 10: Proyecto de ampliació de ua ruta Supógase que se está evaluado la ampliació del úmer o de carriles de ua ruta. La iversió total requerida por el proyecto es de $ si la ruta se pavimeta co hormigó armado o de $ si se utiliza asfalto. A los efectos de simplificar el aálisis, cosidérese que los motos de iversió o depede del mometo e que se iicia el proyecto, que la iversió es istatáea (se ejecuta toda e el mometo 0) y que dura 60 años e el caso del hormigó y 15 años e el del asfalto. Los beeficios etos vecidos correspodietes al primer año caledario so de $ para cualquiera de los dos tipos de pavimetació. Tal como se explicó precedetemete, los beeficios etos asociados a la pavimetació de ua ruta se debe básicamete a la dismiució e los costos de viaje. Como el úmero de vehículos que la trasita crece co el tiempo caledario, estos beeficios tiee asociada ua tasa de crecimieto del 2% aual. Estos beeficios so idepedietes del mometo e que se ejecute la iversió. U aspecto importate a teer e cueta es co el correr del tiempo y debido al uso, la ruta se vuelve más rugosa y esta rugosidad es diferete segú sea el tipo de pavimetació. E efecto, a igualdad de trásito, co el correr del tiempo la ruta asfaltada se vuelve más rugosa que la pavimetada co hormigó. La rugosidad repercute cotra el crecimieto de los beeficios: el beeficio por usuario dismiuye a medida que el camio se vuelve más rugoso. A los efectos de icorporar esta temática de maera simplificada, se cosidera que e el caso de pavimetació co hormigó armado, o se preseta el problema de rugosidad. E cambio, e la opció de asfalto este problema existe y puede ser elimiado co u pla de mateimieto aual, gasto que asciede a $ auales y vecidos durate el primer año de operació de la ruta recié asfaltada y que crece a ua tasa del 1,2% aual. 28 Si la tasa de descueto relevate es del 10% aual, cuál es el curso de acció más coveiete? Si la ampliació resulta coveiete, cuál es el ivel óptimo de iversió? Para el cálculo de los VAN se cosidera u horizote de evaluació de ifiitos años, de maera de icluir las reiversioes futuras cada 60 años e la opció de hormigó y cada 15 e la de asfalto. El VAN de iiciar hoy el proyecto correspodiete a la alterativa de utilizar hormigó armado es igual a $ ,42 y el de usar asfalto de $ , Se puede comprobar que e igua de las dos alterativas coviee postergar el iicio. Estos resultados estaría idicado que el curso de acció más coveiete es ampliar la ruta hoy pavimetádola co asfalto, lo que implica icurrir e ua iversió iicial de $ Para profudizar el aálisis, los especialistas viales ha idetificado tres tramos e los que se pueda dividir la ruta, para los cuales los beeficios y costos correspodietes so: Cocepto Tramo A Tramo B Tramo C Uidades Iversió e hormigó armado $ Iversió e asfalto $ Costo de mateimieto primer año caledario $/año vecido Tasa de crecimieto del costo de mateimieto 1,5% 1,05% 0,5% aual Beeficios etos primer año caledario $/año vecido Nótese que, la suma de las iversioes correspodietes a cada tramo es superior a la iversió cosiderada para la ejecució del proyecto como u todo. Esto implica la existecia 28 Se cosidera creciete debido a que la problemática de rugosidad se empeora co el tiempo. E este caso e que aparece u costo creciete es pertiete estudiar el tamaño óptimo del ciclo de iversió, el cual se desarrolla e el siguiete apartado del trabajo. El ejemplo se ha armado de forma tal que el ciclo óptimo de iversió coicida co la duració de la iversió (15 años). 29 Como las alterativas tiee iguales beeficios, tambié se podría haber utilizado el costo aual equivalete para tomar la decisió. 18

20 de ecoomías de escala debidas a la ejecució de la iversió e forma cojuta. Los costos de mateimieto correspode a la alterativa de asfalto. Cosiderado esta ueva iformació, se procede uevamete a evaluar el proyecto. E primer térmio, sólo se aaliza la alterativa de pavimetació co hormigó armado. El error más comú es guiarse por el VAN del proyecto cojuto, es decir, el de pavimetar hoy todos los tramos y cosiderar la coveiecia de ejecutarlo si este idicador es positivo. Para esta alterativa ese VAN es de $ , Si embargo, al desglosar ese resultado e los VAN correspodiete a cada tramo, si todos ellos se iicia hoy, se determia que sólo los de los tramos A y B so positivos ($ ,05 y $ ,02 respectivamete). Por lo tato, estos VAN compesa el VAN egativo correspodiete al del tramo C (- $ ,07). 31 Aú co estos resultados, o debe extraerse coclusioes apresuradas. Dado el crecimieto de los beeficios etos auales, se debe profudizar más el aálisis. Es pertiete respoder a la preguta respecto de cuál es el mometo óptimo de iversió para cada tramo: Co relació al tramo A: por postergar el iicio del proyecto u año, ocurre u beeficio dado por los itereses obteidos sobre la iversió y las reiversioes futuras o realizadas de $ ,60 expresados al mometo 1 del flujo aual. Al mismo tiempo, esto trae aparejado u costo de $ debidos a la pérdida del beeficio eto correspodiete al primer año. Co ello se cocluye que el mometo 0 es el óptimo de ejecutar el tramo A. Co relació al tramo B: si se posterga el iicio del proyecto u año, ocurre u beeficio debido a los itereses obteidos sobre la iversió y las reiversioes futuras o realizadas de $ ,30 al mometo 1 del flujo aual. Al mismo tiempo, se observa u costo de $ debidos a la pérdida del beeficio eto correspodiete al primer año. Esto implica la coveiecia postergar el iicio desde 0 a 1. Siguiedo co este proceso, se cocluye que el mometo óptimo de iicio del tramo B es el pricipio del tercer año (mometo 2). 32 Co relació al tramo C: si se posterga el iicio del proyecto u año, ocurre u beeficio debido a los itereses obteidos sobre la iversió y las reiversioes futuras o realizadas de $ ,71 y u costo de $ debidos a la pérdida del beeficio eto del primer año (ambos expresados al fial del primer año). Por lo que resulta coveiete postergar el iicio desde 0 a 1. Siguiedo co este procedimieto secuecial, se determia que el mometo óptimo de iicio del tramo C es el comiezo del decimoquito año (mometo 14). La misma evaluació se puede realizar para la alterativa de asfalto. Se puede comprobar que los mometos óptimos de iicio so el 0 para el tramo A, el 2 para el B y el 6 para el C. E lo siguiete se resume el mometo óptimo de iicio y los VAN optimizados correspodietes a cada tramo, expresados al mometo 0, para cada ua de las alterativas cosideradas: Alterativa de proyecto Tramo A Tramo B Tramo C Suma Uidades Hormigó armado Mometo óptimo de iicio VAN , , , ,81 $ Asfalto Mometo óptimo de iicio VAN , , , ,32 $ 30 Este VAN se calcula co ua iversió de $ , ya que si se ejecuta el proyecto como u todo el moto ivertido resulta meor que si se ejecuta por partes (e éste último caso se ivierte $ ). 31 Debido a las ecoomías de escala propuestas, la suma de estos tres VAN o es igual al VAN del proyecto como u todo. E efecto, el VAN del proyecto como u todo es igual a la suma de los VAN de cada uo de los tramos ($ ,00) y del valor actual de la dismiució del costo de la iversió y reiversioes futuras que implica su ejecució cojuta de $ ($ $ ). 32 La fórmula (3) del Apédice matemático permite aproximar el mometo de iicio e este caso. 19

21 E el cuadro se ha icorporado ua columa que cotiee la suma de los VAN optimizados de cada tramo. Cabe otar que, como los tramos tiee distitos mometos óptimos de iicio, se pierde las ecoomías de escala de la iversió cojuta. Dado que el VAN del cojuto es mayor para la alterativa de proyecto de pavimetació co hormigó armado, aparetemete ésta surge como la más coveiete. Si embargo, esta coclusió es icorrecta. El mejor curso de acció es pavimetar los tramos A y B co hormigó armado y el C co asfalto. El VAN de esta combiació es igual a $ , El tamaño óptimo de proyecto está referido a la combiació seleccioada y es igual a $ a ivertir hoy e el tramo A, $ a ejecutar detro de 2 años e el B y $ detro de 6 años e el C. E este ejemplo, se desglosó el proyecto e tres tramos. Cabe ahora pregutarse sobre la coveiecia de volver a profudizar el aálisis ampliado el úmero de tramos. Obviamete cuato más desagregada es la iformació co que se cueta, más adecuada es la evaluació. Pero esto tambié la tora mucho más costosa y compleja. Es probable que covega reuir más iformació respecto de aquel tramo cuya ejecució aparece como la más imediata. E el caso del ejemplo, éste es el tramo A, para el cual el mometo óptimo de iicio es hoy. El dividirlo e partes más pequeñas permite determiar la coveiecia de ejecutarlo hoy como u todo o sólo e determiados trayectos. De esta forma se llega, a través de aproximacioes sucesivas, al ivel de iversió óptimo correspodiete al mometo 0. Lógicamete, a medida que vaya trascurriedo el tiempo, debe reevaluarse los tramos para los que hoy se cocluye sobre la coveiecia de su ejecució e el futuro. D. Mometo óptimo de liquidació de ua iversió y ciclo óptimo de iversió y/o producció Hay ciertos proyectos que tiee asociada e forma implícita ua determiada tasa de crecimieto del capital ivertido. Esto ocurre, por ejemplo, co las platacioes de árboles, el añejamieto de vios, el egorde o cría de aimales, etc. E efecto, uo de los beeficios asociados a este tipo de proyectos es el igreso por veta de los productos aludidos. Mietras mayor es la edad de esos productos, mayor es el igreso que se logra por sus vetas. Auque hay que teer e cueta que, ormalmete, al pricipio este igreso suele crecer a tasa creciete y luego a tasa decreciete. Si embargo, el esperar u período más co el objetivo de lograr ese mayor igreso, tiee asociado ciertos costos. De allí que surge el problema de determiar el mometo óptimo de liquidar ua iversió (cuádo cortar los árboles, cuádo veder el vio, cuádo veder los aimales, etc.) o de idetificar el ciclo óptimo de producció (cada cuátos años coviee cortar los árboles para volver a platar, cuál es el tamaño óptimo del ciclo de veta de vios, a qué edad coviee veder los aimales y volver a comprarlos, etc.). Estos procesos de optimizació o tiee por qué circuscribirse a proyectos que presete las características previamete descriptas. Por ejemplo: El mometo óptimo de liquidar ua iversió, tambié es relevate e la evaluació de proyectos de explotació miera. Esto es así debido a que a medida que se extrae mieral, se obtiee meos catidad de material por uidad de tiempo (se va agotado la mia). Además, cuato más se deba itroducir e la mia o catera para extraerlo, mayores so los costos por uidad de material obteido. Estos elemetos puede motivar el abadoo de la explotació, aú cuado todavía quede material por extraer. Como se aprecia, e este 33 Icluso este resultado es superior al VAN de iiciar hoy el proyecto cojuto bajo la modalidad de pavimetació co asfalto previamete calculado ($ ,51). Podría suceder que las ecoomías de escala asociadas al proyecto ejecutado como u todo e el mismo mometo e el tiempo fuera lo suficietemete importates como para que ésta fuera la mejor opció. Si la iversió e asfalto para todos los tramos ejecutados hoy fuese de $ (e lugar de $ ), el VAN resultate para el proyecto como u todo es de $ ,68, superior al combiació óptima seleccioada. 20

22 caso, ormalmete el precio de la uidad del bie se matiee costate. Si embargo, el aumeto del costo de extracció por uidad puede motivar el abadoo de la actividad. El tema de ciclo óptimo, es relevate para evaluar el recambio de equipos e ua empresa. A cotiuació se preseta alguos ejemplos uméricos que icorpora estos coceptos. Caso 11: Proyecto de egorde de gaado Supógase que u empresario está estudiado u proyecto de egorde de gaado, que cosiste e comprar tereros recié destetados, para egordarlos y vederlos. Dispoe de u terreo cuyo valor de veta es de $ (hoy y e cualquier mometo) e el que puede egordar u máximo de 200 aimales. Cada terero recié destetado cuesta $ 400. Se idica, por aimal: a) los precios a los cuales puede vederse el gaado, alterativamete, al fial de cada semestre, segú el peso que ha logrado y su edad; b) los costos de operació (cuidados, alimetació, etc.) semestrales adelatados, que depede de la edad del gaado: Edad (e semestres) Uidades Precio de veta ($ / semestre vecido) Costo operació ($ / semestre adelatado) Si la tasa de descueto relevate para la evaluació de este proyecto es del 5% semestral, le coviee al empresario ejecutar el proyecto si o piesa reivertir e el egocio? De ejecutarlo, e qué mometo debe liquidarlo? Y si piesa reivertir e el egocio? Es ecesario platear los flujos correspodietes a cada alterativa de proyecto y calcularles los idicadores de retabilidad. Por ejemplo, para la alterativa de comprar el gaado y vederlo cuado tega ua edad igual a tres semestres, se puede platear el siguiete flujo: Flujo semestral de beeficios y costos de Ejecutar el proyecto de comprar el gaado y vederlo a los tres semestres versus o ejecutarlo Cocepto Iversió e terreo Iversió e tereros Costo de operació Igresos por veta del gaado Flujo de beeficios etos E el primer rubro se registra el costo de oportuidad de usar el terreo propio e el proyecto. El VAN de esta alterativa de proyecto es igual a $ ,61. A partir de ese valor se calcula el valor semestral equivalete (VSE) utilizado la fórmula de cuota del sistema fracés, resultado igual a $ 6.865,19. La TIR de este flujo es igual a 7,219% semestral. Al igual que e tamaño óptimo, es posible calcular la TIR margial o tasa que aula el valor actual de la diferecia de los flujos de beeficios y costos de dos alterativas del proyecto, las cuales respode e este caso a mometos de liquidació distitos. El flujo diferecia a partir del cual se calcula icorpora alterativas co distitos mometos de liquidació. Esto implica que la TIR margial resultate refleja la tasa de redimieto promedio de cada uo de los pesos que permaece e el proyecto u período más (e este caso, u semestre más). A modo de ejemplo, se calcula la TIR margial de pasar de la alterativa de liquidar el proyecto al cabo de 3 semestres a termiarlo al cabo de 4 semestres. La diferecia de flujos es igual a: Flujo de beeficios y costos de la: Alterativa de liquidar a los 3 semestres Alterativa de liquidar a los 4 semestres Diferecia (Alterativa 4 Alterativa 3)

23 La TIR margial resultate es del 5,462% semestral. Los valores correspodietes a esos cuatro idicadores se expoe e el siguiete cuadro: Mometo de liquidació VAN(5%) VSE(5%) TIR semestral TIR margial semestral Fial del primer semestre 1.714, ,00 5,634% Fial del segudo semestre , ,49 6,953% Fial del tercer semestre , ,19 7,219% Fial del cuarto semestre , ,12 6,764% Fial del quito semestre , ,36 5,989% Fial del sexto semestre ,85-311,65 4,907% 8,268% 7,738% 5,462% 3,103% 0,000% El iversor desea ejecutar el proyecto por úica vez El criterio de decisió adecuado para la comparació de alterativas de distita duració y o repetibles es la maximizació del VAN. Etoces, la decisió correcta es ivertir e el proyecto y liquidarlo e el mometo 4 del flujo semestral (VAN = $ ,43). La decisió puede tomarse utilizado el criterio TIR margial igual a tasa de descueto. De hecho, su aplicació es otra forma de llegar al VAN máximo. Hasta el fial del cuarto semestre, el redimieto del diero imovilizado e el proyecto durate u semestre más es superior que la tasa de descueto, por lo tato al empresario le coviee seguir mateiedo su diero e gaado. A partir del mometo 4, debe pregutarse si le coviee cotiuar egordado los aimales durate u semestre más. Tal como puede apreciarse, el redimieto que su diero obtiee durate el quito semestre de egorde es del 3,103%. Esto implica que la alterativa de colocació de los fodos del 5% semestral es más atractiva, y por lo tato, se cocluye sobre la coveiecia de liquidar el proyecto al fial del cuarto semestre. Cabe destacar que los otros dos idicadores que aparece e el cuadro o so adecuados para ordear las alterativas de proyecto, e el caso de iversió por úica vez: La TIR, aú cuado sea úica (como ocurre e este ejemplo), puede coducir a error si se debe elegir etre alterativas de proyecto mutuamete excluyetes. Justamete el caso aalizado reúe las codicioes para que la TIR pueda ordear mal: las alterativas preseta flujos co distita duració y co valores itermedios. El VSE o debe utilizarse para seleccioar, por tratarse de alterativas o repetibles. El iversor está permaetemete e el egocio Cuado el empresario realiza esta actividad e forma permaete, o es pertiete referirse a mometo óptimo de liquidació. Lo relevate es aalizar cuál es el tamaño óptimo del ciclo de egorde. La idea es que si ua persoa vede los aimales al cabo de cuatro semestres, por ejemplo, va a volver a ivertir por cuatro semestres más y así sucesivamete. Al veder los aimales vuelve a ivertir para comprar otros 200 tereros, y así sucesivamete. Ua de las formas de determiar el tamaño óptimo del ciclo es usado el VAN. Si embargo, cuado se trata de decidir etre alterativas repetitivas de distita duració, es ecesario ser cuidadoso a los efectos de que la comparació sea válida. Para obteer el resultado correcto es ecesario igualar los horizotes de las alterativas, por ejemplo e ifiito. Alterativamete, se puede determiar cuál es la alterativa más coveiete comparado sus VSE. Dado que el mayor VSE es igual a $ 6.865,19 y correspode a la opció de liquidar el proyecto e el mometo 3, se cocluye que el tamaño óptimo del ciclo de egorde es de tres semestres. Co relació a los otros dos idicadores (TIR y TIR margial) que aparece e el cuadro se cosidera coveiete efectuar alguos cometarios: 22

24 La TIR margial o es adecuada para ordear las alterativas. Esto se debe a que los flujos diferecias a partir de los cuales se calcula o cosidera las repeticioes. La TIR expuesta e el cuadro es la correspodiete al primer ciclo de egorde. Si embargo, tambié es la TIR de los ciclos siguietes y la del proyecto e su cojuto. E el ejemplo aalizado, su uso arroja el mismo ordeamieto que el VAE. No por ello se debe sacar coclusioes apresuradas. Como los flujos preseta valores itermedios, sus TIR o so la verdadera tasa de retabilidad, y por lo tato, o debe usarse para ordear. Cometario respecto de la cosideració de la iversió iicial Uo de los errores más comues que suele cometerse al efectuar la comparació de las alterativas de proyecto es o cosiderar la iversió iicial. Si bie es cierto que e todas ellas se debe ivertir u mismo moto, sólo costituye u elemeto irrelevate para la selecció de la mejor opció cuado la alterativa de o ejecutar el proyecto ha sido descartada. E el ejemplo, al ser el VAN de Ejecutar el proyecto de comprar el gaado y vederlo al fial del primer semestre versus o ejecutarlo positivo, queda descartada la opció de o ejecutar el proyecto y e la comparació de las alterativas puede prescidirse de la iversió iicial. Caso 12: Proyecto de explotació de ua mia de oro Cosidérese que ua empresa puede obteer la cocesió para explotar ua mia de oro. Si la explota debe pagar regalías por el 15% de sus igresos brutos. Las iversioes requeridas so de $ tato al iicio como al fial del primer año, mometo e el cual comezará la explotació. Al fializar la cocesió se debe realizar ua iversió e desmatelamieto de la mia de $ , cuyo valor es idepediete del mometo e que se lleve a cabo. Los costos de operació adelatados se estima e $ e el primer año de operació y crece al 4% aual. La producció de oro será de 9 toeladas e el primer año de operació e irá dismiuyedo al 8% aual. Se vederá a fi de cada año a $ la toelada. La tasa de descueto relevate para la empresa es del 10% aual. Le coviee a la empresa obteer la cocesió? De hacerlo, e qué mometo debe abadoar la explotació? La maximizació del VAN es u criterio adecuado para ordear las alterativas de proyecto, ya que éstas o so repetibles. El siguiete gráfico resume los VAN: VAN ($ del mometo cero) Años de explotació Lo más coveiete para la empresa es obteer la cocesió, pero sólo explotarla durate ueve años (VAN = $ ,34), lo que implica ua duració total del proyecto de 10 años. Los flujos a partir de los que se calcula so, por ejemplo: 23

25 Flujo aual de beeficios y costos de Obteer la cocesió de la mia y explotarla durate 2 años versus o obteer la cocesió Cocepto Iversió Iversió e desmatelamieto Costo de operació Igresos por veta del oro Pago de regalías Flujo de beeficios etos El VAN de esta alterativa de proyecto, a la tasa del 10% aual, es igual a - $ ,52. Ua forma simple de llegar a este resultado es pregutarse cuáto gaa y cuáto pierde la empresa por postergar u año la liquidació del proyecto. Es posible coformar ua fució que reúa los beeficios y costos de postergar la liquidació del proyecto por u año, cuado se pasa de (j-1) a j años de explotació: j 1 j 1 BN = (1 0,15) (1 0,08) (1 + 0,04) (1,10) 0, ( j 1) j = de dode surge j = 9,226. Tal como fue icorporado e la fórmula, este resultado idica que el úmero de años de explotació óptimo es 9, ya que está compredido etre 8,226 y 9,226. Si embargo, este resultado es isuficiete para corroborar que se haya alcazado u VAN máximo. Ua vez que se obtiee, se debe calcular el VAN correspodiete a la opció elegida y si resulta positivo, tambié los VAN de las alterativas de proyecto cuya duració sea imediatamete iferior y superior a la determiada. Tambié podría utilizarse las TIR margiales para tomar la decisió. Caso 13: Cambio de equipos E el tema de cambio de equipos se preseta muchas situacioes alterativas. Por ejemplo: Se puede cosiderar que sólo existe el problema del deterioro del equipo adquirido: cuato más viejo es el equipo, mayores so los costos de operació y/o mateimieto del mismo. Se puede icorporar sólo el problema de la obsolescecia: co el paso de los años aparece e el mercado u equipo mejorado, que proporcioa la misma utilidad y que tiee meores costos de operació y/o mateimieto que sus atecesores. Se puede estudiar los dos aspectos ates mecioados e forma cojuta. Se puede cosiderar e todas las situacioes ateriores la existecia de valor residual. Cosidérese que ua empresa utiliza ua máquia para estriar piezas de acero. Actualmete la máquia ueva cuesta $ y este valor se matiee costate e el tiempo. La máquia dura como máximo 10 años. Por simplicidad, se supoe que o tiee valor residual. 34 E el caso que se desarrolla se cosidera tato el deterioro como el de la obsolescecia. Los costos de operació y mateimieto se paga al fial de cada año y va aumetado de acuerdo co la atigüedad de la máquia debido al deterioro: asciede a $ cuado la primera máquia tiee u año de atigüedad y luego crece al 8% aual. Co el paso del tiempo, los fabricates de estas máquias las va mejorado, lo que ocasioa que ua máquia ueva tega meores costos de operació que sus atecesoras. La tasa aual a la que dismiuye estos costos es del 0,1% y lo hace de la siguiete forma: Si el ciclo de reemplazo es de u año, el costo de operació de la seguda máquia comprada, será de $ (1-0,001) = $ (e lugar de $ ), cuado ésta tega 34 E el Apédice matemático, se icorpora la posibilidad de que el costo de compra de la máquia cambie a través del tiempo y que el valor residual se distito de cero. 24

26 u año de atigüedad. El de la tercera máquia, será de $ (1-0,001) 2 = $ ,03 (e lugar de $ ), cuado ésta tega u año de atigüedad. Si el ciclo de reemplazo es de dos años, el costo de operació de la seguda máquia comprada, será de $ (1-0,001) 2 = $ ,03 (e lugar de $ ), cuado ésta tega u año de atigüedad. A partir de ese uevo valor, comieza a aumetar a la tasa del 8% por el deterioro. Asimismo, el costo de operació de la tercera máquia, será de $ (1-0,001) 4 = $ ,15 (e lugar de $ ), cuado ésta tega u año de atigüedad. A partir de ese valor, comieza a aumetar a la tasa del 8% por el deterioro. Si la tasa de descueto relevate es del 10% aual, cada cuátos años le coviee a la empresa cambiar la máquia por ua ueva si espera seguir co la actividad para siempre? E este caso, la miimizació del valor actual de los costos (VAC), calculado sobre flujos cuyos horizotes sea de ifiitos períodos, es u criterio adecuado. Esto es así debido a que se está comparado alterativas de proyecto repetibles y de distita duració. 35 Se platea los flujos auales de costos de cada alterativa de reposició de la máquia cosiderado u horizote de ifiitos años. Por ejemplo, el siguiete flujo correspode a las tres primeras máquias que se compra, e la alterativa de reposició cada dos años: Flujo aual de costos correspodiete a los tres primeros ciclos de compra de la máquia (dos años de duració) Cocepto Iversió ,00 Costos de operació , , , ,16 Flujo de beeficios etos , , , ,16 El VAC correspodiete al flujo a ifiitos años es igual a $ , Como la máquia dura 10 años como máximo, es posible formar 10 flujos alterativos: cada uo correspode a u tamaño diferete de ciclo de recambio (cada año, cada dos años, etc). A cotiuació se expoe u cuadro que resume los VAC de estos flujos: Alterativa de proyecto VAC(10%) Ciclos de u año ,75 Ciclos de dos años ,03 Ciclos de tres años ,49 Ciclos de cuatro años ,36 Ciclos de cico años ,81 Ciclos de seis años ,48 Ciclos de siete años ,68 Ciclos de ocho años ,17 Ciclos de ueve años ,80 Ciclos de diez años ,44 Se cocluye que lo más coveiete es cambiar la máquia cada 9 años (meor VAC), aú cuado éstas pueda durar u año más. 35 Normalmete se toma estas decisioes e fució del costo aual equivalete. Si embargo se puede comprobar que, dadas las características del caso, el cálculo de este idicador es muy complejo. 36 Este VAN surge de aplicar la fórmula (15) desarrollada e el Apédice matemático. 25

27 APÉNDICE MATEMÁTICO A. Mometo óptimo de iicio Tal como se idicó e la presetació de mometo óptimo de iicio de u proyecto, el criterio a utilizar es la maximizació del VAN. E este apédice se deriva, para alguos de los casos aalizados, las ecuacioes que correspode a la codició de primer orde de la maximizació de la variable VAN. Estas ecuacioes surge de u proceso coceptual que implica la igualació de beeficios y costos de postergar el iicio del proyecto por u período. 1. Los beeficios etos crece sólo como fució del tiempo caledario Sólo se preseta el caso e que la iversió es istatáea. La iversió dura ifiitos periodos Se cosidera que la iversió es fució del mometo e que se iicia el proyecto. Los flujos periódicos correspodietes a alguas de las alterativas de iicio so: Alterativa de proyecto j-1 j j+1 Iicio mometo 0 - C B B (1+ γ)... B (1+ γ) j-2 B (1+ γ) j-1 B (1+ γ) j... Iicio mometo 1 - C (1+ θ) B (1+ γ)... B (1+ γ) j-2 B (1+ γ) j-1 B (1+ γ) j... Iicio mometo j-1 - C (1+ θ) j-1 B (1+ γ) j-1 B (1+ γ) j... Iicio mometo j - C (1+ θ) j B (1+ γ) j... Dode C es la iversió iicial, B es el beeficio eto correspodiete al primer período caledario, γ es la tasa periódica de crecimieto de ese beeficio y θ es la tasa periódica de crecimieto del valor de la iversió iicial. Coviee postergar el iicio del proyecto siempre que los beeficios de hacerlo supere a los costos respectivos. Cuado estos coceptos se iguala, e pricipio, se habrá determiado al mometo óptimo de iicio. Este proceso de igualació se preseta a cotiuació. Para ello se aaliza cuáto se gaa y cuáto se pierde por postergar el iicio del proyecto desde j-1 a j, lo cual surge de efectuar la diferecia etre los flujos correspodiete a estas alterativas: Cocepto correspodiete al: j-1 j Flujo de iiciar e j - C (1+ θ) j Flujo de iiciar e j-1 + C (1+ θ) j-1 - B (1+ γ) j-1 E el cuadro aterior se expoe sólo los coceptos que so relevates e el flujo diferecia. Los correspodietes a la alterativa de iiciar e j-1 tiee los sigos cambiados por ser el flujo que está e el sustraedo de la diferecia. Como alguos coceptos se ecuetra e el mometo j-1 y otros e el j, a los efectos de la comparació es ecesario expresarlos e u mismo mometo usado la tasa de descueto periódica r. Si se opta por j, la ecuació que costituye la codició de primer orde para la maximizació del VAN es: r C (1+ θ) j 1 B (1 + γ) j 1 C j j 1 [(1 + θ) (1 + θ) ] = 0, (1) Esta ecuació permite idetificar el mometo óptimo de iicio. Si embargo, es ecesario adicioalmete calcular los VAN correspodietes a las alterativas de proyectos de iiciar e ese mometo y e los mometos imediatamete aterior y posterior al determiado, de maera de cofirmar que se haya alcazado u valor máximo. 37 Si la iversió fuese costate a través del tiempo, θ asume el valor cero y (1) se reduce a: j 1 r C B (1+ γ) = 0. (2) 37 Tambié podría derivarse matemáticamete la codició de segudo orde. 26

28 La iversió dura u determiado úmero de períodos A los de simplificar se cosidera el caso e que la iversió o es fució del mometo e que se iicia el proyecto y cuya duració es de períodos. Los flujos correspodietes a las alterativas de iiciar el proyecto e j-1 y e j so: Alterativa de proyecto j-1 j j+1 (j-1)+ j+ Iicio mometo j-1 - C - C B (1+ γ) j-1 B (1+ γ) j... B (1+ γ) j-2+ B (1+ γ) j Iicio mometo j - C - C B (1+ γ) j... B (1+ γ) j-2+ B (1+ γ) j Es importate otar que los flujos cotempla reiversioes cada periodos. La diferecia etre los flujos correspodietes a las alterativas de iiciar e j y e j-1 es: Cocepto correspodiete al: j-1 j (j-1)+ j+ Flujo de iiciar e j - C - C... Flujo de iiciar e j-1 + C + C... - B (1+ γ) j-1 E el cuadro aterior se expoe sólo los coceptos relevates y los correspodietes a la alterativa de iiciar e j-1 figura co los sigos cambiados. Los putos suspesivos e las filas de iversioes sigifica que éstas debe ejecutarse cada periodos. Si todos estos coceptos se expresa e el mometo j, la ecuació relevate es igual a: C (1 + r ) B (1 + γ) r r j 1 = 0, (3) dode r es la tasa de descueto correspodiete a períodos, que es equivalete a la tasa periódica de descueto r. A partir de ella se puede idetificar el mometo óptimo de iicio. 2. Los beeficios etos crece e fució del mometo e que se iicia el proyecto De los casos expuestos e este trabajo, el más iteresate de presetar e este apartado es el del Caso 6 de págia 9. Se cosidera para su exposició que la iversió es istatáea. A cotiuació se preseta el flujo de beeficios y costos de la alterativa de iiciar hoy: Cocepto Iversió - C Beeficios de beeficiarios iiciales B B (1+ γ) B (1+ γ) 2 B (1+ γ) 3 Beeficios de los beeficiarios que se icorpora e el segudo período. σ B σ B (1+ γ) σ B (1+ γ) 2 Beeficios de los beeficiarios que se icorpora e el tercer período. σ (1+ σ) B σ (1+ σ) B (1+ γ) Beeficios de los beeficiarios que se icorpora e el cuarto período. σ (1+ σ) 2 B. Dode C es la iversió iicial, B es el beeficio eto correspodiete al primer período caledario para el grupo iicial de beeficiarios del proyecto cuado se iicia e el mometo cero, γ es la tasa periódica de crecimieto de ese beeficio y σ es la tasa periódica de crecimieto del úmero de beeficiarios. Si r es la tasa de descueto periódica, el valor al mometo 1 de los beeficios correspodiete σ B a los beeficiarios que se icorpora e el segudo período es igual a: VF 1 =. r γ 27

29 El valor al mometo 2 de los beeficios correspodietes a los beeficiarios que se icorpora σ (1 + σ) B e el tercer período es igual a: VF 2 =. r γ Co el mismo procedimieto se puede calcular los valores del resto de los beeficios, correspodietes a los beeficiarios que se va icorporado. El cojuto de valores así calculados costituye u pla de cuotas vecidas a perpetuidad que crece a la tasa periódica costate σ a partir del mometo 1. Como el valor correspodiete a la primera cuota es de σ B, el valor actual de este pla es igual a: r γ σ B r γ VA =. (4) r σ Esto implica que el VAN de la alterativa de iiciar el proyecto e el mometo 0 es igual a: σ B B r γ VAN = C + +, (5) r γ r σ dode el segudo sumado del segudo térmio de la igualdad es el valor actual de los beeficios correspodietes a los beeficiarios iiciales, los cuales o se cosideraro e (4). El flujo de beeficios y costos de la alterativa de iiciar detro de u año es el siguiete: Cocepto Iversió - C Beeficios de beeficiarios iiciales (1+ σ) B (1+ σ) B (1+ γ) (1+ σ) B (1+ γ) 2 Beeficios de los beeficiarios que se icorpora e el tercer período. σ (1+ σ) B σ (1+ σ) B (1+ γ) Beeficios de los beeficiarios que se icorpora e el cuarto período. σ (1+ σ) 2 B El valor al mometo 2 de los beeficios de los beeficiarios que se icorpora e el tercer σ (1 + σ) B período es: VF 2 =. El valor al mometo 3 de los beeficios de los beeficiarios que r γ σ (1 + σ) B se icorpora e el cuarto período es: VF3 =. El cojuto de valores costituye r γ u pla de cuotas periódicas vecidas a perpetuidad que crece a la tasa periódica costate σ σ (1 + σ) B a partir del mometo 2, siedo el valor correspodiete a la primera cuota de. El r γ valor de este pla al mometo 1 es igual a: σ (1+ σ) B VF 1 = r γ r σ. (6) Por lo tato el VAN de la alterativa de iiciar el proyecto, al mometo 1, es igual a: σ (1 + σ) B (1 + σ) B r γ VAN = C + + r γ r σ, (7) dode el segudo sumado del segudo térmio de la igualdad es el valor actual de los beeficios correspodietes a los beeficiarios iiciales, los cuales o se cosideraro e (6). Este VAN está expresado e el mometo 1. Para compararlo co (5), debe actualizarse. 2 28

30 Geeralizado, el VAN de iiciar el proyecto e j, expresado e ese mometo, es igual a: σ (1+ σ) B j (1 + σ) B r γ VAN = C + +. r γ r σ Este plateo puede extederse a las alterativas de iiciar el proyecto e j-1 y e j: j Cocepto correspodiete al: j-1 j j+1 j+2 j+3 Flujo de iiciar e el mometo j-1 Iversió - C Beeficios beeficiarios iiciales (1+ σ) j-1 B (1+ σ) j-1 B (1+ γ) (1+ σ) j-1 B (1+ γ) 2 (1+ σ) j-1 B (1+ γ) 3 Beeficios beeficiarios que se icorpora e el j ésimo período. σ (1+ σ) j-1 B σ (1+ σ) j-1 B (1+ γ) σ (1+ σ) j-1 B (1+ γ) 2 Beeficios beeficiarios que se icorpora e el j+1 ésimo período. σ (1+ σ) j B σ (1+ σ) j B (1+ γ) Beeficios beeficiarios que se icorpora e el j+2 ésimo período. σ (1+ σ) j+1 B Flujo de iiciar e el mometo j Iversió - C Beeficios beeficiarios iiciales (1+ σ) j B (1+ σ) j B (1+ γ) (1+ σ) j B (1+ γ) 2 Beeficios beeficiarios que se icorpora e el j+1 ésimo período. σ (1+ σ) j B σ (1+ σ) j B (1+ γ) Beeficios beeficiarios que se icorpora e el j+2 ésimo período. σ (1+ σ) j+1 B... Observado ambos flujos se puede cocluir que la diferecia existete etre ellos es: Cocepto correspodiete al: j-1 j j+1 j+2 Flujo de iiciar e j Iversió - C Beeficios de beeficiarios iiciales (1+ σ) j B (1+ σ) j B (1+ γ) Flujo de iiciar e j-1... Iversió + C Beeficios de beeficiarios iiciales - (1+ σ) j-1 B -(1+ σ) j-1 B (1+ γ) - (1+ σ) j-1 B (1+ γ) 2 Beeficios de los beeficiarios que se icorpora e el j ésimo período. - σ (1+ σ) j-1 B - σ (1+ σ) j-1 B (1+ γ) Se expoe sólo los coceptos que o se cacela al efectuar la diferecia de flujos y los correspodietes a la alterativa de iiciar e j-1 figura co los sigos cambiados. Como j (1 + σ) B = (1 + σ) j 1 B + σ (1 + σ) j 1 B, el cuadro aterior puede reescribirse como: Cocepto correspodiete al: j-1 j j+1 j+2 Flujo de iiciar e j Iversió - C Beeficios de beeficiarios iiciales (1+ σ) j-1 B (1+ σ) j-1 B (1+ γ) + σ (1+ σ) j-1 B + σ (1+ σ) j-1 B (1+ γ) Flujo de iiciar e j-1... Iversió + C Beeficios de beeficiarios iiciales - (1+ σ) j-1 B -(1+ σ) j-1 B (1+ γ) - (1+ σ) j-1 B (1+ γ) 2 Beeficios de los beeficiarios que se icorpora e el j ésimo período. - σ (1+ σ) j-1 B - σ (1+ σ) j-1 B (1+ γ) 29

31 Esta forma de expresar los coceptos del cuadro permite cacelar alguos de ellos. Si todos los coceptos que cotiúa siedo relevates se expresa e el mometo j, la ecuació que permite determiar el mometo óptimo de iicio es igual a: r (1 + σ) r C r γ j 1 B = 0. (8) Es iteresate otar que el segudo sumado del primer térmio de la igualdad idica que el costo de postergar u período el iicio del proyecto está dado por los itereses atribuibles a la posposició del logro de beeficios etos por parte de los beeficiarios iiciales correspodietes a la alterativa de iiciar el proyecto e j-1. E efecto, e este caso, la posposició del iicio implica la postergació por u período del logro de todos los beeficios futuros correspodietes a aquellos agetes que el proyecto beeficiaría de iiciarse e j-1. B. Tamaño óptimo Uo de los criterios que se usó para optimizar el tamaño de iversió de u proyecto es igualar la TIR margial co la tasa de descueto. Puesto que este criterio está ítimamete relacioado co la codició de primer orde para la maximizació del VAN, es iteresate aalizar esta coexió. Tambié es iteresate ver cómo se refleja el cumplimieto de la codició de segudo orde de maximizació del VAN e el comportamieto de la TIR margial. A cotiuació se preseta ua demostració matemática de las codicioes de primero y segudo orde de maximizació del VAN, co relació al tamaño de iversió iicial. El valor actual del flujo de u proyecto es igual a: VAN = C + BN t t, dode C es la t= 1 (1 + r) iversió iicial; BN t es el beeficio eto correspodiete al mometo t; r es la tasa de descueto periódica y es el mometo fial de la vida del proyecto. δbnt δvan La codició de primer orde es: = - 1+ δc = 0. (9) t δc t= 1 (1+ r ) Para que se cumpla la sumatoria de las derivadas primeras de los beeficios etos respecto de C (debidamete actualizadas) debe ser positiva. Esto implica que las derivadas primeras de los beeficios etos respecto de C puede ser positivas, egativas o iguales a cero. La TIR margial de pasar de u tamaño de iversió a otro se obtiee de la siguiete ecuació: δbnt δvan = - 1+ δc = 0. (10) t δc t= 1 (1+ ρ' ) Al comparar (9) co (10), se advierte que la úica diferecia que existe etre ellas es que e la primera de ellas aparece r e el mismo lugar que e la seguda figura ρ. De esto se deduce que cuado ocurre la igualdad de tasas (ρ = r), se está garatizado el cumplimieto de la codició de primer orde para la maximizació del VAN. δ BNt 2 δ VAN 2 La codició de segudo orde es: = δc 0 2 <. t δc t= 1 (1+ r ) Para que se cumpla la sumatoria de las derivadas segudas de los beeficios etos respecto de C (debidamete actualizadas) debe ser egativa. Esto implica que las derivadas segudas de los beeficios etos respecto de C puede ser positivas, egativas o iguales a cero. Para determiar cómo se refleja el comportamieto de la TIR margial e el cumplimieto de la codició de segudo orde, se deriva (10) respecto de C: 2 30

32 2 2 δ BNt t δbnt t-1 δρ δ BNt δ. (1+ -. t. (1+ ). BNt δρ ρ ) ρ 2 2. t. δc δc δc δ = C δc δc = 0 2t t. (11) t+ 1 t= 1 (1+ ρ ) t= 1 (1+ ρ ) t= 1 (1+ ρ ) Recordado que para que el VAN sea máximo debe cumplirse que la suma de las derivadas primeras de los beeficios etos respecto de C (debidamete actualizadas) sea positiva y que la suma de las derivadas segudas de los beeficios etos respecto de C (debidamete actualizadas) sea egativa, se puede afirmar que para que (11) se cumpla, la derivada de la TIR margial co respecto a C puede ser positiva, egativa o ula. δ Si para todos los períodos ocurre que BNt δρ > 0, la expresió (11) se cumple si 0 δc δc < (lo que sigifica que debe existir ua relació iversa etre ρ y tamaño de iversió iicial). C. Ciclo óptimo de duració de equipos El reemplazo de equipos debe teer e cosideració las siguietes problemáticas: El deterioro: cuato más viejo es, mayores so sus costos de operació y/o mateimieto. La obsolescecia: co el paso de los años aparece e el mercado u equipo mejorado, que proporcioa la misma utilidad, que suele costar meos y que tiee meores costos de operació y/o mateimieto que sus atecesores. El valor residual: cuato más viejo es el equipo que se cambia, meor es su valor de veta. E lo que sigue se muestra cómo determiar el VAC cosiderado ifiitos períodos. El flujo de costos del primer ciclo de u equipo que se utiliza durate períodos es: Cocepto Iversió C Valor residual - C (1-β) Costos de operació A A (1+ δ) A (1+ δ) -1 Dode es la catidad de períodos que se utiliza el equipo e la alterativa cosiderada; C es el valor de compra del equipo hoy y A es el primer costo operativo correspodiete al primer ciclo. Estos costos crece a ua tasa periódica δ a partir del mometo 1. El valor residual se calcula a partir del valor de compra. Se cosidera para su estimació que el equipo se deprecia periódicamete a ua tasa β a partir del mometo de la compra. Si r es la tasa de descueto periódica, el valor de esos costos al mometo 0 es igual a: (1 β) (1 + r) (1 + δ) VAC primer ciclo = C C + A. (1 + r) (1 + r) (r δ) El flujo de costos del segudo ciclo de u equipo que se utiliza durate períodos es: Cocepto Iversió C (1+ λ) Valor residual - C (1-β) (1+ λ) Costos de operació A (1- α) A (1- α) (1+ δ) A (1- α) (1+ δ) -1 Dode λ es la tasa periódica a la que aumeta el valor de compra del equipo y α es la tasa periódica a la que dismiuye los costos operativos de u equipo uevo co relació a su atecesor imediato. El valor de esos costos al mometo es igual a: 31

33 (1 β) (1 + r) (1 + δ) VAC segudo ciclo = C (1 + λ) C (1 + λ) + A (1 α). (1 + r) (1 + r) (r δ) Co este procedimieto se puede calcular los valores actuales de todos los ciclos restates. El cojuto de los valores actuales correspodietes a todos los ciclos posibles es u pla de perpetuidades que ocurre cada años y que varía a las tasas α y λ. El valor actual de las iversioes iiciales correspodietes a los ifiitos ciclos es igual a: 2 C (1 + λ) C (1 + λ) C VAC iversió iicial = C = (1 + r ), (12) 2 (1 + r) (1 + r) r λ dode r es la tasa de descueto correspodiete a períodos que es equivalete a la r periódica y λ es la tasa de crecimieto del valor de la máquia correspodiete a períodos. El valor actual de los valores residuales correspodietes a los ifiitos ciclos es igual a: C (1 β) C (1 β) (1 + λ) C (1 β) VAC valor residual =... =. (13) 2 (1 + r) (1 + r) r λ El valor actual de los costos operativos correspodietes a los ifiitos ciclos es igual a: (1 + r) (1 + δ) (1 + r) (1 + δ) 1 VAC cos tos operativos = A + A (1 α) +... = (1 + r) (r δ) (1 + r) (r δ) (1 + r) (1 + r) (1+ δ) A (1 + r) (r δ) (1 + r) (1 + δ) VAC costos operativos = (1+ r) = A, (14) r + α (r δ) (r + α) dode α es la tasa de decrecimieto del costo de operació de la máquia co relació a su atecesora, correspodiete a períodos. El valor actual de todos los costos es igual a la suma de las fórmula (12), (13) y (14): C C (1 β) (1 + r) (1 + δ) VAC = (1 + r ) + A. (15) r λ r λ (r δ) (r + α ) La fórmula (15) es geeral: Si el valor de compra del equipo o varia a través del tiempo, λ asume el valor 0. Si el valor residual del equipo es ulo, β asume el valor 1. Si los costos asociados a u equipo so costates a través del tiempo, δ es cero. Si los costos asociados a u uevo equipo so iguales a su predecesor, α es 0. Bibliografía cosultada: BOTTEON, Claudia y FERRA, Coloma, Costo de oportuidad y flujo de beeficios y costos, e impreta de la FCE, Serie Estudios - Ecoomía, N 48 (Medoza, FCE-UNCuyo, 2005). BOTTEON, Claudia y FERRA, Coloma, Elemetos de matemática fiaciera para la evaluació de proyectos, e Serie Estudios - Ecoomía, N 47 (Medoza, FCE-UNCuyo, 2005). FERRA, Coloma, Cosideracioes acerca del mometo óptimo de iiciar ua iversió, e "Revista de la FCE", N 97/98 (Medoza, FCE-UNC, 1988). FERRA, Coloma y BOTTEON, Claudia, Idicadores de retabilidad, e impreta de la FCE, Serie Estudios - Ecoomía, N 49 (Medoza, FCE-UNCuyo, 2005). FONTAINE, Eresto, Evaluació social de proyectos, 12a. ed. (México, Alfaomega, 1999). GUTIERREZ, Héctor, Evaluació de proyectos ate certidumbre (Satiago de Chile, Uiversidad de Chile, 1994). 32