Educación Matemática en la Infancia

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1 ISSN: Euión Mtemáti en l Infni Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e Euión Primri Jun Luis Piñeiro Universi e Grn, junluis.pineiro@gmil.om Elen Cstro-Roríguez Universi e Grn, elenstro@ugr.es Enrique Cstro Mrtínez Universi e Grn, estro@ugr.es Feh e reepión: Feh e eptión: Feh e puliión: RESUMEN Los resultos e ls suesivs evluiones PISA muestrn iferenis sustniles entre píses. En este ontexto, nos preguntmos si ests iferenis están relions on los niveles e onreión en resoluión e prolems e los urríulos e estos píses. Prtiulrmente, en el presente trjo mostrmos un estuio omprtivo e los urríulos e Euión Primri e seis píses los ules hn reiio puntjes ltos, meios y jos en el estuio PISA Meinte un nálisis e ontenio esriimos ómo se onfigur l ompeteni e resolver prolems en estos urríulos. Los resultos reveln iferentes niveles e expliitión en oumento y iotomís sore lo que se expliit omo un onepión e l resoluión e prolems y lo que se exige los esolres. Se onluye que los píses que presentn urríulos on myor nivel e expliitión no se orresponen neesrimente on quellos que otuvieron myor puntje en el estuio PISA. Plrs lve: omprión urriulr, urríulo, Euión Primri, resoluión e prolems PISA results n mthemtil prolem solving in primry eution urriulums ABSTRACT The results of suessive PISA ssessments show sustntil ifferenes etween ountries. In this ontext, we woner if these ifferenes re relte to levels of speifiity in solving prolems of urriul of these ountries. Prtiulrly, in this pper we present omprtive stuy of urriul for primry eution from six ountries, whih hve reeive high, mile n lower sores in PISA Through ontent nlysis, we esrie how prolem solving ompeteny is set to these urriul. The results revel ifferent levels of expliitness in eh oument n ihotomies wht is expliit s onept of prolem solving n wht requires shool. We onlue tht ountries with urriul with higher levels of expliitness not neessrily orrespon with those who otine the highest sore in the PISA stuy. Key wors: urriulr omprison, urriulum, prolem solving, urriulum, primry eution. Piñeiro, J. L., Cstro-Roríguez, E. y Cstro, E. (2016). Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri. Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni, 5(2),

2 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez 1. Introuión Los iversos estuios internionles que evlún el onoimiento e los esolres en mteris espeífis hn quirio relevni en los sistems eutivos e los píses prtiipntes, y que son onsieros iniores e li (Rio, 2007). L prtiipión e grn vrie e píses en tles estuios, junto on l relevni que hn quirio, h impulso el interés e los investigores en l relizión e estuios omplementrios (Golstein, 2004; Knes, Morgn y Tstsroni, 2014; Shmit et l., 2001), lgunos e ellos son investigiones entrs en omprtivs urriulres entre píses. En este ontexto, poemos enontrr estuios que nlizn el esrrollo e ontenios mtemátios esolres, omo es el so e l ivisión y l multipliión e friones en os urríulos, on l finli e entener ls iferenis existentes l momento e oneptulizr el esrrollo e un ontenio mtemátio esolr (Son y Senk, 2010). Con un espetro más mplio, Wu y Zhng (2006) nlizn ls iferenis existentes entre urríulos orientles y oientles en funión e su entrlizión, esrrollo, epeneni y otros ftores. Otro estuio urriulr es el relizo por Bessot y Comiti (2006), quienes nlizn el esrrollo histório e los urríulos frnés y vietnmit, y posteriormente lo onretizn on estuios que ellos llmn urríulo rel, es eir, el implemento trvés e un tópio mtemátio pr nlizr el omportmiento e oumento en l sls e lses. Como vemos, existen iferentes enfoques pr nlizr ls iretries urriulres, sin emrgo, toos ellos oinien en l úsque e iferenis y oinienis entre los oumentos ofiiles que permitn r entenimiento ls onepiones que los sistems eutivos tienen e l enseñnz e ls mtemátis. En el so e Espñ, est su prtiipión en el Progrmme for Interntionl Stuent Assessment (PISA), estleio en el ño 1997 por l Orgniztion for Eonomi Coopertion n Development (OCDE) omo un estuio e evluión internionl e l ompeteni mtemáti e los estuintes l e e 15 ños. En el mro e este estuio, l resoluión e prolems present un ppel esto: su innovor onepto e lfetizión onierne l pi e los estuintes e nlizr, rzonr y omunir efetivmente uno inventn, resuelven e interpretn prolems en un vrie e mteris (OCDE, 2005, p. 3), y on más énfsis entro e l mtemáti, one se onsier est áre omo un onjunto e herrmients que sirve pr resolver prolems meinte l puest en funionmiento e etermins ompetenis (Rio, 2006). L oneptulizión e l resoluión e prolems h mio ríz e ls emns e l soie. Así, los urríulos esolres e mtemátis hn e formr iunos que pliquen ls mtemátis en prolems e l vi iri en situiones soiles, lorles e interisiplinris (English y Gingsurg, 2016). Dentro el urríulo mtemátio, l resoluión e prolems se present ese iverss perspetivs, entre ls que estn os: ) omo un meio o mino pr logrr ojetivos más mplios, y ) omo un hili o fin por sí mism (Stey, 2005; Stni y Kilptrik, 1989). En el urríulo espñol se otorg un lugr entrl l resoluión e prolems, sin emrgo, ofree iretries poo preiss y reuionists e ls omponentes e los proesos involuros en l resoluión e prolems, y pesr e onsierrse en muhos lugres, no está presente en uno propio y espeífio, lo que porí provor su useni en el ul (Puig, 2008). Deio l relevni e l resoluión e prolems en euión mtemáti, junto on el reiente interés por los estuios omprtivos internionles y su influeni en los sistems eutivos y por onsiguiente en los urríulos esolres, nos plntemos si ls iferenis entre píses que plnten los resultos el estuio PISA están relions on el nivel e onreión en resoluión e prolems e los urríulos e ihos píses. Prtiulrmente, en este trjo presentmos un estuio omprtivo, entro en l resoluión e prolems, e los urríulos e Euión Primri e seis píses los ules hn reiio puntjes ltos, meios y jos en el estuio PISA Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

3 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez 2. Métoo Pr l relizión e este estuio se h esrrollo un enfoque ulittivo no intertivo. Hemos utilizo l téni el nálisis e ontenio, pues nos permite estuir l nturlez el isurso on etlle y profuni puieno esurir l estrutur intern que suye en l muestr e oumentos (Rio y Fernánez-Cno, 2013). Así, nos permitirá ientifir si existe relión entre l onreión urriulr e pís y los resultos en l prue PISA Muestr y unies e nálisis L muestr está onstitui por oumentos urriulres e seis píses esogios trvés e un muestreo e sos extremos (Hernánez, Fernánez y Bptist, 2010) prtir e los puntjes e PISA (OECD, 2014). En este ontexto, se esogieron os urríulos 2 e los píses el terio superior, Finlni y Singpur (Curriulum Plnning n Development Division, 2007; Ntionl Core Curriulum for Bsi Eution, 2004), os el terio meio, Espñ y Estos Unios (Ministerio e Euión y Cieni, 2014; NCTM, 2000) y os el terio inferior, Chile y Argentin (Consejo Feerl e Euión, 2011, 2011; Ministerio e Euión, 2012). El proeimiento e seleión utilizo pr estleer ls unies e nálisis surgen ese el propósito e este estuio: omprr y esriir l preseni e l resoluión e prolems en los urríulos esolres. Pr umplir on este ojetivo, se utilizron os tipos e unies que onjuntmente olorn r un myor fiili l estuio: sintátis y temátis (Krippenorff, 2004). Por tnto, ls unies e nálisis ls efinimos omo ls frses u oriones que hgn refereni explíit ls plrs resoluión e prolems, situión prolem y prolem, pero que emás inluyn elementos sore que eerí logrrse on ells, ómo eerín trjrse o que trvés e ells se logre otro ometio Proeimiento y tegorís e nálisis Pr l relizión el nálisis seguimos el proeimiento que Rio y Fernánez-Cno (2013) exponen omo euo pr llevr o un nálisis e ontenio. Nuestro primer pso fue estleer meinte un proeso eutivo tegorís e nálisis generles. Dihs tegorís surgen e l investigión en resoluión e prolems, prtimos e l tegorizión e Chpmn (2015), y l mplimos prtir e ls ies e Shoenfel (1992), Cstro (2008) y Kilptrik (1978). Un vez relizo iho nálisis en un primer vuelo e ls unies e nálisis, se relizó un proeso inverso, es eir, inutivo entro e tegorí generl. De este proeso surgen ls sutegorís. L Tl 1 muestr l tegorizión oteni, tnto eutiv omo inutivmente. 1 Ce estr que uno e los oumentos nlizos no orrespone espeífimente un oumento urriulr ofiil; nos referimos los Prinipios y estánres pr l euión mtemáti el NCTM. Sin emrgo, hemos eiio utilizr este texto, en sustituión e los Common ore stte stnrs for mthemtis (Ntionl Governors Assoition Center for Best Prties & Counil of Chief Stte Shool Offiers, 2010) pues mos oumentos plnten un visión omún el prenizje y l enseñnz e ls mtemátis, ifereniánose en l mplitu el esogio pr este estuio, que proporion ejemplos e iniiones pr su implementión (NCTM, 2010). 2 Si ien los píses seleionos presentn iferentes niveles e onreión urriulr ofiil, hemos utilizo los urríulos generos por los ministerios e euión e pís. Entenemos que unque existn estos o omunies que expliiten en myor o menor mei lgunos spetos, toos ellos se reguln por el mro el oumento ofiil que se utiliz en este estuio. Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

4 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez Ctegorís Prolems mtemátios (pm) Resoluión e prolems mtemátios (rp) Invenión e prolems (ip) Forms e pensr l resoluión e prolems (prp) Forms e trjr l resoluión e prolems (erp) Ftores fetivos y reenis (f) Tl 1. Ctegorís e nálisis Sutegorís. Crterizión e prolem. Clsifiión e prolems según riterios iversos. Heurístios generles. Heurístios espeífios. Estrtegis e otrs áres e ontenio. Estrtegis personles. Contextos en óne relizrl. Benefiios e su uso. Estrtegis metoológis. Pensmiento e los estuintes. Difiultes e los estuintes. Conuts e resolutores exitosos. Enfoques o vís e eso. Metogniión. Evluión. Estrtegis metoológis. Ppel e impliiones e iferentes emoiones. Rol el profesor L primer tegorí, prolems mtemátios, se refiere l nturlez e los prolems. Est se orrespone on su estrutur y lsifiión. Ejemplos e est tegorí, serín efiniiones e prolems, lsifiiones según número e operiones, el número e vriles, el proeso heurístio espeífio neesrio pr su resoluión, estrutur semánti, et. L segun tegorí, resoluión e prolems mtemátios, se efine omo l resoluión e prolems ese l perspetiv el resolutor. Inluye omprensión sore estrtegis e resoluión según el ontenio mtemátio implio, seleión e ésts, interpretión e l informión onteni en el prolem, iversi e soluiones un mismo prolem, heurístis generles y espeífis, fses e resoluión, et. L tegorí invenión e prolems se relion on l resoluión, pues permite generr nuevos prolems o reformulr los os. Su importni ri en l potenili que tiene este tipo e tre en el pensmiento mtemátio e los estuintes. Algunos elementos ontenios en est tegorí son: los iferentes propósitos y enefiios e uero l momento en que se utilizn, tipos e invenión, et. Un urt tegorí se orrespone on forms e pensr l resoluión e prolems. L omprensión e l nturlez oneptul e ls ifiultes y su interpretión ese l perspetiv e quién resuelve, rterístis e los resolutores exitosos y ls heurístis que utilizn, l isposiión resolver prolems y ls forms e pensr l resoluión e prolem, entre otrs, son ejemplos e onoimientos e est lse. Ls forms e trjr l resoluión e prolems etermin l quint tegorí. Ls prátis instruionles een ser plnifis en funión e lo que se quiere logrr, pr yur los estuintes onvertirse en uenos resolutores. Pr ello, se señln omo tipos e onoimiento referios est tegorí, ls estrtegis uss pr irigir experienis e prenizje exitoss, ser ómo y uáno intervenir, forms e trjo (iniviul o grupl), uso e tenologís, ppel e l metogniión, enfoques o vís e eso, y forms e evlur l resoluión e prolems. Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

5 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez Finlmente, l últim tegorí orrespone los ftores fetivos y reenis y su posile impto en los estuintes. Tmién se inluyen ls referis l profesor y ómo fetn los proesos e prenizje sore resoluión e prolems. 3. Resultos Los resultos los hemos estruturo prtir e os ejes: el teril en el que se uin los píses e l muestr (superior, meio e inferior), y ls tegorís e nálisis utilizs (Tl 1). Estos ejes se estleen ese un téni nlíti isriminnte por l neesi e extrer máximos que muestren tos ls rterístis e l resoluión e prolems en los urríulos, unque tmién present lguns rterístis e l téni e onglomero (Krippenorff, 2004) Prolems mtemátios Los píses que se enuentrn en el teril más lto, en mos sos, expliitn l enseñnz e prolems en el urríulo e mner esuet. El urríulo e Finlni (2004) solo lue est tegorí señlno que el estuinte ee: Ser pz e notr l informión neesri en prolems simples el í í (p. 160). Por su prte, el urríulo e Singpur he refereni iferentes lsifiiones e prolems según ierts rterístis: prolems no rutinrios, e respuest iert y e enunio verl relist; sí mismo, se expliitn prolems e l vi otiin. Aemás se reoge un lsifiión sore el número e psos pr resolverlos: uno, os y tres psos. Se estn tmién omo spetos ifereniores el ontenio mtemátio que tom omo ontexto el prolem, entre ls que se inluyen ls operiones ritmétis, el sistem monetrio o ls friones. Se he menión los moelos utilizos en l reión e un prolem, por ejemplo, prolems que promuevn ls representiones pitóris. Tos ests lsifiiones se ominn lo lrgo e los seis ursos que estlee l euión primri. En ninguno e los os urríulos nteriores se he menión explíit los PAEV (prolems ritmétios elementles verles), sin emrgo, se puee euir su inlusión prtir e enunios omo el que señl que los estuintes een: Resolver prolems e hst os psos que involuren ls utro operiones (Curriulum Plnning n Development Division, 2007, p. 18). En los urríulos e los píses el teril meio, hemos oservo myor nti e espeifiiones referis l tegorí e resoluión e prolems. Al igul que en el urríulo e Singpur, en el espñol, se he menión prolems según el ontexto: vi otiin. L myor nti e meniones se enuentr en l lsifiión e prolems según el áre e ontenio, es eir, prolems que impliquen su resoluión on ontenios e geometrí, mei, porentjes, proporionli y proili o estísti. Se ee her un menión espeil los PAEV, pues en este urríulo se nomrn numeross vees, prolems en los que intervengn ls utro operiones y espeífimente el uso y utomtizión e los lgoritmos trvés e l resoluión e prolems, explíitmente se señl que el estuinte: Resuelve prolems que impliquen ominio e los ontenios trjos (Ministerio e Euión, Cultur y Deporte, 2014, p ). Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

6 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez Un speto omplementrio esto es l expliitión e l estrtegi utilizr pr resolverlos: estimión, álulo mentl o reliones numéris, por tnto, se euen vriles e tre e los PAEV pr su orret utilizión en el ul. Sore el signifio e prolem y su rterizión preen esss meniones, solo expliitno l ifereniión entre prolem y ejeriio. Los estánres urriulres el NCTM presentn un e ls pos rteriziones sore lo qué entienen por este tópio, estleieno que: L resoluión e prolems signifi omprometerse en un tre pr l que el métoo e resoluión no se onoe e ntemno (NCTM, 2000, p. 55). Los estánres inluyen istints lsifiiones e los tipos e prolems según iversos riterios: ontexto (vi iri, lorl o ámito ientífio); se hl e ientifir este tipo e prolems pr tener estrtegis metognitivs pr resolverlos; tmién pree el riterio el ontenio mtemátio, señlno prolems geométrios, on proporiones y lgerios (ptrones y funiones). Aemás se hl e prolems que permitn moelizr y e investigiones mtemátis. Respeto los PAEV, en ests iretries preen on iert freueni ls interpretiones e ls operiones ásis, espeifino iones (juntr, seprr, igulr, iterión e un mei, istriuión, et.) luieno que: Puee generrse un interpretión e l iión y e l sustrión uno los lumnos resuelven prolems e juntr y e seprr (NCTM, 2000, p. 87). En el terio más jo, el urríulo hileno, muestr en sus iretries est tegorí e form más esrroll que ulquier otro e los píses nlizos. Junto los estánres urriulres e Estos Unios, son ls os propuests urriulres que expliitn qué entienen por prolem, l señlr que: Se hl e resolver prolems, en lugr e simples ejeriios, uno el estuinte logr soluionr un situión prolemáti, ontextuliz o no, sin que se le hy inio un proeimiento seguir (Ministerio e Euión, 2012, p. 89). Apreen lsifiiones ligs l ontexto, que sen rutinrios o no rutinrios y l orgnizión según el áre e ontenio en el que se een resolver. Sore los PAEV, preen iniiones omo ls utro operiones ásis, ls estrtegis utilizs pr resolverlos (representiones, fmili e operiones, ominiones multiplitivs ásis, préntesis) y ls vriles e tre: nti e ifrs e los números y e psos pr resolverlo. Finlmente, el oumento rgentino, tmién onens sus ojetivos en est tegorí. En ls mets propuests, se enuentrn os tipos e lsifiiones, un referi l tipo e ontenio involuro: números, orientión espil y geometrí, unies e mei, friones y números eimles. Y l otr, ls estrtegis que intervienen pr su resoluión: estimión, reliones numéris y propiees. En relión los PAEV, se he refereni los signifios e ls operiones, es eir, tipos e prolems según l ión involur. Es freuente enontrr referenis reltivs ellos en los iferentes niveles eutivos trvés e iniiones pr que el estuinte relie: El reonoimiento y uso e ls operiones on istintos signifios en l resoluión e prolems (Consejo Feerl e Euión, 2011, p. 14) Resoluión e prolems mtemátios En los oumentos urriulres e los píses situos el primer teril el informe PISA, se enuentrn muy pos referenis que se justen los esriptores e l tegorí resoluión e prolems. El e Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

7 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez Finlni he menión l meiión el profesor pr enontrr l soluión e un prolem y en l elorión e justifiiones sus tos y presentión e soluiones, infiriénose que se entiene omo un proeso por etps. El urríulo e primri e Singpur, es lgo más etllo, relionno l resoluión e prolems on el pensmiento mtemátio y ls hilies e resoluión e prolems. Al igul que en el e Finlni, el oumento e Singpur entiene l resoluión e prolems omo un proeso, pero en él se hen más expliits ls fses e resoluión en el sentio e Póly (1981), señlno que se ee: Proporionr los estuintes prolems que requiern plnifiión (ntes e resolverlos) y evluión (espués e resolverlos) (Curriulum Plnning n Development División, 2007, p. 9). Aemás, se he refereni l importni e l plnifiión en el to e resoluión, uso e heurístios (sin espeifir uáles), justifiión e iones, expliión y isusión e estrtegis, presentión y evluión e ls soluiones, y estrtegis personles. En los oumentos e los píses uios en el teril meio e los resultos e l prue PISA, hllmos un esripión muy etll en el urríulo estouniense, no sí en el espñol. Este último, he un espeil énfsis en l resoluión e prolems ómo un proeso, expliitno un e ls fses e mner muy minuios. Tmién se menionn el uso e heurístios espeífios (por ejemplo usr un ptrón) y estrtegis e otrs áres e ontenio (geometrí). Esto se mnifiest en un ojetivo que se repite en os niveles, piieno que el estuinte: Resuelve prolems utilizno estrtegis heurístis, e rzonmiento (lsifiión, reonoimiento e ls reliones, uso e ontrejemplos), reno onjeturs, onstruyeno, rgumentno, y tomno eisiones, vlorno ls onseuenis e ls misms y l onvenieni e su utilizión (Ministerio e Euión, Cultur y Deporte, 2014, p ). Sin emrgo, omo y se vio en l tegorí nterior, se pone myor énfsis en enseñr ontenios mtemátios pr resolver prolems que en los proesos e resoluión e estos. Por su prte, los estánres el NCTM, siguen l teneni e utilizr los psos e Póly, ponieno e relieve el empleo e heurístios espeífios omo: utilizr igrms, usr ptrones, onsierr tos ls posiilies, pror on vlores o sos eterminos, trjr hí trás, tnter y ompror, rer un prolem equivlente y rer un prolem más senillo. Se le otorg importni l uso e representiones (mnipultivs, pitóris y gráfis) omo estrtegis pr resolver prolems. Ls rterístis representiones que hen los estuintes uno resuelven prolems e investign ies mtemátis, pueen jugr un importnte ppel yuánoles omprener y resolver los prolems y proporionánoles moos útiles e registrr un métoo e resoluión y e esriirlo los emás (NCTM, 2000, p. 72). En este oumento se reogen estrtegis provenientes e áres e ontenio espeífis: ies geométris, esomposiión e números, onteo, lgoritmos, estimión, propiees e ls operiones y equivlenis. Se espeifi un uso flexile e ésts y l pi e justifir y rgumentr su utilizión. Tmién se propii el uso e estrtegis personles y se relion el uso e estrtegis on el esrrollo e ies mtemátis, rzonmientos y flexiili mentl. Sore los psos en l resoluión, se señl l importni e plnifir l tuión, l seleión eu e estrtegis o heurístios, evlur l estrtegi esogi y l pertineni e l respuest. Se menion el ftor el tiempo neesrio pr resolver un prolem y el uso e ls TIC s omo estrtegi metoológi. Finlmente, se he un onexión on otr áre e onoimiento (rtes plástis) y ómo se relion on l resoluión e prolems trvés e l omuniión e los resultos. Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

8 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez Por último, en los urríulos e los píses el teril más jo, sólo el e Chile se mntiene en l líne e utilizr el moelo e Póly omo un ptrón e psos pr resolver prolems. Empler iverss estrtegis pr resolver prolems y lnzr respuests eus, omo l estrtegi e los 4 psos: entener, plnifir, her y ompror (Ministerio e Euión, 2012, p. 106). Ls iretries hilens nomrn los heurístios espeífios presentes en el NCTM. Al esriir sus ojetivos pr los utro psos e Póly, espeifi un estrtegi pr omprener el prolem: usr mteril mnipultivo o gráfio. Se he hinpié en el uso e iversi e estrtegis (sin etllrls), ser seleionrls y usrls e mner flexile; mitieno posiili e rer nuevs. Tmién se señl el uso e l generlizión e tipos e prolems prtir e l estrtegi utiliz pr resolverlo. Apree l rgumentión y omuniión omo elementos importntes en ests fses. Un speto que no hí preio hst hor, es l relión que hen on l retivi trvés e l ptión y reión e estrtegis. El urríulo rgentino señl spetos generles referios los psos e Póly, sin menionrlos. Se estlee omo relevnte l ientifiión e tos y pregunts, l omuniión e ls estrtegis utilizs y su omprión, one se he menión l elorión e estrtegis propis, y l vlorión e ls respuests Invenión e prolems En l tegorí e invenión e prolems, enontrmos que el oumento urriulr finlnés solo he menión guir en l invenión e prolems y presentr prolems en nuevs forms. En el so el oumento e Singpur solo se lue un vez, piieno plir hilies e resoluión e prolems pr inventr nuevos. En el teril meio, l situión no es muy istint. En el urríulo espñol enontrmos os referenis, ms referis l invenión e prolems prtir e otros y resueltos, es eir, estrtegis metoológis pr usrl, l menionr que: Se ee trjr en l profunizión en los prolems resueltos, plnteno pequeñs vriiones en los tos, otrs pregunts, et. (Ministerio e Euión, Cultur y Deporte, 2014, p ). En el oumento el NCTM e los Estos Unios se expliit l relión entre formulr prolems y ser mejor resolutor e éstos. He énfsis en lo nturl e her pregunts e los estuintes y ómo el profesor ee provehr esto, relionánolo estrehmente on inventr y reformulr prolems, pues: Meinte ests extensiones e los prolems y e l formulión e istints pregunts, los lumnos llegn ser tn uenos proponieno prolems omo resolviénolos (NCTM, 2000, p. 189). En este oumento se sugieren omo ontextos pr formulr nuevos prolems l litertur infntil y los propios prolems. Los urríulos e los píses situos en el teril inferior, muestrn pos referenis reltivs l invenión e prolems. El oumento hileno he énfsis en l invenión e prolems utilizno operiones ritmétis. Tmién señl, en menor mei, el ontexto fmilir pr relizr est tre y el uso e TIC s y representiones (mnipultivs, pitóris y gráfis) pr relizrlo. En ls iretries rgentins solo enontrmos os referenis. De invenión (enunios y pregunts) y otr l omprión e ésts un vez relizs. Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

9 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez 3.4. Forms e pensr l resoluión e prolems Con respeto l tegorí forms e pensr l resoluión e prolems, enontrmos os únis referenis en los oumentos el primer teril. L primer e ell en el urríulo finlnés referi l importni el punto e vist el lumno l her oserviones e los prolems. L segun, en el oumento e Singpur, one se nomrn los omponentes el esrrollo e l hili e resolver prolems, sin etllr qué entienen por un. Esto se mteriliz exponieno que: Estos omponentes (omprensión oneptul, ser ompetente en hilies y estrezs e pensmiento) son prte integrl el esrrollo e l hili e resolver prolems mtemátios (Curriulum Plnning n Development División, 2007, p. 2). Los oumentos e los píses situos en el seguno teril presentn un iotomí en sus referenis est tegorí. El urríulo espñol, no present ningun menión sore el pensmiento e los lumnos mientrs resuelven prolems. En mio, en ls iretries el NCTM, enontrmos un grn número e referenis, que pueen gruprse en tres grnes grupos: ls ifiultes que presentn, ls onuts e los uenos resolutores y ls forms e pensr l resoluión e prolems. En est últim, estn os spetos: ls representiones y l moelizión. Sore ifiultes e los estuintes l resolver prolems, preen estánres omo el tiempo que los estuintes trn en prener ls estrtegis, ser uáno el profesor ee yur los estuintes y uáno no, y l neesi que presentn lgunos niños e ser ompños en los proesos e resoluión, o que: Muhs vees, los fllos e los estuintes en l resoluión e prolems no se een flt e onoimientos mtemátios, sino un uso inefiz e lo que sen (NCTM, 2000, p. 58). En relión on l tuión e resolutores exitosos, en los estánres se enuentrn referenis reltivs rterizr o expliitr qué hen estos estuintes; menionno explíitmente l fluiez en álulos l señlr que: Comprener, pero no tener l fluiez neesri pr lulr, puee inhiir el proeso e resoluión e prolems (NCTM, 2000, p. 37). Junto lo nterior, tmién preen el nálisis uioso en términos mtemátios, uso efiiente y efiz e estrtegis, uso e l metogniión (ser qué her y porqué se he), plnifir, tur, usr soluiones y no entrmprse l no onseguir lo que se us, y pi pr omunir su pensmiento. Finlmente, sore ls forms e pensr l resoluión, y en lo referio ls representiones, enontrmos iniiones sore el lumno y sore ómo el profesor ee ompñr este proeso. En el primer tipo se enuentr l relión entre l pi e representr y el éxito l resolver prolems, y el esrrollo el rzonmiento que provon; seleionr, plir y truir representiones; iferentes tipos e representiones. Sore ls representiones y el profesor preen ies el tipo: uso e representiones omo un form e pensr el estuinte, y l importni e omunirls; r oportunies pr representr los prolems; fomentr l omuniión y esuhr sus forms e representr; onoer ls iferentes mners e representr e los estuintes. Esto se mnifiest inino que los estuintes: Deerín utilizr representiones informles, tles omo iujos, pr estr iverss rterístis e los prolems (NCTM, 2000, p. 210). Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

10 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez Sore moelizión preen os meniones, un hieno énfsis en l reiproi e representión y moelizión, y l segun, etllno que ls representiones yun moelizr, y que este proeso estimul el uso y el nálisis e ls representiones. Los urríulos e los píses uios en el teril más jo siguen l teneni e presentr poos foos sore est tegorí. En el urríulo rgentino no se enontrron referenis, y en el hileno preen utro meniones. L primer e ells etll ls hilies, estrezs y onoimientos que se ponen en juego pr resolver prolems, sin explir ningun e ells. Otr he refereni l potenili que tiene onoer ls forms e pensr e los estuintes uno utilizn estrtegis. Ls os restntes, orresponen ejemplos e tres que yun reonoer omo piensn los estuintes mientrs resuelven prolems usno ptrones o representiones Forms e trjr l resoluión e prolems Con respeto l quint tegorí, forms e trjr l resoluión e prolems, enontrmos que en el primer teril ls orientiones urriulres e Finlni hen refereni os vís e inorporión l resoluión e prolems: enseñr pr resolver prolems, utilizno los onoimientos mtemátios quirios y trvés e l resoluión, es eir, utilizr est tivi mtemáti pr enseñr nuevos oneptos e ies. Esto que e mnifiesto señlno que los estuintes sen pes e: Demostrr un omprensión e los oneptos soios on ls mtemátis meinte el uso e ellos pr resolver prolems (Ntionl Core Curriulum for Bsi Eution, 2004, p. 159). El urríulo e Singpur por su prte, he refereni ls tres vís e eso, ls os ntes nomrs y enseñr sore l resoluión e prolems. Aemás e ests meniones, preen ies sore l metogniión y sus portes en l enseñnz por ulquier e los tres enfoques, tmién pree el uso e TIC s, espeífimente el uso e ls lulors. Esto se oserv l señlr que: Los estuintes esrrolln hilies pr resolver prolems trvés el prenizje y l pliión e ls mtemátis (Curriulum Plnning n Development Division, 2007, p. 5). O explino que: L metogniión o pensr sore el pensmiento, se refiere l tom e onieni y l pi e ontrolr los proesos el propio pensmiento, en prtiulr l seleión y uso e estrtegis e resoluión e prolems (Curriulum Plnning n Development Division, 2007, p. 9). En el seguno teril, el so el oumento espñol, se entr priniplmente en el enfoque e enseñnz trvés e l resoluión e prolems: Los proesos e resoluión e prolems onstituyen uno e los ejes priniples e l tivi mtemáti y een ser fuente y soporte prinipl el prenizje lo lrgo e l etp, puesto que onstituyen l pier ngulr e l euión mtemáti (Ministerio e Euión, Cultur y Deporte, 2014, p ). No ostnte, y omo y se señló, el myor énfsis está o en l pliión e iferentes ontenios mtemátios, infirieno un enfoque e enseñnz pr l resoluión e prolems. Otro speto l que se he refereni es el uso e TIC s, espeilmente el uso e l lulor. El NCTM por su prte, estlee omo neesrios onoimientos referios los tres enfoques, l metogniión, estrtegis metoológis y l evluión e l resoluión e prolems. Esto que expliito explino que: Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

11 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez Los Estánres e proesos e resoluión e prolems, poyn el prenizje e los Estánres e ontenios y se esrrolln trvés e éstos: prener ontenios supone prener y utilizr proesos mtemátios (NCTM, 2000, p. 81). En lo referio los enfoques e enseñnz, se expliit uno e ellos y sus propósitos, emás e etllr mplimente uno. Sore metogniión se menionn su funión y enefiios. En unto l evluión se menionn instrumentos y sentio. Sore ls estrtegis metoológis, se oservn lgunos ejemplos: seuenir gros e ifiult, ontextos óne usr l resoluión e prolems, seleión e prolems según mets, uso e feek, onetr on otrs áres e onoimiento, uso e TIC s y l form e grupr los estuintes. En el último teril, ls iretries rgentins hen lusión en l myorí e sus ojetivos l moo y el lugr en que se ee utilizr l resoluión e prolems. Espeifino que el ontenio mtemátio ee herse trvés e situiones prolems y en l resoluión e prolems. Se señl que: El reonoimiento y uso e los números nturles, e su esignión orl y representión esrit y e l orgnizión el sistem eiml e numerión en situiones prolemátis (Consejo Feerl e Euión, 2011, p. 16). De est firmión es posile inferir un e ls vís o enfoques e l resoluión e prolems, l enseñnz trvés e l resoluión e prolems. Est es l úni lusión referi este tipo e tegorí eriv el urríulo rgentino. Chile, en sus orientiones urriulres pr primri, present solo os enfoques e form explíit: enseñr trvés y pr l resoluión e prolems. Sin emrgo, l ser elr omo un hili trnsversl que ee enseñrse en toos los niveles, se puee inferir que tmién está presente el enfoque e enseñnz sore resoluión e prolems. En est líne se entrn ls meniones e este urríulo, emás e ells, enontrmos os más, un sore evluión y otr sugereni metoológi espeífi Ftores fetivos y reenis En generl, en los urríulos e l muestr no se he menión los ftores fetivos y menos ún ls reenis. En ls iretries pr primri e los píses situos en el primer teril, enontrmos os meniones, un en pís. El oumento finlnés, muestr ómo l stisfión y el pler een enontrrse l resolver prolems, y en el oumento e Singpur se reoge el esrrollo e l perseverni en l resoluión e prolems. En los urríulos el teril meio, enontrmos más meniones que en los nteriores, sin emrgo, son pos si se omprn on el resto e ls tegorís. En Espñ, se pueen oservr ojetivos que puntn l seguri y l motivión frente l resoluión e prolems. En los estánres se pueen enontrr iretries similres l urríulo espñol. Se etll ómo se relionn los ftores fetivos y ls reenis y el ppel que jueg el profesor en plnifir experienis e prenizje que ontemplen estos ftores fetivos. En este oumento se expliit que Es importnte lo que pueen her los profesores pr esrrollr l isposiión e los lumnos pr l resoluión e prolems, reno y mntenieno un miente e lse que les nime explorr, rriesgrse, omprtir frsos y éxitos y preguntrse unos otros (NCTM, 2000, p. 56). Finlmente, en los píses el último teril, se enuentr un menión en el urríulo rgentino y tres en el hileno. En ls iretries rgentins se he refereni l seguri y onfinz que propii l resoluión e prolems. En ls orientiones hilens, se menionn l perseverni, seguri y onfinz y el isfrute e resolver prolems, tos ests relions y expuests omo resulto e l resoluión e un prolem. Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

12 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez 4. Disusión y onlusiones Sore el onepto e prolem, se oservn os tenenis. Un grupo e píses (Espñ, Estos Unios y Chile) que expliitn en sus urríulos qué se entenerá por prolem y sus lsifiiones, mientrs otro grupo (Singpur, Finlni y Argentin) solo present lguns lsifiiones sore los prolems que eerán prener los estuintes. En lo que respet l tegorí e resoluión e prolems enontrmos que toos los oumentos presentn ontenios referios heurístios generles. No ostnte, solo en los e Espñ, Estos Unios y Chile se mnifiestn heurístios espeífios, mientrs que en los e Estos Unios y Argentin vn ún más llá l plnter estrtegis e otrs áres e ontenio. Por último, en los e Finlni y Espñ no hen menión ls estrtegis personles e resoluión. Con esto, poemos firmr que l propuest urriulr el NCTM e los Estos Unios es el oumento más ompleto en est tegorí, seguio por ls iretries e Espñ, Chile y Argentin, y finlmente Singpur y Finlni. En l tegorí e invenión e prolems, nuevmente el urríulo e Estos Unios es el que más informión port. Seguio e ls orientiones e Chile y Argentin, que umplen on os sutegorís: expliitión e ontextos óne usrlos y estrtegis posiles. Por su prte, los oumentos e Singpur, Finlni y Espñ solo hen refereni estrtegis on ls que relizr l invenión e prolems. Respeto l tegorí sore ls forms e pensr l resoluión e prolems, toos los píses estuios, exepión e Espñ y Argentin hen menión sore el pensmiento e los estuintes, l importni e onoerlo y qué spetos tener en uent. Sore ls emás sutegorís, solo el urríulo e Estos Unios umple on menionr ls ifiultes y onuts e resolutores exitosos. Referente l ppel que l resoluión e prolems eiese jugr en el ul, nuevmente los estánres el NCTM e Estos Unios es el únio que umple on l totli e ls sutegorís. Ls iretries e Singpur y Chile uren si l totli y ls e Espñ, Argentin y Finlni solo menionn el enfoque prioritrio. Finlmente, en l tegorí sore ftores fetivos y reenis, Toos los urríulos hen refereni ells, pero solo los estánres el NCTM señln el ppel el profesor. L Tl 2 nos muestr un síntesis e los spetos más relevntes otenios. Tl 2. Preseni e omponentes e l resoluión en los urríulos Ctegorís Sutegorís Singpur Finlni Espñ EEUU Chile Argentin Prolems mtemátios. Crterizión e prolem. Clsifiión e prolems según riterios iversos. Heurístios generles. Heurístios espeífios. Estrtegis e otrs áres e ontenio. Estrtegis personles. Contextos en óne relizrl. Benefiios e su uso. Estrtegis metoológis Resoluión e prolems mtemátios Invenión e prolems Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

13 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez Ctegorís Sutegorís Singpur Finlni Espñ EEUU Chile Argentin Forms e pensr l resoluión e prolems. Pensmiento e los estuintes. Difiultes e los estuintes. Conuts e resolutores exitosos. Enfoques o vís e eso. Metogniión. Evluión. Estrtegis metoológis. Ppel e impliiones e iferentes emoiones. Rol el profesor Forms e trjr l resoluión e prolems Ftores fetivos y reenis En sum, en un primer mir notmos l onstnte refereni los estánres el NCTM omo etllo y extenso. Est situión puee eerse lo que plnteámos l explir l seleión e l muestr: no es un oumento estritmente urriulr. Aemás, l revisión reliz nos muestr iferentes niveles e espeifii en ls tegorís nlizs que se esper e los estuintes l resolver prolems en los iferentes urríulos, no ostnte estos niveles no implin un mejor renimiento en evluiones internionles. Esto nos llev pensr que l ifiult e llevr l resoluión e prolems l ul no se enuentr en l informión inlui en el oumento urriulr, sino en su implementión. Por tnto, los profesores y l ompleji intrínse e resolver prolems, eiese ser un interés pr l investigión. En este ontexto, el trjo que presentmos sirve omo punto e prti pr reflexionr sore los ftores que porín influir en ls prátis oentes que relizn los oentes óne se utilie l resoluión e prolems, pues el urríulo preier no ser eterminnte en est situión. Por otro lo, est omprión y esripión heh, nos permite enontrr puntos oinientes on Stey (2005) l señlr que l resoluión e prolems tom os posiiones en los urríulos: omo un met por sí mism y omo un mino pr logrr lo que entenemos omo ompeteni mtemáti. No ostnte, l igul que en estuios nteriores (e.g. Benvies, Brie, Cstro y Villrrg, 2004; Stey, 2005) pesr e este posiionmiento e los urríulos, se oservn numeross lusiones plir los ontenios en l resoluión e prolems. Est iotomí porí provor que los profesores interpreten el proeso e resolver prolems omo resolver PAEV o prolems rutinrios, ejno e lo l resoluión e prolems que involure los estuintes en tres e lto nivel ognitivo pr ls que no tienen estrtegis inmeits y que fomenten su esrrollo el pensmiento mtemátio (English y Ginsurg, 2016; Lesh y Zwojewski, 2007; Lester y Kehle, 2003). En est mism líne, serí interesnte l ientifiión e uál es l reperusión que tienen los oumentos urriulres propuestos en ls prátis oentes que utilizn l resoluión e prolems. Este estuio nos permite firmr que l investigión sore l enseñnz e l resoluión e prolems eiese entrr el interés e l omuni ientífi, pues el onoimiento que exige los oentes es mplio y omplejo. En síntesis, preier ser que l ompleji en l nturlez el resolver un prolem y los énfsis iferentes que muestrn los urríulos es un ftor más, l ifuso esenrio que h mostro l enseñnz e l resoluión e prolems en los últimos 30 ños (Lester, 2013). Agreimientos Este trjo h sio relizo on yu el Proyeto «Conoimiento Diátio el Profesor y Aprenizje e Coneptos Mtemátios Esolres» (EDU P) el Pln Nionl e I+D+I (MICIN) y el Pln Anluz e Investigión, Desrrollo e Innovión (Grupo FQM-193, Diáti e l Mtemáti. Pensmiento Numério) Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

14 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez Referenis Benvies, M., Brie, C., Cstro, E. y Villrrg, M. (2004). L resoluión e prolems en el urríulum hileno. En L. Díz (E.), At Ltinomerin e Mtemáti Eutiv (Vol. 17, pp ). DF, Méxio: Comité Ltinomerino e Mtemáti Eutiv A. C. Bessot, A. y Comiti, C. (2006). Some omprtive stuies etween frenh n vietnmese urriul. En F. K. S. Leung, K.-D. Grf y F. J. Lopez-Rel (Es.), Mthemtis Eution in Different Culturl Tritions-A Comprtive Stuy of Est Asi n the West (pp ). New York, NY: Springer. Cstro, E. (2008). Resoluión e prolems: ies, tenenis e influenis en Espñ. En R. Luengo, B. Gómez, M. Cmho y L. Blno (Es.), Investigión en euión mtemáti XII (pp ). Bjoz, Espñ: SEIEM. Chpmn, O. (2015). Mthemtis tehers knowlege for tehing prolem solving. LUMAT, 3(1), Consejo Feerl e Euión. (2011). Núleos e prenizjes prioritrios. 1 Cilo Euión Primri. 1, 2 y 3 Años. Buenos Aires, Argentin: Ministerio e Euión. Consejo Feerl e Euión. (2011). Núleos e prenizjes prioritrios. 2 Cilo Euión Primri. 4, 5 y 6 Años. Buenos Aires, Argentin: Ministerio e Euión. Curriulum Plnning n Development Division. (2007). Mthemtis syllus primry. Singpore: Ministry of Eution. English, L. D. y Ginsurg, J. (2016). Prolem solving in 21st entury mthemtis urriulum. En L. D. English y D. Kirshner (Es.), Hnook of Interntionl Reserh in Mthemtis Eution (3r e.) (Vol. 3, pp ). New York, NY: Tylor n Frnis. Golstein, H. (2004). Interntionl omprisons of stuent ttinment: Some issues rising from the PISA stuy. Assessment in Eution: Priniples, Poliy n Prtie, 11(3), Hernánez, R., Fernánez, C. y Bptist, P. (2010). Metoologí e l investigión (5 e.). DF, Méxio: MGrw- Hill. Knes, C., Morgn, C. y Tstsroni, A. (2014). The PISA mthemtis regime: knowlege strutures n prties of the self. Eutionl Stuies in Mthemtis, 87(2), Kilptrik, J. (1978). Vriles n methoologies in reserh on prolem solving. En L. L. Htfiel y D. A. Brr (Es.), Mthemtil Prolem Solving: Ppers from reserh workshop (pp. 7-20). Columus, OH: ERIC/SMEAC. Krippenorff, K. (2004). Content nlysis: An introution to its methoology (2n e.). Thousn Oks, CA: Sge. Lesh, R. y Zwojewski, J. (2007). Prolem solving n moeling. En F. K. Lester Jr. (E.), Seon Hnook of Reserh on Mthemtis Tehing n Lerning (Vol. 2, pp ). Chrlotte, NC: NCTM. Lester, F. K. (2013). Thoughts out reserh on mthemtil prolem-solving instrution. The Mthemtis Enthusist, 10(1 y 2), Lester, F. K. y Kehle, P. E. (2003). From prolem solving to moeling: The evolution of thinking out reserh on omplex mthemtil tivity. En R. Lesh y H. M. Doerr (Es.), Beyon onstrutivism. Moels n moeling perspetives on mthemtil prolem solving, lerning, n tehing (pp ). Mhwh, NJ: Lwrene Erlum Assoites. Ministerio e Euión y Cieni (2014). Rel Dereto 126/2014, e 28 e ferero, por el que se estlee el urríulo ásio e l euión primri. BOE, (52), Ministerio e Euión (2012). Bses urriulres euión ási. Sntigo, Chile: Uni e Curríulum y Evluión. Ntionl Core Curriulum for Bsi Eution (2004). Ntionl ore urriulum for si eution intene for pupils in ompulsory eution. Helsinki, Finlni: Ntionl Bor of Eution. Ntionl Governors Assoition Center for Best Prties y Counil of Chief Stte Shool Offiers (2010). Common ore stte stnrs for mthemtis. Wshington, DC: Autores. NCTM (2000). Prinipios y estánres pr l euión mtemáti. (Soie Anluz e Euión Mtemáti Thles, Trns.). Sevill, Espñ: SAEM THALES. Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN:

15 Resultos PISA y resoluión e prolems mtemátios en los urríulos e euión primri Jun Luis Piñeiro, Elen Cstro-Roríguez y Enrique Cstro Mrtínez NCTM (2010). Mkingithppen. A guie to interpreting n implementing ommon ore stte stnrs for mthemtis. Reston, VA: Autor. OECD (2005). The efinition n seletion of key ompetenies. Exeutive summry. Prís, Frni: OECD Pulishing. OECD (2014). PISA 2012 results: Wht stuents know n n o (Volume I, Revise eition, Ferury 2014). Prís, Frni: OECD Pulishing. Rio, L. (2006). Mro teório e evluión en PISA sore mtemátis y resoluión e prolems. Revist e Euión, (Extrorinrio 2006), Rio, L. (2007). L ompeteni mtemáti en PISA. PNA, 1(2), Rio, L. y Fernánez-Cno, A. (2013). Análisis iátio y metoologí e investigión. En L. Rio, J. L. Lupiáñez y M. Molin (Es.), Análisis Diátio en Euión Mtemáti. Metoologí e Investigión, Formión e Profesores e Innovión Curriulr (pp. 1-22). Grn, Espñ: Comres. Shmit, W. H., MKnight, C. C., Houng, R. T., Wng, H., Wiley, D. E., Cogn, L. S., et l. (2001). Why shools mtter: A ross-ntionl omprison of urriulum n lerning. Sn Frniso, CA: Jossey-Bss. Shoenfel, A. H. (1992). Lerning to think mthemtilly: Prolem solving, metognition n sense mking in mthemtis. En D. Grows (E.), Hnook for Reserh on Mthemtis Tehing n Lerning (pp ). New York, NY: Mmilln. Son, J. W. y Senk, S. L. (2010) How reform urriul in the USA n Kore present multiplition n ivision of frtions. Eutionl Stuies in Mthemtis, 74(2), Stey, K. (2005). The ple of prolem solving in ontemporry mthemtis urriulum ouments. The Journl of Mthemtil Behvior, 24(3-4), Wu, M. y Zhng, D. (2006). An overview of the mthemtis urriul in the west n est. En F. K. S. Leung, K.-D. Grf y F. J. Lopez-Rel (Es.), Mthemtis Eution in Different Culturl Tritions-A Comprtive Stuy of Est Asi n the West (pp ). New York, NY: Springer. Jun Luis Piñeiro. Lienio en Euión por l Universi Metropolitn e Cienis e l Euión. Postítulo en Euión Mtemáti por l Universi e Sntigo e Chile. Máster en Diáti e l Mtemáti por l Universi e Grn. Dotorno en el progrm e Dotoro en Cienis e l Euión e l Universi e Grn en el grupo e investigión FQM-0193 Diáti el Mtemáti: Pensmiento Numério. Se h esempeño omo oente en olegios y universies hilens. Emil: junluis.pineiro@gmil.om Elen Cstro-Roríguez. Dotor en Diáti e ls Mtemátis. Profesor ontrten el Deprtmento e Diáti e l Mtemáti e Universi e Grn. Su investigión se entr en el ámito el pensmiento numério y l formión iniil el profesoro. Es miemro el grupo e investigión FQM-0193 Diáti el Mtemáti: Pensmiento Numério ( Emil: elenstro@ugr.es Enrique Cstro Mrtínez. Cterátio e Diáti e l Mtemáti e l Universi e Grn. Miemro el grupo e investigión FQM-0193 Diáti e l Mtemáti: Pensmiento Numério ( Emil: estro@ugr.es Em 0-6: Euión Mtemáti en l Infni (2016) 5(2), ISSN: