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1 Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2010 Semana 14: Lunes 21 viernes 25 de Junio Información importante El martes 29 de junio se realizará el (último) control Q3A en horario de ayudantía El viernes 25 de junio se publicará la última tarea preparatoria para los alumnos que asisten a talleres en sala. Los resultados de las apelaciones (Certamen 2) en primera instancia, serán publicados el fin de semana del 19 de junio. Los alumnos tendrán hasta el miércoles 23 para manifestar a sus profesores de cálculo (por vía oral, SIN formulario) si desean continuar con el proceso de apelación (reservado SOLO a aquellos que lo hicieron en un inicio). Una vez informados, los profesores deben enviar (por mail) al Coordinador, a más tardar el viernes 25 de junio el listado de alumnos que se acogerán a esta instancia señalando nombre, RUN y causal de apelación, para agendar una reunión con el fin de deliberar dichos casos. Cálculo Contenidos Clase 1: Gráficas de funciones Clase 2: Teorema de L Hôpital 1 Clase Aprendizajes esperados Grafica funciones determinando dominio, recorrido, intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento, concavidad, convexidad, puntos de inflexión, máximos y mínimos, asíntotas y signo. 1.2 Gráficas de funciones Pasos para analizar la gráfica de una función 1. Determinar el dominio y el recorrido de la función. 2. Hallar las intersecciones con los ejes y las asíntotas de la gráfica. 3. Analizar el signo de la función entre las intersecciones con el eje x. 4. Estudiar paridad. MAT021 (Cálculo) 1

2 5. Localizar los valores de x donde yf 00 (x) son cero o no están definidas. Con estos resultados, estudiar los extremos locales y los puntos de inflexión. Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos locales. 6. Bosquejar el gráfico. Observación 1.1. Quizás necesite recordar brevemente los conceptos de asíntotas y paridad. Ejemplo 1.1. Graficar la función Ejemplo 1.2. Graficar la función = 4x x 2 9 = x2 +3x +1 p x2 +1 Ejercicios propuestos Bosquejar las gráficas de las siguientes funciones: f(x) = x x 2 1 f(x) =(x + 2) 2/3 (x 1) 2 f(x) = x2 x 1 f(x) = 10x 2/3 x 5/3 x Sea f una función continua con segunda derivada continua en R tal que Hallar: f(x) > 0 y = x f(x) 8x 2 R 1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f 2. Intervalos de convexidad y concavidad de la función f 3. Cuáles son los puntos de inflexión de f? 4. Cuales son los extremos locales de f? MAT021 (Cálculo) 2

3 2 Clase Aprendizajes esperados Aplica el teorema de L Hôpital al cálculo de límites de las distintas formas indeterminadas. 2.2 Teorema de L Hôpital Si cuando x! x 0, yg (x) tienden a cero, entonces no sabemos qué sucede con el cuociente cuando x! x 0. Ejemplos de esta situación son sen x x, x!1 g (x) p x 1 x 1, x!1 ln x x 1 en los cuales no podemos aplicar directamente el álgebra de límites. Cada uno de ellos nos lleva a la forma 0 0 que se conoce como forma indeterminada. También hay otras situaciones en las cuales el comportamiento del cuociente f(x) g(x) es indeterminado, por ejemplo cuando x! x 0,!±1y g (x)!±1. La regla de L Hôpital permite conocer en algunos casos el valor de estos límites cuando estamos frente a una forma indeterminada de los tipos 0 0 o 1 1. El resultado es una consecuencia del teorema del valor medio generalizado. Teorema 2.1. Sean f,g :[a, b]! R funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, entonces existe un punto 2 ]a, b[ tal que g (b) g (a) f (b) f (a) = g0 ( ) f 0 ( ) Demostración: Utilizar el teorema de Rolle junto a la función H (x) =(g (b) g (a)) g (x)(f (b) f (a)). Teorema 2.2 (Regla de L Hôpital para la forma 0 0 ). Sean f, g funciones derivables y a 2 R[{ además que si x! a entonces,g(x)! 0. Si 1, +1}. Suponga (donde L 2 R[ { 1, +1}) entonces x!a g 0 (x) = L x!a g (x) = L Teorema 2.3 (Regla de L Hôpital para la forma 1 1 ). Sean f, g funciones derivables y a 2 R [ { 1, +1}. Suponga además que si x! a entonces,g(x)!1.si (donde L 2 R[ { 1, +1}) entonces x!a g 0 (x) = L x!a g (x) = L Observación 2.1. Es recomendable esbozar al menos la demostración de estos resultados, utilizando el Teorema del valor medio generalizado. MAT021 (Cálculo) 3

4 Observación 2.2. La regla de L Hôpital sólo se aplica a casos de formas indeterminadas, por ejemplo x 2 1 x 2 2 = 1 2 si aplicamos L Hôpital (que no corresponde) nos quedaría lo que claramente es incorrecto. Observación 2.3. Es posible que exista sin que exista. Por ejemplo Pero que no existe. d dx 2x 2x =1 x!a g (x) x!a g 0 (x) x 2 sen (1/x) =xsen (1/x) =0 x x2 sen (1/x) d dx (x) = 2x sen (1/x) cos (1/x) 1 Observación 2.4. Mencionar los casos en que si f y g tienen derivadas de orden superior, la regla se extiende para estas si el cuociente de los límites de las derivadas se siguen indeterminando. Ejemplo 2.1. Calcular usando la regla de L Hôpital. 1 cos x x 2 Observación 2.5. Hacer notar que expresiones como las siguientes corresponden a formas indeterminadas 0 1, 0 1, 0 1, 11, 0 0, 1 0, 1 1 Para estas situaciones se busca transformar de manera tal de poder aplicar el anterior teorema. Ejercicios tipo Compare los resultados para los siguientes límites sin utilizar la regla de L Hôpital x 3 +8 x 2 x 1) 2) x! 2 x +2 x 4 x 3 Notar que la forma indeterminada involucrada es 0/0. Es claro que no se puede contar con 0/0 = 1 como identidad (aunque puede que el límite de la forma indeterminada sea 1). Comentar los resultados obtenidos y justificar la noción de indeterminación para estas formas. Hallar los siguientes límites cos x 1. x! /2 sen x 1 ( /2) arctan x 2. x!1 1/x 3 cos x 3. x! /2 2x x 2 4. x!+1 e x e x 5. x!1 x /x e 1/x2 Obtener los siguientes límites buscando obtener las formas requeridas para aplicar la regla de L Hopital 1. x ln x 2. (csc x cot x) MAT021 (Cálculo) 4

5 2.3 L Hôpital con funciones f(x) g(x) En el cálculo de algunos límites, pueden presentarse funciones de la forma y = f(x) g(x) Sabemos que estos límites pueden ser resueltos usando exponencial y logaritmo. Ahora veremos que, en vista de las formas indeterminadas que se pueden obtener de esta expresión, es posible utilizar la regla de L Hôpital para determinar tales límites tras la aplicación del siguiente procedimiento: 1. Escribir y = f(x) g(x) 2. Tomar ln y 3. Analizar el límite de ln y 4. Utilizando el límite anterior, analizar y =e ln y ln y = e Observación 2.6. Todo esto bajo las condiciones pertinentes al considerar el dominio de ln( ). Observación 2.7. Notar la aplicación del teorema de límites y continuidad presentado en clases anteriores, según el cual si f es función continua con g(x) =b entonces (f g)(x) =f(b) o en forma equivalente x!a x!a f(g(x)) = f( g(x)). x!a x!a Ejercicios tipo Calcular con el procedimiento mencionado el siguiente límite 1+ 1 x!1 x Reconoce en una primera instancia este límite? Verifique el resultado entregado en clases anteriores para x 1+ a x x!1 x Calcular los siguientes límites: + xx x!1 x1/x + xsen x (x + e 2x ) 1/x MAT021 (Cálculo) 5