Guía de Cálculo Numérico. Elaborada por: Ramón Medina Copyright 1998 Todos los Derechos Reservados

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1 Guía de Cálculo Numérico Elaborada por: Ramó Media Copyright 998 Todos los Derechos Reservados

2 Sistemas de Numeració y Errores. Sistemas de Numeració y Errores.. Tipos de Errores Error por Trucamieto. Se le da este ombre a los errores ocasioados por el método e sí (el ombre se origia del hecho de que los métodos uméricos geeralmete puede ser comparados co ua serie de Taylor trucada) y es el error al que se ha prestado más ateció. Para los métodos iterativos, de ordiario este error puede ser reducido por medio de iteracioes repetidas pero, ya que la vida es fiita y el tiempo de computadora es caro, es ecesario quedar satisfecho co las aproximacioes a la respuesta aalítica exacta. Error de Redodeo. Todos los dispositivos de cálculo represeta úmeros co algua imprecisió. Las computadoras digitales que so los dispositivos ormales para la implatació de los métodos uméricos, casi siempre utiliza úmeros de puto flotate co ua palabra de logitud fija. Los valores verdaderos o so expresados exactamete por tales represetacioes. A esto se le llama u error de redodeo, ya sea que la fracció decimal esté redodeada, acortada después del dígito fial. Al resolver u problema matemático por medio de ua calculadora, debemos estar coscietes de que los úmeros decimales que calculamos quizá o sea exactos. Estos úmeros casi siempre se redodea cuado los registramos. Au cuado los úmeros se redodee de maera itecioal, el úmero limitado de dígitos de la calculadora puede provocar errores de redodeo. E ua computadora electróica, los errores de redodeo aparece por las mismas razoes y afecta los resultados de los cálculos. E alguos casos, los errores de redodeo causa efectos muy serios y hace que los resultados de los cálculos carezca por completo de setido. Por lo tato, es importate apreder alguos aspectos básicos de las operacioes aritméticas e las computadoras y compreder bajo que circustacias puede ocurrir severos errores de redodeo... Base de los Números El sistema umérico que usamos cotidiaamete se llama sistema decimal. La base del sistema umérico decimal es. Si embargo, las computadoras o usa el sistema decimal e los cálculos i e la memoria, sio que usa el biario. Este sistema es atural para las computadoras ya que su memoria cosiste e u eorme úmero de dispositivos de registro magético y electróico, e los que cada elemeto sólo tiee los estados de ecedido y apagado. Si embargo, si examiamos los leguajes de máquia, proto os percatamos que se usa otros sistemas uméricos, e particular el octal y el hexadecimal. Estos sistemas so parietes cercaos del biario y puede traducirse co facilidad al o del biario. Las expresioes e octal o hexadecimal so más cortas que e biario, por lo que es más secillo que las persoas las lea y compreda. El hexadecimal tambié proporcioa u uso más eficiete del espacio de la memoria para los úmeros reales. La base de u sistema umérico tambié recibe el ombre de raíz. Para el sistema decimal ésta es ; para el sistema octal es 8 y para el biario. La raíz del sistema hexadecimal es 6. Sistemas de Numeració y Errores Págia

3 La base de u úmero se deota por medio de u subídice; por ejemplo, (3.4) es 3.4 e base (decimal), (99.) es. e base (biario) y (8C7.9) 6 es 8C7.9 e base 6 (hexadecimal). El valor decimal de u úmero e base r, por ejemplo, (abcdefg.hijk) r se calcula como ar 6 + br 5 + cr 4 + dr 3 + er + fr + g + hr - + ir - + jr -3 +kr -4 Es comú represetar si subídice, los úmeros que está e base. La represetació e base r de u úmero decimal, se obtiee mediate divisioes sucesivas del úmero por la base, como se muestra e el ejemplo siguiete. Sea el úmero decimal (3456), para obteer su equivalete hexadecimal se procede como sigue: El proceso de divisioes sucesivas termia, cuado el cociete de ua de las operacioes resulte cero. Los dígitos que costituye la ueva represetació so los residuos de cada ua de las operacioes, acomodados e orde iverso al de aparició. Así el valor obteido es (E4) 6... Números detro del hardware de la computadora U bit es a abreviatura de dígito biario (biary digit) y represeta u elemeto de memoria que costa de posicioes de ecedido y apagado, a la maera de u dispositivo semicoductor o u puto magético e ua superficie de registro. U byte es u cojuto de bits cosiderado como ua uidad, que ormalmete está formado por 8 bits. Las formas e que se usa los bits para los valores eteros y de puto flotate varía segú el diseño de ua computadora. Eteros. E el sistema de umeració biario, la expresió matemática de u etero es ±a k a k- a k- a a a dode a i es u bit co valor o. Su valor decimal es I = ±[a k k + a k- k- + + a + a + a ] E ua computadora, el valor máximo de k e la ecuació aterior, está limitado por el diseño del hardware. Sistemas de Numeració y Errores Págia

4 E u computador persoal, se usa bytes (6 bits) para represetar u etero. El primer bit registra el sigo: positivo si es, egativo si es. Los restates 5 bits se usa para los a i. Por lo tato el máximo etero positivo es () su equivalete decimal es 4 i = 3767 i= Ua forma de almacear u úmero egativo es utilizar los mismos dígitos que el úmero positivo de la misma magitud, excepto que el primer bit se poe e. Si embargo, muchas computadoras usa el complemeto a dos para almacear úmeros egativos. Por ejemplo, el complemeto a dos para (-3767) es () Los bits del úmero aterior, se obtiee a partir de la represetació biaria del máximo etero positivo (3767), cambiado los por y añadiedo al resultado. Ee l complemeto de dos, se determia primero el valor decimal como si los 6 bits expresara u úmero positivo. Si este úmero es meor que 5, o 3768, se le iterpreta como positivo. Si es mayor o igual, etoces se trasforma e u úmero egativo restádole 6. E el ejemplo aterior del úmero biario, el equivalete decimal de éste e la ecuació es Z = 5 +, por lo que la resta da = = Números Reales. El formato para u úmero real e ua computadora difiere segú el diseño de hardware y software. Los úmero reales e u computador persoal se almacea e el formato de puto flotate formalizado e biario. E precisió simple, se usa 4 bytes, o 3 bits, para almacear u úmero real. Si se itroduce como dato u úmero decimal, primero se covierte al biario más cercao e el formato ormalizado: (±.abbbbbb bbbb) x z dode a siempre es, cada b es u dígito biario o y z es u expoete que tambié se expresa e biario. Existe 4 dígitos para la matisa icluyedo la a y las b. Los 3 bits se distribuye de la maera siguiete. El primer bit se usa para el sigo de la matisa, los siguietes 8 bits para el expoete z y los últimos 3 para la matisa. 3 bits seeeeeee emmmmmmm mmmmmmmm mmmmmmmm Se usa u bit (s) para el sigo. Se usa 8 bits (e) para el expoete. Se usa 3 bits (m) para la matisa. Sistemas de Numeració y Errores Págia 3

5 E el formato de puto flotate ormalizado, el primer dígito de la matisa siempre es, por lo que o se almacea físicamete. Esto explica por qué ua matisa de 4 bits se almacea e 3. Si los 8 bits asigados al expoete se usa sólo para eteros positivos, el expoete puede represetar desde hasta 8 - = 55, auque puede icluir úmeros egativos. Para registrar expoetes positivos y egativos, el expoete e decimal es sumado co 8 y después covertido a biario (complemeto a dos). Por ejemplo, si el expoete es - 3, etoces = 5 se covierte a biario y se almacea e los 8 bits. Por lo tato, los expoetes que se puede almacear e 8 bits va desde - 8 = -8 hasta 55-8 = 7... Errores de Redodeo e ua Computadora Errores de redodeo al almacear u úmero e memoria. La causa fudametal de errores e ua computadora se atribuye al error de represetar u úmero real mediate u úmero limitado de bits. Al itervalo etre y el siguiete úmero distiguible de se le llama ε. Esto sigifica que igú úmero etre y + ε se puede represetar e la computadora. E el caso de u computador digital, cualquier úmero + α se redodea a si < α < ε/, o se redodea a + ε si ε/ α. Así, se puede cosiderar que ε/ es el máximo error posible de redodeo para. E otras palabras, cuado se halla. e la memoria, el valor origial pudo ser alguo de etre - ε/ < x < + ε/. El épsilo de la máquia se puede determiar mediate el siguiete algoritmo: Hacer E igual a Mietras E + sea mayor que Imprimir E Hacer E igual a E/ Fi de Mietras El último valor impreso por el algoritmo es igual al épsilo de la máquia. Los épsilo para simple y doble precisió e u computador persoal so: Simple: Doble:.9E-7.77E-7 El error de redodeo implicado e el almaceamieto de cualquier úmero real R e memoria es aproximadamete igual a εr/, si el úmero se redodea por exceso y εr si se redodea por defecto. Efecto de los errores por redodeo. Si se suma o resta úmeros, la represetació exacta del resultado quizá ecesite u úmero de dígitos mucho mayor que el ecesario para los úmeros sumados o restados. Existe dos situacioes e los que aparece muchos errores por redodeo: (a) cuado se suma (o se resta) u úmero muy pequeño de uo muy grade y (b) cuado u úmero se resta de otro que es muy cercao. El error de u úmero provocado por el redodeo aumeta cuado el úmero de operacioes aritméticas tambié se icremeta. Para probar el primer caso e la computadora, sumemos. a la uidad diez mil veces. El diseño de u programa para este trabajo sería: Hacer SUMA igual a Desde I igual a hasta Hacer SUMA igual a SUMA más. Fi de Desde Sistemas de Numeració y Errores Págia 4

6 Imprimir SUMA Se platea como ejercicio codificar este algoritmo para determiar el resultado arrojado por el computador y cotrastarlo co el resultado correcto. Otro problema se preseta cuado dos úmeros que debiese ser matemáticamete idéticos, o siempre lo so e las computadoras. Por ejemplo, cosideremos las ecuacioes y = A / B w = y B z = A - w dode A y B so costates. Desde u puto de vista matemático, w es igual a A, por lo que z debe aularse. Si estas ecuacioes se calcula e ua computadora, z se aula o es u valor o ulo pero muy pequeño, depediedo de los valores de A y B. Esto es posible probarlo mediate el siguiete programa Hacer A igual a cos(,3) Desde K igual a hasta Hacer B igual a se(k) Hacer Z igual a A / B Hacer W igual a Z B Hacer Y igual a A - W Imprimir A, B, W, Y Fi de Desde Lo que ocurre e la computadora, es que aparece u error de redodeo cuado se calcula Z = A / B y W = Z B y se almacea. Así, W = Z B e la sexta líea del programa, o es exactamete igual a A. La magitud relativa del error por redodeo atribuida a la multiplicació o divisió etre ua costate y al almaceamieto del resultado e la memoria es casi igual al épsilo de la máquia. El error de u úmero provocado por el redodeo aumeta cuado el úmero de operacioes aritméticas tambié se icremeta. Causas de errores por redodeo. Para explicar cómo surge los errores por redodeo, cosideremos el cálculo de +, e u computador persoal. Las represetacioes biarias de y, so, respectivamete, () = (, ) x (,) = (, ) x -6 La suma de estos dos úmeros es () + (,) = (, ) x Si embargo los úmeros subrayados se redodea ya que la matisa tiee 4 bits. Por lo tato, el resultado de este cálculo se guarda e memoria como Sistemas de Numeració y Errores Págia 5

7 () + (,) = (, ) x que es equivalete a (,36). Así, siempre que se sume, a, el resultado agrega,36 como error. Al repetir diez mil veces la suma de, a, se geera u error de exactamete diez mil veces,36. A este error se le cooce como error de redodeo...3 Error Absoluto y Error Relativo Dos métodos para medir errores de aproximació lo costituye el error absoluto y el error relativo. El error absoluto viee dado por la siguiete expresió Error absoluto = valor verdadero - valor aproximado y el error relativo, por la formula Error relativo = valor verdadero valor aproximado valor verdadero El error relativo suele ser u mejor idicador de la precisió, ya que es idepediete de la escala usada. Ejemplo: Si p =,3 x y p* =,3x, el error absoluto es Error absoluto = p - p* =,3 -,3 =, Error relativo = p - p* / p =,3 -,3 /,3 =,3333x -..4 Dígitos Sigificativos Se dice que el úmero p* aproxima a p co t dígitos sigificativos (o cifras) si t es el etero más grade o egativo para el cual p p* p < 5 t Ejemplo: Para que p* aproxime a co cuatro cifras sigificativas, usado la defiició, p* debe satisfacer p * 5x 4 Sistemas de Numeració y Errores Págia 6

8 Esto implica que 999, 5 < p* <,5 y está de acuerdo co la defiició ituitiva de cifras sigificativas.. Problemas.. Supoga que p* aproxima a p co 3 dígitos sigificativos. Ecuetre el itervalo e el cual p* debe estar, si p es (a) 5 (b) 9 (c) 5 (d) 9.. Cosidere los siguietes valores de p* y p y calcule el error absoluto y relativo e cada caso. (a) p= π, p*= 3, (b) p= /3, p* =,333 (c) p= π/, p* =,3 (d) p= /3, p* = 33,3..3 A cuátas cifras sigificativas aproxima p* a p e el ejercicio..?..4 Covierta los siguietes úmeros de máquia represetados e puto flotate, e úmeros decimales (a) (b) (c) (d)..5 Si se usa 8 bits para represetar los eteros positivos y egativos e complemeto a dos, cuál es el etero positivo más grade y el egativo más pequeño (e magitud) e decimal?...6 Se tiee dos úmeros eteros de 6 bits: () () Determie los valores decimales correspodietes...7 Hallar el épsilo de la máquia para u computador persoal, usado el algoritmo descrito e la secció Codifique y ejecute el segudo algoritmo descrito e la secció Codifique y ejecute el tercer algoritmo descrito e la secció... Sistemas de Numeració y Errores Págia 7

9 Prelimiares Matemáticos. Teorema del Valor Medio Si f C[a,b] y f es difereciable e (a,b), etoces existe u úmero c, a < c < b, tal que f ' ( c) = f ( b) f ( a) b a FIGURA.. Teorema del Valor Medio Poderado para Itegrales Si f C[a,b], g es itegrable e [a,b], y g(x) o cambia de sigo e [a,b], etoces existe u úmero c, a < c < b, tal que: b a b f ( x) g( x) dx = f ( c) g( x) dx a Si f C[a,b] y K es u úmero cualquiera etre f(a) y f(b), etoces existe c e (a,b) tal que f(c) = K (ver figura.). FIGURA. Prelimiares Matemáticos Págia 8

10 .3 Teorema de Rolle Supogamos que f C[a,b] y f es difereciable e (a,b). Si f(a) = f(b) =, etoces existe u úmero c, a < c < b, tal que f (c) =. FIGURA.3.4 Teorema del Valor Itermedio Si f C[a,b] y K es u úmero cualquiera etre f(a) y f(b), etoces existe c e (a,b) tal que f(c) = K. Ejemplo: Para demostrar que x 5 - x 3 + 3x - = tiee ua solució e el itervalo [,], cosideremos la fució f(x)= x 5 - x 3 + 3x -. Claramete f es cotiua e [,] y f() = - mietras que f() =. Como f() < < f(), el teorema del Valor Itermedio implica que existe u úmero x, co < x <, para el cual x 5 - x 3 + 3x - =. Como se ve e el ejemplo aterior, el teorema del Valor itermedio es importate para ayudar a determiar cuádo existe solucioes a ciertos problemas. Si embargo, o da la maera de ecotrar estas solucioes. FIGURA.4.5 Teorema de Taylor Supogamos que f C [a,b] y f (+) existe e [a,b). Sea x [a,b]. Para toda x [a,b], existe ξ(x) etre x y x tal que: f(x) = P (x) + R (x), dode ( ) f ''( x ) f ( x ) P ( x) = f ( x ) + f '( x )( x x ) + ( x x ) + + ( x x )!! ( k ) f ( x ) k = ( x x ) k! k = Prelimiares Matemáticos Págia 9

11 y R ( x) = f + ( ξ( x)) ( x x) ( + )! ( ) + A P (x) se le llama el poliomio de Taylor de grado para f alrededor de x y a R (x) se le llama el residuo (o error por trucamieto) asociado co P (x). La serie ifiita que se obtiee tomado el límite de P (x) cuado se deomia Serie de Taylor para f alrededor de x. E el caso de que x =, el poliomio de Taylor se cooce frecuetemete como poliomio de Maclauri y la serie de Taylor se deomia serie de Maclauri. El térmio error de trucamieto geeralmete se refiere al error ivolucrado al usar sumas fiitas o trucadas para aproximar la suma de ua serie ifiita..6 Teorema Fudametal del Álgebra Si P es u poliomio de grado, etoces P(x) = tiee al meos ua raíz (posiblemete compleja). Corolario Si P(x) = a x + a - x a x + a es u poliomio de grado, etoces existe costates úicas x, x,..., x, posiblemete complejas, y eteros positivos, m, m,..., m tales que k mi = i= y m m P( x) = a ( x x ) ( x x ) ( x x ) m k k Este corolario afirma que los ceros de u poliomio so úicos y que si cada cero x i es cotado tatas veces como su multiplicidad m i, etoces u poliomio de grado tiee exactamete ceros. Corolario Sea P y Q poliomios a los más de grado. Si x, x,..., x k, k >, so úmeros distitos de P(x ) = Q(x ) para i =,,..., k, etoces P(x) = Q(x) para todo valor de x..7 Problemas.7. Sea f(x) = - e x + (e-)se((π/)x). Demuestre que f (x) es cero cuado meos ua vez e [,]..7. Demuestre que la ecuació x 3 = e x sex debe teer por lo meos ua solució e [,4]..7.3 Demuestre que la ecuació x = 3 -x tiee ua solució e [,]..7.4 Use el teorema del Valor Itermedio y el teorema de Rolle para demostrar que la gráfica de f(x) = x 3 + x + k cruza el eje x exactamete ua vez, idepedietemete del valor de la costate k. Prelimiares Matemáticos Págia

12 .7.5 Ecuetre el poliomio de Taylor de cuarto grado para f alrededor de x = si f(x) = e x cosx. Use este poliomio para aproximar f(π/6), y ecuetre ua cota para el error e esta aproximació..7.6 Use u poliomio de Taylor alrededor de π/4 para aproximar cos4 co ua precisió de 6 dígitos sigificativos. Prelimiares Matemáticos Págia

13 3 Solució de Ecuacioes No Lieales Las solucioes de ua ecuació o lieal se llama raíces o ceros. Los siguietes so alguos ejemplos de ecuacioes o lieales: a) + 4x - 6x + 3x 3 + 3x 4 = b) f(x) - α =, a < x < b c) x(,, 5x) / ( x)(,, 5x) d) ta(x) = tah(x) / 3, 69 =, < x < La primera es u ejemplo de ecuació poliomial, que puede aparecer como ua ecuació característica para ua ecuació diferecial ordiaria lieal, etre otros problemas. El segudo ejemplo es equivalete a evaluar f - (α), dode f(x) es cualquier fució y f - es su fució iversa. El tercer ejemplo es u caso especial del iciso b). El cuarto ejemplo es ua ecuació trascedetal. TABLA 3.. Resume de los métodos para ecotrar raíces Nombre Necesidad de especificar u itervalo que cotega a la raíz Necesidad de la cotiuidad de f Tipo de ecuacioes Otras características especiales Bisecció si o cualquiera Robusto, aplicable a fucioes o aalíticas. Falsa posició si si cualquiera Covergecia leta e u itervalo grade. Falsa posició modificada si si cualquiera Más rápido que el método de la falsa posició. Método de Newto o si cualquiera Rápido; se ecesita calcular f ; aplicable a raíces complejas. Método de secate o si cualquiera Rápido; o se requiere calcular f. Sustitució sucesiva o si cualquiera Puede o coverger. Solució de Ecuacioes No Lieales Págia

14 La razó pricipal para resolver ecuacioes o lieales por medio de métodos computacioales es que esas ecuacioes carece de solució exacta, excepto para muy pocos problemas. La solució aalítica de las ecuacioes poliomiales existe sólo hasta el orde cuatro, pero o existe solucioes e forma exacta para órdees superiores. Por lo tato, las raíces de esas ecuacioes o lieales se obtiee mediate métodos computacioales basados e procedimietos iterativos. 3. Algoritmo de Bisecció La primera técica, basada e el teorema de Valor Itermedio, se llama algoritmo de bisecció o método de búsqueda biaria. Supogamos que teemos ua fució cotiua f, defiida e el itervalo [a,b], co f(a) y f(b) de sigos distitos. Etoces se tiee que p / a < p < b y f(p) =. El método requiere de dividir repetidamete a la mitad a los subitervalos de [a,b] y, e cada paso, localizar la mitad que cotiee a p. Para empezar, tomamos a = a y b = b, y p el puto medio de [a,b]; o sea, p = ½(a + b ) FIGURA 3. Si f(p ) =, etoces p = p ; si o, etoces f(p ) tiee el mismo sigo que f(a ) o f(b ). Si f(p ) y f(a ) tiee el mismo sigo, etoces p (p, b ), y tomamos a = p y b = b. Si f(p ) y f(b ) so del mismo sigo, etoces p (a, p ), y tomamos a = a y b = p. Ahora replicamos el proceso al itervalo [a,b ]. Esto produce el siguiete algoritmo Etrada: extremos a, b; toleracia TOL; máximo úmero de iteracioes N. Salida: solució aproximada p o mesaje de fracaso. Hacer i igual a Mietras i sea meor o igual que N Hacer p = a + (b - a)/ (Calcular p i ) Si f(p) es igual a cero ó (b - a)/ es meor o igual que TOL, etoces Mostrar (p); (procedimieto completado satisfactoriamete) Parar Fi de Si Hacer i igual a i + Si f(a)f(p) es mayor que etoces Hacer a igual a p (Calcular a i, b i ) Si o Hacer b igual a p Fi de Si Fi de Mietras Mostrar ( El método fracasó después de N iteracioes ) Parar Solució de Ecuacioes No Lieales Págia 3

15 Otros procedimietos de paro que puede tambié aplicarse e el paso 4 del algoritmo, so los que se muestra a cotiuació. Seleccioe ua toleracia ε > y geere p,..., p N hasta que ua de las siguietes codicioes se satisfaga P N P < ε N P N P P N N < ε, P N f ( P N ) < ε Desafortuadamete, puede surgir dificultades usado cualquiera de estos criterios de paro. Si coocimieto adicioal acerca de f o p, la desigualdad es el mejor criterio de paro que puede aplicarse porque verifica al error relativo. Cuado usamos ua computadora para geerar las aproximacioes, es ua buea idea añadir ua codició que impoga u máximo al úmero de iteracioes realizadas. El algoritmo de bisecció, auque coceptualmete claro, tiee icoveietes importates. Coverge muy letamete y ua buea aproximació itermedia puede ser desechada si que os demos cueta. Si embargo, el método tiee la propiedad importate de que coverge siempre a ua solució y, por esta razó se usa frecuetemete para poer e marcha a los métodos más eficietes que se presetará más adelate e este capítulo. 3. Método de la Falsa Posició Se basa e iterpolació lieal y es aálogo al método de bisecció, puesto que el tamaño del itervalo que cotiee la raíz se reduce mediate iteració. Si embargo, e vez de bisectar e forma moótoa, se utiliza ua iterpolació lieal ajustada a dos extremos para ecotrar ua aproximació de la raíz. Así, si la fució está bie aproximada por la iterpolació lieal, etoces las raíces estimadas tedrá ua buea precisió y, e cosecuecia, la iteració covergerá más rápido que cuado se utiliza el método de bisecció. Dado u itervalo [a,c] que cotega a la raíz, la fució lieal que pasa por (a,f(a)) y (c,f(c)) se escribe como y = f ( a) + f ( c) f ( a) ( x a ) c a FIGURA 3. o, despejado x, x = a + c + a y f a f ( c) f ( a) ( ( )) La coordeada x e dode la líea itersecta al eje x se determia al hacer y = e la ecuació aterior Solució de Ecuacioes No Lieales Págia 4

16 b = a c + a f c f a f a af ( c) cf ( a) ( ) = ( ) ( ) f ( c) f ( a) Después de ecotrar b, el itervalo [a,c] se divide e [a,b] y [b,c]. Si f(a)f(b), la raíz se ecuetra e [a,b]; e caso cotrario, está e [b,c]. Los extremos del uevo itervalo que cotiee a la raíz se reombra a y c. El procedimieto de iterpolació se repite hasta que las raíces estimadas coverge. La desvetaja de este método es que puede aparecer extremos fijos, como se muestra e la figura 3., e dode uo de los extremos de la sucesió de itervalos o se mueve del puto origial, por lo que las aproximacioes de la raíz, deotadas por b, b, b 3,... coverge a la raíz exacta solamete por u lado. Los extremos fijos o so deseables debido a que hace más leta la covergecia, e particular cuado el itervalo iicial es muy grade o cuado la fució se desvía de maera sigificativa de ua líea recta e el itervalo. El método de la falsa posició modificado elimia esta dificultad. 3.3 Método de la Falsa Posició Modificada E este método, el valor de f e u puto fijo se divide a la mitad si este puto se ha repetido más de dos veces. El extremo que se repite se llama extremo fijo. La excepció a esta regla es que para i =, el valor de f e u extremo se divide etre de imediato si o se mueve. El efecto de dividir el valor de y es que la solució de la iterpolació lieal se hace cada vez más cercaa a la verdadera raíz. FIGURA Método de Newto Este método (tambié llamado método de Newto-Raphso) ecuetra ua raíz, siempre y cuado se coozca ua estimació iicial para la raíz deseada. Utiliza rectas tagetes que se evalúa aalíticamete. El método de Newto se puede aplicar al domiio complejo para hallar raíces complejas. El método de Newto se obtiee a partir del desarrollo de Taylor. Supógase que el problema es ecotrar ua raíz de f(x) =. Al utilizar el desarrollo de Taylor de f(x) e toro a ua estimació x, la ecuació se puede escribir como f(x) = = f(x ) + f (x ) + O(h ) FIGURA 3.4 dode h = x - x. Al despejar x e la ecuació aterior o se obtiee el valor exacto debido al error de trucamieto, pero la solució se acerca e mayor medida al x exacto, que lo que se aproxima al estimado x. Por lo tato, al repetir la solució utilizado el valor actualizado como ua ueva estimació, se mejora la aproximació e forma sucesiva. El algoritmo se muestra de maera gráfica e la figura 3.4. El valor x es ua estimació iicial para la raíz. A cotiuació se obtiee la fució lieal que pasa por (x, y ) e forma tagecial. La itersecció de la recta tagete co el eje x se deota como x y se cosidera como ua aproximació de la raíz. Se repite el mismo Solució de Ecuacioes No Lieales Págia 5

17 procedimieto, utilizado el valor actualizado como ua ueva estimació, se mejora la aproximació e forma sucesiva. El algoritmo se muestra de maera gráfica e la figura 3.4. El valor x es ua estimació iicial para la raíz. A cotiuació se obtiee la fució lieal que pasa por (x, y ) e forma tagecial. La itersecció de la recta tagete co el eje x se deota como x y se cosidera como ua aproximació de la raíz. Se repite el mismo procedimieto, utilizado el valor más actualizado como ua estimació para el siguiete ciclo de iteració. La recta tagete que pasa por (x, f(x )) es g(x) = f (x )(x-x ) + f(x ) La raíz de g(x) = deotada por x satisface f (x )(x -x ) + f(x ) = Al resolver la ecuació aterior se obtiee x = x f ( x ) f ' ( x ) Las aproximacioes sucesivas a la raíz se escribe como x i = x i f ( x ) i f ' ( x ) i Obteer la primera derivada de ua fució dada puede ser ua tarea difícil o imposible. E tal caso, se puede evaluar f (x i ) mediate ua aproximació por diferecias, e vez de e forma aalítica. Por ejemplo, se puede aproximar f (x i- ) mediate la aproximació por diferecias hacia adelate, f ' ( x ) = i f ( xi + h) f ( xi ) h dode h es u valor pequeño - por ejemplo h =,. Los errores pequeños e la aproximació por diferecias o tiee u efecto observable e la razó de covergecia del método de Newto. La precisió del resultado fial o se ve afectada por la aproximació por diferecias. El método de Newto se puede aplicar para hallar raíces complejas. Si el leguaje de programació permite variables complejas, se puede aplicar fácilmete al caso de las raíces complejas u programa de computadora diseñado sólo para raíces reales. Algoritmo de Newto-Raphso Para ecotrar ua solució de f(x) = dada ua aproximació iicial p : Etrada: aproximació iicial p ; toleracia TOL; úmero máximo de iteracioes N. Solució de Ecuacioes No Lieales Págia 6

18 Hacer i igual a Mietras i sea meor o igual que N Hacer p = p - f(p )/f (p ) (Calcular p i ) Si p - p < TOL etoces Mostrar (p); (Procedimieto completado satisfactoriamete) Parar Hacer i igual a i + Hacer p igual a p (Redefiir p ) Fi de Mietras Mostrar ( El método fracasó después de N iteracioes ) (Procedimieto completado si éxito) Parar 3.5 Método de la Secate Este método es muy similar al de Newto. La pricipal diferecia co el método de Newto es que f se aproxima utilizado los dos valores de iteracioes cosecutivas de f. Esto elimia la ecesidad de evaluar tato a f como a f e cada iteració. Por lo tato, el método de la secate es más eficiete, particularmete cuado f es ua fució e la que se ivierte mucho tiempo al evaluarla. El método de la secate tambié está ítimamete ligado co el método de la falsa posició, ya que ambos se basa e la fórmula de iterpolació lieal, pero el primero utiliza extrapolacioes, mietras que el segudo utiliza úicamete iterpolacioes. Las aproximacioes sucesivas para la raíz e el método de la secate está dadas por FIGURA 3.5 x = x y x y x y, =, 3... dode x y x so dos suposicioes iiciales para comezar la iteració. Si los x - y x cosecutivos so muy cercaos, etoces y - y y está muy cercaos, por lo que aparece u error de redodeo sigificativo e la ecuació aterior. Este problema se puede evitar de dos formas: (a) cuado y es meor que u valor fijado de atemao, x - y y - queda fijos (o cogelados) de ahí e adelate, o (b) x - y y - se reemplaza por x - + ξ y y(x - + ξ) dode ξ es u úmero pequeño prescrito pero lo suficietemete grade como para evitar serios errores de redodeo, El método de la secate puede coverger a ua raíz o deseada o puede o coverger del todo si la estimació iicial o es buea. Algoritmo de la Secate Para ecotrar ua solució de f(x) =, dadas las aproximacioes iiciales p y p : Solució de Ecuacioes No Lieales Págia 7

19 Etrada: Salida: aproximacioes iiciales p, p ; toleracia TOL; úmero máximo de iteracioes N solució aproximada p o mesaje de fracaso Hacer i igual a Hacer q = f(p ) Hacer q = f(p ) Mietras i sea meor o igual que N Hacer p = p - q (p - p )/(q - q ) (Calcular p i ) Si p - p < TOL etoces Mostrar (p); (Procedimieto completado satisfactoriamete) Parar Fi de Si Hacer i igual a i + Hacer p igual a p ; (Redefiir p, q, p, q ) Hacer q igual a q Hacer p igual a p Hacer q igual a f(p) Mostrar ( El método fracasó después de N iteracioes ) (Procedimieto completado si éxito) Parar 3.6 Problemas. Determie la raíz positiva de x -,9x -,5 = e el itervalo [,] mediate el método de bisecció, co ua toleracia de,.. Calcula la raíz de ta(x) = 3,5 e el itervalo [,π] mediate el método de bisecció, co ua toleracia de,5. 3. Codifique el algoritmo correspodiete al Método de Bisecció y determie u itervalo de tamaño,5 para cada raíz positiva de las siguietes ecuacioes i) f(x) =,5e x/3 - se(x) =, x > ii) f(x) = log e ( + x) - x = 4. Ecuetre todas las raíces positivas de las ecuacioes siguietes mediate el método de bisecció co ua toleracia de, i) ta(x) - x + =, < x < 3π ii) se(x) -,3e x =, x > iii) -x 3 + x + = iv) 6x 5 - x 3 + x + 5x -,5 = 5. Determie las raíces de las siguietes ecuacioes mediate el método de la falsa posició modificada i) f(x) =,5exp(x/3) - se(x), x > ii) f(x) = log(+x) - x iii) f(x) = exp(x) - 5x iv) f(x) = x 3 + x - = v) f(x) = (x + ) / 6. La fució de trasferecia de u sistema está dada por Solució de Ecuacioes No Lieales Págia 8

20 dode F( s) = + H( s) G( s) H( s) G( s) = exp(, s), H( s) = K s Busque las raíces de la ecuació característica + G(s)H(s) = para K=, y 3 mediate el método de la falsa posició modificada. 7. Ecotrar aproximacioes a -4 de todos los ceros reales de los siguietes poliomios usado el método de Newto. i) P(x) = x 3 - x - 5 ii) P(x) = x 3 + 3x - iii) P(x) = x 3 - x - iv) P(x) = x 4 + x - x P(x) = x 3-8,3x +,95x -,4 = tiee ua raíz e x =,9. Use el método de Newto co ua aproximació iicial x =,8 para tratar de ecotrar esta raíz. Qué pasa?. Supoga que la úica raíz que se desea es x =,9; cómo podría obteer ua aproximació lo suficietemete buea para que el método de Newto coverja a x =,9?. 9. Codifique, empleado el leguaje de programació de su preferecia, el algoritmo de la secate.. Codifique, empleado el leguaje de programació de su preferecia, el algoritmo de Newto. Solució de Ecuacioes No Lieales Págia 9

21 4 Iterpolació y Aproximació de Fucioes E este capítulo se cosiderará la preguta: Dados los valores de ua fució descoocida correspodiete a ciertos valores de x, cuál es el comportamieto de la fució?. El propósito e determiar el comportamieto de la fució, tal como se evidecia por las muestras de los pares de datos (x, f(x)), tiee varias iterrogates. Se desearía aproximar otros valores de la fució para valores e x o tabulados (iterpolació y extrapolació), y estimar la itegral de f(x) y su derivada. Estos últimos objetivos coducirá a formas de resolver ecuacioes difereciales. La estrategia que se utilizará para aproximarse a los valores descoocidos de la fució es directa. Se ecotrará u poliomio que satisfaga u cojuto de putos seleccioados (x i, f(x i )) y, se supodrá que el poliomio y la fució se comporta casi de la misma maera, sobre el itervalo e cuestió. Etoces los valores de los poliomios, debe ser estimacioes razoables de los valores de la fució descoocida. Cuado el poliomio es de primer grado, éste coduce a la iterpolació lieal familiar. Estaremos iteresados e poliomios de grado mayor que el primero, y así poder aproximar fucioes que está lejos de ser lieales, o poder obteer bueos valores a partir de ua tabla co u mayor espaciamieto. Ua de las razoes más importates para el estudio del tema, está e el trabajo de detalle para la itegració y difereciació umérica. Si se desea ecotrar u poliomio que pase a través de los mismos putos que uestra fució descoocida, se puede establecer u sistema de ecuacioes que ivolucre los coeficietes del poliomio. Por ejemplo, supógase que se desea ajustar u poliomio cúbico a los siguietes datos: x,,7 3, 4,8 5,6 f(x) 4, 7,8, 38,3 5,7 El poliomio iterpolate podrá ser a lo sumo, de grado uo meos que el úmero de putos dispoibles; e esta caso particular el grado máximo del poliomio de iterpolació será cuatro. Se costruye etoces u sistema de ecuacioes co poliomios de grado cuatro de la forma ax 4 + bx 3 +cx +dx + e, dode x =, 4 a(, ) + 3 b(, ) + c(, ) + d(, ) + e = 4, x =, 7 4 a(, 7) + 3 b(, 7) + c(, 7) + d(, 7) + e = 7, 8 x = 3, 4 a(3,) + 3 b(3,) + c(3,) + d(3,) + e =, x = 4, 8 4 a( 4, 8) + 3 b( 4, 8) + c( 4, 8) + d( 4, 8) + e = 38, 3 x = 5,6 a( 5, 6) + b( 5, 6) + c( 5, 6) + d( 5, 6) + e = 5, 7 La solució de estas ecuacioes proporcioa el poliomio. Etoces es posible estimar los valores de la fució e algú valor de x, por ejemplo x= 3,, sustituyedo este valor de x e el poliomio. Iterpolació y Aproximació de Fucioes Págia

22 Se busca ua mejor y más secilla forma de ecotrar los poliomios iterpolates. El procedimieto aterior es algo egorroso, e especial si se desea que el uevo poliomio se ajuste o pase por el puto (5,6; 5,7), o para ver que diferecia resultaría si se utilizara u poliomio cuadrático e lugar de uo cúbico. 4. Iterpolació y el Poliomio de Lagrage Cosidérese el problema de determiar u poliomio de grado que pase por los putos distitos (x, y ) y (x, y ). Este problema es el mismo que el de aproximar ua fució f, para la cual f(x )= y y f(x )= y, por medio de u poliomio de primer grado, iterpolado etre, o coicidiedo co, los valores de f e los putos dados. Se el poliomio Px ( ) = ( x x) y ( x x ) ( x x) + y ( x x ) Cuado x= x, P(x )= y = f(x ) y cuado x= x, P(x )= y = f(x ) así que P tiee las propiedades requeridas. La técica usada para costruir a P es el método de iterpolació usado co frecuecia e las tablas trigoométricas o logarítmicas. Lo que puede ser o ta obvio es que P es el úico poliomio de grado o meor co la propiedad de iterpolació. Para geeralizar el cocepto de iterpolació lieal, cosidérese la costrucció de u poliomio de grado a lo más que pase por los + putos (x, f(x )), (x, f(x )), (x, f(x )),..., (x, f(x )). El poliomio lieal que pasa por (x, f(x )), (x, f(x )) se costruye usado los cocietes L ( x) = ( x x) ( x x ) y L ( x) = ( x x) ( x x ) Cuado x= x, L (x )= mietras que L (x )=. Cuado x= x, L (x )= mietras que L (x )=. Para el caso geeral es ecesario costruir, para cada k=,,...,, u cociete L,k (x) co la propiedad de que L,k (x i )= cuado i k y L,k (x k )=. Etoces, L, ( x) = k ( x x )...( x x k )( x x k + )...( x x) = ( x x )...( x x )( x x )...( x x ) k k k k k + k i= i k ( x xi ) ( x x ) k i Ahora que se cooce la forma de L,k es fácil describir al poliomio iterpolate. Este poliomio se llama poliomio iterpolate de Lagrage y se defie a cotiuació. Si x, x,..., x so (+) úmero diferetes y f es ua fució cuyos valores está dados e estos putos, etoces existe u úico poliomio P de grado a lo más co la propiedad de que f(x k )= P(x k ) para cada k=,,...,. Este poliomio está dado por Iterpolació y Aproximació de Fucioes Págia

23 P( x) = f ( x ) L ( x) f ( x ) L ( x) = f ( x ) L ( x),, k, k k = dode L, ( x) = k ( x x)...( x xk )( x xk + )...( x x) = ( x x )...( x x )( x x )...( x x ) k k k k k + k i= i k ( x xi ) ( x x ) k i, para cada k=,..., 4. Poliomio Iterpolates e putos co igual separació El problema se simplifica cosiderablemete, si los valores de la fució está dados a itervalos regulares de la variable idepediete, así que primero se cosiderará este caso. 4.. Tabla de Diferecias Resulta coveiete arreglar los datos e ua tabla co los valores x e orde ascedete. Además de las columas para x y f(x), se deberá tabular las diferecias de los valores fucioales. La tabla que se muestra a cotiuació es llamada tabla de diferecias. x f(x) f(x) f(x) 3 f(x) 4 f(x) 5 f(x) 6 f(x),,,3,7,4,,3,7,,3,,4,44,5,59,4,43,6,85,96,,6,684,346,8,37,8,3,57,488,,557,5,,57 Los térmios calculados e la tabla de diferecias, permite determiar los coeficietes de poliomios iterpolates. Es covecioal que la letra h sea la diferecia uiforme de los valores x, es decir, h= x. Utilizado subídices para represetar el orde de los valores x y f(x) se defie las primeras diferecias de la fució como: f = f - f, f = f 3 -f,..., f i = f i+ -f i. De ua maera semejate se defie las diferecias segudas y de orde más elevado. La -ésima diferecia de la fució se defie como: f f f ( ) ( )( ) f f! 3! i = i+ i + + i + i El patró de los coeficietes e la ecuació aterior, es el arreglo de valores e el desarrollo biomial. Las diferecias segudas y de mayor orde se obtiee por sustracció de las diferecias ateriores. Cuado f(x) se comporta como u poliomio para el cojuto dado de datos, la tabla de diferecias tiee propiedades especiales. La siguiete tabla muestra ua fució sobre el domiio x= hasta x=6, y f(x) se comporta como x 3. Iterpolació y Aproximació de Fucioes Págia

24 x f(x) f(x) f(x) 3 f(x) 4 f(x) 5 f(x) 6 f(x) Observe que las terceras diferecias so iguales e todos los casos, así que las cuartas y superiores será cero. Es posible demostrar que las diferecias de -ésimo orde de u poliomio de -ésimo grado será iguales, por lo que las diferecias de (+)-ésimo orde será cero. 4.. Poliomio de Avace de Newto-Gregory Cuado la fució que ha sido tabulada, se comporta como u poliomio (esto se puede decir observado que sus diferecias de orde -ésimo sea iguales o casi), se le puede aproximar al poliomio que se le parece. El problema cosiste etoces e ecotrar los medios más secillos para escribir el poliomio de -ésimo grado correspodiete. Quizá las forma más fácil de escribir u poliomio que pasa por u cojuto de putos equiespaciados, es el poliomio de avace de Newto-Gregory: s( s ) s( s )( s ) 3 P ( xs) = f + s f + f + f+...! 3! s s s s = f + f f f f = k = s f E esta ecuació la otació s viee dada por el úmero de combiacioes de s cosas tomadas a la vez, lo cual es coocido como razoes factoriales. Es posible demostrar que P (x) formada de acuerdo a la ecuació aterior, se ajusta a todos los + putos dados. Si, sobre el domiio de x a x, P (x) y f(x) tiee los mismos valores e los datos tabulados de x, resulta razoable supoer que estará cercaos e los valores itermedios de x. Esta suposició es la base del uso de P (x) como u poliomio iterpolate. Se hace éfasis e el hecho de que e geeral f(x) y P (x) o será la misma fució. Por lo tato, hay algú error que se debe esperar e la estimació de tal iterpolació. Usamos el poliomio de la ecuació aterior como u poliomio de iterpolació, dejado a s tomar valores o eteros. Obsérvese que, para cualquier valor de x, x x s = h Iterpolació y Aproximació de Fucioes Págia 3

25 4..3 Poliomio de Retroceso de Newto-Gregory Alguas veces es coveiete escribir el poliomio iterpolate e otras formas. El poliomio de retroceso de Newto-Gregory es: s s s s P ( x) = f + f f f f = k = s + f dode f i = f i - f i- 4.3 Poliomio Iterpolates e putos o equiespaciados Las fórmulas de iterpolació de Newto-Gregory descritas e la secció aterior se restrige a putos co igual separació. Si embargo, a meudo aparece a ecesidad de escribir u poliomio para putos co separació o uiforme. El modelo de iterpolació de Newto-Gregory puede extederse a los putos co separació o uiforme utilizado las diferecias divididas Tabla de Diferecias Divididas Supógase que P es el poliomio de Lagrage de grado a lo más que coicide co la fució f e los úmeros distitos x, x,..., x. Las diferecias divididas de f co respecto a x, x,..., x, se puede derivar demostrado que P tiee la represetació P (x)= a + a (x-x ) + a (x-x )(x-x )+...+a (x-x )(x-x )---(x-x - ) co costates apropiadas a, a,..., a. Para determiar la primera de estas costates, a, ótese que si P (x) puede escribirse e la forma de la ecuació aterior, etoces evaluado P e x deja solamete el térmio costate a ; esto es, a = P (x )= f(x ). Similarmete, cuado P se evalúa e x, los úicos térmios distitos de cero e la evaluació de P (x ) so la costate y el térmio lieal, f(x ) + a (x -x )= P (x )= f(x ); así que a = f ( x) f ( x) x x Aquí se itroduce lo que se cooce como otació de diferecia dividida. La diferecia dividida cero de la fució f, co respecto a x i, se deota por f[x i ] y es simplemete la evaluació de f e x i, f [ x ] = f ( x ) i i Iterpolació y Aproximació de Fucioes Págia 4

26 Las diferecias divididas restates se defie iductivamete; la primera diferecia dividida de f co respecto a x i y x i+, se deota por f[x i, x i+ ] y está defiida por f [ x, x ] = i i + f [ xi + ] f [ xi ] x x i+ i La k-ésima diferecia dividida de f relativa a x i, x i+, x i+,..., x i+k está dada por f [ x, x,..., x ] = i i + i+ k f [ xi, xi +,..., xi + k ] f [ xi, xi +,..., xi + k ] x x i+ k i Etoces el poliomio iterpolate P es P ( x) = f [ x ] + f [ x, x ]( x x ) + f [ x, x, x ]( x x )( x x ) f [ x,..., x ]( x x)...( x x ) o como k P ( x) = f [ x] + f [ x,..., xk ] ( x xi ) k = i= Esta ecuació se cooce como la fórmula de diferecia dividida iterpolate de Newto. Problemas. Escriba la fórmula de iterpolació de Lagrage ajustada a los putos dados e la siguiete tabla: x i,,5,5,75, f(x i ),96,89,693,5596,455. Ajuste se(x) e [, π] co el poliomio de iterpolació de Lagrage de orde 4 y 8, utilizado putos co igual separació. 3. Deduzca el poliomio de iterpolació de Newto-Gregory hacia adelate que pasa por los putos dados e la siguiete tabla: x i,5,,5,,5 3, f(x i ),43,,88,667,533,48 4. Deduzca el poliomio de iterpolació utilizado el método de Newto para putos o equiespaciados, ajustado a los datos dados e la siguiete tabla: x i Iterpolació y Aproximació de Fucioes Págia 5

27 f(x i ),79,38,8,549,46,37,84 Iterpolació y Aproximació de Fucioes Págia 6

28 5 Difereciació e Itegració Numérica Se tiee que costruir ua hoja de techo corrugado usado ua máquia que comprime ua hoja plaa de alumiio covirtiédola e ua cuya secció trasversal tiee la forma de ua oda de la fució seo. Supogamos que se ecesita ua hoja corrugada de cuatro pies de logitud, que cada oda tiee ua altura de pulgada desde la líea cetral y que cada oda tiee u período de aproximadamete π pulgadas. El problema de ecotrar la logitud de la hoja plaa cosiste e determiar la logitud de arco de la curva dada por f(x)=se(x) de x= a x=48 (pulgadas). Sabemos, del cálculo, que esta logitud se puede expresar como: 48 df x L = + dx x dx ( ) 48 = + dx (cos ) así que el problema se reduce a evaluar esta itegral. Au cuado la fució seo es ua de las fucioes matemáticas más comues, el cálculo de su logitud de arco da lugar a la llamada itegral elíptica de seguda clase, que o se puede evaluar usado métodos ordiarios. E esta secció se estudia métodos aproximados que reduce problemas de este tipo a ejercicios elemetales. 5. Difereciació Numérica La difereciació umérica, o aproximació por diferecias, se utiliza para evaluar las derivadas de ua fució por medio de sus valores e los putos de ua retícula. Las aproximacioes por diferecias so importates e la solució de ecuacioes difereciales ordiarias y parciales. Para ilustrar la difereciació umérica, cosideremos ua fució f(x). Supogamos que se desea evaluar la primera derivada de f(x) e x = x. Si se cooce los valores de f e x - h, x y x + h, dode h es el tamaño del itervalo etre dos putos cosecutivos e el eje x, etoces se puede aproximar f (x) mediate el gradiete de la iterpolació lieal A, B o C. Estas tres aproximacioes se llama respectivamete las aproximacioes por diferecias hacia adelate, hacia atrás y cetral. Sus fórmulas matemáticas so como sigue: a) Aproximació que utiliza A (aproximació por diferecias hacia adelate) f ' ( x ) f ( x + h) f ( x ) h b) Aproximació que utiliza B (aproximació por diferecias hacia atrás) f '( x ) f ( x ) f ( x h) h Difereciació e Itegració Numérica Págia 7

29 c) Aproximació que utiliza C (aproximació por diferecias cetral) f '( x ) f ( x + h) f ( x h) h 5. Itegració Numérica Los métodos de itegració umérica se puede utilizar para itegrar fucioes dadas, ya sea mediate ua tabla o e forma aalítica. Icluso e el caso e que sea posible la itegració aalítica, la itegració umérica puede ahorrar tiempo y esfuerzo si sólo se desea coocer el valor umérico de la itegral. Esta secció aaliza los métodos uméricos que se utiliza para evaluar itegrales de ua variable: I b = f ( x) dx a así como itegrales dobles: I b v( x) = f ( x, y) dydx a u( x) dode las fucioes f(x) y f(x, y) puede estar dadas e forma aalítica o mediate ua tabla. Los métodos de itegració umérica se obtiee al itegrar los poliomios de iterpolació. Por cosiguiete, las distitas fórmulas de iterpolació dará por resultado distitos métodos de itegració umérica. 5.. Regla del Trapecio Esta regla es u método de itegració umérica que se obtiee al itegrar la fórmula de iterpolació lieal. Se escribe e la forma siguiete: I b b a = f ( x) dx = [ f ( a ) + f ( b )] + E a dode el primer térmio del lado derecho es la regla del trapecio (fórmula de itegració) y E represeta el error. E la figura 5. se muestra gráficamete la itegració umérica por medio de la ecuació aterior. El área sombreada por debajo de la recta de iterpolació (la cual puede deotarse como g(x)) es igual a la itegral calculada mediate la regla del trapecio, mietras que el área por debajo de la curva f(x) es el valor exacto. Por lo tato, el error de la estimació de la itegral por este método es igual al área etre g(x) y f(x). La fórmula dada ateriormete se puede exteder a varios itervalos y se puede aplicar N veces al caso de N itervalos co ua separació uiforme h, para así obteer la regla extedida del trapecio: I N b h = f ( x) dx = [ f ( a ) + f ( a + jh ) + f ( b )] + E a j= Difereciació e Itegració Numérica Págia 8

30 El error de la regla del trapecio se defie como E b b a = f ( x) dx [ f ( a ) + f ( b )] a dode el primer térmio es la itegral exacta y el segudo es la regla del trapecio. Para aalizar la ecuació se utilizará los desarrollos e Serie de Taylor de f(x), f(a) y f(b) e toro a x = (a + b) /, co la hipótesis de que f es aalítica e a x b. El error de la regla extedida del trapecio es la suma de los errores e todos los itervalos y viee dada por: Figura 5. - Regla del Trapecio E ( b a) 3 N 3 N i= f "( ) X i dode h = (b - a) / N y X i es el puto medio etre x i y x i+. Si defiimos F como el promedio de f, es decir, N F" = f "( X ) / N i= i la estimació del error se puede expresar como: E ( b a) h F" Para u domiio fijo [a, b] el error es proporcioal a h. 5.. Regla de /3 de Simpso La regla de /3 de Simpso se basa e la iterpolació poliomial cuadrática (de segudo grado). El poliomio de Newto hacia adelate ajustado a tres putos x, x, x, está dado por: s( s ) f ( x) = f + s( f f ) + ( f f + f ) etoces, x x x s( s ) f ( x) dx = ( f + s( f f ) + ( f f + f )) dx x Difereciació e Itegració Numérica Págia 9

31 dode x x s = h haciedo el cambio de variable adecuado teemos s( s ) f ( x) dx = h ( f + s( f f ) + ( f f + f )) ds x x itegrado e ds y sustituyedo x = a y x = b se obtiee la regla de /3 de Simpso: I b h = f ( x) dx = [ f ( a ) + 4 f ( X ) + f ( b )] + E a 3 dode h = (b - a) / X = (a + b) /. Esta se puede escribir e la forma equivalete I h = [ f + 4 f + f ] + E 3 dode f i = f(x i ) = f(a + ih). El error viee dado por: 5 h E f iv ( X ) 9 El error se aula si f(x) es u poliomio de orde meor o igual que 3. La regla /3 de Simpso es fácil de aplicar e u computador y su precisió es suficiete para muchas aplicacioes. La regla extedida de /3 de Simpso es ua aplicació repetida de la ecuació ates descrita para u domiio dividido e u úmero par de itervalos. Si deotamos el úmero total de itervalos por N (par), la regla extedida de /3 de Simpso se escribe como: I N N h = [ f ( a ) + 4 f ( a + ih ) + f ( a + ih ) + f ( b )] + E 3 i = impar i = par dode h = (b - a) / N; la primera suma es úicamete sobre las i impares y la seguda es sólo sobre las i pares. El térmio del error está dado por 5 4 N h E f iv h X b a iv ( ) = ( ) f ( X ) 9 8 Difereciació e Itegració Numérica Págia 3

32 dode X = (a + b) /. Para u domiio fijo [a, b] el error es proporcioal a h 4. Ua aproximació del error puede ser obteida mediate la siguiete fórmula E 5 h f 9 '''' 5..3 Regla de 3/8 de Simpso La regla de 3/8 de Simpso se obtiee al itegrar ua fórmula de iterpolació poliomial de tercer grado. Para u domiio [a, b] dividido e tres itervalos, se escribe como b 3 I = f ( x) dx = h[ f + 3f + 3f + f ] + E a 8 3 dode h = (b - a) / 3, f i = f(a + ih) y E represeta el error. El térmio del error se escribe como E 3 5 h f ''''( X ) 8 dode X = (a + b) / La regla extedida de Simpso 3/8 se expresa como N 3 b 3 I = f ( x) dx = h ( f i + 3 f i + f i + f + E a ) 8 3 i= i multiplo de 3 La regla extedida de /3 se aplica a u úmero par de itervalos, mietras que la regla extedida de 3/8 se aplica a u úmero de itervalos que sea múltiplo de tres. Cuado el úmero de itervalos es impar pero si ser múltiplo de tres, se puede utilizar la regla de 3/8 para los primeros tres o los últimos tres itervalos, y luego usar la regla de /3 para los itervalos restates, que so u úmero par. Puesto que el orde del error de la regla de 3/8 es el mismo que el de la regla de /3, o se gaa mayor exactitud que co la regla de /3 cuado uo puede elegir co libertad etre ambas reglas Fórmulas de Newto-Cotes Los métodos de itegració umérica que se obtiee al itegrar las fórmulas de iterpolació de Newto recibe el ombre de fórmulas de Newto-Cotes. La regla del trapecio y las dos reglas de Simpso so casos particulares de las fórmulas de Newto-Cotes, las cuales se divide e fórmulas cerradas y abiertas. Las fórmulas cerradas de Newto-Cotes tiee la forma: Difereciació e Itegració Numérica Págia 3