METODOLOGÍA PARA CARACTERIZAR UN SISTEMA DE FRACTURAS, UTILIZANDO INVERSIÓN DE DATOS DE ONDAS P Y S. KAREN LINNETE PACHANO PELÁEZ

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1 METODOLOGÍA PARA CARACTERIZAR UN SISTEMA DE FRACTURAS, UTILIZANDO INVERSIÓN DE DATOS DE ONDAS P Y S. UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FISICOQUÍMICAS ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS BUCARAMANGA 8

2 METODOLOGÍA PARA CARACTERIZAR UN SISTEMA DE FRACTURAS, UTILIZANDO INVERSIÓN DE DATOS DE ONDAS P Y S. Trabajo de grado omo requisito parial para optar el título de Magíster en Ingeniería on énfasis en Hidroarburos DIRECTORES ZULY HIMELDA CALDERÓN CARRILLO Ph.D. en Ingeniería CARLOS CÉSAR PIEDRAHITA ESCOBAR Ph.D. en Matemátias Apliada UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FISICOQUÍMICAS ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS BUCARAMANGA 8

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4 DEDICATORIA A Dios A mi hijo Manuel Salvador y a mi esposo Salvador A mis padres Pablo y Miladys, a mi hermano Kevin A mi abuela Ana A mis tíos y demás familiares A mis amigos.

5 AGRADECIMIENTOS En estos momentos quisiera expresar mi gratitud a todas las personas que hiieron posible el desarrollo de este trabajo, en espeial a: Salvador Ruz Rojas, por su ayuda inondiional y orientaión en el desarrollo de la herramienta omputaional. Ruby Arbeláez de Monaleano, por su apoyo y aompañamiento durante ada etapa de este trabajo. Mis diretores Zuly Calderón Carrillo y Carlos Piedrahita Esobar, por la onfianza y olaboraión en el desarrollo de esta investigaión. Mis ompañeros Diana Merado Sierra y Emiliano Ariza León, por el tiempo ompartido y los valiosos onsejos. Samuel Muñoz Navarro, por el apoyo brindado durante la maestría. Mis alifiadores José Gildardo Osorio y Hétor Hugo Pérez, por la revisión y aeptaión de este trabajo.

6 TABLA DE CONTENIDO Pág. INTRODUCCIÓN PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN DETECCIÓN DE FRACTURAS CON SÍSMICA DE REFLEXIÓN Modelos del Medio Efetivo Anisotropía Sísmia REDES NEURONALES ARTIFICIALES Redes Neuronales de Alimentaión Haia Adelante Algoritmo de Propagaión del Error Haia Atrás (Bakpropagation), RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS DE ONDAS P Y S ESTUDIO COMPARATIVO DE LOS MODELOS BÁSICOS PARA EL MEDIO EFECTIVO Modelo de Hudson, Modelo de Shoenberg y Douma, Modelo de Tod, Hudson y Liu, Indiadores y Esalas Comparaión de los modelos DISEÑO EXPERIMENTAL Definiión de Variables Diseño Cuasi Experimental... 87

7 .3 DEFINICIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Modelos a esala del medio efetivo Datos de ondas P y S obtenidos en el laboratorio DESARROLLO DE LA HERRAMIENTA PARA LA INVERSIÓN DE DATOS DISEÑO DE LA HERRAMIENTA Definiión de los onjuntos de entrenamiento ESTRUCTURA DE LA HERRAMIENTA SIMULACIÓN UTILIZANDO DATOS DE ONDAS P Y S Simulaión Tipo I Simulaión Tipo II METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA UTILIZANDO DIFERENTES DATOS DE ONDAS P Y S CONCLUSIONES RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA DE REFERENCIA

8 BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA BIBLIOGRAFÍA METODOLÓGICA ANEXOS ANEXO A MÓDULO ELÁSTICO PARA EL MEDIO ESTRATIFICADO ANEXO B DESCRIPCIÓN DE LOS EQUIPOS DE LABORATORIO PARA LAS MEDIDAS DE ONDAS PY S ANEXO C DESCRIPCIÓN DEL FUNCIONAMIENTO DE LA HERRAMIENTA SOFTWARE

9 LISTA DE FIGURAS Pág. Figura 1 Experimento de reflexiones sísmias... Figura Esquema de desplazamiento de las ondas P y S...4 Figura 3 Representaión de la traza sísmia...6 Figura 4 Esquema del modelo de medio efetivo, onformado por una matriz (bakground) on inlusiones....3 Figura 5 Representaión del modelo de Hudson...31 Figura 6 Simetría on respeto a un plano, un eje y un punto...4 Figura 7 Funiones de ativaión Figura 8 Estrutura Feedforward Figura 9 Estrutura de una neurona Figura 1 Estrutura de la neurona modifiada Figura 11 Funiones de ativaión derivables....5 Figura 1 Representaión de los sistemas VTI y HTI...63 Figura 13 Comparaión de los modelos de auerdo a los indiadores...81 Figura 14 Comportamiento de los modelos de auerdo a la valoraión...8 Figura 15 Evaluaión de ada modelo...8 Figura 16 Diagrama de barras para ada uno de los modelos, según la evaluaión uantitativa...85 Figura 17 Muestras del medio efetivo...95 Figura 18 Configuraión para tomar las medidas de veloidades...98 Figura 19 Cristales piezoerámios utilizados en el experimento...98 Figura Cristales piezoerámios sobre el medio efetivo. Vista superior...99 Figura 1 Cristales piezoerámios sobre el medio efetivo. Vista lateral...99 Figura Montaje para realizar las medidas experimentales sobre los medios efetivos...1 9

10 Figura 3 Detalle de la onda S...11 Figura 4 Red neuronal de tres entradas y dos salidas...17 Figura 5 Red neuronal de tres entradas y tres salidas...18 Figura 6 Conjunto de entrenamiento para la red de tres entradas y dos salidas...19 Figura 7 Variaión de épsilon en funión de la densidad de fratura y la relaión Vs/Vp Figura 8 Variaión de delta en funión de la densidad de fratura y la relaión Vs/Vp...11 Figura 9 Variaión de gamma en funión de la densidad de fratura y la relaión Vs/Vp Figura 3 Conjunto de valores posibles de ε, δ, γ vs. Conjunto de entrenamiento Figura 31 Rangos de variaión de la relaión de aspeto Figura 3 Conjunto de entrenamiento para la red de tres entradas y tres salidas Figura 33 Conjunto de valores posibles de ε,δ,γ vs. Conjunto de entrenamiento Figura 34 Esquema de la simulaión Tipo II Figura 35 Esquema general de la metodología propuesta...1 Figura 36 Conjunto de entrenamiento vs. Datos a simular (Thomsen, 1986)...17 Figura 37 Conjunto de entrenamiento vs. datos a simular. Medio efetivo (Pahano et al, 5)...13 Figura 38 Resultados de la simulaión utilizando una red FFBP_LM_GDM_MSE_3_1_1_ Figura 39 Conjunto de entrenamiento vs. Datos a simular. Formaión Tambor (Valera et al, 5) Figura 4 Conjunto de entrenamiento vs datos a simular. Muestras sintétias (Rueda et al., 6)

11 Figura 41 Conjunto de entrenamiento vs. Datos a simular. Muestras sintétias (Aguilera, 8)

12 LISTA DE TABLAS Pág. Tabla 1 Número de oefiientes elástios de auerdo al tipo de simetría Tabla Número total de simetrías en los ristales...41 Tabla 3 Indiadores para los modelos del medio efetivo...79 Tabla 4 Esala numéria definida para la evaluaión de ada indiador...8 Tabla 5 Valoraión para los modelos del medio efetivo...8 Tabla 6 Evaluaión ualitativa de los modelos del medio efetivo...83 Tabla 7 Evaluaión uantitativa...84 Tabla 8 Diseño Cuasiexperimental...9 Tabla 9 Caraterizaión de los medios efetivos...96 Tabla 1 Diferentes diámetros de las avidades en los medios efetivos...96 Tabla 11 Dimensiones del modelo físio esogido...97 Tabla 1 Tiempos de viaje de las ondas P y S...11 Tabla 13 Veloidades de onda...11 Tabla 14 Coefiientes elástios para el modelo efetivo...1 Tabla 15 Parámetros anisótropos para el medio efetivo...1 Tabla 16 Rango de valores para los onjuntos de entrenamiento...13 Tabla 17 Parámetros anisótropos reportados por Thomsen, Tabla 18 Resultados de la inversión de datos on un % de error menor al %.18 Tabla 19 Resultados de la inversión de datos on un % de error entre el % y 4%...18 Tabla Valores anómalos simulados por la red Tabla 1 Datos de laboratorio para el medio efetivo (Pahano et al., 5)...13 Tabla Porentaje de error de los resultados obtenidos on la simulaión...13 Tabla 3 Datos reportados para la formaión Tambor (Valera et al.,5)

13 Tabla 4 Resultados para la simulaión. Datos de la formaión Tambor Tabla 5 Datos de laboratorio para muestras sintétias (Rueda et al., 6) Tabla 6 Resultados de la simulaión para las muestras sintétias Ed Tabla 7 Resultados de la simulaión para las muestras sintétias - Vs/Vp Tabla 8 Datos de laboratorio para las muestras sintétias (Aguilera, 8)...14 Tabla 9 Resultados para la simulaión muestras sintétias Ed Tabla 3 Resultados para la simulaión muestras sintétias Vs/Vp

14 TÍTULO: METODOLOGÍA PARA CARACTERIZAR UN SISTEMA DE FRACTURAS, UTILIZANDO INVERSIÓN DE DATOS DE ONDAS P Y S. * AUTOR: PACHANO PELÁEZ, Karen Linnete ** PALABRAS CLAVES: Anisotropía, Inversión, Redes Neuronales Artifiiales, Parámetros de Thomsen, Veloidades de ondas P y S, Matlab, Fraturas, Medio Efetivo. CONTENIDO: Uno de los retos de la industria de los hidroarburos ha sido la araterizaión y el entendimiento de los Yaimientos Naturalmente Fraturados. Muhas vees los parámetros que araterizan este tipo de yaimientos, tales omo: densidad de fraturas, relaión de aspeto, y las veloidades del medio (ondas P y S) no pueden ser medidos diretamente de los datos sísmios, por lo que se deben inferir a partir de relaiones teórias propuestas por diferentes autores. En la presente investigaión, se desarrolló una metodología para determinar las propiedades de fratura a partir de los datos de ondas P y S obtenidos en laboratorio (parámetros de Thomsen: ε, δ, γ). De auerdo a las euaiones planteadas para relaionar estos parámetros on las propiedades físias de las fraturas, se onstruyó un onjunto de datos para entrenar una red neuronal artifiial, teniendo en uenta que son herramientas útiles en la soluión de problemas inversos. Iniialmente, se revisaron los oneptos de anisotropía y medio efetivo, temas fundamentales para entender la deteión de fraturas on sísmia; seguidamente se analizaron las estruturas de las redes neuronales artifiiales, espeífiamente las redes de alimentaión haia delante y propagaión del error haia atrás, dada la araterístia no lineal del problema planteado. Posteriormente, se estableieron las relaiones de ausalidad para los modelos a esala y los datos obtenidos en laboratorio; además se realizó un estudio omparativo de los modelos del medio efetivo, debido a que en la literatura no existía. Adiionalmente, se presentó el diseño experimental tenido en uenta para la planeaión y adquisiión de datos; así omo el proedimiento para obtener las medidas aústias en el laboratorio. Finalmente, se evaluó la metodología utilizando datos de la literatura, así omo, on datos reales obtenidos en las reientes investigaiones desarrolladas por la Universidad Industrial de Santander y el Instituto Colombiano del Petróleo. * Trabajo de Investigaión. ** Faultad de Ingenierías Fisioquímias. Maestría en Ingeniería on énfasis en Hidroarburos. Diretora: ZULY H. CALDERÓN CARRILLO. Codiretor: CARLOS C. PIEDRAHITA ESCOBAR. 14

15 TITLE: METHODOLOGY TO CHARACTERIZE A FRACTURE SYSTEM USING INVERSION OF P AND S DATA * AUTHOR: PACHANO PELÁEZ, Karen Linnete ** KEY WORDS: Anisotropy, Inversion, Artifiial Neural Networks, Thomsen Parameters, P and S Veloities, Matlab, Frature, Effetive Medium. SUMMARY: One of the hallenges in the oil industry has been the haraterization of naturally fratured reservoirs. Usually the frature parameters suh as: frature density, aspet ratio, and medium veloities (P and S) an not obtained by seismi measurements, therefore it is neessary obtain them from theoretial relationships. In this researh, there was developed a methodology to find out frature parameters from P and S wave laboratory measurements (Thomsen s parameters ε, δ, γ). Aording to the equations, there was onstruted a dataset to train a neural network. This omputer siene methodology was applied beause it is onsidered a useful tool for solving inverse problems. The basi onepts about anisotropy and effetive medium were reviewed beause its importane in the frature detetion with refletion seismi. In addition, and onsidering the high omplexity and non-linearity of the problem, an artifiial neural network software was built, speifially a feedforward bakpropagation one, to surrogate the original fratured system. The relationships between saling models and the laboratory measurements, inluding the experimental design to data aquisition, were established. Also, there was ahieved a omparative study among the effetive medium theories. The methodology obtained in this study was evaluated using papers and reent laboratory measurements obtained in researhes developed in the Universidad Industrial de Santander and the Instituto Colombiano del Petróleo. * Researh Projet. ** Physial Chemistry Faulty. Master at Hydroarbon. Diretor: ZULY H. CALDERÓN CARRILLO. Codiretor: CARLOS C. PIEDRAHITA ESCOBAR. 15

16 INTRODUCCIÓN Uno de los retos de la industria de los hidroarburos ha sido la araterizaión y el entendimiento de los Yaimientos Naturalmente Fraturados. En muhos de estos se evidenia una gran antidad de reservas, pero su explotaión es demasiado ompleja. Por onsiguiente, es de gran interés la deteión de fraturas on datos de sísmia de reflexión. Muhas vees los parámetros que araterizan este tipo de yaimientos, tales omo: densidad de fraturas, relaión de aspeto, y las veloidades del medio (ondas P y S) no pueden ser medidos diretamente de los datos sísmios, por lo que se deben inferir a partir de relaiones teórias propuestas por diferentes autores. Por esta razón, uno de los mayores interrogantes que se intentan responder sobre los yaimientos naturalmente fraturados, tiene que ver on nivel de fraturamiento en la zona de interés (intensidad y densidad de fraturas). Entender las interaiones entre los oefiientes elástios y el espaio poroso, a nivel de laboratorio, se onstituye en una primera aproximaión para estableer las relaiones entre la litología, el grado de anisotropía y por onsiguiente el drenaje del yaimiento. En el análisis de fraturas on sísmia de reflexión, se pretende estableer la relaión entre la respuesta sísmia y la estrutura interna de las roas, es deir, presenia de avidades, fraturas o grietas. Los autores Crampin, 198, Chen, 1995, Shoenberg, 1988, Tsvankin,, Thomsen, 1986, Bakulin,, Grehka, y Rüger, 1996; han tratado de expliar el omportamiento de las ondas P y S uando atraviesan medios fraturados. 16

17 INTRODUCCIÓN Según Chen, 1995; uando se propagan ondas sísmias en un medio fraturado, generalmente éstas experimentan: bajas veloidades, ambios en la veloidad on la direión de propagaión (anisotropía) y pérdida de energía (alta atenuaión). Por otro lado, Shoenberg, 1988, omenta que, en muhas regiones del subsuelo, es omún que se presenten veloidades azimutalmente anisótropas, lo ual es atribuido a la presenia de mirofraturas vertiales alineadas y/o grietas o avidades generadas por esfuerzos tetónios. Es importante menionar que en el estudio de fraturas on sísmia, además de tener en uenta las veloidades anisótropas, resulta onveniente revisar las teorías del medio efetivo, lo ual permite relaionar las araterístias físias de la red de fraturas on los datos o respuesta de las veloidades de ondas P y S. En la literatura se enuentran muhas teorías de medio efetivo, entre ellas las propuestas por Hudson, 198; Shoenberg, 1988; Toksöz, 1981; entre otros. En el estudio de estas teorías, es indispensable entender los fundamentos, suposiiones y simplifiaiones, para poder derivar informaión a partir de ellas. En este trabajo se utilizó la teoría propuesta por Hudson, 198, por ser la que mejor se ajusta a la desripión de los modelos físios y, además, por permitir la representaión, a nivel maro de la estrutura de un yaimiento, sin dejar de onsiderar la teoría elástia. Conoer las interaiones entre la roa, espaio poroso y fluidos y omo estos ontrolan las propiedades de las roas es ruial para un mejor entendimiento de los datos aústios y sísmios, de modo que ontribuiría a definir meanismos de explotaión adeuados que permitan una mayor extraión de hidroarburos. En la presente investigaión, se propone una metodología para determinar las propiedades de fratura a partir de los datos de ondas P y S obtenidos en laboratorio (ε, δ, γ). De auerdo a las euaiones planteadas para relaionar los parámetros anisótropos on las propiedades físias de las fraturas (densidad de 17

18 fraturas, relaión de aspeto y Vs/Vp) se onstruyó un onjunto de datos para entrenar una red neuronal artifiial, teniendo en uenta que son herramientas útiles en la soluión de problemas inversos. Adiionalmente se tomaron las medidas de veloidades aústias en las muestras utilizando ristales piezoerámios (materiales eletromeánios) que pueden emitir y reibir pulsos ultrasónios, estas mediiones se realizaron siguiendo la onfiguraión planteada por Lo, et al. 1985; estos datos son simulados en la red para verifiar los resultados obtenidos en la soluión del problema inverso. Por último se evaluó la metodología on datos de experimentos on medios efetivos, reportados en la literatura. Este doumento se enuentra divido en uatro apítulos, que van desde los oneptos fundamentales sobre el tema, pasando por el diseño experimental, la obtenión de los datos y el análisis de resultados, hasta la estrutura de la metodología por medio de la ual se determinarán las propiedades físias a partir de datos aústios. En el primer apítulo orrespondiente a los fundamentos teórios, se presenta en dos partes. En la primera parte, se hae referenia a las generalidades de la sísmia de reflexión y su uso para la araterizaión de las zonas fraturadas; para entender el tema de deteión de fraturas on datos sísmios, es neesario revisar los modelos del medio efetivo, es deir, aquellos modelos que estudian las propiedades elástias de un medio ompuesto. Así mismo, se presentan los oneptos de anisotropía sísmia, la ual está definida omo la variaión de las propiedades de auerdo on la direión de referenia, en geofísia el análisis más utilizado es el de la anisotropía de las veloidades de propagaión de las ondas P y S. 18

19 INTRODUCCIÓN Seguidamente se analizan las estruturas de las redes neuronales artifiiales (RNA). Estos sistemas fueron esogidos para resolver el problema inverso dada su araterístia de emular las redes neuronales biológias, y se utilizan para aprender estrategias de soluión basadas en ejemplos de omportamiento típio de patrones. Una de las ventajas de estos sistemas es que no requieren que la tarea a ejeutar se programe, si no que se generalizan y aprenden de la experienia; espeífiamente se exploraron las redes neuronales de alimentaión haia delante y propagaión del error haia atrás (feed forward bakpropagation FFBP) debido a la araterístia no lineal del problema planteado. En el segundo apítulo se estableen las relaiones de ausalidad para los modelos a esala y los datos obtenidos en laboratorio. Debido a que en la literatura no existía un estudio omparativo de los modelos, se iniia on el desarrollo de este estudio, en el ual reopilaron los estudios e investigaiones de varias esuelas y autores, esta fase omparativa tuvo omo objeto la valoraión de los modelos y por onsiguiente la esogenia del que mejor representara las ondiiones de estudio, en términos de efiaia, efetividad y efiienia. De igual manera, se presenta el diseño experimental tenido en uenta para la planeaión y adquisiión de datos, así mismo se expone el tipo de diseño (uasi experimental) y las estrategias de ontrastaión utilizadas. Por último, se muestra el proedimiento para obtener las medidas aústias en el laboratorio de auerdo al modelo del medio efetivo. En el terer apítulo se presenta el desarrollo de la herramienta software. Se iniia expliando el problema inverso que se quiere soluionar y on base en las relaiones estableidas entre los parámetros anisótropos y las araterístias del medio efetivo, se proede a la onstruión de un onjunto de entrenamiento para la red neuronal y a estableer el patrón más adeuado de auerdo al tipo de entrenamiento, definiión de époas, número de apas oultas. 19

20 De igual manera, se explia el tipo de simulaión que se utilizó, es deir, omo se realiza la inversión de datos, de auerdo al onjunto de entrenamiento y los datos obtenidos en el laboratorio. En este espaio se hae énfasis en el diseño y onstruión de la apliaión omputaional. En el uarto apítulo, se estrutura la metodología para obtener los parámetros de fraturas, a partir de los datos de laboratorio (ε, δ, γ,). En este apítulo se presentan paso a paso los requerimientos para poder estableer la soluión al problema inverso. Adiionalmente, se presenta la apliaión de la metodología utilizando datos de la literatura (Thomsen, 1986), así omo, on datos reales obtenidos en las reientes investigaiones (Pahano et al., 5, Valera et al., 5, Rueda et al., 6, Aguilera, 8) desarrolladas por la Universidad Industrial de Santander y el Instituto Colombiano del Petróleo.

21 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN 1. PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN Los métodos de exploraión sísmia, están basados en la generaión de ondas sísmias a partir de una explosión o mediante el uso de vibradores. Las ondas sísmias son ondas meánias y elástias, debido a que ausan deformaiones no permanentes en el medio en el que se propagan, esta propagaión está desrita por la euaión de onda. Su prinipal objetivo es obtener informaión geofísia del medio. La prospeión sísmia es una herramienta que permite observar on buena resoluión desde los primeros metros del subsuelo (sísmia de alta resoluión o sísmia superfiial - shallow seismi) hasta varios kilómetros de profundidad (sísmia profunda - deep seismi), omo se menionó antes, onsiste en generar ondas sísmias mediante una fuente emisora y registrarlas en una serie de estaiones (geófonos) distribuidas sobre el terreno. A partir del estudio de las distintas formas de onda y sus tiempos de viaje, se onsiguen obtener imágenes del subsuelo que luego se relaionan on las apas geológias (seiones sísmias, ampos de veloidades, et.). Es así omo la araterizaión implia la determinaión de propiedades físias de las roas a partir de los datos sísmios. Los datos sísmios pueden estar representados por una seión apilada y migrada, ubos de inversión sísmia (impedania aústia) y/o datos de AVO (amplitud vs. Offset). Por tal razón el modelamiento de la propagaión de ondas es omúnmente usado en la industria del petróleo para soluionar los problemas inversos en prospeión 1

22 geofísia, el objetivo de la inversión sísmia es transformar los datos de reflexión sísmia en propiedades de yaimiento, omo son: porosidad, paquetes de arena neta, volumen de arilla, tipos y saturaiones de fluidos, litologías, entre otros y de esta manera reonstruir la imagen del subsuelo. De forma intuitiva, se puede deir que se realizan álulos de los registros de impedania aústia 1 y de esta manera estableer omo serían dihos registros si se hubiera perforado y tomado datos de un pozo. En la figura 1, se presenta de manera esquemátia el experimento de reflexiones sísmias. Figura 1 Experimento de reflexiones sísmias 1 La impedania aústia (Z), para un determinado material, está definida omo el produto de la densidad (ρ) del material y la veloidad aústia (υ).

23 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN FUENTE: Modelo Norsar 3D. Grupo de Petrosísmia UIS-ICP 3

24 Ondas Sísmias Las ondas sísmias se dividen en internas y superfiiales. Dentro de las ondas internas se tienen las ondas P (longitudinales o de ompresión) y las ondas S (transversales o de izalla). En el aso de las ondas P las partíulas del medio, osilan en la misma direión de propagaión de la onda, también son llamadas prinipales, puesto que se propagan mas rápido que las ondas S. Por otro lado, las partíulas de una onda S, osilan perpendiularmente a la direión de propagaión. En este aso se presentan dos tipos, si las partíulas del medio osilan en el plano horizontal y perpendiular a la direión de propagaión se denominan ondas S H, y si las partíulas del medio osilan en el plano vertial y perpendiular a la direión de propagaión, de denominan ondas S V. En las ondas S polarizadas sus partíulas osilan en un únio plano perpendiular a su direión de propagaión. Ver figura. Figura Esquema de desplazamiento de las ondas P y S. FUENTE: Valdivieso R. 4

25 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN Matemátiamente las ondas sísmias pueden interpretarse omo señales analítias que poseen una parte real y otra parte imaginaria, de la ual sólo la parte real es detetada y visualizada. Esto se orresponde on un fasor dependiente del tiempo, y de esta forma se puede analizar a la traza sísmia g ( t) omo: g ( t) R( t) osθ( t) = (1) Donde: R ( t) es la envolvente de la traza sísmia θ ( t) es su fase. Para desribir la traza sísmia, se podría imaginar un vetor perpendiular al eje del tiempo uya longitud varía en el tiempo y que rota alrededor de diho eje omo una funión temporal. La proyeión de este vetor rotatorio sobre el plano real genera la traza sísmia onvenional g ( t), pero si es proyetado sobre un plano imaginario se obtiene la traza uadratura h ( t), la ual se define omo: h ( t) R( t) sinθ ( t) =.... () Apliando la transformada de Hilbert a la traza grabada se obtiene la traza uadratura imaginaria. Ver figura 3. Es deir, la traza analítia estaría definida omo: (euaión a) ( t) ih[ g( t) ] Traza analítia = g +... (a) TANER M., KOEHLER F., SHERIFF R. Complex Trae Analysis. Geophysis, 44, ,

26 Figura 3 Representaión de la traza sísmia. Traza Cuadratrura (Imaginaria) Tiempo Traza Sísmia Compleja Traza Sísmia Real FUENTE: Modifiado de: Complex Trae Analysis. Geophysis, 44, , TANER M., KOEHLER F., SHERIFF R Físiamente se puede deir que la traza sísmia refleja la medida de la veloidad on que osila una partíula o de la presión que experimenta (si se graba on geófonos o hidrófonos, respetivamente) omo resultado del paso de las ondas sísmias a través del medio que la ontiene. Una onda sísmia perturba las partíulas del medio a través del ual se propaga, alterando su posiión de equilibrio, y por esto, se puede deir que la traza sísmia onvenional g( t) puede ser vista omo una medida de la energía inétia. De igual manera el movimiento de las partíulas se reupera a través de una fuerza restauradora, por lo que diha energía es preservada en forma de energía potenial: a medida que una partíula se mueve omo respuesta al paso de la 6

27 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN onda sísmia, la energía es transformada de inétia a potenial de forma ília, la medida de esta energía potenial se representa por la traza de uadratura h ( t). 1.1 DETECCIÓN DE FRACTURAS CON SÍSMICA DE REFLEXIÓN Cuando se trabaja en la interpretaión y araterizaión de zonas fraturadas o tetóniamente omplejas, se deben involurar varios efetos que onduzan a un mejor entendimiento y validaión de los datos obtenidos, por ejemplo: datos de veloidades sísmias, registros de pozos, informaión de produión, et. Se onsidera que el fraturamiento de un material, on una determinada orientaión de grietas o fraturas, genera efetos anisótropos 3 ; que onsisten en la variaión de una o más propiedades del material on la direión. En la sísmia de exploraión se trabaja on la anisotropía de las veloidades de las ondas sísmias, que onsidera una veloidad de propagaión de energía, diferente a la veloidad de propagaión de onda, es deir, que se puede distinguir entre una veloidad de grupo, y una veloidad de fase; es importante resaltar que la anterior no es la únia propiedad afetada, ya que también se puede presentar anisotropía en la amplitud y forma de la ondíula 4. Debido a la omplejidad del problema menionado anteriormente, es neesario usar un modelo simplifiado para desribir el fenómeno físio y seleionar una desripión matemátia aproximada; estos requerimientos, onduen 3 CHEN W. AVO In Azimuthally Anisotropi Media Frature Detetion Using P-Wave Data And Seismi Study Of Naturally Fratured Tight Gas Reservoir. Stanford University. Department of Geophysis, 1995, p.1. 4 SLAWINSKI M.A. On Elasti-wave Propagation in Anisotropi Media: Refletion/Refration Laws, Ray traing, and Traveltime Inversion. Calgary. Department of Geology and Geophysis, The University of Calgary, 1996, p. 7

28 implíitamente a la integraión de diferentes disiplinas, tales omo: físia de roas, registros de pozos, inversión sísmia y metodología AVO 5. La desripión matemátia del fenómeno, relaionado on la propagaión de ondas en un medio anisótropo, difiere signifiativamente del medio isótropo. Según reientes investigaiones, se onsidera que uando se propagan ondas sísmias en un medio fraturado, generalmente éstas experimentan: bajas veloidades, ambios en la veloidad on la direión de propagaión y pérdida de energía 6. Los estudios hehos aera de la deteión de fraturas on sísmia 7, muestran que la red de fraturas hae al medio azimutalmente anisótropo on respeto a la propagaión de ondas sísmias, aunque la presenia de anisotropía azimutal tiene gran influenia sobre todos los modos de propagaión, es deir, sobre las ondas P y S, estos estudios se onentran en el omportamiento partiular de las ondas S. Cuando las ondas S atraviesan medios ompuestos, ourre una división splitting generando dos ondas, una rápida y otra lenta, llamadas S1 y S respetivamente, por onsiguiente muhas de las investigaiones están enaminadas a analizar el retraso de las amplitudes de reflexión de las ondas S divididas. Reientemente se demostró que la dependenia azimutal de araterístias de las ondas P, tiene el potenial de no solo restringir entre la orientaión e intensidad de fratura, sino que también pueden disriminar entre fraturas seas y llenas de fluidos 8 ; esto se logra on la integraión de la relaión entre parámetros 5 LI Y., DOWNTON J., and XU Y. AVO modeling in seismi proessing and interpretation, Part III: Appliations. Calgary, Reorder, 3 February, 3, p.3. 6 CHEN W. Op. it.p CRAMPIN S. A Review Of Wave Motion In Anisotropi An Craked Elasti Media. Wave motion, 3, , BAKULIN A., GRECHKA V. and TSVANKIN I. Estimation of frature parameters from refletion seismi data Part I: HTI model due to a single frature set. Geophysis, 65, p ,, p

29 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN anisótropos, las propiedades físias del sistema de fraturas y la ombinaión de métodos sísmios. Para identifiar los parámetros de fraturas de los datos sísmios, se hae neesario, omparar los resultados de las diferentes aproximaiones de la teoría del medio efetivo, las uales onsisten en obtener las propiedades elástias del sistema a nivel maro y los módulos elástios equivalentes, y posteriormente relaionarlos on los oefiientes anisótropos adimensionales. Los modelos utilizados para representar los medios fraturados inluyen los basados en: Fraturas infinitas paralelas Fraturas en forma elipsoidal Fraturas elipsoidales saturadas o hidráuliamente onetadas: matriz y poros Modelos del Medio Efetivo Como se menionó anteriormente, un aspeto importante en la deteión de fraturas on datos de sísmia de reflexión, es la definiión de medio efetivo el ual se enmara dentro de las teorías del medio efetivo, que onsisten en promediar los módulos elástios del sistema, utilizando la superposiión de dos medios ontinuos. 9 Existen numerosas teorías de medio efetivo las uales se desarrollaron para estudiar las propiedades de un medio ompuesto, estas teorías ubren un amplio rango de materiales tales omo los sólidos agrietados, medios porosos y 9 SEN M. Seismi Wave Propagation in Anisotropi Media. Texas, The University of Texas A&M,, Leture 5. p.. 9

30 materiales ompuestos (omposite materials). Cualquier modelo que estudie las propiedades elástias de un medio ompuesto, se onsidera teoría del medio efetivo 1. Ver figura 4. Figura 4. Esquema del modelo de medio efetivo, onformado por una matriz (bakground) on inlusiones. = + Medio Efetivo Matriz Inlusiones Generalmente al medio ontinuo que onforma la matriz, se le llama bakground y las inlusiones orresponden a las grietas o fraturas raks. Debido a que la presenia de grietas, avidades, disontinuidades u otros elementos, hae al medio anisótropo; es neesario representar el omportamiento de roas no onsolidadas on alineaión preferenial de granos y/o fraturas, on modelos más omplejos, tal omo los sistemas anisótropos. En el trabajo realizado por Wang y Nur, 199, se presenta una reopilaión de todas las investigaiones aera de las teorías del medio efetivo, para el aso partíular de esta investigaión solo se tendrán en uenta tres de las teorías las 1 WANG Z. and NUR A. Seismi and Aousti Veloities in Reservoir Roks. Vol, Theoretial and Model Studies. Soiety of Exploration Geophysiists, 199, p. 3

31 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN uales pueden representar el omportamiento de las ondas en los modelos a esala. Modelo de grietas elipsoidales En 198, Hudson 11 desarrolló un modelo para expliar el omportamiento elástio de un sólido on presenia de grietas o avidades, las suposiiones de este trabajo, se enunian a ontinuaión: Las grietas son elipsoides on una pequeña relaión de aspeto. No existe interonexión entre las grietas. El espaiamiento entre las grietas es muho más pequeño que la longitud de onda. En la figura 5, se presenta en forma gráfia las suposiiones de la teoría de Hudson: Figura 5. Representaión del modelo de Hudson. FUENTE: Natural Frature Modeling and Charaterization. QIU Y., The University of Texas at Austin,. 11 HUDSON J. A. Overall properties of a raked solid. Math. Pro. Camb. Phil. So., 88, ,

32 El desarrollo matemátio iniia on la ley de Hooke generalizada, uya representaión tensorial está dada por: (ver euaión 3). σ =.....(3) ij Cijklε kl Donde: σ ij, ε kl, C ijkl son los tensores de esfuerzos, deformaiones y onstantes elástias, respetivamente. Debido a que el tensor de esfuerzos y deformaiones es simétrio y ada uno solo tiene seis (6) omponentes independientes la euaión 3 puede ser esrita en notaión simplifiada o notaión de Voigt. Ver euaión 3a, la ual es una representaión matriial de la euaión 3. σ = C ε.... (3a) I IJ J Donde: σ I, ε J, son los omponentes de los vetores 6X1 que representan los términos independientes de los respetivos tensores de esfuerzo y deformaión. Los subíndies ij ó kl pueden ser mapeados en i o j de auerdo a la siguiente regla: ij o kl =3 31=13 1=1 I o J En forma matriial, la ley de Hooke se expresa omo: (ver euaión 3b) 3

33 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN σ 1 σ σ 3 = σ 4 σ 5 σ ε1 ε ε 3. (3b) ε 4 ε 5 ε 6 Es importante resaltar que el tensor de uarto orden de oefiientes elástios es simétrio por lo tanto: C = C ó C = C ijkl klij iijj jjii O en notaión de Voigt C IJ = C JI De esta manera la matriz de oefiientes elástios es simétria y por lo tanto sólo tiene 1 onstantes elástias independientes 1, las uales representan el medio más general de elastiidad lineal, físiamente estas onstantes elástias representan la relaión entre esfuerzos y deformaiones en notaión simplifiada. La matriz C muhas vees es llamada matriz de oefiientes elástios o matriz de rigidez (stiffness matriz). Teniendo en uenta que la matriz de oefiientes elástios C es una matriz positiva definida, posee una inversa, es deir y se puede denotar omo la matriz 1 S = C, de tal manera que: 1 C existe ε = Sσ Donde la matriz S es llamada la matriz de onformidad (ompliane matriz) en la teoría de la elastiidad. 1 Es importante resaltar que la matriz de onstantes elástias tiene 36 omponentes (6X6), pero debido a su simetría, sólo 1 onstantes son independientes. 33

34 34 Con base en las suposiiones menionadas anteriormente, Hudson desarrolló una expresión para el módulo elástio de un medio efetivo, el ual está dado por la euaión 4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = U U U U U U U U U U U a N C Hudson µ µ µ λ λ µ λ λ µ λ λ µ λ λ λ λ µ λ λ λ λ ν...(4) Donde: a : radio de las fraturas ν N : número de fraturas por unidad de volumen λ, µ : onstantes de Lamé U 1 y U 3 : son parámetros adimensionales Los parámetros adimensionales U 1 y U 3, están definidos de auerdo al tipo de fluido presente en las avidades. Para las grietas seas, las onstantes se expresan de auerdo a las euaiones 5a y 5b; de igual forma para las grietas on fluidos, se expresan según las euaiones 6a y 6b respetivamente: Para grietas seas: µ λ µ λ = U...(5a)

35 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN U 3 4 λ + µ = 3 λ + µ... (5b) Para grietas on fluidos U 1 16 λ + µ = 3 3λ + 4µ......(6a) U = 3... (6b) Modelo de apas paralelas Shoenberg y Douma en derivaron las expresiones orrespondientes para modelar la propagaión de ondas en un medio ompuesto, uyas fraturas presentaban deformaión onstante. Para entender el modelo de plaas paralelas, es neesario definir primero el módulo elástio para un medio estratifiado, 14 el ual se desribe en el anexo A. En la euaión 7 se presenta el módulo elástio para el medio efetivo: 13 SCHOENBERG M. and DOUMA J. Elasti wave propagation in media with parallel fratures and aligned raks.. Geophysial Prospeting 39, , 1988, p Ibidem, p

36 36 ( ) = T T N N N N N N N N N Shoenberg µ µ µ λ λ µ λ λ λ µ λ λ µ λ λ λ λ λ µ λ... (7) Donde: N : efeto normal de las fraturas sobre el bakground. Ver euaión 8 T : efeto tangenial de las fraturas. Ver euaión 9 λ, µ onstantes de Lamé. ( ) ( ) N N N K K µ λ µ λ =..... (8) T T T K K µ µ + = (9) Fraturas elipsoidales saturadas o hidráuliamente onetadas: matriz y poros Dentro de esta teoría se desribir el omportamiento de las veloidades y la atenuaión de las ondas uando se propagan en medios porosos, es deir, se intenta relaionar las propiedades elástias de una roa saturada on fluido ligeramente ompresible.

37 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN 1.1. Anisotropía Sísmia La anisotropía está definida omo la variaión de las propiedades de auerdo on la direión de referenia. Cualquier propiedad puede presentar un omportamiento anisótropo 15, en geofísia el análisis más utilizado es el de la anisotropía de las veloidades de propagaión de las ondas P y S. Existen diferentes asos de anisotropía, éstos están ligados on las propiedades de simetría de las redes ristalinas que forman los materiales. El punto de partida para entender la anisotropía de las veloidades de ondas sísmias, son las euaiones de Navier (euaiones de Newton para un sistema ontinuo. Ver euaión 1). Por medio de ellas, se desribe el movimiento relativo de los puntos del medio, provoado por los esfuerzos internos y las fuerzas de volumen apliadas en diho medio 16. Euaiones de Navier en forma tensorial: 1 i σ ρ Donde: ( ij ) Fj = t u j... (1) ρ : densidad σ ij : tensor de esfuerzos F j u j : ampo de fuerzas : vetor de desplazamiento 15 SLAWINSKI. Op. it. 16 CAICEDO Mario. Temas de Propagaión de Ondas. Caraas. Departamento de Físia Universidad Simón Bolívar,, p.9. 37

38 Ya que las euaiones de Navier ontienen demasiadas inógnitas, es neesario omplementarlas on las llamadas Euaiones Constitutivas (así se onoen en la literatura) que orresponden a un onjunto de relaiones empírias entre los esfuerzos y las deformaiones. Debido a que en sísmia de exploraión se onsidera la propagaión de ondas en medios elástios lineales, la euaión onstitutiva utilizada es la Ley de Hooke (euaión 3b), ésta suposiión se basa en las siguientes premisas: Deformaiones pequeñas. Bajas freuenias (según la sísmia de reflexión). Tiempos ortos de registro (similar a la duraión del experimento sísmio). Como se menionó anteriormente, la matriz 6x6 (C ij ), representa las onstantes elástias, las uales definen el omportamiento del medio ontinuo. Si este ontinuo es simétrio ante determinadas transformaiones de oordenadas, es posible expresar estos oefiientes de auerdo a sus simetrías, y a su vez, reduir el número de onstantes elástias independientes. Ver tabla 1 Tabla 1 Número de oefiientes elástios de auerdo al tipo de simetría. TIPO DE SIMETRÍA No. DE COEFICIENTES ELÁSTICOS Trilínio 1 Monolínio 13 Ortorrómbio 9 Trigonal 7 Tetragonal 6 Hexagonal 5 Cúbia 3 38

39 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN Existe una estreha relaión entre la simetría ristalina y la anisotropía. Es importante alarar, que se establee una relaión ategória para el estudio de la anisotropía en las roas, ya que estas no son ristales. En esta seión se presentan las analogías para estudiar el omportamiento global de las roas frente a las simetrías del experimento meánio. La simetría ristalina está relaionada on la disposiión de las superfiies de un uerpo que son lisas y planas y están dispuestas regularmente, está simetría depende de los ángulos entre la aras, es así omo la simetría puede ser definida on respeto a un punto, un eje o un plano. Un entro de simetría (o simetría on respeto a un punto) existe uando, para ada punto sobre la superfiie de un ristal existe un punto similar en el lado opuesto del ristal, estando los dos puntos sobre una línea reta que pasa a través del entro del ristal y está a iguales distanias del entro. Un eje de simetría es una línea imaginaria sobre la ual un ristal puede girarse de forma que adopte posiiones que son ristalográfiamente la misma dos o tres vees en un giro ompleto de 36 o. Un eje de simetría puede ser el doble (-fold rotation axis), el triple, el uádruple o séxtuple (pero no quíntuple), éstos son los llamados ejes propios (1,, 3, 4 y 6) y los ejes impropios son aquellos en los que se presenta la rotaión e inversión de los ejes propios respeto a un entro de simetría ( 1,,3,4, 6 ). De igual manera, un plano de simetría es una superfiie plana imaginaria que divide un uerpo, omo un ristal en dos mitades, ada una de las uales es omo la otra reflejada en un espejo. En la figura 6 se representa la simetría on respeto a un plano, un eje y un punto. 39

40 Figura 6. Simetría on respeto a un plano, un eje y un punto FUENTE: Diionario Ilustrado de la Geología. p. 44. La nomenlatura utilizada para los diferentes tipos de simetría, se desribe a ontinuaión: Ejes propios: 1,, 3, 4, 6 Ejes impropios: 1,,3,4, 6 Centro de simetría: 1 Plano de simetría:, denotado también por m De esta manera todas las simetrías pueden ser lasifiadas en 1 elementos básios: 1,1,, m,3,3,4, 4,6, 6 4

41 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN En la tabla se presentan las diferentes ombinaiones o grupos de simetría que se pueden presentar. Tabla Número total de simetrías en los ristales FUENTE: Seismi Wave Propagation in Anisotropi Media. SEN M. The University of Texas A&M, Texas, Leture 3. p 14. Para expliar y reduir el número de onstantes elástias de un medio, es neesario haer uso del tipo de simetría que se presenten. A ontinuaión se presentan los medios on simetría que pueden ser utilizados en geofísia de exploraión, para modelar el omportamiento de algunas formaiones del subsuelo Las simetrías que se omiten no tienen apliaión en geofísia de exploraión, estos medios tales omo el úbio y el trigonal tienen apliaión en ienias de los materiales, espeífiamente metales y ristalografía. 41

42 Medio Trilínio Es el modelo más general de anisotropía, onsta de 1 onstantes elástias independientes. Algunas investigaiones señalan que es posible onsiderar este sistema en algunas formaiones del subsuelo, en partiular las formaiones on diferentes onjuntos - sets de fraturas, sería muy ompliado modelarlos debido al gran número de parámetros independientes. La matriz de oefiientes elástios está dada por la euaión (11) Medio Monolínio Este modelo de simetría onsta de 13 oefiientes elástios independientes. En ontraste on el modelo trilínio, este modelo tiene un plano de simetría (espejo) on la orientaión espaial definida por el laminado del modelo físio. Por ejemplo una formaión que ontenga dos sistemas de fraturas (no ortogonales) ontenidas en un matriz (bakground) isótropa azimutalmente, el medio efetivo utilizado para representar este sistema sería un medio monolínio on un plano de simetría. Los sets de fraturas pueden ser tres o más, para onsiderarlo monolínio, pero si la matriz (bakground) no es isótropa azimutalmente, este medio tendería a se trilínio. 4

43 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN Si el plano de simetría del medio monolínio es ortogonal al eje x 3 (o eje z) la matriz de oefiientes elástios tiene la siguiente forma: (euaión 1) (1) Medio Ortorrómbio También llamado ortotrópio, este medio está araterizado por tres planos ortogonales de simetría. En el sistema de oordenadas asoiados on los planos de simetría, el medio ortorrómbio tiene 9 oefiientes elástios independientes. Los siguientes modelos físios pueden ser onsiderados omo medios ortorrómbios: la ombinaión de fraturas vertiales paralelas on una matriz (bakground) que presenta isotropía transversal vertial, la presenia de dos o tres sistemas de fraturas ortogonales entre sí o dos sistemas idéntios de fraturas que forman un ángulo arbitrario entre ellos. Una vez se onsideren los planos oordenados omo planos de simetría, la matriz de oefiientes elástios para el medio ortorrómbio es: (ver euaión 13) (13) 43

44 Medio Hexagonal (transversalmente isótropo) La mayoría de los estudios aera de anisotropía sísmia han sido desarrollados para medios on simetría hexagonal o medios transversalmente isótropos (TI), los uales tienen un eje de simetría rotaional, todas las araterístias sísmias en tales modelos dependen del ángulo formado entre la direión de propagaión y el eje de simetría. Cualquier plano que ontenga el eje de simetría representa un plano de simetría (espejo), el plano de simetría o también llamado plano de isotropía y es perpendiular al eje de simetría Los medios que ontienen partíulas en forma elipsoidal (penny-shaped) alineadas pueden exhibir un omportamiento TI, de igual manera la laminaión enontrada en algunas uenas sedimentarias pueden tener esta simetría siempre y uando sea a pequeña esala omparada on la longitud de onda predominante. La matriz de oefiientes elástios para un medio transversalmente isótropo on eje de simetría vertial (VTI) está dada por: (14) Para desribir el omportamiento de las ondas elástias uando se propagan en un medio homogéneo anisótropo (on ualquier tipo de simetría) es neesario ombinar la euaión onstitutiva (ley de Hooke) y las euaiones de Navier. Una vez se realizan los proedimientos respetivos, se obtiene la llamada euaión 44

45 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN general de la elastodinámia para medios homogéneos, la ual onsiste en un sistema de euaiones difereniales on derivadas en el espaio y el tiempo (ver euaión 15). C ijkl uk x x j l ui = ρ = ρω u i. (15) t Donde: C ijkl : tensor de oefiientes elástios 18 u i : vetor de desplazamiento ρ : densidad ω: veloidad angular x i : oordenadas espaiales t: tiempo La soluión de la euaión elastodinámia se busa de la siguiente forma (onda plana): r u r r r r iω( p x t ) ( x t) = Ude ( ),......(16) Donde: U es la onstante de integraión (amplitud) d r : vetor de polarizaión p r : vetor de lentitud (inverso de la veloidad) 18 El tensor de oefiientes elástios de Voigt. C puede ser reduido a la matriz de oefiientes elástios ijkl C mediante la notaión ij 45

46 Reemplazando la soluión en la euaión elastodinámia y usando las propiedades de la transformada de Fourier se llega a la euaión de Christoffel, ver euaión 17. Es importante tener en uenta que para los medios homogéneos se asumen onstantes los oefiientes elástios y la densidad. k Γ u ij ij = ρω u.... (17) i Donde: Γ ij es la matriz de Christoffel La euaión de Christoffel tiene soluión no trivial uando el determinante de la matriz araterístia es igual a ero, euaión 18. p Γ ρδ = (18) ij ij Por lo tanto la soluión de la euaión general de la elastodinámia, para medios homogéneos, se redue a un problema de valores propios de la matriz de Christoffel, es importante resaltar que uando se obtiene la euaión de Christoffel se obtiene informaión sobre el tipo de polarizaión de la onda, las veloidades de las ondas P, SV, SH y su relaión on la direión de propagaión 19. Otro de los omportamientos que se analiza en medios anisótropos está relaionado on la idea de que la onda y su energía no se desplazan en la misma direión, por tal razón en la sísmia de exploraión se onsidera una veloidad de grupo y fase, la primera está relaionada on la propagaión de la energía y la segunda on la propagaión de la onda. 19 PACHANO et al. Calulation of phase and group angles, slowness surfae and ray traing in transversely isotropi media. Revista CT&F- Cienia Tenología y Futuro Vol 3 Núm. Di 6. p

47 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN 1. REDES NEURONALES ARTIFICIALES Las redes neuronales artifiiales RNA pueden ser araterizadas de mejor manera omo modelos omputaionales on propiedades partiulares omo la habilidad para adaptarse o aprender, generalizar, agrupar u organizar datos, y para operaiones basadas en proesamiento en paralelo. Sin embargo, estas araterístias pueden ser adjudiadas a algunos de los modelos (no neuronales) ya existentes. Los aspetos generales que distinguen un modelo de distribuión paralela son: un onjunto de unidades de proesamiento (neuronas, eldas), un estado de ativaión para ada unidad on su orrespondiente salida, onexiones entre unidades (generalmente definidas por pesos), una regla de propagaión, una funión de ativaión, una señal de desviaión para ada unidad y un método de agrupamiento de la informaión (regla de aprendizaje). Las unidades de proesamiento desempeñan un trabajo relativamente simple, reiben la entrada de sus veinos o de fuentes externas y la utilizan para alular la señal de salida que se propaga a las otras unidades. El sistema es inherentemente paralelo en el sentido de que muhas unidades pueden ejeutar sus tareas al mismo tiempo. En algunos asos se asume que ada unidad provee una ontribuión a la entrada de la unidad a la ual está onetada. El total de entradas a una unidad es simplemente la suma ponderada (por los pesos) de todas las salidas de las unidades que están onetadas, sumadas a un término de desviaión. La funión de ativaión es una regla que da el efeto total de la señal de entrada en la ativaión de la unidad. La funión debe tomar el total de las entradas y la 47

48 atual desviaión, y produir un nuevo valor de ativaión de la unidad. funiones pueden ser de tipo umbral, semilineal y sigmoidea (ver figura 7). Estas Figura 7. Funiones de ativaión. FUENTE: An Introdution to Neural Networks. KRÖSE B. AND VAN DER SMAGT P. University of Amsterdam De auerdo on los patrones de onexión se pueden tener diferentes tipos de propagaión. La prinipal difereniaión se hae entre redes de avane de señal haia delante (feedforward) y las redes reurrentes Redes Neuronales de Alimentaión Haia Adelante Las redes neuronales de alimentaión haia delante, más onoidas omo feedforward, son aquellas que, omo su nombre lo india, están onstituidas por apas que propagan las señales estritamente haia adelante, sin que existan onexiones entre neuronas ni onexiones haia atrás (ver figura 8). KRÖSE, Ben and van der SMAGT, Patrik. An Introdution to Neural Networks. 6 ed. Amsterdam: University of Amsterdam, p

49 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN Cada apa se onstruye omo la agrupaión de varias neuronas. Cada neurona reibe las señales de la apa anterior (multipliadas por los respetivos pesos), efetúa la sumatoria y agrega el fator de desviaión (ver nodo de sumatoria en la figura 9). Al resultado se le aplia la funión de ativaión y se genera así la salida de la neurona. Figura 8. Estrutura Feedforward. FUENTE: Barbosa A. et al Figura 9. Estrutura de una neurona. FUENTE: Neural Networks. A Comprehensive Foundation. HAYKIN, S. ed. Prentie Hall,

50 En las euaiones 19 y se presentan las expresiones que desriben el funionamiento de la neurona. u k k = m j= 1 w kj x ( u b ) k j k.... (19) y = ϕ +...() En donde: w kj es el peso que va desde una neurona o entrada j hasta una neurona k. m x j es el número de entradas a la red ó el número de salidas de una apa anterior. es el valor de una entrada de la red ó el valor de salida de una apa b k anterior. es el fator de desviaión de una neurona. ϕ ( ) es la funión de ativaión de una neurona. y k es una de las salidas de una apa (salida de una neurona). El fator de desviaión puede simularse omo si fuese un fator de peso b k uya entrada es igual a uno (ver figura 1). En tal aso las nuevas euaiones son: v = u + b... (1) k k k v k = m j= w kj x j.... () y ( ) = ϕ (3) k v k 5

51 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN Figura 1. Estrutura de la neurona modifiada. FUENTE: Neural Networks. A Comprehensive Foundation. HAYKIN, S. ed. Prentie Hall, Una apa está onstruida por la adiión de neuronas. Las euaiones de la apa son: m ν j = w ji xi..... (4) y j i= j ( ν ) = ϕ, j = 1,, L, q. (5) j En la euaión 5, q es el número de salidas de la apa. Es importante anotar que en la euaión 4 se utiliza el término x i para denotar las entradas a la apa, estos datos pueden ser la entrada a la red o la salida de una apa anterior. La euaión 4 es equivalente on la expresión matriial: v b1 v b v = b 3 3 M M vm bq w w w 1 1,1 1, 1, m 1 w w w,1 3,1 q,1 w w M M w, 3, q, L L L M L w w w, m 3, m M q, m x1 * x... (6) M xq 51

52 Existen tres funiones de ativaión ontinuas y difereniables de amplio uso en las redes feedforward. Estas son la funión lineal (euaión 7), la logístia (euaión 8) y la tangenial hiperbólia (euaión 9). j ( ν j ) ν j ϕ = (7) ϕ j j ( ν ) j = 1 1+ exp (8) ( a * ν ) ( ν ) a * tanh( b ν ) j j j ϕ = * (9) En donde a y b son fatores que definen las funiones de ativaión. En la funión lineal la salida es igual a la entrada v j. Esta funión es partiularmente útil para ajustar datos que no han sido apropiadamente esalados, por lo que es reomendable utilizarla en la apa de salida de la RNA. En la figura 11 se presentan tres gráfios onstruidos a partir de las euaiones 7, 8 y 9. Figura 11. Funiones de ativaión derivables. FUENTE: Modifiado de: Neural Networks. A Comprehensive Foundation. HAYKIN, S. ed. Prentie Hall,

53 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN La ventaja de estas euaiones on respeto a las de tipo esalón, está relaionada on el algoritmo de entrenamiento de propagaión del error haia atrás - bakpropagation, definido a ontinuaión, el ual requiere la derivaión de las funiones de ativaión. 1.. Algoritmo de Propagaión del Error Haia Atrás (Bakpropagation) 1, Minsky y Papert 3 demostraron en 1969, que una red de dos apas feedforward podía superar muhas restriiones no logradas por anteriores redes. Sin embargo, no dejaron la soluión aera de ómo ajustar los pesos de las unidades oultas. Una soluión a éste problema fue presentado por Rumelhart, Hinton y Williams 4 en 1986, y similares trabajos pareen haber sido publiados anteriormente por Werbos , Parker y Cun La idea entral detrás de ésta soluión, es que los errores de las unidades de las apas oultas son determinados por una retro-propagaión (bakpropagation) de la regla de aprendizaje. 1 HAYKIN, S. Neural Networks. A Comprehensive Foundation. ed. Prentie Hall, p KRÖSE, Ben and van der SMAGT, Patrik. An Introdution to Neural Networks. 6 ed. Amsterdam: University of Amsterdam, p MINSKY, M., and PAPERT, S. Pereptrons: an introdution to omputaional geometry. The MIT Press, Citado por: ver referenia. 4 RUMELHART, D. E.; HINTON, G. E. and WILLIAMS R. J. Learning representations by bakpropagating errors. Nature, 33, p Citado por: ver referenia. 5 WERBOS, P. J. Beyond Regression: New Tools for Predition and Analysis in the Behavioral Sienes. Unpublished dotoral dissertation, Harvard University, Citado por: ver referenia. 6 PARKER, D. B. Learning-Logi (Teh. Rep. Nos. TR-47). Cambridge, MA: Massahusetts Institute of Tehnology, Center for Computational Researh in Eonomis and Management Siene, Citado por: ver referenia. 7 CUN, Y. L. Une proedure d'apprentissage pour reseau a seuil assymetrique. Proeedings of Cognitiva, 85 (1985), p Citado por: ver referenia. 53

54 El algoritmo de bakpropagation parte de prinipios básios de optimizaión y es a su vez onsiderado omo una generalizaión de la regla delta para funiones de ativaión no-lineal y redes multiapa 8. En las ténias de optimizaión no restringidas, la ondiión óptima se obtiene uando 9 : * ( W ) = ξ (3) En donde: * W es el punto óptimo que se quiere enontrar. ξ ( ) es la funión error a minimizar. es el operador gradiente expresado omo: T =,, L, (31) w1 w w m Con ada iteraión se debe onseguir que: ( W ( n )) ξ ( W ( n) ) ξ +1 < (3) Siendo n un entero que representa las iteraiones. 8 KRÖSE, Ben and van der SMAGT, Patrik. An Introdution to Neural Networks. 6 ed. Amsterdam: University of Amsterdam, p KRÖSE, Ben and van der SMAGT, Patrik. An Introdution to Neural Networks. 6 ed. Amsterdam: University of Amsterdam, p

55 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN El algoritmo de mayor desenso (steepest desent) onsidera que para alanzar el punto óptimo, se debe partir de un punto iniial y avanzar en direión ontraria a la pendiente de la funión error, es deir: moverse en la direión que ausaría el mayor desenso. El tamaño del paso de avane en el algoritmo de mayor desenso está definido por un parámetro de aprendizaje η y la magnitud del gradiente (ver euaión 33). Esta ondiión es desfavorable porque en las zonas de poa pendiente de la funión error (zonas planas), el avane haia el punto óptimo se hae más lento. Adiionalmente, en los asos en que la pendiente sea muy pronuniada y se haya elegido un parámetro de aprendizaje muy alto, el algoritmo puede osilar sin onvergir haia el valor óptimo busado. ( n + 1) = W ( n) η g( n), g ξ ( W ) W * =..... (33) En las redes neuronales artifiiales, el objetivo del proeso de entrenamiento es ajustar los parámetros libres de la red (pesos y desviaiones) para minimizar una funión de osto. Esto se puede lograr asumiendo la funión error omo la suma de los uadrados de las diferenias entre los valores que se desean (valores objetivo) y los verdaderos valores obtenidos por la red. La funión a minimizar en el algoritmo más senillo de bakpropagation es: 1 ξ ( n) = e k ( n) (34) k C En donde: e k ( n) d ( n) y ( n) = (35) k k 55

56 En la euaión 35, el término d k ( n) orresponde al valor que se espera obtener al simular la red y el término y k ( n) es el resultado realmente obtenido por la RNA. En la euaión 34, el número dos que atúa omo exponente garantiza que el error siempre será positivo. Por otra parte, el número dos que se enuentra en el denominador fue oloado por onvenienia debido a que al derivar la funión error, éste dato se anela durante la operaión. Por apliaión de la regla de la adena se tiene que: ξ w ( n) ( n) kj ξ = e k ( n) ( n) e k y k ( n) ( n) y v k k ( n) ( n) v k w kj ( n) ( n).... (36) La forma en que se propaga haia atrás del error ometido por la RNA es la piedra angular que define al algoritmo de bakpropagation. El ambio en los pesos en la última apa es diferente al que se efetúa en el resto de las apas. Por lo tanto, primero se definirá la pendiente del error on respeto a los pesos en la última apa. Para ello se define un subíndie k que representa una neurona ubiada en la apa de salida de la RNA y el subíndie j india las neuronas de la apa oulta anterior a la última apa. Partiendo del error en una sola neurona de la apa de salida de la RNA y según la euaión 34 (note que el número dos del denominador desaparee on la derivaión) se tiene que: ξ e k ( n) ( n) = e k ( n) (37) 56

57 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN De la euaión 35: ( n) ( n) ek = (38) y k De la definiión de la funión de ativaión: y v k k ( n) ( n) = ϕ ' k ( v ( n) ) k (39) De la euaión 4: v w kj ( n) ( n) k = y j ( n) (4) Agrupando todos los términos de la regla de la adena, se tiene que para la última apa de la RNA: ξ w ( n) ( n) kj = e k ' ( n) ϕ ( v ( n) ) y ( n) k k j (41) Se define el gradiente loal omo: ( n) ( n) ξ δ k ( n) = (4) v k Y por regla de la adena: ( n) ( n) ( n) ( n) ξ wkj δ k ( n) = (43) w v kj k 57

58 Si se reemplazan las euaiones 39 y 4 en la euaión 43 se tiene que: δ k ' ( n) e ( n) ϕ ( ν ( n) ) = (44) k k k Por lo tanto, el delta que se debe efetuar sobre los pesos de la última apa es: ( n) = η ( n) y ( n) w (45a) kj δ k j Ésta euaión puede ser modifiada de manera que el ambio atual tenga en uenta una parte del ambio que se obtuvo en la iteraión pasada. De allí surge la euaión delta generalizada (ver euaión 45b). w kj ( n) = δ ( n) y ( n) + α w ( n 1) η... (45b) k j kj En donde el fator α se onoe omo onstante de momentum. Extendiendo el onepto de gradiente loal a las neuronas ubiadas en las apas oultas se tiene que: δ j ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ξ ξ y j ξ ' = = = ϕ j ( ν j ( n) )..... (46) v y v y j j j j En este punto es en donde se enuentran las euaiones que definen la forma en que se propaga haia atrás el error. Retomando la euaión 34 se obtiene: ξ y ( n) ( n) j = k e k ( n) e k y j ( n) ( n) = k e k ( n) e k v k ( n) ( n) v k y j ( n) ( n).. (47) De auerdo on la euaión 35: 58

59 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN e k ( n) d ( n) ϕ ( v ( n) ) =..... (48) Por lo tanto: k k k e k v k ( n) ( n) = ϕ ' k ( v ( n) ) k (49) Y según la euaión 4: v k y j ( n) ( n) = w kj ( n) (5) Reemplazando las euaiones 49 y 5 en la euaión 47 se tiene que:. ξ y ( n) ( n) j = ' ( n) ϕ ( v( n) ) w ( n) = δ ( n) w ( n) ek k kj k k k kj (51) Sustituyendo la euaión 51 en la euaión 46 se obtiene: δ j ' ( n) = ϕ v ( n) j ( j ) δ k ( n) wkj ( n) k... (5) Se puede observar que el error que se le asigna a las neuronas oultas, depende de los gradientes loales de las neuronas que se enuentran en la apa inmediatamente después (delante) de la apa que se está modifiando en sus pesos (meanismo de propagaión haia atrás del error). El ambio en los pesos en las neuronas oultas está dado por la euaión: ( n) = η ( n) y ( n) w.... (53a) ji δ j i 59

60 En onseuenia, para las neuronas oultas, la euaión delta generalizada es: w ji ( n) = δ ( n) y ( n) + α w ( n 1) η (53b) j i ji Por definiión, la modifiaión en los pesos viene dada por la euaión: W ( n ) = W ( n) + W ( n) (54) En las euaiones 55a, 55b y 55, se presentan las soluiones de los gradientes loales para la última apa de la RNA según las funiones lineal, logístia y tangenial hiperbólia, respetivamente. k ( n) = [ O ( n) ][ d ( n) O ( n) ] δ (55a) k k k k ( n) = [ a O ( n) ( 1 O ( n) )] [ d ( n) O ( n) ] δ.... (55b) k k k k b δ k ( n) = ( a Ok ( n) )( a + Ok ( n) ) [ dk ( n) Ok ( n) ] a..... (55) Para haer laridad sobre la diferenia entre la salida total de la red y la salida de una neurona de una apa oulta, se definió O k ( n) omo el valor obtenido al evaluar la RNA. En las euaiones 56a, 56b y 56, se presentan las soluiones de los gradientes loales para las apas oultas de la RNA según las funiones lineal, logístia y tangenial hiperbólia, respetivamente. 6

61 PROBLEMAS INVERSOS EN GEOFÍSICA DE EXPLORACIÓN [ ] δ ( n) w ( n) ( n) y ( n) δ j = j k kj.... (56a) k [ ( )] δ ( n) w ( n) δ j ( n) = a y j ( n) 1 y j ( n) k kj.... (56b) k ( )( a + y ( n) ) δ ( n) w ( n) b δ j ( n) = a y j ( n) j k kj.. (56) a k 61

62 . RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS DE ONDAS P Y S En 1986, Thomsen 3 definió tres parámetros: ε, δ, y γ, para un medio transversalmente isótropo on eje de simetría vertial (medio VTI) 31 ; los uales onentran la influenia de la anisotropía sobre varias araterístias sísmias y además pueden ser determinados de datos sísmios. Los parámetros ε, δ, γ, signifian físiamente: ε : Diferenia fraional entre la veloidad de la onda P (horizontal y vertial), está definido omo: C C C ε (57) 33 γ : Diferenia fraional entre la veloidad de la onda S. C C C γ (58) 44 δ : Variaión de la veloidad de la onda P on el ángulo de fase * 1 δ C 33 [ ( C + C ) ( C C )( C + C C )] (59) 3 THOMSEN L. Weak Elasti Anisotropy. Geophysis, 51, 5, , p En Geofísia los sistemas on simetría hexagonal son llamados Transversalmente Isótropos -TI 6

63 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS δ 1 ε + * δ ( 1 β / α ) = ( C13 + C 44 ) ( C 33 C 44 ) C ( C C ) (6) Las expresiones C ij orresponden a los omponentes de la matriz de oefiientes elástios. En la figura 1, se muestran los sistemas transversalmente isótropos, éstos pueden ser transversalmente isótropos on eje de simetría vertial (VTI) ó transversalmente isótropos on eje de simetría horizontal (HTI). Figura 1 Representaión de los sistemas VTI y HTI FUENTE: Refletion Coeffiients and Azimuthal AVO Analysis in Anisotropi Media. RÜGER A. Ph.D. Thesis. Colorado Shool of Mines, p.7. Debido a que los parámetros anisótropos se derivaron exlusivamente para un medio VTI, si se va a trabajar on un sistema HTI, es neesario replantearlos, teniendo en uenta la variaión del eje de simetría 3. Es así omo se presentan nuevas expresiones denotadas por ε (V), δ (V), γ (V). ( ε v) ε 1+ ε....(6) 3 RÜGER A., Refletion Coeffiients and Azimuthal AVO Analysis in Anisotropi Media, Ph.D. Thesis. Colorado Shool of Mines, p.7. 63

64 γ (61) 44 ε δ ε 1 + ( v) f δ......(6) ε ( 1 + ε ) 1 + f Siendo: ε, δ, γ los parámetros Tipo Thomsen y f : f 1 Vso....(63) Vpo A partir de la matriz de oefiientes elástios para un medio on inlusiones elipsoidales, presentada por Hudson en 198. Ver euaiones 4, 5a, 5b, 6a, 6b; es posible estableer una relaión entre los parámetros anisótropos tipo Thomsen, y la densidad de fratura del medio. Una vez se tiene la matriz de oefiientes elástios, se proede a alular los parámetros anisótropos ε, δ, γ del medio fraturado, teniendo en uenta que la nueva matriz de oefiientes elástios ongrega el efeto de la matriz y las fraturas: ε = ( λ + µ ) ξ U λ + µ (64) δ µ ξ U 3 U λ + µ = (65) γ = ξu (66) 64

65 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS.1 ESTUDIO COMPARATIVO DE LOS MODELOS BÁSICOS PARA EL MEDIO EFECTIVO Numerosas teorías y modelos existen en la literatura sobre las propiedades elástias del medio efetivo. En la sísmia de exploraión, el medio efetivo está refereniado a las roas porosas las uales pueden ser onsolidadas o no onsolidadas, on o sin fluidos en los poros. En el modelamiento matemátio del omportamiento de estos medios se asume que están onformados por una parte homogénea, llamada matriz, en la ual están ontenidas grietas o fraturas. En físia de roas, se estudian las propiedades de las ondas elástias de las roas y el efeto de los parámetros del yaimiento sobre esas propiedades. Los parámetros de yaimiento pueden inluir porosidad, saturaión de fluidos, presión o profundidad, omposiión mineralógia y grado de onsolidaión (Wang y Nur, 199). Para identifiar y evaluar preisamente los efetos de estos parámetros sobre las propiedades elástias de las roas de los yaimientos, resulta neesario realizar estudios teórios y experimentos de laboratorio. Teniendo en uenta que en la literatura no se presenta un estudio omparativo de estas teorías; a ontinuaión se presenta la omparaión de tres modelos. Se iniia on la desripión de ada uno de los modelos teórios esogidos para representar el omportamiento elástio de un medio efetivo. Los modelos involurados en el presente estudio orresponden al de Hudson J.A., 198; Shoenberg y Douma, 1988 y Tod, Hudson y Liu, 3. Éstos modelos se han esogido porque tienen en uenta los dos mayores tipos de anisotropía: la isotropía transversal y anisotropía azimutal, por tal razón son utilizados para expliar el omportamiento de las uenas sedimentarias. 65

66 En el estudio omparativo desarrollado, primero se hae un análisis de las araterístias de ada modelo, que permita distinguir las semejanzas, debilidades, diferenias o omplementos entre los modelos, esto on el fin de seleionar el que umpla las mejores ondiiones para la apliaión en el presente estudio. Para ada modelo se desarrolló una fiha oneptual donde se resumen: el origen, los anteedentes, las ausas que lo originaron, el objetivo y sentido, los prinipios físios en los que se basó y por onsiguiente la estrutura matemátia que presenta. Con base en los parámetros anteriores es posible estableer los omponentes y la utilidad de ada uno, así mismo, la relaión on otros modelos y el ontexto en el que puede ser utilizado. Después de estableer la fiha o mapa oneptual para ada uno, se proedió a realizar la omparaión; iniialmente se efetuó de forma ualitativa, pero al final se estableió una esala numéria para ada elemento evaluado (los uales son presentados en la lista de hequeo). Teniendo en uenta las valoraiones asignadas y la esala desriptiva, se pudo estableer ualitativa y uantitativamente la efetividad, efiienia y efiaia de ada modelo. Como se menionó anteriormente, el objetivo de esta omparaión, fue estableer el modelo matemátio que representara de una manera más aproximada el omportamiento de los sólidos (modelos físios) araterizados a partir de la inversión de datos de ondas P y S obtenidos en laboratorio. A ontinuaión se presenta la fiha oneptual para ada modelo. 66

67 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS.1.1 Modelo de Hudson, 198 MODELO DE GRIETAS ELIPSOIDALES HUDSON J. A., 198 ORIGEN DEL MODELO Este modelo fue desarrollado Hudson J.A. en 198. El modelo se generó a partir de las ideas y estudios que se tenían aera del omportamiento de la tierra (movimientos telúrios). ANTECEDENTES CAUSAS QUE LO ORIGINARON OBJETIVO SENTIDO PRINCIPIOS El tema de la investigaión fue sugerido por Stuart Crampin del Instituto de Cienias Geológias Edimburgo; quién se había interesado en estudiar el omportamiento de las ondas P y S uando se propagan en medios fraturados. Neesidad de desarrollar un modelo para expliar el omportamiento elástio de un sólido on presenia de grietas o avidades. Desarrollar las expresiones para la propagaión de ondas en un medio efetivo, onformado por grietas elipsoidales las uales podrían estar seas o llenas de fluido. Las expresiones orresponden a las veloidades y la atenuaión de las ondas P y S. Definir las onstantes elástias de un medio onformado por grietas elipsoidales ontenidas en una matriz isótropa. Expliar el omportamiento elástio de un sólido on inlusiones o grietas elipsoidales. Ley de onservaión de la materia Ley de Hooke ESTRUCTURA DEL MODELO Suposiiones: Las grietas son elipsoides on una baja relaión de aspeto (oiente entre el anho y el alto de las grietas). No existe interonexión entre las grietas. El espaiamiento entre las grietas es muho más pequeño que la longitud de onda. 67

68 Relaiones matemátias: C Hudson Donde 3 N a = ν λu3 λu3 λ( λ + µ ) λu3 λu3 λ( λ + µ ) ( + µ ) U λ( λ + µ ) U λ( λ + µ ) λ λ 3 3 U U U µ U C Hudson :matriz de oefiientes elástios para un medio efetivo a : radio de las fraturas N ν : número de fraturas por unidad de volumen λ, µ : onstantes de Lamé 1 µ U U 1 y U 3 : son parámetros adimensionales, que se definen a ontinuaión: 1 Para grietas seas: U 1 16 λ + µ = 3 3λ + 4µ Para grietas on fluidos: U 3 U 1 4 λ + µ = 3 λ + µ 16 λ + µ = 3 3λ + 4µ U 3 = CLASIFICACIÓN Teoría Elástia Variables independientes Variables dependientes COMPONENTES Esfuerzos Propiedades elástias (módulo elástio del medio ompuesto) Deformaiones Anisotropía 68

69 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS UTILIDAD POSIBLES USOS Determinar el módulo elástio en un medio ompuesto. Estableer la relaión entre las onstantes elástias y las veloidades de ondas P y S. Modelo Observaiones RELACION CON OTROS MODELOS CONTEXTO Primer modelo desarrollado para desribir el módulo elástio para un medio efetivo (sistema matrizfraturas), en este aso se onsideran grietas en forma elipsoidal ontenidas en una matriz isótropa. Cuando se publiaron los resultados de la investigaión, Hudson J.A. perteneía a la Universidad de Cambridge Departamento de Matemátias Apliada y Físia Teória. Este trabajo orresponde a la publiaión No. 195 del Instituto de Geofísia y Físia Planetaria de la UCLA (Universidad de California, Los Ángeles) dónde fue realizada la investigaión. VALOR Dentro de los olaboradores para el desarrollo del trabajo, se enuentran: Stuart Crampin, Ajit Mal y León Knopoff. Modelar el omportamiento de las ondas P y S uando atraviesan medios que no son homogéneos. De igual manera, estableer un módulo elástio, para el medio efetivo; lo ual onstituye un elemento esenial en la deteión de fraturas a partir de datos sísmios. 69

70 .1. Modelo de Shoenberg y Douma, 1988 MODELO DE CAPAS PARALELAS DE DEFORMACIÓN CONSTANTE MICHAEL SCHOENBERG Y J. DOUMA, 1988 ORIGEN DEL MODELO ANTECEDENTES CAUSAS QUE LO ORIGINARON OBJETIVO SENTIDO Este modelo fue desarrollado por Mihael Shoenberg y J. Douma en Los autores busaban expliar el omportamiento de muhas regiones del subsuelo en las uales se presentan mirofraturas vertiales alineadas, generadas por esfuerzos tetónios (se hae referenia a los estudios de Crampin, 1985; Crampin y Atkinson 1985; Willis, Rethford y Bielanski, 1986; Crampin y Bush, 1986). La presenia de estas mirofraturas genera lo que en geofísia se onoe omo veloidades anisótropas azimutalmente. Neesidad de desarrollar un modelo para representar el omportamiento elástio de un medio ompuesto por fraturas o los planos de estratifiaión (estratos o apas) observados en las uenas sedimentarias. Definir las onstantes elástias para un medio estratifiado plaas paralelas. Expliar el omportamiento elástio de un sólido onformado por plaas delgadas paralelas. PRINCIPIOS Ley de onservaión de la materia Ley de Hooke ESTRUCTURA DEL MODELO Suposiiones: Se onsidera un medio estratifiado onformado por apas homogéneas perfetamente unidas, las uales no neesariamente son isótropas. Se toma el eje x 3 (z) perpendiular a la estratifiaión. Los estratos están onformados por n diferentes apas, las uales están ordenadas de tal manera que en ada estrato se enuentre la misma proporión. Ver figura. Se debe umplir la ondiión de longitud de onda larga, la ual está 7

71 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS relaionada on el anho del intervalo o estrato. Esta ondiión onlleva a que todos los omponentes de los esfuerzos que atúan sobre las superfiies paralelas a la estratifiaión son los mismos en todas las apas: σ = 33 i = σ 3 i σ 3 σ = 3i = σ 4i σ 4 σ = 13 i = σ5 i σ5 Como las apas están unidas fuertemente, éstas se van a mover juntas, es deir que las apas están limitadas a tener la misma deformaión en el plano x 1 x (xy), por lo tanto los omponentes de las deformaiones en este plano son las mismas para ada apa. ε = 11 i = ε1 i ε1 ε = i = ε i ε ε ε = ε 1 i = 6 i Los otros omponentes de los esfuerzos, así omo de las deformaiones pueden variar de apa a apa. 6 Disposiión de las apas paralelas en ada estrato. FUENTE: Seismi Wave Propagation in Anisotropi Media. SEN M Texas, The University of Texas A&M,, Leture 4 p.3. Relaiones matemátias: Módulo elástio para el medio estratifiado: 71

72 7 ( ) = T T N N N N N N N N N Shoenberg µ µ µ λ λ µ λ λ λ µ λ λ µ λ λ λ λ λ µ λ Donde: Shoenberg C : Matriz de oefiientes elástios para el medio efetivo N : efeto normal de las fraturas sobre el bakground T : efeto tangenial de las fraturas λ, µ onstantes de Lamé N K : es la onformidad ompliane 33 en la direión normal de las fraturas. T K : es la onformidad en la direión tangenial de las fraturas. ( ) ( ) N N N K K µ λ µ λ = T T T K K µ µ + = 1 Las derivaiones para ada una de las expresiones se enuentran en el Apéndie A. CLASIFICACIÓN Teoría Elástia Variables independientes Variables dependientes COMPONENTES Esfuerzos Deformaiones 33 Teniendo en uenta que los esfuerzos y las deformaiones son definidos positivamente, existe una matriz 1 = C S, de tal manera que: σ ε S =. Donde la matriz S es llamada la matriz de onformidad (ompliane matriz) en la teoría de la elástiidad.

73 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS Propiedades elástias (módulo elástio del medio ompuesto) Anisotropía UTILIDAD POSIBLES USOS Determinar el módulo elástio en un medio estratifiado. Estableer la relaión entre las onstantes elástias y las veloidades de ondas P y S. Modelo Observaiones RELACION CON OTROS MODELOS CONTEXTO Relaiona el modelo de plaas paralelas on el de grietas Modelo de grietas elipsoidales, elipsoidales y al final definen una Hudson 198 equivalenia entre los dos, en uanto a la matriz de oefiientes elástios. Cuando se publiaron los resultados de la investigaión Mihael Shoenberg haía parte de Shlumberger Doll Researh y J. Douma perteneía al Instituto de Cienias de la Tierra, Departamento de Geofísia. Utreht. Países Bajos. EL desarrollo de estas expresiones, permiten modelar el omportamiento de yaimientos estratifiados. VALOR Determinar la orientaión de las grietas y/o fraturas en el subsuelo y medir la densidad de fraturas multipliada por el esfuerzo (strength) lo ual podría llamarse exess ompliane debido a la presenia de grietas. 73

74 .1.3 Modelo de Tod, Hudson y Liu, 3. MODELO DE GRIETAS CON FLUIDOS - POROELÁSTICO TOD S.R., HUDSON J.A. AND LIU E., 3 ORIGEN DEL MODELO ANTECEDENTES CAUSAS QUE LO ORIGINARON OBJETIVO SENTIDO Este modelo fue desarrollado Tod S.R., Hudson J.A. And Liu E., 3. En los modelos anteriores se trabajó on sólidos (llamados también medios efetivos) onformados por la superposiión de dos medios ontinuos: matriz y fraturas. Muhas vees, la respuesta elástia de estos materiales depende de la parte no sólida. Para desarrollar el modelo iniialmente se revisan los oneptos de roas porosas y permeables y luego se representa su omportamiento estátio y dinámio utilizando la teoría propuesta por Maurie A. Biot. Neesidad de desarrollar un modelo para expliar el omportamiento elástio de un sólido on presenia de grietas o avidades, las uales ontienen fluidos. Este modelo representa de una manera más real los yaimientos de petróleo y se intentan expliar algunas interaiones entre roa y fluido. Definir las onstantes elástias para un medio efetivo, onformado por grietas las uales ontienen fluidos. Las expresiones orresponden a las veloidades y atenuaión de las ondas P y S. Expliar el omportamiento de los sólidos fraturados saturados de fluido, lo ual se aera a la desripión de los yaimientos petrolíferos. PRINCIPIOS Ley de onservaión de la materia Ley de Hooke Teoría Poroelástia ESTRUCTURA DEL MODELO Suposiiones: Medio isótropo, poroso y permeable Se tienen dos omponentes: una parte sólida y una fluida 74

75 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS El desplazamiento de la parte sólida es denotado por de la parte fluida por u r f. u r s y el Relaiones matemátias: La deformaión volumétria está dada por: r = Donde: ε V : deformaión volumétria r : operador gradiente V u r ε s u r s : vetor desplazamiento de un sólido Para el fluido, se define un parámetro de deformaión ζ, el ual desribe la deformaión volumétria del fluido relativa a la de la parte sólida. r ζ = φ r r ( ) u s u f ζ: parámetro de deformaión de Biot φ : porosidad u r f : vetor desplazamiento del fluido. CLASIFICACIÓN Teoría Poroelástia Variables independientes Variables dependientes COMPONENTES Esfuerzos Propiedades elástias (módulo elástio del medio ompuesto) Deformaiones Anisotropía UTILIDAD POSIBLES USOS Determinar el módulo elástio en un medio ompuesto saturado. Estableer la relaión entre las onstantes elástias y las veloidades de ondas P y S. 75

76 Modelo Observaiones En este modelo se tiene en uenta el omportamiento del las ondas uando atraviesan medios RELACION CON ompuestos (matriz fraturas) OTROS MODELOS Modelo de grietas que están saturados de fluidos. elipsoidales, Hudson 198 Para desarrollar el modelo es neesario tener en uenta el modelo de Hudson, así omo la teoría poroelástia planteada por Biot, 196. Este modelo fue desarrollado durante la visita del primer autor al British Geologial Survey - NERC Natural Environment Researh CONTEXTO Counil, dentro del programa: Entendiendo el omportamiento miro a lo maro de los sistemas roa fluido (Understanding the miro-tomaro behaviour of rok fluid systems) Modelar el omportamiento de las ondas uando atraviesan medios VALOR que no son homogéneos y que están saturados on fluidos. Después de desarrollar la fiha oneptual para ada modelo, se proedió a estableer una lista de hequeo on la que se pudiera ontrastar que elemento no pudo ser desrito en ada uno de los modelos. 76

77 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS LISTA DE CHEQUEO MODELO 1. GRIETAS ELIPSOIDALES. CAPAS PARALELAS 3. PORO- ELÁSTICO Cuándo ORIGEN Dónde Quién lo hizo CAUSAS Ténias QUE LO Tenológias X X X ORIGINARON Soioeonómias X X X OBJETIVO Esenia SENTIDO Hipótesis de trabajo X PRINCIPIOS ESTRUCTURA Suposiiones DEL MODELO Relaiones X matemátias Variables independientes Variables COMPONENTE dependientes S Variables X X X intervinientes 77

78 UTILIDAD Para qué sirve? Efetos X X POSIBLES USOS RELACION ENTRE MODELOS CONTEXTO IMPORTANCIA X X 78

79 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS.1.4 Indiadores y Esalas Una vez se identifiaron los elementos involurados en ada modelo, fue neesario estableer una serie de indiadores los uales permitieron realizar la evaluaión y omparaión de los modelos del medio efetivo. Ver tabla 3. Tabla 3 Indiadores para los modelos del medio efetivo INDICADORES Estabilidad Estrutura Apliabilidad Viabilidad Utilidad Variabilidad Originalidad DESCRIPCIÓN Permite analizar si el onjunto de euaiones que modelan el medio efetivo representan adeuadamente su omportamiento físio y al ser manipuladas bajo diferentes valores iniiales y de frontera, la representaión sigue siendo válida. Se refiere a la representaión matemátia que tiene ada modelo, teniendo en uenta las variables y relaiones de ausalidad. Contempla las diferentes áreas del onoimiento y esenarios dentro de los uales pueden ser utilizados los modelos presentados. Dentro de este punto se tiene en uenta si el modelo es téniamente viable, además si es posible manejar las euaiones propuestas por ada modelo de auerdo a los reursos informátios on que se disponen. Este es el fator más importante dentro de la evaluaión de los modelos, puesto que hae referenia a la apaidad que tiene ada uno de representar el omportamiento elástio de un medio efetivo. Dentro de este ítem se tiene en uenta el potenial de ada modelo para ajustarse a nuevas ondiiones de trabajo. Dentro de este aspeto se resalta la innovaión de ada autor al plantear las euaiones de auerdo a la époa y el desarrollo ientífio del momento. 79

80 Después de tener los parámetros on los uales se va a evaluar, se proedió a estableer un rango de valores o esala numéria para asignar las puntuaiones de auerdo a los indiadores estableidos. Ver tabla 4. Tabla 4 Esala numéria definida para la evaluaión de ada indiador CARACTERÍSTICAS ALTA BUENA REGULAR DEFICI El modelo representa aertadamente el ENTE omportamiento elástio de un medio efetivo: modela las onstantes elástias de la parte matriz y las inlusiones Con el rango de valores estableido, se alifió ada modelo teniendo en uenta los indiadores desritos anteriormente. Ver tabla 5. Tabla 5 Valoraión para los modelos del medio efetivo Indiadores Modelo 1 Modelo Modelo 3 1. Estabilidad Estrutura Apliabilidad Viabilidad Utilidad Variabilidad Originalidad

81 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS En la figura 13, se muestra un grafio omparativo según las puntuaiones de ada modelo, teniendo en uenta la estabilidad, estrutura, apliabilidad, viabilidad, utilidad, variabilidad y originalidad. Se puede observar que el modelo poroelástio presenta una gran variabilidad, es deir, puede ajustarse a amplias ondiiones de trabajo (puede representar de manera más aertada el flujo de fluidos en medios porosos) pero falla desde el punto de vista de la viabilidad; ya que las ondiiones ténias y eonómias para el desarrollo del presente estudio (i.e. medidas en laboratorio; alulo de oefiientes de Biot y manejo de variables) no permitieron utilizarlo. Figura 13 Comparaión de los modelos de auerdo a los indiadores. Grietas elipsoidales Capas paralelas Poro elástio Estabilidad Estrutura Apliabilidad Viabilidad Utilidad Variabilidad Originalidad De igual manera, en la figura 14 se observa que el modelo de Hudson, 198 tiene un buen desempeño en uanto a apliabilidad, viabilidad y utilidad. 81

82 Figura 14 Comportamiento de los modelos de auerdo a la valoraión Grietas elipsoidales Capas paralelas Poro elástio Por último, se analiza para ada modelo la valoraión obtenida en ada indiador; esto permitió estableer las ventajas y desventajas que ofree ada uno. Ver figura 15. Figura 15 Evaluaión de ada modelo Grietas elipsoidales Capas paralelas Poro elástio Estabilidad Estrutura Apliabilidad Viabilidad Utilidad Variabilidad Originalidad 8

83 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS.1.5 Comparaión de los modelos Una vez se terminó la valoraión para ada modelo, se proedió a analizar si ada uno umplía on el objetivo de representar el omportamiento elástio de los medios ompuestos, adiionalmente se onsideró si ada modelo teório podría ser omparado on datos experimentales (viabilidad de obtener los valores en el laboratorio). Los resultados de estas observaiones se presentan en la tabla 6. Tabla 6 Evaluaión ualitativa de los modelos del medio efetivo COMPARACION DE MODELOS DEL MEDIO EFECTIVO CARACTERISTICAS Grietas elipsoidales MODELOS Capas paralelas Poro elástio 1. Determinaión de la matriz de oefiientes elástios para medios efetivos SI SI SI. Análisis de las veloidades y de la atenuaión de las ondas P y S SI NO SI 3. Cantidad de datos de entrada que se requieren para el modelado MEDIA MEDIA ALTA 4. EFECTIVIDAD. Exatitud de los resultados omparados on los experimentales 5. EFICACIA. Logro del objetivo de representar el omportamiento elástio de un medio efetivo 6. EFICIENCIA. Variables involuradas, obtenión de datos, relaiones matemátias BUENO REGULAR REGULAR SI SI SI BUENO BUENO REGULAR 83

84 En la tabla anterior, se puede observar la evaluaión para ada modelo. Es importante alarar, que la apreiaión del modelo poroelástio en uanto a la efetividad y efiienia, se analizó desde el punto de vista de este trabajo; ya que no se tendrían los datos de laboratorio neesarios para realizar la evaluaión. De igual manera, se derivaron los valores uantitativos según los parámetros analizados anteriormente y de esta manera fue posible estableer la omparaión uantitativa para los modelos teórios de auerdo a la efetividad, efiaia y efiienia. Ver tabla 7 Tabla 7 Evaluaión uantitativa COMPARACION DE MODELOS DEL MEDIO EFECTIVO CARACTERISTICAS 1. Determinaión de la matriz de oefiientes elástios para medios efetivos. Análisis de las veloidades y de la atenuaión de las ondas P y S 3. Cantidad de datos de entrada que se requieren para el modelado 4. EFECTIVIDAD. Exatitud de los resultados omparados on los experimentales Grietas elipsoidales MODELOS Capas paralelas Poro elástio EFICACIA. Logro del objetivo de representar el omportamiento elástio de un medio efetivo 6. EFICIENCIA. Variables involuradas, obtenión de datos, relaiones matemátias PUNTAJE

85 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS Al grafiar estos puntajes, se puede observar que el modelo más adeuado para desribir el omportamiento de las muestras, es el de Hudson, 198. Ya que a nivel de laboratorio se pueden obtener los valores involurados en las relaiones matemátias propuestas, de igual forma, este modelo presenta las relaiones de ausalidad para realizar el análisis de ondas P y S en funión de las araterístias del medio ompuesto. Por otra parte, si se uenta on la disponibilidad de realizar medidas en laboratorio sobre muestras saturadas y estableer la respuesta debido a la interaión entre roa y fluido; es posible omparar las tendenias y el modelo que desribiría adeuadamente estas ondiiones de trabajo sería el modelo poroelástio. Ver figura 16. Figura 16 evaluaión uantitativa Diagrama de barras para ada uno de los modelos, según la Evaluaión Cuantitativa Modelos 6 Valoraión Grietas elipsoidales Capas paralelas Poro elástio Modelos 85

86 . DISEÑO EXPERIMENTAL En este apítulo, se presenta la estrategia que se utilizó para omprobar las suposiiones teórias planteadas para la investigaión. Se debe tener en uenta, que debe existir una supervisión del proeso para estableer o ontrastar, relaiones ausales entre las variables y a su vez se deben instaurar las ondiiones que permitan generalizar los resultados...1 Definiión de Variables Una variable es ualquier araterístia o ualidad de la realidad que es suseptible de asumir diferentes valores, ya sea uantitativa o ualitativamente. Es deir, se pueden definir omo todo aquello que se mide, ontrola y estudia. Dentro del ontexto de los diseños experimentales 34, las variables involuradas en un experimento se pueden lasifiar en: variables independientes, dependientes, extrañas y ontroladas. Las variables independientes, pueden ser definidas omo el fator que se espera sea la ausa de algo y se varían para evaluar el impato o efeto sobre otras. Por otra parte, las variables dependientes agrupan las respuestas de auerdo la variaión de las variables independientes. Las variables extrañas son todas aquellas que el investigador no ontrola diretamente, pero que pueden influir en el resultado de su investigaión. Deben ser ontroladas, hasta donde sea posible, para asegurar que los resultados se deben a la variaión de la variable independiente, más no por la presenia de 34 LEÓN O. MONTERO I. Diseño de Investigaiones. Segunda Ediión. MGraw-Hill, 1997, p

87 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS variables extrañas, no ontroladas. Por esta razón estas variables deben ser identifiadas e inmediatamente bloqueadas. Si no es posible exluirlas de los experimentos, se proede a analizar los datos teniendo en uenta su presenia y son las denominadas variables ontroladas. Una vez se tienen identifiadas las variables que van a intervenir en el experimento, se proede a estableer sus definiiones, las uales onsisten en la definiión nominal, real y operaional. La definiión nominal de una variable, orresponde a la expliaión enmarada dentro de la teoría, y muhas vees se enuentra resumida en la bibliografía espeializada, o el maro de referenia del estudio. La definiión real, presenta la onepión partiular que la variable tendría dentro del enfoque que respalda la investigaión. Por último, la definiión operaional expresará la forma omo se uantifiará o manipulará ada variable, para la onseuión de la informaión... Diseño Cuasi Experimental 35 En los diseños uasi experimentales existen difiultades para alanzar las ondiiones neesarias para el estableimiento de una relaión ausal entre la variables. Se puede deir que NO hay experimentaión verdadera, uando no se pueden asignar los sujetos al azar a ada una de las ondiiones experimentales, o sea que existe un muestreo intenionado, y los niveles de la variable independiente no son ondiiones manipuladas, sino que son araterístias de los sujetos. 35 LEÓN O. MONTERO I. Diseño de Investigaiones. Segunda Ediión. MGraw-Hill, 1997, p

88 Antes de estableer el tipo de diseño que se va a utilizar es neesario definir los grupos involurados en la experimentaión: Grupo Control y Grupo Experimental El grupo ontrol es aquel que reibe un nivel nulo de la variable independiente, es deir, no reibe ningún tratamiento. Este grupo sirve de punto de referenia para omprobar las desviaiones del grupo experimental por efeto de la variable independiente. Por otro lado, el grupo experimental reibe un nivel no nulo de la variable independiente, es deir, reibe algún tipo de tratamiento. Campbell y Stanley en , estableieron una esquematizaión que permite reordar y omuniar la lógia del diseño. En este esquema se denota on O la observaión, lo ual se refiere al onjunto de registros de un grupo de sujetos en una determinada variable dependiente, uando se utilizan subíndies, estos indian una seuenia temporal. Con X se representa que se ha produido una intervenión (medidas o experimentos). Para el aso de los modelos del medio efetivo, se utilizó el siguiente esquema para el diseño experimental: X 1 O 1 Lo que india que se realizaron medidas para posteriormente reportar los datos (observaión). Este diseño es denominado: diseño on observaiones sólo post Una mejora metodológia del diseño anterior, que no siempre es posible introduir, onsiste en inluir en la investigaión a un grupo ontrol. Este aso se esquematizaría de la siguiente forma: 36 CAMPBELL D. STANLEY J. Diseños Experimentales y Cuasiexperimentales en la Investigaión Soial..Amorrortu Editores. Buenos Aires, Argentina

89 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS X 1 O 1 O 1 Cuando se presenta un onjunto de registros O 1 y debajo de una línea disontinua hae referenia a otro grupo de sujetos. Es importante resaltar que debido al ontexto uasi-experimental, está implíito que la división entre los dos grupos no es aleatoria, de igual manera se deja el espaio en blano para indiar que no hubo intervenión. Este diseño se planteó omo una alternativa para aumentar la validez externa 37 de la metodología pero no pudo ser apliado. En la tabla 8, se resume el diseño uasi experimental desarrollado para el presente trabajo de investigaión. 37 La validez externa de un experimento, hae referenia al estableimiento de las ondiiones que permitan la generalizaión de los resultados al ámbito en el que apareen los proesos investigados. 89

90 Tabla 8 Diseño Cuasiexperimental ESTRATEGIA DE CONTRASTACIÓN DISEÑO CUASIEXPERIMENTAL Tipo de diseño Diseño de aso únio: Muestras que representan la teoría de Hudson. Variables independientes Propiedades del medio efetivo Definiión nominal Definiión real Definiión operaional Según Wang y Nur (199). En la sísmia de exploraión, el medio efetivo está refereniado a las roas porosas, las uales pueden ser onsolidadas o no onsolidadas, on o sin fluidos en los poros. De igual forma omentan que, ualquier modelo que estudie las propiedades elástias de un medio ompuesto, es deir onformado por la superposiión de dos ontinuos, se onsidera teoría del medio efetivo 38. Número de grietas por unidad de volumen. Coiente entre el anho y el alto de las grietas. Dimensiones de los modelos Dimensiones de las grietas. Intensidad de fraturas (No. de grietas/mm 3 ) Relaión de aspeto (Adimensional) Alto, anho y largo (mm) Anho (mm) Las dimensiones anteriores se miden on un alibrador. 38 Muhas vees el objeto de estudio es un objeto formado a partir de un fondo iniial que antiguamente era homogéneo (ya sea isótropo o anisótropo) y on el paso del tiempo adquirió grietas, fallas, apas, et., que ambiaron las propiedades elástias iniiales. (Helbig, 1998) 9

91 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS Variables dependientes Definiión nominal Definiión real Definiión operaional Según Wang y Nur (199) Veloidades de las ondas P y S. Las veloidades sísmias usualmente implian que las veloidades de las ondas son para freuenias entre 1 y unos poos ientos de Hz. Las veloidades aústias o sónias, se refieren la mayoría de vees a veloidades ompresionales para el rango de freuenia audible (aprox. Hz a KHz). Coiente ente la distania y el tiempo de tránsito - onda P. Coiente ente la distania y el tiempo de tránsito - onda S. Veloidad de ondas P (m/s) Veloidad de ondas S (m/s) Los datos son leídos de un osilosopio alibrado. Y las veloidades de ondas elástias se definen omo las veloidades de las ondas sobre el rango total de freuenias (de sísmia hasta freuenias de ultrasonido). Amplitudes de las ondas P y S (atenuaión). Valor máximo, tanto positivo omo negativo, que puede llegar a adquirir una onda sinusoidal. Diferenia entre el máximo desplazamiento de una onda y el punto nulo o de no desplazamiento. Amplitud ondas P (m) Amplitud ondas S (m) 91

92 Variables extrañas Definiión nominal Definiión real Aumento del tamaño y de la densidad de grietas, desomposiión de las muestras (alteraión del medio efetivo) Ver definiión según Wang y Nur (199) Relaión entre el anho y el alto de las grietas Dimensiones de las grietas. Definiión operaional mm Las dimensiones se miden on un alibrador. Estrategia de ontrol Garantizar que los ensayos sean no destrutivos. Seguimiento y mediión de las propiedades del medio. Tipo de muestras a emplear Modelos del medio efetivo, espeífiamente on muestras que representen la teoría de Hudson (198), estas muestras ontienen grietas o inlusiones distribuidas aleatoriamente en un medio homogéneo. Tipo de muestreo a usar El muestreo es intenional, ya que las muestras se esogen de auerdo a las teorías de medio efetivo estudiadas. Tipo de grupo Definiión Nomenlatura Control El grupo ontrol orresponde a las medidas tomadas en muestras homogéneas, es deir, orresponden a modelos que no presenten grietas, fraturas o inlusiones. NO se utilizó un grupo ontrol. G.C. Experimental El grupo experimental orresponde a las medidas tomadas en los medios efetivos. G.E. 9

93 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS Esquema de pruebas Esquema Tipo de observaión Aspetos a observar Cómo se observa? Cuándo se observa? Dónde se observa? Cómo se registra la informaión? X 1 O 1 Grupo Experimental X 1 O 1 O 1 Grupo Experimental y Grupo Control (Éste diseño no se utilizó) Sistemátia Observaión Estruturada Variaión de las medidas aústias Se realiza el montaje experimental siguiendo la metodología planteada por Lo, et al. (1985) Cuando se tienen los modelos físios y los equipos alibrados Las medidas se toman en el laboratorio, una vez se tenga el montaje. Formatos estableidos 93

94 .3 DEFINICIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Como se explió anteriormente, el ontexto de la investigaión orresponde a muestras sintétias o modelos del medio efetivo, es deir, aquellos medios que presentan disontinuidades, inlusiones, grietas o fraturas. Dentro del ontexto teório, se tiene el onjunto de estudios realizados en las diferentes universidades a nivel mundial (e.g. Universidad de Cambridge, Universidad de Calgary CREWES, FRP, Universidad de Stanford, Colorado Shool of Mines CWP, Universidad de Texas y la Universidad de Oklahoma), la informaión ha sido revisada desde 198 hasta la feha. Es importante resaltar que no se tiene ontexto geográfio, puesto que no se esalaron las propiedades y los resultados a un yaimiento olombiano..3.1 Modelos a esala del medio efetivo Siguiendo la metodología planteada por Lo, et. al 39, se tomaron medidas de veloidades aústias en las muestras, la prinipal suposiión del trabajo de Lo et al, es que el medio presenta una simetría hexagonal. Éstos medios son omúnmente llamados transversalmente isótropos, ya que las propiedades elástias son iguales en dos ejes de los tres ejes (plano de isotropía). De auerdo a la orientaión del eje de simetría los medios transversalmente isótropos, pueden ser VTI o HTI. Un ejemplo de medios VTI son los sistemas on laminaión o estratifiaión, entre ellos las seuenias de shales, halks y lays, omúnmente enontradas en uenas sedimentarias, así omo, los medios on 39 LO T., CORNER K. and TOKSÖZ N.: Experimental determination of elasti anisotropy of Berea sandstone, Chiopee shale and Chelsford granite, Geophysis 51, 1985, p

95 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS presenia de grietas o fraturas aleatorias distribuidas en un medio homogéneo. El medio efetivo utilizado en el experimento se observa en la figura 17 Figura 17 Muestras del medio efetivo FUENTE: Cortesía Ing. Hiznardo Ariza. Comuniaión personal. El primer paso onsistió en la araterizaión de los modelos físios. La tabla 9 resume las prinipales propiedades de los modelos, las uales sirven de base para esoger el medio efetivo más adeuado. 95

96 Tabla 9 Caraterizaión de los medios efetivos CARACTERÍSTICAS MEDIO 1 MEDIO MEDIO 3 Dimensiones ms (lado x anho x alto) 4 x 5.5 x 4.5 x 3.5 x.5.8 x 4.6 x 5.1 Diámetro predominante de las avidades mm a.5 a a Contenido de las avidades seas seas seas Forma de las grietas o avidades Subirulares Subangulares Subredondeadas Subredondeadas Relaión de aspeto (estimada) Densidad (gr./m 3 ) En la tabla 1 se muestra la distribuión de tamaños de las avidades presentes en los modelos físios, este es uno de los parámetros que permite validar la suposiión de longitud de onda larga. Es importante resaltar, que la teoría de anisotropía sísmia se fundamenta en la suposiión de que el tamaño de las grietas o inlusiones es muho menor que la longitud de onda (suposiión de longitud de onda larga 4 ). De esta manera, se puede asumir que los modelos se omportan omo un medio efetivo, es deir, un onjunto formado por matriz y grietas. Tabla 1 Diferentes diámetros de las avidades en los medios efetivos MEDIO 1 MEDIO MEDIO 3 Diámetro % Diámetro % Diámetro % a 3 mm. 1 a 3 mm. a 3 mm a mm a mm a mm SEN M. Seismi Wave Propagation in Anisotropi Media. Texas, The University of Texas A&M,, Leture 5. p 1. 96

97 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS 1 a 1.41 mm. 3 1 a 1.41 mm a 1.41 mm a 1 mm a 1 mm a 1 mm. 1.5 a.71 mm. 1.5 a.71 mm a.71 mm. 5 El modelo esogido para las pruebas fue el medio 3. Este medio presentaba mayor diámetro de avidades y estaba más onsolidado. Las dimensiones del modelo se muestran en la tabla 11. Tabla 11 Dimensiones del modelo físio esogido Dimensiones (m) x y z,876,588, Datos de ondas P y S obtenidos en el laboratorio Como se ya se dijo, para obtener las medidas en laboratorio se utilizó la metodología planteada por Lo et al, 1985; la ual onsiste en medir los tiempos de viaje a través de los medios efetivos según la onfiguraión mostrada en la figura 17 posteriormente se determina la veloidad de propagaión de ada onda y por último se proede a alular las onstantes elástias y los parámetros adimensionales (ε, δ, γ). 97

98 Figura 18 Configuraión para tomar las medidas de veloidades Nota: los uadros verdes representan los ristales emisores y reeptores de ondas P y los írulos rojos muestran los ristales emisores y reeptores de ondas S. Para determinar el tiempo de viaje se utilizaron ristales piezoerámios, que pueden emitir y reibir pulsos ultrasónios (transforman un pulso elétrio en una onda P). En la figura 19 se presentan los ristales piezoerámios utilizados en el experimento. Figura 19 Cristales piezoerámios utilizados en el experimento 98

99 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS Iniialmente se registra la señal proveniente del ristal emisor (ya sea P ó S), teniendo esta señal omo referenia, se proede a registrar simultáneamente la onda que se propaga a través del medio en el ristal reeptor. La diferenia entre estas dos señales es el tiempo de viaje. En las figuras y 1, se observa el montaje de los ristales en las muestras del medio efetivo. Figura Cristales piezoerámios sobre el medio efetivo. Vista superior Vp 45 Figura 1 Cristales piezoerámios sobre el medio efetivo. Vista lateral Vsz 99

100 El montaje experimental para obtener las veloidades de ondas P y S onsistió en un pulsador y un osilosopio y en ada uno de ellos se ubiaron las terminales; de tal manera que las señales de ondas P y S se registraran en el osilosopio. Ver figura. Estas mediiones se realizaron en el Laboratorio de Meánia de Roas del Instituto Colombiano del Petróleo; en el anexo B se enuentra una breve desripión de los equipos utilizados en el experimento. Figura Montaje para realizar las medidas experimentales sobre los medios efetivos. Como ya se menionó, la señal que se registró fue los tiempos de viaje entre la fuente y el reeptor (ver figura 3), una vez estableido el sistema de referenia y las dimensiones de la muestra, se obtuvieron las veloidades de onda. Los pulsos aústios emitidos estaban en el rango de freuenias de.81 a.3 MHz, por lo que las medidas en los tres modelos son válidas de auerdo a la suposiión de onda larga. 1

101 RELACIÓN ENTRE LOS MODELOS DE MEDIO EFECTIVO Y LAS VELOCIDADES ACÚSTICAS Figura 3 Detalle de la onda S Los tiempos de viaje y las veloidades para el medio 1 se muestran en las tablas 1 y 13 respetivamente. Tabla 1 Tiempos de viaje de las ondas P y S Tiempos de Viaje (seg.) tpz tsz tp 45 tpx tsy,e-5 3,E-5 4,4E-5 1,4E-5 1,75E-5 Tabla 13 Veloidades de onda Veloidades de Onda Vpz (m/s) Vsz (m/s) Vpx (m/s) Vp 45 (m/s) Vsx (m/s) 1, 15,, 9, 164, 11

102 Una vez se obtienen las veloidades en las diferentes direiones, se proede a alular las ino onstantes o oefiientes elástios (C 11, C 1, C 33, C 44, C 13 ) que araterizan un medio VTI (medio efetivo que presenta grietas distribuidas aleatoriamente en un medio homogéneo), teniendo en uenta las euaiones expliadas en el apítulo. Ver tabla 14 Tabla 14 Coefiientes elástios para el modelo efetivo Coefiientes elástios para el medio efetivo C11 Pa C1 Pa C33 Pa C44 Pa C13 Pa 3,3899E+9 1,1688E+9 3,7373E+9 1,968E+9,187E+9 Por último se alulan los parámetros anisótropos de Thomsen ε, δ, γ. Ver tabla 15. Tabla 15 Parámetros anisótropos para el medio efetivo Épsilon Delta Gamma

103 DESARROLLO DE LA HERRAMIENTA PARA LA INVERSIÓN DE DATOS 3. DESARROLLO DE LA HERRAMIENTA PARA LA INVERSIÓN DE DATOS En el presente apítulo se explia el desarrollo de la herramienta onstruida, para resolver el problema inverso. 3.1 DISEÑO DE LA HERRAMIENTA Como se menionó en el apítulo dos, existen iertas relaiones entre los parámetros de Thomsen (forma ompata de representar la relaión de veloidades) y los parámetros de fraturas. En esta seión se desriben las funiones que van a ser invertidas utilizando redes neuronales artifiiales RNA. Entre las apliaiones de las redes neuronales, se enuentran la aproximaión de funiones, las prediiones y la optimizaión. La aproximaión de funiones se presenta uando se tiene un ierto onjunto de datos on ruido y se quiere hallar una orrelaión (una funión desonoida) En aquellos asos en que es extremadamente ompliado despejar analítiamente la inversa de la funión original, la aproximaión de funiones puede utilizarse para hallar el mapeo de datos salida-entrada. Tal aso es partiularmente útil uando se desea onoer uáles valores hay que insertar en la funión original para obtener un resultado deseado. Con respeto a la prediión, el ajuste de los parámetros libres de una RNA puede ser visto omo una forma de onstruión de modelos, en el sentido que entre más pequeño sea el error de prediión, en términos estadístios, mejor será el 13

104 serviio que preste la red omo un modelo del proeso físio subyaente, responsable de la generaión de los datos. Cuando este proeso es no-lineal, el uso de la RNA se onvierte en un método poderoso debido a la unidad de proesamiento no-lineal que puede ser lograda en su onstruión. Una exepión al uso de la unidad de proesamiento no-lineal es aquella situaión en la ual el rango dinámio de las series de tiempo es desonoida, en tales asos la esogenia de una unidad de salida lineal es la seleión más razonable 41. Una amplia variedad de problemas en matemátias, estadístia, ingeniería, ienias, mediina y eonomía pueden ser planteados omo problemas de optimizaión. El objetivo de un algoritmo de optimizaión es enontrar una soluión satisfatoria a un onjunto de restriiones, tales omo una funión objetivo que debe ser maximizada o minimizada. En resumen, para la soluión del problema inverso de la presente investigaión, se esogió este tipo de herramienta, debido a que: 1. Las RNAs son apaes de onstruir relaiones entre datos en ualquier direión, por lo que son muy útiles para resolver problemas en donde es analítiamente imposible invertir las funiones originales que desriben el sistema.. Permiten onstruir un modelo que mapee la relaión entre datos de entrada y salida para sistemas de relativa omplejidad. 3. Son herramientas muy útiles en la representaión de sistemas on araterístias no lineales. 41 HAYKIN, S. Neural Networks. A Comprehensive Foundation. ed. Prentie Hall, p

105 DESARROLLO DE LA HERRAMIENTA PARA LA INVERSIÓN DE DATOS Para realizar la inversión de datos, se propone un ambio de variables en las relaiones expliadas en el apítulo dos, esto on el fin de visualizar de una mejor manera las funiones a invertir: ε = ( r ) 1 Ed M 1 r E M d.....(67) δ = Ed M r Ed N 1 r E M d (68) E γ = 1 d N ( E N ) d.....(69) N = r.....(7) M 4 r rf 3 = r fratura on fratura se a fluido.....(71) Donde: r β α b =.....(7) b r f α πe b ar =......(73) α f 15

106 ε, δ, γ = Parámetros de Thomsen α = Veloidad b β = Veloidad b P S E d = Densidad de fratura E ar = Re laión de aspeto α f = Veloidad P en el fluido De forma ompata, los parámetros de Thomsen para un medio efetivo, están en funión de la densidad de fraturas, relaión de veloidades y un fator de forma que involura la forma de las fraturas. Ver 74, 75 y 76. ε = δ = γ = ( Ed, r r f ) ( Ed, r r f ) ( E, r ) F, 1 F, F, 3 d r f....(74) (75)....(76) Por lo tanto, las funiones inversas son: F 1 1 1, F, F (77) Teniendo en uenta que las euaiones anteriores (74 a 77) y el trabajo desarrollado por Dai H. et al., , para resolver el problema se planteó una red neuronal de alimentaión haia adelante BPNN la ual se utiliza para simular la relaión inversa entre los parámetros de fratura y Thomsen. 4 DAI H., LI X. AND MACBETH C. Inversion of Frature Parameters by Using the Artifiial Neural Network. IC-AI 99 International Conferene , p

107 DESARROLLO DE LA HERRAMIENTA PARA LA INVERSIÓN DE DATOS Las entradas de la red orresponden a los parámetros de Thomsen (ε, δ, γ) y las salidas a los parámetros de fratura (densidad de fraturas, E d y relaión de veloidades V s /V p ). El número de apas oultas y neuronas puede variarse de auerdo a la apliaión software desarrollada (en la siguiente seión se expliará on detalle). En la figura 4 se observa la red de tres entradas y dos salidas, la ual se utilizó para el aso partiular de las fraturas seas (ver euaión 71). Figura 4 Red neuronal de tres entradas y dos salidas ε E d δ γ V S V P De igual forma, el diagrama más generalizado, involura el fator de forma r f, el ual a su vez inluye el efeto de la relaión de aspeto y el omportamiento de la onda P en el fluido que está saturando la muestra (ver euaión 73). En este aso, se utiliza una red de tres entradas y tres salidas. Ver figura 5 17

108 Figura 5 Red neuronal de tres entradas y tres salidas ε δ γ E d V S V r f P Después de diseñada la red, se proedió a rear el onjunto de entrenamiento Definiión de los onjuntos de entrenamiento Una de las etapas más importantes en el desarrollo de la herramienta para la inversión de datos, fue la seleión del onjunto de entrenamiento para los patrones de entradas y salidas. En esta parte se alularon los parámetros de Thomsen a partir de un rango de valores para la densidad de fratura, las relaiones de veloidades y el fator de forma (para grietas seas y saturadas respetivamente). Matemátiamente las variables Ed y Vs Vp pueden tomar valores entre a 1 pero físiamente no es posible (i.e. La veloidad de la onda P en un material no puede ser igual a la veloidad de la onda S). 18

109 DESARROLLO DE LA HERRAMIENTA PARA LA INVERSIÓN DE DATOS Por lo antes menionado, se eligió un rango de valores 43 en los uales la red pudiera aprender la tendenia en las relaiones y posteriormente evaluar los omportamientos de estos parámetros. Es importante resaltar que no se planteó entrenar la herramienta on datos experimentales por dos razones fundamentales: 1. Con los datos experimentales, no es posible abarar todo el rango de valores, on los que se analizan las tendenias de las relaiones entre los parámetros anisótropos y las araterístias de fraturas.. En los valores experimentales se deben tener en uenta las desviaiones ausadas por la variaión o error en la toma de datos. A ontinuaión se presenta el onjunto de entrenamiento para la red de tres entradas y dos salidas, las ual se utiliza en el aso de grietas seas. (Figura 6). Figura 6 Conjunto de entrenamiento para la red de tres entradas y dos salidas Con estos valores es posible visualizar la tendenia de las relaiones entre los parámetros de Thomsen y las araterístias de fraturas. Ver figuras 7, 8 y Se utilizó el mismo rango de datos presentado en el artíulo: DAI H., LI X. AND MACBETH C. Inversion of Frature Parameters by Using the Artifiial Neural Network. IC-AI 99 International Conferene , p

110 Figura 7 Variaión de épsilon en funión de la densidad de fratura y la relaión Vs/Vp. Figura 8 Variaión de delta en funión de la densidad de fratura y la relaión Vs/Vp 11

111 DESARROLLO DE LA HERRAMIENTA PARA LA INVERSIÓN DE DATOS Figura 9 Variaión de gamma en funión de la densidad de fratura y la relaión Vs/Vp Finalmente en la figura 3, se muestra el espaio de los valores que podrían tomar los parámetros anisótropos y el onjunto de entrenamiento Figura 3 Conjunto de valores posibles de ε, δ, γ vs. Conjunto de entrenamiento. 111

112 Nota: En rojo se representa el espaio de valores que pueden tomar los parámetros anisótropos; en azul el onjunto de entrenamiento estableido para resolver el problema inverso (fraturas seas) Posteriormente se definió el rango de valores para estableer el onjunto de entrenamiento para las fraturas saturadas. En este aso se revisó el rango de valores aeptable para el fator de forma - rf el ual depende de la relaión de aspeto, veloidad de onda P en la matriz y fluido. Para ada uno de los parámetros involurados en la euaión 73 se analizó los valores extremos que se podrían presentar y de esta forma se estableió el respetivo onjunto de entrenamiento. Shoenberg y Douma en , reportaron que la relaión de aspeto para las mirofraturas podía variar en un rango de.1.3. Para valores mayores el módulo elástio alulado on la teoría de Hudson presentaba diferenia vs el alulado on la teoría de plaas paralelas. Ver figura 31. El rango de valores para la veloidad de onda P en la matriz y en el fluido se aluló siguiendo las orrelaiones presentadas en la literatura 45. La euaión 78, se utilizó para alular la veloidad de la onda P en una roa saturada on aeite muerto (dead oil), es deir, aquellos fluidos que no presentan gas en soluión. Esta orrelaión está en funión de la densidad del fluido y las ondiiones de presión y temperatura. Ver euaión 78. α f ρ.6 ρo 1 1 o 1 ( m s) = T P ( 1.8ρ 1) 1 TP o. (78) 44 SCHOENBERG M. and DOUMA J. Elasti wave propagation in media with parallel fratures and aligned raks. Geophysial Prospeting 39, , p MAVKO G., MUKERJI T., DVORKIN J. Rok Physis Handbook. Stanford University. June p.36 11

113 DESARROLLO DE LA HERRAMIENTA PARA LA INVERSIÓN DE DATOS Figura 31 Rangos de variaión de la relaión de aspeto. 5 Error- MSE Relaión Módulos Elástios (in%) D. de fratura =.5 D. de fratura =.1-3 D. de fratura = Log (relaión de aspeto) FUENTE: Modifiado de: Elasti wave propagation in media with parallel fratures and aligned raks. SCHOENBERG M. and DOUMA J. Geophysial Prospeting 39, , p.587. De igual manera, para los valores de la veloidad de la onda P en la matriz, se utilizaron los rangos presentados para las arenisas seas (Tight Gas Sandstones) y las arenisas saturadas (Sandstones) 46 Una vez se tiene los límites para las variables involuradas en la euaión 73 se proede a alular el rango de valores para el fator de forma. Ver figura 3 y MAVKO G., MUKERJI T., DVORKIN J. Rok Physis Handbook. Stanford University. June p

114 Figura 3 Conjunto de entrenamiento para la red de tres entradas y tres salidas. Figura 33 Conjunto de valores posibles de ε,δ,γ vs. Conjunto de entrenamiento. Nota: En rojo se representa el espaio de valores que pueden tomar los parámetros anisótropos; en azul el onjunto de entrenamiento estableido para resolver el problema inverso (fraturas saturadas). 114

115 DESARROLLO DE LA HERRAMIENTA PARA LA INVERSIÓN DE DATOS 3. ESTRUCTURA DE LA HERRAMIENTA Debido al nivel de desarrollo que tiene la herramienta de redes neuronales artifiiales de Matlab (ésta es una mara omerial de Mathworks In.), se seleionó este software para onstruir la herramienta para la inversión de datos. La apliaión se divide en dos partes prinipales: Definiión del onjunto de entrenamiento y simulaión Datos a evaluar Construión, entrenamiento y simulaión de la red neuronal En la primera parte se define el rango de datos para estableer el onjunto de entrenamiento, para grietas seas o saturadas omo se estableió en la seión anterior; así mismo, se establee el número de époas y la distania de exlusión (filtrado) para los parámetros de Thomsen que no estén dentro del rango de entrenamiento. Ver Anexo C. En la segunda parte, la apliaión permite rear y entrenar una red neuronal para posteriormente simular los resultados y evaluar on datos de laboratorio. Es importante resaltar, que se pueden realizar varias onfiguraiones de redes, hasta definir ual es la de mejor desempeño y garantizar el éxito en la inversión de datos. En el anexo C se explian los módulos orrespondientes a la herramienta desarrollada. 115

116 3.3 SIMULACIÓN UTILIZANDO DATOS DE ONDAS P Y S Una vez se tiene onstruida y entrenada la red se proede a realizar la simulaión de los datos. Dentro de la apliaión software, se definieron dos tipos de simulaión, tal omo se explia a ontinuaión: Simulaión Tipo I Terminada la onstruión y el entrenamiento de la red. Se proede a ingresar los valores de los parámetros de Thomsen (ε, δ, γ) obtenidos en el laboratorio. Estos datos deben ser argados en el módulo de entrada de datos, tal omo se explia en el anexo C. Con los parámetros de Thomsen, la red entrenada, proede a simular el omportamiento e invertir las funiones on el fin de proporionar los valores de densidad de fratura y relaión de veloidades (datos alulados), los uales a su vez son omparados on los datos de laboratorio (datos objetivos). Por último se ompara la desviaión entre los valores de Vs/Vp y la densidad de fratura alulados por la herramienta y los medidos en laboratorio; de esta manera es posible estableer el porentaje de error obtenido en la inversión de datos Simulaión Tipo II Durante el desarrollo de la herramienta, se realizó este ejeriio para profundizar en la teoría y evaluar el omportamiento de la red uando se ingresaban datos en la entrada, es deir, se realizó una tabulaión de los parámetros de Thomsen, para onsiderarlos omo un onjunto de entrenamiento. 116

117 DESARROLLO DE LA HERRAMIENTA PARA LA INVERSIÓN DE DATOS El razonamiento para la simulaión Tipo II fue el siguiente: Dado un onjunto de entrada onformado por los parámetros de Thomsen, se proede a determinar las respuestas de la densidad de fratura Ed y la relaión de veloidades Vs/Vp. Si los datos arrojados por la red son iertos; se apturan los valores de Vs/Vp y Ed y on las euaiones nuevamente se alulan ε, δ, γ. Al final se omparan los dos valores de Thomsen para evaluar las desviaiones. Ver figura 34. Figura 34 Esquema de la simulaión Tipo II ε δ γ SIMULAR RED E d V S V P A PARTIR DE LAS ECUACIONES OBTENER ε δ γ Con este tipo de simulaión se verifia la omplejidad y no linealidad del problema planteado. 117

118 4. METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS 4.1 DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA De auerdo on los resultados obtenidos en la evaluaión de los diferentes esquemas de redes neuronales artifiiales, se presenta esta metodología omo un resumen de los pasos que se deben seguir para entrenar redes que puedan simular las relaiones altamente no lineales y omplejas, tal omo lo es la relaión entre los parámetros anisótropos y las araterístias de las fraturas. El objetivo prinipal de éste apítulo, es reopilar todos los aspetos onsiderados en el desarrollo de la investigaión. A ontinuaión se presenta el esquema general para la metodología propuesta Primer paso Durante esta etapa, se deben seleionar las variables representativas del problema que se va a simular. Es importante tener en uenta que esta seleión se hae para estableer el alane y la fundamentaión teória que será neesario revisar. Segundo paso Posteriormente, se establee el modelo teório que más se ajuste a las ondiiones que se van a trabajar. Es importante resaltar que pueden existir modelos muy robustos que tienen en uenta todos los fatores que intervienen en 118

119 METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS el estudio, se debe tener espeial uidado, puesto que aportan una gran antidad de variables diferente a las variables dependientes que pueden llegar a onvertirse en variables extrañas o no ontroladas. Terer paso En esta etapa, se debe estableer el diseño experimental, el ual onsiste en la definiión de la estrategia de ontrastaión para probar las hipótesis desarrolladas durante la planeaión. Con base en este diseño se realizarán los experimentos o ensayos neesarios para estableer los datos que se van a estudiar. Cuarto paso Debido a que se intenta resolver un problema inverso on RNA, deben tenerse en uenta los datos de entrenamiento y simulaión, de manera que queden ubiados en el rango que abaran las funiones de ativaión, es deir, se deben estableer onjuntos de entrenamiento válidos para la soluión del problema. De igual manera, se deben inluir en los datos originales, las restriiones físias y todas las relaiones que se puedan inferir del sistema que se quiere simular. Quinto paso Realizar la evaluaión on datos obtenidos en laboratorio sobre diferentes muestras, esto on el fin de valorar el desempeño de la herramienta. En la figura 35, se muestra el esquema general para la metodología propuesta. 119

120 Figura 35 Esquema general de la metodología propuesta Seleión Seleión de de variables variables para para realizar realizar el el estudio estudio Estudio Estudio de de las las teorías teorías - - Estableer Estableer las las relaiones relaiones de de ausalidad ausalidad Diseño Diseño Experimental Experimental Seleión de Modelos Observaión y Mediión Determinaión de la anisotropía sísmia Construión de los modelos Medida de tiempos de viaje Caraterizaión de muestras Montaje Experimental Seleión Seleión de de la la herramienta herramienta para para realizar realizar la la inversión inversión de de datos datos Arquitetura de la herramienta Entrenamiento Simulaión Evaluaión Evaluaión de de datos datos on on diferentes diferentes datos datos de de ondas ondas P P y y S obtenidos obtenidos en en laboratorio laboratorio 1

121 METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS 4. APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA UTILIZANDO DIFERENTES DATOS DE ONDAS P Y S A ontinuaión se presenta la apliaión de la metodología propuesta, dónde se obtienen las araterístias de las fraturas a partir de datos de ondas P y S obtenidos laboratorio: Primer paso En esta etapa se identifiaron las variables involuradas en el estudio, las uales orresponden a las araterístias de las fraturas: densidad de fraturas, relaión de aspeto y al omportamiento de las ondas P y S: espeífiamente las veloidades anisótropas. Para analizar el omportamiento de las veloidades de propagaión, se utilizaron los parámetros anisótropos ε, δ, γ definidos por Thomsen, Los parámetros anisótropos onentran el efeto de la anisotropía y representan la variaión de las ondas P y S de auerdo a la direión de propagaión y ángulo de fase respetivamente. Segundo paso Posteriormente, se analizaron tres modelos básios para desribir el medio efetivo: Modelo de Hudson, Shoenberg and Douma, Liu et al; en este aso se estableieron las fortalezas y debilidades de ada uno on el fin de esoger el modelo que mejor representara a los modelos físios, en uanto a la relaión de las respuestas de las ondas P y S omo funión de las propiedades del medio. 11

122 En este trabajo se seleionó el modelo de Hudson, debido a que el onjunto de euaiones que modelan el medio efetivo representan adeuadamente su omportamiento físio y al ser estudiadas bajo diferentes valores iniiales y de frontera, la representaión sigue siendo válida 47. De igual forma el modelo es téniamente viable, teniendo en uenta que el número de variables y euaiones propuestas pueden manipularse de auerdo a los reursos de laboratorio e informátios on los que se disponían. Terer paso Después de seleionar el modelo teório on el ual se plantearon las relaiones de ausalidad; se estruturó un diseño uasiexperimental de aso únio on el fin de ontrastar las hipótesis de la investigaión. Dentro del diseño presentado, se resaltó que las muestras estudiadas, orrespondían a modelos del medio efetivo que representaran la teoría de Hudson, 198; estas muestras ontienen grietas o inlusiones distribuidas aleatoriamente en un medio homogéneo. De igual manera, se hizo énfasis en que el muestreo fue intenional y que no se utilizó grupo ontrol en el momento de realizar los experimentos. Dentro de la esquematizaión para diseños uasiexperimentales, el presentado en esta investigaión puede atalogarse omo diseño on observaiones sólo post; debido a que se los sujetos muestreados fueron sometidos a diferentes medidas (propagaión de ondas P y S) y posteriormente se reportaron los datos (observaión). 47 PACHANO et al., Propagaión de Ondas en Medios Efetivos - Mediiones en Modelos a Esala ACIPET. XI Congreso Colombiano de Petróleo y Gas. ISBN Bogotá 5. 1

123 METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS Cuarto paso En esta parte se desarrollaron los onjuntos de entrenamiento y el espaio físio y matemátio en el ual se realizó la inversión de datos. Los rangos de entrenamiento se definieron para fraturas seas y fraturas saturadas, tal omo se muestra en la tabla 16. Tabla 16 Rango de valores para los onjuntos de entrenamiento RANGO DE VALORES PARA LOS CONJUNTOS DE ENTRENAMIENTO Ed Vs/Vp rf Límite inferior Límite superior Las funiones que se utilizaron para entrenar las redes onstruidas fueron: regularizaión bayesiana (TRAINBR), gradiente desendente on momentum (TRAINGDM) y Levenberg-Marquardt (TRAINLM). La librería de Matlab, espeífiamente del Toolbox Neural Networks ofree diferentes tipos de funiones, tal omo se explió en el apítulo tres (ver figura 37) Para las funiones de ativaión que onetan las apas oultas, se reomienda que en las primeras se utilie siempre una funión sigmoidal, ya sea tangente sigmoidea (TANSIG) ó logarítmia sigmoidea (LOGSIG) y para la última apa siempre se utilie una funión lineal (PURELIN). 13

124 Quinto paso Como se menionó anteriormente, en esta etapa se realizó la valoraión de la metodología on diferentes datos de ondas P y S obtenidos en laboratorio. Para realizar la evaluaión, se reopilaron datos de la literatura y de reientes investigaiones, tal omo se muestra: Reopilaión de Pruebas AMOCO. Thomsen, 1986 Medios Efetivos. Pahano et al, 5 Formaión Tambor. Valera et al, 5 Muestras sintétias. Rueda et al, 6 Muestras sintétias. Aguilera, 8 Los resultados para ada onjunto de datos se presentan a ontinuaión: Reopilaión de Pruebas AMOCO, Thomsen En el artíulo de Thomsen, , se presenta un listado de pruebas de laboratorio para diferentes roas sedimentarias y algunos materiales sintétios. En total el autor reporta datos de parámetros anisótropos para 58 muestras, la desventaja de estos datos es que no publian la araterizaión de las muestras, por lo que no se puede obtener un valor de densidad de fraturas. Ver la tabla THOMSEN L. Weak Elasti Anisotropy. Geophysis, 51, 5, , p

125 METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS Tabla 17 Parámetros anisótropos reportados por Thomsen, 1986 Muestra Épsilon Delta Gamma Ed Vs/Vp Taylor Sandstone NR.5431 Mesaverde mudshale NR.5968 Mesaverde inmature sandstone NR.687 Mesaverde inmature sandstone NR.573 Mesaverde silty sandstone NR.5831 Mesaverde inmature sandstone NR.591 Mesaverde layshale NR.53 Mesaverde inmature sandstone NR.596 Mesaverde laminated siltstone NR.581 Mesaverde inmature sandstone NR.664 Mesaverde layshale NR.5467 Mesaverde alareous sandstone NR.5896 Mesaverde inmature sandstone NR.5856 Mesaverde inmature sandstone NR.5771 Mesaverde mudshale NR.591 Mesaverde sandstone NR.5979 Mesaverde mudshale NR.575 Mesaverde shale NR.77 Mesaverde sandstone NR.75 Mesaverde shale NR.6875 Mesaverde sandstone NR.713 Mesaverde shale NR.6541 Mesaverde sandstone NR.6974 Mesaverde shale NR.699 Mesaverde sandstone NR.7385 Mesaverde shale NR.6991 Dog Creek shale NR.445 Wills Point shale NR NR.5763 Cotton Valley shale NR.61 Pierre shale NR NR NR

126 Shale NR NR.441 Oil shale NR.61 Green River shale NR NR.5863 Berea sandstone...5 NR.6334 Bandera sandstone NR.615 Green River shale NR.5371 Lane sandstone NR.594 Ft. Union silstone NR.63 Timber Mtn tuff NR.383 Musovite rystal NR.4731 Quartz rystal (hexag. Approx.) NR.7351 Calite rystal (hexag. Approx.) NR.686 Biotite rystal NR.338 Apatite rystal NR.693 Ie I rystal NR.461 Aluminum - luite omposite NR.477 Sandstone shale NR.5497 SS-anisotropi shale NR.5497 Limestone - shale NR.55 LS-anisotropi shale NR.55 Anisotropi shale NR.5494 Gas sand - Water sand NR.5536 Gypsum - weathered material NR.416 FUENTE: Modifiado de: Weak Elasti Anisotropy. THOMSEN L. Geophysis, 51, 5, , p Una vez se tienen los datos, se proede a onstruir el arhivo *.txt para argarlo en la herramienta y realizar la inversión de datos. En la figura 36 se observa el onjunto de entrenamiento vs. la poblaión de datos on los que se va a realizar la simulaión. 16

127 METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS Figura 36 Conjunto de entrenamiento vs. Datos a simular (Thomsen, 1986) Nota: En azul se presenta el onjunto de entrenamiento y en rojo los datos experimentales que se simularon. Es importante resaltar que algunos datos están por fuera del onjunto de entrenamiento, en este aso, la red no podrá simular la tendenia. Por tal motivo se diseñó en la herramienta un módulo apaz de filtrar los datos que están por fuera del onjunto de entrenamiento. Ver anexo C. Posteriormente, se proede a realizar la simulaión de datos, para esto se define, onstruye y entrena una red neuronal (feedforward bakpropagation) Una vez se tienen los resultados, algunos datos son eranos al objetivo, pero en otros no se representa bien la tendenia, esto se debe prinipalmente a que están por fuera del onjunto de entrenamiento y la red no aprende el omportamiento, por lo tanto no lo puede simular. En la tabla 18 se presentan los resultados de la red on un margen de error menor del % 17

128 Tabla 18 Resultados de la inversión de datos on un % de error menor al % Épsilon Delta Gamma Vs/Vp Objetivo Vs/Vp Red %Error De igual forma en la tabla 19 se presentan los resultados de la inversión de datos on un rango de error entre el % y 4% Tabla 19 Resultados de la inversión de datos on un % de error entre el % y 4% Épsilon Delta Gamma Vs/Vp Objetivo Vs/Vp Red %Error Por último, se presentan los datos que la red no pudo invertir (ver tabla ). 18

129 METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS Tabla Valores anómalos simulados por la red. Épsilon Delta Gamma Vs/Vp Objetivo Vs/Vp Red %Error Los valores que no pudieron ser simulados por la red, son aquellos que presentaban parámetros anisótropos bastante altos (superiores a.5); generalmente estos valores son araterístios de formaiones laminadas shales, de los valores inluidos en el artíulo de Thomsen, presentaron anomalías las mediiones para las siguientes formaiones: Pierre shale, Dog Creek shale, Mesaverde shale, además de las mediiones realizadas en ristales de alita (alite rystal). Para evaluar la efetividad de las redes onstruidas, se realizaron varias simulaiones las uales se enuentran en un arhivo digital que aompaña las rutinas de la herramienta onstruida. Ver arhivo Thomsen_1986.xls guardado en la arpeta simulaiones. 19

130 Medio Efetivo, Pahano et al., 5 49 De manera similar, se analizaron los datos de laboratorio obtenidos utilizando muestras del medio efetivo; la obtenión de los parámetros anisótropos para este aso (ver tabla 1), se explió en la seión.3 del presente doumento. Tabla 1 Datos de laboratorio para el medio efetivo (Pahano et al., 5). Épsilon Delta Gamma Ed Vs/Vp rf Posteriormente, se proede a grafiar el onjunto de entrenamiento y los datos a invertir. Ver figura 37. Figura 37 Conjunto de entrenamiento vs. datos a simular. Medio efetivo (Pahano et al, 5) 49 PACHANO et al., Propagaión de Ondas en Medios Efetivos - Mediiones en Modelos a Esala ACIPET. XI Congreso Colombiano de Petróleo y Gas. ISBN Bogotá 5. 13

131 METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS A diferenia del ejemplo anterior, en este aso se tenían los datos referentes a la araterizaión de las grietas (densidad de fraturas y relaión de aspeto), por lo tanto el onjunto de entrenamiento se amplía tal omo muestra en la figura 37. Con base en los resultados obtenidos, se prepara el arhivo *.txt para realizar la simulaión on la herramienta software. La red esogida para realizar la inversión de datos fue una FFBP_LM_GDM_MSE_3_1_1_3. De igual manera, se realizaron varias simulaiones para omprobar el desempeño de la red esogida, en la figura 38 se muestran los resultados para la simulaión de 19 époas. Figura 38 Resultados de la simulaión utilizando una red FFBP_LM_GDM_MSE_3_1_1_3 131

132 En la tabla se muestra el porentaje de error de los resultados obtenidos on la simulaión, en este aso, la red pudo simular de manera aertada las araterístias del medio efetivo, on una desviaión no mayor al %. Tabla Porentaje de error de los resultados obtenidos on la simulaión Parámetro Calulado Épsilon Delta Gamma Objetivo Red %Error Ed Vs/Vp rf Formaión Tambor, Valera et al., 5 5. A ontinuaión se presenta el ejemplo para la formaión tambor. Ver tabla 3. Con base en estos datos se onstruye el onjunto de entrenamiento para realizar la respetiva inversión de datos. Tabla 3 Datos reportados para la formaión Tambor (Valera et al.,5) Épsilon Delta Gamma Ed Vs/Vp VALERA et al., Caraterizaión de la anisotropía de medios porosos a partir de la mediión de veloidades aústias en la formaión Tambor ACIPET. XI Congreso Colombiano de Petróleo y Gas. ISBN Bogotá 5. 13

133 METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS

134 En la figura 39 se muestra el onjunto de entrenamiento vs los datos a simular, es importante resaltar, que los datos utilizados orresponden a las medidas realizadas durante el primer ilo de arga. Figura 39 Conjunto de entrenamiento vs. Datos a simular. Formaión Tambor (Valera et al, 5) Los resultados de la simulaión, utilizando una red de tipo FFBP_BR_GDM_MSE_3_8 e1, se presentan en la tabla 4. En este aso se puede observar que la red simuló orretamente (on un porentaje de error menor al 5%) los valores más eranos al onjunto de entrenamiento mostrado en la figura anterior. Al disminuir el número de époas se evita que la red memorie los resultados y evite los mínimos loales (overfitting) 134

135 METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS Tabla 4 Resultados para la simulaión. Datos de la formaión Tambor Épsilon Delta Gamma Vs/Vp Objetivo Vs/Vp Red %Error

136 Muestras sintétias. Rueda et al., 6 51 Siguiendo on la evaluaión de la metodología, en esta seión realizó la simulaión utilizando los datos de ondas P y S obtenidos en muestras sintétias; estas muestras se onstruyeron on arena tamizada, resina, las grietas se simularon on inlusiones de aluminio que posteriormente fueron disueltas. En la tabla 5, se reportan las propiedades de las muestras sintétias. Tabla 5 Datos de laboratorio para muestras sintétias (Rueda et al., 6) Épsilon Delta Gamma Densidad de fraturas Vs/Vp RUEDA J. MADERO H. Metodología para determinar densidad de mirofraturas en roas uya matriz presenta baja anisotropía, a partir de parámetros anisótropos: Apliaión a la formaión Mirador del ampo Cupiagua, Piedemonte Llanero Universidad Industrial de Santander. Tesis de pregrado. Buaramanga,

137 METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS En la figura 4 se muestra el onjunto de entrenamiento y los datos a simular. Se puede observar que la mayoría de datos, están muy alejados del espaio físio posible, por lo que la herramienta no representará de manera adeuada este omportamiento. Figura 4 Conjunto de entrenamiento vs datos a simular. Muestras sintétias (Rueda et al., 6) 137

138 En las tabla 6 y 7 se presentan los resultados de la simulaión para la densidad de fratura y la relaión de veloidades respetivamente. Para la inversión de datos, se utilizó una red neuronal del tipo FFBP_BR_GDM_MSE_3_4_4_e8. Tabla 6 Resultados de la simulaión para las muestras sintétias Ed Épsilon Delta Gamma Ed Objetivo Ed Red %Error

139 METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS Tabla 7 Resultados de la simulaión para las muestras sintétias - Vs/Vp Épsilon Delta Gamma Vs/Vp Objetivo Vs/Vp Red %Error De auerdo a los porentajes de error enontrados en las relaiones de veloidades (no mayores del 3%), se puede onluir que a pesar de estar fuera del onjunto de entrenamiento, la red puede simular esta tendenia. En el aso de la densidad de fratura, la relaión es más ompleja y depende fuertemente del 139

140 onjunto de entrenamiento, es deir, de la tendenia que la red aprende ; por tal razón la red no puede enontrar una relaión que le permita simular y enontrar el valor objetivo (porentajes de error mayores al 8%). En este trabajo, los autores 5 reportaron una diferenia en la toma de medidas, ya que desarrollaron un dispositivo para optimizar el uso de ristales, en este aso los piezoerámios no se adhirieron diretamente a la muestra, sino sobre una plaa de aero la ual se adaptaba a la roa. Muestras sintétias. Aguilera, 8. Por último, se evaluaron los datos presentados por Aguilera, En este trabajo también onstruyeron muestras sintétias, la diferenia on el trabajo anterior, es que se siguió la metodología tradiional planteada por Lo et al, 1985, en la ual los ristales están adheridos diretamente a la muestra. Los resultados de los parámetros anisótropos medidos en las muestras sintétias, se reportan en la tabla 8. Tabla 8 Datos de laboratorio para las muestras sintétias (Aguilera, 8) Épsilon Delta Gamma Ed Vs/Vp RUEDA J. MADERO H. Metodología para determinar densidad de mirofraturas en roas uya matriz presenta baja anisotropía, a partir de parámetros anisótropos: Apliaión a la formaión Mirador del ampo Cupiagua, Piedemonte Llanero Universidad Industrial de Santander. Esuela de Geología. Tesis de pregrado. Buaramanga, 6. p AGUILERA J. Anisotropía sísmia induida por la densidad de mirofraturas en un medio elástio Universidad Industrial de Santander. Esuela de Físia. Tesis de pregrado. Buaramanga, 8. 14

141 METODOLOGÍA PARA LA CARACTERIZACIÓN DE UN SISTEMA DE FRACTURAS UTILIZANDO INVERSIÓN DE VELOCIDADES ACÚSTICAS Se proede a grafiar el onjunto de entrenamiento vs los datos obtenidos en el laboratorio, ver figura 41. Figura 41 Conjunto de entrenamiento vs. Datos a simular. Muestras sintétias (Aguilera, 8) Como se puede observar los valores están dentro del rango del onjunto de entrenamiento. La simulaión se realizó on una red del tipo FFBP_LM_GDM_MSE_3_1_1_3(19e), los resultados se presentan en la tabla 9 y 3. Tabla 9 Resultados para la simulaión muestras sintétias Ed Épsilon Delta Gamma Ed Objetivo Ed Red %Error

142 Por lo tanto, la red simula de manera aertada la tendenia para la densidad de fraturas; aproximadamente el 8% de los datos tiene una desviaión menor al %. Tabla 3 Resultados para la simulaión muestras sintétias Vs/Vp Épsilon Delta Gamma Vs/Vp Objetivo Vs/Vp Red %Error Para esta relaión, los valores alulados por la red muestran una desviaión onsiderable del objetivo. Para este aso se reomienda entrenar en un número mayor de époas la red y tener en uenta la relaión de aspeto para alular el fator de forma y tener más parámetros de los que la red pueda aprender. 14

143 CONCLUSIONES 5. CONCLUSIONES Con base en el estudio omparado de los modelos del medio efetivo, el modelo más adeuado para desribir la relaión entre las veloidades aústias y los parámetros de fratura es el de Hudson; on el modelo físio estudiado, se orrobora que esta teoría puede representar el omportamiento de las ondas sísmias en medios omplejos. Sin embargo, para utilizar diha teoría, es indispensable araterizar las grietas o inlusiones del sistema. Teniendo en uenta la onfiguraión para un medio VTI, fue posible obtener las medidas de veloidades de ondas P y S en laboratorio. De esta manera, se determinaron los parámetros anisótropos ε, δ, γ, para las diferentes muestras del medio efetivo. Las redes neuronales artifiiales permiten haer la inversión de datos, debido a la versatilidad en el onjunto de entrenamiento y la fáil adaptabilidad. Es importante tener en uenta que se debe analizar el onjunto de entrenamiento para las entradas de la red y estableer los rangos permitidos físiamente. El diseño de una red neuronal de tres entradas y tres salidas permite plantear el problema para fraturas saturadas on fluidos, esto on el fin de inluir el fator de forma rf, es deir, se deben estipular los valores de veloidades de ondas P en la matriz y en el fluido que satura la muestra; de igual manera estableer los rangos para la relaión de aspeto de las grietas. A pesar de tener un amplio rango de estudio para las salidas (densidad de fraturas y relaión de veloidades) no se pudo haer un refinamiento en las entradas (parámetros de Thomsen); debido a la no linealidad del problema. Por tal razón las RNAs se onvierten en una herramienta muy útil en el momento de 143

144 estableer un modelo que mapee la relaión entre datos de entrada y salida para sistemas de relativa omplejidad. De igual manera, son apaes de onstruir relaiones entre datos en ualquier direión, por lo que son muy útiles para resolver problemas en donde es analítiamente imposible invertir las funiones originales que desriben el sistema. Con la metodología propuesta, es posible obtener las araterístias de fraturas: densidad de fraturas Ed, relaión de veloidades Vs/Vp y el fator de forma rf; a partir de los parámetros anisótropos ε, δ, γ, onsiderando que los valores estén en el rango de entrenamiento y el espaio físio posible. Mediante la evaluaión de la metodología on diferentes datos de la literatura, se pudo orroborar que es posible realizar exitosamente la inversión de datos; de igual manera la herramienta software identifia los datos anómalos que no orresponden a medidas representativas de la anisotropía del medio. 144

145 RECOMENDACIONES 6. RECOMENDACIONES Teniendo en uenta los modelos teórios estudiados, se reomienda saturar las muestras del medio efetivo onstruidas, on un fluido de propiedades onoidas (i.e. aeite muerto o miel) para avanzar en el estudio de las relaiones propuestas para el modelo poroelástio. De igual manera, se pueden realizar modelos omputaionales donde se pueda manipular en un amplio rango los parámetros del experimento, tal omo la freuenia y la densidad de fraturas; esto on el fin de validar la suposiión de onda larga, además de la variaión de los parámetros anisótropos omo funión de la freuenia. Debido a que la metodología se plantea omo una primera aproximaión para la araterizaión de zonas omplejas, se hae neesaria la búsqueda de informaión para poder realizar el esalamiento de propiedades y poder realizar la inversión de datos en un ontexto geográfio, es deir, poder extrapolarlas a nivel de yaimiento. Por último, se reomienda expandir la metodología teniendo en uenta los parámetros anisótropos para medios HTI y ortorrómbio; puesto que estos sistemas son los que mejor araterizan los medios laminados o on fraturas alineadas u orientadas, tal omo las seuenias de shales o arillas. 145

146 BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA DE REFERENCIA 1. TANER M., KOEHLER F., SHERIFF R. Complex Trae Analysis. Geophysis, 44, , CHEN W. AVO In Azimuthally Anisotropi Media Frature Detetion Using P- Wave Data And Seismi Study Of Naturally Fratured Tight Gas Reservoir. Stanford: Stanford University. Department of Geophysis, SLAWINSKI M.A. On Elasti-wave Propagation in Anisotropi Media: Refletion/Refration Laws, Ray traing, and Traveltime Inversion. Calgary. Department of Geology and Geophysis. The University of Calgary, LI Y., DOWNTON J., and XU Y. AVO modeling in seismi proessing and interpretation, Part III: Appliations. Calgary, Reorder, 3 February, CRAMPIN S. A Review Of Wave Motion In Anisotropi An Craked Elasti Media. Wave motion, 3, , BAKULIN A., GRECHKA V. and TSVANKIN I. Estimation of frature parameters from refletion seismi data Part I: HTI model due to a single frature set. Geophysis, 65, p ,. 7. SEN M. Seismi Wave Propagation in Anisotropi Media. Texas. The University of Texas A&M,. 146

147 BIBLIOGRAFÍA 8. WANG Z. and NUR A. Seismi and Aousti Veloities in Reservoir Roks. Vol, Theoretial and Model Studies. Soiety of Exploration Geophysiists, 199, 448 p. 9. QUI Y., Natural Frature Modeling and Charaterization M.S. The University of Texas at Austin,. 1. SCHOENBERG M. and DOUMA J. Elasti wave propagation in media with parallel fratures and aligned raks. Geophysial Prospeting 39, , HUDSON J. A. Overall properties of a raked solid. Math. Pro. Camb. Phil. So., 88, , CAICEDO M. Temas de Propagaión de Ondas. Caraas. Departamento de Físia Universidad Simón Bolívar,, PACHANO et al., Calulation of phase and group angles, slowness surfae and ray traing in transversely isotropi media. Revista CT&F- Cienia Tenología y Futuro Vol. 3 Núm.. Di 6. p KRÖSE, B. and VAN DER SMAGT, P. An Introdution to Neural Networks. 6 ed. Amsterdam: University of Amsterdam, p HAYKIN, S. Neural Networks. A Comprehensive Foundation. ed. Prentie Hall, p MINSKY, M., and PAPERT, S. Pereptrons: an introdution to omputaional geometry. The MIT Press, Citado por: ver referenia

148 17. RUMELHART, D. E.; HINTON, G. E. and WILLIAMS R. J. Learning representations by bakpropagating errors. Nature, 33, p Citado por: ver referenia WERBOS, P. J. Beyond Regression: New Tools for Predition and Analysis in the Behavioral Sienes. Unpublished dotoral dissertation, Harvard University, Citado por: ver referenia PARKER, D. B. Learning-Logi (Teh. Rep. Nos. TR-47). Cambridge, MA: Massahusetts Institute of Tehnology, Center for Computational Researh in Eonomis and Management Siene, Citado por: ver referenia 14.. CUN, Y. L. Une proedure d'apprentissage pour reseau a seuil assymetrique. Proeedings of Cognitiva, 85 (1985), p Citado por: ver referenia THOMSEN L. Weak Elasti Anisotropy. Geophysis, 51, 5, , RÜGER A., Refletion Coeffiients and Azimuthal AVO Analysis in Anisotropi Media, Ph.D. Thesis. Colorado Shool of Mines, LEÓN O. MONTERO I. Diseño de Investigaiones. Segunda Ediión. MGraw-Hill, 1997, p CAMPBELL D., STANLEY J., Diseños Experimentales y Cuasiexperimentales en la Investigaión Soial. Amorrotu editores. Buenos Aires, Argentina LO T., CORNER K. and TOKSÖZ N.: Experimental determination of elasti anisotropy of Berea sandstone, Chiopee shale and Chelsford granite, Geophysis 51,

149 BIBLIOGRAFÍA 6. ARIZA H., Comuniaión personal 7. DAI H., LI X. AND MACBETH C. Inversion of Frature Parameters by Using the Artifiial Neural Network. IC-AI 99 International Conferene MAVKO G., MUKERJI T., DVORKIN J. Rok Physis Handbook. Stanford University. June p PACHANO et al., Propagaión de Ondas en Medios Efetivos - Mediiones en Modelos a Esala. ACIPET. XI Congreso Colombiano de Petróleo y Gas. ISBN Bogotá VALERA et al., Caraterizaión de la anisotropía de medios porosos a partir de la mediión de veloidades aústias en la formaión Tambor ACIPET. XI Congreso Colombiano de Petróleo y Gas. ISBN Bogotá RUEDA J. MADERO H. Metodología para determinar densidad de mirofraturas en roas uya matriz presenta baja anisotropía, a partir de parámetros anisótropos: Apliaión a la formaión Mirador del ampo Cupiagua, Piedemonte Llanero. Universidad Industrial de Santander. Esuela de Geología. Tesis de pregrado. Buaramanga, AGUILERA J. Anisotropía sísmia induida por la densidad de mirofraturas en un medio elástio. Universidad Industrial de Santander. Esuela de Físia. Tesis de pregrado. Buaramanga,

150 BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA 1. AKI, K.I., RICHARDS P.G. Quantitative Seismology, W.H. Freeman and Co, 198. ATKINSON B.K. Frature Mehanis of Roks, Department of Geologial Sienes, University College London, CASTAGNA J. P., BACKUS M. Offset-Dependent Refletivity Theory and Pratie of AVO Analysis, Soiety of Exploration Geophysiists, CERVENY V. Seismi Ray Theory, Cambridge University Press, CRAMPIN S. Evaluation of anisotropy by shear splitting, Geophysis. Vol. No. 5, FANG K. Pseudo-Spetral Modelling of Craked Anisotropi Media and Rotation of Multiomponent Shear-Wave Data, M.S. Thesis. Department of Geology and Geophysis CREWES. The University of Calgary. Calgary, Alberta FJAER E., RISNES R., Petroleum Related Rok Mehanis. Elsevier, Noruega, 35 pp HUDSON, J. A. Wave speeds and attenuation of elasti waves in material ontaining raks, Geophys J. R. astr. So., 64, , OSORIO J., Ingeniería de Yaimientos Naturalmente Fraturados, Universidad Naional de Medellín, 3. 15

151 BIBLIOGRAFÍA 1. TOKSÖZ N., and JOHNSTON D. Seismi wave attenuation. Soiety of Exploration Geophysiists. Tulsa,

152 BIBLIOGRAFÍA METODOLÓGICA 1. CAMPBELL D., STANLEY J., Diseños Experimentales y Cuasiexperimentales en la Investigaión Soial. Amorrotu editores. Buenos Aires, Argentina DOMÍNGUEZ N., Modelo de Análisis de los Proesos del Pensamiento. 3. LEÓN O. MONTERO I., Diseño de Investigaiones. Ma Graw Hill. Segunda Ediión. España, MIQUEL F., ESCOFET D., Estudio Comparado por Comunidades Autónomas de la Normativa Conerniente al Proeso de Elaboraión de PC. Aula De Innovaión Eduativa, núm. 33, diiembre de 1994, 78pp. 15

153 153 ANEXOS ANEXO A MÓDULO ELÁSTICO PARA EL MEDIO ESTRATIFICADO El desarrollo matemátio iniia on la ley de Hooke generalizada, en notaión simplifiada o notaión de Voigt. Ver euaión 1. = ε ε ε ε ε ε σ σ σ σ σ σ (1) Siendo: = σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ () = ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε (3)

154 ANEXOS Las onsideraiones involuradas en este modelamiento son: n : apas H h i : espesor de ada apa ρ i : densidad C pqrsi : tensor de oefiientes elástios σ pqi : esfuerzos ε rsi :Deformaiones x 3 : eje perpendiular a las apas n h i i= 1 = 1 : espesor relativo Se supone que los esfuerzos atuando en el eje x 3 permaneen onstantes y que las apas se mueven juntas o sea que los desplazamientos en x 1 y x son iguales, ya que están unidas; esto implia que las deformaiones en el plano de estratifiaión son iguales. Las omponentes onstantes de los esfuerzos y las deformaiones son: Esfuerzos σ 33 i = σ 3 i = σ 3 (4a) σ 3i = σ 4i = σ 4 (4b) σ 13 i = σ5 i = σ5 (4) Deformaiones ε 11 i = ε1 i = ε1 (5a) 154

155 ε i = ε i = ε (5b) ε ε = ε 1 i = 6 i 6 (5) Las omponentes de los esfuerzos y las deformaiones que varían de apa a apa son: Esfuerzos σ 11i = σ1i (6a) σ i = σ i (6b) σ 1i = σ 6i (6) Deformaiones ε 33i = ε3i (7a) ε 3i = ε 4i (7b) ε 13i = ε 5i (7) Los omponentes de esfuerzo y deformaión, para ada apa se toman omo los promedios, evaluados a través del espesor de esa apa. Posteriormente, se plantean nuevos vetores, en los que se distingan los omponentes onstantes y los que varían de apa a apa; para reesribir la ley de Hooke en funión de los nuevos vetores: S 1i σ1i = σ i σ 6i (8) 155

156 ANEXOS 156 = i i i i E ε ε ε (9) = σ σ σ S (1) = ε ε ε E (11) Reesribiendo la Ley de Hooke: i i T i E N E P S 1 + = (1) i i i i i E P M E S 1 + = (13) Donde: = i i i i i i i i i i M (14) = i i i i i i i i i i N (15)

157 P i = 13i 3i 36i 14i 4i 46i 15i 5i 56i (16) P T i = 13i 14i 15i 3i 4i 5i 36i 46i 56i (17) Se expresa S 1i (1) en funión de S (13) 1 T 1 1 Ni S = Pi E1N i + Ni NiEi 1 T 1 Ni S = Pi E1N i + Ei (18) Se despeja E i de (13) y se reemplaza en la expresión de S 1i (1) S E 1 1 T i Ni S N Pi E1 = (19) 1 1 T ( N S N P ) 1i M iei + Pi i i i E1 = () Tomando el promedio para ada apa se tiene: S S 1 T 1 [ M PN P ] E1 + PN = (1) 1 S T 1 1 N N P E1 + N E = () Módulo elástio para el medio estratifiado 157

158 ANEXOS Una vez se tienen las euaiones para el modelo de plaas paralelas, se proede a determinar el módulo elástio. S = + (3) 1 MeE1 Pe E Siendo: S T Pe E1 + Ne E = (4) 1 Ne = N 1 (5) 1 Pe = PN Ne (6) Me 1 T 1 1 T = M PN P + PN Ne N P (7) Casos partiulares El primer aso partiular es un medio transversalmente isótropo, para este medio el módulo elástio para el i-jésimo omponente es: M i = 11i 11i 66i 11i 11i 66i 66i N i 33i = 44i 44i 13i P = i 13 i 158

159 Realizando el proedimiento desrito anteriormente, se puede expresar el módulo equivalente de un medio transversalmente isótropo - TI, de la siguiente forma: 1/ Ne = / / 1 44 Pe = Me = Donde 11 es: 11 = Modelo de fraturas paralelas Las fraturas paralelas largas es un medio anisótropo que puede ser modelado omo un onjunto de apas delgadas, no neesariamente isótropas. Se utiliza el onepto de módulo elástio estratifiado, tomando el límite del espesor - hf, uando tiende a ero. Suposiiones: Fraturas paralelas, largas y delgadas Espesor de la fratura h f tiende a ero 159

160 ANEXOS Material que llena la fratura, onoido omo emento, es suave Se debe umplir la ondiión de longitud de onda larga, la ual está relaionada on el anho del intervalo o estrato Las fraturas son paralelas al plano x x 1 Se tiene la siguiente notaión, los oefiientes elástios para el fondo (bakground) están representados por: las fraturas serán: ~ ~ h M, h N ~, h P f f f M, N, P y los oefiientes elástios para b b b Con los módulos elástios obtenidos para el medio estratifiado (ver euaiones 5 a 7) se plantea el aso partiular de las fraturas paralelas: 1 ~ 1 [( 1 hf ) Nb ] + hf 1 Ne = N ( 1 1 Nb + ) 1 Ne = N ~ (8) Me ( ~ 1 + N ) 1 Ne = Nb I Nb (9) 1 1 ( PbNb ) Ne( Nb Pb T ) 1 T = Mb PbNb Pb + (3) Como se puede observar los omponentes de las fraturas, apareen sólo en la matriz Ñ. Por lo tanto se reesribe la Ley de Hooke (euaión 13); la ual involura la sub-matriz Ñ: Para el sistema de fraturas se tiene: S = h f ~ P T ε1 ε 3 ~ ε + Nε 4 ε 6 ε 5 f f f (31) 16

161 161 La relaión de las deformaiones on los desplazamientos está dada por: H h U f f 3 3 = ε (3) H h U f f 4 = ε (33) H h U f f 1 5 = ε (34) Si la expresión S está dada por: + = H h U H h U H h U N P h S f f f T f ~ ~ ε ε ε (35) Al igualar las euaiones (1) y (35), se tiene: + = H h U H h U H h U N P h f f f T f ~ ~ ε ε ε σ σ σ (36) Tomando el límite de hf, uando tiende a ero = H U H U H U N ~ σ σ σ (37)

162 ANEXOS U U U 3 1 H σ 3 H = Z σ 4 H σ 5 (38) Siendo ~ Z N 1 (39) Reesribiendo la euaión (8) se tiene: ( I + ) 1 Ne = Nb ZNb (4) Este módulo equivalente Ne, se reemplaza en las euaiones (9) y (3); para obtener las expresiones de Pe y Me. Para varias apas, inluso para diferentes tipos de fraturas, se tiene una matriz de onformidad global, la ual se pueden representar omo un omportamiento efetivo de fraturas; físiamente representaría el promedio de los diferentes tipos de fraturas y el fator de peso de la respetiva densidad de fratura. Debido a que en algunos asos se obtienen matries omplejas para los módulos elástios; es neesario definir algunas expresiones para simplifiarlas: EN 33b Z (41) N ET 44b Z (4) T * 13b 1 11 = 11 b 1 (43) 33b 1+ EN 16

163 Caso partiular: Fraturas transversalmente isótropas. Esta simetría ourre uando el omportamiento de las fraturas es invariante on respeto a la rotaión sobre el eje x3, en este aso Z tiene la forma: Z Z = N Z T Z T Caso partiular: Sistemas de fraturas transversalmente isótropas en un fondo (bakground) transversalmente isótropo. Hallar los módulos equivalentes Ne, Pe, Me. En la matriz Nb, se utiliza el subíndie b, para denotar bakground, para el aso transversalmente isotrópio es: Nb TI 33 = b 44b 44b Tomando la matriz Z del ejemplo anterior y realizando las operaiones respetivas 54, se tiene la matriz Ne (euaión 4) para el medio equivalente: a. ZN bti = 33b Z N 44b Z T 44bZT 54 Cuando las matries son omplejas, estas operaiones pueden realizarse on ayuda de un paquete simbólio, tal omo MATLAB o MAPLE - Ver rutina Shoemberg1.m 163

164 ANEXOS b. I + ZN bti bz = N 1+ 44b Z T 1+ 44b Z T 1 bti. ( I + ZN ) 1 = ( 1+ Z ) 33b N 1 ( 1+ Z ) 44b T ( ) bZT La matriz resultante Ne es: Ne = 33b ( 1+ Z ) 33b N 444b ( 1+ Z ) 44b T 444b ( ) 1+ 44bZT Para obtener la sub-matriz Pe, se reemplaza el valor obtenido de Ne, euaión (9). en la Teniendo en uenta que la matriz Pb para el aso transversalmente isótropo es: P bti 13 = 13 b b Se puede obtener la matriz Pe: 164

165 Pe = 13b 13b ( bz N ) ( 1+ Z ) 13b N Para alular la sub-matriz Me, se reemplaza el valor obtenido de Ne, euaión (3). La matriz Mb para el aso transversalmente isotrópio es: en la M bti = 11b 11b 66b 11b 44b 66b 66b Realizando las operaiones orrespondientes y reemplazando los fatores para el aso partiular TI, la matriz Me es: Me= ( + Z Z ) ( 1+ Z ) ( Z + + Z + Z ) ( 1+ Z ) 11b 11b 33b N 13 N N 33b 11b 11b 33b N 66b 66b 33b N 13b N N 33b ( Z + + Z + Z ) ( 1+ Z ) ( + Z Z ) ( 1+ Z ) 11b 11b 33b N 66b 66b 33b N 13b N N 33b 44b 33b 44b N 13 N N 33b 66b Para simplifiar el resultado se reemplazan las expresiones (41) a (43): Me = 11 * 11 * 66b 11 * 11 * 66b 66b 165

166 ANEXOS ANEXO B DESCRIPCIÓN DE LOS EQUIPOS DE LABORATORIO PARA LAS MEDIDAS DE ONDAS PY S PULSADOR El pulsador que se utilizó en los experimentos, fue un equipo SOFRANEL modelo 555 PR. Este aparato es un generador de señales que entrega 5 V a una arga de 5 Ω, su anho de pulso es variable (1-1 µs) y permite repetiiones de a 1 rep/s. UNIDAD DE DESPLIEGUE Y CRONOMETRAJE Para reibir las señales se empleó un osilosopio mara TEKTRONIX TDS 4 de uatro anales. Este aparato permitió mostrar las señales del transmisor y del reeptor simultáneamente, on ontroles individuales; este dispositivo es ativado por el generador de pulsos. Para la determinaión de los tiempos de arribo, se utilizaron ronómetros de alta preisión. CRISTALES PIEZOELÉCTRICOS Estos ristales son materiales que pueden ser utilizados para onvertir la energía elétria en energía meánia y vieversa. Atualmente estos erámios están disponibles en una amplia gama de aleaiones; en el desarrollo de esta investigaión, para obtener las medidas aústias, se utilizaron los PZT (Zironato Titanato de Plomo). Adiionalmente para el ensamble de los ristales de las muestras, se utilizaron epóxios de plata y alambres de obre. 166

167 ANEXO C DESCRIPCIÓN DEL FUNCIONAMIENTO DE LA HERRAMIENTA SOFTWARE. La apliaión onstruida se divide en dos partes prinipales: Definiión del onjunto de entrenamiento y simulaión Datos a evaluar Construión, entrenamiento y simulaión de la red neuronal En la primera parte se define el rango de datos para estableer el onjunto de entrenamiento, para grietas seas o saturadas, de igual manera, se establee el número de époas y la distania de exlusión (filtrado) para los parámetros de Thomsen que no estén dentro del rango de entrenamiento. Ver figura C1 Figura C 1 Entrada de datos en la herramienta software desarrollada 167

168 ANEXOS En el submenú GRAFICAR, el usuario puede visualizar el onjunto de entrenamiento vs. los datos a simular, es deir, los datos obtenidos en laboratorio. Ver figura C. Figura C Presentaión del submenú GRAFICAR En la segunda parte, la apliaión permite rear y entrenar una red neuronal para posteriormente simular los resultados y evaluar on datos de laboratorio. Cuando se despliega el submenú DEFINIR, se seleiona la opión New (figura C3) para rear la red. En ese instante es posible definir on la ayuda del toolbox de Matlab la red que el usuario desee, ya que puede esoger el tipo de red, el tipo de entrenamiento, número de apas oultas y neuronas, así mismo, las funiones de ativaión y el desempeño en el aprendizaje, tal omo se muestra en la figura C4. 168

169 Figura C 3 Herramienta para rear la red neuronal Figura C 4 Definiión de la RNA utilizando Matlab 169

170 ANEXOS Una vez reada la red se podrá visualizar (figura C5) para posteriormente guardarla en la arpeta denominada RNAs NUEVAS. Es importante alarar la nomenlatura que se utilizó en esta investigaión para denotar las redes: Figura C 5 Visualizaión de las redes definidas La red de la figura C5 orresponde a una red de alimentaión haia delante on propagaión del error haia atrás; onsta de tres entradas y dos salidas, dos apas oultas, diez neuronas en ada apa. La primera y segunda apa se onetan mediante una funión de ativaión sigmoidal y la última on una funión lineal. Las funiones de entrenamiento de las redes utilizadas fueron: regularizaión bayesiana (TRAINBR), gradiente desendente on momentum (TRAINGDM) y Levenberg-Marquardt (TRAINLM), respetivamente. Esta red se guarda on el siguiente nombre: FFBP_ LM_GDM_MSE_3_1_1_ y se proede a entrenar; previamente se define el número de époas para el entrenamiento, para este ejemplo se seleionaron 4 époas. Inmediatamente se seleiona el menú RED/ENTRENAR y aparee la siguiente ventana: ver figura C6. 17

171 Figura C 6 Entrenamiento de la red on la funión Levenberg-Marquardt (TRAINLM) Terminado el entrenamiento, se despliegan las ventanas (ver figura C7) donde se observan los resultados del entrenamiento. En este aso el entrenamiento fue bueno, debido a que no se observa dispersión en las respuestas para la densidad de fraturas y la relaión de veloidades. Figura C 7 Resultados del entrenamiento on TRAINLM 171

172 ANEXOS En la figura C7 se muestra el aso en que la red está bien entrenada, pero no siempre ourre esto; ya que el entrenamiento es funión del diseño de la red, número de apas, número de neuronas en ada apa y funión de entrenamiento. Para visualizar mejor este fenómeno, se onstruyó una nueva red, variando la funión de entrenamiento, en este aso se ambió la funión Levenberg-Marquardt (TRAINLM) por la de gradiente desendiente (TRAINGD); los demás parámetros se dejaron onstantes. De auerdo a la nomenlatura propuesta, esta red se denominó FFBP_GD_GDM_MSE_3_1_1_. En la figura C8 se muestra el desempeño del entrenamiento, así mismo, en la figura C9 se tienen los resultados del entrenamiento, en este aso no se tiene una buena prediión de los datos. Figura C 8 Desempeño del entrenamiento de la red on la funión de gradiente desendiente (TRAINGD) 17

173 Figura C 9 Resultados del entrenamiento on TRAINGD. Con la herramienta onstruida, se pueden realizar varias onfiguraiones de redes, hasta definir ual es la de mejor desempeño y garantizar el éxito en la inversión de datos. En la figura C1 se muestra la onfiguraión para una red neuronal. Figura C 1 Visualizaión de las redes definidas 173

174 ANEXOS Los datos para la simulaión deben ser argados en el módulo de INICIO / DEFINIR/ ENTRENAMIENTO; pero esta vez debe estar ativa la asilla de Guarde para simulaión tal omo se muestra en la figura C11. Seguidamente se presiona el boton LEER ARCHIVO lo ual permitirá importar los datos obtenidos en laboratorio. El programa lee los arhivos en formato *.txt y la organizaión de la informaión es la siguiente: primero se oloan los valores de los parámetros de Thomsen ε, δ,γ seguidos de la densidad de fraturas y las relaiones de veloidades (esto para el aso de fraturas seas). Figura C 11 Módulo para el ingreso de datos de simulaión Con los tres primeros datos la red entrenada, proede a simular el omportamiento e invertir las funiones on el fin de proporionar los valores de densidad de fratura y relaión de veloidades; estos a su vez son omparados on los que están en el arhivo *.txt. En la figura C1, se muestra un ejemplo del formato de los arhivos, que se ingresan a la herramienta. 174

175 Figura C 1 Formato para el ingreso de datos a la herramienta. Nota: Las tres primeras olumnas orresponden a los parámetros ε, δ,γ, seguidos de la densidad de fraturas y la relaión de veloidades. Los datos de laboratorio que no están dentro del onjunto de entrenamiento, pueden ser filtrados on ayuda del submenú INICIO / DEFINIR / DISTANCIA DE EXCLUSIÓN. Ver figura C13 y C14. Figura C 13 Submenú para exluir los parámetros lejanos del onjunto de entrenamiento 175

176 ANEXOS Figura C 14 Ventana para definir los límites de exlusión Seguidamente se proede a realizar la inversión de datos, en el menú RED / SIMULAR / TIPO I. Ver figura C15 Figura C 15 Menú para realizar la simulaión 176

177 Inmediatamente el programa muestra una ventana en la ual el usuario debe esoger la red entrenada y realizar la simulaión. Ver figura C16 Figura C 16 Ventana para esoger la red entrenada. En la figura 16 se esogió una red FFBP_BR_GDM_MSE_3_4_4_e5, la ual orresponde a una red feed forward bak propagation on entrenamiento de tipo regularizaión bayesiana en 5 époas; esta red onsta de tres entradas, dos salidas y dos apas oultas. En ada apa oulta se tienen uatro neuronas las uales están unidas por una funión de ativaión de tipo tangente sigmoidea. Una vez se esoge la red entrenada, en la ventana prinipal de Matlab, se visualizan los datos de la simulaión, ver figura C

178 ANEXOS Figura C 17 Ventana de resultados de la simulaión. Por último se ompara la desviaión entre los valores de Vs/Vp y la densidad de fratura denominada OBJETIVO vs. RED. 178