C. A. Martínez 1, A. P. Rodríguez 2, A. Jiménez 3, C. Manrique 4

Transcripción

1 Rv. Md. Vt. Zoot :76-80 Rflxión DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LA FUNCIÓN GOMPERTZ APLICADA AL CRECIMIENTO DE ANIMALES C. A. Mrtínz 1, A. P. Rodríguz 2, A. Jiménz 3, C. Mnriqu 4 Grupo d Estudio n Mjorminto Modlión Animl GEMMA, Dprtmnto d Cinis pr l Produión Animl, Fultd d Mdiin Vtrinri d Zootni, Dprtmnto d Mtmátis, Fultd d Cinis Univrsidd Nionl d Colomi Sd Bogotá. Rsumn Dsd su priión n 1825, l urv sigmoid propust por Bnjmin Gomprtz h sido plid n difrnts mpos. En inis nimls s us fruntmnt pr dsriir l riminto d los individuos. En l prsnt trjo s mustr un nálisis mtmátio d l funión l onstruión d lgunos d los prámtros qu s otinn d l mism. Plrs lv: modlos mtmátios, riminto, funión d Gomprtz. MATHEMATICAL DESCRIPTION OF THE GOMPERTZ FUNCTION APPLIED TO ANIMAL S GROWTH ABSTRACT Sin its ppring in 1825, th sigmoidl urv proposd Bnjmin Gomprtz hs n pplid in diffrnt filds. In niml sins it is frquntl usd to dsri th individul s growth. Th prsnt work shows mthmtil nlsis of th funtion nd th onstrution of som of th prmtrs otind from it. K words: Mthmtil modls, growth, Gomprtz funtion. INTRODUCCIÓN Dsd su priión n 1825 (1), l urv sigmoid propust por Bnjmin Gomprtz h sido plid n difrnts mpos, unqu por muho timpo fu d intrés solmnt n turí ( ) (2). En inis nimls s un d ls funions más mplds pr dsriir l riminto d los individuos (3). El dsonoiminto d ls urvs d riminto d prámtros produtivos d intrés onómio h limitdo l implmntión d progrms d mjorminto zooténio qu prmitn umntr l produtividd (3), por tnto, rsult importnt hr uso d st tipo d hrrmints n los sistms d produión niml. 1. mrtinzn@unl.du.o 2. nprodriguzz@unl.du.o 3. jimnzro@unl.du.o 4. mnriqup@unl.du.o 76

2 Rflxión Rv. Md. Vt. Zoot :76-80 Ant l nsidd d un onoiminto dudo d ls funions mplds n l modlión d fnómnos iológios d los prosos mtmátios mdint los uls s otin informión r d ls misms, n l prsnt trjo s dsri mtmátimnt l funión d Gomprtz s mustr n dtll l onstruión d los prámtros qu d st s drivn, los uls rindn importnt informión r dl fnómno iológio qu s stá modlndo. Dihos prámtros son: ts d riminto, síntots horizontls, lrión dl riminto, punto d inflxión, ts máxim d gnni d pso, vlor dlt, ts rltiv d riminto, ts d mdurz sxul grdo d mdurz solut. LA FUNCIÓN GOMPERTZ L funión stá dfinid d l siguint mnr: f : R + g R + x g f(x) Al sr plid pr dsriir l riminto dsd l niminto (dd 0) hst l dd dult l funión s l siguint: x - -, 0 # x # xm = f] xg ' 1 = 0, n otro so En dond orrspond l pso n l timpo x,; x m s l dd l mdurz, mintrs qu, son onstnts dfinids sí: 0 <! R, orrspond l pso dulto o sintótio. 1 <! R, s un prámtro d just undo 0 ó x 0. 0 < < 1,! R, s l índi d mdurz. Tnindo n unt l informión ntrior s tin qu 0 <! R El rorrido d l funión s [PN,), n dond PN s l pso l niminto l pso dulto, st s un funión s intiv. Como s mnionó prvimnt, l prámtro s ono omo pso sintótio dido qu orrspond un síntot horizontl d l funión. A ontinuión s pru st hho. Pr nontrr st síntot horizontl s lul limx " 3 f] xg (4), pro nts d plir l límit s h un modifiión lgri d l funión, omo sigu: x - = - = = d lim = x " 3 d n x Por tnto, s un síntot horizontl d l funión. PUNTOS CRÍTICOS L primr drivd d l funión qu orrspond l vloidd d riminto s: - = - ]- g] - g = omo - x = pud sriirs omo = - x, qu s un d ls forms n ls qu más omúnmnt pr rfrnid (1-2). Est drivd pud trnsformrs mdint mnipulión lgri, llgndo otr d sus forms más onoids, =- ln l = ln l. El siguint s l prodiminto pr llgr st xprsión: n x 77

3 Rv. Md. Vt. Zoot :76-80 Rflxión - ln l x = ln l - - = ln^ h =- = =-] - g =-ln l - ln l = ^ln - lnh = ln l Al igulr l primr drivd ro s vidni qu no xistn puntos rítios pusto qu - x! 06x! R, d dond! 0 por onsiguint no xistn puntos rítios. Punto d inflxión Pr nontrr l punto n dond mi l onvidd d l funión s otin l sgund drivd, l ul orrspond l lrión dl riminto, st s igul ro s soluion l uión rsultnt n términos d x pr hllr l sis l punto d inflxión, lugo s lul l imgn d l mism pr llgr ls oordnds d diho punto (4), sto s: 2 d d d = = = 6 - ]- g = ] - g - = ] - g = ] - g = - = ] - 1g 2 d 2 2 = ] - 1g = 0, impli - x qu - 1 = 0, por tnto: = 1 ln = ln1 ] - xgln = 0 - x = 0 d dond x = f k - = - = = = = - - Por onsiguint, l punto d inflxión s, k. Ts máxim d gnni Corrspond l vlor d l primr drivd (rzón d mio instntán) n l punto d inflxión, sto s: f l k = = -1 = = Vlor dlt Es un prámtro d utilidd qu indi l finl d l fs d struturión dl niml, tmién onoid omo fs Lg. Mtmátimnt orrspond l punto d ort on l sis d l rt tngnt l punto d inflxión, por tnto s d nontrr l uión d dih rt, lor pr l ul s ono l pndint d l mism, s dir, l ts máxim d gnni un punto por l ul ps, orrspondint l punto d inflxión. En l funión Gomprtz l pndint d l rt * s: * = - k k = ] 1 - g Al nlizr l ntrior xprsión s dvirt qu *< 0, qu > 1, por tnto, pr l so d l funión jo studio l vlor dlt s: VD m * ] - 1 g =- = L ntrior xprsión s pud simplifir llgndo un muho más snill. 78

4 Rflxión Rv. Md. Vt. Zoot :76-80 VD 1 = - Ts rltiv d riminto Est prámtro proporion dtos qu no dpndn d l dimnsión, s útil pr omprr líns o spis s dfin omo 1 l m (2-3). Esto s: TRC = 1 l = L TRC tmién pud s pud xprsr omo: TRC 1 = lln l = ^ln - lnh Exprsd n l primr form s ono omo ts rltiv n funión dl timpo, n l sgund s ono omo ts rltiv d riminto n funión dl tmño (2). Ts d mdurz sxul Sgún Agudlo t ál. (3), st prámtro fu propusto por Tlor n Es l oint ntr l pso n l timpo t l pso dulto, si l vlor dl mismo s multipli por in s otin l porntj dl pso dulto qu s h lnzdo n l timpo t. TMS t - t = = = t - Grdo d mdurz solut Dfinid omo 1 k m (3), dsomponindo st xprsión s tin: 1 k m = 1 k = Existn vrios trjos on dtos d mpo mplndo l funión Gomprtz pr modlr l riminto d nimls, omo l d Dvidson (5) n ovinos, Agudlo-Gómz t ál. (6) n úflos, Hlmink t ál. (7) on prros, ntr otros. CONSIDERACIONES En inis nimls s dn sguir mplndo difrnts tipos d funions pr studir los fnómnos iológios rliondos on l produión qu st onoiminto s h onvrtido n un podros hrrmint qu ontriu l dsrrollo d tnologís pr l stor purio. Pr quins trjn n modlión rsult nsrio tnr un onoiminto lro, dsd l punto d vist mtmátio, d ls difrnts funions on ls uls trjn, sto impli l dfiniión forml los psos mdint los uls s otinn los difrnts prámtros d ls misms. REFERENCIAS 1. Gomprtz B. On th ntur of th funtion xprssiv of th lw of humn mortlit, nd on nw mod on dtrmining th vlu of liv ontingnis. Philosophil trnstions of th Rol Soit of London 1825; 115: Winsor CP. Th gomprtz urv s growth urv. Prodings of th ntionl dm of sins 1932; 18: Agudlo-Gómz DA, Crón-Muñoz MF, Rstrpo LF. Modlión d funions d riminto plids l produión niml. Rv Col Cin P 2007; 20: Stwrt J. Cálulo d un vril. Trsndnts tmprns. 6 d. Méxio DF: Cngg Lrning; p Dvidson FA. Growth nd Snsn in Purrd Jrs Cows. Agr Exp St Bull 1928; 302:

5 Rv. Md. Vt. Zoot :76-80 Rflxión 6. Growth Curvs nd Gnti Prmtrs in Colomin Bufflos (Bulus ulis Artiodtl, Bovid). Rv Colom Cin Pu 2009; 22: Hlmink SK, Shnks RD, Lighton EA. Brd nd sx diffrns in growth urvs for two rds of dog guids. J Anim Si 2000; 78: Riido 01/02/2010 prodo 9/04/