Chaos Stabilization via Hybrid Control

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1 Chaos Sabilizaio via Hybrid Corol M. Pria, M. J. Lóez, Member, IEEE ad F. M. Verdulla Absrac I his aer we roose a ew corol mehod which sabilizes chaoic sysems i he eighborhood of usable eriodic orbis (UPO) embedded i a srage aracor. I is used for ha a iecewise coiuous sigal geeraed by meas of wo corollers, oe aalogic ad oher digial. The hybrid corol mehod is syhesized i a algorihm which makes easy is alicaio. Numerical simulaios wih chaoic ad hyerchaoic sysems show saisfacory resuls, achievig sysem sabilizaio i he roximiy of UPO`s. Keywords Aalogical Coroller, Chaos, Corol Hyersurface, Digial Coroller, Eve Codiio, Hybrid Coroller, Hyerchaos, Piecewise Coiuous Corol Sigal, Usable Periodic Orbi. I. INTRODUCCIÓN A ESTABILIZACIÓN de órbias eriódicas iesables L(Usable Periodic Orbis, UPO s) embebidas e aracores exraños, ha llamado mucho la aeció desde hace casi dos décadas y se ha realizado ua ivesigació mulidisciliar muy aciva. El rimer corol del caos, coocido como el méodo OGY, fue roueso or O, Grebogi y Yorke e [] y esabiliza los sisemas caóicos e oro a UPOs, coocidas a riori, mediae la uilizació de equeñas erurbacioes discoiuas de u arámero. Poseriormee Pyragas e [2], [] desarrolla u méodo de corol coiuo basado e auo-sicroizació emleado reroalimeació del vecor de esado y dode la señal de corol se deermia roorcioalmee a la diferecia ere el esado rerasado u iemo T igual al eríodo de la UPO a esabilizar y el esado acual. Ese méodo de corol ecesia esimar el eríodo de la órbia a esabilizar. Oras écicas relacioadas co el corol or realimeació reardada (Delayed Feedback Corol, DFC) uede verse e [4]-[6]. E [7]-[9], Maías y Güémez resea u méodo ara la esabilizació de sisemas caóicos mediae la alicació de ulsos roorcioales a las variables del sisema. Gozález e [0] rooe u méodo de corol del caos ara sisemas diámicos coiuos, uilizado écicas de iegració or ramos y ua ley discrea de corol imulsivo. Ese méodo de corol, esá basado e el cambio isaáeo del esado del sisema e el momeo de cruzar la rayecoria del mismo or ua deermiada secció de Poicaré, lográdose co ello esabilizar el sisema caóico e oro a ua UPO. Dicha écica quedaría emarcada e el roblema de corol or imulsos (Imulsive Corol) []-[]. Ushio y Yamamoo rooe e [4] u méodo de corol del caos ara sisemas M. Pria, Uiversidad de Cádiz, Sai, mauel.ria@uca.es M. J. Lóez, Uiversidad de Cádiz, Sai, mauelesus.loez@uca.es F. M. Verdulla, Uiversidad de Cádiz, Sai, fracisco.verdulla@uca.es e iemo discreo, basado e redicció, ara corolar órbias T-eriódicas. E [5] Yu-Pig Tia y Xighuo Yu rooe u méodo de corol llamado (Time Delayed Imulsive Corol) basado e la uilizació de ua ley de corol reroalimeado e iemo discreo. Oros rabaos relacioados co la esabilizació del caos e UPOs, e ciclos límie o bie e uos de equilibrio, ofrece ua visió del roblema desde el uo de visa de la igeiería de corol y uede verse e [6]- [2]. E ese arículo, se rooe u uevo méodo ara la esabilizació de sisemas caóicos e hiercaóicos e la vecidad de órbias eriódicas iesables, es decir e sombras de UPOs, ya que la rayecoria del sisema corolado, se acercará asióicamee a ua UPO coocida o o coocida a riori, ero el ruido iheree a odo sisema físico, la hará flucuar e u equeño eoro de la misma. La leyes de corol, será geeradas mediae el emleo de u corolador hibrido aalógico-digial. El reso del arículo queda orgaizado como sigue: E la secció II se describe el méodo de corol ara la esabilizació de rocesos caóicos e oro de UPOs o coocidas a riori. E la secció III se resea u algorimo que facilia el ause de los arámeros del corolador hibrido. E la secció IV se modifica ligeramee el corolador digial ara que esabilice el sisema de corol e la vecidad de UPOs coocidas a riori. E la secció V se muesra alguos resulados de simulació umérica del sisema de corol esabilizado e sombras de UPOs que so descoocidas de aemao. E la secció VI se muesra u eemlo de los efecos del ruido de medida e el sisema de corol. Fialmee, e la secció VII se resea las coclusioes. II. ESTABILIZACIÓN DEL CAOS EN UNA ÓRBITA PERIÓDICA INESTABLE Se cosidera u sisema diámico o lieal -dimesioal e iemo coiuo (laa), cuyas ecuacioes de esado so: () = G( x(), u()) = F( x()) + Bu() () Co x () U ( U R ), u ( ) V ( V R ) y U, V so resecivamee couos abieros e R y R dode x () = [ x(), x2(),... x ()] T es u vecor de esado, u () = [ u(), u2(),... u ()] T es el vecor de eradas de corol, G : W R ( W R ) es el vecor de camo e bucle cerrado, F : U R co F = [ f, f2,... f ] T es el vecor de camo e bucle abiero y B es ua mariz de

2 coeficiees cosaes y dimesió ( x ). Se asume que el vecor de salida y ( ) del sisema diámico es accesible e igual al vecor de esado x ( ), y ambié, que la laa o roceso, libre de corol, resea comoramieo caóico ara uas deermiadas codicioes iiciales. Para esabilizar la laa, e la vecidad de ua UPO iheree al caos, es decir, e ua sombra de la misma, se uiliza u corolador hibrido aalógico-digial que geera dos leyes de corol reroalimeado, ua e iemo coiuo y ora e iemo discreo. A. Defiicioes Se da a coiuació las defiicioes ecesarias ara la síesis del méodo de corol híbrido roueso. ) Hiersuerficie de Poicaré o de corol Sea la hiersuerficie de Poicaré, la cual será deomiada de corol, dada or Σ = { x Q: S( x ) = 0}, dode Q es u couo abiero de R y S : Q R es ua k fució de clase C, k al que S( x ) 0 ara odo x Σ y que es rasversal al camo vecorial G de () e lazo cerrado, es decir, ( S( x)), G( x( ), u ( )) 0 ara odo xx, ( ) Σ. 2) Codicioes de eveo La hiersuerficie de corol divide el esacio de esado de () e lazo cerrado e dos regioes, exresadas or = x U : S x < 0 y los siguiees couos: { ( ) } + = { x U : S( x ) > 0}, dode Σ + R. Cuado la rayecoria defiida or el vecor x ( ), viae or el esacio de esado e el seido de hacia + y se verifique e cieros isaes de eveo, = ( =,2,...) que S( x ( )) = 0, diremos que se ha cumlido ua codició de eveo ascedee (CEA). Se deoa la ciada CEA, or S( x ( )) = 0 ( =,2,...). De forma aáloga se defie la codició de eveo descedee (CED) y que viee exresada or S( x ( )) = 0. El subídice se deomia de imaco o de eveo, or idicar el orde e las ierseccioes de la rayecoria del vecor de esado x () co la hiersuerficie de corol Σ. ) Ley de corol digial Se cosidera la ley de corol digial v( ) ( ) = z B x( ) defiida ara los sucesivos imacos de la rayecoria del vecor de esado x (), co la hiersuerficie de corol Σ, siedo z ( ) ( =,2,...) la salida del filro e iemo discreo T z( ) = B x( ) + A( z( T ) B x ( )), dode z ( ) R, R v ( ), x ( ) deoa la variable cuaificada de iemo discreo del vecor de esado de la laa e los isaes de eveo = ( =,2,...), z ( ) es el vecor de salida del filro e el isae aerior al resee, omado ara = el valor z ( 0 ) que es la codició iicial e el orige de los iemos del mismo; B T es la mariz rasuesa de B y A = diag( a, a22,..., a ) es ua mariz diagoal de arámeros cosaes de dimesió ( x ). 4) Tiemos de vuelo Los iervalos de iemo Δ, dados or Δ = + ( =,2,...) so usualmee llamados iemos de vuelo, y so los iemos rascurridos, ere dos imacos cosecuivos de la rayecoria del vecor de esado x ( ) co la hiersuerficie de corol Σ, e u seido deermiado. 5) Ley de corol e iemo coiuo Se cosidera la ley de corol e iemo coiuo u() = Ke () co e () = Ke() y codició iicial e ( 0 ), dode e () V y K = diag( k, k22,..., k ) es ua mariz diagoal de arámeros cosaes de dimesió ( x ). A dicha ley de corol, se le imoe uevas codicioes iiciales e los isaes de eveo reardados = + δ ( =,2,...), dadas or e( + δ ) = Q( v ( )), siedo Q ua fució vecorial de coversió digial-aalógica (D/A) dode v ( ) es la ley de corol e iemo discreo y δ u iervalo de iemo, deomiado de reardo, que debe ser mucho meor que el iemo de vuelo, es decir δ Δ. Por lo viso, la ley de corol e iemo coiuo u() = Ke () viee dada, a arir del rimer imaco de la rayecoria del vecor de esado x ( ) co la hiersuerficie de corol, or u( ) = Kex[ K( ( +δ ))] Q( v( )) defiida ara los iervalos de iemo + δ < + + δ + ( =,2,...) y or ao es ua fució vecorial a rozos y coiua e cada uo de ellos, reseado ua discoiuidad de salo fiio e los isaes de eveo reardados = + δ ( =,2,...) siedo la amliud del salo aroximada igual a KQ( v ( )). B. Méodo de corol híbrido Se describe aquí el méodo de corol hibrido ara esabilizar caos e hiercaos e oro de UPOs o coocidas a riori. E el diagrama de bloques de la Fig. se observa los bloques del corolador aalógico, corolador digial y laa o roceso a corolar. Se ha oado, or icluir el deecor de codició de eveo e el corolador aalógico y o e el digial, orque la máxima frecuecia de muesreo que ermia ese úlimo, limiaría la efecividad del méodo de corol e rocesos caóicos muy ráidos.

3 Figura. Diagrama de bloques del sisema de corol hibrido. Suógase elegida ua cualquiera de las dos codicioes de eveo osibles CEA o CED y que ésa se verifica e los isaes de eveo = ( =,2,...), e dichos isaes, el deecor de codició de eveo aciva el coveridor aalógico-digial (A/D) ara obeer el vecor x ( ), ese vecor será emleado or el corolador digial ara calcular la ley de corol e iemo discreo v ( ) defiida e la subsecció II-A-. E los isaes de eveo reardados = + δ ( =,2,...) esará disoibles las codicioes iiciales e( + δ ) = Q( v ( )) e el corolador aalógico y se geerará la ley de corol coiua a rozos u() = Ke (). La ley de corol e iemo coiuo u () es sumada a la laa a ravés de su erada de corol, obeiédose () = F( x()) + BKe(). El iemo de reardo δ, defiido e la subsecció II-A-5, es igual, al emleado or el corolador digial e la síesis de la codició iicial del corolador aalógico, más el iemo ecesario ara la iroducció e el mismo, de dicha codició iicial. Ese iemo debe ser δ Δ ara el correco fucioamieo del sisema de corol. La erada de referecia SP, que se observa e la Fig., es u valor cosae que se uiliza ara dirigir el sisema hacia ua UPO coocida reviamee, los cambios ecesarios e el corolador digial ara lograrlo, se dará e la secció IV. A coiuació se describe formalmee el sisema de corol ara la búsqueda de UPOs o coocidas a riori mediae las siguiees exresioes: () = F( x()) + Bu() (2) Dode (2) reresea la laa co la ley de corol alicada. S( x( )) = 0 ó S( x ( )) = 0, ( =,2,...) () Dode () so las dos codicioes de eveo osibles. z = B x + A z B x = Dode (4) es la ley de corol e iemo discreo. T T ( ) ( ) ( ( ) ( )) T ( =,2,...) v( ) z( ) B x( ) e( 0 ) (5) e () = Ke() CI = e( + δ ) = Q( v( )) u() = Ke() ( =, 2,...) Dode (5) es la ley de corol e iemo coiuo co las codicioes iiciales (CI) idicadas. (4) C. Esabilidad del sisema de corol e lazo cerrado Ua UPO es ua órbia eriódica iesable, que es solució del sisema de corol e lazo abiero y que coexise co el aracor caóico del mismo. Si el sisema de corol e lazo cerrado iee como órbia solució ua UPO asióicamee esable, eoces, exise ua cueca de aracció desde la cual la rayecoria del sisema se acercará a dicha orbia ara uas deermiadas codicioes iiciales y or cosiguiee, se deberá cumlir que la ley de corol e iemo coiuo u( ) = Kex[ K( ( +δ ))] Q( v ( )), defiida e los iervalos + δ < + + δ +, ieda a cero a medida que el subídice de imaco ieda a ifiio. E los resulados reseados e la subsecció V se reflea ese hecho y se observa e las simulacioes, que la señal de corol iede a desvaecerse a medida que el sisema de corol se esabiliza. El cálculo de los exoees de Lyauov [24] de dichos sisemas corolados, es decir e bucle cerrado, da como resulado, res exoees egaivos y uo cero ara los sisemas caóicos y cuaro exoees egaivos y uo cero ara el hiercaóico. E lo que sigue, co obeo de abreviar la oació emleada, se hace los siguiees cambios: x = x ( ), z = z ( ), v = v ( ) y e = e ( + δ ) suoiédose e odo momeo que el subídice de imacos oma los valores ( =,2,...). III. ALGORITMO DE CONTROL HÍBRIDO El algorimo se exoe ara el caso de corol escalar, u () R y ara esabilizar órbias eriódicas iesables, descoocidas reviamee, de eriodo uo co reseco a la hiersuerficie de corol. E esas codicioes las marices diagoales de arámeros cosaes K y A iee u úico coeficiee, sea esos resecivamee k y a. La mariz B es ua mariz de dimesió (x) co u úico coeficiee disio de cero e igual a la uidad, sea ese b i =, idicado el subídice i, i {, 2,... } que el corol escalar se alica al sisema de corol or la erada i -ésima. A. Pasos del algorimo El algorimo cosa de los cico asos siguiees: ) Elecció de la hiersuerficie de corol, codició de eveo y erada de corol La codició ecesaria que debe cumlir la hiersuerficie de corol ara que el méodo de corol fucioe, es que la misma, sea rasversal a la rayecoria del vecor de esado x() del sisema de corol e bucle cerrado. Para faciliar su elecció, se da a coiuació alguas recomedacioes que suele dar bueos resulados: Para rocesos cuya oliealidad esé comuesa or ramos lieales, robar iicialmee co ua hiersuerficie de corol cosruida co uo de los hierlaos de comuació del sisema. Para sisemas cuya o-liealidad sea difereciable, robar co u hierlao formado co ua de las comoees del vecor de

4 esado x () cuya derivada o ega erada de corol o bie ua combiació lieal del valor absoluo de la misma, e la forma xd c = 0 dode el subídice d uede ser igual o disio al i. Tambié se uede robar combiacioes lieales de la derivada del vecor de esado x ( ) como e [8]. E geeral, la codició de eveo más aroiada CEA o CED será aquella que logre la esabilizació del sisema e ua sombra de UPO co u valor del arámero k mas equeño. Ua codició que arece ser suficiee, auque o ecesaria, ara la elecció de la erada a la cual alicar el corol, es comrobar si el maa de reoro z i free a z i( + ) del sisema de corol e bucle abiero, es filiforme e las roximidades de u uo fio, si eso ocurre, se comrobará que co el corol alicado dicho maa de reoro gira alrededor del uo fio al variar el arámero a de la mariz A. 2) Ause de los arámeros de corol Para el ause de los arámeros de corol e iiciar la búsqueda de las osibles UPOs, se recomieda seguir el siguiee rocedimieo: Fiar a e u valor róximo a uo or la izquierda y fiar u valor ara k > 0, si el sisema o se esabiliza, icremear el valor de a, si sigue si esabilizarse, icremear k. Si el sisema se esabiliza, ero la covergecia hacia ua UPO es muy lea, decremear a. Para esabilizar oros ios de UPOs quizás oco frecuees e los sisemas caóicos, fiar u valor de a róximo a uo or la derecha y fiar u valor ara k > 0, si el sisema o se esabiliza, decremear el valor de a. Si el sisema se esabiliza, ero la covergecia hacia la UPO es muy lea, icremear el arámero a o icremear k, ero eiedo resee que exise ua coa suerior ara k e la cual el sisema o se esabiliza. Exerimealmee se ha obeido ara la coa suerior el valor k = ( / Δ τ 0 ) l a, dode Δ τ 0 es el eriodo de la órbia a esabilizar y a >. Ora osibilidad ara esabilizar alguos rocesos caóicos, es refiar el arámero a e el iervalo 0< a < y fiar u valor ara k < 0, a coiuació, icremear o decremear k hasa coseguir la esabilizació, si ello fuera osible. ) Cálculo de las leyes de corol Si se cumle la codició de eveo elegida CEA o CED e los isaes de eveo =, calcular la salida z i del filro e iemo discreo: zi = xi + a( zi( ) xi) (6) Co el valor z i obeido e (6) calcular la ley de corol e iemo discreo: v = z x (7) i i i Dar e los isaes de eveo reardados = + δ las codicioes iiciales ei = Qi( vi) a la ley de corol e iemo coiuo siguiee: e i() = kei() (8) u () = k e () i i 4) Cumlimieo de la codició de eveo Si se cumle la codició de eveo salar al aso. 5) Reauses de arámeros Si la laa o se esabiliza, ir al aso 2 y reausar los arámeros k o a, si sigue si coseguirse la esabilizació, ir al aso y reausar los coeficiees de la hiersuerficie de corol o alicar la ley corol a la laa or ora erada. B. Esabilizació de UPOs de eriodo múlile El algorimo de corol hibrido roueso, ambié uede fucioar, ara esabilizar el sisema de corol e lazo cerrado e la vecidad de ua UPO de eriodo m, siedo m y siemre que m o sea demasiado elevado. Para ello, basa co alicar el algorimo roueso cuado se verifique cada m veces la codició de eveo elegida, CEA o CED. Es ieresae reseñar, que si la laa iee múliles eradas de corol, se uede alicar el algorimo a cada ua de ellas, uilizado e odas, la misma codició de eveo. E ese caso, las marices diagoales A y K edría más de u elemeo. E muchos ocasioes, la alicació de corol or múliles eradas da meores resulados que uilizado solamee corol escalar, fudamealmee, e cuao a la raidez de covergecia hacia ua deermiada UPO y a la robusez del sisema de corol, o obsae, e alguos casos, el corol múlile es coraroducee, orque uede rovocar que el sisema corolado o covera hacia ua UPO, sio a oro io de ciclo límie esable, dado co ello lugar, a u mayor esfuerzo de corol, ya que la ley de corol e iemo coiuo o edería a desvaecerse. IV. ESTABILIZACIÓN DE ORBITAS PERIÓDICAS INESTABLES PREVIAMENTE CONOCIDAS Si se requiere que el sisema se esabilice e oro de la misma UPO, ideedieemee de las codicioes iiciales exisees e el isae de alicació del corol, se deberá dar a la erada de referecia SP del sisema de corol, u valor cosae, que se debe corresoder co el que debería eer la variable x i del filro e iemo discreo cuado la resuesa del sisema evolucioara e la sombra de la UPO reviamee elegida. Es decir, se debe hacer z = SP+ a ( z SP), el valor dado a SP deberá ser lo i i( ) más róximo osible al valor asociado a la UPO corresodiee, ya que de esa forma, la amliud de la señal de corol sería la meor osible. Ora osibilidad sería omar el arámero a del filro e iemo discreo igual a uo, e cuyo caso la ley de corol e iemo discreo asaría a ser vi = SP xi, ara que la resuesa de la laa corolada ambié covera hacia ua UPO.

5 V. RESULTADOS DE SIMULACIÓN NUMÉRICA Los siguiees resulados de simulació umérica, se ha obeido alicado el algorimo de corol híbrido, a res sisemas co comoramieo caóico y a uo hiercaoico. Se ha cosiderado solamee la esabilizació de órbias eriódicas iesables descoocidas de eriodo uo. Las UPOs esabilizadas que se muesra e las figuras, se ha rereseado si añadir ruido a las variables medidas, co obeo de ua mayor iidez e las mismas. Para iegrar uméricamee el sisema de corol se ha emleado u iegrador de Ruge Kua de cuaro orde co aso de iegració Δ fio y se ha emleado u iemo de reardo δ cosae de 0Δ. Los res casos de corol escalar simulados se ha efecuado co ua codició de eveo del io ( xd ( ) c) = 0 co d i o bie ( xd ( ) c) = 0 co el subídice d igual o disio al i, dode i es el subídice de ua comoee de la derivada del vecor de esado x ( ) dode se alica el corol escalar. E el caso del sisema hiercaoico se ha alicado corol or dos eradas. A. Sisema caóico de Lorez El sisema de Lorez [25], co la ley de corol escalar e iemo coiuo u() = ke() alicada e el lado derecho de la ercera ecuació, queda exresado or: () = σ ( x2() x()) 2() = rx() x() x() x2() () = β x () + x () x () + u () 2 (9) Figura 2. Diagramas emorales de la variable de esado x () de corol ormalizada e () eveo es ( x2 5) 0 (arriba) y señal (abao) del aracor de Lorez. La codició de =. Los valores de los arámeros de corol so: k = 56 s y a = 0,8. E la Fig. 2 se observa la evolució emoral de la variable de esado x () (arriba) y de la señal de corol ormalizada e() = u()/ k (abao). Como uede areciarse el valor de la señal de corol ormalizada iede a dismiuir a medida que el sisema esabilizado coverge hacia ua UPO. La Fig. reresea u rerao de fases de las variables de esado x () y x () 2 del sisema caóico de Lorez esabilizado e oro a ua UPO, ua vez asado el rasiorio y se corresode co el isae de corol idicado e la Fig. 2. Los valores de los arámeros uilizados so: σ = 0, r = 28, β = 8/ y las codicioes iiciales emleadas: x (0) = 2,5, x 2 (0) =,5, x (0) 5 =. Co las codicioes aeriores (9) resea comoramieo caóico, suoiedo que u () = 0. El aso de iegració emleado e la simulació ha sido 5 Δ = 0 s, la codició de eveo emleada ha sido ua CEA de la forma ( x2 5) = 0. Se ha omado ara los arámeros de corol los siguiees valores: a = 0,8 y k = 56 s -. Figura. Rerao de fases del sisema de Lorez esabilizado e oro a ua UPO. B. Sisema caóico OPWM El sisema caóico, Oscilador e Puee de Wie Modificado (OPWM), deomiado así, or su descubridor, uesro añorado amigo y maesro, Profesor Dr. D. Rafael Gozález Lóez [26], queda exresado, co la ley de corol

6 escalar e iemo coiuo u() = ke() alicada e el lado derecho de la ercera ecuació, or: () = ( f( x ()) x () R x () x ())/ L L 2 () = ( x ())/ C 2 () = ( x () ( x ())/ R)/ C + u () f ( x ( )) = A/2( x ( ) + V / A x ( ) V / A) s s (0) Los valores de los arámeros uilizados so: L = 0, H, C = 0.μF, C = 0, 47 μf, R = 90 Ω, R = 24KΩ, A = 5,8, V = 4 V y las codicioes iiciales: x (0) = 0, s x (0) =, 2 x (0) = 0,. Co las codicioes aeriores (0) resea comoramieo caóico, suoiedo que u () = 0. El sisema osee dos aracores caóicos ara los valores de los arámeros dados y segú cuales sea las codicioes iiciales el sisema evolucioará or uo o or oro. El aso de 8 iegració emleado e la simulació ha sido Δ = 0 s. y la codició de eveo ( x2 ) = 0. Se ha omado ara los arámeros de corol los siguiees valores: a = 0,8 y k = s. E la Fig. 4 se observa la evolució emoral de la variable de esado x () (arriba) y la señal de corol ormalizada L e () (abao) del sisema OPWM esabilizado. Como uede areciarse el valor de la señal de corol aumea iicialmee y luego iede a dismiuir a medida que el sisema se esabiliza e la vecidad de ua UPO. Figura 5. Rerao de fases del sisema OPWM esabilizado e oro a ua UPO. Se simula a coiuació el sisema caóico OPWM co las codicioes iiciales: x (0) = 0, x (0) =, 2 x (0) = 0, y u (0) 0 =, co obeo de obeer u aracor disio al de la simulació aerior. Para el corolador se ha escogido ua codició de eveo del io ( x2 ) = 0. Se ha 8 emleado u aso de iegració de valor Δ = 0 s. Los arámeros de corol, se ha ausado a los siguiees valores: a = 0,8 y k = s. E la Fig. 6 se observa u rerao de fases formado or las variables de esado x () y x () del sisema OPWM esabilizado e oro a la UPO corresodiee. Figura 4. Diagramas emorales de la variable de esado x () (arriba) y señal de corol ormalizada e () (abao), del sisema OPWM esabilizado. La codició de eveo ha sido ( x2 ) = 0 y los valores de los arámeros de corol so: k = s, a = 0,8. La Fig. 5 reresea u rerao de fases formado or las variables de esado x () y x () del sisema OPWM esabilizado e la vecidad de ua UPO que se corresode co el isae de alicació del corol idicado e la Fig. 4. Para la obeció de la misma se ha elimiado el rasiorio iicial. Figura 6. Rerao de fases del sisema OPWM esabilizado alrededor de ua UPO ouesa a la mosrada e la Fig. 5. La Fig. 7 muesra u rerao de fases formado or las variables de esado x () y x () del sisema OPWM esabilizado e oro a ua UPO, co los siguiees valores de los arámeros de corol: a =, 0, k = s y las

7 mismas codicioes iiciales, aso de iegració y codició de eveo, que los uilizados ara obeer la Fig. 6. e () (abao), del sisema de Chua corolado e oro a ua UPO, observádose e la gráfica iferior el isae de alicació del corol, y como, cuado la señal de corol ormalizada dismiuye de amliud, el sisema esabilizado, se aroxima asióicamee a ua UPO. E la Fig. 9 se observa u rerao de fases formado or las variables de esado x () y x () 2 del sisema de Chua esabilizado e oro a ua UPO. La gráfica se ha obeido ara el isae de alicació del corol que se observa e la Fig. 8, habiédose elimiado e la misma el rasiorio iicial co obeo de dar mayor iidez a la UPO esabilizada Figura 7. Sisema OPWM esabilizado e ua vecidad de ora UPO. La sombra de UPO mosrada e la Fig. 7 es ideediee del aracor exraño e que se ecuere el sisema caóico, la órbia esabilizada siemre es la misma, o obsae, se uede resear u roblema de escae ifiio e el isae de alicació del corol, ya que exise u couo de codicioes iiciales ara los cuales el sisema de corol es iesable ara los arámeros de corol uilizados. C. Sisema caóico de Chua El sisema caóico de Chua [27] co la ley de corol escalar e iemo coiuo u() = ke() alicado e el lado derecho de la ercera ecuació, queda exresada or: Figura 8. Diagramas emorales de la variable de esado x () (arriba) y señal de corol ormalizada (abao) del aracor de Chua esabilizado e oro a ua UPO. Codició de eveo ( x ) = 0. Los valores de los arámeros 5 de corol so: k = s, a = 0,9. 0 () = ( G( x () x ()) f( x ()))/ C 2 () = ( G( x () x ()) + x ())/ C () = ( x () + R x ())/ L+ u () 2 o f ( x ( )) = G x ( ) + ( G G ) g( x ( )) b a b { } gx ( ()) = x() + E x() E /2 () Los valores de los arámeros uilizados, so: C = 5,75 F, C2 = 2,2 F, L = 0,02 H, R o = 0,86 Ω, Ga = 0,879 ms, Gb = 0, 424mS, G = 0,645mS, E = V y las codicioes iiciales: x (0) = 0,00, x 2 (0) = 0,00, x (0) = 0,00. Co las codicioes aeriores () resea comoramieo caóico, cuado u () = 0. El aso de iegració emleado ha sido 8 Δ = 0 s y la codició de eveo uilizada ( x ) = 0. Se ha omado ara los arámeros de corol los siguiees 5 valores: a = 0,9 y k = 0 s. La Fig. 8 reresea la evolució emoral de la variable de esado x () (arriba) y de la señal de corol ormalizada Figura 9. Rerao de fases del sisema de Chua esabilizado e oro a ua UPO. La Fig. 0 reresea u rerao de fases formado or las variables de esado x () y x 2 () del sisema de Chua esabilizado e la cercaía de ua UPO ara u isae de

8 alicació del corol disio al emleado ara obeer la Fig. 9. Como uede observarse la sombra de UPO de la Fig. 0, es diferee a la obeida e la Fig. 9, ello es debido a que el isae de alicació del corol es disio e cada caso. El sisema queda esabilizado e oro a ua u ora órbia, deediedo de la cueca de aracció e la que se ecuere evolucioado la rayecoria ua vez alicado el corol. idicados, () resea comoramieo hiercaoico cuado las eradas de corol so ulas, es decir, u () = 0 y 2 u () 0 4 =. Para la simulació del sisema de corol se ha emleado u aso de iegració de Δ = 0 s. La codició de eveo uilizada ara el sisema de corol ha sido ( x ) = 0. Se ha omado ara los arámeros de corol los siguiees valores: a 22 = 0,8, a 44 =, 02, k22 = 000 s, k24 = 000 s. E la Fig. se observa la evolució emoral de las variables de esado x () (arriba) y ua de las señales de corol ormalizada e () (abao) del sisema hiercaóico de Rossler. Como uede areciarse, la amliud de la señal de corol es muy equeña, lo cual idica, que la resuesa del sisema corolado se ecuera evolucioado muy cerca de ua UPO de eriodo uo. Figura 0. Rerao de fases del sisema de Chua esabilizado alrededor de ua UPO diferee a la mosrada e la Fig. 9. D. Sisema hiercaóico de Rossler Los sisemas hiercaóicos se caraceriza or eer dos o más exoees de Lyauov osiivos. E el caso de que el sisema a corolar ega dos exoees osiivos, u ar de rayecorias cercaas del mismo diverge e dos de sus comoees, haciedo más dificuloso el corol que cuado ése es alicado or ua sola erada, o obsae, eso o sigifica que u sisema hiercaóico o ueda ser corolado alicado corol a ua sola erada. Como eemlo de roceso hiercaoico a esabilizar, se ha elegido el sisema de Rossler, [28], al cual se va a corolar mediae el méodo híbrido. Se ha alicado corol or dos eradas del mismo, co obeo de esabilizarlo más robusamee. E geeral, el corol alicado or múliles eradas da lugar a u sisema más robuso free a erurbacioes, como ocurre e ese caso. La ley de corol e iemo coiuo u( ) = Ke ( ) se alica e el lado derecho de la seguda y cuara ecuació, quedado ése exresado or: Figura. Diagramas emorales de la variable de esado x () (arriba) y señal de corol ormalizada e () (abao) del aracor hiercaoico de Rossler. La codició de eveo ha sido ( x ) = 0 y los valores de los arámeros de corol uilizados: a 22 = 0,8, a 44 =, 02, k22 = 000 s, k44 = 000 s. E la Fig. 2 se muesra el rerao de fases corresodiee, habiédose elimiado e el mismo el rasiorio iicial, como e odos los casos raados aquí. () = x () x () 2 () = x () + ax () + x () + u () () = b+ x () x () () = cx + dx () + u () (2) Los valores de los arámeros uilizados ha sido: a = 0, 25, b =, c = 0,5, d = 0,05 y las codicioes iiciales escogidas: x (0) = 0,5, x 2 (0) = 0,5, x (0) = 0,5, x (0) = 0,5. Co las codicioes iiciales y arámeros 4

9 hiersuerficie de corol uilizada. Figura 2. Rerao de fases del sisema hiercaoico de Rossler corolado e oro a ua UPO de eríodo uo. E la Fig. se observa la evolució emoral de las variables de esado x () (arriba) y de la señal de corol ormalizada e () (abao) del sisema hiercaoico de Rossler esabilizado e oro a ua UPO de eriodo dos. El isae de alicació del corol fue disio al emleado e la obeció de la Fig.. Figura. Diagramas emorales de la variable de esado x () (arriba) y señal de corol ormalizada e () (abao) del aracor hiercaoico de Rossler. La codició de eveo uilizada ha sido ( x ) = 0 y los valores de los arámeros de corol uilizados so: a 22 = 0,8, a 44 =, 02, k22 = 000 s, k44 = 000 s. Figura 4. Rerao de fases del sisema hiercaoico de Rossler corolado e oro a ua UPO de eríodo dos. VI. EFECTOS DEL RUIDO El ruido asociado a las medidas de las variables que roorcioa la codició de eveo, es la ricial causa de que la resuesa de salida de la laa udiera o quedar corolada e oro a ua UPO, ya que el ruido odría disarar la codició de eveo si que hubiera rascurrido el iemo de vuelo. El efeco adverso del ruido de medida, e el bue fucioamieo del sisema de corol, se uede aeuar mediae filros o ihibiedo, durae u iervalo de iemo dado, la codició de eveo [22]. Como eemlo de sisema co ruido de medida añadido se ha escogido el sisema caóico OPWM. E ese caso, al sisema de corol o se le ha alicado igú io de aeuador de ruido. Para efecuar la simulació de ruido, se ha omado las medidas de las variables de esado uilizadas or el corolador, de la forma x () = m x () ( + ρ ), siedo ρ u úmero aleaorio de media cero y disribució uiforme, comredido ere ± 0.05 y que reresea el orceae de ruido e el valor medido. E la Fig.5 se observa ua sombra de UPO del sisema caóico OWPM simulado co los mismos arámeros y codicioes iiciales que los emleados ara obeer la Fig. 6, ero co u ivel de ruido de ± 5% añadido a las variables de esado emleadas e el corol. La gráfica se ha obeido ua vez asado el rasiorio. E la Fig. 4 se iee u rerao de fases corresodiee al isae de alicació del corol que se observa e la Fig., dode se uede ver la órbia eriódica esabilizada e oro a ua UPO de eríodo dos. Como e los demás casos raados, el algorimo de corol híbrido se ha alicado ara eriodo uo, es decir, las codicioes iiciales del corolador aalógico cambia cada vez que se cumle la codició de eveo, si embargo, la orbia obeida es de eriodo dos, ello es debido a que la órbia es de eriodo uo co reseco a la

10 Figura 5. Rerao de fases del sisema OPWM esabilizado e oro a ua UPO, co ruido de medida añadido a las variables de corol de 5% ±. VII. CONCLUSIONES Se ha reseado u uevo méodo de corol de caos e hiercaos basado e u corolador híbrido aalógico-digial que esabiliza sisemas caóicos e oro a UPOs o coocidas a riori y de eriodo uo o mayor. Al ser u sisema de corol híbrido el vecor de salida del roceso corolado se muesrea cada vez que se cumle la codició de eveo y or ao o es ecesario hacerlo e odo isae del iemo, ello ermie esabilizar sisemas caóicos e hiercaóicos e oro de UPOs de evolució más ráida, que e el caso de haber uilizado solamee u corolador digial, ya que la máxima velocidad de muesreo disoible e el corolador digial, haría imosible la esabilizació de deermiados rocesos caóicos de ráida evolució emoral. Se ha imlemeado u algorimo que facilia la alicació del méodo de corol e sisemas caóicos e hiercaóicos. Se ha exedido el méodo ara esabilizar órbias coocidas reviamee, como e los méodos OGY [] y Pyragas [2]. Se ha reseado varios eemlos de simulació umérica, de sisemas caóicos co el corol hibrido alicado y u caso ilusraivo de corol co ruido de medida, añadido a las variables de esado uilizadas or el corolador. Queda ediee ara rabaos fuuros, u aálisis eórico de esabilidad y la imlemeació exerimeal del corolador híbrido. REFERENCIAS [] E. O, C. Grebogi ad J.A. Yorke, Corollig chaos, Phys. Rev. Le, vol. 64, o., ,990. [2] K. Pyragas, Coiuous corol of chaos self-corollig feedback, Phys Le. vol. A o , 992. [] K. Pyragas, Corol of chaos via exeded delay feedback, Phys. Le. A, 206: 2-0, 992. [4] X. Yu, Trackig ihere eriodic orbis i chaoic dyamic sysems via adaive variable srucure ime-delayed self corol, IEEE Tras. Ciruis Sys. I, vol vol. 46, , Nov [5] T. Ushio, Limiaio of delayed feedback corol i oliear discree ime sysems, IEEE Tras. Circ. Sys. I, vol. 4, , 996. [6] J. A. Gallegos, J. A. Gallegos ad O. P. Meía, Chaos Suressio Of A Uderacuaed Maiulaor: Exerimeal Resuls, IEEE Lai America Trasacios, vol. 2, o.,. 9-24, March 2004 [7] J. Güemez ad M.A. Maias Corol of chaos i uidimesioal mas. Phisical Review A, vol. 8, umber,. 29-2,99. [8] M.A. Maias ad J. Güemez, Sabilizaio of chaos by roorioal ulses i sysem variables. Phisical Review Leers, volume 72, Number , 994. [9] M.A. Maias ad J. Güemez, Chaos suressio i flows usig roorioal ulses i he sysem variables Phisical Review E, volume 54, Number ,996. [0] Gozález Lóez, R., Esudio de Osciladores Elecróicos Auóomos: Alicació a u Oscilador de Puee de Wie Modificado, Tesis docoral dirigida or M. Sáchez Carrilero. Escuela Suerior de Igeiería. Uiversidad de Cádiz. Julio, 998. [] A. Kozlov, G. Osiov ad V. Shalfeer, Suresig Chaos Shalfeer, i coiuos sysems by imluse corol, VIEEE Proc. of he s Ieraial Coferece o Corol of Oscillaios ad Chaos, vol., , 997. [2] T. Yag, Imulsive Corol, IEEE Trasacios o Auomaic Corol, vol. 44, , 999. [] J. T. Su ad Y. P. Zhag, Sabiliy aalysis of imulsive corol sysems, IEEE Proc. Corol Theory Al., vol. 50, [4] T. Ushio ad S. Yamamoo, Predicio-based corol of chaos. Physics Leers A, 264,. 0-5, 999. [5] Yu-ig Tia, Xighuo Yu, Time delayed imulsive sabilizaio of usable eriodic orbis i chaoic hybrid sysems. Chaos Corol. Theory ad alicaios. Ediors. Guarog Che, Xighuo Yu. Sriger-Verlag Berli Heidelberg New York. ISBN [6] T. Kaiaiac, Sychroizaio of chaos usig coiuous corol. Phys. Rev. E 50, [7] M. Pria, R. Gozález, V. Sáchez, E. Romero, N. Mora, M.A. Ferádez y J.L. Roas. Regulació auomáica de sisemas caóicos. Acas de las IV oradas cieíficas e ecología de la iformació. Cádiz [8] C. Piccardi ad S. Rialdi: Oimal corol of sysems via eak-o-eak mas, Phisica D, 44 (2000) [9] C. Piccardi ad S. Rialdi: The imac of oise ad samlig frecuecy o he corol of eak-o-eack dyamics Ieraioal Joural of Bifurcaio ad Chaos, vol. 2, o , 200. [20] M. Pria, M.L. Lóez, Aroximació al corol de sisemas diámicos comleos, Memoria de docorado. Evaluació Global. Uiversidad de Cádiz [2] M.J. Loez, M. Pria ad F.M. Verdulla, Chaos Corol Mehod. Ieral Reor. Nov Do. de Ig. de Sisemas y Auomáica. Uiversidad de Cádiz. [22] M.J. Lóez, F.M. Verdulla ad M. Pria, Chaos corol based o oliear sae feedback ad liear H-ifiie coroller syhesis. WSEAS Trasacios ad sysems, Issue, vol. 6, , ISSN , [2] F.M. Verdulla, M.J. Lóez y M. Pria, A ulse corol mehod for chaoic sysems. IEEE Lai America Trasacios, Vol. 7, No, [24] Freddy Chisiase ad Hads Herie Rugh. Comuig Lyauov secra wih coiuous Grad-Schmid orhoormalizaio. Nolieariy 0: [25] E.N. Lorez, Deermiisic oeriodic flow, Jourals of he admosferic scieces, vol , 96. [26] R. Gozález, M. Pria, M.A. Ferádez, J.L. Roas ad E. Romero, A symmeric iecewise-liear chaoic sysem wih a sigle equilibrium oi. Ieraioal Joural of Bifurcaio ad Chaos, vol. 5, o , [27] L.O. Chua M. Komuro ad T. Masumoo, The double scroll family. IEEE rasacios o circuis ad sysems, vol. CAS-, o., [28] OE Rössler, A equaio for Hiercaos, Physics Leers A, 7, 55-57, 979.

11 Mauel Pria Rodríguez es Igeiero Técico Idusrial (Elecróica Idusrial) (982) e Igeiero Suerior (200) or la Uiversidad de Cádiz. Es miembro de la Red Temáica Iberoamericaa de Criografía y Seguridad de la Iformació. E la acualidad es Profesor Tiular de Escuela Uiversiaria de la Uiversidad de Cádiz. Su acividad ivesigadora ricial esá cerada e sicroizació, corol y alicacioes de sisemas caóicos e hiercaóicos. sisemas caóicos. Mauel J. Lóez Sáchez (As 9) es Liceciado e Ciecias Físicas (UNED, 986). Realizó su Tesis Docoral e la Escuela Técica Suerior de Igeieros Idusriales de la Uiversidad de Sevilla (994). Acualmee es Profesor Tiular de la Uiversidad de Cádiz. Aes de su icororació a la Uiversidad rabaó e el secor idusrial e el diseño de sisemas de corol. Sus líeas de ivesigació esá ceradas e el corol robuso de rocesos idusriales y Fracisco Moreo Verdulla es Igeiero Técico Idusrial (Elecróica Idusrial) (974) or la Uiversidad de Sevilla, e Igeiero Suerior (200) or la Uiversidad de Cádiz. Trabaó e el Real Observaorio de la Armada (ROA) dode se dilomó e Asroomía y Geofísica (984). Acualmee es rofesor de la Uiversidad de Cádiz; su acividad ivesigadora esá orieada al diseño de coroladores ara sisemas caóicos.